ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
|
|
- Οινώνη Παπαφιλίππου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ
2 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Το πρώτο άκρο Α, ονομάζεται αρχή ή σημείο εφαρμογής, ενώ το δεύτερο Β ονομάζεται πέρας του διανύσματος Μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα που η αρχή και το πέρας του συμπίπτουν Συμβολίζεται με 0 Μέτρο ή μήκος του διανύσματος AB ονομάζεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, και συμβολίζεται με AB Μοναδιαίο διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα έχει μέτρο Να δώσετε τους ορισμούς: φορέας διανύσματος, παράλληλα διανύσματα, ομόρροπα- αντίρροπα διανύσματα, ίσα διανύσματα, αντίθετα διανύσματα, γωνία δύο διανυσμάτων Φορέας διανύσματος ονομάζεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα ονομάζονται δύο ή περισσότερα μη μηδενικά διανύσματα AB και, που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς Για δύο παράλληλα διανύσματα έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε AB // AB και λέμε ότι μόρροπα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και όταν: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα AB ΓΔ AB και έχουν την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε Αντίρροπα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα Γ Α Α Δ Β διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε AB ΓΔ Β Γ Δ AB και όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια
3 3 Α Β Δ Δ Γ Γ Α Β 3 Να δώσετε τους ορισμούς: ίσα διανύσματα, αντίθετα διανύσματα, γωνία δύο διανυσμάτων Ίσα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και είναι ίσα, γράφουμε AB Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με 0 Αντίθετα ονομάζονται δύο διανύσματα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και είναι αντίθετα, γράφουμε Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε τα διανύσματα OA α και OB β Β θ Α a Την κυρτή γωνία AOB, που ορίζουν οι ημιευθείες Α και Β, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με (, ) ή (, ) Για την γωνία θ = (, ) ισχύει θ80 Ειδικότερα: 0, αν, αν, αν τα και είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε α β Αν ένα από τα διανύσματα, είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των και θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία με 0 μπορούμε να
4 4 4 Αν α, β είναι δύο διανύσματα, τότε να αποδείξετε ότι: α + β = β + α και ( α + β )+ γ = α +( β + γ ) Από το διπλανό σχήμα έχουμε: α βoa AM OM βαob BM OM Επομένως, a Μ a a Α Β a Από το διπλανό σχήμα έχουμε: ( α β) γ( OA AB) B OB B O και α( βγ) OA ( AB B ) OA A O Επομένως, ( ) a ( ) a Α a a Β Γ 5 Τι ονομάζεται διαφορά του ενός διανύσματος β από ένα διάνυσμα α Διαφορά του διανύσματος από το διάνυσμα ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων και Δηλαδή α βα( β) 6 Να δώσετε τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ενός πραγματικού αριθμού λ (λ0) επί ένα μη μηδενικό διάνυσμα α Ποιες ιδιότητες ισχύουν Έστω ένας πραγματικός αριθμός με και ένα μη μηδενικό διάνυσμα νομάζουμε γινόμενο του λ με το και το συμβολίζουμε με ή ένα διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του, αν είναι αντίρροπο του, αν και έχει μέτρο Αν είναι ή 0, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμα 0
5 5 7 Αν α, β είναι δύο διανύσματα με β 0, να αποδείξετε ότι αν α // β τότε α = λ β ΑΠΔΕΙΞΗ Αφού τα διανύσματα και είναι παράλληλα και Πράγματι, αν θέσουμε, τότε Συνεπώς: Αν, τότε Αν, τότε Αν 0, τότε 0 0, τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός τέτοιος ώστε Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει τέτοιος, ώστε 8 Δίνεται ένα διάνυσμα ΑΒ και Μ το μέσο του, να αποδείξετε ότι για ένα σημείο αναφοράς ισχύει: Α Β Μ ΑΠΔΕΙΞΗ Α Έστω το διάνυσμα Για τη διανυσματική ακτίνα έχουμε: AB και ένα σημείο αναφοράς OM του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ OM OA AM OM OB BM και Μ Β Επομένως, OM OA AM OB BM OM OA OB Άρα
6 6 9 Σε σύστημα αναφοράς O δίνεται το σημείο Α(, ), αν Α = α Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα α γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των, κατά μοναδικό τρόπο ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ένα διάνυσμα του επιπέδου Με αρχή το σχεδιάζουμε το διάνυσμα και αντιστοίχως, έχουμε: OA Αν A και A είναι οι προβολές του Α στους άξονες a Α A j a i A OA OA OA () Αν, είναι οι συντεταγμένες του A, τότε ισχύει OA ι και OA j Επομένως η ισότητα () γράφεται i j Επομένως το διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός των i και j Μοναδικότητα Η έκφραση του ως γραμμικού συνδυασμού των i και j είναι μοναδική Πράγματι, έστω ότι ισχύει και i j Τότε θα έχουμε: i j i j ( ) i ( ) j Αν υποθέσουμε ότι, δηλαδή ότι 0, τότε θα ισχύει i j Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i / / j, που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραμμικά Επομένως, που συνεπάγεται ότι και Δηλαδή το διάνυσμα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των, κατά μοναδικό τρόπο
7 7 0 Σε σύστημα αναφοράς O δίνεται τα σημεία Α(,) και Β(,) Αν είναι Α = α και Β = β, να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων α + β και λ α είναι (+,+) και (λ, λ) αντίστοιχα ΑΠΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τα διανύσματα, ) και, ), τότε έχουμε: ( ( ( i j) ( i j) ( ) i ( ) j ( i j) ( )i ( ) j Επομένως (, ) και (, ) Δηλαδή, ) (, ) (, ) ( λ, ) (, ) ( Σε σύστημα αναφοράς O δίνεται τα σημεία Α(,) και Β(,) και Μ το μέσο του ΑΒ Αν είναι Α = α και Β = β, να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του διανύσματος ΑΒ είναι: = και = ΑΠΔΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και Μ (,) είναι οι συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ Είναι OM (, ), OA (, ), OB (, ) Τότε έχουμε ισοδύναμα OM (OA OB) (, ) [(, ) (, )] (, ) [(, ) (, )] B(, ) Μ(,) A(, ) (, ) =, Επομένως ισχύει και
8 8 Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (, ) ενός διανύσματος με άκρα τα σημεία Α(,) και Β(,) δίνονται από τις σχέσεις: = και = ΑΠΔΕΙΞΗ B(, ) Έστω δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (, ) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος A(, ) AB Είναι: AB (, ), OB (, ), και OA (, ), Τότε έχουμε ισοδύναμα: AB OB OA (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Άρα = και = 3 Έστω ένα διάνυσμα α = (,), να αποδείξετε ότι το μέτρο του είναι: α ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω OA (, ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου Το σημείο Α έχει τετμημένη και τεταγμένη, και ισχύει ( ) και ( ) Έτσι θα έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) Α a A A(,) Άρα 4 Nα αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων Α(,) και Β(,) είναι (ΑΒ) = ) ( ) ( ΑΠΔΕΙΞΗ B(, ) Θεωρούμε δύο σημεία (, ) και (, ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση ( ) των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος AB (, ), έχουμε: ) ( ) ( ) AB ( A(, )
9 9 5 Έστω ένα διάνυσμα α = (, ) Tι ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α, με τι ισούται και τι ισχύει για τον συντελεστή διεύθυνσης στις περιπτώσεις που είναι α) = 0 και β) = 0 Έστω OA (, ) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και φ, η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα Για τη γωνία φ, αν το δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα, ισχύει: Συντελεστήςς διεύθυνσης του διανύσματος ονομάζεται το πηλίκο εφ φ της τεταγμένης προς την τετμημένη του (, ), με 0, Τον συντελεστή διεύθυνσης τον συμβολίζουμε με λ και ισχύει: λ εφφ ΣΧΛΙΑ Αν 0, δηλαδή αν α //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι ο 0 Αν 0, δηλαδή αν α //, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος 6 Να αποδείξετε την ισοδυναμία α // β λ = λ όπου λ, λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντίστοιχα Έστω δύο διανύσματα (, ) και (, ) με συντελεστές διεύθυνσης και έχουμε τις ισοδυναμίες: // 0 αντιστοίχως Τότε 7 Αν α, β είναι δύο διανύσματα τότε να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου των δύο αυτών διανυσμάτων Ποιές συνέπειες προκύπτουν από τον ορισμό νομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ α β συνφ, όπου φ η γωνία των διανυσμάτων και Αν 0 ή 0, τότε ως εσωτερικό γινόμενο ορίζουμε 0
10 0 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΑΠ ΤΝ ΡΙΣΜ ΤΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΥ ΓΙΝΜΕΝΥ α β βα (Αντιμεταθετική ιδιότητα) Αν α β α β 0 Αν α β α β α β Αν α β α β α β α α ( Όπου α το εσωτερικό γινόμενο α α που ονομάζεται: τετράγωνο του α ) 8 Για κάθε διάνυσμα να αποδείξετε ότι α = α ΑΠΔΕΙΞΗ Έχουμε: συν0 9 Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους Δηλαδή ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω τα διανύσματα (, ) και (, ) Με αρχή το παίρνουμε τα διανύσματα OA και OB Β(, ) θ a Α(, ) Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒ έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν () η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία, Α, Β είναι συνευθειακά Όμως είναι ) ( ) ( ), ( ( ) και
11 ) ( Επομένως, από την () σχέση έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) 0 Να αποδείξετε ότι: i) λ = ( ) =λ( ) ii) ( ) = + iii) ΑΠΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τα διανύσματα, ),, ) και, ), τότε έχουμε: ( ( ( 3 3 i) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) και ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα, ( ) ( ) ( ) ii) ( ) (, )( 3, 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( ) ( 3 3) iii) 0 0 Αν, είναι δύο διανύσματα και θ η γωνία των δύο αυτών διανυσμάτων, τότε να αποδείξετε ότι συνθ= ΑΠΔΕΙΞΗ Αν (, ) και (, ) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε συν
12 Είναι όμως, Επομένως η παραπάνω σχέση γίνεται: συν και Αν, v είναι δύο διανύσματα, τότε i) Τι ονομάζεται προβολή του διανύσματος v στο διάνυσμα ; ii) Να αποδείξετε την ισότητα v προβ v α ΡΙΣΜΣ Έστω, v δύο διανύσματα του επιπέδου με 0 Με αρχή ένα σημείο παίρνουμε τα διανύσματα OA και OM Από το Μ φέρνουμε ΜΜ κάθετο στη διεύθυνση του OA M v θ M a A Το διάνυσμα OM λέγεται προβολή του ν στο α και συμβολίζεται με προ Δηλαδή, OM ΑΠΔΕΙΞΗ προ v (OM M M) OM M M OM προ 3 Πότε μια εξίσωση με δύο αγνώστους, ονομάζεται εξίσωση γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν
13 3 4 Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(, ) και B(, ), με είναι λ ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω δύο τυχαία σημεία A(,) και B(,) μιας ευθείας (ε) που δεν είναι κάθετη στον άξονα ε Α(, ) B(, ) τότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας (ε) είναι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος AB ( -, - ), δηλαδή λ = AB = - - Άρα λ = Να γραφτούν οι συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών Αν ε,ε, και παράλληλα προς τις και αντιστοίχως, έχουμε τις ισοδυναμίες // // και είναι
14 4 6 Σε σύστημα συντεταγμένων δίνεται ευθεία (ε) με συντελεστή διεύθυνσης λ και ένα σημείο της Α(o, o) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι - o = λ( - o) ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και A( 0, 0) ένα σημείο του επιπέδου ε M(,) Α( 0, 0 ) Έστω ένα δεύτερο σημείο M(, ) διαφορετικό του A( 0, 0) της ευθείας ε Είναι AM, ) και ( 0 0 Ισχύουν οι ισοδυναμίες: λ AM AM // ε, 0 0 AM = 0 0 ( ) 0 0 Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται και από το σημείο A( 0, 0) Άρα η εξίσωση της ευθείας ε είναι: o = λ( o) 7 Να αποδείξετε ότι ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(, ) και B(, ) έχει εξίσωση ( ) ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω δύο τυχαία σημεία A(,) και B(,) της ευθείας (ε) ε Α(, ) B(, )
15 5 Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι 0 ( ) γίνεται: ( ) 0 και επομένως η εξίσωση 8 Nα αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Α+B+Γ=0 με Α0 ή Β0 και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής Α+B+Γ=0 με Α0 ή Β0 παριστάνει ευθεία γραμμή ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο ( 0, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θα έχει εξίσωση, η οποία γράφεται ( ) 0 Σ(0,β) ε Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο P( 0, 0 ), τότε θα έχει εξίσωση 0, η οποία γράφεται ισοδύναμα 0 ( 0) 0 ε P( 0, 0 ) Επομένως και στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή A B 0 με A 0 B 0 ή Αντίστροφα, έστω η εξίσωση A B 0 με A 0 ή B 0 A Αν B 0, τότε η εξίσωση γράφεται, που είναι εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης B B A και η οποία τέμνει τον άξονα στο σημείο 0, B B
16 6 Αν B 0, τότε, λόγω της υπόθεσης, είναι A 0 και η εξίσωση γράφεται, που είναι εξίσωση A ευθείας κάθετης στον άξονα στο σημείο του P,0 A Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση A B 0 με A 0 ή B 0 παριστάνει ευθεία ΣΧΛΙΑ α Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο A( 0, β) β λ( 0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι β Αν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι 0 ( 0) γ Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών O και O έχουν εξισώσεις και αντιστοίχως δ Αν μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A 0, ) και είναι παράλληλη στον άξονα, έχει εξίσωση 0 0( 0 ) 0 ( 0 9 Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση A B 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( B, A) ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω ε μια ευθεία με εξίσωση A B 0 και διάνυσμα ( B, A) A Αν B 0, τότε η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης και το διάνυσμα B συντελεστές τους είναι ίσοι τότε η ευθεία είναι παράλληλη με το διάνυσμα A B Επειδή οι Αν B 0, τότε η ε και το διάνυσμα είναι παράλληλα προς τον άξονα επομένως και μεταξύ τους παράλληλα 30 Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Α + B + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα n ( A, B) ΑΠΔΕΙΞΗ Είναι δ n ( B, A) ( A, B) AB AB 0 Επομένως το διάνυσμα δ ( B, A) είναι κάθετο στο διάνυσμα n ( A, B) Επειδή το διάνυσμα είναι παράλληλο με την ευθεία A B 0, η ευθεία αυτή θα είναι κάθετη στο διάνυσμα n ( A, B)
17 7 3 Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση A B Γ 0 και M 0(0,0 ) ένα σημείο εκτός αυτής Να γράψετε τον τύπου που προσδιορίζει την απόσταση d του σημείου Μ από την ευθεία ε ε Μ 0 ( 0, 0 ) Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση A B 0 και M 0( 0, 0) ένα σημείο εκτός αυτής Η απόσταση του σημείου Μο από την ευθεία ε δίνεται από τον τύπο: d( M A0 B0, ε) A B 0 3 Έστω Α(, ), B(, ) και Γ(3, 3) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου Να γράψετε τον τύπο που προσδιορίζει το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση των συντεταγμένων των κορυφών του Έστω A (, ), B(, ) και ( 3, 3 ) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, τότε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ προσδιορίζεται από την σχέση: ( AB ) det( AB, A ) Γ( 3, 3 ) B(, ) A(, )
18 8 33 Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση + =ρ Ποιος κύκλος ονομάζεται μοναδιαίος; ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( 0, 0) και ακτίνα ρ Το σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: ( OM ) () Όμως, ( OM) Επομένως, η () γράφεται ρ (0,0) M(,) C () Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές επαληθεύουν την εξίσωση () Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( 0, 0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση + = ρ ΡΙΣΜΣ κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) και ακτίνα έχει εξίσωση και ονομάζεται μοναδιαίος κύκλος 34 Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου + = ρ σε ένα σημείο του Α(,), να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου σε αυτό το σημείο έχει εξίσωση + = ρ ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου C : ρ A(, ) Έστω ένα δεύτερο σημείο M(, ) σε ένα σημείο του Είναι OA (, ) και AM (, ) ε Ισχύουν οι ισοδυναμίες M(, ) ε OA AM 0 Α(, ) M(,) αφού ( ) ( ) 0, Επομένως, η εφαπτομένη του κύκλου ρ A, ) έχει εξίσωση ( στο σημείο του
19 9 35 Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ(o, o) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: ( o) + ( o) = ρ ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο K( 0, 0) και ακτίνα ρ Ένα σημείο M(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν ισχύει : ( KM ) () Όμως, ( KM ) ( ) ( 0 0) Επομένως, η σχέση () γράφεται: Κ( 0, 0 ) ρ M(,) 0 0) ( ) ( 0 ) ( 0) ( 36 Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής + + A + B + Γ = 0 ΑΠΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο K( 0, 0) και ακτίνα ρ, ο κύκλος αυτός έχει εξίσωση 0 ) ( 0) ( Κάνοντας πράξη στην παραπάνω εξίσωση του κύκλου έχουμε : o + o + o + o = ρ 0 ( ) 0 δηλαδή παίρνει τη μορφή A B 0 όπου A 0, B 0 και 0 0
20 0 37 Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής: + + A + B + Γ = 0 με Α + Β - 4Γ > 0 παριστάνει κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του ΑΠΔΕΙΞΗ Κάθε εξίσωση της μορφής + + A + B + Γ = 0 () γράφεται διαδοχικά: + + A + B + Γ = 0 ( A) ( B) A A 4 B B A 4 4 B 4 A B A B 4 4 Επομένως: A B Αν A B 4 0, η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο K, και ακτίνα A B 4 A B Αν A B 4 0, η εξίσωση () παριστάνει ένα μόνο σημείο, το K, Αν A B 4 0, η εξίσωση () είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία M (, ) συντεταγμένες να την επαληθεύουν των οποίων οι 38 Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής και να γράψετε την εξίσωσή της Ποια είναι η παράμετρος της παραβολής και τι παριστάνει Ποιες είναι οι ιδιότητες της παραβολής Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής σε ένα σημείο της Α(, ) Α Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ Β Η εξίσωση της παραβολής C είναι: Αν η παραβολή έχει εστία E p, 0 p και διευθετούσα : έχει εξίσωση = p Αν η παραβολή έχει εστία p E 0, και διευθετούσα : p έχει εξίσωση = p Γ αριθμός p λέγεται παράμετρος της παραβολής και η p παριστάνει την απόσταση της εστίας από τη
21 διευθετούσα Δ Ιδιότητες της παραβολής Η γραφική παράσταση της παραβολής βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε Σε μια παραβολή = p ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής A διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία A E και η ημιευθεία A t, που είναι ομόρροπη της Ε, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής (ανακλαστική ιδιότητα ) Α (, ) t ε O p E,0 η C E H εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής σε ένα σημείο της Α(, ) είναι: p( ) αν η παραβολή έχει εξίσωση = p p( ) αν η παραβολή έχει εξίσωση p 39 Να δώσετε τον ορισμό της έλλειψης και να γράψετε την εξίσωσή της Ποιες είναι οι ιδιότητες της έλλειψης Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης σε ένα σημείο της Α(,) Έστω E και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου Α Έλλειψη με εστίες τα σημεία E και Ε ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του E E Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε με α, δηλαδή Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν ( ME) ( ME) Β Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E ( γ,0), E(, 0) είναι α β, όπου β α γ Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E (0, ), E(0, ) είναι
22 β α, όπου β α γ Γ Έστω μια έλλειψη : C, όπου, τότε αυτή έχει τις εξής ιδότητες: α β Αν M(, ) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε τα σημεία M (, ), M 3(, ) M (, ) ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της 4 και Η έλλειψη C τέμνει τον άξονα στα σημεία A( α,0) και A (α,0), ενώ τον άξονα στα σημεία B( 0, β) και B ( 0, β) Τα σημεία A, A, B, B λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα AA και B B, τα οποία έχουν μήκη ( AA) α και ( B B) β, λέγονται μεγάλος άξονας και μικρός άξονας αντιστοίχως Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες, και, Δ Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης σε ένα σημείο της Α(,) είναι β α αν έχει εξίσωση αν έχει εξίσωση 40 Τι ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης Να αποδείξετε ότι για την εκκεντρότητα ε β της έλλειψης ισχύει η σχέση: ε α Εκκεντρότητα ε της έλλειψης β α γ ονομάζουμε, το λόγο ε α ΑΠΔΕΙΞΗ Επειδή γ α β έχουμε: και άρα β α ε
23 3 4 Να δώσετε τον ορισμό της υπερβολής και να γράψετε την εξίσωσή της Ποιες είναι οι ιδιότητες της υπερβολής Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής σε ένα σημείο της Α(,) και οι εξισώσεις των ασύμπτωτων της Έστω E και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου Α υπερβολή με εστίες τα σημεία E και Ε ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερή και μικρότερη του ( E E ) Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής από τις εστίες την παριστάνουμε με α, ενώ την απόσταση των εστιών με γ Η απόσταση EE ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής, αν και μόνο αν ( ME ) ( ME) α Β Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E ( γ,0), E (γ,0), είναι, όπου β γ α Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E (0, ), E(0, ) είναι α β, όπου Γ Έστω μια υπερβολή με εξίσωση, όπου β α β γ α β γ α, τότε αυτή έχει τις εξής ιδιότητες: Η υπερβολή έχει τους άξονες και άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E, E της υπερβολής και η μεσοκάθετη του E E είναι άξονες συμμετρίας της υπερβολής, ενώ το μέσο του E E είναι κέντρο συμμετρίας της Το σημείο λέγεται κέντρο της υπερβολής Η υπερβολή τέμνει τον άξονα στα σημεία της υπερβολής και δεν τέμνει τον άξονα A (, 0 ), και A(, 0 ) Τα σημεία αυτά λέγονται κορυφές Τα σημεία της υπερβολής βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους α και α, πράγμα που Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία υπερβολής E ME, όπου Δ Η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής σε ένα σημείο της Α(,) είναι αν έχει εξίσωση β α αν έχει εξίσωση α β E, E οι εστίες της
24 4 4 Να γραφτούν οι εξισώσεις των ασύμπτωτων της υπερβολής Αν η υπερβολή C έχει εξίσωση, τότε οι ασύμπτωτες της είναι ευθείες:, και Αν η υπερβολή C έχει εξίσωση, τότε οι ασύμπτωτες της είναι ευθείες: β α και 43 Τι ονομάζεται ορθογώνιο βάσης μιας υπερβολής; ρθογώνιο βάσης της υπερβολής ονομάζεται το ορθογώνιο ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία K ( α, β), ( α, β), M ( α, β) και N( α, β) Ν Κ Α Α Μ Λ 44 Τι ονομάζεται εκκεντρότητα υπερβολής; Να αποδείξετε ότι για την εκκεντρότητα ε μιας υπερβολής ισχύει η σχέση Εκκεντρότητα ε της υπερβολής, ονομάζεται ο λόγος β α ΑΠΔΕΙΞΗ Επειδή γ α β, για την εκκεντρότητα ε έχουμε: β β ε άρα ε α α
25 5 45 Πότε μια υπερβολή ονομάζεται ισοσκελής; Να αποδείξετε ότι στην ισοσκελή υπερβολή η εκκεντρότητά της είναι ε = Έστω η υπερβολή C με εξίσωση, Ισοσκελής ονομάζεται η υπερβολή για την οποία ισχύει α = β και αυτή έχει εξίσωση a ΑΠΔΕΙΞΗ Στην ισοσκελή υπερβολή η εκκεντρότητα είναι ίση με =
1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότεραΤάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε
Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΚωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του
Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραAB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότερα1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β
O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν
Διαβάστε περισσότεραΑν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)
. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα
Διαβάστε περισσότερα1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΑγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :
Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για
Διαβάστε περισσότεραΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12
Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος
Διαβάστε περισσότερα3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής
9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία
Διαβάστε περισσότερα1,y 1) είναι η C : xx yy 0.
ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο
Διαβάστε περισσότερα= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β
1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Υπερβολής
Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότερα) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A
[Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών
Διαβάστε περισσότεραÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα ΟΙ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. Λέμε
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότερα117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραβ = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραy 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.
ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 1
Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως
Διαβάστε περισσότεραΘέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού
ΘΕΜΑ ο Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού (Α Να χαρακτηρίσετε με τις λέξεις ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω πέντε προτάσεις μεταφέροντας τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9
ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή
Διαβάστε περισσότερα2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ
ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία
1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή
Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους
Διαβάστε περισσότερακαι 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα
Διαβάστε περισσότεραΒ Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)
1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να
Διαβάστε περισσότεραΜονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B
151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραβοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2
3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις σωστού-λάθους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - - Γ Λυκείου ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M(x, y) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του την απόσταση
Διαβάστε περισσότεραΒ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, )
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραi. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.
ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας στο επίπεδο της μορφής x y 0, με 0, 0 θα δίνεται από τον τύπο. ( μονάδες) Β. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού
Διαβάστε περισσότεραδίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.
3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0
ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραKόλλιας Σταύρος 1
Kόλλιας Σταύρος http://usersschgr/stkollias Θέμα ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Αα ) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.
ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΤο εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.
Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019
Διαβάστε περισσότεραx y Ax By 0 για τις διάφορες τιμές των Α, Β,Γ (μον.8)
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 94 Ον/μο:.. Β Λυκείου Ύλη:Διανύσματα- Ευθεία Θετ-Τεχν Κατ. Κωνικές τομές 6-01-14 ΘΕΜΑ 1 ο : A.1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,y 0
Διαβάστε περισσότερα12. Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με
ΓΕΝΙΚΟ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΡΙΤΙΟΥ ΕΠΙΜΕΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να
Διαβάστε περισσότεραΛέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)
α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΈστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)
7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8
Διαβάστε περισσότεραΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
Διαβάστε περισσότερα32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=
32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους
Διαβάστε περισσότερα