ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»"

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση στοιχείων, την ταξινόμησή τους και την παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή ώστε να μπορούν να αναλυθούν και να ερμηνευτούν για την εξυπηρέτηση διαφόρων σκοπών. Πληθυσμός λέγεται ένα σύνολο αντικειμένων (εμψύχων ή αψύχων) του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ώς προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Δείγμα ονομάζεται κάθε υποσύνολο του πληθυσμού. Μεταβλητή λέγεται το χαρακτηριστικό ώς πρός το οποίο εξετάζουμε έναν πληθυσμό Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εξέταση των ατόμων ενός πληθυσμού ώς πρός ένα χαρακτηριστικό τους, λέγονται παρατηρήσεις. Είδη μεταβλητών :. ποιοτικές μεταβλητές, ονομάζονται οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές δεν είναι αριθμοί.. ποσοτικές μεταβλητές, ονομάζονται οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί, και διακρίνονται σε : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : διακριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο «μεμονωμένες» τιμές. συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν αποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος.. Μελετάμε τους κάτοικους μιας πόλης ως προς τις ιδιότητες : Α. ηλικία Β. επάγγελμα Γ. ύψος Δ. βάρος Ε. μορφωτικό επίπεδο Σ.Τ. εισόδημα Ποιες από τις παραπάνω μεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές:. Να βρείτε το είδος (ποιοτικές, ποσοτικές διακριτές ή ποσοτικές συνεχείς) των παρακάτω μεταβλητών : α) Το πλήθος των ορόφων που έχουν τα κτίρια μιας πόλης. β) Το θρήσκευμα των κατοίκων μιας πόλης. γ) Ο χρόνος αναμονής των πελατών σε μια τράπεζα. δ) Το επάγγελμα των κατοίκων μιας πόλης. ε) Το βάρος των μαθητών μιας τάξης. στ) Οι ενδείξεις ενός ζαριού. ζ) Το χρώμα ματιών των μαθητών μιας τάξης. η) Ο αριθμός παιδιών των οικογενειών μιας πόλης.. Τα αποτελέσματα των εξετάσεων των φοιτητών του Μαθηματικού τμήματος στο μάθημα της Στατιστικής ήταν τα ακόλουθα:,,,,,,,, 9. Να βρείτε : α) Ποιος είναι ο Πληθυσμός; β) Ποια είναι τα άτομα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) Ποια είναι η μεταβλητή και σε ποια κατηγορία ανήκει; ε) Ποιες είναι οι τιμές της μεταβλητής; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τα στατιστικά δεδομένα, αφού συλλεχτούν, πρέπει να ταξινομηθούν σε πίνακες. Πρέπει δηλαδή τα δεδομένα να τοποθετηθούν σε γραμμές και στήλες έτσι ώστε να είναι εύκολη η κατανόηση τους, η σύγκριση τους και η εξαγωγή συμπερασμάτων. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Συχνότητα μιας τιμής μιας μεταβλητής ονομάζεται το πλήθος των ατόμων του πληθυσμού (ή του δείγματος) για τα αποία η μεταβλητή παίρνει την τιμή και συμβολίζεται με. Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ενός δείγματος κ μεταβλητών είναι :... k Σχετική Συχνότητα τιμής μιας μεταβλητής ονομάζεται ο λόγος της συχνότητας πρός το μέγεθος του δείγματος και συμβολίζεται με δηλαδή : Ισχύει πάντα :... k Σχετική συχνότητα : είναι η έκφραση της σχετικής συχνότητας σε ποσοστό επί τοις εκατό : Ισχύει πάντα : k ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 0 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : ΠΑΟΚ, 7 ΑΡΗΣ, ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ.. Να βρείτε πόσοι υποστηρίζουν τον ΗΡΑΚΛΗ.. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. Λύση :. Έστω η ποιοτική μεταβλητή : «Ομάδα» άρα :, :, :, :, : και :. Τότε οι αντίστοιχες συχνότητες θα είναι,,..., 6 και θα ισχύει : , άρα 0, , άρα 0,00 0 0,06 άρα 0, ,0 άρα 0,000 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 0,0 άρα 0, ,0 άρα 6 0, Ομάδα Συχνότητα Σχετ. συχνότητα Σχετ. συχνοτ. ΠΑΟΚ 0, ΑΡΗΣ 7 0, ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 0,06 6 ΑΕΚ 0,0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 0,0 ΗΡΑΚΛΗΣ 0,0 0 Σύνολο 0,00 00 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω ένα δείγμα μεγέθους και έστω οι οποίες είναι σε αύξουσα σειρά.,...,, οι τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, Αθροιστική Συχνότητα Σε ποσοτική μεταβλητή αθροιστική συχνότητα μιας τιμής συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή. λέγεται το άθροισμα των Η Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Σε ποσοτική μεταβλητή σχετική αθροιστική συχνότητα μιας τιμής λέγεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή. Σε ποσοτική μεταβλητή σχετική αθροιστική συχνότητα μιας τιμής λέγεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή. N N... N k N... k... k... k k k Οι Αθροιστικές συχνότητες μόνο σε ποσοτικές μεταβλητές. N και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες έχουν νόημα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ρωτήσαμε 00 μαθητές πόσα βιβλία διάβασαν το περασμένο καλοκαίρι. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Αριθ. βιβλίων Συχνότητα Σύνολο 00. Να κατασκευάσετε πινάκα κατανομής,,,,, Με τη βοήθεια του παραπάνω πινάκα, να βρείτε. Πόσοι μαθητές διάβασαν το πολύ βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ βιβλίο. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον βιβλία. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον αλλά το πολύ βιβλία Λύση :. Για τις σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους και 00 έχω : 90 0, άρα 0, ,0 άρα 0, , άρα 0, ,08 άρα 0, ,0 άρα 0, Για τις αθροιστικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : και έχω : Για τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες σύμφωνα με τους τύπους : και αλλά και 00 έχω : 0, άρα 0,00 0, 0, 0 0, 7 άρα 0, ,7 0, 0, 88 άρα 0, ,88 0, 08 0, 96 άρα 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Αριθμό. βιβλίων 0,96 0, 0, 00 άρα, Έτσι συμπληρώνεται ο παρακάτω πίνακας : Συχνότητα Σχετ.συχν. Σχετ.συχν. Αθρ.συχν. Αθρ.σχετ. συχν. Αθρ.σχετ. συχν , 90 0, 60 0, , , 76 0, , , ,0 00,00 00 Σύνολο 00, Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν το πολύ βιβλία (δηλ. 0 ή ή ) είναι : 76. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε το πολύ βιβλίο (δηλ. 0 ή ) είναι : 7. Το πλήθος των μαθητών που διάβασαν τουλάχιστον βιβλία (δηλ. ή ή ) είναι : Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον βιβλία (δηλ. ή ) είναι : 8. Το ποσοστό των μαθητών που διάβασε τουλάχιστον αλλά το πολύ βιβλία (δηλ. ή ή ) είναι : 0 8. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πινάκα : 0, 8 8 Σύνολο 00 Πανελλήνιες 000 Λύση : Ισχύουν τα εξής : 0, 0, 0, , , , , 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο , , , , , , , Σύνολο 0 00 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : Συν. 0 0,0 Συν Αθρ. N ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες : - 0, , Συν. N 8 0, 0 0,7 90 Σύνολο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ) Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα αποτελείτε από ορθογώνιες στήλες των οποίων οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα ( οριζόντιο ραβδόγραμμα) ή στον κατακόρυφο άξονα (κατακόρυφο ραβδόγραμμα). Σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη που έχει ύψος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα. Κυκλικό Διάγραμμα Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς όπου σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχεί ένας κυκλικός τομέας με γωνία 0 0 M =,,...,κ Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών μεταβλητών, όταν οι οι διάφορες τιμές τους είναι σχετικά λίγες. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. Ρωτήσαμε ένα δείγμα 0 μαθητών της Θεσσαλονίκης ως προς την ομάδα που υποστηρίζουν. Η απαντήσεις που πήραμε ήταν οι εξής : ΠΑΟΚ, 7 ΑΡΗΣ, ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ, ΑΕΚ, ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ και κάποιοι από αυτούς ΗΡΑΚΛΗΣ. Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων, ραβδόγραμμα σχετικών επί τοις εκατό συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα για τα παραπάνω δεδομένα. Λύση : Τα δεδομένα προέρχονται από την άσκηση (βλέπε παραπάνω) οπότε έχω τον παρακάτω πινάκα. Ομάδα Συχνότητα Σχετ. συχνότητα Σχετ. συχνοτ. ΠΑΟΚ 0, ΑΡΗΣ 7 0, ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 0,06 6 ΑΕΚ 0,0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ 0,0 ΗΡΑΚΛΗΣ 0,0 0 Σύνολο 0,00 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ , 60 8, , 60, 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ,06 60, ,0 60, ,0 60 7, , ΗΡΑΚΛΗΣ 0 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ΑΕΚ ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ 6 ΠΑΟΚ ΠΑΟΚ ΑΡΗΣ ΠΑΝΑΘΗΝΑΙΚΟΣ ΑΕΚ ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΡΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Σ ένα τμήμα μαθητών της γ λυκείου δόθηκε ένα τεστ μαθηματικών από όπου προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα :, 7, 9, 6,, 9,,, 6,, 9, 7, 0, 0, 6, 9,, 9,, 9, 9,, 7, 6, 0 α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων β) Α. Πόσοι μαθητές είχαν βαθμό τουλάχιστον Β. Μεγαλύτερο από Γ. Τι ποσοστό μαθητών είναι κάτω από τη βάση (0) Δ. Τι ποσοστό είναι πάνω από 6 Ε. Μεταξύ και 9 γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. 8. Τα αποτελέσματα των εκλογών, σε ένα εκλογικό τμήμα, δίνονται από το επόμενο (ελλιπή) πινάκα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Κόμμα Συχνότητα Σχετική συχνότητα Α 0, Β 0 0,0 Γ 0, Δ Σύνολο. Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό. Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα. Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 00 ) 9. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το μορφωτικό επίπεδο των 00 εργαζομένων μιας επιχείρησης σε τέσσερις κατηγορίες : Α κατηγορία : Απόφοιτοι Γυμνάσιου Β κατηγορία : Απόφοιτοι Λυκείου Γ κατηγορία : Πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης Δ κατηγορία : Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου Κάθε εργαζόμενος ανήκει σε μια μόνο από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α κατηγορία ανήκει το των εργαζομένων της επιχείρησης. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στους εργαζομένους της Δ κατηγορίας είναι 8. Οι εργαζόμενοι της επιχείρησης της Β κατηγορίας είναι εξαπλάσιοι των εργαζομένων της Γ κατηγορίας.. Να υπολογίσετε τον αριθμό των εργαζομένων κάθε κατηγορίας.. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων. (Πανελλήνιες 000 ) 0. Οι βαθμοί 0 φοιτητών, στην εξέταση ενός μαθήματος, που πέρασαν το μάθημα ήταν : α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. β) Πόσες βαθμολογίες ήταν άριστες ; (άριστα θεωρείται βαθμός τουλάχιστον 8 ) γ) Ποιό ποσοστό των φοιτητών έγραψε το πολύ 7 ; δ) Πόσοι φοιτητές πήραν βαθμό μεγαλύτερο από 6 αλλά μικρότερο του 8 ; ε) Να κατασκευαστεί το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.. Ο αριθμός των μαθητών που υπάρχουν σε καθένα από τα 0 τμήματα ενός δημοτικού σχολείου είναι : α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. β) Πόσα τμήματα έχουν το πολύ μαθητές ; γ) Ποιό είναι το ποσοστό των τμημάτων που έχουν τουλάχιστον και το πολύ 6 μαθητές ; δ) Πόσα τμήματα έχουν τουλάχιστον μαθητές ; ε) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Εξετάσαμε 60 άτομα ώς πρός τον αριθμό πιστωτικών καρτών που έχουν στην κατοχή τους και τα αποτελέσματα φαίνονται στον διπλανό πίνακα. α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. β) Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα. Αριθμός Αριθμός πιστωτικών ατόμων καρτών 0 6 Σύνολο 60. Οι απουσίες των μαθητών ενός μικρού επαρχιακού σχολείου το μήνα Δεκέμβριο ήταν : α) Να κατασκευάσετε πίνακα,,, N,, β) Να κατασκευαστεί το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. γ) Πόσοι μαθητές είχαν το πολύ απουσίες ; δ) Ποιό ποσοστό των μαθητών δεν απουσίασε καθόλου ; ε) Πόσοι μαθητές είχαν τουλάχιστον απουσίες ; στ) Πόσοι μαθητές είχαν το πολύ 6 αλλά τουλάχιστον απουσίες ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Ρωτήσαμε 00 άτομα πόσες εφημερίδες αγοράζουν την εβδομάδα και τα αποτελέσματα φαίνονται στον διπλανό πίνακα. α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών Αριθμός εφημερίδων Αριθμός ατόμων συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών 0 αθροιστικών συχνοτήτων. β) Με τη βοήθεια του πίνακα να βρείτε : ) Πόσα άτομα αγοράζουν το πολύ εφημερίδες ) Το ποσοστό των ατόμων που αγοράζουν το πολύ εφημερίδες. ) Πόσα άτομα αγοράζουν τουλάχιστον εφημερίδες ) Το ποσοστό των ατόμων που αγοράζουν τουλάχιστον αλλά το πολύ 6 εφημερίδες γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων Σύνολο 00. Ο αριθμός των παιδιών κάποιων οικογενειών φαίνεται στο παρακάτω ραβδόγραμμα : α) Να βρείτε τις συχνότητες και το συνολικό αριθμό των οικογενειών. β) Να βρείτε τις αθροιστικές συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες και να κατασκευάσετε τον πίνακα. γ) Αν μια οικογένεια θεωρείται πολύτεκνη όταν έχει τουλάχιστον παιδιά να βρείτε πόσες από τις οικογένειες του δείγματος είναι πολύτεκνες. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

15 Σχετική συχνότητα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μεταβλητή X 6. Στο παραπάνω ραβδόγραμμα αποικονίζονται οι σχετικές συχνότητες των επιβατών είκοσι αυτοκινήτων που πέρασαν τα διόδια σε μια ώρα. α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων. γ) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων. δ) Ποιό ποσοστό των αυτοκινήτων είχε τουλάχιστον επιβάτες ; 7. Ρίξαμε ένα ζάρι 0 φορές και κατασκευάσαμε τον διπλανό πίνακα. α) Να συμπληρωθούν τα κενά του πίνακα. β) Να γίνει το ραβδόγραμμα συχνοτήτων. 8. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : N Σύνολο α)ποιό ποσοστό των απαντήσεων είναι τουλάχιστον ; β)πόσες παρατηρήσεις είναι το πολύ ; N Σύνολο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 9. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : N 8 8 Σύνολο 0 0. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : N 8 0, 0 0,7 90 Σύνολο. Στον διπλανό πίνακα φαίνεται ο χαρακτη-ρισμός που πήραν στο πτυχείο 0 φοιτητές που αποφοίτησαν φέτος από μια σχολή. α) Να κατασκευάσετε πίνακα σχετικών συχνο-τήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να βρείτε το ποσοστό των φοιτητών που ο χαρακτηρισμός στο πτυχείο τους ήταν Άριστα ή Λίαν Καλώς. γ) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων και κυκλικό διάγραμμα για τα παραπάνω δεδομένα.. Βαθμοί Συχνότητα Αθροιστική Σχετική συχνότητα Σχετική Συχνότητα Χαρακτηρισμός Αριθμός φοιτητών Άριστα Λίαν Καλώς 0 Καλώς 60 Σχεδόν Καλώς Σύνολο 0 συχνότητα ν Ν Άθροισμα α) Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα που έχει τους βαθμούς ενός τμήματος φοιτητών. β) Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθμό:. το πολύ 7. τουλάχιστον 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των τιμών μιας συνεχής μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο, τότε τα δεδομένα ταξινομούνται (ομαδοποιόυνται) σε μικρό πλήθος ομάδων, οι οποίες ονομάζονται κλάσεις, έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μια κλάση. Κεντρο K μιας κλάσης λέγεται το μέσον κάθε διαστήματος. Για το κεντρο K μιας κλάσης [α, β) ισχύει ότι : K = Όταν θέλουμε να κάνουμε τη γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα, τότε χρησιμοποιούμε το λεγόμενο ιστόγραμμα. Στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς), καθένα από τα οποία έχει βάση το πλάτος της κάθε κλάσης και ύψος ίσο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνοτήτα αυτής. Το πολύγωνο που έχει κορυφές τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων του ιστογράμματος συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων και τα μέσα δυο υποθετικών κλάσεων στην αρχή και στο τέλος με συχνότητα μηδέν, λέγεται πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Το πολύγωνο που έχει κορυφές τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων και το αριστερό άκρο της κάτω βάσης του ορθογωνίου στην αρχή του ιστογράμματος αθροιστικών συχνοτήτων, λέγεται πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. Στον πίνακα όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα (κλάσεις) στην πρώτη στήλη αντί για τη μεταβλητή έχουμε τα διαστήματα [α, β), δηλαδή τις κλάσεις. Τότε προσθέτουμε άλλη μια στήλη στον πίνακα με το κέντρο υπόλοιπο πίνακα όπου είχαμε βάζουμε τις τιμές των K της κάθε κλάσης. Σε αυτή την περίπτωση και στον K. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Στον παρακάτω πίνακα Δίνεται η ημερήσια δαπάνη 00 μαθητών σε ευρώ: δαπάνη σε ευρώ Μαθητές [,0) 0 [0,) 0 [,0) [0,) 0 [,0) 0 [0,) Σύνολο 00. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων με τις στήλες των,,. Ποιο ποσοστό μαθητών ξοδεύει τουλάχιστον 0 ευρώ την ημέρα;.. N,,. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Οι μέρες καλοκαιρινών διακοπών μιας ομάδας ατόμων δίνεται στο παρακάτω πίνακα. Ημέρες Άτομα [7,) [,) 0 [,9) 8 [9,) [,7 6. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις συχνότητες, N,,.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.. Να κατασκευάσετε το Ιστόγραμμα των αθροιστικών επί τοις εκατό συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο.. Να βρείτε : a. Το πλήθος των ατόμων που έκαναν διακοπές κάτω από Ημέρες. b. Το ποσοστό των ατόμων που έκαναν διακοπές τουλάχιστον 9 Ημέρες. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Με τον όρο μέτρα θέσης εννοούμε τα μέτρα τα οποία δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή τη θέση γύρω από την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανομής. Τα κυριότερα μέτρα θέσης με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι η επικρατούσα τιμή, η μέση τιμή ή αριθμητικός μέσος και η διάμεσος. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ Επικρατούσα τιμή 0 μιας μεταβλητής ονομάζεται η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Αν δυο ή περισσότερες τιμές έχουν τη μέγιστη συχνότητα τότε υπάρχουν περισσότερες από μια επικρατούσες τιμές. Αν έχουμε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις, η επικρατούσα τιμή προκύπτει από το ιστόγραμμα συχνοτήτων. Στο ορθογώνιο με το μεγαλύτερο ύψος, ενώνουμε το σημείο Α με το Γ και το Β με το Δ. Από το σημείο τομής της ΑΓ με την ΒΔ, φέρνουμε κάθετη στον οριζόντιο άξονα. Στο σημείο που τέμνει η κάθετη αυτή τον οριζόντιο άξονα, είναι η επικρατούσα τιμή, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Η μέση τιμή (μέσος Όρος) είναι ίσως το πιο χρήσιμο μέτρο θέσης και εκφράζει το άθροισμα των παρατηρήσεων δια του πλήθους των παρατηρήσεων Όταν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους δηλ. της μορφής t, t,..., t, τότε για την εύρεση μέσης τιμής χρησιμοποιούμε τον τύπο : _ t t... t Όταν οι παρατηρήσεις,,... έχουν συχνότητα,,... αντίστοιχα, τότε θα χρησιμοποιούμε τον τύπο : _... Καλό θα είναι, αν πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο, να συμπληρώσουμε στον πίνακα συχνοτήτων τη στήλη. Όταν γνωρίζουμε τη σχετική συχνότητα της παρατήρησης, τότε αξιοποιούμε τον τύπο : _... Στην περίπτωση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων, ως παρατήρηση παραπάνω τύπους θα παίρνουμε την κεντρική τιμή της -κλάσης. στους ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Οι βαθμοί ενός μαθητή της γ λυκείου στα 6 μαθήματα που έδωσε εξετάσεις είναι :, 6,, 6, 8,.. Να βρείτε τη μέση βαθμολογία του μαθητή.. Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο 7 ο μάθημα (ΑΟΘ) ώστε ο μέσος όρος του να γίνει,; Λύση :. _ t t... t Έστω t 7 ο βαθμός που πρέπει να γράψει στο 7 ο μάθημα (ΑΟΘ), τότε για την καινούρια μέση τιμή ισχύει : _ t t... t6 t7 90 t7,,, 90 t7 08, t7 8, 7 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανομή συχνοτήτων των οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Αριθμός Αριθμός παιδιών οικογενειών Σύνολο 0 Να βρείτε τη μέση τιμή των παιδιών που έχει κάθε οικογένεια. Λύση : _... Η μέση τιμή του πλήθους των παιδιών δίνεται από τον τύπο : Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων θα προσθέσω μια στήλη με τα γινόμενα Άρα : Αριθμός παιδιών Αριθμός οικογενειών Σύνολο ν=0 88 _... 88,76 παιδιά. 0 :. Εξετάσαμε ένα δείγμα οικογενειών ως προς τον αριθμό των υπολογιστών (laptop ή pc) που υπάρχουν στο σπίτι. Οι αθροιστικές συχνότητες που πρόεκυψαν φαίνονται στον παρακάτω πινάκα. Να βρείτε τη μέση τιμή των υπολογιστών που υπάρχουν σε κάθε σπίτι. Αριθμός υπολογιστών Σύνολο Λύση : Από τα δεδομένα του πινάκα καταλαβαίνουμε ότι πρέπει να βρούμε τις σχετικές συχνότητες, και μετά για να βρούμε τη μέση τιμή να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο : _.... Από τις σχέσεις : 00, και συμπληρώνουμε τον πινάκα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Αριθμός υπολογιστών 0 0,0 0,0 0 0, 0,0 0 0, 0,0 0, , 0,9 9 0, 0,0, ,0 Σύνολο,9 _ Άρα..., 9 υπολογιστές.. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των επισκέψεων 0 μαθητών σε διάφορα μουσεία της χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Κλάσεις Συχν. [, ) [0-) 8 [-) [-6) 0 [6-8) 6 [8-0) Να βρείτε τη μέση τιμή. Λύση : Στον πινάκα κατανομής συχνοτήτων που δίνεται θα συμπληρώσουμε δυο επιπλέον στήλες, μια με τις κεντρικές τιμές και μια στήλη με τα γινόμενα. Έτσι έχω : Άρα : _ Κλάσεις [, ) Κεντρικές τιμές Συχν. [0-) 8 8 [-) 6 [-6) 0 0 [6-8) 7 6 [8-0) 9 6 Σύνολο ν= , μουσεία. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχτεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως : η μεσαία παρατήρηση αν ν είναι περιττός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δυο μεσαίων παρατηρήσεων, όταν το ν είναι άρτιος αριθμός. Πιο συγκεκριμένα έστω t, t,..., t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ, οι οποίες είναι σε αύξουσα σειρά. Αν το πλήθος ν είναι περιττός, τότε : t (π.χ.,,,8, t t t ) Αν το πλήθος ν είναι άρτιος, τότε : t 6 t 6 t t 8 6, ) t t (π.χ.,,,8,, Παρατήρηση : Αν ν περιττός, τότε η διάμεσος δ είναι μια από τις παρατηρήσεις, ενώ αν ν άρτιος η διάμεσος δ μπορεί να μην είναι μια από τις παρατηρήσεις. Διάμεσος από σχετικές συχνότητες : Από τον ορισμό της διαμέσου προκύπτει ότι η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 0 των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 0 είναι μεγαλύτερες από αυτήν. Έτσι όταν γνωρίζουμε τις σχετικές συχνότητες, για να βρούμε τη διάμεσο, υπολογίζουμε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες επί τις εκατό και αν για κάποια τιμή ισχύει 0 τότε. Αν για καμία τιμή δεν ισχύει 0, τότε ως διάμεσο παίρνουμε την τιμή για την οποία η ξεπερνά για πρώτη φορά το 0. Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα Για να βρούμε τη διάμεσο σε ομαδοποιημένα δεδομένα, κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα-μα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τις εκατό. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Επτά μπασκετμπολίστες έχουν ύψη σε cm : 0, 8, 9, 0, 0, 98,. Να βρείτε το διάμεσο των υψών τους. Λύση : Πρώτα θα βάλουμε σε αύξουσα σειρά της παρατηρήσεις : 8, 9, 98, 0, 0, 0, Ισχύει ν=7 (περιττός) άρα t t t 0cm 7 6. Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων : 7,, 8,,,, 6, 6. Λύση : Πρώτα θα βάλουμε σε αύξουσα σειρά της παρατηρήσεις :,, 6, 7, 8,,, 6 t t t 8 t 8 t t 7 8 Ισχύει ν=8 (άρτιος) άρα 7, 7. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα. Λύση : Συμπληρώνουμε τον πινάκα : t t t t Ισχύει : ν= άρα,...,,,...,,,,...,,,...,,,...,,6,7 t t t6 6 t t Άρα : Σύνολο Σύνολο ν= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 8. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα. Λύση : Συμπληρώνουμε τον πινάκα : Ισχύει : ν=09 άρα t 09 t,...,,,...,,,,...,,,...,,,...,,6,7 t t t 0 Άρα : t Σύνολο Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα Σύνολο ν=09 0,0 0,8 0,0 7 0,7 8 0, 9 0, Σύνολο,00 Λύση : Επειδή δεν γνωρίζουμε το μέγεθος ν του δείγματος αλλά τις σχετικές συχνότητες, θα κατασκευάσουμε πινάκα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και θα βρούμε σε ποια τιμή αντιστοιχεί το 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 0, , ,0 7 0, , 8 9 0, 00 Σύνολο,00 00 Παρατηρούμε ότι για την τιμή 7 η αθροιστική σχετική συχνότητα ξεπερνά για πρώτη φορά το 0, άρα είναι 7 0. Να βρείτε τη διάμεσο των δεδομένων που βρίσκονται στον παρακάτω πινάκα Λύση : Επειδή δεν γνωρίζουμε το μέγεθος ν του δείγματος αλλά τις σχετικές συχνότητες, θα κατασκευάσουμε πινάκα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και θα βρούμε σε ποια τιμή αντιστοιχεί το Σύνολο 00 Παρατηρούμε ότι 0, άρα. Στο διπλανό πινάκα δίνονται τα ποσά σε που ξόδεψαν 00 μαθητές ενός λυκείου, στο κυλικείο του σχολείου τους σε μια εβδομάδα. Να βρεθεί η διάμεσος. Λύση : Ποσά σε [, ) Συχν. [0-) 0 [-) 0 [-6) 60 [6-8) 0 [8-0) 0 [0-) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Χρησιμοποιούμε τη σχέση, ώστε να βρούμε τις σχετικές συχνότητες και στη συνέχεια τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες και και έπειτα συμπληρώνουμε τον πινάκα : Ποσά σε [, ) Κεντρικές τιμές... [0-) 0 0,0 0,0 [-) 0 0, 0,0 0 [-6) 60 0,0 0,60 60 [6-8) 7 0 0,0 0,80 80 [8-0) 9 0 0, 0,9 9 [0-) 9 0 0,0 00 Σύνολο 00 Έπειτα κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το αντίστοιχο πολύγωνο. Από το παραπάνω σχήμα προσεγγιστικα προκυπτει ότι, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Η εξέταση ενός δείγματος 0 υπαλλήλων μιας επιχείρησης ως πρός τον αριθμό των ημερών που απουσίασαν κατά τον μήνα Δεκέμβριο έδωσε τις παρατηρήσεις : 0,,,, 0, 0,,, 0,,, 0,,, 0, 0, 0, 0, 0 α) Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β) Να υπολογίσετε την επικρατούσα τιμή. γ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. δ) Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων.. Οι επιδόσεις 0 υποψηφίων για την είσοδό τους σε μια σχολή είναι : 6, 7, 8, 9,,,, 7,, 9,,,, 8, 6,, 6,, 0,,, 9, 0, 9, 7, 8, 6,,,,,, 6,,, 8, 8, 7, 7, 6,,, 9,, 7, 7, 6, 8,,, α) Να κατασκευάσετε πίνακα,,, N,, β) Πόσοι μαθητές έγραψαν. το πολύ. κάτω από. τουλάχιστον γ) Να υπολογιστούν οι παράμετροι θέσης, δ) Η σχολή αποφάσισε να πάρει το 6 των υποψηφίων, με την καλύτερη βαθμολογία. Τι βαθμό πρέπει να έχει γράψει κάποιος για να εγγραφεί;. Κάποιοι μαθητές ρωτήθηκαν πόσα λογοτεχνικά βιβλία διάβασε ο καθένας κατά τη διάρκεια των διακοπών και οι απαντήσεις τους ήταν : μαθητές δε διάβασαν κανένα βιβλίο μαθητές διάβασαν βιβλίο μαθητές διάβασαν βιβλία μαθητές διάβασαν βιβλία α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη μέση τιμή γ) Να υπολογίσετε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο.. Ρωτήσαμε καταστήματα πόσους υπαλλήλους απασχολούν και πήραμε τις εξής απαντήσεις : 9 από αυτά τα καταστήματα απασχολούν υπάλληλο, 8 καταστήματα απασχολούν, 7 καταστήματα απασχολούν υπαλλήλους και κατάστημα απασχολεί υπαλλήλους. α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων για το πλήθος των υπαλλήλων. β) Ποιά είναι η επικρατούσα τιμή και ποιά η διάμεσος ; γ) Πόσσους υπαλλήλους απασχολούν συνολικά τα καταστήματα ; δ) Υπολογίστε τη μέση τιμή. ε) Πώς θα γίνει η μέση τιμή αν ανοίξουν νέα καταστήματα με υπαλλήλους το καθένα ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 6. Ένα δισκοπωλείο πούλησε κατά την διάρκεια των γιορτών CD τεσσάρων ειδών αξίας, 0, 0 και 0 το καθένα. Οι πωλήσεις από κάθε είδος δίνονται στον παρακάτω ( ημιτελή ) πίνακα. Αξία Κομμάτια Αθροιστική Σχετική Συχνότητα συχνότητα ν Ν Άθροισμα //////////////// /////////////// α) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Πόσα ευρώ εισέπραξε συνολικά το δισκοπολείο ; γ) Υπολογίστε τη μέση τιμή είσπραξης ανά CD. δ) Ποιά είναι η διάμεσος και ποιά η επικρατούσα τιμή ; 7. Για τον έλεγχο της κατανάλωσης καυσίμου (ίδιου τύπου) δυο αυτοκινήτων Α και Β μετρήθηκε η κατανάλωσή τους σε έξι διαδρομές για το Α και σε πέντε για το Β. Η κατανάλωση (σε λίτρα ανά 00 χιλιόμετρα) ήταν : Για το Α : 9, 6, 7, 9, 9, 8 Για το Β : 0, 8, 7, 8, α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο που αφορούν το αυτοκίνητο Α. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο που αφορούν το αυτοκίνητο Β. γ) Αν ένας πωλητής ήθελε να χρησιμοποιήσει τα παραπάνω δεδομένα για να πείσει έναν υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Α και όχι το Β ποιό μέτρο θέσης ( μέση τιμή ή διάμεσο ) θα χρησιμοποιούσε ; 8. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : N , 0 00 Σύνολο Να βρεθούν η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος. 9. Εξετάσαμε ένα δείγμα 0 κατοίκων μιας πόλης ως πρός τον αριθμό των πιστωτικών τους καρτών. Ορισμένα από τα αποτελέσματα φαίνονται στον διπλανό πίνακα. α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος γ) Να βρείτε τη μέση τιμή. Αριθμός Καρτών Αιθμός κατοίκων 0 8 0, 9 0,9 Άθροισμα 0 /////////// ////////// N ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 0. Μια εταιρία απασχολεί υπαλλήλους εκ των οποίων οι 8 εργάζονται στο τμήμα Α και οι 7 στο τμήμα Β. Οι εβδομαδιαίοι μισθοί ( σε ευρώ ) των 8 εργαζομένων στο τμήμα Α είναι : 00,, 0, 0,, 0, 0, ενώ των 7 εργαζομένων στο τμήμα Β είναι : 0, 0, 90, 0, 70, 0, 0 α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών των εργαζομένων στο τμήμα Α της εταιρίας. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών των εργαζομένων στο τμήμα Β της εταιρίας. γ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών όλων των εργαζομένων στην εταιρία. ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Τα μέτρα διασποράς μιας κατανομής εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης. Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι : το εύρος R, η διακύμανση s, η τυπική απόκλιση s και ο συντελεστής μεταβολής CV. Για να κατανοήσουμε τη χρησιμότητα των μέτρων θέσης θα δώσουμε ένα παράδειγμα : Δυο μαθητές έχουν τους ακολούθους βαθμούς σε 6 μαθήματα Μαθητής Α : 0,0,0,0,0,0 Μαθητής Β :,6,,6,,6 Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι και οι δυο έχουν μ.ο.. Δηλαδή τα μέτρα θέσης δεν μου δίνουν κάποια πληροφορία για την ομοιομορφία των βαθμών κάθε μαθητή. Τα μέτρα διασποράς θα μας βοηθήσουν να εντοπίσουμε αυτή την ανομοιομορφία που έχουν οι βαθμοί του μαθητή Α, αλλά και την ομοιομορφία που έχουν οι βαθμοί του μαθητή Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΟΣ R Το πιο απλό μέτρο διασποράς είναι το εύρος R που ορίζεται ως η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση. Δηλαδή : Εύρος R=Μεγαλύτερη παρατήρηση Μικρότερη παρατήρηση π.χ. Για το παράδειγμα με τους μαθητές Α και Β ισχύει : R 0 0 0, 6 R Σε ομαδοποιημένα δεδομένα ως εύρος R θεωρούμε τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης. Το εύρος είναι αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να βρείτε το εύρος σε κάθε ένα από τα παρακάτω δείγματα : Β Α :, -, 6, 8, -, Λύση : R ( ) 7 R 9 R Γ Κλάσεις [7,) 0 [,7) 8 [7,) 7 [,7) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α : ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ s Αν μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές t, t,..., t που έχουν μέση τιμή τότε διακύμανση της μεταβλητής ονομάζεται το πηλίκο : Αν μια μεταβλητή παίρνει τιμές s t t... t,...,, k με αντίστοιχες συχνότητες,,..., k έχουν μέση τιμή τότε διακύμανση της μεταβλητής ονομάζεται το πηλίκο :... k s k που ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να βρείτε τη διακύμανση στο δείγμα Α :, 9,,, Λύση : 9 60 ( ) ( 9) ( ) ( ) ( ) s Να βρεθεί η διακύμανση στο δείγμα του παρακάτω πίνακα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Λύση : 6 Σύνολο ν=0 0 0 Έχω : 0 0 Θα συμπληρώσω τον παραπάνω πίνακα με τις κατάλληλες στήλες ώστε να υπολογίσω τον παραπάνω τύπο, έτσι έχω : 0 Άρα τελικά : s 8, 8 0 ( ) ( ) Σύνολο ν=0 0 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Η τυπική απόκλιση συμβολίζεται με s και είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Δηλαδή : s s Αν μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές t, t,..., t που έχουν μέση τιμή τότε τυπική t t... t απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το : Αν μια μεταβλητή παίρνει τιμές,..., s, k με αντίστοιχες συχνότητες,,..., k έχουν μέση τιμή τότε τυπική απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το : s... k k που Η τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο διασποράς το οποίο, σε αντίθεση με τη διακύμανση, εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης που εκφράζονται και οι παρατηρήσεις. Αν ένα δείγμα εξεταζόμενο ως πρός μια ποσοτική μεταβλητή του παρουσιάζει μέση τιμή και τυπική απόκλιση s, συντελεστή μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας ονομάζεται το πηλίκο CV ή ό έ ή s 00 Ο συντελεστής μεταβλητότητας ουσιαστικά μετράει την ομοιογένεια του πληθυσμού. Εάν η τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας είναι κάτω του 0 ο πληθυσμός του δείγματος θεωρείται ομοιογενής, δηλαδή : CV 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Δίνεται το δείγμα Α :, 9,,,. Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής του δείγματος Α. Στη συνέχεια να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Λύση : 9 60 ( ) ( 9) ( ) ( ) ( ) s t άρα : s s 6 6 s 6 CV 0, 0. Ισχύει ότι CV 0, άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Οι εισπράξεις (σε χιλιάδες ευρώ) ενός δείγματος δέκα υποκαταστημάτων μιας εμπορικής επιχείρησης κατά τον μήνα Απρίλιο του 008 ήταν : 0,,, 0, 0,, 0, 0, 0 α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των εισπράξεων. β) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον επόμενο πίνακα και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία του. Εισπράξεις Σύνολο ////////////////// ////////////////// γ) Να υπολογίσετε το εύρος. δ) Να υπολογίσετε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση των εισπράξεων. ε) Είναι το δείγμα ομοιογενές ; ( Θεωρείστε ότι 6 ) 6. Οι ηλικίες δευτεροετών φοιτητών ενός Τ.Ε.Ι. είναι :,,, 9, 8, 0, 9,, 9, 8, 9, 8, 9,,,, 9,, 0,,,,, 0, 0, α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνπτήτων. β) Να υπολογιστούν οι παράμετροι θέσεις. γ) Να υπολογιστούν οι παράμετροι διασποράς. δ) Να υπολογιστεί ο συντελεστής μεταβλητότητας. Είναι ομοιογενής ο πληθυσμός ; ( Θεωρείστε ότι,, ) 7. Δίνετε ο παρακάτω πίνακας : 0 Σύνολο ν = 0 α) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον πίνακα και να συμπληρώσετε όλα τα στοιχεία του. β) Να υπολογίσετε την επικρατούσα τιμή, τη μέση τιμή και τη διάμεσο. γ) Να δείξετε ότι η διακύμανση είναι s 0, 9 δ) Είναι ο πληθυσμός του πίνακα ομοιογενής ; N ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 8. Δίνονται τα παρακάτω δείγματα τιμών : Α :,,,, 7, Β :, 9,,,, Γ : 6, 8, 9, 0,, α) Υπολογίστε για το κάθε δείγμα τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. β) Οι αριθμοί του δείγματος Α πολλαπλασιασμένοι επί δίνουν εκείνους του δείγματος Β. Τι σχέση παρατηρείτε ότι έχουν οι μέσες τιμές και οι τυπικές αποκλίσεις τους ; γ) Αν στους αριθμούς του δείγματος Α προσθέσουμε το έχουμε τους αριθμούς του δείγματος Γ. Συγκρίνετε τις μέσες τιμές και τις τυπικές αποκλίσεις τους. 9. Οι ηλικίες 6 παιδιών είναι :,, 8, α, α +, με R και έχουν μέση τιμή 8 έτη. α) Να αποδείξετε ότι α = 9. β) Να αποδείξετε ότι το δείγμα των ηλικιών δεν έιναι ομοιογενές. 0. Οι βαθμοί των μαθητών μιας τάξης σε ένα μάθημα είναι :,, 9,,, 6, 7, 7, 9, 8, 7, Για τα δεδομένα αυτά : α) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη μέση τιμή. γ) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. δ) Να βρείτε τη διάμεσο. ε) Να βρείτε τη διακύμανση.. Δίνονται τα παρακάτω δεδομένα :, 6, 7,,,, 8,,, 0, 6,, 9,,, 7,, 8, 7, 7,,, 9, 9, 7,, 0,,, 0, 8, 6,,,, 9,, 9,, 8, α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 6 ίσες κλάσεις. β) Να βρείτε τη μέση τιμή. γ) Να υπολογίσετε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. (θεωρείστε ότι 7,6 7, 6) δ) Να βρείτε το συντελεστή μεταβλητότητας. Είναι ο πληθυσμός ομοιογενής ; ε) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. στ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. ζ) Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων στα προηγούμενα ερωτήματα να βρείτε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο.. Οι χρόνοι σε sec που χρειάστηκαν 0 μαθητές για να τρέξουν 00m είναι οι εξής :,,8 8,6 7, 9,, 7,8,9, 0 6, 9,6 6,, 60,, 6 6 9,,6 60, 6, 8,, 8,,6 6, 7,, 7,, α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 6 κλάσεις ίσου πλάτους. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο β) Να κατασκευάστε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων. δ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. ε) Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων στα προηγούμενα ερωτήματα να βρείτε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο.. Δίνεται το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων : α) Με βάση τα στοιχεία του ιστογραμματος συχνοτήτων να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β) Ποιό ποσοστό των μεταβλητών είναι τουλάχιστον, και πόσες μεταβλητές είναι κάτω από ;. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 0 παιδιά των οποίων οι ηλικίες (σε έτη) φαίνονται στο διπλανό πίνακα : α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Να βρείτε τη μέση τιμή των ηλικιών. γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο. δ) Να βρείτε τη διάμεσο. ε) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή Κλάσεις Κεντρική τιμή Κ ν [ 8 0 ) [ 0 ) 6 [ ) 6 [ 6) Άθροισμα ///////////////////// 0 /////. Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζεται η πίεση όπως μετρήθηκε σε 00 ασθενείς ενός νοσοκομείου : Πίεση σε mmhg [80 00) [00 0) [0 0) [0 60) [60 80) [80 00] Αριθμός ασθενών α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων. β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή. γ) Να βρείτε το ποσοστό των ασθενών που έχουν υπέρταση, αν γνωρίζουμε ότι για να έχει κάποιος υπέρταση πρέπει να έχει πίεση τουλάχιστον 0 mmhg. 6. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας που παρουσιάζει τις ηλικίες των ποδοσφαιριστών μιας ομάδας : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Κλάσεις Κεντρική τιμή Κ ν [ 6 0 ) [ 0 ) [ 8 ) [ 8 ) 7 [ 6 ] Άθροισμα //////////////////////// α) Να γράψετε τον πίνακα στο τετράδιο σας και να τον συμπληρώσετε. β) Να υπολογίσετε τη μέση ηλικία των ποδοσφαιριστών. γ) Να βρείτε το εύρος των ηλικιών. δ) Να βρείτε το συντελεστή μεταβλητότητας. Είναι ομοιογενής ο πληθυσμός ; ( Θεωρείστε ότι 0,8, ) 7. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ : Κλάσεις Κεντρική τιμή Κ ν [ ) 0 [ 9 ) 0 [ 9 ) 8 [ 7) 9 [7 ] Άθροισμα //////////////////////// ////////////// α) Να γράψετε τον πίνακα στο τετράδιο σας και να τον συμπληρώσετε. β) Να βρεθεί η μέση τιμή. 8. Οι βαθμοί 0 φοιτητών ενός Τ.Ε.Ι. στο μάθημα της στατιστικής ήταν :,,,, 7, 0,, 9, 8, 7, 6,, 9,,, 8, 7, 7, 0,, 6, 6, 6, 7, 9,,,,,, 8, 6, 8,,, 0, 9, 7, 7,,, 6, 6, 8,, 7, 9,,,, α) Να κατασκευάστε τον πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. β) Να κατασκευάσετε το κατακόρυφο ραβδόγραμμα συχνοτήτων. γ) Να υπολογιστούν η επικρατούσα τιμή, η μέση τιμή και η διάμεσος ( παράμετροι θέσης ) δ) Να υπολογιστούν το εύρος η διακύμανση και η τυπική απόκλιση ( παράμετροι διασποράς ) ε) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας. Είναι ο πληθυσμός ομοιογενής ; στ) Πόσοι φοιτητές πέρασαν το μάθημα ; (βαθμός τουλάχιστον ) ζ) Ποιό ποσοστό των φοιτητών έγραψε το πολύ 7 ; η) Πόσοι φοιτητές έγραψαν πάνω από 6 και κάτω από 9 ; θ) Πόσοι φοιτητές έγραψαν κάτω από ; ι) Αν η σχολή αποφάσιζε να βραβέψει το 6 των φοιτητών με τη μεγαλύτερη βαθμολογία πόσο έπρεπε να έχει γράψει κάποιος για να βραβευτεί ; ( Θεωρείστε ότι,76, 9 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 9. Το ποσό σε που ξόδεψαν φοιτητές σε μια καθημερινή βόλτα ήταν :, 8,,, 9, 6,, 7, 0,, 7, 8,, 9,, 9, 6,, 8, 6, 0,,,, 0 α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε ίσες κλασεις. β) Να κατασκευάστε τον πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. γ) Να γίνουν το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. δ) Με τη βοήθεια των διαγραμμάτων του προηγούμενου ερωτήματος να υπολογιστούν η επικρατούσα τιμή και η διάμεσος. ε) Να βρεθεί η μέση τιμή. στ) Να υπολογιστούν το εύρος η διακύμανση και η τυπική απόκλιση (παράμετροι διασποράς) ζ) Να βρεθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας. Είναι ο πληθυσμός ομοιογενής ; η) Ποιό ποσοστό των φοιτητών ξόδεψε τουλάχιστον ; θ) Πόσοι φοιτητές ξόδεψαν το πολύ ; ι) Πόσοι φοιτητές ξόδεψαν τουλάχιστον και λιγότερα από ; ( Θεωρείστε ότι 0 ) 0. N Σύνολο //// //// /////// ////////// //////////// ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8 α) Να μεταφέρετε στο τετράδίο σας και να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο. γ) Να υπολογίσετε το εύρος, τη διακύμανση την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβλητότητας. (θεωρείστε ότι,, ). K K N K [-) [-6) 6 [6-7) [7-8) [8-9) [9-7 0] Σύνολο //// //// /////// ////////// //////////// K K

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο α) Να μεταφέρετε στο τετράδίο σας και να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο. γ) Να υπολογίσετε το εύρος, τη διακύμανση την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβλητότητας. (θεωρείστε ότι 68 ). Ένας μαθητής έχει γράψει διαγωνίσματα στα μαθηματικά και ο μέσος όρος των βαθμών του είναι 6. Να βρείτε ποιός πρέπει να είναι ο βαθμός του στο επόμενο διαγώνισμα, ώστε ο μέσος όρος των βαθμών του να γίνει 6,.. Σε μια επιχείρηση εργάζονται 0 υπάλληλοι οι οποίοι έχουν μέσο μηνιαίο μισθό.0 Από τους 0 υπαλλήλους οι 0 έιναι γυναίκες και οι 0 άντρες. Αν ο μέσος μηνιαίος μισθός των γυναικών είναι.000 να βρείτε το μέσο μηνιαίο μισθό των αντρών.. Το μέσο βάρος 8 ατόμων είναι 8 kg. Αν έρθουν άτομα με βάρος 80 kg και 9 kg να βρείτε το μέσο βάρος όλων των ατόμων μαζί.. Το μέσο ύψος 7 ατόμων είναι 7 cm. Αν φύγουν άτομα με ύψος 70 cm και 66 cm να βρείτε το ύψος των ατόμων που έμειναν. 6. Ο μέσος όρος του Ά τετρμήνου σε ένα τμήμα της Γ τάξης στα μαθηματικά ήταν,. Αν 8 από τους μαθητές είχαν μέσο όρο και οι υπόλοιποι, να βρεθέι ο αριθμός των μαθητών του τμήματος. 7. Ο μέσος μηνιαίος μισθός των 0 υπαλλήλων μιας επιχείρησης είναι 0. Πώς θα γίνει αυτός αν : α) απολυθούν υπάλληλοι που ο καθένας έπαιρνε 0. β) προσληφθούν υπάλληλοι με μέσο μηνιαίο μισθό 0. γ) μειωθεί ο μισθός σε υπαλλήλους κατά 60 και ταυτόχρονα αυξηθεί σε άλλους υπαλλήλους κατά Το μέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστών μιας ομάδας είναι 0 cm. α)για να «ψηλώσει» την ομάδα ο προπονητής πήρε ακόμα έναν παίκτη ύψους 6 cm Ποιό είναι το νέο μέσο ύψος της ομάδας ; β) Αν ο προπονητής ήθελε να φτάσει το μέσο ύψος της ομάδας στα 08 cm τι ύψος θα έπρεπε να έχει ο νέος παίκτης ; 9. Σε μια τάξη το μέσο ύψος των 8 αγοριών είναι 70 cm και το μέσο ύψος των κοριτσιών είναι 60 cm. Αν το μέσο ύψος όλης της τάξης είναι 66 cm να βρείτε πόσους μαθητές έχει η τάξη. 0. Μια επιχείρηση απασχολεί 0 υπαλλήλους μέσης ηλικίας 0 ετών. Να βρείτε πως θα μεταβληθεί η μέση τιμή της ηλικίας τους : α) αν πάρει πρόωρη σύνταξη ένας υπάλληλος 9 ετών. β) αν προσληφθούν νέοι υπάλληλοι μέσης ηλικίας 0 ετών.. Στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζεται η σχετική συχνότητα από το πρωινό ρόφημα που προτιμούν οι 00 πελάτες ενός ξενοδοχείου. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 0 Χυμός Τσάι Γάλα Καφές 0 α) Να βρείτε πόσοι πελάτες πίνουν κάθε ρόφημα. β) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, και να υπολογίσετε τις γωνίες του κυκλικού διαγράμματος. γ) Να σχεδιάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων για τα παραπάνω δεδομένα.. Στον διπλανό πίνακα η συχνότητα της μεταβλητής έχει «χαθεί». Να βρεθεί σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις ξεχωριστά. α) Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές. 9 β) Αν γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή είναι,. γ) Αν γνωρίζουμε ότι η διάμεσος είναι δ =,. 7 Σύνολο. Ο διπλανός πίνακας μας δίνει τη σχετική συχνότητα μιας μεταβλητής. Αν γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή της μεταβλητής είναι τότε : α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας β) Να βρεθεί η διάμεσος 0,6 6 0, 8 0 0,6. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές α β, α β, α + β, α + β, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί με β > 0. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της μεταβλητής.. Αν οι παρατηρήσεις : α, α +, α, α +, α έχουν μέση τιμή ίση με, όπου α ένας πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε τις τιμές του α. β) Για καθεμιά απο τις παραπάνω τιμές να βρείτε τη διάμεσο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 6. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται η διάρκεια ζωής σε ώρες λειτουργίας 00 ηλεκτρικών συσκευών. Κλάσεις Κεντρική τιμή Κ ν Ν [ 00, 00 ) 6 [ 00, 600 ) [ 600, 700 ) [ 700, 800 ) 0 [ 800, 900 ) 68 [900, 000 ) [000,00) 8 [00, 00) Άθροισμα ///////////////// ////////// //////////// α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. γ) Να βρείτε τη διάμεσο. δ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται .1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών, στη Στατιστική στο τέλος του β τριµήνου. Πήραµε τις επόµενες βαθµολογίες: 15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17. Να βρείτε: α) Ποιος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Στατιστική Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 7 / 5 / 2 0 1 6 Γενικής κεφάλαιο 2 154 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4 Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Na λυθούν οι εξισώσεις : α) 2 3x 1 x 8 x 1 (απ.: x = -2) β) γ) 2x 7 x 1 (απ.: x = -12) 4 3 4 5 x 2 x 4 2 x (απ.: x = 1) 4 5 δ) x 1

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

4.4 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Α. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 177. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Αν οι παρατηρήσεις είναι πολλές τότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων χωρίζοντας το διάστημα που ανήκουν οι παρατηρήσεις σε υποδιαστήματα.

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων ισούται µε 100. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων ισούται µε 100. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α 4.3 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 161 4.3 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Συχνότητες Σχετικές συχνότητες Για να βρούμε τη σχετική συχνότητα µιας τιµής, διαιρούµε τη συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III):

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III): I Α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ίνονται τρείς οµάδες τιµών Οµάδα (I): 0

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μεταβλητή της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με την κατηγορία που βρίσκεται στη δεξιά στήλη: ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 2. ΜΙΣΘΟΣ 3.ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ Α. ΠΟΙΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Δεδομένα Συχνότητα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Στοχαστικά μαθηματικά διαφέρουν από τα κλασσικά μαθηματικά διότι τα φαινόμενα δεν είναι αιτιοκρατικά,

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΘΕΜΑ 1ο Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x κ είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας)

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ-1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα .. ΕΝΟΤΗΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα 9 3 1 7 5 3 6 5 7 5 7 3 6 1 5 1 3 5 α. Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8.

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσμός : Ονομάζεται το σύνολο του οποίου θέλουμε να εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές : Τα χαρακτηριστικά ως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ (κλάσεις ίσου πλάτους) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 5 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας. 18 11 17 19 1 195 195 13 13 195 2 3 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μεταβλητές 1. Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές; Ποιες είναι ποσοτικές; Ποιες από τις ποσοτικές είναι διακριτές

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Σχετική & Αθροιστική Συχνότητα Πίνακες και Ιστογράµµατα

Κεφάλαιο 3 Σχετική & Αθροιστική Συχνότητα Πίνακες και Ιστογράµµατα Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 3 Σχετική &

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 21 ΜΑΪOY 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας 5 6 7 8 9 10 Υπάλληλοι 9 13 6 9 5 4 Α. Να βρεθεί πόσοι υπάλληλοι

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1. ο παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζει την κατανοµή των οικογενειών ενός χωριού σε σχέση µε τον αριθµό των παιδιών τους. 40 35 Αριθµός οικογενειών 30 25 20 15 10 5 0 0 1

Διαβάστε περισσότερα