ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)"

Transcript

1 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες 6) (Μονάδες ).. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο ο, τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο ο και ισχύει ( f g ) ) = f ( ) g ( ) ( o o o. Αν f ( ) = e συν, τότε η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντια εφαπτοµένη στο σηµείο Μ ( π, f ( π )) 3. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σηµείο ο, τότε είναι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό. 4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f() στο σηµείο ο είναι f ) ( o (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ α) Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R και η συνάρτηση g( ) = f + f ( ). Αν η ευθεία ε : y = + εφάπτεται της C f στο =, να βρείτε την εφαπτοµένη της Cg στο = -. (Μονάδες ) β) Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f ( ) = l n και g( ) = a + β + να έχουν κοινή εφαπτοµένη σε κοινό τους σηµείο το οποίο βρίσκεται στην ευθεία µε εξίσωση =. (Μονάδες 5)

2 ΘΕΜΑ 3 α) Έστω ότι η συνάρτηση f :[, ] R β α για κάθε [ α, β]. Αν ( f ( α) ) ( f ( β )) ξ ( α, β) τέτοιο ώστε f ( ξ) ln f ( ξ ) = ξ f ( ξ ) α β ( <α < β ) είναι παραγωγίσιµη και ισχύει f ( ) > = να δείξετε ότι υπαρχει ένα τουλάχιστον β) ίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[, e] R η οποία είναι παραγωγίσιµη στο (, e). Αν f (e) =, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, e) τέτοιο ώστε ξ f ( ξ ) ln ξ = f ( ξ ) (Μονάδες ) (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ίνεται η συνεχής συνάρτηση :[, ] f a β R µε f ( a) = a και f ( β ) = β α) Να δείξετε ότι υπάρχει ( a, β) τέτοιο ώστε ( ) o f = a+ β β) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο (α, β), να δείξετε ότι υπάρχουν, ( a, β) τέτοια ώστε f ( ) f ( ) = o o (Μονάδες ) (Μονάδες 5)

3 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω µια συνάρτηση f : A R α) Πότε η f λέγεται γνησίως αύξουσα; β) Πότε η f λέγεται -; γ) Πότε η f παρουσιάζει µέγιστο; δ) Να διατυπώσετε το θεώρηµα Bolzano. ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Β. ίνεται η συνάρτηση f ( ) = 3e 5 Μονάδες α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι -. β) Να βρεθεί η ΘΕΜΑ Ο f Μονάδες 7 Μονάδες 6 Α. Να υπολογιστούν τα όρια: 3+ 5 α) lim 3 9 β) ηµ 5 lim Μονάδες 5 γ) lim ( 6 ) Μονάδες 5 Μονάδες 5

4 π π Β. Για τη συνάρτηση f ισχύει ηµ f ( ) για κάθε,. Να υπολογιστούν: i) lim ( ) f ii) lim ( ) ( ) f f Μονάδες 5 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 3 Ο Α. ίνεται η συνάρτηση f ( ) = ( β ) β a 3 a 4+ 3 Να βρείτε τα α, β έτσι ώστε lim f ( ) = Μονάδες 5 Β. Να βρεθούν τα α, β R ώστε η συνάρτηση aηµ β, < π f ( ) = 4 συν + β, < π aηµ, να είναι συνεχής. ΘΕΜΑ 4 Ο Μονάδες Α. Αν οι συναρτήσεις f g και είναι συνεχείς στο [ ] a, β, f ( a) > g( a) και f ( β ) < g( β ) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον o ( a, β ) τέτοιο ώστε f ( o) = g( o) Μονάδες Β. Έστω η συνεχής συνάρτηση :[, ]. τουλάχιστον ρίζα στο (,). e 3 f R Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µια Μονάδες 5

5 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΘΕΜΑ Ο Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς z και w ισχύουν ( ) ( ) ( i+ ) z = 6 και w i = w 3 3i τότε να βρείτε: α. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z. β. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w. γ. την ελάχιστη τιµή του w δ. την ελάχιστη τιµή του z w ΘΕΜΑ Ο ίνεται η εξίσωση z+ = όπου z C µε z z α. Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης. β. Να αποδείξετε ότι: z + z = γ. Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει w 4+ 3i = z z τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο. δ. Για τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος γ, να αποδείξετε ότι 3 w 7

6 ΘΕΜΑ 3 Ο Οι µιγαδικοί αριθµοί z, w συνδέονται µε τη σχέση κύκλο µε κέντρο Κ(-,) και ακτίνα ρ=. + w z= και η εικόνα του w ανήκει στον w α. Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το Ο(,) και ακτίνα p=. β. Αν z = () και z, z, z3 οι εικόνες τριών µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει η σχέση () να δείξετε ότι: z+ z z+ z3 z+ z3 i. ο αριθµός a= + + είναι πραγµατικός. z z z 3 ii. Αν επιπλέον z + z + z 3 = τότε να αποδείξετε ότι: z z z Re z z3 z = 3 γ. ίνεται η ευθεία (ε): 3+ 4y =. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του µιγαδικού w από την ευθεία (ε).

7 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν α) η f είναι συνεχής στο και β) f () = για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. µονάδες Β.. Να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής. Να ορίσετε πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της. µονάδες 6 Γ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις : α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] και γνησίως αύξουσα, τότε υπάρχει ο ( a, β ) τέτοιο, ώστε f ( o ) >. β. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι παρουσιάζει στο o A (ολικό) ελάχιστο, το f ( o), όταν f ( ) < f ( o ) για κάθε A γ. Αν µια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σηµείο o, τότε δεν µπορεί να είναι παραγωγίσισµη στο o. δ. Αν η f είναι παραγωγίσισµη στο R και ισχύει το θεώρηµα Rolle στο [α, β], τότε η γραφική της παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σηµείο της οριζόντια εφαπτοµένη. µονάδες µονάδες µονάδες µονάδες ΘΕΜΑ a Α. Έστω η συνάρτηση f ( ) = + + β η οποία µηδενίζεται στο = και παρουσιάζει ακρότατο στο =. α. Να βρείτε τα α, β β. Να βρείτε το είδος του ακρότατου µονάδες 8 µονάδες 5

8 Β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της γραφικής παράστασης της οποίες είναι προς την ευθεία 3y χ = f ( ) = οι + µονάδες ΘΕΜΑ 3 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5 a 5 β) ίνεται συνάρτηση f ( ) = e + συν + e i) Να µελετήσετε τη µονοτονία της συνάρτησης ii) Nα αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο + = έχει το πολύ µια ρίζα στο διάστηµα (-, ) µονάδες µονάδες µονάδες 5 ΘΕΜΑ 4 α. Έστω η συνάρτηση f ( ) = a 5 6. Να βρείτε την τιµή του α >, ώστε f ( ) για κάθε R. β. Έστω µια συνεχής συνάρτηση f : [α, β] R µε f () για κάθε ( α, β ) και f ( α ) f ( β ). Να δείξετε ότι i) υπάρχει ( a, β ) τέτοιο ώστε 3 f ( ) = f ( a) + f ( β ) o ii) υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) τέτοια, ώστε ξ ( ) o f o a = f ξ β ο ( ) ( )( ) µονάδες 8 µονάδες 8 µονάδες 9 ΚΑΘΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

9 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Α. α) Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο ο του πεδίου ορισµού της ; β) Να αποδείξετε ότι : ( α ) = a ln a γ) Να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Rolle Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε την ένδειξη Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) α) Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο ο τότε δεν υπάρχει εφαπτοµένη της καµπύλης y = f() στο σηµείο ο. β) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f(α) = f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) =. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και δεν είναι - τότε η γραφική παράσταση της f () τέµνει τον τουλάχιστον σε ένα σηµείο. δ) Αν η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο o (α, β), τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ο. ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση 3 f ( ) = 4 k+ k. Να δείξετε ότι: α. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ), ln τέτοιο ώστε f ( ) =.,. β. Η εξίσωση f ( ) = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο ( ) γ. Αν, k > τότε υπάρχει ξ ( ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) <.,

10 ΘΕΜΑ 3 Ο Έστω η συνάρτηση f ( ) = ln + ln + 3. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο διάστηµα (, + ). ii. Να βρεθεί η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο A(, f ()). iii. Να αποδείξετε ότι + ln > 4 3 για κάθε >. ΘΕΜΑ 4 Ο α. Να δείξετε ότι e > γιακάθε R. β. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και ισχύει για κάθε R f ( ) e f = ( ) i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Αν η C f τέµνει τον άξονα στο σηµείο M (,) να δείξετε ότι το Μ είναι σηµείο καµπής της C f. Καλή Επιτυχία!!!

11 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ ΘΕΜΑ Ο.Τη σχέση z + w = την επαληθεύουν µόνο οι µιγαδικοί z = και w=. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 5+ λ i. Αν z =, λ Rτότε z =. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 5 λi * 3. Αν ισχύει z + ai = z ai, α R τότε η εικόνα του Z ανήκει στην ευθεία y = a. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 4. Αν η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο + ( y+ ) = τότε η ελάχιστη τιµή του z είναι. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 5. Η εξίσωση z z = z παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

12 ΘΕΜΑ Ο Έστω οι µιγαδικοί z και w α. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z, για τον οποίο ισχύει z+ = iz+ β. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w, για τον οποίο ισχύει + i w= λ( + i) +, λ R i γ. Να δείξετε ότι z w. ΘΕΜΑ 3 Ο * Έστω οι µιγαδικοί z C και f ( z) = z i. z α. Αν f ( z) R, να δείξετε ότι z I. β. Αν f ( z) f ( z) = 5, να βρείτε: i. το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z ii. τη µέγιστη τιµή του z και την ελάχιστη τιµή του f ( z). ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Αν ο z είναι µιγαδικός αριθµός και ισχύει η σχέση (z+) ν =z ν,νεν* να αποδείξετε ότι Re(z)=- Β) i) Αν w =(+yi) v +(i-y) v και w =(+yi) v (+i v ),y R v N να δειχθεί ότι w = w ii)nα υπολογίσετε το v N ώστε (+yi) v +(i-y) v - (+yi) v (+i v ) =8 αν οι εικόνες Μ(z) των µιγαδικών z=+yi βρίσκονται στον κύκλο (Ο, 9 ).

13 Γ. ίνεται η συνάρτηση ( ) iz + 4 i f z =, z i. z i i) Να βρείτε το σύνολο των σηµείων Μ(z), όταν Im [ f ( z )] =. ii) Αν u= z iκαι w= f ( z) i, να βρείτε το u w. iii) Να δείξετε ότι αν τα σηµεία Μ(z) ανήκουν στον κύκλο C µε κέντρο Κ(i) και ακτίνα ρ, τα σηµεία Ν (f (z)) ανήκουν σε κύκλο C µε το ίδιο κέντρο και ακτίνα που πρέπει να βρείτε. Πότε οι κύκλοι αυτοί συµπίπτουν;

14 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ ο ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν : α) η f είναι σταθερή στο και β) f () = για κάθε εσωτερικό σηµείο του,να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. f ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Β. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα και ( ), να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Γ)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). ) Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f () για κάθε R *, τότε η f είναι σταθερή στο R *. ) Αν η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο o (α, β), τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ο. 3) Αν για µια συνάρτηση f : A R µέγιστη τιµή της f. ισχύει ( ) f κ όπου κ R για κάθε A, τότε το κ είναι η ΘΕΜΑ Ο Να αποδείξετε ότι: α) e e για κάθε R β) ίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln +. i) Να βρείτε το σύνολο τιµών ii)να λύσετε την εξίσωση f ( ) =. ΘΕΜΑ 3 Ο ίνεται η συνάρτηση: f ( ) = ln ( ) α) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει ακριβώς δυο ρίζες στο πεδίο ορισµού της.

15 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο Α. ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα[α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α, β) τέτοιος, ώστε f( ) = η. Β. i) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; ii) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο, τότε δείξτε ότι είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας. i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] µε f(α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ)=, τότε κατ ανάγκη f(β) >. ii) H εφαπτοµένη της y=ln στο o =e, διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ ο A ίνονται µιγαδικοί αριθµοί z και w για τους οποίους ισχύει z = z 3i και w+ w Να βρείτε: 4 5 ( w w) = + i 35 3i i α) τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z β) τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w γ) την ελάχιστη τιµή του z w

16 Β. Θεωρούµε τον µιγαδικό αριθµό z, µε z και Re =. z 4 i. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z, στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος µε εξίσωση z =. ii. Αν είναι Im ( z ) =, να αποδείξετε ότι Re ( z ) = + 3 ή Re( z ) = 3. iii. Αν z είναι ένας µιγαδικός που η εικόνα του είναι πάνω στον κύκλο του ερωτήµατος (i), να βρείτε τη µέγιστη τιµή του µέτρου του µιγαδικού z 4. i ΘΕΜΑ 3 ο Α) η συνάρτηση f()= +a+b. Η εφαπτοµένη της C f στο σηµειό της Α(-3,f(-3)) εχει εξίσωση y=-4-8.nα βρείτε i) τα a και b ii) τις εφαπτοµενες της C f που διέρχονται από το σηµείο Γ(-,-) Β) ινεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f().η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(,f()) εχει εξίσωση y=+.θεωρούµε την συνάρτηση g()= f()+ f( 3 ). Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο Α(,g()) ΘΕΜΑ 4 Ο Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη και για κάθε ισχύει ( ) f + + = 3 i. α) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο της = είναι παράλληλη στον '. β) Να βρείτε την f '( 3 ). γ) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας ε της C f στο σηµείο µε τετµηµένη =3. ii. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της C f ' στο σηµείο της Α(,) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε 4 9. g 3 =, να iii. Αν για την παραγωγίσιµη συνάρτηση g για κάθε R ισχύει ότι ( ) αποδείξετε ότι η ευθεία ε είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g( 3 ).

17 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο ΑΠΡΙΛΙΟΣ A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, β]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να δείξετε ότι f (t) dt= G( β) G( α). β α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, ισχύει f ()d = f () + c, c IR. β. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, τότε f ()d= f () f ()d. γ. Αν η f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα και α είναι ένα σηµείο του, τότε ισχύει f(t) dt = f() f(α), για κάθε. α δ. Αν f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα και α είναι ένα σηµείο του, τότε g() ' α ΘΕΜΑ Ο ( ) f(t)dt=f g() g () ίνεται συνάρτηση f : π R R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει: f ( ) = f = π ( f + f '' ) συν d= 4. και ( ) ( ) A) Να βρείτε: την τιµή f (), B) Αν για µια συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε R *, να αποδείξετε ότι α a a a f d f ( ) d =

18 ΘΕΜΑ 3 Ο Α) ίνεται η συνάρτηση: ( ) ln t ln t ln f = dt dt t+ + t+ α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. β) Να υπολογίστε το ολοκλήρωµα: ln t ln t I = dt+ dt t+ t+ Β) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση: f ( ) = t 4 dt t + Γ) ίνεται η συνάρτηση : ( ) ( ) ηµ, µε R. f = t t dt Να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα. ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω µία συνάρτηση f :(, + ) R η οποία είναι συνεχής και ισχύει: ( ) α) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) 5 f = e γ) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να δείξετε ( ) f f dt = t t Β) Να υπολογίσετε το όριο: lim t e dt

19 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο + Έστω η συνάρτηση f ( ) =. i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρείτε το σύνολο των τιµών της f. iii. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της f. ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση ( ) f = e α. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία, την κυρτότητα και να βρείτε τα ακρότατα αυτής. β. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης a e = για a> e. ΘΕΜΑ 3 Ο Α. Έστω η συνάρτηση f ( ) ln. της f. B. ίνεται η συνάρτηση g( ) ( ) = + Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ln = + ln. = και να βρείτε το πρόσηµο i) Να µελετήσετε τη g ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σηµεία καµπής της C g.

20 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο A. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η f είναι συνεχής στο και f () = για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () = g () για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε ισχύει f() = g() για κάθε. β. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δε µηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα. γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και δεν είναι αντιστρέψιµη, τότε υπάρχει κλειστό διάστηµα [α, β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Rolle. δ. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της.

21 ΘΕΜΑ Ο Α. ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : Να αποδείξετε ότι: R R για την οποία ισχύει ( ) 6 f = e και f ( 3 ) = e 3. α) υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3) τέτοιο, ώστε: f '( ) = 3 f ( ) β) υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3) τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) ' + = Β. Αν < a< β, να αποδείξετε ότι: a β a β β a ea< a β < e β ΘΕΜΑ 3 Ο ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : αποδείξετε ότι: ξ, ξ,5, µε ξ ξ, α) υπάρχουν ( ) β) ισχύει ότι f ( 3) < 4, γ) η εξίσωση ( ) ( ) ( ) R R µε f ( ) + f ( 5) = 4 f ( 3 ), f ( 3) > και f ''( ) <. Να < ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ) + f ( ) ' ' 3, f + 3 f 3 = + έχει µια τουλάχιστον λύση στο (,3). ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται συνάρτηση f : για τον οποίο ο αριθµός α) f ( ) f ( ) 3 = +, R R µε συνεχή πρώτη παράγωγο και ο µιγαδικός αριθµός : z= f ( 3) + f ( ) i z+ i w= z β) υπάρχουν ( ) ώστε f ( ) f ( ),3, ' + ' =, γ) υπάρχει ξ ( ) ώστε f ( ξ) f ( ),3, = +, δ) υπάρχουν ξ ξ ( ),,3, ώστε : f ' + = είναι πραγµατικός. Να αποδείξετε ότι: ( ξ ) f '( ξ )

22 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο Α. Έστω η συνάρτηση f ( ) = ηµ. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο IR και ισχύει f ' = συν ( ). Α. Έστω η συνάρτηση f µε f ( ) =. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (,+ ) ισχύει: f ( ) ' = Α.3 Πότε µια συνάρτηση f : A IRλέγεται ' ' ; και Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α, β] και συνεχής στο (α,β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] µία µέγιστη τιµή. β. Αν z ένας µιγαδικός αριθµός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z ΘΕΜΑ Ο ίνονται µιγαδικοί αριθµοί z και w για τους οποίους ισχύει z = z 3i και w+ w Να βρείτε: 4 5 ( w w) = + i 35 3i i α) τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z β) τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w γ) την ελάχιστη τιµή του z w

23 ΘΕΜΑ 3 Ο A) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και =. ( ) f ηµ 3 lim = + να βρεθεί η τιµή της f στο B) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : IR IR για την οποία ισχύει: f ηµ + f συν = ηµ + συν+ για κάθε R. ( ) ( ) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α(,) να βρείτε: α) το σηµείο τοµής της C f µε τον άξονα y y β) την f () γ) το ( ) f + lim ηµ ΘΕΜΑ 4 Ο A) ίνεται συνάρτηση f( ) e. = Να αποδείξετε ότι υπάρχει: α) ένα τουλάχιστον σηµείο Α της C f µε τετµηµένη (,) είναι παράλληλη στην ευθεία ( J ): y+ = έτσι ώστε η εφαπτοµένη της C f στο Α να β) ένα τουλάχιστον σηµείο Β της C f µε τετµηµένη (,) ώστε η εφαπτοµένη της C f στο Β να τέµνει τον άξονα y y στο -6. B) ίνεται η γνησίως µονότονη συνάρτηση f : R R η οποία για κάθε, y R ικανοποιεί τη σχέση f ( f ( ) + y) = f ( + y) +. α) Να αποδειχθεί ότι f f ( ) β) Να βρεθεί ο τύπος της f. ( ) = +, R. γ) Να αποδειχθεί ότι η C f εφάπτεται της C g, όπου : g( ) = ln + 3, >

24 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) Α. ΘΕΜΑ Ο Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα[α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α, β) τέτοιος, ώστε f( ) = η. Β. i) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; ii) Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο, τότε δείξτε ότι είναι συνεχής στο σηµείο αυτό. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] µε f(α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ) =, τότε κατ ανάγκη iii) f(β) >. ii) H εφαπτοµένη της y=ln στο o =e, διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΘΕΜΑ Ο

25 α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο τιµή f ( ). 4 = και f ( ) ηµ για κάθε R, να βρεθεί η β) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα = [,4] µε f ( ) για κάθε. Αν 5 f > και f ( ) f ( ) f ( 3) f ( 4 ), f ( ξ ) = f ( ) f ( ). = να αποδειχθεί ότι: υπάρχει [ ] ξ, τέτοιο, ώστε α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ΘΕΜΑ 3 Ο f + ae = για f( ) R R για την οποία ισχύει: ( ) κάθε R Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε: i) να βρείτε την τιµή του a R, ii) να βρείτε την f '(). β) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: ( ) 3 f ( ) + 8 = f( ) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y = 4 εφάπτεται στη C f και να βρείτε το σηµείο επαφής. ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται συνεχής συνάρτηση :[,] για τους οποίους ισχύει z + w = z w f R και οι µιγαδικοί αριθµοί: z = f() + i και w = + f() i α) Να αποδείξετε ότι f ( ) + f ( ) =. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα [ ] γ) ίνεται η συνάρτηση: g ( ) = f( ) + ( f( + ),. i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της g. ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέµνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σηµείο.

26 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο Α. α) Τι ονοµάζουµε συζυγή και τι µέτρο του µιγαδικού αριθµού z= a+ βi ; β) Αν z, z C, να αποδείξετε ότι zz = z z. Β. Τι παριστάνουν οι εξισώσεις z z= a,α Rκαι z z= z z, όπου z, z, z είναι σταθεροί µιγαδικοί αριθµοί και z z ; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ). α) Αν z =α, τότε a z=, a>. z β) Αν z= w, ττε ό z= w. ΘΕΜΑ Ο z + z i ίνεται ο µιγαδικός: f( z) =, z C {} i α) Να βρείτε τα Re( f( z)),im( f( z )), όταν z= iκαι να υπολογίσετε τον f ( z ) β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ του z, αν: i) f( z) I ii) f( z) R γ) Να αποδείξετε ότι f ( z) = z+ i..

27 ΘΕΜΑ 3 Ο A) ίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: 3 7 f ( ) + f( ) = 3 για κάθε R α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι << >> β) να βρεθεί ο τύπος της B) ίνεται η συνάρτηση f. e f( ) = ln. e + α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι << >>. β) Να οριστεί η f. ΘΕΜΑ 4 Ο Α) Αν z µιγαδικός αριθµός µε z=α+βi i ( α, β R ) να αποδείξετε ότι ισχύουν: z i z i = z Rκαι < β > z+ i z+ i Β) Αν για τους µιγαδικούς 3 z, z, z,..., z ν i ισχύει: z+ z+ z z i να αποδείξετε ότι: α. Κανένας από τους 3 ν z, z, z,..., z ν δεν είναι πραγµατικός. β. z+ z+ z zν i < z + z + z z + i 3 ν

28 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο Α. α) Τι ονοµάζουµε συζυγή και τι µέτρο του µιγαδικού αριθµού z= a+ βi ; β) Αν z, z C, να αποδείξετε ότι zz = z z. Β. α) Τι παριστάνουν οι εξισώσεις z z= aκαι z z= z z, όπου z, z, z είναι σταθεροί µιγαδικοί αριθµοί και z z ; β) Να συµπληρώσετε τις προτάσεις: i) z+ z=... και z z=... ii) z R z=... και... z I..., όπου I συµβολίζει το σύνολο των φανταστικών αριθµών. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ). α) Αν z =α, τότε a z=, a>. z β) Αν z = w, τότε z= w. γ) Ο αριθµός z w παριστάνει την απόσταση των εικόνων των µιγαδικών z και w. δ) Για κάθε z C ισχύει ότι z R z= z. z + ίνεται ο µιγαδικός: f ( z) =, z C {} i z i ΘΕΜΑ Ο α) Να βρείτε τα Re( f ( z)), Im( f ( z )), όταν z = i και να υπολογίσετε τον f ( z ) β) Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο της εικόνας Μ του z, αν: f z I i) ( ) ii) f ( z) R γ) Να αποδείξετε ότι f ( z) = z+ i..

29 ΘΕΜΑ 3 Ο e ίνεται η συνάρτηση f ( ) = ln. e + α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι << >>. β) Να οριστεί η f. ΘΕΜΑ 4 Ο 3 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z = + i και z = + z α) Αποδείξτε ότι: i) + z + z = ii) 3 z = iii) z ν + z ν +, z ν z ν ( ν = = Ν ) β) Να γράψετε στη µορφή a+ βi τους 36 z και z 9.

30 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο Α. α) Πότε µια συνάρτηση f : A R λέγεται γνησίως αύξουσα στο Α; β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα και f ( ), να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ' > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση f ( ) = + ln. i. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. ii. Να µελετήσετε την f ως προς τα κοίλα. iii. Να βρείτε τα A= lim f ( ) και B= lim f ( ). + iv. Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. v. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης + = ln. ΘΕΜΑ 3 Ο 6 = ln i. Να βρείτε την f. ii. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία. iii. Να βρείτε το πλήθος των οριζόντιων εφαπτοµένων της C f. ίνεται η συνάρτηση f ( ) iv. Να βρείτε τις ασύµπτωτες της C f. ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται η συνάρτηση f : * R R µε τύπο ( ) f = e για κάθε i) Να βρείτε τα όρια lim f ( ) και f ( ) ii) lim. + R *. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 3έχει ακριβώς δύο ρίζες.

31 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ Ο A. α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Fermat. B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν για µια συνάρτηση f : A R µέγιστη τιµή της f. ισχύει ( ) f κ όπου κ R για κάθε A, τότε το κ είναι η β) Αν για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστηµα ισχύει f '( ) g '( ) σηµείο του, τότε f ( ) = g( ) για κάθε. = για κάθε εσωτερικό ΘΕΜΑ Ο Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα το σύνολο τιµών και τις ασύµπτωτες: f ( ) + ln =. ΘΕΜΑ 3 Ο ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e + [ ],,. i) Nα τη µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε το πρόσηµό της. iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα [ ] iv) Να αποδείξετε ότι για κάθε (, ) ισχύει e < +.,.

32 ΘΕΜΑ 4 Ο Για µια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιµη στο R ισχύει ( ) β ( ) γ ( ) 3 3 f f f + + = + 6 για κάθε R, όπου α,β,γ R µε αποδείξετε ότι: i) η f δεν έχει ακρότατα, ii) η f είναι γνησίως αύξουσα, iii) υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f ( ) = στο διάστηµα ( ),. β < 3 γ. Να ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα το σύνολο τιµών και τις ασύµπτωτες. ( ) = ( ln ) f ) Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) f = + a e, R. Αν η ευθεία y= + εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο Μ (,f() τότε: α) Να αποδείξετε ότι:α= β) Να µελετήσετε τη µονοτονία της f. γ) Να υπολογίσετε τα όρια: lim f i. ( ) ii. lim f ( ) + δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 7 έχει ακριβώς µια λύση στο R.

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ A Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δυο φορές παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0 ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑo ΑAν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

G(x) = G(x) = ΘΕΜΑ 1o

G(x) = G(x) = ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) Θ) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι φορές ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο R και α

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα