Η τριβή στην κύλιση τροχού

Transcript

1 Η τριβή στην ύλιση τροχού Στο εφάλαιο της δυναμιής στην ίνηση στερεού σώματος αι συγεριμένα ατά την ύλιση τροχού, πρωτεύοντα ρόλο έχει η τριβή που εμφανίζεται στην επαφή μεταξύ τροχού αι δαπέδου ύλισης. Κατά την επεξεργασία της ύλισης τροχού, προύπτουν ερωτήματα στα οποία δεν έχουμε τη δυνατότητα να δώσουμε απαντήσεις χωρίς την εισαγωγή αι άλλης μιας μορφής τριβής, της τριβής ύλισης. Αρχιά θεωρείται αναγαία η σύντομη αναφορά στις ήδη γνωστές μορφές τριβής που αναφέρονται ως στατιή αι τριβή ολίσθησης. Τριβή: Στατιή-Ολίσθηση Στη συνέχεια με τον όρο τριβή θα θεωρείται η δύναμη η οποία ασείται στη διαχωριστιή επιφάνεια δυο σωμάτων τα οποία βρίσονται σε επαφή, όταν το ένα ινείται ή τείνει να ινηθεί σχετιά µε το άλλο. Στατιή τριβή. Στο (σχ-) φαίνεται ένα σώμα στο οποίο ενώ αναπτύσσεται εξωτεριή οριζόντια δύναμη, αυτό παραμένει αίνητο. Αυτό μας αναγάζει να δεχθούμε την ύπαρξη μιας δύναμης στην επαφή μεταξύ σώματος αι δαπέδου, η οποία αντιστέεται στην ίνηση του σώματος, ονομάζεται τριβή αι επειδή το σώμα μένει αίνητο λέγεται στατιή τριβή. Επειδή το σώμα ισορροπεί ισχύουν: Σ = 0 ή = σ αι Σ = 0 ή = Πειραματιά βρέθηε ο νόμος στατιής τριβής Τ σ = μ σ.ν (σχ - ) όπου μ σ ονομάζεται συντελεστής στατιής τριβής αι είναι αδιάστατο μέγεθος. Η στατιή τριβή παίρνει τιμές που υμαίνονται από το μηδέν μέχρι μια μέγιστη τιμή, που ονομάστηε μέγιστη στατιή τριβή Τ σ (ma) ή οριαή Τ ορ. αι είναι αυτή στην οποία το σώμα είναι «έτοιμο» να ολισθήσει. Στην οριαή ατάσταση ισχύει ο νόμος οριαής στατιής τριβής Τ ορ= μ ορ.ν όπου ισχύει Τ ορ Τ σ οπότε είναι αι μ ορ μ σ σ

2 Τριβή ολίσθησης Τριβή ολίσθησης (σχ ) θεωρείται η δύναμη τριβής που δέχεται ένα σώμα από την επιφάνεια με την οποία βρίσεται σε επαφή, όταν αυτό ολισθαίνει πάνω της. Παρατηρήθηε ότι μετά την έναρξη της ολίσθησης, αν αφήσουμε υ την ελάχιστη απαιτούμενη δύναμη που χρειάστηε να ξεινήσει το σώμα η οποία είναι ίση με την μέγιστη στατιή Τ ορ τότε το σώμα ολισθαίνει επιταχυνόμενο αι για να έχουμε ισοταχή ολίσθηση, πρέπει να μειώσουμε την ασούμενη δύναμη. Η παραπάνω πειραματιή διαπίστωση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι: Η τριβή ολίσθησης Τ μεταξύ δύο σωμάτων έχει μιρότερο μέτρο από τη μέγιστη στατιή Τ ορ (οριαή) τριβή μεταξύ τους. Τ < Τ ορ Για την τριβή ολίσθησης ισχύουν οι εξής εμπειριοί νόμοι Είναι ανεξάρτητη του εμβαδού των επιφανειών με τις οποίες βρίσονται σε επαφή τα σώματα. Δεν εξαρτάται από τη σχετιή ταχύτητα μεταξύ των σωμάτων που ολισθαίνουν. Εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών που βρίσονται σε επαφή ( συντελεστής τριβής μ). Είναι ανάλογη του μέτρου της άθετης στην επιφάνεια επαφής δύναμη Ν, που εμφανίζεται μεταξύ των σωμάτων τα οποία αλληλοσυμπιέζονται. Η τιμή της τριβής ολίσθησης προύπτει από το νόμο της τριβής ολίσθησης Τ= μ.ν όπου Τ η τριβή ολίσθησης αι μ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης που εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών. Το πειραματιό διάγραμμα, του μέτρου της τριβής σε σχέση µε το μέτρο της δύναμης, παρουσιάζεται στο (σχ-3α). (σχ ) ορ υ (α) ο Τ= ορ Το σώμα ηρεμεί Το σώμα ολισθαίνει (β) (σχ 3) ο Το σώμα ηρεμεί Το σώμα ολισθαίνει

3 Παρατηρούμε πειραματιά ότι όσο το σώμα δεν ινείται (στατιή τριβή), η τριβή αυξάνεται όσο αυξάνεται αι η δύναμη. Όταν το σώμα αρχίσει να ινείται (τριβή ολίσθησης), η τριβή διατηρείται σταθερή αι είναι λίγο μιρότερη από την οριαή τριβή. Έτσι στην πραγματιότητα ισχύει: Τ < Τ ορ αι μ < μ ορ Συνήθως θεωρούμε Τ=Τ ορ δηλαδή την τριβή ολίσθησης περίπου ίση με τη μέγιστη στατιή (οριαή) τριβή όπως φαίνεται στο (σχ-3β) όπου Τ Τ ορ το ίδιο συμβαίνει αι για τους συντελεστές τριβής οι οποίοι προσεγγίζονται ίσοι μ μ ορ Να τονιστεί αόμη για τους συντελεστές τριβής ότι τόσο ο μ όσο αι ο μ σ συνήθως είναι μιρότεροι της μονάδας όμως μπορούν να υπερβούν (λίγο) αι τη μονάδα σε εξαιρετιές περιπτώσεις. Ο ρόλος της στατιής τριβής στην ύλιση τροχού. Στο πρόβλημα της ύλισης τροχού (σχ 4), ύριο ρόλο «παίζει» υρίως η στατιή τριβή αλλά αι η τριβή ολίσθησης για την οποία πρέπει να γνωρίζουμε τα εξής: Επειδή η ύλιση προαλείται από τη στατιή τριβή, για να έχουμε ύλιση χωρίς ολίσθηση πρέπει η τιμή της τριβής να είναι: Τ < Τ ολ ή Τ < μ.ν όπου μ συντελεστής τριβής ολίσθησης. Όταν έχουμε ύλιση τροχού ( χωρίς ολίσθηση ) ισχύουν: από τη μεταφοριή ίνηση Σ = m.α από την περιστροφιή ίνηση περί το έντρο μάζας είναι Στ = Ι.α γ ενώ αόμη ισχύουν: ω υ O (σχ-4) Α υ = ω.r, α = α γ.r, Τ < Τ ολ δηλαδή Τ < μ.ν όπου μ συντελεστής τριβής ολίσθησης. Όταν έχουμε ύλιση με ολίσθηση τροχού ισχύουν οι σχέσεις: από τη μεταφοριή ίνηση Σ = m.α από την περιστροφιή ίνηση περί το έντρο μάζας Στ = Ι.α γ τότε ισχύει αι ο νόμος για την τριβή ολίσθησης Τ = μ.ν όπου μ συντελεστής τριβής ολίσθησης. Η συνθήη για να σταματήσει η ύλιση με ολίσθηση αι να αρχίσει μόνο η ύλιση είναι: υ = ω.r, α = α γ.r. Αολουθεί εφαρμογή στην οποία φαίνεται πώς σε μια ύλιση τροχού, εξασφαλίζεται η συνθήη ώστε να συμβαίνει μόνο ύλιση χωρίς ολίσθηση.

4 Εφαρμογή η ( Τροχός ανέρχεται υλιόμενος σε ελιμένο επίπεδο.) Τροχός μάζας m=0kg αι ατίνας R=0,m ξεινάει από την ηρεμία ινούμενος πάνω σε ετεταμένο πλάγιο επίπεδο γωνίας λίσης θ, με την επίδραση σταθερής δύναμης =90 όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο τροχός υλίεται χωρίς να ολισθαίνει ανερχόμενος ατά μήος του πλάγιου επιπέδου. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης του έντρου μάζας Κ του τροχού. β. το μέτρο της γωνιαής επιτάχυνσης του τροχού. γ. το μέτρο της γωνιαής ταχύτητας του τροχού όταν έχει ετελέσει περιστροφές. 00 = π δ. για ποιες τιμές του συντελεστή τριβής ο τροχός υλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Κ R θ Εφαρμογή η Δίνονται για τον τροχό: I = m.r, συνθ = 0,8 αι g=0m/s. Λύση: Ο τροχός ετελεί ύλιση - σύνθετη ίνηση - την οποία αναλύουμε σε μεταφοριή αι περιστροφιή περί το έντρο μάζας του Κ. α. Από τη μεταφοριή ίνηση: Σ = m.α ή Β Τ= mα ή mgημθ Τ= mα () Για την περιστροφή περί το έντρο μάζας του τροχού: Στ = I.α γ ή Τ.R= m.r α. γ άρα Τ = m.r α. γ Β θ α Κ θ α γ Β ω Εφαρμογή η στην ύλιση ισχύει α γ.r = α έτσι Τ = m.α αι από την () έχουμε mgημθ m.α = m.α από όπου είναι α = m/s β. Επειδή στην ύλιση ισχύει α γ.r = α προύπτει α γ = 4 rad/s. γ. Η περιστροφιή ίνηση είναι ομαλά επιταχυνόμενη έτσι: ω = α γ.t, Δφ = α.t γ προύπτει ω =.α Δφ () όμως γ

5 Δφ = Ν.π =00 rad οπότε από την () έχουμε ω = 40 rad/s δ. Στην ερώτηση (α) βρέθηε Τ = m.α ή Τ = 0Ν Αναφέρθηε ότι η συνθήη ώστε ο τροχός να υλίεται χωρίς ολίσθηση είναι: Τ< μ.ν ή Τ < μ.mgσυνθ άρα Τ μ > mg.συνθ οπότε μ > 0, Δηλαδή για άθε τιμή του μ > 0, ο τροχός μόνο θα υλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τριβή ύλισης Θα αναφερθεί ενδειτιά ένα παράδειγμα από το οποίο προύπτει η αναγαιότητα εισαγωγής της τριβής ύλισης. Έστω ένας τροχός ( σχ-) βάλλεται σε οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα υ ο τέτοια ώστε να Α Α (σχ-) Ιδανιή περίπτωση ύλισης υλίεται (χωρίς ολίσθηση ) περιστρεφόμενος με αρχιή γωνιαή ταχύτητα ω ο για την οποία να ισχύει υ ο = ω ο.r. Τότε το σημείο επαφής Α έχει ταχύτητα υ Α = υ ο - υ ε όπου υ ε = ω ο.r η επιτρόχια ταχύτητα, άρα υ Α = υ ο ω ο.r ή υ Α = 0 δηλαδή το σημείο Α έχει στιγμιαία ταχύτητα μηδέν, άρα δεν ολισθαίνει οπότε ο τροχός μόνο υλίεται. R υ ε K ω o υ 0 υ 0 R K ω o υ 0 Στην ιδανιή περίπτωση ο τροχός θα υλίεται επ άπειρον αφού αμία ροπή δεν ασείται πάνω του ώστε να μεταβάλλει την γωνιαή του ταχύτητα. Στην πραγματιότητα όμως παρατηρούμε ότι η γωνιαή ταχύτητα μειώνεται συνεχώς μέχρι να μηδενιστεί. Αυτό σημαίνει ότι στον τροχό ασείται ροπή που αντιτίθεται στην ύλιση. Αυτή η ροπή ονομάζεται τριβή ύλισης. Στην ιδανιή περίπτωση ύλισης ( όπως στο σχήμα ) ο τροχός αι το δάπεδο είναι απολύτως ανένδοτα άρα η επαφή γίνεται σε ένα σημείο, δηλαδή δεν παρουσιάζουν αμία παραμόρφωση. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η άθετη δύναμη Ν από το δάπεδο στον τροχό, να περνάει από τον άξονα του τροχού οπότε δεν υπάρχει αμία ροπή αντίστασης αι έτσι αυτός, θεωρητιά υλίεται επ άπειρον.

6 Στην πραγματιότητα όμως υπάρχει πάντα άποια παραμόρφωση στον τροχό αι στο δάπεδο (σχ-6), οπότε η επαφή γίνεται σε μια μιρή επιφάνεια αι η δύναμη Ν δεν διέρχεται από το έντρο Κ του τροχού αλλά είναι μετατοπισμένη. Έτσι το βάρος Β του τροχού αι η δύναμη, σχηματίζουν ζεύγος δυνάμεων με ροπή, τ = l. που αντιτίθεται στην ύλιση η οποία (ροπή) ονομάζεται τριβή ύλισης αι η σταθερά l ορίζεται ως συντελεστής τριβής ύλισης. ω Κ (σχ 6) υ Αφού λοιπόν ατά την ύλιση τροχού έχουμε αι την τριβή ύλισης (ροπή), μπορούμε να διαιολογήσουμε γιατί η διατήρηση μιας ισοταχούς ύλισης τροχού, απαιτεί την εφαρμογή εξωτεριής ροπής αντίθετης της τριβής ύλισης. Για παράδειγμα στον τροχό του αυτοινήτου, τέτοια ροπή εφαρμόζει ο ινητήρας στον άξονα των τροχών του, αόμη αι όταν έχουμε ισοταχή ύλιση. Αν εξετάσουμε ενεργειαά την ισοταχή ύλιση τροχού σε μαλαό δάπεδο, διαπιστώνουμε ότι για να διατηρήσουμε την ταχύτητα του σταθερή, χρειάζεται διαρής παροχή ενέργειας, διότι η τριβή ύλισης ( όπου υπάρχει) έχει δαπανώμενο έργο. Στο αυτοίνητο αυτή την ενέργεια την παρέχει ο ινητήρας. Όταν η ύλιση γίνεται σε απολύτως ανένδοτη επαφή με το δάπεδο, τότε έχουμε μόνο τη στατιή τριβή, η οποία έχει συνολιά μηδενιό έργο διότι το σημείο επαφής, που είναι αι το σημείο εφαρμογής της στατιής τριβής, στιγμιαία είναι αίνητο. Τέτοια περίπτωση, με αμελητέα τριβή ύλισης έχουμε στους τροχούς σιδηροδρόμου οι οποίοι υλίονται στις σιδηροτροχιές. Μετά από αυτή τη μελέτη, να τονίσουμε μια βασιή διαφορά μεταξύ της τριβής ύλισης που είναι ροπή, με τις τριβές στατιή αι ολίσθηση που είναι δυνάμεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν επιτρέπεται να γίνεται μεταξύ τους σύγριση. Αολουθούν εφαρμογές στις οποίες φαίνεται πόσο υπαρτή είναι η τριβή ύλισης, με τη βοήθεια της οποίας, ετός των άλλων, γίνεται πλήρως ατανοητή η ύλιση τροχού.

7 Εφαρμογή η ( Γιατί στα φορτηγά αυτοίνητα χρησιμοποιούμε τροχούς μεγάλης ατίνας) Έστω υλινδριός τροχός που υλίεται με ισοταχή ίνηση σε οριζόντιο μαλαό δάπεδο. Στο έντρο του Κ εφαρμόζεται σταθερή οριζόντια δύναμης = σταθ. Δίνονται: Βάρος τροχού Β, η ατίνα του R, αι ο συντελεστής τριβής ύλισης l. α. Να σχεδιάσετε τον τροχό αι να εφαρμόσετε πάνω του τις δυνάμεις που δέχεται. β. Να εφαρμόσετε του νόμους δυναμιής ατά την ίνηση του τροχού. γ. Αφού αρχιά αποδείξετε ότι η τιμή της δύναμης, είναι αντιστρόφως ανάλογη της ατίνας R του τροχού, να διαιολογήσετε γιατί τα φορτηγά άνουν χρήση τροχών μεγάλης ατίνας. Λύση: α. Στον τροχό αναπτύσσονται οι εξής δυνάμεις Εξωτεριή ινητήρια δύναμη = σταθ. Βάρος τροχού. Στατιή τριβή. Κάθετη αντίδραση. Όλες οι δυνάμεις φαίνονται στο σχήμα. β. Επειδή ο τροχός μεταφέρεται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα ( υ = σταθ.) ισχύουν: Σ = 0 ή = 0 ή = () Στον άξονα δεν ινείται άρα Σ = 0 ή Ν Β = 0 ή Ν = Β (). Η περιστροφή του τροχού γύρω από το έντρο του γίνεται με σταθερή γωνιαή ταχύτητα ω= σταθ. άρα για την ολιή ροπή ως προς Κ ισχύει Στ = 0 ή Τ.R.l = 0 (3) γ. Η σχέση Τ.R.l = 0 με τις (), () γίνεται.r =.l από όπου προύπτει =.Β R από την οποία φαίνεται ότι H δύναμη είναι ανάλογη του βάρους Β, δηλαδή στα μεγάλα φορτία χρειάζεται μεγαλύτερη ινητήρια δύναμη. Η ινητήρια δύναμη που απαιτείται, είναι αντιστρόφως ανάλογη της ατίνας R που έχει ο τροχός. Έτσι διαιολογείται αι η χρήση τροχών μεγάλης ατίνας στα φορτηγά αυτοίνητα. ω = στ. Κ Εφαρμογή η υ=στ. (3) Εφαρμογή 3 η ( Κύλιση τροχού με τριβή ύλισης) Συμπαγής σφαίρα μάζας m αι ατίνας R υλίεται χωρίς ολίσθηση, ατά μήος ελιμένου επιπέδου γωνίας λίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Να προσδιορίσετε την επιτάχυνση του έντρου μάζας της όταν: α. η επιφάνεια επαφής σφαίρας αι επιπέδου είναι ανένδοτη, δηλαδή ο συντελεστής τριβής ύλισης είναι μηδενιός,

8 β. η επιφάνεια επαφής των σωμάτων δέχεται μιρή παραμόρφωση όταν συμπιέζεται αι ο συντελεστής τριβής ύλισης είναι l. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς διαμετριό άξονα είναι Λύση: α. Ανένδοτη η επιφάνεια επαφής. (σχ-α). Από τη μεταφορά του. μάζας είναι: Σ = m.α ή = m.α ή mg ημφ Τ = m.α () Από περιστροφή περί το Κ έχουμε Στ = Ι.α γ ή α γ.r = α έτσι.r= m.r.αγ = m.α, από την ύλιση ισχύει αι από την () προύπτει Ι = mr α = g.ημφ 7 β. Με παραμόρφωση στην επαφή (σχ-β) έχουμε αι τριβή ύλισης με συντελεστή τριβής ύλισης l. Από τη μεταφορά του. μάζας είναι: Σ = m.α ή = m.α ή mg ημφ Τ = m.α (3) Από περιστροφή περί το Κ έχουμε Στ = Ι.α γ ή Τ R.l = I.α γ (4) Κατά τον άξονα δεν ινείται άρα Σ = 0 ή Ν Β = 0 ή Ν mg.συνφ = 0 ή Ν = mg.συνφ έτσι η σχέση (4) γίνεται Τ.R - mg..συνφ = m.r α γ αι 7 από την ύλιση ισχύει α γ.r = α οπότε η σχέση (3) γίνεται g.r.ημφ - g..συνφ = αr ή K φ (α) K α φ (β) α α =.g. ημφ - συνφ 7 R. Τελιά προύπτει α < α. Κεφαλάς Ευθύμιος Φυσιός συγγραφέας. mail: barkefala@ahoo.gr