ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει μία καμπύλη C στο χώρο (αντίστοιχα στο επίπεδο). r () = x (), y (), z (), [ α, β ] και οι εξισώσεις Η συνάρτηση x = x() y = y(), [ α, β ] z = z() καλούνται παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης C, η δε μορφή της καμπύλης r () = ( x (), y (), z ()) καλείται διανυσματική παραμετρική μορφή. Η μεταβλητή καλείται παράμετρος. Παρατήρηση 1. Μέχρι τώρα έχουμε συναντήσει καμπύλες στο επίπεδο, σε λυμένη (καρτεσιανή) μορφή y = f( x) (π.χ y = x ) ή σε πεπλεγμένη μορφή F( x, y ) = ( π.χ. η υπερβολή x y 16 9 = 1). Στο χώρο συνήθως προτιμάμε την διανυσματική παραμετρική μορφή.. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιάς καμπύλης δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένες π.χ. η x y υπερβολή = 1 έχει παραμετρικές εξισώσεις τις x = acsh, y = bsinh, a b αλλά και τις a (1 + ) x =, y = b (γιατί;) (α) Αν μία καμπύλη C δίνεται σε καρτεσιανή μορφή, για να βρούμε την παραμετρική της μορφή συνήθως θέτουμε μία από τις μεταβλητές (x,y ή z) ίσον με και εκφράζουμε τις άλλες συναρτήσει του (η παραμετρικοποίηση αυτή, και πάλι, δεν είναι η μοναδική και πολλές φορές δεν είναι η καλύτερη δυνατή). (β) Αν μία καμπύλη C δίνεται σε διανυσματική παραμετρική μορφή, για να βρούμε την καρτεσιανή της μορφή (εφόσον είναι δυνατόν) απαλείφουμε το από τις παραμετρικές εξισώσεις. 157

2 4. (Ιδιότητες μιάς καμπύλης) Έστω ότι μιά καμπύλη C δίνεται σε παραμετρική μορφή r () = x (), y (), z (), Εάν ra = rβ η καμπύλη καλείται κλειστή. ( ) dx( ) dy( ) dz( ) Η παράγωγος =,, στο σημείο, είναι ένα διάνυσμα εφαπτόμενο στην καμπύλη C στο σημείο r ( ).. Ερμηνεία (της παραγώγου) Αν = χρόνος και r = θέση ενός κινητού στην C υ () = =στιγμιαία ταχύτητα και γ () = =επιτάχυνση του κινητού (κανόνες παραγώγισης) Αν r(),r() 1 είναι δυό διανυσματικές συναρτήσεις (καμπύλες) και f() συνάρτηση μιάς πραγματικής μεταβλητής, τότε ισχύουν οι παρακάτω κανόνες παραγώγισης: d d d r() 1 r() = r() 1 r()+r() 1 r() ) (παράγωγος εσωτερικού γινομένου) (α) ( ) ( d d d r() 1 r() = r() 1 r()+r() 1 r() ) (παράγωγος εξωτερικού γινομένου) (β) ( ) ( d d d r () = f() r +f r ()) (παράγωγος γινομένου βαθμωτής συνάρτησης με διανυσματική) (γ) ( f ) ( Η καμπύλη έχει ένα διπλό σημείο εάν υπάρχουν δυό σημεία γ, δ [α,β]:r(γ)=r(δ). διπλό σημείο 158

3 Ανάλογα ορίζουμε το τριπλό, τετραπλό κ.λ.π. σημείο. Όλα αυτά τα σημεία καλούνται πολλαπλά σημεία. Εάν η καμπύλη δεν έχει πολλαπλά σημεία καλείται απλή. 5. Οι παραμετρικές εξισώσεις μιάς ευθείας στο χώρο, που διέρχεται από το σημείο ( x, y, z ) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα a=(a,a,a ) είναι οι: x = x + a 1 y = y + a, z = z + a 1 Συνήθως η ευθεία συναντάται στην μορφή (απαλλοίφοντας το ): x x y y z z = = a a a 1 6. Οι (παραμετρικές) εξισώσεις της εφαπτομένης στο σημείο ( x, y, z ) στην καμπύλη r () = x (), y (), z () είναι οι x x y y z z = = ή x( ) y ( ) z ( ) ' ' ' ' x = x + x ' y y y ( ), = + ' z = z + z όπου το είναι τέτοιο ώστε r = ( x, y, z ) = ( x, y, z ). (πράγματι, χρησιμοποιώντας το 5 και το γεγονός ότι το διάνυσμα ( x( ' ' ' ), ( ), ( ) ) y z είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη στο σημείο ( x, y, z ), και άρα παράλληλο στην εφαπτομένη). Εφαρμογή 1 Δίνεται η καμπύλη C: x y + = 1(έλλειψη) α) Να παραμετρικοποιηθεί η καμπύλη C β) Να βρεθεί ένα διάνυσμα εφαπτόμενο στην C στο σημείο (-,) 159

4 α) Μία παραμετρικοποίηση της C είναι : x = x () = cs C: y = y( ) = 4sin π Το σημείο ( xy=, ) (,) αντιστοιχεί στο σημείο = π Η διανυσματική παραμετρική εξίσωση της καμπύλης είναι r = r() = (cs,4sin ), π β) Ένα διάνυσμα εφαπτόμενο στην C στο σημείο r ( ) είναι το ( ) = r ( ) Εδώ r ( ) = (cs,4sin ) = ( sin,4cs ) r ( π ) = ( sin π,4cs π) = (, 4). Εφαρμογή Δίνεται η καμπύλη C με παραμετρικές εξισώσεις: x() = 1+ sin y () = + cs π α) Μπορεί να περιγραφεί η C με τη βοήθεια καρτεσιανών συντεταγμένων («καρτεσιανή μορφή»); β) Να γίνει η γραφική παράσταση της C. (α) Για την «καρτεσιανή μορφή» απαλείφουμε το από τις παραμετρικές εξισώσεις: ( x ) x= 1+ sin x 1= sin y = + cs y+ = cs y cs 1 = sin ( + ) + = x 1 + y+ = sin + cs x 1 + y+ = 1 Άρα η καμπύλη είναι κύκλος με κέντρο (1,-) και ακτίνα r =1 β) H γραφική παράσταση της C είναι : 16

5 Εφαρμογή Να γραφεί η εξίσωση της ευθείας C: y = x+ 5σε παραμετρική μορφή. Θέτουμε x = y = + 5 και η παραμετρική μορφή της C είναι Εφαρμογή 4 C: r( ) = ( x( ), y( )) = (,+ 5) Να βρεθούν οι εξισώσεις της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο (4,4,). Το σημείο (4,4,) αντιστοιχεί στην τιμή C r x y z : () = ( (), (), ()) = (4,4, ) =1 της παραμέτρου, γιατί 4 = 4 = = = = (4, 4, ) (4, 4,) Ακόμα το εφαπτόμενο,στην καμπύλη, διάνυσμα είναι το ( x(), ' y ' (), z ' () ) ( 8,4,9 ) = και για =1, είναι το (8,4,9). Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι, σύμφωνα με τα παραπάνω, η x 4 y 4 z = = (είναι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο (4,4,) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα (8,4,9)). 161

6 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Α. Μία συνάρτηση δύο μεταβλητών z= f( xy, ), ( xy, ) D λέμε ότι παριστάνει μία επιφάνεια στον χώρο ( καρτεσιανή μορφή επιφάνειας). Β. Aν r= ruv (, ) = ( xuv (, ), yuv (, ), zuv (, )), δηλαδή η r είναι διανυσματική συνάρτηση που εξαρτάται από τα uv,, τότε η r παριστάνει επίσης μία επιφάνεια ( διανυσματική μορφή επιφάνειας) Οι παραμετρικές εξισώσεις της επιφάνειας σ αυτή την περίπτωση είναι : x = xuv (, ) y = y( u, v) z = z( u, v) Παρατήρηση 1. Εάν η επιφάνεια δίνεται σε διανυσματική μορφή r= ruv (, ) = ( xuv (, ), yuv (, ), zuv (, )) 16

7 ru rv Το διάνυσμα n = ή το n είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην ru rv επιφάνεια r = r( u, v) στο σημείο ru (, v ) (όπου ru = ru( u, v), rv = rv( u, v) και r r ru =, rv = u v ). Το επίπεδο που καθορίζουν τα διανύσματα r, r και περνά από το σημείο ru (, v) καλείται εφαπτόμενο επίπεδο της r = r( u, v) στο ru (, v) και έχει εξίσωση : ( ruv (, ) ru (, v) ) n= (εσωτερικό γινόμενο) u v. Αν η επιφάνεια δίνεται σε καρτεσιανή μορφή: z = f ( x, y) και P = ( x, y, z) ένα σημείο της, Το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια στο σημείο ( x, y, z ) είναι το ( fx, fy, 1) n= ( fx( x, y), fy( x, y), 1) ( n = ( fx, fy, 1) ή το n = ( fx( x, y), fy( x, y),1) για μοναδιαίο ), το εφαπτόμενο επίπεδο στην z = f ( x, y), στο σημείο P = ( x, y, z) δίνεται από την εξίσωση: x x f ( x, y ) + y y f ( x, y ) z z = ή n P = x y P Η κάθετος ευθεία, στην επιφάνεια, στο σημείο ( x, y, z ) έχει παραμετρικές εξισώσεις x = x + λn1 y = y + λn z = z + λn αν n= ( n, n, n ) 1 και n= ( fx( x, y), fy( x, y), 1). Αν η επιφάνεια δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή: F( x, y, z ) = και P = ( x, y, z) ένα σημείο της, Το κάθετο, στην επιφάνεια,διάνυσμα στο σημείο ( x, y, z ) είναι : 16

8 F F F n = ( x, y, z), ( x, y, z), ( x, y, z) x y z ή το - n το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια, στο σημείο P = ( x, y, z) δίνεται από την εξίσωση: F F F x x ( x, y, z) y y ( x, y, z) z z ( x, y, z) = x y z ( ) + ( ) + ( ) Η κάθετος ευθεία, στην επιφάνεια, στο σημείο ( x, y, z ) έχει παραμετρικές εξισώσεις : x = x + λn1 y = y + λn z = z + λn και n= ( n, n, n ) 1 F F F = (,, ) x y z 4. (α) Αν μία επιφάνεια δίνεται σε καρτεσιανή μορφή z = f ( x, y), για να βρούμε μιά παραμετρική της μορφή συνήθως θέτουμε x =u, y =v οπότε η παραμετρική της μορφή είναι η r= ruv (, ) = uv,, f( uv, ). (β) Αν η επιφάνεια δίνεται σε παραμετρική μορφή r ruv (, ) ( xuv (, ), yuv (, ), zuv (, )) = =, για να βρούμε την καρτεσιανή (εφόσον είναι δυνατόν) απαλείφουμε τα u,v από τις παραμετρικές εξισώσεις. Εφαρμογή 1 Δίνεται η επιφάνεια S με παραμετρική μορφή ruv (, ) = ( u+ vu, vu, + v).να βρεθεί η εξίσωση της S σε καρτεσιανή μορφή. Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι : x = u+ v y = u v z = u + v απαλείφουμε τα u,v x y = u+ v u+ v x y = u+ v= z x y = z x y z = επίπεδο Εφαρμογή Δίνεται η επιφάνεια S σε καρτεσιανή μορφή z x y 11 =

9 α) Να βρεθεί (μία) παραμετρική μορφή της S. β) Να βρεθεί το κάθετο διάνυσμα στην S στο σημείο P = (,1,). γ) Να βρεθεί το εφαπτόμενο επίπεδο στην S στο σημείο P = (,1,). α) Θέτουμε x = u & y = v οπότε η z = u + v 11 και η παραμετρική μορφή της επιφάνειας είναι: ruv xuv yuv zuv uv u v (, ) = ( (, ), (, ), (, )) = (,, + 11) ruv = uv u + v (, ) (,, 11)) β) Για το κάθετο διάνυσμα στην S στο σημείο P = (,1,) έχουμε: r ru = = u, v, ( u + v 11 ) = (1,,6u) και r u (,1) = (1,,1) u u u u r rv = = u, v, ( u + v 11 ) = (,1,4v) και r v (,1) = (,1,4) v v v v Επομένως u v iˆ ˆj kˆ 1 4 r r = 1 1 = 1, 4,1 r u r = + + = v ( 1) ( 4) Άρα το κάθετο (μοναδιαίο) διάνυσμα στο σημείο P = (,1,) είναι το ru rv ( 1, 4,1) n = = r r 161 u v Παρατήρηση ( ος τρόπος εύρεσης του κάθετου διανύσματος) Επειδή η επιφάνεια είναι της μορφής z = f ( x, y), ένα καθετο διάανυσμα στο σημείο της (,1,), είναι σύμφωνα με τα παραπάνω το n= f ( x, y ), f ( x, y ), 1. Αλλά P = ( x y ) f ( x, y) = 6 x, f ( x, y) = 4 y f (,1) = 1, f (,1) = 4 x y x y επιφάνεια διάνυσμα στο σημείο P = (,1,) είναι το n = f (,1), f (,1), 1 = (1,4, 1) ή το n = ( 1, 4,1) ( x y ) (που συμφωνεί με τον πρώτο υπολογισμό) Άρα ένα κάθετο στην 165

10 γ) Για το εφαπτόμενο επίπεδο στην S στο σημείο P = (,1,) ruv (, ) ru (, v) n= (( xyz,, ) (,1,)) ( 1, 4,1) = 1x+ 4y z 5 = Παρατήρηση Η παραπάνω εφαρμογή μπορεί να δινόταν στην εξής μορφή Εφαρμογή α Δίνεται η επιφάνεια S με παραμετρική μορφή ruv (, ) = ( uv,,u + v 11)). α) Να βρεθεί το κάθετο διάνυσμα στην S στο σημείο P = (,1,). β) Να βρεθεί το εφαπτόμενο επίπεδο στην S στο σημείο P = (,1,). α) Ίδια με το β της εφαρμογής β) Ίδια με το γ της εφαρμογής Εφαρμογή Να βρεθούν οι εξισώσεις του εφαπτόμενου επιπέδου και της καθέτου (ευθείας) στην επιφάνεια z= f( xy, ) = xyστο σημείο (,1,4). Εδώ έχουμε f ( xy, ) = xy οπότε f (, ) x xy= xy = xyάρα f (,1) = 1 = 4 f y ( xy, ) xy x = = άρα x f = = y (,1) 4 Άρα το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο (,1,4) έχει εξίσωση : x 4+ y 1 4 z 4 = 4x 8+ 4y 4 z+ 4= 4x+ 4y z = 8 Το κάθετο στην επιφάνεια διάνυσμα n στο σημείο (,1,4) είναι : n= n, n, n = f (,1), f (,1), 1 = (4,4, 1) ( 1 ) ( x y ) και η κάθετος, στην επιφάνεια, ευθεία στο σημείο (,1,4) έχει παραμετρικές εξισώσεις : 166

11 x = x + n1 x = + 4 y = y + n y = 1+ 4 z z z n = + = 4 Εφαρμογή 4 Δείξτε ότι το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια xx yy zz δίνεται από την = 1. a b c x y z = 1 στο σημείο ( x, y, z ) a b c Η επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί ότι δίνεται στην εξής πεπλεγμένη μορφή Ακόμα F( x, y, z) = x y z 1= a b c F x F y F z =, =, = x a y b z c F x F y F z ( x, y, z) =, ( x,, ), (,, ) y z = x y z = x a y b z c οπότε, το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια, στο σημείο P = ( x, y, z) δίνεται από την εξίσωση: ( ) + ( ) + ( ) F F F x x ( x, y, z) y y ( x, y, z) z z ( x, y, z) = x y z x y z + + = a b c ( x x ) ( y y ) ( z z ) xx yy zz x y z = = 1 a b c a b c γιατί το σημείο P = ( x, y, z) είναι σημείο της επιφάνειας (άρα ικανοποιεί την εξίσωσή της). 167

12 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ (από μήκος τόξου) Εάν r r(), [ a, β ] = είναι μία καμπύλη, πολλές φορές η καλύτερη παράμετρος (s) για να παραστήσουμε την C (παραμετρικά) είναι το μήκος τόξου, που μετριέται κατά μήκος της καμπύλης από κάποιο σταθερό σημείο αναφοράς. Αν λοιπόν r r(), [ a, β ] = τότε για να την παραμετρικοποιήσουμε, χρησιμοποιώντας σαν παράμετρο το μήκος τόξου s, χρησιμοποιούμε τη σχέση: s = du du (όπου είναι το σημείο αναφοράς και... = μέτρο διανύσματος). Εφαρμογή 1 Δίνεται η καμπύλη C με εξίσωση x + y = a (κύκλος με κέντρο το (,) και ακτίνα a ). Να εκφραστεί (παραμετρικοποιηθεί) η καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου s. Μιά παραμετρικοποίηση του κύκλου είναι και η [ ] r = r() = acs, asin,,π Το σημείο αναφοράς είναι = οπότε : s = du du 168

13 d d Αλλά = ( acs ), ( asin ) = ( asin, acs ) και ( sin ) ( cs ) sin cs (sin cs ) = a + a = a + a = a + = a s Άρα s = adu = au s = a = a και αντικαθιστώντας στην r = r() το με (με παράμετρο τώρα το μήκος τόξου s). s a, έχουμε την παραμετρικοποίηση: s s r = r( s) = a cs, a sin, s, a a [ πα ] Εφαρμογή Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση [ ] r = r() = e cs, e sin, e,, π. Να παραμετρικοποιηθεί η καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου s. Το σημείο αναφοράς είναι = οπότε: s = du du Αλλά ( e cs e sin, e sin e cs, e ) = + και = e cs e sin + e sin + e cs + e = e s Άρα s = e du = e s = ( e οπότε = ln + 1 u u 1) s και αντικαθιστώντας στην r = r() το με ln + 1 έχουμε την παραμετρικοποίηση: s s s s s r = r( s) = ln + 1 cs ln + 1, ln + 1 sin ln + 1, ln

14 ΤΡΙΕΔΡΟ ΤΟΥ FRENET Εάν r = r() s είναι μία καμπύλη C παραμετρικοποιημένη με παράμετρο το μήκος τόξου s, το διάνυσμα T() s = είναι εφαπτόμενο στην ds καμπύλη στο σημείο s και καλείται μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα Το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα είναι κάθετο στα T() s T, N Ns () = και καλείται μοναδιαίο και καλείται μοναδιαίο dt() s ds dt() s ds B() s = T() s N() s κάθετο διάνυσμα (πρώτη κάθετος), ενώ το διάνυσμα δεύτερης καθέτου. 17

15 Η τριάδα ( T, N, B) καλείται Τρίεδρο του Frene ή συνοδεύων τρίεδρο (της C) στο σημείο s, αποτελεί δε ένα δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων σε κάθε σημείο της καμπυλης Αποδεικνύονται οι σχέσεις: (*) dt = κ N ds d Β = τ N ds όπου ο αριθμός κ = κ() s ονομάζεται καμπυλότητα της C στο s και τ = τ () s ονομάζεται στρέψη της C στο s Ο αριθμός Παρατήρηση 1. 1 ρ = καλείται ακτίνα καμπυλότητας ενώ ο αριθμός k 1 r = ακτίνα στρέψης. τ Α. (καμπυλότητα) Η καμπυλότητα είναι πάντοτε ποσότητα μη-αρνητική. Είναι μηδέν (δηλ. κ = κ() s =) μόνον όταν η καμπύλη είναι ευθεία. Είναι ένα μέτρο του πόσο η καμπύλη «απέχει» από το να είναι ευθεία. Β. (στρέψη) Η στρέψη είναι ένας πραγματικός αριθμός (όχι απαραίτητα θετικός). Είναι μηδέν (δηλ. τ = τ () s =) όταν και μόνον όταν η καμπύλη είναι επίπεδη. Είναι ένα μέτρο του πόσο η καμπύλη «απέχει» από το ν ανήκει σε ένα επίπεδο. Τόσο η καμπυλότητα όσο και η στρέψη, υπολογίζονται από τις σχέσεις (*) παραπάνω: dt dt dt ds N = 1 dt = κn κ N = κ = κ = και όμοια ds ds N ds τ = db ds. 171

16 . Εάν η καμπύλη έχει παραμετρική μορφή r = r() (δηλαδή η παράμετρος δεν είναι το μήκος τόξου), τότε τα κ,τ υπολογίζονται συνήθως από τις σχέσεις : d r () () κ() =, () τ() = d r d r (), (), () () d r (). Αν η καμπύλη είναι επίπεδη (οπότε η στρέψη της είναι μηδέν), και έχει εξίσωση y = f(x), θέτοντας x =, παίρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις x =, y=f() και ο τύπος της καμπυλότητας γίνεται σ αυτή την περίπτωση κ() = ' ' f () ' 1+ f () Εφαρμογή 1 Να δειχθεί ότι ο κύκλος x + y = a (κύκλος με κέντρο το (,) έχει σταθερή καμπυλότητα σε κάθε σημείο του (ίση με το αντίστροφο της ακτίνας του). Μιά παραμετρικοποίηση του κύκλου είναι και η [ ] r = r() = acs, asin,,,π d d Αλλά = ( acs ), ( asin ), = ( asin, acs,) Επίσης = ( asin ) + ( acs ) = a sin + a cs = a (sin + cs ) = a = ( acs, as in,), = ( asin, acs,) και x 1 x x d r d r =-asin acs =(,, a ) = + + ( a ) = a -acs -asin Η καμπυλότητα του κύκλου λοιπόν είναι ίση με d r () () 1 a κ() = = = a a () και 17

17 Εφαρρμογή Να βρεθεί η καμπυλότητα της καμπύλης Εδώ έχουμε οπότε y = f(x)=x-x ' '' f (x)=-x, f (x)=-6x ' ' f (1) 6 κ() = = = f (1) ' Εφαρρμογή Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση r = r()= ( acs, asin, b ), a>. Να βρεθεί η καμπυλότητα στο τυχόν σημείο της. Εδώ έχουμε οπότε Επίσης d r ()= -asin, acs, b, ()= -acs, asin, ( ) x 1 x x d r d r = -asin acs b = ( absin,-abcs, a ) = a a +b -acs -asin Τέλος = (-asin) +(acs) +b = a sin +a cs +b = a + b d r () () a a +b a κ() = = = a +b () ( a +b ) Εφαρρμογή 4 (παραμετρικοποίηση με παράμετρο το μήκος τόξου s) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση 17

18 ( ) [ ] r = r() = e cs, e sin, e,, π. (α) Να παραμετρικοποιηθεί η καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου s. (β) Να υπολογισθούν: Α) το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα T Β) η πρώτη κάθετος N και η καμπυλότητα κ Γ) η δεύτερη κάθετος B και η στρέψη τ Είδαμε παραπάνω (εφαρμογή, σελ. 1) ότι η παραμετρικοποίηση της καμπύλης με παράμετρο το μήκος τόξου s, είναι η s s s s s r = r( s) = ln + 1 cs ln + 1, ln + 1 sin ln + 1, ln + 1 Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα ˆT ( s) ισούται με : Tˆ ( s) s = = ds s+ π s+ π cs ln +, sin ln +, 4 4 1, π π χρησιμοποιώντας ότι : cs sin = cs + και sin + cs = sin Για την καμπυλότητα, χρησιμοποιούμε την σχεση dt dt dt ds N = 1 dt = κn κ N = κ = κ = ds ds N ds Τώρα d ˆ T ()= s s + π 1 sin ln + + ds i 4 s + s + π 1 + cs ln + = j 4 s + s + π = sin ln + + ( + ) i s 4 s + π cs ln + j + 4 ( s ) 174

19 Οπότε η καμπυλότητα είναι ίση με dtˆ k(s)= = =. ds + s ( s + ) Το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα είναι το dtˆ () ds ˆ N s = s + π i s + π = sin ln j dtˆ cs ln 4 4 ds Το μοναδιαίο διάνυσμα δεύτερης καθέτου είναι ίσο με i j k B ˆ s + π 4 s + π sin ln + 4 s + π 4 s + π cs ln + 4 () s = Tˆ () s Nˆ () s = cs ln + sin ln + = 1 = 1 s cs + π ln + i 4 1 s sin + π ln + j + 4 k. Ακόμα dβ = ds 1 s+ π 1 s+ π = sin ln, cs ln, ( s ) + 4 ( s ) Τέλος η στρέψη υπολογίζεται από την σχέση dβ dβ dβ = τn = τ N = τ τ = ds ds ds Δηλαδή τ = dβ ds = 1 ( s + ) 175

20 176