II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c"

Transcript

1 II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών 8.Κυρτότητα σταθμικών περιοχών. 9.Εξαρτημένες συναρτήσεις.περισσότερες μεταβλητές. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= (,) Αν παραστήσουμε τις τιμές z ως ύψη πάνω από τα αντίστοιχα σημεία (,) του επιπέδου, σχηματίζεται μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο Oz την οποία θεωρούμε ως το γράφημα της συνάρτησης. Όσον αφορά την γεωμετρική ερμηνεία των μερικών παραγώγων παρατηρούμε τα εξής. σταθερό, αντιστοιχεί σε τομή της επιφάνειας με κατακόρυφο επίπεδο κάθετο στον άξονα. Δίνει μια καμπύλη στον χώρο που εκφράζεται ως συνάρτηση του, όπως στο γράφημα: {= α, z= (α, )}, την μελετούμε χρησιμοποιώντας την παράγωγο. σταθερό, αντιστοιχεί σε τομή της επιφάνειας με κατακόρυφο επίπεδο κάθετο στον άξονα. Δίνει μια καμπύλη στον χώρο που εκφράζεται ως συνάρτηση του, όπως στο γράφημα: {= β, z= (,β)}, την μελετούμε χρησιμοποιώντας την παράγωγο. Οι γραμμικές συναρτήσεις ορίζουν επίπεδες επιφάνειες, όπου οι σταθερές μερικές παράγωγοι μας δίνουν τις κλίσεις της επιφάνειας στις δύο κατευθύνσεις.. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο Μια επίπεδη επιφάνεια ορίζεται από 3 σημεία της, ή εναλλακτικά από ένα σημείο της και τις δύο κλίσεις της: {(,,z ),α= z,β= z } z= z + z ( ) + z ( ) Γενικά, καλούμε γραμμική προσέγγιση ή γραμμική επέκταση μιας συνάρτησης (,) σε κάποιο σημείο (, ), την γραμμική συνάρτηση που έχει την ίδια τιμή και τις ίδιες μερικές παραγώγους με την συνάρτηση, στο σημείο. Είναι η γραμμική συνάρτηση του εφαπτόμενου επιπέδου στο αντίστοιχο σημείο της επιφάνειας. Σύμφωνα με τα παραπάνω θα έχει την παράσταση: (,) z= + ( ) + ( ), όπου: = (, ), = (, ), = (, ) Παράδειγμα. 3 = + + στο ( =, = ) { =, = 3 + = 3, = + = }. Γραμμική προσέγγιση: z= + 3( ) + = + + Παρατήρηση. Στα πολυώνυμα, μπορούμε να βρούμε την γραμμική προσέγγιση αναπτύσσοντας σε δυνάμεις των {, }, και κρατώντας μόνο τις δυνάμεις μέχρι ης τάξης. Παρατήρηση. Παρατηρούμε ότι σε κάθε σημείο (,) : οι μεταβολές αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις πάνω στην επιφάνεια και ικανοποιούν πολύπλοκες σχέσεις, αντίστοιχες με την αρχική συνάρτηση: Δz= (+ Δ, + Δ) (, ) τα διαφορικά αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο και συνδέονται με τις παραπάνω απλές γραμμικές σχέσεις: d = d+ d. Στα στάσιμα σημεία το εφαπτόμενο επίπεδο είναι οριζόντιο. Συνήθως είναι σημεία ακρότατης τιμής της συνάρτησης, αλλά όχι απαραίτητα. 3. Ισοσταθμικές: (, ) = z= (,β) z= (α,) Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και την παράστασή της ως επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο: z= (, ) Έχουμε εξετάσει κατακόρυφες τομές της επιφάνειας, κάθετα στον άξονα και στον άξονα αντίστοιχα. Τώρα θα εξετάσουμε τομές της επιφάνειας με οριζόντια επίπεδα κάθετα στον z άξονα. = β = α

2 Παρατηρούμε ότι η τομή με το οριζόντιο επίπεδο: z= δίνει μια οριζόντια καμπύλη στο χώρο, της οποίας η προβολή στο επίπεδο O παριστάνεται με την εξίσωση υποκατάστασης: (, ) = Καλείται ισοσταθμική της με τιμή, διότι στα σημεία της η z= συνάρτηση έχει τη σταθερή τιμή. Γενικά κάθε ισοσταθμική χωρίζει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο επίπεδο Oσε δύο υποπεριοχές, οι οποίες καλούνται: + : (,), πάνω σταθμική + (, ) = (, ) = : (,), κάτω σταθμική Στην πάνω σταθμική περιοχή η συνάρτηση έχει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με το και στη κάτω μικρότερες ή ίσες με το. Ειδικά η μηδενική ισοσταθμική: (,) =, χωρίζει την περιοχή των θετικών τιμών από την περιοχή των αρνητικών τιμών. Παράδειγμα. Θα δώσουμε γραφήματα ισοσταθμικών, με πεδίο ορισμού στη θετική περιοχή:,.. z=, γραμμική. z Παριστάνει επίπεδο, που τέμνει τους άξονες, ως εξής:. ( =, = ) z=, τομή με τον z άξονα ( =,z = ) =, τομή με τον άξονα (=,z = ) =, τομή με τον άξονα z= + =, τομή με το O επίπεδο Ισοσταθμικές της είναι οι παρακάτω παράλληλες ευθείες, για διάφορες τιμές του : = + = /. z= Cobb-Douglas (C-D) Η μηδενική ισοσταθμική αντιστοιχεί στους θετικούς ημιάξονες. z= = = ή = Οι υπόλοιπες ισοσταθμικές είναι υπερβολικές καμπύλες: = = / 3. z= 4+ + = ( ) ( ), τετραγωνική ή παραβολική Έχει μέγιστη τιμή: z=. Η αντίστοιχη ισοσταθμική αποτελείται από ένα μόνο σημείο: ( =, = ). Για τιμές z= <, οι ισοσταθμικές είναι ομόκεντροι κύκλοι με z κέντρο (,) και ακτίνα : z= ( ) ( ) = ( ) + ( ) = Για z= > δεν υπάρχουν ισοσταθμικές, διότι η συνάρτηση δεν παίρνει τιμές μεγαλύτερη του. 4. Δίνουμε και τα παρακάτω γραφήματα ισοσταθμικών χωρίς τις αντίστοιχες επιφάνειες, στη θετική περιοχή. z + + (+ ) ln+ (+ )( + ) ln ln = ln( / )

3 Παρατήρηση. Γενικά, οι ισοσταθμικές σχηματίζουν μια οικογένεια διακριτών καμπύλων στο επίπεδο O, η οποία ερμηνεύεται ως επίπεδη παράσταση της αντίστοιχης επιφάνειας, όπως ακριβώς οι ανάγλυφοι χάρτες παριστάνονται με τις ισοϋψείς τους. Η ισοσταθμική που διέρχεται από το τυχόν σημείο (, ) παριστάνεται με την εξίσωση: (,) = (, ) 4. Κλίση ισοσταθμικών. Η κλίση των ισοσταθμικών δίνεται από τον ρυθμό υποκατάστασης και συνδέεται με τις ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης (,), δηλαδή με τα πρόσημα των {, }, λόγω της σχέσης: d (, ) = () = = d Ειδικότερα:. Οι ισοσταθμικές έχουν αρνητική κλίση αν τα {, } έχουν το ίδιο πρόσημο, δηλαδή αν η συνάρτηση (, ) είναι μονότονη. Πράγματι, αν τα {, } έχουν το ίδιο πρόσημο τότε οι μεταβολές των {,} επηρεάζουν την με τον ίδιο τρόπο, οπότε για να μείνουμε σε μια ισοσταθμική ώστε να μην μεταβληθεί η τιμή της συνάρτησης, θα πρέπει όταν αυξάνουμε τη μία μεταβλητή να ελαττώνουμε την άλλη. Έτσι η ισοσταθμική θα έχει αρνητική κλίση, δηλαδή η πλεγμένη συνάρτηση: (, ) = = () θα είναι φθίνουσα. Λέμε ότι έχουμε υποκατάσταση.. Οι ισοσταθμικές έχουν θετική κλίση αν τα {, } έχουν αντίθετο πρόσημο, δηλαδή αν η συνάρτηση (, ) δεν είναι μονότονη. Πράγματι, αν τα {, } έχουν αντίθετο πρόσημο, τότε οι μεταβολές των {,} επηρεάζουν την με αντίθετο τρόπο, οπότε για να μείνουμε σε μια ισοσταθμική ώστε να μη μεταβληθεί η τιμή της συνάρτησης, θα πρέπει όταν αυξάνουμε τη μια μεταβλητή να αυξάνουμε και την άλλη για αντιστάθμισμα. Έτσι η ισοσταθμική θα έχει θετική κλίση και η πλεγμένη συνάρτηση: (, ) = = () θα είναι αύξουσα. Λέμε ότι η υποκατάσταση αντιστοιχεί σε αντιστάθμιση. Παρατήρηση. Συχνά στις εφαρμογές ο ρυθμός υποκατάστασης ορίζεται ως το αρνητικό του παραπάνω: = / οπότε στην υποκατάσταση θα είναι θετικό. Ενίοτε ορίζεται και ως το μέτρο: (), οπότε είναι πάντοτε θετικό. 5. Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος μιας συνάρτησης (,) καλείται το επίπεδο διάνυσμα που έχει για συντεταγμένες τις δύο μερικές παραγώγους: = (, ) J ή Τοποθετείται με την αρχή του στο εκάστοτε σημείο (,) και μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο, εκτός αν η συνάρτηση είναι γραμμική οπότε είναι σταθερό. Σε κάθε σημείο η μονοτονία χαρακτηρίζεται από την κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου. Υπάρχουν τέσσερες γενικές κατευθύνσεις, οι παρακάτω: αύξουσα φθίνουσα αύξουσα φθίνουσα αύξουσα φθίνουσα φθίνουσα αύξουσα δεξιά-πάνω αριστερά-κάτω δεξιά-κάτω αριστερά-πάνω Δ> < > Δ> = Δ< = Δ> 3

4 Αν οι δύο μερικές παράγωγοι έχουν το ίδιο πρόσημο, όπως στα δύο πρώτα γραφήματα του παραπάνω σχήματος, τότε ως γνωστόν λέμε ότι η συνάρτηση είναι μονότονη. Ειδικότερα μια συνάρτηση είναι: αύξουσα αν η διανυσματική παράγωγος δείχνει πάνω-δεξιά όπως στο πρώτο γράφημα με: {, } φθίνουσα αν δείχνει κάτω-αριστερά όπως στο δεύτερο γράφημα με: {, } Αναφέρουμε χωριστά τις τέσσερις ειδικές κατευθύνσεις όπου η μία μερική παράγωγος είναι μηδενική και η άλλη μη μηδενική, οπότε η κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου είναι: οριζόντια αν {, = }, κατακόρυφη αν { =, }. Στα στάσιμα σημεία η διανυσματική παράγωγος είναι το μηδενικό διάνυσμα. Παράδειγμα. (, ) = + (,) = (, ) = (4,) Σκιαγραφούμε τις διανυσματικές παραγώγους στα σημεία: { : (,) = (,)}, {B : (,) = (4,)}, {Γ : (,) = (4,)}, {Δ : (,) = (,)} Γ Παρατηρούμε ότι είναι αύξουσα στη θετική περιοχή. Το Δ είναι στάσιμο σημείο με μηδενική διανυσματική παράγωγος. Στο Δ η συνάρτηση έχει Δ B ελάχιστη τιμή μηδενική, διότι παντού αλλού είναι γνήσια θετική. Παρατήρηση. Η διανυσματική παράγωγος καλείται επίσης διανυσματική κλίση (gradient), και τότε παριστάνεται ως διάνυσμα στήλη με τον συμβολισμό: (, ) ή grad(, ) = 6. Ιδιότητες των ισοσταθμικών Υπάρχει μια ιδιαίτερη σχέση μεταξύ των διανυσματικών παραγώγων και των ισοσταθμικών, μιας συνάρτησης z= (, ), ως εξής:. Σε κάθε σημείο (,), η διανυσματική παράγωγος είναι κάθετη στην ισοσταθμική που διέρχεται από το ίδιο σημείο, και δείχνει στην κατεύθυνση της Δ> πάνω σταθμικής. Αυτό συμβαίνει διότι σε σχέση με την επιφάνεια η ισοσταθμική Δs = + Δ δείχνει την κατεύθυνση σταθερού υψόμετρου, ενώ η διανυσματική παράγωγος την κατεύθυνση μέγιστης ανωφέρειας. Εξάλλου οι κλίσεις της ισοσταθμικής και της = διανυσματικής παραγώγου έχουν γινόμενο -, και επομένως είναι κάθετες μεταξύ τους: ( / )( / ) =. Σε κάθε σημείο το μήκος της διανυσματικής παραγώγου είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης μεταξύ γειτονικών ισοσταθμικών, δηλαδή ανάλογο της πυκνότητας των ισοσταθμικών. Αυτό συμβαίνει διότι όσο κοντύτερα βρίσκονται οι ισοσταθμικές μεταξύ τους τόσο γρηγορότερα μεταβάλλονται οι τιμές της συνάρτησης, δηλαδή τόσο πιο απότομη είναι η επιφάνεια και μεγαλύτερες οι μερικές παράγωγοι. Έτσι, σε κάθε σημείο, η διανυσματική παράγωγος δείχνει την κατεύθυνση προς την οποία η συνάρτηση αυξάνει με τον γρηγορότερο ρυθμό ο οποίος και είναι ίσος με το μήκος της διανυσματικής παραγώγου. Στην αντίθετη από την παραπάνω κατεύθυνση έχουμε την πιο απότομη κατωφέρεια προς την οποία οι τιμές της συνάρτησης μικραίνουν με τον γρηγορότερο ρυθμό. Στα στάσιμα σημεία η διανυσματική παράγωγος είναι μηδενική και δεν ορίζεται κατεύθυνση αύξησης ή μείωσης των τιμών. Συνήθως στα σημεία αυτά η συνάρτηση έχει ακρότατη τιμή, μέγιστη ή ελάχιστη, οπότε πράγματι δεν ορίζεται ειδική κατεύθυνση αύξησης ή μείωσης των τιμών της. Παράδειγμα. (, ) = + (,) = (, ) = (4,) Σκιαγραφούμε τις ισοσταθμικές και τις διανυσματικές παραγώγους στα σημεία: { : (,) = (,)}, {B : (,) = (4,)}, {Γ : (,) = (4,)}, {Δ : (,) = (,)} Γ Στα {,B,Γ} οι διανυσματικές παράγωγοι είναι κάθετες στις αντίστοιχες Δ B ισοσταθμικές και δείχνουν προς τις πάνω σταθμικές περιοχές. Είναι μεγαλύτερες όπου οι ισοσταθμικές είναι πιο πυκνές, δηλαδή απέχουν μεταξύ τους λιγότερο. Στο Δ έχουμε στάσιμο σημείο με μηδενική διανυσματική παράγωγο. 4

5 Παράδειγμα. (,) = στη θετική περιοχή: {, }. Οι μερικές παράγωγοι έχουν αντίθετο πρόσημο: = >, =, αύξουσα, φθίνουσα και επομένως οι ισοσταθμικές πρέπει να έχουν θετική κλίση. Πράγματι οι ισοσταθμικές είναι οριζόντιες παραβολές, με θετική κλίση: (,) = = = +.. Η διανυσματική κλίση δείχνει δεξιά-κάτω, εκτός των σημείων στον άξονα που δείχνει δεξιά. Σε κάθε περίπτωση είναι κάθετη στην ισοσταθμική και πρέπει να δείχνει προς την πάνω σταθμική. Πράγματι, οι πάνω σταθμικές είναι προς τα δεξιά-κάτω όπως η γραμμοσκιασμένη περιοχή στο σχεδιάγραμμα: (,) = + Παράδειγμα. Οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν σταθερή διανυσματική παράγωγο και παράλληλες ευθείες ως ισοσταθμικές, με σταθερό ρυθμό υποκατάστασης: d α = α + β + γ = d = β {Δ = α υποκαθιστά Δ= } ή {Δ= β υποκαθιστά Δ= α } β Αναφέρουμε τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις: =. Οι ισοσταθμικές είναι οριζόντιες ευθείες: =. Όσο και να αυξάνει το η διατήρηση της τιμής της συνάρτησης απαιτεί το ίδιο. Ορίζει μηδενικό ρυθμό υποκατάστασης του από το, δηλαδή το δεν μπορεί να υποκαταστήσει το : { =, = } =. =. Οι ισοσταθμικές είναι κατακόρυφες ευθείες: =. Όσο και να αυξάνει το η διατήρηση της τιμής της συνάρτησης απαιτεί το ίδιο. Ορίζει μηδενικό ρυθμό υποκατάστασης του από το, δηλαδή το δεν μπορεί να υποκαταστήσει το : { =, = } = 7. Εξαρτημένες μεταξύ τους καλούνται δύο συναρτήσεις: {(,), g(,)}, αν η μια είναι μετασχηματισμός της άλλης: = H(g) (,) = H(g(,)) όπου H είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Αν η H είναι γνήσια μονότονη, τότε ισχύει και η αντίστροφη σχέση: g= H () οπότε η κάθε συνάρτηση είναι γνήσια μονότονος μετασχηματισμός της άλλης, γνήσια αύξων αν η Η είναι γνήσια αύξουσα. Γεωμετρικά, οι εξαρτημένες συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα ότι έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές, βέβαια με διαφορετικές τιμές. Κριτήριο εξάρτησης. Οι συναρτήσεις δυο μεταβλητών: {(,),g(,)} είναι εξαρτημένες ικανοποιείται η συνθήκη: g g Παράδειγμα. Οι συναρτήσεις { = ln ln, g= / } είναι εξαρτημένες στη θετική περιοχή, διότι ικανοποιείται η συνθήκη: / / = = g g / / Πράγματι έχουμε: { = lng, g= e } οπότε οι ισοσταθμικές της = ln ln= ln( / ) είναι ακτίνες, όπως της g= /. 5

6 α β. Οι συναρτήσεις: =, g= ln = αln + βln είναι εξαρτημένες στη θετική περιοχή και έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές. Καλούνται τύπου C-D (Cobb-Douglas) και λογαριθμικές C-D αντίστοιχα.. Oι συναρτήσεις { = ( ), g= } είναι εξαρτημένες διότι έχουμε: = g. Κάθε ισοσταθμική της g είναι ισοσταθμική και της. Έτσι εκτός των γραμμικών, και όλες οι συναρτήσεις που είναι εξαρτημένες από τις γραμμικές έχουν ως ισοσταθμικές παράλληλες ευθείες. Παράδειγμα. (, ) = + { =, = }, στη θετική περιοχή: {, } Είναι μονότονη αύξουσα και έχει ισοσταθμικές με αρνητική κλίση. Η διανυσματική παράγωγος δείχνει πάνω δεξιά προς την πάνω σταθμική. Στο στάσιμο: (,), η ισοσταθμική είναι σημείο και η διανυσματική παράγωγος είναι μηδενική.. Η g= + =, είναι αύξων μετασχηματισμός της, οπότε έχει τις ίδιες ισοσταθμικές, με τα ίδια χαρακτηριστικά. 3. Η h = ( + ) = /, είναι φθίνων μετασχηματισμός της, οπότε έχει τις ίδιες ισοσταθμικές, αλλά είναι μονότονη φθίνουσα και αντιστρέφει την κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου. 8. Κυρτότητα ισοσταθμικών Εκτός από την κλίση των ισοσταθμικών, ενδιαφέρον παρουσιάζει και η κυρτότητα των ισοσταθμικών. Λέμε ότι η συνάρτηση (, ) ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν το () είναι φθίνουσα συνάρτηση του, δηλαδή: καθώς το αυξάνει κάθε επιπλέον μοναδιαία αύξησή του υποκαθιστά ή αντισταθμίζει όλο και μικρότερη ποσότητα, οριακά. Αν συμβαίνει το αντίθετο τότε λέμε ότι η συνάρτηση ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το. Διαπιστώνουμε ότι μια συνάρτηση (,) ορίζει: φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν η πρώτη και η δεύτερη πλεγμένη παράγωγος: () και (), έχουν αντίθετο πρόσημο, όπως στa παρακάτω γραφήματα {,4}. αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν η πρώτη και η δεύτερη πλεγμένη παράγωγος : () και (), έχουν το ίδιο πρόσημο, όπως στα παρακάτω γραφήματα {,5}. σταθερό ρυθμό υποκατάστασης αν η δεύτερη πλεγμένη παράγωγος είναι μηδενική: () =, οπότε οι ισοσταθμικές είναι ευθείες, όπως στα παρακάτω γραφήματα {3,6}. Αυτό ισχύει για τις γραμμικές συναρτήσεις, αλλά και για τις εξαρτημένες από αυτές..φθίνων. αύξων 3.σταθερό 4.φθίνων 5.αύξων 6.σταθερό υποκατάσταση αντιστάθμιση Παρατήρηση. Στην υποκατάσταση, αν το () είναι αύξον ή φθίνον τότε το αντίστροφο () θα έχει την ίδια ιδιότητα. Στην αντιστάθμιση ισχύει το αντίθετο, όπως διαπιστώνουμε και γραφικά από τα σχήματα. Παράδειγμα. Στη θετική περιοχή: {, } θεωρούμε τις παρακάτω συναρτήσεις:. (,) =, ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το (, ) = +, ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το (, ) =, ορίζει φθίνοντα ρυθμό αντιστάθμισης του από το (, ) =, ορίζει αύξοντα ρυθμό αντιστάθμισης του από το 5. (, ) = + + = (+ ), ορίζει σταθερό ρυθμό υποκατάστασης Δίνουμε τα σχετικά γραφήματα παρακάτω: 6

7 . =. + = 3. = = + 4. = = + 5. (+ ) = + = 9. Κυρτότητα σταθμικών περιοχών Στις εφαρμογές εξετάζουμε και την κυρτότητα των σταθμικών περιοχών. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Οι κάτω σταθμικές είναι κυρτές. Σ αυτή την περίπτωση για κάθε ζεύγος συνδυασμών (, ) και (, ) στην ίδια ισοσταθμική, η συνάρτηση θα έχει μικρότερη τιμή στους ενδιάμεσους συνδυασμούς: { t = ( t) + t, t = ( t) + t } με t, διότι θα βρίσκονται όλοι στην αντίστοιχη κάτω σταθμική: (, ) = (, ) = (, ) t t Λέμε ότι η συνάρτηση είναι οιονεί κυρτή αν έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή αν έχει τις κάτω σταθμικές περιοχές κυρτές Οι πάνω σταθμικές είναι κυρτές. Σ αυτή την περίπτωση για κάθε ζεύγος συνδυασμών (, ) και (, ) στην ίδια ισοσταθμική, η συνάρτηση θα έχει (, ) (, ) μεγαλύτερη τιμή στους ενδιάμεσους συνδυασμούς: { = ( t) + t, = ( t) + t } με t, t t διότι θα βρίσκονται όλοι στην αντίστοιχη πάνω σταθμική: (, ) = (, ) = (, ) t t Λέμε ότι η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη αν έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή αν έχει τις πάνω σταθμικές περιοχές κυρτές Παρατήρηση. Οι παραπάνω περιοχές θα είναι γνήσια οιονεί κυρτές (κοίλες) αν επιπλέον οι ισοσταθμικές δεν έχουν ευθύγραμμο τμήμα, ή ισοδύναμα αν οι παραπάνω ανισότητες είναι γνήσιες για κάθε γνήσια ενδιάμεσο συνδυασμό: < t<. Παρατηρούμε ότι: Αύξων μετασχηματισμός συνάρτησης διατηρεί τις παραπάνω δύο ιδιότητες. Αντίθετα, φθίνων μετασχηματισμός αντιστρέφει τις δύο ιδιότητες.. Περισσότερες μεταβλητές Τα παραπάνω γενικεύονται σε συναρτήσεις με περισσότερες από δύο μεταβλητές. Ειδικά στην περίπτωση συναρτήσεων 3 μεταβλητών: w = (,,z) τα γραφήματα των ισοσταθμικών είναι επιφάνειες στον τρισδιάστατο χώρο: {w = (,, z) = } Κάθε ισοσταθμική επιφάνεια χωρίζει την περιοχή ορισμού της συνάρτησης σε δύο χωρικές υποπεριοχές. Καλούνται πάνω σταθμική και κάτω σταθμική και ορίζονται με τις αντίστοιχες ανισότητες: + (,,z) = : (,,z), : (,,z) Επίσης, σε κάθε σημείο ορίζεται η διανυσματική κλίση: =(,, ) z (, ) (, ) (, ) (, ) Είναι διάνυσμα κάθετο στην αντίστοιχη σταθμική επιφάνεια και δείχνει την κατεύθυνση της πάνω σταθμικής, δηλαδή την κατεύθυνση αύξησης των τιμών της συνάρτησης. Για να μελετήσουμε την ισοσταθμική επιφάνεια θεωρούμε ότι η εξίσωση ορίζει πλεγμένα μια συνάρτηση, π.χ. (,, z) = z= z(, ) την οποία στη συνέχεια εξετάζουμε σύμφωνα με την παραπάνω γνωστή θεωρία δύο μεταβλητών. 7

8 II.6 IΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. Θεωρούμε τις παρακάτω συναρτήσεις στη θετική περιοχή: {, }. α) Να σκιαγραφηθούν οι διανυσματικές παράγωγοι οι ισοσταθμικές και οι σταθμικές περιοχές. β) Να διερευνηθεί η μονοτονία ως προς την κάθε μεταβλητή. / /3 +,,,,, ln+, e, ma{, }. Θεωρούμε δύο συναρτήσεις με ισοσταθμικές που δίνονται από τις καμπύλες του παραπλεύρως σχήματος, αντίστοιχα. Αν αμφότερες είναι αύξουσες να διερευνηθεί σε κάθε περίπτωση η μονοτονία ως προς και να σκιαγραφηθεί η αντίστοιχη πάνω σταθμική. 3. Η συνάρτηση (,) έχει τις ισοσταθμικές του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν στα σημεία {,B} τα πρόσημα των μερικών παραγώγων καθώς και του ρυθμού υποκατάστασης Ασκήσεις = B = 4. Στα γραφήματα παραπλεύρως δίνονται δύο ισοσταθμικές μιας συνάρτησης (,). Στα σημεία {,B} :. Να εκτιμηθούν οι μερικές παράγωγοι και ο ρυθμός υποκατάστασης. Να σκιαγραφηθεί η διανυσματική παράγωγος. B = 6 = 3 = 3 B = 6 5. Για τη συνάρτηση z= z(, ) που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση: z+ z =, να διαπιστωθεί ότι δεν έχει στάσιμο σημείο, και να βρεθεί η γραμμική προσέγγιση στο (,,) 6. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων επιπέδων στα αντίστοιχα σημεία (,,z) των παρακάτω επιφανειών: z= + στο (,,5), + + z = 9 στο (,,) 7. Αν μια συνάρτηση (, ) έχει στα σημεία: { : (,), B : (,), Γ : (,)} τις τιμές: {,, } αντίστοιχα, να εκτιμηθούν, οι μερικές παράγωγοι στο Α, καθώς και η τιμή της συνάρτησης στο (,). 8. Να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές και οι διανυσματικές παράγωγοι μιας συνάρτησης (,) που έχει τις παρακάτω ιδιότητες στη θετική περιοχή: {, }.. αύξουσα, με ρυθμό υποκατάστασης: α) αύξοντα, β) φθίνοντα. φθίνουσα, με ρυθμό υποκατάστασης: α) αύξοντα, β) φθίνοντα 3. φθίνουσα, αύξουσα, με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης(αντιστάθμισης) του ως προς. 4. αύξουσα, φθίνουσα, με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης(αντιστάθμισης) του ως προς. 5. αύξουσα και: α) οιονεί κυρτή, β) οιονεί κοίλη 6. φθίνουσα και: α) οιονεί κυρτή, β) οιονεί κοίλη 7. φθίνουσα, αύξουσα και οιονεί κοίλη 8. αύξουσα, φθίνουσα και οιονεί κοίλη 8

1. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c. Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και την παράστασή της ως επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο:

1. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c. Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και την παράστασή της ως επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο: Β. ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ-ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 1.Ισοσταθμικές.Εξίσωση υποκατάστασης-ρυθμός υποκατάστασης 3.Κλίση ισοσταθμικών 4.Κυρτότητα ισοσταθμικών 5.Εξαρτημένες συναρτήσεις 6.Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης 7.Ιακωβιανές

Διαβάστε περισσότερα

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w : ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος.

Διαβάστε περισσότερα

II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 5.Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Παραβολική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Η εξίσωση ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς β, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II

E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II 1.Εισροές-Συντελεστές παραγωγής.εκροές-παραγόμενα προιόντα 3.Εξωτερικότητες 4.Εισροές-Καταναλωτικά αγαθά 5.Καμπύλες αδιαφορίας 6.Βελτιστοποίηση Σε μια παραγωγική διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα

g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 Μέρος Α. (.6 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος Α Μέρος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (3.6 μονάδες) (α). Δίνεται η εξίσωση: = 8. Αν το ελαττωθεί από την τιμή = κατά 1%, να εκτιμηθεί η αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή του. (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης () στο διάστημα, της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την

Διαβάστε περισσότερα

B1. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

B1. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ B1. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 1.Συναρτήσεις δύο µεταβλητών.μερικές παράγωγοι 3.Γραφήµατα-Επιφάνειες 4.Ειδικές συναρτήσεις 5.Μερικές ελαστικότητες 6.Γραµµική προσέγγιση-εφαπτόµενο επίπεδο 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0,

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0, Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. (3. μονάδες) Η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο διάστημα 0, και έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. α). Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας β). Να γίνουν τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() f () της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 1. (4 μονάδες) α). Θεωρούμε τη σχέση = 3. Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή του που θα προκαλέσει μείωση του κατά 1% από την αρχική τιμή =. β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση () =

Διαβάστε περισσότερα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE.Ολικά και τοπικά ακρότατα.εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3. Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Ισοτικός περιορισμός 5.Περιορισμένη στασιμότητα 6.Πολλαπλασιαστής Lagrange 7.Συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.Παραδείγματα αναλυτικά.παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα ζήτησης 4.Ελαστικότητα προσφοράς 5. Έσοδο 6.Κέρδος μονοπωλίου. Παραδείγματα αναλυτικά Παράδειγμα. Σε μια οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Διαβάστε περισσότερα

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Μέρος Α. (3.6 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους

Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους Σε μια παραγωγική διαδικασία διακρίνουμε τις εισροές (inpts) που αφορούν τους συντελεστές παραγωγής (factors of prodction), και τις εκροές (otpts) που αφορούν

Διαβάστε περισσότερα

C(Q) FC. } τα επίπεδα παραγωγής με ελάχιστο μέσο μεταβλητό κόστος p

C(Q) FC. } τα επίπεδα παραγωγής με ελάχιστο μέσο μεταβλητό κόστος p EI.. ΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ.Μέσο κόστος(α).ελάχιστο μέσο κόστος 3.Μέσο προιόν(a).μέγιστο μέσο προιόν 5.Κερδοφορία. Μέσο κόστος Θεωρούμε το κόστος παραγωγής ενός προιόντος ως συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής, και

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε.

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε. Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία Άσκηση η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ) ln(, e, Λύση: Έχουμε ln ln ( ), f = = e = e R ln ln f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ln = ln, R Γενικά ισχύει: ( a ) = ln

Διαβάστε περισσότερα

E7 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ

E7 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ E7 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ.Εισοδηματικός περιορισμός.μεγιστοποίηση χρησιμότητας 3.Γραμμική χρησιμότητα 4.Λογαριθμική χρησιμότητα τύπου -D 5.Χρησιμότητα τύπου Lontif-min 6.Μεγιστοποίηση χρησιμότητας-κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ

B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

E1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι

E1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι E. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι.Κόστος.Παραγωγή 3.Χρησιµότητα 4.Ζήτηση-Προσφορά 5.Φόρος. Κόστος Θεωρούµε ότι το κόστος παραγωγής (cost) ενός προιόντος είναι συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής (production)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Παράγωγοι ανώτερης τάξης Παράγωγοι ανώτερης τάξης Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικά Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglks.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 σε μερικές παραγώγους σε μέγιστα, ελάχιστα

Διαβάστε περισσότερα

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές 9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ.Ελαστικότητα.Χαρακτηρισµός ελαστικότητας 3.Ελαστικότητα αντίστροφης 4. ιαφορικά 5.Οµογενείς συναρτήσεις 6.Λογισµός ρυθµών και διαφορικών 7.Λογαριθµική κλίµακα. 8.Σχετικός

Διαβάστε περισσότερα

1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος

1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Περίγραμμα διάλεξης 5 Βιβλίο Chiang και Wainwright (κεφ 74,75,76) 1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Έστω η συνάρτηση (x) όπου x R ή εναλλακτικά γράφουμε ( 1 2 ) Το διάνυσμα x περιέχει τις ανεξάρτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Να βρεθεί το δεσμευμένο στάσιμο της συνάρτησης f(x, y) = x + y με τον περιορισμό:

(iii) Να βρεθεί το δεσμευμένο στάσιμο της συνάρτησης f(x, y) = x + y με τον περιορισμό: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (3 μονάδες) (i) Δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις: = ln(t+ 1), y= t + t. Να υπολογιστεί η παράγωγος του ως προς y, όταν t= 0. (ii) Δίνεται η συνάρτηση: f() = p+. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας δούμε τα γραφήματα των συναρτήσεων των τριών τελευταίων παραδειγμάτων του τελευταίου μαθήματος. Στο πρώτο παράδειγμα το γράφημα καθεμιάς f () = είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι α) Η ποσότητα ζήτησης ενός αγαθού εξαρτάται από την µοναδιαία τιµή του P και από το εισόδηµα Y, σύµφωνα µε την σχέση: = P Y. Αν η τιµή αυξηθεί κατά %, να εκτιµηθεί πόσο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής -H πλευρά της προσφοράς στην οικονομία μελετάει τη διαδικασία παραγωγής των αγαθών και υπηρεσιών που καταναλώνονται από τα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2 - Σημειώσεις

Διάλεξη 2 - Σημειώσεις Διάλεξη 2 - Σημειώσεις Συναρτήσεις 1. Συνάρτηση: μία συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αναθέτει σε κάθε στοιχείο του συνόλου ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου. Το σύνολο καλείται πεδίο ορισμού της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση Κύκλου Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση y y ε Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου y ρ στο σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5- Σημειώσεις

Διάλεξη 5- Σημειώσεις Διάλεξη 5- Σημειώσεις 1 Κοίλες (concave) και κυρτές (convex) συναρτήσεις Σημείωση: Μόνο για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα (κυρτό) διάστημα R και παραγωγίσιμες τουλάχιστον δύο φορές στο εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

α β. M x f x. f x x x = = =.

α β. M x f x. f x x x = = =. Κυρτές συναρτήσεις σηµεία καµπής, Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) (α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ), τότε η fείναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα πάνω στο [ α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ.

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ. Άσκηση. α Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (,y, Α=(, και Β=(0, β Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο B(0, και έχει κλίση -0.. Να βρεθούν τα σημεία που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0 ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 2: Συναρτήσεις Χώροι - Μεταβλητές Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα