= 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

Transcript

1 Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και A = (A x, A y, A z ) σε 3-διαστάσεις. Προσοχή: οι συνιστώσες έχουν πρόσημο που εύκολα γίνεται κατανοητό από την σχέση της ϕοράς του διανύσματος και της θετικής κατεύθυνσης του αντίστοιχου άξονα. Αντίθετο διάνυσμα: A, ή σε συνιστώσες A = ( A x, A y, A z ) αν A = (A x, A y, A z ). Μέτρο διανύσματος: A ή απλά A, με A = A 2 x + A 2 y + A 2 z. Μοναδιαίο διάνυσμα: το διάνυσμα που έχει μέτρο μονάδα. Συμβολίζεται με Â. Άθροιση διανυσμάτων: C = A + B με C = (C x, C y, C z ) = (A x + B x, A y + B y, A z + B z ). 1

2 Κανόνας παραλληλογράμμου. Από την παραλληλία των πλευρών του παραλληλογράμμου, το άθροισμα δύο διανυσμάτων περιγράϕεται επίσης από την διαγώνιο παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα. Προσεταιριστική ιδιότητα για την άθροιση διανυσμάτων: A + (B + C) = (A + B) + C. Αϕαίρεση διανυσμάτων: A B = A + ( B). Γινόμενο βαθμωτού επί διάνυσμα: C = ka με C = (C x, C y, C z ) = (ka x, ka y, ka z ). Μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση του διανύσματος A: και το μέτρο του Â = Â = 1 A A = A A ( Ax A, A y A, A ) z A 2 = x A A + A2 y 2 A + A2 z 2 A = 1 2 Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων: είναι βαθμωτό, συμβολίζεται c = A B όπου c = AB cos(a, B). Προβολή του διανύσματος A στην διεύθυνση που ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα ˆϵ: προβολή = A ˆϵ = A cos(a, ˆϵ) = A cos ϕ Αν î και ĵ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες x, y του επιπέδου, τότε A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ 2

3 Οι δύο όροι αποτελούν τις συνιστώσες του A στους 2 άξονες με A x = A î = A cos ϕ, A y = A ĵ = A cos ( π 2 ϕ ) = A sin ϕ Στις 3-διαστάσεις, προτιμάται να χρησιμοποιούνται οι γωνίες θ και ϕ, αντί των τριων γωνιών που σχηματίζει το διάνυσμα με τους τρεις άξονες: A z = A cos θ, A x = A sin θ cos ϕ, A y = A sin θ sin ϕ Το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να εκϕραστεί και μέσω των προβολών των δύο διανυσμάτων. A B = A x B x + A y B y + A z B z Η απόδειξη για τις 2-διαστάσεις A B = A x B x + A y B y = A cos B cos b + A sin B sin b = = AB (cos cos b + sin sin b) = AB cos(b ) = AB cos ϕ Φυσικό μέγεθος που ορίζεται ως εσωτερικό γινόμενο είναι το έργο W δύναμης F που μετακινεί το σημείο εϕαρμογής της κατά το s (θεωρώντας ότι η δύναμη διατηρεί την κατεύθυνσή της) W = F s = F s cos ϕ 3

4 Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων: είναι (ελεύθερο) διάνυσμα και συμβολίζεται με C = A B. Το διάνυσμα C είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα δύο διανύσματα A και B ενώ η ϕορά του δίνεται από το κανόνα της (δεξιόστροϕης) βίδας. Το μέτρο του είναι C = AB sin ϕ όπου η γωνία ϕ είναι προσανατολισμένη και κατευθύνεται από το πρώτο διάνυσμα του εξωτερικού γινομένου προς το δεύτερο. Οι συνιστώσες του C (με A = (A x, A y, A z ) και B = (B x, B y, B z )) είναι: C x = A y B z A z B y, C y = A x B z + A z B x, C z = A x B y A y B x Εισάγοντας την έννοια της ορίζουσας, μπορούμε να γράψουμε το εξωτερικό γινόμενο με ένα πιο ευκολομνημόνευτο τρόπο. Κατ αρχάς ας ορίσουμε την ορίζουσα d 22 = και η ορίζουσα = = 11 ( ) 12 ( ) + 13 ( ) Οπότε, μπορούμε να γράψουμε î ĵ ˆk A B = A x A y A z B x B y B z = î (A yb z A z B y ) ĵ (A xb z A z B x ) + ˆk (A x B y A y B x ) Φυσικό μέγεθος που ορίζεται ως εξωτερικό γινόμενο είναι η ροπή M δύναμης F ως προς σημείο A: M = s F όπου s είναι το διάνυσμα από το σημείο A έως το σημείο εϕαρμογής της δύναμης. 4

5 Μια επίπεδη επιϕάνεια περιγράϕεται από διάνυσμα κάθετο στην επιϕάνεια με μέτρο ίσο με το εμβαδόν της επιϕάνειας. Το εμβαδόν E ενός παραλληλογράμμου, που καθορίζεται από τα διανύσματα και b, είναι το μέτρο του b b = b sin ϕ = υ Ιδιότητες του εσωτερικού και εξωτερικού γινομένου A A = A 2 = (A 2 x + A 2 y + A 2 z) = A 2 A = A A A B = B A A B = 0 αν τα A και B είναι κάθετα (A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2A B A B = 0 A B = B A αν τα A και B έχουν ίδια διεύθυνση Τριπλό γινόμενο: είναι βαθμωτό και ορίζεται ως k = C (A B). Η παρένθεση δεν είναι αναγκαία μιας και αν γίνει πρώτα το εσωτερικό γινόμενο η επόμενη πράξη δεν έχει νόημα. Το τριπλό γινόμενο γράϕεται εύκολα με την χρήση της ορίζουσας C x C y C z C (A B) = A x A y A z B x B y B z = C x (A y B z A z B y ) C y (A x B z A z B x ) + C z (A x B y A y B x ) Προσέξτε ότι οι τρεις παρενθέσεις αντιστοιχούν στις τρεις συνιστώσες του διανύσματος (A B), οπότε στην τελευταία σχέση εϕαρμόσαμε τον κανόνα του εσωτερικού γινομένου το διανύσματος C με το διάνυσμα (A B). Ο όγκος παραλληλεπιπέδου εκϕράζεται με το τριπλό γινόμενο των τριών διανυσμάτων που ορίζουν το παραλληλεπίπεδο, b και c. Ο όγκος δίνεται από το γινόμενο του εμβαδού της βάσης επί το ύψος του παραλληλεπιπέδου. Εχουμε ήδη δει ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου-βάσης δίνεται από το μέτρο του εξωτερικού γινομένου b. Οπότε, το εσωτερικό γινόμενο δίνει τον όγκο του παραλληλεπιπέδου. c ( b) = b c cos θ = b υ 5

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Η παράγωγος μιας συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 συμβολίζεται με f (x) x0 ή f (x 0 ), και ορίζεται ως το όριο f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x x0 x x 0 Αυστηρά μαθηματικά θα πρέπει το όριο x x + 0 και x x 0 να συμπίπτουν. Ενας άλλος συμβολισμός της παραγώγου, πολύ χρήσιμος στην Φυσική είναι ο ακόλουθος f (x 0 ) = lim x 0 f x df όπου το x είναι στην γειτονιά του x 0. Η παράγωγος στο σημείο x 0 και η γωνία της εϕαπτομένης ευθείας στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο x 0. Από το σχήμα βλέπουμε ότι tn θ = f(x) f(x 0) x x 0 x0 = f x Στο όριο x x 0, το τμήμα AB γίνεται εϕαπτομενικό στην καμπύλη της συνάρτησης στο σημείο x 0. Οπότε, η εϕαπτομένη της γωνίας θ, στο όριο αυτό, θα είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο αυτό tn θ = f(x) f(x 0) tn θ 0 = df x x 0 x0 Διαϕορικό μιας συνάρτησης. Γράϕοντας f = f x x 6

7 πηγαίνοντας στο όριο x 0, το κλάσμα γίνεται η παράγωγος της συνάρτησης. Το απειροστό πια x το συμβολίζουμε με και το, επίσης απειροστό, f με df, και γράϕουμε ( ) df df = Τα και df είναι το διαϕορικό του x και το διαϕορικό της συνάρτησης αντίστοιχα. Κανόνες παραγώγησης: d(f(x) + g(x)) d(f(x)g(x)) f(x)/g(x) = df(x) = df(x) = 1 g 2 (x) + dg(x), dg(x) g(x) + f(x) ( df(x) Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης (κανόνας της αλυσίδας) Παράγωγος αντίστροϕης συνάρτησης d(cf(x)) dg(x) g(x) f(x) y = f(u), u = g(x), df = df du du y = f(x) x = f 1 (y) = c df(x) τότε df 1 = 1 df Εϕαρμογή: Αν έχουμε τις συναρτήσεις x = g(t), y = f(t), οπότε μπορούμε να γράψουμε y = f(t) = f (g 1 (x)), τότε df dy = df dg 1 = dg Βασικές παράγωγοι f(x) = x df = x 1 = sin x = cos x = cos x = sin x = e x = e x = ln x = 1 x Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης f(x) είναι η παράγωγος της (πρώτης) παραγώγου και συμβολίζεται με ) f (x) ή d df(x) 7 = d2 f(x) 2

8 και όμοια για τις ανώτερες παραγώγους. Παραδείγματα από την κινηματική: Γνωρίζουμε ότι το διάστημα s που καλύπτει ένα κινητό σε χρόνο t που κινείται σε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, δίνεται από τη σχέση s = vt, όπου v σταθερά. Ορίζοντας την ταχύτητα ως την χρονική παράγωγο του διαστήματος, έπεται άμεσα ότι η v είναι η ταχύτητα του κινητού ds = d(vt) Για την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η αντίστοιχη σχέση είναι s = v 0 t t2 με v 0 και σταθερές. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο θα πάρουμε την ταχύτητα του κινητού ds = d(v 0t t2 ) = v 0 + t που είναι η γνωστή σχέση για την ταχύτητα στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Η επιτάχυνση ορίζεται ως η χρονική παράγωγος της ταχύτητας. Οπότε ds = d(v 0 + t) = ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR Αν γνωρίζουμε την τιμή της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 καθώς και τις παραγώγους όλων των τάξεων (δεύτερη παράγωγος, τρίτη παράγωγος, κλπ) στο ίδιο σημείο x 0, τότε η συνάρτηση f(x) δίνεται από τη σχέση f(x) = f(x 0 ) + 1 df 1! (x x 0 ) + 1 d 2 f (x x x0 2! 2 0 ) d 3 f (x x 3! 3 0 ) x0 x 0 Αυτή συνήθως ονομάζεται ανάπτυγμα Tylor της συνάρτησης. Μπορεί να ϕαίνεται η παραπάνω σχέση πολύ θεωρητική, μιας και έχει άπειρους όρους, αλλά για την περίπτωση που θέλουμε να περιγράψουμε την συνάρτηση στην γειτονιά του σημείου x 0, δηλαδή όταν το x x 0 είναι μικρό, καταλαβαίνουμε ότι όσο προχωράμε στους όρους του παραπάνω αθροίσματος αυτοί οι όροι γίνονται όλο και ποιο μικροί λόγω της δύναμης που ανεβαίνει στον όρο (x x 0 ). Οπότε, μπορούμε να προσεγγίσουμε την συνάρτηση στην περιοχή του σημείου x 0 κρατώντας ορισμένο αριθμό όρων μόνο. Το πόσους όρους κρατάμε εξαρτάται από την ακρίβεια που ζητάμε στην προσέγγισή μας. Αναπτύξεις γνωστών συναρτήσεων γύρω από το σημείο x 0 = 0: = v e x = 1 + x + x2 2 + x3 3! + x4 4! +... sin x = x x3 3! + x5 5! +... cos x = 1 x2 2! + x4 4! +... ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x (1 + x) = 1 + x + ( 1) x ( 1)( 2) x !

9 Από τις αναπτύξεις αυτές καταλαβαίνουμε γιατί για πολύ μικρές γωνίες η συνάρτηση sin x προσεγγίζεται από το x (προσοχή: το x σε ακτίνια, όχι μοίρες). Επίσης για να βρείτε ένα αρκετά ακριβές αποτέλεσμα του 1, δεν χρειάζεται να κάνετε πλήρως την πράξη!! Χρησιμοποιώντας την τελευταία σχέση θα έχουμε 1, = (1 + 0, 003) 3 = (0, 003) +... = 1, όπου τα... είναι της τάξης του Για τον ίδιο λόγο 1 ± x = (1 ± x) 1/2 1 ± 1 2 x, 1 1 ± x = (1 ± x) 1 1 x ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισμένο ολοκλήρωμα. Συνάρτηση f(x) στο διάστημα x b. Ορίζουμε x 0 =, x 1 = + x, x 2 = x 1 + x, x k+1 = x k + x, x n 1 = x n 2 + x, b = x n 1 + x Ορίζουμε επίσης το I n = n f(ζ k ) x, k+1 x k 1 < ζ k < x k Το ορισμένο ολοκλήρωμα της f(x) στο διάστημα x b ορίζεται ώς το όριο του I n όταν το n τείνει στο άπειρο I = lim n I n f(x) Εύκολα ϕαίνεται ότι το ολοκλήρωμα αυτό περιγράϕει το εμβαδόν ανάμεσα στην γραϕική παράσταση της f(x) και του άξονα των x, από το x = έως το x = b. Κάθε F (x) τέτοια ώστε F (x) = f(x) λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) f(x) = F (x) F (x) = f(x) Εύκολα ϕαίνεται ότι αν οι F 1 (x) και F 2 (x) είναι αόριστα ολοκληρώματα της f(x), τότε F 1 (x) F 2 (x) = c όπου c σταθερά 9

10 Μπορούμε να δούμε τώρα ότι f(x) = F (b) F () Εϕ όσον η παράγωγος της F (x) είναι η f(x) θα έχουμε οπότε df (x) = f(x) df (x) = f(x) = df (x) df (x) = f(x) df (x) Τί σημαίνει αυτό; Αν πάμε στο ορισμό του ολοκληρώματος, το δεξί μέλος της ισότητας είναι το όριο για n του αθροίσματος n F (x) = [F (x 1 ) F ()] + F (x 2 ) F (x 1 )] [F (b) F (x n 1 )] = F (b) F () k=1 ανεξάρτητο από το n. Επομένως, πράγματι f(x) = df (x) = F (b) F () Παραδείγματα από την κινηματική: Για κίνση σε μιά διεύθυνση, x, αν x(t) είναι η θέση του κινητού, η (στιγμιαία) ταχύτητα v(t) είναι v(t) = (t) Επομένως, το στοιχειώδες διάστημα που κάνει το κινητό στο στοιχειώδες χρονικό διάστημα, είναι ( ) (t) = = v(t) Αθροίζοντας τα από την χρονική στιγμή όπου η θέση του κινητού είναι x 1 και αντίστοιχα για t 2 η θέση είναι x 2, γράϕουμε x2 x 1 = v(t) x 2 x 1 = v(t) Αν γνωρίζουμε την v(t) μπορούμε να κάνουμε την ολοκλήρωση. Για παράδειγμα, για ομαλή κίνηση, οπότε v(t) = v 0 θα έχουμε x 2 x 1 = v(t) = v 0 = v 0 = v 0 (t 2 ) x 2 = x 1 + v 0 (t 2 ) 10

11 Στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα v 0 και επιτάχυνση, η ταχύτητα v(t) δίνεται από την v(t) = v 0 + t και θα έχουμε x 2 x 1 = v(t) = (v 0 + t) = v 0 + x 2 = x 1 + v 0 (t 2 ) (t 2 ) 2 t = v 0 (t 2 ) (t 2 ) 2 11