ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Υπολογισμοί Παραμέτρων Πληθυσμού και Στατιστικών Δείγματος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Υπολογισμοί Παραμέτρων Πληθυσμού και Στατιστικών Δείγματος"

Σάπφιρα Παπαστεφάνου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΛΟΡΕΝΤΖΙΑΔΗΣ 2 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΤΜΗΜΑΤΑ: (Α - Λ) ΚΑΙ (Μ - Ω) ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σημειώσεις Υπολογισμοί Παραμέτρων Πληθυσμού και Στατιστικών Δείγματος ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α) Υπολογισμός μέσου, διακύμανσης και τυπικής απόκλισης 1. Δεδομένα (πρωτογενείς τιμές Σελίδα 2 2. Ομαδοποιημένα δεδομένα Σελίδα 2 3. Δεδομένα σε κατηγορίες Σελίδα 3 Β) Υπολογισμός ποσοστιαίων σημείων (quantiles) *** Υπολογισμός διαμέσου (median), τεταρτημορίων (quartiles) και ποσοστιμορίων (percentiles) 1. Δεδομένα σε κατηγορίες Σελίδα 4 2. Ομαδοποιημένα δεδομένα Σελίδα 6 3. Δεδομένα (πρωτογενείς τιμές) i. Οι παρατηρήσεις θεωρούνται ως δείγμα Σελίδα 7 ii. Οι παρατηρήσεις θεωρούνται ως πληθυσμός Σελίδα 9

2 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 2 Α) Υπολογισμός μέσου, διακύμανσης και τυπικής απόκλισης Παράδειγμα: 4,3,7,5 ΓΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΌ: μ= Χ 1+ +Χ Ν Ν ΓΙΑ ΔΕΙΓΜΑ: 1. Δεδομένα (πρωτογενείς τιμές): και σ 2 = (Χ 1-μ) 2 + +(Χ N - μ) 2 Ν Σχέση υπολογισμού σ 2 = Χ Χ N Ν μ 2 X - = Χ 1+ +Χ n n και s 2 = (Χ 1-X - ) 2 + +(Χ n -X - ) 2 n-1 Σχέση υπολογισμού S 2 = n n-1 ( Χ Χ n n X - 2 ) 2. Ομαδοποιημένα Δεδομένα: Παράδειγμα: Παρατηρήσεις Συχνότητα Σχετ.Συχνότητα % % % % και ΓΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΟ: μ = Σ Χ i Σχετ. Συχνότητα = Σ Χ i σ 2 = Σ (Χ i μ) 2 Σχετ. Συχνότητα = Σ (Χ i μ) 2 Συχνότητα Άθροισμα συχνοτήτων Συχνότητα Άθροισμα συχνοτήτων

3 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΓΙΑ ΔΕΙΓΜΑ: Σχέση υπολογισμού: σ 2 = Σ Χ i 2 Συχνότητα Άθροισμα συχνοτήτων μ2 X - με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω για το μ S 2 = Σ (Χ i X - ) 2 Συχνότητα Άθροισμα συχνοτήτων - 1 S 2 = Σχέση υπολογισμού: Άθροισμα συχνοτήτων - 1 Άθροισμα συχνοτήτων [ΣΧ Συχνότητα i 2 Άθροισμα συχνοτήτων X- 2 ] 3. Δεδομένα σε κατηγορίες: Παράδειγμα: Κατηγορίες Συχνότητα Σχετ.Συχνότητα Τιμή κατηγορίας % 3, % 6, % % 13,5 Εργαζόμαστε σαν να είχαμε Ομαδοποιημένα Δεδομένα με παρατηρήσεις στην τιμή κατηγορίας.

4 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 4 Β) Υπολογισμός ποσοστιαίων σημείων (quantiles) *** Υπολογισμός διαμέσου (median), τεταρτημορίων (quartiles) και ποσοστιμορίων (percentiles) Παράδειγμα: 1. Δεδομένα σε κατηγορίες: Κατηγορία Συχνότητα Σχετ. Συχνότητα Αθροιστική (σχετ.) Συχνότητα* % 20% % 40% % 80% % 100% Σημείωση (*): Η αθροιστική συχνότητα που δίνεται παραπάνω αντιστοιχεί στα δεξιά άκρα κάθε κατηγορίας. Εύρεση διαμέσου (Md) Εργαζόμαστε ως εξής: α) Καθορίστε την κατηγορία εντός της οποίας θα πρέπει να βρίσκεται η διάμεσος Md Στο παραπάνω παράδειγμα η αθροιστική (σχετ.) συχνότητα 50% βρίσκεται εντός της τρίτης κατηγορίας, η οποία στο αριστερό άκρο της (δηλαδή στη τιμή 8) έχει αθροιστική σχετ. συχνότητα 40%, ενώ στο δεξί της άκρο (δηλαδή στην τιμή 12) έχει αθροιστική σχετ. συχνότητα 80%. β) Η διάμεσος Μd θα βρίσκεται ξεκινώντας από την τιμή 8 (αριστερό άκρο κατηγορίας) και προσθέτοντας ένα κλάσμα της απόστασης μεταξύ του 8 και του 12. Συγκεκριμένα, Md = 8+ 50% - 40% 80% - 40% (12-8) = 9

5 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 5 Εύρεση του P α, το οποίο είναι το α ποσοστιμόριο ονομάζεται και α% ποσοστιαίο σημείο 1. Συγκρίνοντας τις αθροιστικές σχετ. συχνότητες των άκρων των κατηγοριών, εντοπίζουμε την κατηγορία στην οποία βρίσκεται εντός η αθροιστική συχνότητα α %. Έστω ότι βρίσκεται εντός του διαστήματος με άκρα L (αριστερό άκρο κατηγορίας) με αθροιστική σχετ. συχνότητα l % και U (δεξί άκρο κατηγορίας) με αθροιστική σχετ. συχνότητα u % ώστε l α u 2. Υπολογισμός του P α P α = L + α % l % u % l % (U L) Εφαρμογή: P 25 = Q 1 = % 20 % (8 5) = 5,75 40 % 20 %

6 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 6 Παράδειγμα: 2. Ομαδοποιημένα Δεδομένα: Παρατηρήσεις Συχνότητα Σχετ.Συχνότητα % % % % Μετασχηματίζουμε τα Ομαδοποιημένα Δεδομένα σε δεδομένα σε κατηγορίες ως ακολούθως: Κατηγορία Συχνότητα Σχετ. Συχνότητα Αθροιστική σχετ. συχνότηα % 20% % 40% % 80% % 100% Σημείωση (*): Η αθροιστική συχνότητα που δίνεται παραπάνω αντιστοιχεί στα δεξιά άκρα κάθε κατηγορίας. και εργαζόμαστε όπως πριν. Το πρώτο διάστημα είναι καταχρηστικό.

7 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 7 Έστω n το πλήθος των δεδομένων Παράδειγμα: 4,3,8,6 με n = 4 3. Δεδομένα (πρωτογενείς τιμές): i) Οι παρατηρήσεις θεωρούνται ως δείγμα Εύρεση του P α, το οποίο είναι το α ποσοστιμόριο ονομάζεται και α% ποσοστιαίο σημείο Υπολογίζουμε α 100 (n + 1) = k Θέτουμε σε αύξουσα σειρά τις παρατηρήσεις μας (δεδομένα) P α = η k διατεταγμένη παρατήρηση Εφαρμογές: α) Διάμεσος Md Έχουμε 50% (4+1) = 2,5 Λαμβάνουμε τη 2η παρατήρηση (δηλαδή το 4) και και το 0.5 της απόστασης μέχρι την 3η παρατήρηση (δηλαδή μέχρι το 6) ήτοι Md = (6-4) = 5 β) Πρώτο τεταρτημόριο Q 1 Έχουμε 25% (4+1) = 1,25 Λαμβάνουμε τη 1η διατεταγμένη παρατήρηση (δηλαδή το 3) και το 0.25 της απόστασης μέχρι την 2η διατεταγμένη παρατήρηση (δηλαδή το 4) ήτοι Q 1 = (4-3) = 3,25

8 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 8 γ) P 28 Έχουμε 28% (4+1) = 1,4 Λαμβάνουμε τη 1η διατεταγμένη παρατήρηση (δηλαδή το 3) και το 0.4 της απόστασης μέχρι την 2η διατεταγμένη παρατήρηση (δηλαδή το 4) ήτοι Q 1 = (4-3) = 3,4 δ) Πρώτο δεκατημόριο ήτοι P 10 Έχουμε 10% (4+1) = 0,5 Άρα βρισκόμαστε πριν την 1 η διατεταγμένη παρατήρηση και οποιαδήποτε τιμή μικρότερη της πρώτης διατεταγμένης παρατήρησης μπορεί να θεωρηθεί το Ρ 10 (δηλαδή δεν μπορεί να οριστεί επακριβώς). ε) Ένατο δεκατημόριο ήτοι P 90 Έχουμε 90% (4+1) = 4,5 Άρα βρισκόμαστε μετά την 4η διατεταγμένη παρατήρηση (τελευταία). Όμως καθώς έχουμε μόνο 4 παρατηρήσεις θέτουμε Ρ 90 = 8 (δηλαδή ίσο με την μεγαλύτερη παρατήρηση). Σημείωση: Οι παραπάνω υπολογισμοί γίνονται με την υπόθεση ότι έχουμε ένα δείγμα παρατηρήσεων ενώ οι τιμές του πληθυσμού είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες ανάμεσα στις παρατηρήσεις.

9 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 9 ii) Οι παρατηρήσεις θεωρούνται ως πληθυσμός Υπολογισμός του P α Εάν θεωρήσουμε ότι οι παρατηρήσεις μας είναι όλος ο πληθυσμός, τότε, ο υπολογισμός του Ρ α είναι διαφορετικός: Υπολογίζουμε α 100 n = j Θέτουμε σε αύξουσα σειρά τις παρατηρήσεις μας (δεδομένα) Εάν j είναι ακέραιος, τότε P α = ο μέσος όρος της j και της (j+1) διατεταγμένης παρατήρησης Εάν j δεν είναι ακέραιος, και i είναι το ακέραιο μέρος του j με στρογγυλοποίηση προς τα επάνω, τότε P α = η i διατεταγμένη παρατήρηση Εφαρμογές: Έστω ότι τα δεδομένα μας 4,3,8,6 είναι ο πληθυσμός που εξετάζουμε. α) Διάμεσος Md 50% 4 = 2: ακέραιος Άρα η διάμεσος είναι ο μέσος όρος της 2 ης και της 3 ης διατεταγμένης παρατήρησης: ½ (4+6) = 5 Συμπίπτει με την προηγούμενη απάντηση που θεωρούμε ότι έχουμε δείγμα. β) Πρώτο τεταρτημόριο Q 1 Έχουμε 25% 4 = 1: ακέραιος Λαμβάνουμε το μέσο όρο της 1 ης και της 2 ης διατεταγμένης παρατήρησης: ½ (3+4) = 3,5

10 ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 10 γ) P 28 Έχουμε 28% 4 = 1,12 : μη ακέραιος Με στρογγυλοποίηση προς τα επάνω έχουμε i = 2 Λαμβάνουμε την 2η διατεταγμένη παρατήρηση, δηλαδή το P 28 = 4. δ) Πρώτο δεκατημόριο ήτοι P 10 Έχουμε 10% 4 = 0,4: μη ακέραιος. Με στρογγυλοποίηση προς τα επάνω i =1 Άρα λαμβάνουμε την 1 η διατεταγμένη παρατήρηση Ρ 10 = 3. ε) Ένατο δεκατημόριο ήτοι P 90 Έχουμε 90% 4 = 3,6: μη ακέραιος. Με στρογγυλοποίηση προς τα επάνω i =4 Άρα λαμβάνουμε την 4 η διατεταγμένη παρατήρηση Ρ 90 = 8.

Σχετικά έγγραφα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Μέθοδοι Κατασκευής Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Επίπεδο εμπιστοσύνης 1-α

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Μέθοδοι Κατασκευής Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Επίπεδο εμπιστοσύνης 1-α 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΛΟΡΕΝΤΖΙΑΔΗΣ 2 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ