ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ ΗΜΙΔΙΑΛΕΙΠΟΝΤΟΣ ΕΡΓΟΥ

Transcript

1 ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ ΗΜΙΔΙΑΛΕΙΠΟΝΤΟΣ ΕΡΓΟΥ Προσθήκη μέρους ή όλου του θρεπτικού μέσου κατά την διάρκεια της βιοαντίδρασης όταν θέλουμε: να προσθέσουμε κάποια συστατικά (π.χ. διεγέρτες) αφού έχει επιτευχθεί κάποια σημαντική συγκέντρωση βιομάζας να διατηρήσουμε χαμηλές συγκεντρώσεις υποστρώματος προκειμένου να αποφύγουμε παρεμπόδιση υποστρώματος ή καταστολή καταβολιτών παρατεταμένη λειτουργία στην στάσιμη φάση που είναι βέλτιστη για την παραγωγή ορισμένων μεταβολικών προϊόντων όπως αντιβιοτικών κ.λ.π.

2 Ισοζύγια d(v Rc dt i ) = F c io +V R r fi V R dc dt i +c i dv dt R = Fc io +V R r fi dv R dt = F Οπότε: dc i dt = F V R (c -c )+r io i fi Για δεδομένο F, oι δύο τελευταίες σχέσεις πρέπει να επιλυθούν για να βρεθεί η συγκέντρωση του i και η μάζα του i (=V R c i ) συναρτήσει του χρόνου.

3 Παράδειγμα Monod dx dt = - F V x+ [S] K + [S] x d[s] dt = R F V R ( S o max S - [S])- 1 Y max K S [S] +[S] x dv R dt = F Οι τρεις αυτές εξισώσεις πρέπει να επιλυθούν με αρχικές συνθήκες: V R (0)=V o x(0)=x o [S](0)=S o.

4 Για σταθερό ειδικό ρυθμό ανάπτυξης d[ S] dt = 0 F = 1 Y ( K S [S] xv R = V +[S])( S o - [S]) max R x Όπου: * = Y( S - S * ) o μ* ο επιθυμητός ειδικός ρυθμός ανάπτυξης και S* η συγκέντρωση υποστρώματος που αντιστοιχεί στον ρυθμό μ* Άρα ο ρυθμός παροχής πρέπει να είναι ανάλογος της συνολικής μάζας μικροοργανισμών

5 Τότε: Ολοκληρώνοντας: dx dt = - x 2 * + x x = t xo e * t 1- * x o(1- e ) * Αντικαθιστώντας: F = V 1 - * x R o x o e * t (1 - e * t ) Οπότε για τον όγκο έχουμε: dv dt R R o = t V x e * 1- * x o(1-e t) *

6 Οπότε: ) (1 ) ( 1 ) ( * * t o o o R e Y x =V t V t o o o e Y x V F = * ) ( * *

7 συγκέντρωση

8 ΑΣΚΗΣΗ 2 Μέσο ανάπτυξης μικροοργανισμών χρησιμοποιείται για την παραγωγή βιομάζας σε βιοαντιδραστήρα συνεχούς ανάδευσης. Η διαθέσιμη ποσότητα υποστρώματος είναι 200 g και επιδιώκεται η παραγωγή 26g βιομάζας. Ο αντιδραστήρας φορτώνεται αρχικά με 10 l διάλυμα που περιέχει υπόστρωμα συγκέντρωσης 10 g/l ενώ η αρχική συγκέντρωση βιομάζας μετά τον εμβολιασμό είναι 0,1g/l. Ο αντιδραστήρας λειτουργεί στη συνέχεια ως ημιδιαλείποντος έργου τροφοδοτούμενος με μέσο που περιέχει υπόστρωμα συγκεντρώσεως 20g/l με τέτοιο ρυθμό, ούτως ώστε η συγκέντρωση υποστρώματος να διατηρείται διαρκώς στα 10g/l. όταν προστεθεί όλη η ποσότητα του υποστρώματος ο αντιδραστήρας λειτουργεί πλέον ως διαλείποντος έργου μέχρι να παραχθούν 26 g βιομάζας (τελική ποσότητα βιομάζας είναι 27 g). O οργανισμός που αναπτύσσεται ακολουθεί κινητική Monod με μ max =0,5h -1, K =0,1 g/l, Y=0,3. (α) Βρείτε τον τελικό όγκο του υγρού, την ποσότητα και τη συγκέντρωση της βιομάζας στο τέλος της φάσης ημιδιαλείποντος έργου και την τελική συγκέντρωση της βιομάζας. (β) Βρείτε τη διάρκεια κάθε φάσης λειτουργίας (γ) Συγκρίνατε τον συνολικό χρόνο λειτουργίας με το χρόνο που θα χρειαζόταν για την ίδια παραγωγή βιομάζας, αν όλη η ποσότητα του υποστρώματος φωρτονόταν στον αντιδραστήρα (αρχική συγκέντρωση 20g/l σε όγκο 10 l) εξ αρχής και ο αντιδραστήρας λειτουργούσε διακρκώς ως διαλείποντος έργου.

9 ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ (χημοστάτης) d(v c ) R dt Όταν η ογκομετρική παροχή F είναι σταθερή, συνήθως ο αντιδραστήρας φθάνει σε μόνιμη κατάσταση, οπότε η εξίσωση δίνει: i = F(c -c )+V r io i R fi io i V = F( c - c ) R - r fi

10 io i V = F( c - c ) R - r fi ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ δίνει τον απαιτούμενο όγκο για να επιτευχθεί παραγωγή Ζ i =Fc i mole i ανά μονάδα χρόνου.

11 Ενζυμική αντίδραση που περιγράφεται από κινητική Michaeli-Menten o m m o V R = F( S - [S])( K + [S]) = F[P]( K + S - [P]) v [S] v ( S - [P]) max max o

12 Όταν ο ρυθμός εξαρτάται και από άλλες συγκεντρώσεις, τα ισοζύγια μάζας όλων των ουσιών για μόνιμη κατάσταση πρέπει να επιλυθούν από κοινού μαζί με την εξίσωση: i c = Z i F Οι εξισώσεις αποτελούν ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων που ενδεχομένως επιδέχεται πάνω από μία λύσεις. Στην περίπτωση αυτή των πολλαπλών μόνιμων καταστάσεων πρέπει κανείς να εξετάσει την ευστάθεια τους. Η ευστάθεια ή η αστάθεια μιας μόνιμης κατάστασης προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές της Ιακωβιανής μήτρας.

13 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ένα δυναμικό σύστημα είναι ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, που περιγράφει την χρονική εξέλιξη ενός φαινομένου. Kάθε δυναμικό σύστημα μπορεί με κατάλληλες μεθόδους να αναχθεί σε ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της μορφής: dx 1 dt = f 1(x 1,x 2,..., x n,t) M dx n = f n (x 1,x 2,..., x n,t) dt το οποίο σε συμπαγή διανυσματική μορφή μπορεί να γραφεί: dx dt = f(x,t) Aν οι συναρτήσεις του δεύτερου μέλους δεν είναι συναρτήσεις του χρόνου, το σύστημα ονομάζεται αυτόνομο: dx dt = f(x)

14 Aν το σύστημα είναι γραμμικό ομογενές: dx dt = Ax έχει την μοναδική λύση: x(t) = e At x(0) Για να τείνει η λύση x(t) στο σημείο ισορροπίας (μόνιμη κατάσταση) 0 καθώς t, δηλ., για να είναι το σημείο ισορροπίας ευσταθές, πρέπει όλες οι ιδιοτιμές να έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Aν υπάρχει έστω και μία ιδιοτιμή με θετικό πραγματικό μέρος, το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές.

15 Σε διδιάστατα συστήματα τα σημεία ισορροπίας χαρακτηρίζονται ανάλογα με τον χαρακτήρα των ιδιοτιμών τους. 1. Αν οι δύο ιδιοτιμές είναι πραγματικές και ομόσημες, το σημείο ισορροπίας ονομάζεται κόμβος, ευσταθής αν είναι αρνητικές και ασταθής αν είναι θετικές. 2. Aν οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές και ετερόσημες, το σημείο ισορροπίας ονομάζεται σαγματικό σημείο. 3. Aν οι ιδιοτιμές είναι συζυγείς μιγαδικές, το σημείο ισορροπίας ονομάζεται εστία, ευσταθής αν έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος και ασταθής αν έχουν θετικό πραγματικό μέρος. Αν το σημείο ισορροπίας είναι ευσταθής εστία, οι λύσεις του συστήματος καταλήγουν σ αυτό με φθίνουσες ταλαντώσεις, ενώ αν είναι ασταθής εστία, απομακρύνονται με αυξανόμενες ταλαντώσεις. 4. Αν οι ιδιοτιμές είναι καθαρά φανταστικές το σημείο ισορροπίας ονομάζεται κέντρο και είναι οριακά ευσταθές. Σ αυτή την περίπτωση οι λύσεις ταλαντώνονται με σταθερό πλάτος.

16 Ένα μη γραμμικό αυτόνομο σύστημα είναι δυνατόν να έχει περισσότερα του ενός σημεία ισορροπίας. Κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας x το μη γραμμικό σύστημα παρουσιάζει όμοια συμπεριφορά με το γραμμικό σύστημα, που προκύπτει από γραμμικοποίηση του συστήματος γύρω από το σημείο ισορροπίας: du dt = J(x )u όπου u = x x είναι η απόκλιση των μεταβλητών από τις τιμές ισορροπίας και J(x ) είναι ο Iακωβιανός πίνακας υπολογισμένος στο σημείο ισορροπίας: = n n n n x f x f x f x f x x x x x J ) ( Επομένως, η ευστάθεια και ειδικότερα ο χαρακτήρας ενός σημείου ισορροπίας (μόνιμης κατάστασης) προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές του Iακωβιανού πίνακα υπολογισμένου στο σημείο ισορροπίας.

17 H χρονική εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος δεν καταλήγει κατ ανάγκη σε κατάσταση ισορροπίας (μόνιμη κατάσταση). Ένα μη γραμμικό σύστημα μπορεί να καταλήγει σε: περιοδική συμπεριφορά (οριακό κύκλο) οιονεί-περιοδική συμπεριφορά (τόρο) ή σε χαοτική συμπεριφορά (παράξενο ελκυστή).

18 Αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας για μικροβιακές καλλιέργειες Συνήθως η τροφοδοσία είναι αποστειρωμένη. Οι οργανισμοί αναπτύσσονται στο εσωτερικό του αντιδραστήρα Η απορροή περιέχει: μικροοργανισμούς προϊόντα και αχρησιμοποίητο θρεπτικό μέσο. Ορίζουμε τον ρυθμό αραίωσης D (dilution rate) (αντίστροφο του μέσου χρόνου παραμονής ): D = F V R

19 d(v x) dt R = V r - Fx dx dt = r - Dx R x x Στην πιο απλή περίπτωση των μη δομημένων, μη κατανεμημένων μοντέλων για την κινητική ανάπτυξης, δηλαδή στην περίπτωση του νόμου του Malthu το ισοζύγιο δίνει: dx dt = ( - D)x x = x e ( -D)t o

20 dx dt = ( - D)x x = x e ( -D)t o Τρεις περιπτώσεις: (α) Αν μ>d προβλέπεται συνεχής αύξηση της συγκέντρωσης βιομάζας χωρίς όρια (β) Αν μ<d προβλέπεται έκπλυση των οργανισμών τελικά (x=0). (γ) Αν μ=d προβλέπεται σταθερή συγκέντρωση βιομάζας ίση με την αρχική.

21 Άρα το μοντέλο προβλέπει διατήρηση βιομάζας σε μη μηδενική μόνιμη κατάσταση για D<ab, ενώ προβλέπει έκπλυση της βιομάζας για D>ab. Το λογιστικό μοντέλο: dx dt = ax(b - x)- Dx δίνει δύο μόνιμες καταστάσεις, x=0 και x=b-d/a. Η Ιακωβιανή μήτρα (σ' αυτή την περίπτωση) είναι βαθμωτή: J = a(b-2x)- D Εκτιμημένη στην μη μηδενική μόνιμη κατάσταση είναι -ab+d και επομένως η ιδιοτιμή της είναι: det (-ab +D - )= 0 = D - ab και επομένως είναι ευσταθής όταν D<ab και ασταθής όταν D>ab. Η ιδιοτιμή της μηδενικής μόνιμης κατάστασης είναι ab-d και επομένως αυτή η μόνιμη κατάσταση είναι ευσταθής όταν D>ab.

22 Αν θεωρήσουμε εξάρτηση του ειδικού ρυθμού ανάπτυξης από το περιοριστικό υπόστρωμα σύμφωνα με το μοντέλο Monod και αγνοήσουμε φαινόμενα συντήρησης και ενδογενούς μεταβολισμού, τότε τα ισοζύγια για την βιομάζα και το υπόστρωμα στον χημοστάτη είναι: dx dt = Dx + max K + x d dt = D( F ) 1 Y max K + x

23 Δύο μόνιμες καταστάσεις: 1. Έκπλυση των μικροοργανισμών: x =0, = F. 2. Kανονική μόνιμη κατάσταση: x = Y F DK max D, = DK max D. Για να έχει φυσικό νόημα η κανονική μόνιμη κατάσταση, πρέπει x >0, 0< < F. Από αυτούς τους περιορισμούς προκύπτει ότι, προκειμένου να υπάρχει παραγωγή βιομάζας μέσα στον χημοστάτη, ο ρυθμός αραίωσης δεν πρέπει να υπερβεί τον εκπλυτικό ρυθμό αραίωσης D w, δηλαδή τον ρυθμό αραίωσης στον οποίο μηδενίζεται η συγκέντρωση της βιομάζας: D D max = D w = max F K + F

24 Για την μελέτη της ευστάθειας των μονίμων καταστάσεων χρειαζόμαστε τον Ιακωβιανό πίνακα, ο οποίος προκύπτει με παραγώγιση του δεύτερου μέλους των διαφορικών εξισώσεων ως προς τις μεταβλητές x και : = x K K Y D K Y x K K K D x 2 max max 2 max max ) ( 1 1 ) ( ), ( J

25 Στην μόνιμη κατάσταση έκπλυσης ο Iακωβιανός πίνακας γίνεται: = D K Y K D F F F F F max max 1 0 ) (0, J Oι ιδιοτιμές είναι: D και D+ max F /(K + F ). Προκύπτει ότι η μόνιμη κατάσταση έκπλυσης είναι ευσταθής (ευσταθής κόμβος), όταν D max F /(K + F ) και ασταθής (σαγματικό σημείο), όταν ισχύει η αντίθετη ανισότητα.

26 Στην κανονική μόνιμη κατάσταση ο Iακωβιανός πίνακας γίνεται: + + = x K K Y D Y D x K K x 2 max 2 max ) ( 1 ) ( 0 ), ( J Oι ιδιοτιμές είναι: D και 1 Y max K (K + ) 2 x. Eίναι φανερό ότι, όταν η μόνιμη κατάσταση έχει φυσικό νόημα (x >0), έχει και τις δύο ιδιοτιμές αρνητικές, δηλαδή είναι ευσταθής κόμβος.

27 Xαρακτήρας μονίμων καταστάσεων του συστήματος Mόνιμη κατάσταση Έκπλυση Kανονική D max F K + F ευσταθής (ευσταθής κόμβος) χωρίς φυσικό νόημα D max F K + F ασταθής (σαγματικό σημείο) ευσταθής (ευσταθής κόμβος)

28 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ

29 Μόμιμη κατάσταση

30 Κινητική Andrew dx dt = Dx + ()x d dt = D( F ) 1 Y ()x = m 1+ K + K i = m K K i 3 μόνιμες καταστάσεις!

31 Μόνιμη κατάσταση I II III Έκπλυση ευσταθής ασταθής ευσταθής Κανονική 1 χωρίς φυσικό νόημα ευσταθής ευσταθής Κανονική 2 χωρίς φυσικό νόημα χωρίς φυσικό νόημα ασταθής D max = 1+ 2 m F Dw = ( F ) = 2 F K + F + Ki m K K i

32 Παράδειγμα Εστω χημοστάτης ενός λίτρου τροφοδοτούμενος με υπόστρωμα συγκέντρωσης 500mg/l. Στο χημοστάτη αναπτύσεεται μικροοργανισμός με κινητική τύπου Andrew με σταθερές: μ m =0,5 d -1 Υ=0,5 K =20mg/l Ki=200 mg/l Τι θα συμβεί σε μόνιμη κατάσταση αν η παροχή είναι 0,2 L/d ;

33 Υπολογίζουμε: Dmax=0,306 d -1 Dw=0,141 d -1 Μια και D=Q/V=0,2 d -1 είμαστε στην περίπτωση ΙΙΙ. Αρα το τι θα συμβεί εξαρτάται από την αρχική κατάσταση του αντιδραστήρα.

34 Εκπλυση x=50, =270

35 Κανονική μόνιμη κατάσταση x=300, =500

36 Πιο πλήρες μη δομημένο μη κατανεμημένο μοντέλο για τον αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας: dxv dt = max [S] K + [S] x - k x - Dx S dxd dt = k x - Dx d[s] dt d[p] dt 1 = - Y e v d X / S v e v v max max [S] K + [S] x -m x - 1 v v Y S [S] ( K + [S] + )x v+ D( So - [S]) P/ S S [S] = ( max K + [S] + )xv - D[P] S

37 Δύο μόνιμες καταστάσεις, μία έκπλυσης (x v =x d =[P]=0,[S]=S o ) και: [S] = K S (D+ k e ) -(D+ k ) x v = 1 Y max X/S e v x d = k x D (D +k [P] = [ ( k e + D)+ ] x D e e D( S o - [S]) 1 )+m + [ (D +k Y P/S v e )+ ]

38 Εξάρτηση από ρυθμό αραίωσης

39 Εξάρτηση από συγκέντρωση τροφοδοσίας

40 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ αν αγνοήσουμε την κατανάλωση υποστρώματος για συντήρηση και παραγωγή μεταβολικού προϊόντος, καθώς και τον ενδογενή μεταβολισμό, και μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε τον ρυθμό αραίωσης που μεγιστοποιεί την παραγωγή βιομάζας ανά μονάδα όγκου και χρόνου, δηλαδή Ι = D x

41 dx dt = [S] max K + [S] x - Dx S d[s] dt = - 1 Y max K S [S] +[S] + D( S o - [S])

42 Η μόνιμη κατάσταση που αντιστοιχεί σε ύπαρξη βιομάζας στον αντιδραστήρα δίνεται από: [S] = DK S - D max x = Y ( S o - DK - max S D ) O ρυθμός αραίωσης που μεγιστοποιεί τον δείκτη απόδοσης Ι είναι: opt max D = (1- KS K + S ) S o

43 Βέλτιστος ρυθμός αραίωσης

44 Τυπικό βακτήριο μ max =12d-1, Y=0,5, K =30,S f =500mg/l

45 ΑΣΚΗΣΗ 3 Ένας καλώς αναμεμιγμένος βιοαντιδραστήρας συνεχούς ροής δέχεται υπόστρωμα συγκέντρωσης 500 mg/l με παροχή 63l/. Αν η συγκέντρωση του υποστρώματος στην έξοδο είναι 50 mg/l και ο οργανισμός που αναπτύσσεται ακολουθεί κινητική Monod με μ max =0,4h -1, K =50mg/l, Y=0,3 βρείτε: (α) Τη συγκέντρωση βιομάζας στην έξοδο του αντιδραστήρα (β) τον όγκο του αντιδραστήρα (γ) τον χρόνο παραμονής στον αντιδραστήρα (δ) την μέγιστη παροχή πριν παρατηρηθεί έκπλυση των μικροοργανισμών (ε) την τιμή της παροχής που αποδίδει μέγιστη παραγωγικότητα βιομάζας.

46 ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε χημοστάτη καλλιεργείται μικροοργανισμός ο οποίος κάνει ταυτόχρονη χρήση δύο υποστρωμάτων S 1 και S 2 και η ανάπτυξη του οποίου περιορίζεται ταυτόχρονα και από τα δύο. Ο ειδικός ρυθμός ανάπτυξης ακολουθεί κινητική Monod με μ max =0,5h -1, K 1 =0,1g/l, K 2 =0,2g/l Οι συντελεστές απόδοσης της βιομάζας ως προς τα δύο υποστρώματα είναι 0,3 και 0,4 αντίστοιχα. Θεωρώντας τη συντήρηση και τον ενδογενή μεταβολισμό αμελητέα και ότι δεν υπάρχει βιομάζα στην τροφοδοσία: (α) γράψτε τα ισοζύγια σε μόνιμη κατάσταση για τη βιομάζα και τα δύο υποστρώματα (β)αν ο ρυθμός αραίωσης είναι 0,1h -1 και οι συγκεντρώσεις των δύο υποστρωμάτων στην τροφοδοσία είναι 0,3 g/l και 0,5 g/l αντίστοιχα, βρείτε τις συγκεντρώσεις της βοπμάζας και των δύο υποστρωμάτων στην απορροή. (γ) Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός αραίωσης για τις ίδιες συγκεντρώσεις τροφοδοσίας προκειμένου να αποφευχθεί έκπλυση;

47 Εναλλακτική λειτουργία: αντιδραστήρας με ανακυκλοφορία βιομάζας O O δx

48 ΑΥΛΩΤΟΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ Αν η ταχύτητα της ροής είναι U, η διατομή έχει εμβαδόν Α και το μήκος του αντιδραστήρα είναι L, το ισοζύγιο μάζας για μόνιμη κατάσταση για ένα διαφορικό μήκος dz ιδανικού αυλωτού αντιδραστήρα της ουσίας i είναι: d( AUc i ) = d(uc i ) = r d(az) dz fi Αν αγνοήσουμε οποιαδήποτε μεταβολή της πυκνότητας του αντιδρώντος μείγματος, μπορούμε να θεωρήσουμε την ταχύτητα U σταθερή, οπότε έχουμε: U dc dz i = r fi dci z d( U ) = r fi

49 Ονομάζοντας τον λόγο z/u=t το ισοζύγιο γίνεται ακριβώς το ίδιο με το ισοζύγιο για αντιδραστήρα διαλείποντος έργου. Η συνήθης διαφορική εξίσωση μπορεί να επιλυθεί με αρχική συνθήκη c i (0)=c io, και η συγκέντρωση στην απορροή είναι τότε c i (L) όπου L το μήκος του αντιδραστήρα (=V/A). όσα περιγράψαμε για τον αντιδραστήρα διαλείποντος έργου ισχύουν και για τον αυλωτό αντιδραστήρα με μέσο χρόνο παραμονής αντίστοιχο του χρόνου λειτουργίας του αντιδραστήρα διαλείποντος έργου. Στον αυλωτό αντιδραστήρα δεν είναι δυνατόν να έχουμε αποστειρωμένη τροφοδοσία. O αυλωτός αντιδραστήρας μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε εν σειρά μετά από αναδευόμενο, είτε εφόσον εξασφαλίσουμε μερική επαναφορά της απορροής.

50 ΑΣΚΗΣΗ 5 Η παροχή ενός αυλωτού αντιδραστήρα συνεχούς ροής με ανακυκλοφορία είναι 0,1 m 3 / και η συγκέντρωση υποστρώματος 300 mg/l. Η ανακυκλοφορία έχει παροχή 0,07 m 3 /. Να βρεθεί ο απαιτούμενος όγκος του αντιδραστήρα ώστε το υπόστρωμα στην έξοδο να είναι 20mg/l, και να συγκριθεί με εκείνον που θα χρειαζόταν αν ο αντιδραστήρας ήταν τύπου CSTR. μ max =0,4h -1, K =50mg/l, Y=0,5