Τεχνολογικό Πανεπιστήµιο Κύπρου

Transcript

1 Τεχνολογιό Πανεπιστήµιο Κύπρου Σχολή Μηχανιής αι Τεχνολογίας Τμήμα Πολιτιών Μηχανιών αι Μηχανιών Γεωπληροφοριής ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Διδάσων/ Συντονιστής μαθήματος Εξάμηνο Δρ Ευάγγελος Αύλας 1ο Ημερομηνία Διάρεια Εξέτασης Οδηγίες 3 ώρες Απαντάτε με ευρίνεια αι διαιολογείτε τις απαντήσεις σας Επιτρέπεται η χρήση σημειώσεων Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστιών μηχανών μόνο για αριθμητιούς υπολογισμούς Όλες οι ερωτήσεις είναι ισόβαθμες (5 μονάδες) Μη χρησιμοποιείτε όινο μελάνι ή μολύβι Ερωτήσεις επιτρέπονται μόνο ατά τα 1 πρώτα λεπτά της εξέτασης

2

3 Θέματα (1) Υλιό σημείο άνει υλιή ίνηση ατίνας R. Κάθε χρονιή στιγμή το μέτρο της εντρομόλου επιτάχυνσης είναι ίσο με το μέτρο της επιτρόχιας. Αν στο χρόνο t = είναι v() = v αι s()=, ζητούνται: (α) η γωνιαή ταχύτητα ω(t) συναρτήσει του χρόνου, (1) (β) το διανυθέν τόξο s(t) συναρτήσει του χρόνου, (1) (γ) η γωνιαή ταχύτητα ω(φ) συναρτήσει της διαγραφείσας γωνίας. (5) () Μία δοός άγνωστης μάζας Μ, στηρίζεται πάνω σε τρεις όμοιους υλίνδρους με γνωστή τη μάζα τους m αι την ατίνα τους R, αι ατεβαίνει πάνω σε ελιμένο επίπεδο γωνίας φ, όπως φαίνεται στο αόλουθο σχήμα. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει ολίσθηση, να βρεθούν η ελάχιστη αι η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει η επιτάχυνση α της δοού. Να θεωρήσετε γνωστό ότι η ροπή αδράνειας άθε υλίνδρου ως προς τον άξονα που περνάει από το έντρο του είναι I Κ = mr /. (5) (3) Ομογενής αλυσίδα μήους lμε γραμμιή πυνότητα λ, βρίσεται ολόληρη στην ανώτερη επιφάνεια ελιμένου επιπέδου γωνίας θ, όπως φαίνεται στο αόλουθο σχήμα (αριστερά). Αρχιά της προσδίδεται ταχύτητα v αι όταν φτάσει αι ο τελευταίος ρίος της στην ορυφή του επιπέδου (δεξιά) η ταχύτητα της είναι αι πάλι v. Αν υπάρχει τριβή ολίσθησης μόνο στην οριζόντια επιφάνεια να υπολογίσετε: (α) το συντελεστή τριβής ολίσθησης με την οριζόντια επιφάνεια (1) (β) την ταχύτητα της αλυσίδας σε οποιαδήποτε θέση (5) (γ) τη θέση στην οποία η αλυσίδα είχε ελάχιστη ταχύτητα (1) l θ θ

4 (4) Κύλινδρος μάζας m αι ατίνας R μπορεί να υλίεται χωρίς ολίσθηση στο οριζόντιο έδαφος. Ο άξονας του υλίνδρου, Ο, που παραμένει άθετος στη διεύθυνση της ίνησης, έχει προσδεθεί στα σταθερά σημεία Α αι Β με τη βοήθεια δύο αβαρών ελατηρίων σταθεράς k Α αι k Β, αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η ροπή αδράνειας του υλίνδρου ως προς τον άξονα Ο είναι mr /, (α) Nα αποδείξετε ότι το σημείο Ο θα άνει ταλάντωση αι να βρείτε την περίοδο της, Τ. (1) (β) Αν m/k Α =1 s, να βρεθεί η σχέση των δύο σταθερών των ελατηρίων ώστε η περίοδος της ταλάντωσης να είναι π s. (5) (γ) Τη σχέση που συνδέει τον ελάχιστο συντελεστή οριαής τριβής με το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης, ώστε να διατηρείται η παραπάνω ταλάντωση (1) k A O R k Οδηγίες *Σε άθε περίπτωση θεωρείστε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι γνωστή. Καλή επιτυχία!

5 (1) v( t) v dv dt dv dv v Λύσεις των θεμάτων t vr =± =± =± ( ) = ω v R dt v t ( t) = R dt R v v Rm v t Rm v t s( t) t vr ds dt dt ( ) = &( ) = = = ( ) = ln 1 / / m m Rm v t R R v m t R / v m t s mϕ ve ϕ( t) = m ln( 1 m vt / R) Re = Rm vt ω( t) = R ± ϕ ( ) v t s t ds R s t s R v t R mr m () Mg sinϕ 3 f = Maδ (1), mg sin ϕ+ f f = ma (), Rf + Rf = & ω f + f = & ωr (3), a= & ωr (4), a = a (5). Με συνδυασμό των προηγούμενων εξισώσεων προύπτει εύολα ότι: δ 3 9 δ sin ϕ M / M a = g + + m 8 m αι επομένως 4 g sinϕ< aδ < g sinϕ. Οι οριαές τιμές επιτυγχάνονται 3 για m/m αι M/m, αντίστοιχα. (3) Η τριβή με την οριζόντια επιφάνεια είναι ( l x) λ g µ, όπου x το τρέχον μήος της αλυσίδας που βρίσεται στην ελιμένη επιφάνεια. Επομένως το έργο της τριβής για τη συνολιή μετατόπιση x, είναι x T ( ) = ( ) λ µ = λ µ + λ µ / W x l x g dx g l x g x. Εφράζοντας τη μεταβολή της μηχανιής ενέργειας μεταξύ της αρχιής αι τελιής ατάστασης λοιπόν έχουμε: MEA + WT ( l) = ME λlv λ l gµ = λlv λl g sinθ µ = sin θ. Επομένως, για την τυχαία θέση της αλυσίδας θα πρέπει αντίστοιχα να ισχύει ότι λlv λg sinθlx+ λg sin θ x = λlv( x) λx g sin θ v( x ) = sinθ sin θ / αυτό συμβαίνει στο x που προσδιορίζεται από το g sinθ + 4g sin θ x / l= x / l= 1/ x = l /. Το τελευταίο αποτέλεσμα μπορεί να προύψει αι από τη φυσιή ανάλυση ως προς το πότε η παράλληλη στην ελιμένη επιφάνεια συνιστώσα του βάρους ξεπερνά την οριζόντια τριβή. v xg + x g l η οποία γίνεται ελάχιστη όταν η παράγωγος της ως προς x μηδενίζεται: (4) Θα θεωρήσουμε (για απλότητα, χωρίς αυτό να αλλάζει το γενιό αποτέλεσμα) ότι τα ελατήρια στη θέση ισορροπίας βρίσονται στο φυσιό τους μήος. Ισχύει Σ F = k x k x T = mx &&, Σ M = TR= & ωmr / T = & ωmr /, && x= R & ω, αι επομένως μπορούμε να δούμε ότι ( ) ( ) k x k x && xm / = mx && k + k x+ && x3 m/ = && x+ x k + k /= αι άρα το σώμα άνει A A A ταλάντωση με υλιή συχνότητα που ιανοποιεί τη σχέση ( ) ( ) ω= k + k / π / T = k + k / T = π A A ( k + k ) m k k 3 k 1 = = + = = = A 1 s s s s k ka /. ( ka+ k) ( ka+ k) 3 m m m απομάρυνση το σώμα θα έχει επιτάχυνση μέτρου ( A ) ( + ) ( + ) ( + ) A A ( ka+ k) ω =. Προφανώς πρέπει να ισχύει Επιπλέον στη μέγιστη x + / 3 = & ω max k k m R αι επομένως θα πρέπει να ka k ka k x ka k xmax ka ισχύει ότι Tmax = xmax mgµ xmax µ = = ( x / max g) s 3 3 g mg max