Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Ναζωραῖος Λύτρας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6/5/, :5) (Προσωρινό αρχείο)

2 Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου του Δικτυακού Τόπου mathmatica.gr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathmatica Συνεργάστηκαν οι: Ανδρέας Βαρβεράκης, Φωτεινή Καλδή, Σπύρος Καρδαμίτσης, Τάσος Κοτρώνης, Βασίλης Μαυροφρύδης, Ροδόλφος Μπόρης, Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Γιώργος Ρίζος, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Κώστας Τηλέγραφος Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα από το δικτυακό τόπο mathmatica.gr

3 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f Μονάδες A. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο IR. Πότε η ευθεία y λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 A3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z β) Μια συνάρτηση f : A IR λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν τότε f( ) f ( ) συν γ) Για κάθε IR IR { συν } ισχύει ( ε ϕ ) ημ δ) Ισχύει ότι: lim + ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. Μονάδες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( δ, + δ) Δ και f() f ( ), για κάθε ( δ, + δ). () Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει f() f f() f f ( ) lim lim. + 3

4 Επομένως, f() f αν ( δ, ), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε f() f f () ( ) lim f() f αν (, + δ), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε f() f f. (3) ( ) lim + Έτσι, από τις () και (3) έχουμε f. Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη. A. Η ευθεία y λ + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +,όταν A3. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ lim [ f () (λ + β)]. + ΘΕΜΑ Β ΛΥΣΗ: Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z 3i + z + 3i και w z 3i + z 3i B. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z B. Να αποδείξετε ότι z + 3i z 3i B3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w B4. Να αποδείξετε ότι: z w z Μονάδες 7 Μονάδες 4 Μονάδες 8 Μονάδες 6 B. ος τρόπος +, οπότε: Είναι z 3i z 3i z 3i z 3i + z+ 3i z 3i z + 3i. Ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα. 4

5 ος τρόπος Έστω z + yi,,y IR Τότε z 3i + z+ 3i + y 3 i + y 3 i + y 3 + y 3 Ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα. B. Για z 3i είναι: z 3i z 3i z 3i z 3i z 3i z + 3i z + 3i z 3i B3. ος τρόπος Είναι w z 3i+ z 3i+ z+ 3i z+ z. z3i Aν z + yi,,y IR, τότε: w z+ z + yi+ yi IR Εφόσον ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα, είναι: 3 y Κ ρ ος τρόπος w w z 3i + z 3i + z + 3i z + z R(z) IR. z3i w z 3i + z 3i z3i + z3i + Όμως w ΙR άρα w w 3 ος τρόπος w z 3i + z3i z 3i+ z 3i R(z 3i) R( + (y 3)i) R Εφόσον ο Γ.Τ. των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(, 3) και ακτίνα, είναι: B4. ος τρόπος Είναι z w zz z z z z ος τρόπος w Είναι οπότε z w z 3 ος τρόπος z w zw z w z z+ z w+ w z w + w z Για z + yi, όπου,y IR, έχουμε: w και z w + yi + yi ( yi) yi z z. O y 5

6 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f : ΙR IR, δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR, με f f, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: για κάθε IR. ( f + f ) f + f Γ. Να αποδείξετε ότι f ln, IR Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln συν έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα Μονάδες 8 Μονάδες 3 Μονάδες 7 π, Μονάδες 7 ΛΥΣΗ: Γ. Είναι: Για, έχουμε: Έστω g, IR ( f + f ) f + f f f f f + + ( f ) ( f ) f f + c, c IR () f f + c c, οπότε η () γράφεται: Η g() είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με f f f g Η μονοτονία και τα ακρότατα της g() φαίνονται στον πίνακα: + g + g() Ó Ò και παρουσιάζει ελάχιστο στο το g, οπότε είναι g > για κάθε IR. 6

7 Είναι: Για η () γίνεται: f f ος τρόπος Είναι: Για, έχουμε: f f f ln + c, c IR () ln + c ln+ c c, οπότε: ln, IR ( f f ) f f + + f f + f f + ( ) f ( ) f + c, c IR () + c c, οπότε η () γράφεται: f f f Από γνωστή εφαρμογή ισχύει lnt t για κάθε t θετικό με την ισότητα μόνο όταν t. Θέτουμε t, IR και λαμβάνουμε: ln Είναι: f f ln( ) ln( ) + c, c IR f () Για η () γίνεται: f ( ) f ln( ), IR Γ. Η f() είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με ln + c ln+ c c, οπότε: f, IR. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f() δίνονται στον πίνακα: f + f() Ó Ò H f είναι γν. φθίνουσα στο (,] και γν. αύξουσα στο [,+ ) Παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο το f() 7

8 Γ3. Είναι + f, IR ( ) Έστω g() +. Η g() είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με g + ( ) Η μονοτονία και τα ακρότατα της g() δίνονται στον πίνακα: g + g() Ò Ó Άρα g() g() g() Η g() έχει ολικό μέγιστο στο το g() >. Είναι Επειδή lim g() lim lim, lim θα είναι lim g() lim g() lim lim Είναι. Ισχύουν οι προϋποθέσεις του κανόνα D L' Hospital για τις συναρτήσεις y και y, lim g lim οπότε Οπότε για τη g() στο (,] ισχύει: g (,] ( lim g( ), g (, ], διάστημα στο οποίο ανήκει το, οπότε υπάρχει (,) τέτοιο ώστε g και είναι μοναδικό, λόγω της μονοτονίας της g(). Ομοίως στο [, + ) είναι: g, [ + ) ( limg,g (,], + διάστημα στο οποίο ανήκει το, οπότε υπάρχει (, + ) τέτοιο ώστε g και είναι μοναδικό, λόγω της μονοτονίας της g(). 8

9 Επειδή δίνεται στον πίνακα: > για κάθε IR, λαμβάνοντας υπόψη τη μονοτονία της g() το πρόσημο της f + g() + + f + + Σ.Κ. Σ.Κ. Άρα η f έχει δύο μοναδικά σημεία καμπής. Γ4. Έστω g() n συν π Η g είναι συνεχής στο, Είναι g() συν < π π π π και g n f >, αφού η f είναι συνεχής και έχει ολικό ελάχιστο στο το f(). π ξ, τέτοιο ώστε g ξ Οπότε από Θ. Bolzano υπάρχει Επειδή: Είναι: ( ) g() n συν + ημ f () + ημ π f > για > και ημ> για, π οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα για,, οπότε είναι και η ρίζα είναι μοναδική. Σχόλιο: Μία διαφορετική αντιμετώπιση για το πρόσημο του π g είναι από τον δεύτερο τρόπο στο Γ. Συγκεκριμένα έχουμε δείξει ότι: ln με την ισότητα στο μόνο στο άρα στο π π είναι π π g n > 9

10 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:ir IRοι οποίες για κάθε IR ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f() > και g() > ii) iii) t f ( + ) g t t g f t ( + ) dt dt Δ. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο IR και ότι f() g() για κάθε IR Δ. Να αποδείξετε ότι: Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: f ln f lim f, IR Μονάδες 9 Μονάδες 4 Μονάδες 5 Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συ νάρτησης F t dt f, τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση. Μονάδες 7 ΛΥΣΗ: Δ. Είναι: g t g t t t f() dt f () dt ( + ) ( + ) Θέτω u + t t u, οπότε du dt Για t είναι u και για t είναι u Οπότε: f t u u u dt du du du + g( + t) g(u) g(u) g(u) u u Η h(u) είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών, άρα η g(u) dt παραγωγίσιμη. g(u)

11 Τότε η f() είναι παραγωγίσιμη με Όμοια βρίσκουμε και ότι g, f () f. g() ος τρόπος άρα: f () g( ) f() g () g() c, c IR f f() g g() f () g f() f() Για είναι f () και ομοίως g() άρα f() g() c c, οπότε f() g(). ος τρόπος άρα: ( ( f )) ( ) ( f ) f () g f g f () g( ) f() g f() g f g ln () ln g() ln () ln g() + c, c IR f() Για είναι () οπότε f() g(). f και ομοίως g() άρα ln f() ln g() + c, c IR c, Δ. Αφού f() g(), είναι: Για είναι ( ) f f f f + () () () c, c IR f () + c c άρα f () και αφού f() > θα είναι f(). Δ3. ος τρόπος ln f() ln lim lim lim f Θέτουμε y,οπότε ειναι lim y lim. Τότε: Είναι lim y y +, lim y. y. ln f() lim lim lim lim f y y y y y y

12 Εφαρμόζουμε τον κανόνα d L' Hospital, και έχουμε: y y ( ) lim lim y y y ος τρόπος Είναι με και lim +, lim lim lim lim άρα από κανόνα d L' Hospital έχουμε lim ln f lim lim f lnf lim lim lim f Δ.4 Το εμβαδό είναι E ος τρόπος F(t)dt Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο IR με παράγωγο ( ) IR. Επομένως η F είναι γνησίως αύξουσα, οπότε με < είναι F() < F(). Επειδή F() στο διάστημα [,], το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι : F () f(t )dt f > για κάθε E [ F(t)dt] F()d [ F()] + F ()d [ F() ] + d F() + F() + d + ος τρόπος Είναι. Έχουμε f (t ) > συνεπώς f (t )dt > άρα F() <. Επειδή F() στο διάστημα [,], το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι :

13 3 ος τρόπος E [ F(t)dt] F()d [ F()] + F ()d [ F() ] + d F() + F() + d + Ισχύει ότι > και για έχουμε ότι t dt οπότε ( ) t t t t dt d ( ) d E dt d dt d dt d + t dt έτσι θα έχουμε ότι: 3

Σχετικά έγγραφα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η