ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή"

Transcript

1

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν βιβλίο περιέχει βασικές γνώσεις ανάλυσης και σύνθεσης των επίπεδων μηχανισμών. Μηχανισμοί είναι μηχανολογικές διατάξεις για την καθοδήγηση της κίνησης διαφόρων εξαρτημάτων, την υλοποίηση μηχανικών αυτοματισμών, καθώς και την μετάδοση ισχύος. Οι μηχανισμοί συγκαταλέγονται στα βασικά γνωστικά αντικείμενα της επιστήμης του Μηχανολόγου Μηχανικού και ιδιαίτερα της περιοχής των κατασκευών μηχανημάτων. Γενικά οι μηχανισμοί ταξινομούνται στους επίπεδους και τους χωρικούς. Το παρόν βιβλίο περιέχει βασικές γνώσεις ανάλυσης και σύνθεσης των επιπέδων μηχανισμών. Στα πρώτα του κεφάλαια αναπτύσσονται οι κυριότερες γραφικές, καθώς και αναλυτικές-αριθμητικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό των κινηματικών μεγεθών και φορτίσεων των κινουμένων μελών. Οι γνώσεις αυτές αποτελούν την βάση για την κατανόηση των υπολοίπων κεφαλαίων, που αναφέρονται στις μεθόδους σύνθεσης των κυριοτέρων τύπων των επιπέδων μηχανισμών. Στα παραρτήματα στο τέλος του βιβλίου, παρατίθενται ασκήσεις και θέματα για την εμπέδωση της αναπτυχθείσας ύλης. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα την καθηγήτρια κυρία Σεβαστή Μήτση για την μακροχρόνια συμβολή της στην εξέλιξη του βιβλίου αυτού, στην μορφή της σημερινής έκδοσής του. Επίσης ευχαριστώ θερμά και τον επίκουρο καθηγητή κ. Ιωάννη Τσιάφη, για την συμβολή του στην πρώτη έκδοση της Ανάλυσης και Σύνθεσης Μηχανισμών (198), καθώς και τους επιστημονικούς συνεργάτες, της τότε Έδρας της Θεωρητικής Μηχανολογίας, κυρίους Αριστείδη Γωγούση και Χρήστο Νάκο. Καθηγητής Κ.-Δ. Μπουζάκης Θεσσαλονίκη, Απρίλιος 006

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Ορισμοί Είδη μηχανισμών Συμβολισμοί κινηματικής δομής μηχανισμών Βαθμός ελευθερίας μηχανισμού Περιγραφή της γεωμετρικής μορφής μελών και προσδιορισμός της θέσεώς τους Κεφάλαιο Γραφικός Προσδιορισμός Κινηματικών Μεγεθών.1 Προσδιορισμός ταχυτήτων Προσδιορισμός των ταχυτήτων κατά την κίνηση ενός μέλους Απλή στρέψη Απλή μεταφορά Γενική κίνηση Προσδιορισμός ταχυτήτων κατά τη σχετική κίνηση τριών μελών Προσδιορισμός επιταχύνσεων Επιταχύνσεις και συμβολισμοί τους Προσδιορισμός επιταχύνσεων κατά την κίνηση ενός μέλους Απλή στρέψη Απλή μεταφορά Γενική κίνηση Προσδιορισμός επιταχύνσεων κατά τη σχετική κίνηση τριών μελών Προσδιορισμός επιταχύνσεων με τη βοήθεια ισοδυνάμων μηχανισμών Κεφάλαιο 3 Αναλυτικός Προσδιορισμός Κινηματικών Μεγεθών 3.1 Αριθμητικός υπολογισμός κινηματικών μεγεθών Αναλυτική περιγραφή της κινηματικής δομής μηχανισμού Αριθμητικός υπολογισμος κατά Newton - Raphson γωνιών περιστροφής μελών, ή αντίστοιχα μετατοπίσεων ολισθαινόντων μελών Υπολογισμός γωνιακών ταχυτήτων και γωνιακών επιταχύνσεων μελών, ή αντίστοιχα γραμμικών ταχυτήτων και επιταχύνσεων ολισθαινόντων μελών... 44

4 6 Ανάλυση και Σύνθεση Μηχανισμών Υπολογισμός κινηματικών μεγεθών τυχόντων σημείων μηχανισμού Παράδειγμα αριθμητικού υπολογισμού κινηματικών μεγεθών Αναλυτικός υπολογισμός κινηματικών μεγεθών Υπολογισμός μετατοπίσεων και περιστροφών των μελών Υπολογισμός κινηματικών μεγεθών τυχόντων σημείων Κεφάλαιο 4 Προσδιορισμός Δυνάμεων και Ροπών 4.1 Σκοπός του υπολογισμού δυνάμεων και ροπών Γραφικοαναλυτικές μέθοδοι προσδιορισμού δυνάμεων και ροπών Διανυσματική άθροιση δυνάμεων και ροπών Γραφικοαναλυτικός προσδιορισμός δυνάμεων με χρησιμοποίηση της αρχής της διατηρήσεως της ισχύος Αναλυτικός προσδιορισμός δυνάμεων και ροπών Προσδιορισμός των δυνάμεων επί των αρθρώσεων και της ροπής επί του κινητηρίου μέλους Υπολογισμός των καταπονήσεων του πλαισίου μηχανισμού Γωνία επιδράσεως και μεταδόσεως Κεφάλαιο 5 Μηχανισμοί με Τέσσερα Μέλη 5.1 Τύποι μηχανισμών και ταξινόμησής τους κατά Grashof Σύνθεση μηχανισμών με τέσσερα μέλη, όταν δίδονται προδιαγραφές, σχετικές με θέσεις που πρέπει να καταλάβει το ενδιάμεσο μέλος Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων, με γνωστές τρεις θέσεις του ενδιαμέσου μέλους και τις θέσεις των κινητών αρθρώσεων Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων, με γνωστές τρεις θέσεις του ενδιαμέσου μέλους και τις θέσεις των ακινήτων αρθρώσεων Σύνθεση μηχανισμών με τέσσερα μέλη, όταν δίδονται προδιαγραφές, που αναφέρονται στη γεωμετρική μορφή τροχιακών καμπυλών σημείων, του ενδιαμέσου μέλους του μηχανισμού Τροχιακές καμπύλες σημείων διαφόρων τύπων μηχανισμών με τέσσερα μέλη Υπολογισμός της τροχιάς τυχόντος σημείου του ενδιαμέσου μέλους, μηχανισμού με τέσσερα μέλη Προσδιορισμός κυρτότητας τροχιακής καμπύλης σημείου του ενδιαμέσου μέλους Ορισμός κυρτότητας τροχιακής καμπύλης Γραφικός και αναλυτικός προσδιορισμός της κυρτότητας καμπύλης... 85

5 Περιεχόμενα Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων μηχανισμού τεσσάρων μελών, με γνωστά σημεία της τροχιακής καμπύλης σημείου του ενδιαμέσου μέλους Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων με γνωστά τρία σημεία της τροχιάς, σημείου του ενδιαμέσου μέλους Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων με γνωστά πέντε σημεία της τροχιάς, σημείου του ενδιαμέσου μέλους Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων μηχανισμού τεσσάρων μελών, για πραγματοποίηση ευθυγράμμων τροχιών Γραφικός προσδιορισμός κινηματικών διαστάσεων μηχανισμού με τέσσερα μέλη, για την πραγματοποίηση ευθυγράμμων τροχιών Αναλυτικός υπολογισμός κινηματικών διαστάσεων μηχανισμού με τέσσερα μέλη, για την πραγματοποίηση ευθυγράμμου τροχιάς με προδιαγεγραμμένη ανοχή εθυγραμμότητας Προσδιορισμός ισοδυνάμων μηχανισμών ως προς την περιγραφή τροχιακών καμπυλών, τυχόντων σημείων του μέλους ΑΒ Ισοδύναμοι μηχανισμοί τεσσάρων μελών κατά Roberts- Tschebyschev Ισοδύναμος μηχανσιμός με πέντε μέλη, από τα οποία τα δυο είναι κινητήρια Μηχανισμοί για παράλληλη καθοδήγηση ενός μέλους Μηχανισμοί για την περιγραφή συμμετρικών τροχιακών καμπυλών Μηχανισμοί αντιγραφής περιγραμμάτων υπό κλίμακα (παντογράφος) Σύνθεση μηχανισμών με τέσσερα μέλη, όταν δίδονται προδιαγραφές, που αναφέρονται στη σχέση μεταδόσεώς τους Υπολογισμός της σχέσεως μεταδόσεως, μηδενικού μέχρι δευτέρου βαθμού Διαγράμματα σχέσεων μεταδόσεως, διαφόρων τύπων μηχανισμών με τέσσερα μέλη Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων, μηχανισμών με τέσσερα μέλη με γνωστές τις γωνίες φ 0 και ψ 0 αντιστοίχως το μήκος εμβολισμού s Αναλυτικός προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων με γνωστές τις γωνίες φ0, ψ0 (ή το μήκος εμβολισμού s0) Γραφικός προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων με γνωστές τις γωνίες φ0, ψ0 (ή το μήκος εμβολισμού s0), το μήκος l3 και ένα από τα μεγέθη l1, e ή l Γραφικός προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων όταν δίδονται οι γωνίες φ0, ψ0 το μήκος l4 και ένα από τα μεγέθη l1, ή l Γραφικός προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων όταν δίδονται οι γωνίες φ0, ψ0, το μήκος l4 και απαιτείται η επίτευξη της μέγιστης δυνατής ελαχίστης τιμής μmin, της γωνίας μεταδόσεως στο κινούμενο μέλος Γραφικός προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων όταν δίδεται η γωνία φ0, το μήκος εμβολισμού s0 μηχανισμού στροφάλου, ευθυγράμως παλινδρομικού ολισθητήρα και απαιτείται η πραγματοποίηση της μέγιστης δυνατής ελάχιστης τιμής μmin, της γωνίας μεταδόσεως στο κινούμενο μέλος

6 8 Ανάλυση και Σύνθεση Μηχανισμών Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων μηχανισμού με τέσσερα μέλη, όταν δίδονται ζεύγη σημείων της σχέσεως μεταδόσεως τους, μηδενικού βαθμού Αναλυτικός προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων, όταν δίδονται ζεύγη σημείων της σχέσεως μεταδόσεως Γραφικός προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων, όταν δίδονται τρία σημεία της σχέσεως μεταδόσεως και τα μήκη I1, I Προσδιορισμός των κινηματικών διαστάσεων μηχανισμού με τέσσερα μέλη, για περίπου γραμμική σχέση μεταδόσεως Σύνθεση μηχανισμού με μέλη, για πραγματοποίηση σχέσεως μεταδόσεως, με διάστημα ηρεμίας Κεφάλαιο 6 Μηχανισμοί με Οδοντωτούς Τροχούς 6.1 Τύποι μηχανισμών και ορισμοί Προσδιορισμός σχέσεως μεταδόσεως, γωνιακών ταχυτήτων και ταχυτήτων Γραφικός προσδιορισμός Αναλυτικός υπολογισμός σε μηχανισμούς με ακίνητο κιβώτιο Αναλυτικός υπολογισμός σε μηχανισμούς με περιστροφικά κινούμενο κιβώτιο Τροχοειδείς καμπύλες Μαθηματική περιγραφή τροχοειδών καμπυλών, μηχανισμού βασικής μορφής Μαθηματική περιγραφή τροχοειδών καμπυλών, μηχανισμών όχι βασικής μορφής Υπολογισμός ακτίνας καμπυλότητας στα εξωτερικά ακραία σημεία τροχοειδών καμπυλών Ισοδύναμοι μηχανισμοί, ως προς τη δημιουργία τροχοειδών καμπυλών Ισοδύναμοι μηχανισμοί βασικής μορφής Ισοδύναμοι μηχανισμοί όχι βασικής με μηχανισμούς βασικής μορφής Κεφάλαιο 7 Μηχανισμοί με Οδηγητικές Καμπύλες 7.1 Δομή και είδη μηχανισμών με οδηγητικές καμπύλες Προσδιορισμός σχέσεων μεταδόσεως κινήσεως Κατάστρωση της σχέσεως μεταδόσεως κινήσεως μηδενικού βαθμού, βάσει των προδιαγραμμένων απαιτήσεων Προσδιορισμός σχέσεων μεταδόσεως κινήσεως ανωτέρω βαθμού Προσδιορισμός των μεταβατικών συναρτήσεων μεταδόσεως κινήσεως (ΜΣΜ)...154

7 Περιεχόμενα Κινηματικές συνθήκες στα οριακά σημεία των ΜΣΜ Εκλογή μαθηματικών σχέσεων για ΜΣΜ Τυποποίηση των ΜΣΜ και χαρακτηριστικές κινηματικές τιμές Χαρακτηριστικές κινηματικές τιμές Συμμετρικές και μη συμμετρικές ΜΣΜ Παραδείγματα προσδιορισμού ΜΣΜ για μια από ηρεμία σε ηρεμία μετάδοση κινήσεως Ημιτονοειδής καμπύλη σαν ΜΣΜ, για μια από ηρεμία σε ηρεμία μετάδοση κινήσεως Πολυωνυμική καμπύλη πέμπτου βαθμού σαν ΜΣΜ, για μια από ηρεμία σε ηρεμία μετάδοση κινήσεως Σύγκριση μεταξύ διαφόρων ΜΣΜ, για μια από ηρεμία σε ηρεμία μετάδοση κινήσεως Προσδιορισμός διαστάσεων ενός μηχανισμού με οδηγητικές καμπύλες Κύριες καθοριστικές διαστάσεις και τύποι μηχανισμών Έλεγχος δυνατότητας λειτουργίας Προσδιορισμός των κυρίων διαστάσεων με τη βοήθεια της μεθόδου της οδογράφου Προσδιορισμός των κυρίων διαστάσεων με τη βοήθεια της προσεγγιστικής μεθόδου κατά Flocke Γραφική κατασκευή της καθοδηγητικής καμπύλης και του περιγράμματος (περιγραμμάτων) ενός κνώδακα Γραφική κατασκευή περιγράμματος (περιγραμμάτων) καθοδηγητικής αυλακώσεως ή οδοντώσεως κνώδακος κυλινδρικής μορφής Διαδοχικές διαδικασίες κατά την κατεργασία της πρωτοτύπου οδηγητικής καμπύλης μιας λειαντικής μηχανής που χρησιμοποιείται για την λείανση μορφής μιας οδηγητικής καμπύλης Κεφάλαιο 8 Μηχανισμοί Περιοδικής Ασυνεχούς Μεταδόσεως 8.1 Ορισμοί Τύποι μηχανισμών σταυρού Μάλτας Κινηματικός υπολογισμός μηχανισμών σταυρού Μάλτας Κινηματικές διαστάσεις Συναρτήσεις κινήσεως Λόγος βήματος-περιόδου Σχέση μεταδόσεως, ομοιόμορφα περιστρεφομένων μηχανισμών που προτάσσονται ή έπονται ενός μηχανισμού σταυρού Μάλτας Δυναμικός υπολογισμός μηχανισμών σταυρού Μάλτας Απαιτούμενη κινητήρια ροπή στρέψεως Δυνάμεις εξασκούμενες στα μέλη μηχανισμών σταυρού Μάλτας...06

8 10 Ανάλυση και Σύνθεση Μηχανισμών Παράρτημα 1: Ασκήσεις Άσκηση 1 Διάφοροι μηχανισμοί...10 Άσκηση Πρέσα βαθείας κοιλάνσεως...11 Άσκηση 3 Καθοδηγητικός μηχανισμός βαλβίδων μηχανής εσωτερικής καύσεως...1 Άσκηση 4 Εκσκαφέας...14 Άσκηση 5 Μηχανισμός κρούσεως σαΐτας κλωστοϋφαντουργικής μηχανής...15 Άσκηση 6 Μηχανισμός καταγραφής οργάνου μετρήσεων Άσκηση 7 Κοπτικό εργαλείο για τορνάρισμα διαφόρων κατατομών...18 Άσκηση 8 Ιδιοσυσκευή χυτεύσεως υπό πίεση...19 Άσκηση 9 Ανάρτηση τροχών αυτοκινήτου... 1 Άσκηση 10 Πρέσα διατρήσεως... Άσκηση 11 Πένσα με παράλληλες σιαγόνες συσφίξεως...3 Άσκηση 1 Μηχανισμός με οδοντωτούς τροχούς για ασυνεχή περιοδική μετάδοση...5 Άσκηση 13 Μηχανισμός κινητήρα Wankel... 6 Άσκηση 14 Μηχανισμός τόρνου κατεργασίας τεμαχίων και μη κυκλικών διατομών...7 Άσκηση 15 Μηχανισμός οδηγητικής καμπύλης - ακολούθου περιστροφής...8 Άσκηση 16 Μηχανισμοί ασυνεχής περιοδικής περιστροφικής προώσεως μιας μηχανής κατεργασίας...9 Άσκηση 17 Μηχανισμός ασυνεχής περιοδικής περιστροφής προώσεως μιας μηχανής συσκευασίας... 9 Παράρτημα 1: Θέματα Θέμα Θέμα...38 Θέμα Θέμα Βιβλιογραφία...53

9 Εισαγωγή 11 1 ο Κεφάλαιο Εισαγωγή 1.1 Ορισμοί Μηχανισμός είναι μια μηχανική διάταξη, της οποίας τα μέλη, βάσει της γεωμετρικής μορφής τους και των αλληλοσυνδέσεών τους, εκτελούν καθορισμένες κινήσεις μεταδί- Είδος άρθρωσης Σχηματική παράσταση Βαθμός ελευθερίας περιστροφής 1 ολισθήσεως 1 περιστροφής - ολισθήσεως με οδηγητικές καμπύλες με οδοντώσεις 1 σφαιρική 3 Σχήμα 1: Αρθρώσεις διαφορετικού βαθμού ελευθερίας.

10 1 Κεφάλαιο 1 δοντας τοιουτοτρόπως μια κίνηση, ή και συγχρόνως μια ισχύ, από ένα κινητήριο μέλος σ ένα κινούμενο. Η μετάδοση μπορεί να εκπληρώνει οποιεσδήποτε προδιαγραφές. Τα μέλη που παρεμβάλλονται μεταξύ του κινουμένου και του κινητηρίου μέλους, καλούνται οδηγητικά. Η σύνδεση μεταξύ δυο μελών ονομάζεται κινηματικό ζεύγος, ή άρθρωση. Στο σχήμα 1 συμβολίζονται διάφορες αρθρώσεις μεταξύ μελών, με ποικίλες γεωμετρικές μορφές. Μια άρθρωση μπορεί ανάλογα με την κατασκευαστική της διαμόρφωση, να επιτρέπει σχετικές κινήσεις μεταξύ των μελών της, διαφορετικού βαθμού ελευθερίας (βλ. και σχήμα ). Σχήμα : Κατασκευαστική διαμόρφωση άρθρωσης περιστροφής και σφαιρικής άρθρωσης. 1. Είδη μηχανισμών Η σχετική θέση των αξόνων των αρθρώσεων των μελών ενός μηχανισμού, αποτελεί ένα κριτήριο ταξινόμησής τους. Με βάση αυτό το κριτήριο, διακρίνονται οι μηχανισμοί σε χωρικούς, σφαιρικούς και επίπεδους. Στο σχήμα 3 φαίνονται μερικά παραδείγματα χωρικών μηχανισμών. Οι άξονες των αρθρώσεων είναι ασύμπτωτες ευθείες. Αριστερά στο σχήμα παρίσταται μηχανισμός ενός εργαστηριακού αναμικτήρα και δεξιά ένας μηχανισμός για περιοδικά ασυνεχή μετάδοση κινήσεως, που χρησιμοποιείται συχνά σε διάφορες μηχανικές διατάξεις (εργαλειομηχανές, συσκευασίας κ.ά.) για τη βηματική κίνηση ορισμένων μελών τους. Ειδική περίπτωση των χωρικών μηχανισμών, αποτελούν οι σφαιρικοί μηχανισμοί. Στους σφαιρικούς μηχανισμούς, οι άξονες των αρθρώσεων διέρχονται όλοι, από ένα σημείο. Παραδείγματα σφαιρικών μηχανισμών παρίστανται στο σχήμα 4. Πρόκειται για διαφορικό οχημάτων, (αριστερά στο σχήμα) και για άρθρωση μεταξύ αξόνων με μεταβαλλόμενη γωνία. Η γωνιακή ταχύτητα του κινούμενου άξονα, σε ενός τέτοιου είδους άρθρωση, δεν είναι σταθερή, για γωνίες μεταξύ των αξόνων διαφορετικές από 180.

11 Εισαγωγή 13 Σχήμα 3: Παραδείγματα χωρικών μηχανισμών. Σχήμα 4: Παραδείγματα σφαιρικών μηχανισμών. Εάν οι άξονες των αρθρώσεων είναι παράλληλοι μεταξύ τους, τότε ο μηχανισμός χαρακτηρίζεται σαν επίπεδος. Στο σχήμα 5 παρουσιάζεται ένα παράδειγμα επιπέδου μηχανισμού. Πρόκειται για τον καθοδηγητικό μηχανισμό βελονών κλωστοϋφαντουργικής μηχανής. Στα πλαίσια του παρόντος τεύχους για την κινηματική ανάλυση και σύνθεση μηχανισμών εξετάζονται μόνο επίπεδοι μηχανισμοί. Τέλος στην περίπτωση συνθέτων μηχανισμών (συνδυασμός μεταξύ χωρικών και επιπέδων), μπορεί να θεωρηθεί, ότι ο μηχανισμός αποτελείται από πολλούς ανεξάρτητους μεταξύ τους επίπεδους μηχανισμούς, κάθε ένας από τους οποίους μπορεί να μελετηθεί ξεχωριστά.

12 14 Κεφάλαιο 1 Α ΤΟΜΗ ΑΒ Β Σχήμα 5: Σχηματικός συμβολισμός καθοδηγητικού μηχανισμού βελονών κλωστοϋφαντουργικής μηχανής Σχήμα 6: Παράδειγμα συνθέτου μηχανισμού (Εξολκέας).

13 Εισαγωγή 15 Ένα παράδειγμα χωρικού μηχανισμού έχει παρασταθεί στο σχήμα 6. Πρόκειται για έναν εξολκέα, με τρεις επί μέρους επίπεδους μηχανικούς, διατεταγμένους σε επίπεδα, σχηματίζοντας γωνία 10 μεταξύ τους. Ένας από τους επίπεδους αυτούς μηχανισμούς φαίνεται άνω δεξιά στο σχήμα. 1.3 Συμβολισμοί κινηματικής δομής μηχανισμών Στα σχήματα 7, 8, 9 και 10 φαίνεται ο τρόπος συμβολικής παράστασης χαρακτηριστικών μηχανισμών. Οι αρθρώσεις συμβολίζονται γενικά με μικρούς κύκλους. Οι κύκλοι είναι ημίμαυροι, ή και πλήρως μαύροι, εάν οι αρθρώσεις είναι συνδεδεμένες με το ακίνητο μέλος του μηχανισμού (πλαίσιο). Οι αρθρώσεις και γενικά σημεία επί των μελών, ονομάζονται με κεφαλαία γράμματα (Α, Β κ.τ.λ.) ενώ με μικρά γράμματα χαρακτηρίζονται τα μήκη των μελών του μηχανισμού. Με αριθμούς χαρακτηρίζονται τα μέλη. Το πλαίσιο συμβολίζεται συνήθως με τον αριθμό 0 (μηδέν). 4,0 Β ο,οο 3 Β Α 1 Α ο Σχήμα 7: Συμβολική παράσταση μηχανισμού με τέσσερα μέλη, στροφάλου - διωστήρα -εμβόλου (ευθύγραμμα παλινδρομικού ολισθητήρα).

14 16 Κεφάλαιο 1 4,0 Β ο,οο 3 Β 1 Α ο Σχήμα 8: Συμβολική παράσταση μηχανισμού με οδηγητική καμπύλη (κνώδακα - ακολούθου). M 1 M0 3 4,0 Σχήμα 9: Συμβολική παράσταση μηχανισμού με οδοντωτούς τροχούς. Οι αρθρώσεις επίσης μπορούν να ονομάζονται και με τους αριθμούς των μελών που συνδέουν (βλέπε σχήμα 10). Ο τρόπος αυτός συμβολισμού χρησιμοποιείται κυρίως κατά την διεξαγωγή υπολογισμών σε μηχανισμούς, με μεθόδους της αριθμητικής αναλύσεως.

15 Εισαγωγή 17 Κ 4 Α 1 1 Α ο 10 Σχήμα 10: Συμβολική παράσταση μηχανισμού με μέλη. Β 3 3 Β ο 30 4

16 18 Κεφάλαιο 1 Οι ονομασίες των αρθρώσεων, ή και άλλων σημείων, μπορούν να έχουν ένα αριθμητικό δείκτη βάσεως π.χ. Α 1, Α, Β 4 κ.λπ., που συμβολίζει μια θέση, που κατά την κίνησή του μπορεί να καταλάβει το σημείο, ή η άρθρωση. Η άρθρωση ενός ολισθητήρα με το πλαίσιο, συμβολίζεται, όπως δείχνουν τα σχήματα 7 και 8, με το εκάστοτε κεφαλαίο γράμμα π.χ. Β και τους δείκτες B 0,. Τέλος οι δείκτες εκθέτου, συγχρόνως με ένα δείκτη βάσεως, π.χ. B, συμβολίζουν την σχετική θέση του σημείου Β, όταν καταλαμβάνει 1 τη θέση σε σύστημα αναφοράς του μέλους Βαθμός ελευθερίας μηχανισμού Ο βαθμός ελευθερίας ενός μηχανισμού υποδηλώνει τον αριθμό των ανεξαρτήτων μεταξύ τους μεταβλητών, που πέρα από τις γνωστές γεωμετρικές διαστάσεις της κινηματικής δομής, είναι αναγκαίος για την μονοσήμαντη περιγραφή της θέσεως των μελών, σχετικά με το μέλος αναφοράς. Οι μεταβλητές αυτές ονομάζονται και συντεταγμένες αναφοράς. Στην περίπτωση μηχανισμών με βαθμό ελευθερίας ίσο με την μονάδα, συντεταγμένη κινήσεως είναι συνήθως η γωνία περιστροφής του κινητηρίου μέλους, σε σχέση με το πλαίσιο. Ο βαθμός ελευθερίας επιπέδου μηχανισμού προσδιορίζεται από την εξίσωση: F 3(n 1) 3g f (1) = - - +Â g i i= 1 Στην παραπάνω σχέση, τα διάφορα σύμβολα υποδηλώνουν: n : τον αριθμό των μελών g : τον αριθμό των αρθρώσεων f i : το βαθμό ελευθερίας της αρθρώσεως i. Η δομή της σχέσεως (1) εύκολα γίνεται κατανοητή, εάν ληφθεί υπόψη ότι γενικά κάθε μέλος κινούμενο σε ένα επίπεδο, έχει 3 δυνατότητες κινήσεως, δηλ. είναι απαραίτητη η εισαγωγή τριών συντεταγμένων αναφοράς, π.χ. των δύο μετατοπίσεων στις κατευθύνσεις x, y ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων αναφοράς, και της περιστροφής γύρω από τον άξονα z του συστήματος αυτού. Επειδή η μελέτη των μηχανισμών γίνεται πάντα σε σχέση με ένα μέλος αναφοράς, ο βαθμός ελευθερίας ενός επιπέδου μηχανισμού είναι επομένως γενικά ίσος με 3(n -1). Από τον αριθμό αυτό πρέπει να αφαιρεθεί ο αριθμός των δυνατοτήτων κινήσεως κατά τον οποίο, κάθε άρθρωση μεταξύ μελών περιορίζει τον συνολικό βαθμό ελευθερίας του μηχανισμού. Ο αριθμός αυτός προσδιορίζεται, εάν ληφθεί υπόψη, ότι μία στερεά σύνδεση μεταξύ μελών περιορίζει το βαθμό ελευθερίας σε επίπεδους μηχανισμούς κατά 3. Εάν λοιπόν από τον αριθμό 3(n -1) αφαιρεθεί ο συνολικός αριθμός των αρ-

17 Εισαγωγή 19 θρώσεων 3g και προστεθεί ο βαθμός ελευθερίας της κάθε αρθρώσεως εξάγεται η σχέση (1). Σε επίπεδους μηχανισμούς που περιέχουν και οδοντωτούς τροχούς ο βαθμός ελευθερίας υπολογίζεται από τη σχέση: F= 3(n-1) - g+ p () όπου p είναι ο αριθμός των ζευγών των οδοντωτών τροχών, που παρεμβάλλονται μέσα σ ένα επίπεδο μηχανισμό. Εφαρμόζοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει, ότι ο βαθμός ελευθερίας των μηχανισμών των σχημάτων 7, 8, και 9 είναι ίσος με 1, ενώ του μηχανισμού του σχήματος 10 ίσος με 0. Στον τελευταίο μηχανισμό αυτό συμβαίνει, καθόσον η τροχιακή καμπύλη του σημείου Κ, λόγω της κινηματικής δομής του μηχανισμού, είναι στην περιοχή λειτουργίας του σχεδόν ευθύγραμμη και το έμβολο του μηχανισμού, που συνδέεται με το σημείο Β, μέσω καταλλήλου κατασκευαστικής διαμορφώσεως αναγκάζεται να ολισθαίνει πάνω στην ευθεία, τροχιακή καμπύλη του σημείου Κ. 1.5 Περιγραφή της γεωμετρικής μορφής μελών και προσδιορισμός της θέσεώς τους Η περιγραφή της γεωμετρικής μορφής ενός μέλους, γίνεται σ ένα σύστημα αναφοράς (x, y ) του μέλους, το οποίο κινείται σε σχέση με το σύστημα αναφοράς (x, y) του πλαισίου (βλέπε σχήμα 11 ). y y C x φ C E B y Α I Α I C I C φ φ C φ Α E0 x Σχήμα 11: Περιγραφή της γεωμετρίας ενός μέλους στο σύστημα αναφοράς.

18 0 Κεφάλαιο 1 Η θέση του μέλους είναι γνωστή, εάν δίδεται η θέση της αρχής των συντεταγμένων του συστήματος (x, y ), ή το άνυσμα l και η γωνία κλίσεως ενός άξονα, π.χ. η γωνία φ. Στην προκειμένη περίπτωση ισχύει ότι: l = l + l (3) C C Η παραπάνω σχέση, υπό μιγαδική μορφή, μπορεί να γραφεί όπως παρακάτω: jφc jφ + = j(φ + C φ) Ce e Ce l l l (4) Διατυπώνοντας την εξίσωση αυτή κατά Euler, προκύπτουν για τα πραγματικά και μιγαδικά μέρη, οι παρακάτω σχέσεις: l cosφ = l cosφ + l cos(φ + φ) (5α) C C Α C C l cosφ = l sinφ + l sin(φ + φ) (5β) C C Α C C Από το σύστημα των εξισώσεων αυτών, μπορούν να προσδιορισθούν οι μεταβλητές l C και φ C, που περιγράφουν την θέση του τυχόντος σημείου C στο σύστημα αναφοράς (x, y). Κατά την κίνηση του μέλους από μια θέση 1 στη θέση ισχύει προφανώς για το τυχόν σημείο C (βλέπε σχήμα 1 ) η σχέση: l = l + l (6) C C1 C1 y ο φc1 y1 C1 B1 x1 B x 1 Ic1 I c1 I c C φc1 y φc Ε ο x ο Σχήμα 1: Προσδιορισμός της θέσεως ενός μέλους στο σύστημα αναφοράς.

19 Εισαγωγή 1 Η διανυσματική αυτή εξίσωση, υπό μιγαδική μορφή, γράφεται όπως παρακάτω: jφc jφ C jφ 1 C1 C e = C e + 1 C e 1 l l l. (7) Από τη σχέση αυτή, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler, για τα πραγματικά και τα μιγαδικά μέρη προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις: l cosφ = l cosφ + l cosφ (8α) C C C1 C1 C1 C1 l sinφ = l sinφ + l sinφ. (8β) C C C C1 C1 C1 Από τις παραπάνω εξισώσεις μπορούν να προσδιορισθούν οι μεταβλητές l C και φ C, που χαρακτηρίζουν τη νέα θέση του σημείου C, σαν συναρτήσεις των μεταβλητών της παλαιάς θέσεως και της μετατοπίσεως.

20 Κεφάλαιο 1

21 Γραφικός Προσδιορισμός Κινηματικών Μεγεθών 3 ο Κεφάλαιο Γραφικός Προσδιορισμός Κινηματικών Μεγεθών Για τον προσδιορισμό των ταχυτήτων και των επιταχύνσεων μπορούν να εφαρμοσθούν τόσο γραφικές όσο και αναλυτικές μέθοδοι. Η σημερινή εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, που καθιστούν δυνατή την εφαρμογή διαφόρων μεθόδων της αριθμητικής αναλύσεως, επιτρέπει τον προσδιορισμό, με την εκάστοτε επιθυμητή ακρίβεια, οποιονδήποτε μεγεθών, που είναι απαραίτητα, τόσο κατά την ανάλυση, όσο και κατά τη σύνθεση των μηχανισμών. Στα πλαίσια της κινηματικής ανάλυσης και σύνθεσης μηχανισμών, δίδεται ιδιαίτερη έμφαση και σε γραφικές μεθόδους. Ο λόγος γι αυτό είναι, ότι οι γραφικές μέθοδοι επιτρέπουν τον άμεσο και με απλά μέσα προσδιορισμό κινηματικών και άλλων μεγεθών, σε διακεκριμένες θέσεις ενός μηχανισμού, που συνήθως μόνο σ αυτές είναι αναγκαίο να γίνει κάποιος υπολογισμός..1 Προσδιορισμός ταχυτήτων Η στιγμιαία ταχύτητα ενός σημείου, περιγράφει τη χρονική μεταβολή της θέσης του. Για ένα σημείο Α (βλέπε σχήμα 1 ), που κινείται πάνω στην τροχιά k στο σύστημα αναφοράς xy ισχύει: dl v = = l (t) (1) dt Το άνυσμα v της ταχύτητας, είναι εφαπτόμενο της τροχιάς, στο σημείο Α και έχει τις συνισταμένες: v v x y dl = x = l x(t) (α) dt dly = = l y(t) (β) dt

22 4 Κεφάλαιο y t Ε V y V k V x I Σχήμα 1: Tαχύτητα ενός σημείου του μέλους Ε στο σύστημα αναφοράς xy. Ε ο x Η γωνιακή ταχύτητα ω, περιγράφει τη χρονική μεταβολή της γωνίας περιστροφής φ, ενός μέλους (βλέπε σχήμα ). dφ ω=± =± φ(t) (3) dt Η γωνιακή ταχύτητα είναι ένα άνυσμα, κάθετο στο επίπεδο του μηχανισμού (στην προκειμένη περίπτωση παράλληλο με τον άξονα z ) και θεωρείται ότι έχει θετικό πρόσημο, για την περίπτωση φοράς περιστροφής, που συμβολίζεται στο σχήμα. z y η Ε ω φ Ε ο x Σχήμα : Στρέψη του μέλους Ε στο σύστημα αναφοράς xy. Μια εποπτική εικόνα της μεταβολής της ταχύτητας κατά την κίνηση ενός τυχαίου σημείου Α αποκτάται, εάν οι ταχύτητες, σχεδιασθούν στραμμένες κατά 90 (συμβολισμός ν _`_ ). Οι στραμμένες ταχύτητες, είναι κάθετες πάνω στην τροχιά του σημείου. Εάν

23 Γραφικός Προσδιορισμός Κινηματικών Μεγεθών 5 ενωθούν οι κορυφές των στράμμένων ανυσμάτων με μια γραμμή, όπως φαίνεται στο σχήμα 3, προκύπτει μια καμπύλη, που ονομάζεται οδογράφος της κινήσεως του σημείου Α. Με τη βοήθεια της οδογράφου, μπορεί να προσδιορισθεί η ταχύτητα του σημείου Α, για κάθε τυχαία θέση του, πάνω στην τροχιά του. V 3 t V 1 V 1 Σχήμα 3: Οδογράφος της κινήσεως ενός σημείου..1. Προσδιορισμός των ταχυτήτων κατά την κίνηση ενός μέλους.1..1 Απλή στρέψη Η ταχύτητα του τυχόντος σημείου κατά την απλή στρέψη ενός μέλους (βλ. σχήμα 4 ), υπολογίζεται από τη σχέση: v = ω r (4) Η γωνία θ είναι σταθερή για όλα τα σημεία του μέλους και υπολογίζεται από την εξίσωση: ωμ tanθ = v Μ (5) όπου M, M v είναι οι κλίμακες αντιστοίχως για μήκη και ταχύτητες, για τις οποίες ισχύει ότι: μήκος σχεδίου M = μήκος μέλους (6α) μήκος ανύσματος ταχύτητας Μv =. τιμή ταχύτητας (6β)

24 6 Κεφάλαιο z y k VB V V 90 r k B V ω 90 C C k θ B Ε ω ο θ k C Ε ο x ο Σχήμα 4: Tαχύτητες σημείων ενός μέλους σε απλή περιστροφή. Σε περίπτωση σταθερής γωνιακής ταχύτητας ω του μέλους, που να αντιστοιχεί σε n αριθμό στροφών, η εφαπτόμενη της γωνίας θ υπολογίζεται προφανώς από τη σχέση: πnm tanθ = v. (7) M.1.. Απλή μεταφορά Κατά την παράλληλο μεταφορά ενός μέλους, όλες οι ταχύτητες των σημείων του είναι ίσες (βλέπε σχήμα 5 ). V C C k C V V B B k B k Σχήμα 5: Tαχύτητες σημείων ενός μέλους κατά απλή μεταφορά Γενική κίνηση Η γενική κίνηση ενός μέλους μπορεί να αναλυθεί σε μια περιστροφική και μια μεταφορική κίνηση (βλέπε σχήμα 6 ). Κατά Euler ισχύει: v = v + v (8) B B Όλες οι κάθετες στα ανύσματα των ταχυτήτων και στα αντίστοιχα σημεία, τέμνονται σε ένα κοινό σημείο, που ονομάζεται πόλος της ταχύτητας (σημείο P στο σχήμα 7 ).

25 Γραφικός Προσδιορισμός Κινηματικών Μεγεθών 7 y ω V B VB Ε V 90 V B B k B k Σχήμα 6: Ανάλυση της γενική κινήσεως ενός μέλους Ε, σε μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Ε ο x t C ω V V C k C t C n C V B Β k B t B k n n B θ θ θ P Σχήμα 7: Πόλος ταχυτήτων (P) κατά τη γενική κίνηση ενός μέλους. Εφαρμόζοντας τη σχέση (4) προκύπτει για τις διάφορες συνιστώσες της διανυσματικής εξίσωσης (8) ότι: v = ω P (9α)

26 8 Κεφάλαιο vβ = ω PΒ v = ω Β ΒΑ (9β) (9γ) Ο γεωμετρικός τόπος των διαδοχικών θέσεων του πόλου ταχυτήτων, ονομάζεται τροχιά πόλων. Διακρίνονται γενικά δύο τροχιές πόλων ταχυτήτων. Η ηρεμούσα τροχιά k r (βλέπε σχήμα 8 ) και η κινούμενη τροχιά k g. H k g, ευρίσκεται στο σύστημα αναφοράς του μέλους Ε, ενώ η k r, στο ακίνητο σύστημα αναφοράς xy. H κίνηση του μέλους Ε στο σύστημα αναφοράς xy, μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμη με μια κύληση χωρίς ολίσθηση, της τροχιάς k g επί της τροχιάς k r. y Ε B1 B t B t k B ο k P1 r P1 g k r P k g Ε ο x Σχήμα 8: Tροχιές πόλων ταχυτήτων κατά τη γενική κίνηση ενός μέλους. Οι ταχύτητες των σημείων ενός μέλους, μπορούν να προσδιορισθούν με τη βοήθεια μιας από τις γραφικές παραστάσεις του σχήματος 9. Και στις τρεις περιπτώσεις, τα τρίγωνα που σχηματίζουν οι αιχμές τριών ανυσμάτων ταχυτήτων ενός μέλους, είναι όμοια με το τρίγωνο που σχηματίζουν τα αντίστοιχα σημεία του μέλους του μηχανισμού. Κατά την πρώτη και την τρίτη γραφική δυνατότητα προσδιορισμού ταχυτήτων, χρησιμοποιείται το υπό κλίμακα σχέδιο της κινηματικής δομής του μηχανισμού, ενώ κατά τη μεσαία (διάγραμμα ταχυτήτων), η αρχή P, εκλέγεται παράπλευρα του σχεδίου.

27 Γραφικός Προσδιορισμός Κινηματικών Μεγεθών 9 Β VB VD C C VB VC VC V VD D Β V P 90 V V V C C D V D Β V B P ω P ω Σχήμα 9: Δυνατότητες προσδιορισμού των ταχυτήτων κατά την κίνηση ενός μέλους..1.3 Προσδιορισμός ταχυτήτων κατά τη σχετική κίνηση τριών μελών Κατά την κίνηση δύο μελών E 1, E (βλέπε σχήμα 10), ως προς ένα μέλος αναφοράς, η απόλυτη κίνηση του Ε ως προς το μέλος αναφοράς, προκύπτει από την επαλληλία της σχετικής κινήσεως του Ε ως προς το Ε 1 και της καθοδηγητικής κινήσεως του Ε 1, ως προς το μέλος αναφοράς. Εν προκειμένω ισχύει ότι: v = v 0 + v 10 (10) 1 ω = ω + ω (11) Κατά τη σχετική κίνηση τριών μελών οι πόλοι P 10 (καθοδηγητικός), P 0 (απόλυτος), και P 1 (σχετικός), κείνται πάνω σε μια ευθεία (βλέπε σχήμα 11 ). Για τις αποστάσεις P0P 1 και P10P 1 ισχύει: ω ω P P =±. (1) P0P1 Για τις θέσεις των πόλων, όπως φαίνεται στο σχήμα 11, ισχύει το πρόσημο +. Εάν ο σχετικός πόλος P 1 κείται μέσα στο διάστημα P0P 10 τότε ισχύει το πρόσημο -.

28 30 Κεφάλαιο z y V 1 V 0 k 0 V10 ω0 ω1 k 10 ω10 E1 E k 1 Ε ο x Σχήμα 10: Προσδιορισμός ταχυτήτων κατά τη σχετική κίνηση τριών μελών. y E θ1 P1 θ0 P0 ω10 ω1 ω0 E1 V 10 V 1 θ10 P10 V 0 E0 x Σχήμα 11: Σχετικοί πόλοι ταχυτήτων κατά τη σχετική κίνηση τριών μελών.

29 Γραφικός Προσδιορισμός Κινηματικών Μεγεθών 31. Προσδιορισμός επιταχύνσεων..1 Επιταχύνσεις και συμβολισμοί τους Σαν επιτάχυνση α του σημείου C ενός μέλους Ε (βλέπε σχήμα 1 ), ορίζεται η χρονική μεταβολή της ταχύτητάς του: dv α =. (13) dt y t C α C v C ρ C α Ct C k C 90 α Cn C0 E P n C E0 x Σχήμα 1: Eπιτάχυνση σημείου και ανάλυση αυτής σε επιτρόχιο και κεντρομόλο. Η επιτάχυνση μεταβάλλεται κατά την κίνηση του σημείου C, πάνω στην τροχιά του k C. Ένα μέτρο για τη μεταβολή της διευθύνσεώς της, είναι η προβολή του διανύσματος της επιταχύνσεως, πάνω στην κάθετο επί της τροχιάς, στο σημείο C (κεντρομόλος επιτάχυνση). Η προβολή της επιταχύνσεως πάνω στην εφαπτομένη της τροχιάς στο σημείο C, είναι ένα μέτρο για τη μεταβολή του μεγέθους της (επιτρόχιος επιτάχυνση). Για την κεντρομόλο α n και την επιτρόχιο α t επιτάχυνση, ισχύουν οι σχέσεις: v dv α n, αt ρ dt (14α, β) και α = α n + α t (14γ) Με ρ συμβολίζεται η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς k C στο σημείο C. Μέθοδοι για τον γραφικό, ή αναλυτικό προσδιορισμό της ακτίνας καμπυλότητας αναφέρονται στο κεφάλαιο του παρόντος τεύχους.

30 3 Κεφάλαιο Επειδή η κεντρομόλος είναι κάθετος στην επιτρόχιο, η τιμή της επιταχύνσεως δίδεται προφανώς από τη σχέση: n t α= α + α (15).. Προσδιορισμός επιταχύνσεων κατά την κίνηση ενός μέλους...1 Απλή στρέψη Κατά την απλή στρέψη ενός μέλους, γύρω από ένα άξονα περιστροφής (βλέπε σχήμα 13 ), για τις επιταχύνσεις τυχόντων σημείων, ισχύουν οι σχέσεις: v αn =- r =-ω r r α = ε r t (16α) (16β) όπου ε είναι η γωνιακή επιτάχυνση του μέλους, ως προς τον άξονα περιστροφής. z ε y ω, ω y V Β k E E α B t ψ C ε α B α 90 k k C ψ φ φ 0 α r E0 π α C x 0 α ψ α t α π r E0 x k Σχήμα 13: Προσδιορισμός επιταχύνσεως κατά την απλή περιστροφή ενός μέλους. Για την τιμή επιταχύνσεως, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (16α) και (16β) ισχύει επομένως ότι: 4 α= r ω + ε. (17) Η γωνία ψ μεταξύ της επιταχύνσεως και της διανυσματικής ακτίνας του τυχόντος σημείου, υπολογίζεται από τη σχέση:

ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΚΑΙ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ. Αργυρώ Λάσκαρη

ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΚΑΙ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ. Αργυρώ Λάσκαρη ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΚΑΙ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ Αργυρώ Λάσκαρη Χανιά 2014 Δομή της παρουσίασης Εισαγωγή Ιστορική Αναδρομή Σχεδιασμός Μηχανισμός με τέσσερα μέλη Κυκλοειδής μειωτήρας

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Aπό τo βιβλίο Heinz Grohe: Otto und Dieselmotoren. 9 Auflage, Vogel Buchverlag 1990. Kεφάλαιο 2: Mechanische Grundlagen Επιμέλεια μετάφρασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD Ανάλυση της Ανθρώπινης Κίνησης Εμβιομηχανική Κινησιολογία Κινηματική Κινητική Λειτουργική Ανατομική Γραμμική Γωνιακή Γραμμική Γωνιακή Θέση Ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι 155 7.6 ΦΡΕΖΕΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι 155 7.6 ΦΡΕΖΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι 155 7.6 ΦΡΕΖΕΣ Η φρέζα όπως και ο τόρνος αποτελεί μία από τις βασικότερες εργαλειομηχανές ενός μηχανουργείου. Κατά την κοπή στην φρέζα, το κοπτικό εργαλείο αποκόπτει από το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Φρεζάρισμα. Με το φρεζάρισμα μπορούμε να κατεργαστούμε επίπεδες ή καμπύλες επιφάνειες, εσοχές, αυλάκια ακόμα και οδοντωτούς τροχούς.

Φρεζάρισμα. Με το φρεζάρισμα μπορούμε να κατεργαστούμε επίπεδες ή καμπύλες επιφάνειες, εσοχές, αυλάκια ακόμα και οδοντωτούς τροχούς. ΦΡΕΖΕΣ ΦΡΕΖΕΣ Είναι εργαλειομηχανές αφαίρεσης υλικού από διάφορες εργασίες με μηχανική κοπή. Η κατεργασία διαμόρφωσης των μεταλλικών υλικών στη φρέζα, ονομάζεται φρεζάρισμα. Φρεζάρισμα Με το φρεζάρισμα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις Περιεχόµενα Κεφαλαίου 5 Εφαρµογές Τριβής Οµοιόµορφη Κυκλική Κίνηση Δυναµική Κυκλικής Κίνησης Οι κλήσεις στους αυτοκινητοδρόµους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα: Κιβώτιο ταχυτήτων με ολισθαίνοντες οδοντωτούς τροχούς.

Σχήμα: Κιβώτιο ταχυτήτων με ολισθαίνοντες οδοντωτούς τροχούς. ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας οδοντωτός τροχός με ευθείς οδόντες, z = 80 και m = 4 mm πρόκειται να κατασκευασθεί με συντελεστή μετατόπισης x = + 0,5. Να προσδιοριστούν με ακρίβεια 0,01 mm: Τα μεγέθη της οδόντωσης h α,

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ

ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ 19 Γ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΥΛΙΚΟΥ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι βασικότερες κατεργασίες με αφαίρεση υλικού και οι εργαλειομηχανές στις οποίες γίνονται οι αντίστοιχες κατεργασίες, είναι : Κατεργασία Τόρνευση Φραιζάρισμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Για τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Για τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση 1 A' ΛΥΚΕΙΥ ΖΗΤΗΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση 1. Το µέτρο της µετατόπισης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μια διάσταση

Κίνηση σε μια διάσταση Κίνηση σε μια διάσταση Θεωρούμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής. Η απόσταση x του κινούμενου σώματος από ένα σημείο του άξονα της κίνησης που παραμένει ακίνητο χρησιμοποιείται ως συντεταγμένη.

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοιωτικό μοντέλο κοπής οδοντώσεων με πλάνιση με κύλιση

Προσομοιωτικό μοντέλο κοπής οδοντώσεων με πλάνιση με κύλιση 1 Προσομοιωτικό μοντέλο κοπής οδοντώσεων με πλάνιση με κύλιση Παρουσίαση Διπλωματικής Εργασίας 2 Για την κατασκευή οδοντώσεων που λειτουργούν σε υψηλό αριθμό στροφών και με υψηλές ποιοτικές προδιαγραφές,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση

Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση 1 Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση 1.Δυο τροχοί ακτινών R 1=40cm και R 2=10cm συνδέονται με ιμάντα και περιστρέφονται ο πρώτος με συχνότητα f 1=4Hz, ο δε δεύτερος με συχνότητα f 2. Να βρεθεί ο αριθμός των στροφών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής

Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύμφωνα με το Ινστιτούτο Ρομποτικής της Αμερικής, ρομπότ είναι ένας αναπρογραμματιζόμενος και πολυλειτουργικός χωρικός μηχανισμός σχεδιασμένος να μετακινεί υλικά, αντικείμενα, εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Το έργο μίας από τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα. α. είναι μηδέν όταν το σώμα είναι ακίνητο β. έχει πρόσημο το οποίο εξαρτάται από τη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θεωρητικό Μέρος A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις A1, A2, A3, A4 και Β μία μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ι Τ Ρ Ε Ι Σ Ν Ο Μ Ο Ι Τ Ο Υ N E W T O N

Ο Ι Τ Ρ Ε Ι Σ Ν Ο Μ Ο Ι Τ Ο Υ N E W T O N taexeiola.gr Φυσική Α Λυκείου Οι Τρεις Νόμοι του Νεύτωνα - 1 Ο Ι Τ Ρ Ε Ι Σ Ν Ο Μ Ο Ι Τ Ο Υ N E W T O N Α. Ο ΠΡΩΤΟΣ ΝΟΜΟΣ Κάθε σώμα διατηρεί την κατάσταση ακινησίας ή ευθύγραμμης ομαλής κίνησης αν δεν ασκείται

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Σ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και σχολιάζει κάποια σημεία τους).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η Σ Τ Ε Ρ Ε Ο Υ

Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η Σ Τ Ε Ρ Ε Ο Υ Στερεό σώμα - 07-4 Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η Σ Τ Ε Ρ Ε Ο Υ 4.1. Εισαγωγικές έννοιες. ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΑΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Θεωρούμε ένα σημειακό αντικείμενο το οποίο κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 214-2 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/1/214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Eur.Ing. Δρ. Φ. Σκιττίδης. xxi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Eur.Ing. Δρ. Φ. Σκιττίδης. xxi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Eur.Ing. Δρ. Φ. Σκιττίδης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xxi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ 1.1 Ορισμός του αριθμητικού ελέγχου. 1 1.2 Ιστορική εξέλιξη του αριθμητικού ελέγχου. 1 1.3 Η εξέλιξη της τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1

με τόξο ακτίνας R 43 1.2.14 Σύνδεση ευθείας τ με δύο τόξα ακτίνας R και R 1 Πρόλογος 19 1 1.1 ΒΑΣΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΑ ΣΧΕΔΙΟΥ 21 1.1.1 Χαρτί σχεδίου 21 1.1.2 Κανονισμοί στο σχέδιο 21 1.1.3 Τοποθέτηση του χαρτιού 23 1.1.4 Αναδίπλωση 23 1.1.5 Υπόμνημα 24 1.1.6 Κλίμακα 25 1.1.7

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2: Α. Ένα σωματίδιο κινείται στο επίπεδο xy έτσι ώστε υ

ΘΕΜΑ 2: Α. Ένα σωματίδιο κινείται στο επίπεδο xy έτσι ώστε υ 3 η ΕΡΓΑΣΙΑ Τα θέματα είναι ισοδύναμα. Όπου απαιτείται δίνεται η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως g=9.8m/sec 2. Ημερομηνία Παράδοσης: 26/2/2006 ΘΕΜΑ 1: A. Σχεδιάστε τα διαγράμματα θέσης-χρόνου, ταχύτητας-χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής

6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής 6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής 6.1 Εισαγωγή Απαραίτητη προϋπόθεση για την οικονοµική εκµετάλλευση ενός σιδηροδροµικού δικτύου αποτελεί η δυνατότητα ένωσης, τοµής, διχασµού και σύνδεσης των γραµµών σε

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα