ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

2 Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού είναι το σύστημα. Το σημαντικότερο είναι ότι εάν ή απόκριση του ΣΑΕ δεν μάς ικανοποιεί, δεν μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε τις φυσικές μεταβλητές που πρέπει να αλλάξουν για να αποκτήσει το ΣΑΕ την επιθυμητή απόκριση.

3 Εισαγωγή Έτσι γίνεται κατανοητή ή ανάγκη μίας μεθόδου ανάλυσης που δεν απαιτεί την επίλυση της Διαφορικής Εξίσωσης και επί πλέον θα επιτρέπει την διόρθωση του συστήματος, για να αποκτήσει την επιθυμητή συμπεριφορά.

4 Εισαγωγή Υπάρχουν δύο μέθοδοι ανάλυσης της εν λόγω συμπεριφοράς των συστημάτων. Η μία χρησιμοποιεί την αρμονική ανάλυση και βασίζεται στην ερμηνεία των διαγραμμάτων Nyquit, Bode, Black (Nichοl). Η άλλη είναι μία γραφική μέθοδος, ο Γεωμετρικός τόπος των ριζών ή τόπος Ενan, που είναι η χάραξη των ριζών της Χ.Ε του Σ.Α.Ε.Κ.Β σαν συνάρτηση της ενίσχυσης του συστήματος.

5 Χάραξη των ριζών της Χ.Ε. Στο σχήμα του παραδείγματος που ακολουθεί, φαίνεται ένα ΣΑΕ ελέγχου γωνιακής θέσης φορτίου σε κινητήρα DC. Ενισχυτής και μοτέρ Α φορτίο R J Β C G A J B a J G Για α=

6 F C R Χάραξη των ριζών της Χ.Ε. n n n n, n n Για διάφορες τιμές της ενίσχυσης Κ, οι τιμές των ριζών θα είναι όπως δείχνει ο πίνακας:

7 Χάραξη των ριζών της Χ.Ε. Κ -,5 -,93 -,77,75 -,5 -, j --j 3 -+j,44 --j,44

8 3 = - -, 5 - -, 5 3 jω j j = -j -j επίπεδο σ Αφού έχει χαραχθεί ο Γ.Τ.Ρ, μπορούμε εν συνεχεία να επιλέξουμε τις τιμές των ριζών που μας ταιριάζουν επιλέγοντας την τιμή του Κ.

9 = -α ω nδ ω nγ ω nβ δ γ β α η δ η γ η β jω jω pδ jω pγ jω pβ = επίπεδο σ Η συμπεριφορά των ριζών (και άρα των μεγεθών της απόκρισης ξ, ω n, t ) είναι συνάρτηση του.

10 jω = -α δ γ β α η δ η γ η β jω p jω p jω p = δ γ β επίπεδο σ Η αύξηση του Κ επιφέρει: Μία μείωση του συντελεστή απόσβεσης ξ=coη, πράγμα που αυξάνει την υπερύψωση της χρονικής απόκρισης.

11 jω = -α δ γ β α η δ η γ η β jω p jω p jω p = δ γ β επίπεδο σ Μία αύξηση της καθαρής μη αποσβενυμένης συχνότητας ω n, που είναι ή απόσταση της μιγαδικής ρίζας από την αρχή των αξόνων.

12 jω = -α δ γ β α η δ η γ η β jω p jω p jω p = δ γ β επίπεδο σ Μία αύξηση της συχνότητας απόσβεσης ω p, που είναι η φανταστική συνιστώσα της μιγαδικής ρίζας.

13 jω = -α δ γ β α η δ η γ η β jω p jω p jω p = δ γ β επίπεδο σ Δεν υπάρχει επίδραση στην ποσότητα σ που μένει σταθερή για τιμές του Κ>Κ α. Αυτό μπορεί να μην ισχύει για άλλα συστήματα.

14 jω = -α δ γ β α η δ η γ η β jω p jω p jω p = δ γ β επίπεδο σ Ο Γ.Τ.Ρ είναι κάθετος για Κ>Κ α και σ=-ξω n πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα ου βαθμού είναι σταθερό ακόμα κι όταν ή ενίσχυση τείνει στο άπειρο.

15 Η χρονική απόκριση του συστήματος (για ξ< ) σε μία βηματική είσοδο θα είναι της μορφής: C t t A A e t n in P C(t) A t

16 Ο Γ.Τ.Ρ κατ ανάλογο τρόπο για κάθε σύστημα, μάς πληροφορεί για τις επιδόσεις του. Σημειωτέον ότι για Χ.Ε μεγαλυτέρων βαθμών ή εύρεση του Γ.Τ.Ρ γίνεται δύσκολη και προς τούτο θα αναπτύξουμε μία γραφική μέθοδο εύρεσής του.

17 Συστηματική ανάλυση του Γ.Τ.Ρ. Εάν στο σύστημα ου βαθμού που εξετάσαμε προσθέσουμε ένα απλό μηδενικό, θα προκύψει ή Σ.Μ: G Κ jω T T Κ δ R -/T = -/T a = επίπεδο σ

18 Συστηματική ανάλυση του Γ.Τ.Ρ. Εάν αντίθετα προσθέσουμε στην αρχική Σ.Μ έναν πόλο θα προκύψει η Σ.Μ: jω G T T 3 γ επίπεδο = -/T = -/T β = σ γ

19 Συστηματική ανάλυση του Γ.Τ.Ρ. Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι: Η πρόσθεση ενός μηδενικού σ ένα σύστημα, μεταθέτει τον Γ.Τ.Ρ αριστερότερα και το κάνει πιο ευσταθές και πιο γρήγορο. Η πρόσθεση ενός πόλου σ ένα σύστημα, μεταθέτει τον Γ.Τ.Ρ δεξιότερα και το κάνει λιγότερο ευσταθές και πιο αργό.

20 Παράδειγμα 3 4 T T T T H G = = = jω επίπεδο σ Κ Κ Κ

21 Παράδειγμα T T T T T T H G = = επίπεδο = jω σ Κ Κ Κ

22 Παράδειγμα 3 G H T T n n jω επίπεδο σ

23 Βήμα προς βήμα διαδικασία χάραξης του Γ.Τ.Ρ Υπολογισμός της Σ.Μ.Α.Β G(). H(). Κάνουμε γινόμενα παραγόντων αριθμητή και παρανομαστή της G(). H() με όρους της μορφής (+a), όπου a πραγματικός ή μιγαδικός. Βάζουμε τους πόλους και τα μηδενικά της G(). H() στο επίπεδο. Οι πόλοι και τα μηδενικά της G(). H() είναι οι ρίζες της Χ.Ε του Σ.Α.Ε.Κ.Β. +G(). H()=. Με την γεωμετρία ή έναν υπολογιστή με κατάλληλο πρόγραμμα χαράσσουμε τον Γ.Τ.Ρ που περιγράφει την συμπεριφορά των ριζών της Χ.Ε. Βαθμονομούμε τον τόπο σε τιμές της ευαισθησίας του βρόχου. Εάν ή τιμή του είναι ορισμένη, τότε οι θέσεις των ριζών της Χ.Ε βγαίνουν αμέσως. Εάν οι θέσεις είναι ορισμένες βγαίνει ή αντίστοιχη τιμή για το.

24 Βήμα προς βήμα διαδικασία χάραξης του Γ.Τ.Ρ Αφού έχουν oριστεί τα παραπάνω μπορούμε να εξάγουμε, με τον αντίστροφο μετασχηματισμό LAΡLACΕ, την μορφή της χρονικής απόκρισης. Εάν η απόκριση δεν μάς ικανοποιεί ορίζουμε την συμπεριφορά του Γ.Τ.Ρ (μέσω του Κ) που θα οδηγήσει το σύστημα να έχει την συμπεριφορά που θέλουμε. Εάν η εν λόγω συμπεριφορά δεν επιτυγχάνεται μόνον με την ενίσχυση, πρέπει να ορίσουμε τα κυκλώματα που πρέπει να παρεμβληθούν στο σύστημα για να το επιτύχουμε. Η εργασία αυτή ονομάζεται διόρθωση.

25 Συνάρτηση Μεταφοράς Ανοικτού Βρόχου G H m a ah aw b b b b u G H m z zh zw u G H m w h u p c c z h z: μηδενικά p: πόλοι w: βαθμός του αριθμητή n=m+u: βαθμός παρανομαστή

26 Η Χ.Ε θα είναι: G H Q Η ακόμα: G H m H z zh zw Η σχέση αυτή, θα πρέπει να ικανοποιείται για οποιαδήποτε τιμή του Κ από έως, δηλαδή θα πρέπει να είναι: u G ArgG H h8 Προϋπόθεση πλάτους Προϋπόθεση φάσης h,,, 3,... h,,,...

27 Εφαρμογή των προϋποθέσεων πλάτους και φάσεως G H T n n T -ρ ρ =σ+jω ρ - -z -ρ z p p p jω επίπεδο φ σ ρ ρ -ρ z 3 p 3,3 j n j n p ρ 3 =σ-jω ρ

28 Εφαρμογή των προϋποθέσεων πλάτους και φάσεως -ρ jω ρ =σ+jω ρ - -z -ρ επίπεδο φ σ ρ ρ -ρ z 3 ρ 3 =σ-jω ρ Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο στο μιγαδικό επίπεδο. Για κάθε τιμή του τα ανύσματα -p, -p, -p..., -z..., είναι μιγαδικοί αριθμοί που συμβολίζονται με ευθύγραμμα τμήματα στο επίπεδο. Εάν π.χ είναι =-4+4j και p =- θα είναι: -p =-3+4j, ή -p =5 και φ =Arg [-p ]=6,8 o.

29 Εφαρμογή των προϋποθέσεων πλάτους και φάσεως Το πλάτος της Σ.Μ θα είναι: m z z h z w u Και η φάση: 8 ή m z p z z z m p p w u h -β= Σ τόξων των όρων του αριθμητή -Σ τόξων των όρων του παρανομαστή = ( ±h)8 o β=σ τόξων των όρων του παρανομαστή -Σ τόξων των όρων του αριθμητή = ( ± h)8 o w p u

30 Παράδειγμα,5 H,5,,5 4,5 4,5, 5 5 G 4 5,5 Βήμα ο Βάζουμε τους πόλους και τα μηδενικά στο επίπεδο jω επίπεδο σ

31 Βήμα ο Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο στο επίπεδο ζητούμενο σημείο jω l 3 (l) l l φ φ 3 ψ φ επίπεδο σ 8 3 h Εάν η σχέση δεν πληρούται τότε ψάχνουμε για άλλο σημείο που να την πληροί και ούτω καθ εξής μέχρι που να βρούμε αρκετά σημεία.

32 Βήμα ο S =-+j jω l 3 (l) l l φ φ 3 ψ φ επίπεδο σ φ + φ + φ 3 - ψ =(+h).8 o Arg(-+j)+Arg(j)+Arg(3+j)-Arg(+j) =(+h).8 o =6,6 o + 9 o + 33,7 o - 45 o = 95,3 o Άρα το σημείο S = -+j δεν είναι σημείο του τόπου

33 Βήμα ο S =-,775+3j jω l 3 (l) l l φ φ 3 ψ φ επίπεδο σ φ + φ + φ 3 - ψ =(+h).8 o Arg(-,77+3j)+Arg(,+3j)+Arg(3,+3j)-Arg(,+3j) =(+h).8 o =4,6 o + 85,8 o + 4,9 o 53,3 o = 8 o Άρα το σημείο S =-,775+3j είναι σημείο του τόπου

34 Βήμα 3ο Προϋπόθεση πλάτους l l l l 3 ζητούμενο σημείο jω l 3 (l) l l φ φ 3 ψ φ επίπεδο σ l l 5 l l 4 3 Επειδή το Κ μπορεί να πάρει όλες τις τιμές, η συνθήκη του πλάτους μπορεί να πληρωθεί για κάθε σημείο του επιπέδου, πράγμα που δεν μπορεί να γίνει για την συνθήκη της φάσης. Έτσι μπορούμε να πούμε πως η κυρίαρχη συνθήκη είναι αυτή της φάσης.

35 Ο τελικός γεωμετρικός τόπος είναι: jω = Κ = = a b επίπεδο σ a b b

36 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. Αριθμός των κλάδων του τόπoυ. Όπως φαίνεται από την σχέση της Χ.Ε: +G(). H()=, αυτή είναι βαθμού n=m+u, έτσι υπάρχουν n ρίζες οι οποίες είναι συνεχείς συναρτήσεις της ευαισθησίας βρόχου Κ και καθώς το Κ μεταβάλλεται η κάθε μία απ αυτές διανύει μία καμπύλη (ή κλάδο) στον τόπο ριζών. Έτσι αφού ο βαθμός της Χ.Ε είναι ο αριθμός των πόλων της Σ.Μ.Α.Β, Ο αριθμός των κλάδων του Γ.Τ.Ρ θα ισούται με τον αριθμό των πόλων της Σ.Μ.Α.Β.

37 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. Ο τόπος στον πραγματικό άξονα. ρ 4 =σ 4 +jω 4 jω (φ 4 ) +j επίπεδο z z ρ 3 ρ ρ ρ σ (φ 4 ) -j Για το σημείο ισχύει: 3 h j j ρ 4 *=σ 4 -jω o 8 Άρα το σημείο είναι σημείο του τόπου αφού πληροί την συνθήκη της φάσης

38 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. Ο τόπος στον πραγματικό άξονα. ρ 4 =σ 4 +jω 4 jω (φ 4 ) +j επίπεδο z z ρ 3 ρ ρ ρ σ (φ 4 ) -j Για το σημείο ισχύει: 8 8 o 3 h 4 ρ 4 *=σ 4 -jω 4 j j o 8 Άρα το σημείο δεν είναι σημείο του τόπου αφού δεν πληροί την συνθήκη της φάσης

39 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. Ο τόπος στον πραγματικό άξονα. ρ 4 =σ 4 +jω 4 (φ 4 ) +j επίπεδο z z ρ 3 ρ ρ ρ (φ 4 ) -j ρ 4 *=σ 4 -jω 4 Έτσι εάν, ο συνολικός αριθμός των πόλων και των μηδενικών, δεξιότερα του ζητούμενου σημείου στον πραγματικό άξονα, είναι περιττός, τότε το σημείο βρίσκεται στον Γ.Τ.Ρ.

40 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 3. Σημεία εκκίνησης και άφιξης του τόπoυ Η συνθήκη του πλάτους μας δίνει την τιμή της ενίσχυσης Κ: W n c w h p z c h Οι όροι του αριθμητή και του παρανομαστή είναι αντίστοιχα τα πλάτη από τους πόλους και τα μηδενικά της Σ.Μ.Α.Β και άρα μπορούμε να πούμε ότι: Για = p c τo είναι μηδέν. Για = z h το Κ γίνεται άπειρο. Εάν ο αριθμητής είναι μεγαλυτέρου βαθμού από τον παρανομαστή, τότε για = το Κ γίνεται άπειρο

41 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 3. Σημεία εκκίνησης και άφιξης του τόπoυ Έτσι μπορούμε να πούμε ότι τα σημεία εκκίνησης του τόπου (Κ=) είναι οι πόλοι της Σ.Μ.Α.Β και τα σημεία άφιξης του τόπου (Κ) είναι τα μηδενικά της Σ.Μ.Α.Β. Τα σημεία στο άπειρο μπορούν να θεωρηθούν σαν ισοδύναμα με μηδενικά, βαθμού πολλαπλότητας n-w.

42 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 4. Ασύμπτωτες του τόπου για που τείνει στο άπειρο. lim lim w n u c c m w h h p z H G Το όριο της Σ.Μ.Α.Β για θα είναι: w n w n 8 ( h w n Συνθήκη πλάτους Συνθήκη φάσης w n h 8

43 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 4. Ασύμπτωτες του τόπου για που τείνει στο άπειρο. Από την όλη ανάλυση προκύπτει ότι υπάρχουν n-w ασύμπτωτες του τόπου ριζών και τα τόξα τους δίδονται από την σχέση: h8 ό ό G H ό ώ G H επίπεδο τόπος ριζών jω γ Ασύμπτωτος για πολύ μεγάλο θα είναι: σ x x γ γ γ γ

44 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 5. Τομή των ασυμπτώτων με τον πραγματικό άξονα. Τα σημεία τομής των ασυμπτώτων με τον πραγματικό άξονα μπορούν να βρεθούν με την εφαρμογή της θεωρίας των εξισώσεων και τα σημεία δίδονται από την σχέση: n Re p Rez n w w c h h πραγματικών μερών των πόλων n w πραγματικών μερών των μηδενικών

45 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 6. Σημεία καμπής του τόπου, μέγιστα και ελάχιστα. Όταν ο τόπος έχει κλάδους στον πραγματικό άξονα μεταξύ δύο πόλων ( p, p ) ή ( p, p 3 ) πρέπει να υπάρχει ένα σημείο στο οποίο οι δύο κλάδοι ξεκινώντας από τους πόλους- αφήνουν τον πραγματικό άξονα και εισέρχονται στην μιγαδική περιοχή του για να συναντήσουν τα μηδενικά τους ή το σημείο στο άπειρο. Αντίστροφα, για δύο συνεχόμενα μηδενικά ή για ένα μηδενικό και ένα στο άπειρο, οι κλάδοι έρχονται από την μιγαδική περιοχή και συναντούν τον πραγματικό άξονα, για να καταλήξουν στα μηδενικά τους.

46 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 6. Σημεία καμπής του τόπου, μέγιστα και ελάχιστα. Κ Κ Κ Σημείο καμπής Ελάχιστο = Μέγιστο z Κ Κ Κ = = z ρ z ρ ρ = σ

47 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 6. Σημεία καμπής του τόπου, μέγιστα και ελάχιστα. Κ Κ Κ Μέγιστο Κ z Μέγιστο Ελάχιστο Ελάχιστο Κ Κ Κ = = Κ z 3 z ρ 3 ρ z ρ = σ

48 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 6. Σημεία καμπής του τόπου, μέγιστα και ελάχιστα. Τα σημεία αυτά του πραγματικού άξονα μεταξύ δύο συνεχόμενων πόλων ή δύο συνεχόμενων μηδενικών (ή ενός μηδενικού και του απείρου) λέγονται σημεία καμπής και υπολογίζονται από την σχέση: d G H d d d Η σχέση αυτή είναι αναγκαία αλλά όχι και ικανή συνθήκη για τον προσδιορισμό των σημείων καμπής, καθ ότι τα σημεία που μας δίνει θα πρέπει να βρίσκονται μεταξύ των συνεχόμενων πόλων ή των συνεχόμενων μηδενικών. Εάν αυτό δεν συμβαίνει, τότε τα απορρίπτουμε.

49 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 6. Παράδειγμα G H 3 W 3 W 3 6 Q p p p Ο τόπος στον πραγματικό άξονα θα είναι από: [,-] και [-, -]. Άρα το σημείο καμπής θα βρίσκεται μεταξύ [,-].,,5743,457,5743 Η ρίζα,5743 απορρίπτεται καθ ότι εκτός τόπου. 3,46 3,46,46,385, 385

50 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 7. Μιγαδικοί πόλοι (ή μηδενικά): γωνίες αναχώρησης (ή γωνίες άφιξης). Ο κανόνας αυτός ορίζει τις γωνίες αναχώρησης του τόπου από έναν μιγαδικό πόλο ή τις γωνίες άφιξης σ ένα μηδενικό. φ jω ψ ρ φ επίπεδο φ σ ψ φ l φ 3 ρ φ φ φ 3 ρ 3

51 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 7. Μιγαδικοί πόλοι (ή μηδενικά): γωνίες αναχώρησης (ή γωνίες άφιξης). φ jω ψ ρ φ επίπεδο φ σ φ 3 ρ 3 Eφαρμόζοντας την προϋπόθεση της φάσεως θα έχουμε: 8 3 h h8 9

52 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 7. Μιγαδικοί πόλοι (ή μηδενικά): γωνίες αναχώρησης (ή γωνίες άφιξης). ψ jω φ z ψ =9 ο φ επίπεδο φ σ Κατά τον ίδιο τρόπο μπορεί να υπολογιστεί η γωνία άφιξης σε ένα μιγαδικό μηδενικό. z 9 8 h

53 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 8. Σημείο τομής με τον φανταστικό άξονα. Στην περίπτωση που ο τόπος τέμνει τον φανταστικό άξονα (nw>), τα σημεία τομής μπορούν να υπολογισθούν με το κριτήριο Rοuth-Hurwitz. Εάν π.χ ή Χ.Ε ενός συστήματος είναι: 3 b c d Q 3 c b d (bc-d)/b d Για (bc-d)/b= ή Κ=bc/d, θα έχουμε αυτοταλάντωση: b, d j d b j n

54 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 9. Tομές ή όχι των κλάδων μεταξύ τους. Εάν μία τιμή του ικανοποιεί την προϋπόθεση της φάσεως, τότε το σημείο αυτό βρίσκεται πάνω στον τόπο. Εάν δε η πρώτη παράγωγος ως προς της G()H() μηδενίζεται στο εν λόγω σημείο, τότε υπάρχει ένας και μόνον κλάδος του τόπου που περνάει απ το σημείο αυτό. Εάν οι πρώτες (y-) παράγωγοι της G()H() μηδενίζονται στο εν λόγω σημείο, τότε υπάρχουν y κλάδοι του τόπου που φθάνoυv και y που φεύγουν απ το σημείο. Το τόξο μεταξύ δύο διαδοχικών κλάδων που φθάνουν δίδεται από την σχέση: y 36 y Και το τόξο μεταξύ δύο διαδοχικών κλάδων (ενός που φεύγει και ενός που έρχεται): y 8 y

55 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ. 9. Tομές ή όχι των κλάδων μεταξύ τους (Παράδειγμα). G H 4 6 jω επίπεδο θ y σ λ y Η η, η,και 3 η παράγωγος μηδενίζονται για = 3. Άρα θα υπάρχουν 4 κλάδοι που έρχονται και 4 που φεύγουν με γωνίες λ=9 ο και θ=45 ο.

56 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. Διατήρηση του αθροίσματος των ριζών του συστήματος. u c c m w h h p z H G Έστω η Σ.Μ.Α.Β στην γενική της μορφή: Για ένα φυσικό σύστημα ισχύει: w u+m Ο αριθμητής της Χ.Ε θα είναι: u c c m n j j p r H G Q w h h u c c m n j j z p r

57 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. Διατήρηση του αθροίσματος των ριζών του συστήματος. Αναπτύσσοντας σε πολυωνυμική μορφή θα έχουμε: w h h u c c m n j j z p r n j n j n w h w h w u c n c n r z p n j j u c p c r Για τις Σ.Μ.Α.Β που είναι w n- αυτό προκύπτει από την εξίσωση των συντελεστών της -.

58 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. Διατήρηση του αθροίσματος των ριζών του συστήματος. Αφού m πόλοι της Σ.Μ.Α.Β είναι μηδενικής τιμής μπορεί επίσης να γραφεί: u j p j Όπου p j είναι όλοι οι πόλοι της Σ.Μ.Α.Β συμπεριλαμβανομένων και αυτών στην αρχή των αξόνων και r j είναι οι ρίζες της Χ.Ε. Αυτό σημαίνει ότι εάν η ενίσχυση του συστήματος μεταβάλλεται από το μηδέν έως το άπειρο, το άθροισμα των ριζών του συστήματος διατηρείται σταθερό, δηλαδή είναι ανεξάρτητο από τις μεταβολές του. n j r j

59 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. αθορισμός των ριζών πάνω στον Γ.Τ. Αφού ο Γ.Τ.Ρ έχει χαραχθεί, τα χαρακτηριστικά της επίδοσης του συστήματος μας, καθορίζουν τις κυρίαρχες ρίζες (αυτές που είναι πιο κοντά στον φανταστικό άξονα). Για τις κυρίαρχες ρίζες, η ευαισθησία του βρόχου μπορεί να υπολογισθεί εφαρμόζοντας την συνθήκη του πλάτους. Οι υπόλοιπες ρίζες για κάθε έναν από τους υπόλοιπους κλάδους μπορούν να υπολογισθούν με τις ακόλουθες δύο μεθόδους:

60 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. αθορισμός των ριζών πάνω στον Γ.Τ.. Καθορίζοντας το σημείο κάθε κλάδου που πληροί την τιμή της ευαισθησίας βρόχου των κυρίαρχων ριζών.. Εάν όλες εκτός μιας πραγματικής ρίζας (ή ενός ζεύγους μιγαδικών ριζών) είναι γνωστές, τότε μπορεί να ακολουθηθεί μία απ τις δύο μεθόδους που ακολουθούν:

61 Γεωμετρικοί κανόνες κατασκευής του Γ.Τ.Ρ.. αθορισμός των ριζών πάνω στον Γ.Τ.. Διαιρούμε την Χ.Ε με τους όρους που έχουν τις γνωστές ρίζες. Το υπόλοιπο μάς δίνει τις άγνωστες ρίζες.. Η σχέση που είναι γνωστή και σαν κανόνας του Grant, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των ριζών. Μία απαραίτητη προς τούτο προϋπόθεση είναι ο βαθμός του παρανομαστή της G()H() να είναι τουλάχιστον μεγαλύτερος κατά δύο απ αυτόν του αριθμητή. Ωστόσο η εφαρμογή του κανόνα του Grant μας δίνει τις πραγματικές ρίζες, αλλά μόνον το πραγματικό μέρος των μιγαδικών.