ÏÅÖÅ [ ) ) ) ) Οπότε το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης µε τον x x είναι το Μ(-2,0).

Transcript

1 Θέµα ο Α.. Θεωρία από Σχ. Βιβλίο σελ. 9 Α.. Θεωρία από Σχ. Βιβλίο σελ. 9 Α.3. Απόδειξη από Σχ. Βιβλίο σελ. 8-9 Β. α Λάθος β Σωστό γ Σωστό δ Λάθος ε Λάθος Θέµα ο α) Πρέπει + 0 x αι x + 0 x αι έστω x + 0 τότε x+ x+ x Άρα x + 0 όταν x. Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [ ) Οπότε το πεδίο ορισµού της f είναι το,). β) Τα ζητούµενα σηµεία είναι αυτά για τα οποία ισχύει f(x)0. Άρα: x 0 αι x [,) ) x αι x [,) ) x ± αι x [,) ) Άρα x. γ) ÈÅÌÁÔÁ 008 Οπότε το σηµείο τοµής της γραφιής παράστασης µε τον x x είναι το Μ(-,0). x ( x )( x + )( x + + ) ( x )( x + )( x + + ) f ( x) x + ( x + )( x + + ) ( x + ( x )( x + )( x + + ) ( x )( x + )( x + + ) ( x + )( x + + ) x + x

2 Άρα lim f ( x) lim( x + )( x + + ) ( + )( + ) 6 x x δ) Ο πίναας γίνεται: f v v 0 N F v f 0, x i v i f i N i F i 0, 0, 6 0, 0 0,5 3 0,3 3 0,8 8 0, 0 Σύνολο , v 6 f 0,, N v+ v v 0 F f+ f 0,+ 0, 0,5 v f v f v 0, 0 8 v N v 0 αι F v + v + v3 + v v v3 0 8 v3 f 3 0,3, N3 N + v v 0 F3 F+ f3 0,5+ 0,3 0,8 ÈÅÌÁÔÁ 008

3 3 Θέµα 3 ο α) Στον παραάτω πίναα «διπλής εισόδου» αταγράφουµε τα δεδοµένα µας. Φύλλο Τµήµα ιοιητιό τµήµα Τεχνιό τµήµα Σύνολο Άνδρες Γυναίες Σύνολο N( 50 P( 0,5 N(Ω) 00 Β : «είναι το ενδεχόµενο το άτοµο να είναι άνδρας» Β : «είναι το ενδεχόµενο το άτοµο να εργάζεται στο διοιητιό τµήµα». ( ) B (B B ) P(B) P(B B ) P(B ) + P B P(B B ) , β) Το άθροισµα των ηλιιών όλων των υπαλλήλων θα είναι: 00 i t i Μετά την πρόσληψη των νεότερων υπαλλήλων το άθροισµα των ηλιιών των υπαλλήλων θα είναι: ν ν 00 y t άρα t ν y δηλαδή t 00 39, i i i ν i i i Έστω c το πλήθος των ατόµων που αποχώρησαν. Επειδή θα προσληφθούν c άτοµα αλλά ατά χρόνια νεότερα, θα ισχύει ότι: c δηλαδή c 0 άρα c 0 γ) Η αµπύλη συχνοτήτων στην ανονιή ατανοµή είναι: ÈÅÌÁÔÁ 008,35%,35% 0,5% 3,5% 3% 3% 3,5% 0,5% x 3s x s x s x x + s x + s x + 3s 3

4 Επειδή το,5% (δηλαδή,35% + 0,5%,5%) των υπαλλήλων έχει ηλιία το πολύ 6 χρόνια, x s 6 () Η µέση ηλιία όλων των υπαλλήλων είναι: x 0 00 Από τη σχέση () έχουµε: s s 7. Εποµένως η αµπύλη συχνοτήτων θα είναι:,35%,35% 0,5% 3,5% 3% 3% 3,5% 0,5% Κάτω από 33 χρόνια θα είναι το 3,5% +,35% + 0,5% 6% των υπαλλήλων της εταιρίας δηλ υπάλληλοι. 00 vixi v i i δ) Είναι: s ix v x i i i i vixi S 00 i vixi vix i i i i i i i i i 00 s s 00 v x v x 0000 s S 5 S 5 ÈÅÌÁÔÁ 008 Στην ανονιή ατανοµή το εύρος R 6s, εποµένως R 30.

5 5 Θέµα ο x x x + 5e + x + 7x + 5e 5x + 5 x Α. Είναι: x e x Έστω f(x) e x -x+, x R. H f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f (x) e x -. 0 Έχουµε f ( x) 0 e x 0 e x e x e x 0 x f (x) f (x) min Για x0 η f παρουσιάζει ελάχιστο το m f (0) B. Για m είναι: g(x)x - x+3. Η g είναι παραγωγίσιµη στο R µε g (x)x-. Η εφαπτοµένη της C g στο Α(, g()) είναι παράλληλη στον x x όταν g ()0-0 ή - (απορρίπτεται αφού Ω ) Άρα. Ε{,3,,5,6,7} Οπότε N( Ε) 6 P( Ε ) N( Ω) 7 Γ. Αφού A B τότε Β Α Ρ Α Β Ρ Α οπότε 3 Ρ ( ) ( 3 Ρ( h x x + x + x + 008, x R. 3 P( Η h είναι παραγωγίσιµη στο R µε h ( x) x + P( x +, x R αι 3 P( P ( P ( 3 + P( P ( + P( + ( P ( + ) < 0 γιατί: Α αι ( ) ( ) + ÈÅÌÁÔÁ 008 Το ενδεχόµενο Α απολείεται να είναι ο δειγµατιός χώρος Ω (διότι αν ήταν, 0 Ρ Α θα έπρεπε αι ΒΩ, άτοπο αφού Α Β) άρα Ρ(Α) αι επειδή ( ) έπεται ότι 0 Ρ( Α) < άρα P(+< οπότε ( ( + ) < P. ( εναλλατιά: το τριώνυµο P ( + P( 3 έχει 6 αι ρίζες τις -3 αι οπότε για P( [ 0,) είναι P ( + P( 3< 0 ). 5

6 6 Αφού <0 η h ( x) παίρνει τιµές οµόσηµες του 3 P( αι αφού συνάρτηση h είναι γνήσια αύξουσα στο R. 3 P( για άθε x R φανερά θετιό, έχω h ( x) >0 για άθε x R, άρα η ÈÅÌÁÔÁ 008 6