ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015

2 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα Ι, και x 1, x 2 ανήκουν στο διάστημα αυτό: Η f είναι αύξουσα, αντίστοιχα φθίνουσα, στο Ι, αν και μόνο αν για κάθε x 1, x 2 Ι με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) f(x 2 ), αντίστοιχα f(x 1 ) f(x 2 ). Η f είναι γνησίως ή αυστηρώς αύξουσα, αντίστοιχα γνησίως ή αυστηρώς φθίνουσα, στο Ι, αν και μόνο αν για κάθε x 1, x 2 Ι με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) < f(x 2 ), αντίστοιχα f(x 1 ) > f(x 2 ). Η f είναι αύξουσα (φθίνουσα) στο Ι, αν f (x) 0, αντίστοιχα (f (x) 0), για κάθε x Ι.

3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τα σημεία του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης στα οποία επιτυγχάνει την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της αναφέρονται αντίστοιχα ως ελάχιστα ή μέγιστα σημεία και οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης ονομάζονται ελάχιστες ή μέγιστες τιμές. Έτσι, αν Χ είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, τότε: Το x 0 X είναι ένα ελάχιστο σημείο της f και f(x 0 ) η ελάχιστη τιμή της αν και μόνο αν f(x) f(x 0 ) για κάθε x X. Το x 0 X είναι ένα μέγιστο σημείο της f και f(x 0 ) η μέγιστη τιμή της αν και μόνο αν f(x) f(x 0 ) για κάθε x X. Αν f(x) > f(x 0 ) για κάθε x X με x x 0, τότε το x 0 είναι ένα αυστηρά ελάχιστο σημείο. Αν f(x) < f(x 0 ) για κάθε x X με x x 0, τότε το x 0 είναι ένα αυστηρά μέγιστο σημείο.

4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (2) Τα ελάχιστα και τα μέγιστα σημεία αναφέρονται ως βέλτιστα σημεία ή ακρότατα σημεία (βέλτιστες ή ακρότατες τιμές). Προέκυψαν από τη σύγκριση τιμών σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, δηλαδή σφαιρικά και χωρίς καμία εξαίρεση απολύτως και ονομάζονται σφαιρικά ή απόλυτα βέλτιστα σημεία. Μια συνάρτηση f έχει τοπικό ή σχετικό ελάχιστο (τοπικό ή σχετικό μέγιστο) σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει διάστημα (α, β) γύρω από το x 0 τέτοιο ώστε f(x) f x 0 (αντίστοιχα f(x) f x 0 ) για κάθε x (α, β) με x x 0. Αν αντικαταστήσουμε το σύμβολο ή με > ή <, τότε το τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο ονομάζεται αυστηρά τοπικό μέγιστο ή αυστηρά τοπικό ελάχιστο. Τα τοπικά μέγιστα, ελάχιστα σημεία ονομάζονται τοπικά ακρότατα (οι τιμές, τοπικές ακρότατες τιμές).

5 ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ Έστω ότι μα συνάρτηση f ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστημα Ι και για κάποιο σημείο x 0 I έχουμε f (x 0 ) = 0 ή f (x 0 ) δεν ορίζεται. Τότε το (x 0 ) ονομάζεται κρίσιμο σημείο και f(x 0 ) η κρίσιμη τιμή του. Όταν έχουμε f (x 0 ) = 0 το x 0 ονομάζεται και στάσιμο ή σαγματικό σημείο. Έστω ότι η f ορίζεται σε ένα διάστημα Ι και x 0 είναι ένα εσωτερικό σημείο του, τότε το x 0 είναι ένα τοπικό ακρότατο, μόνο αν το x 0 είναι ένα κρίσιμο σημείο.

6 ΤΟΠΙΚΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΣΗΜΕΙΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ένα κρίσιμο σημείο x 0 μιας συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα χαρακτηρίζεται ως: i. Τοπικό ελάχιστο αν f (x 0 + h) < 0 για h < 0 και f (x 0 + h) > 0 για h > 0, δηλαδή καθώς περνάμε το x 0 από τιμές μικρότερες του σε τιμές μεγαλύτερες του, η f από γνησίως φθίνουσα γίνεται γνησίως αύξουσα. ii. Τοπικό μέγιστο αν f (x 0 + h) > 0 για h < 0 και f (x 0 + h) < 0 για h > 0, δηλαδή καθώς περνάμε το x 0 από τιμές μικρότερες του σε τιμές μεγαλύτερες του, η f από γνησίως αύξουσα γίνεται γνησίως φθίνουσα. iii. Σημείο καμπής με οριζόντια εφαπτομένη αν καθώς περνάμε το x 0 από τιμές μικρότερες του σε τιμές μεγαλύτερες του ή αντιστρόφως, η παράγωγος f δεν αλλάζει πρόσημο. iv. Το πρόσημο της παραγώγου συνάρτησης f της f μεταξύ δύο κρίσιμων σημείων της δεν μεταβάλλεται. Τα διαστήματα αυτά ονομάζονται διαστήματα σταθερού προσήμου και αρκεί ο υπολογισμός της f σε ένα οποιοδήποτε σημείο για να προσδιορίσουμε το πρόσημό της στο διάστημα αυτό.

7 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΜΟΣ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Αν f μια διπλά παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα Ι και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Ι. τότε: i. Αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) > 0, τότε το x 0 είναι ένα αυστηρά τοπικό ελάχιστο σημείο. ii. iii. Αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) < 0, τότε το x 0 είναι ένα αυστηρά τοπικό μέγιστο σημείο. Αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) = 0, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε και απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση.

8 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΜΟΣ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ (2) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Ι και παραγωγίσιμη n 2 φορές σε ένα εσωτερικό σημείο x 0 του Ι, με f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f n-1 = 0 και f n (x 0 ) 0, τότε το x 0 είναι: i. Τοπικό ελάχιστο αν f n (x 0 ) > 0 και n άρτιος αριθμός. ii. Τοπικό μέγιστο αν f n (x 0 ) < 0 και n άρτιος αριθμός. iii. Σημείο καμπής με οριζόντια εφαπτομένη αν n περιττός αριθμός. ΘΕΩΡΗΜΑ WEIERSTRASS (ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΤΙΜΩΝ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα Ι = [α, β], τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία x 1 και x 2 του Ι τέτοια ώστε: m=f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) =M, για κάθε x στο Ι.

9 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ-ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Ι και διπλά παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Ι είναι: i. Κυρτή στο Ι αν και μόνο αν f (x) 0 για κάθε x Ι ii. iii. Κοίλη στο Ι αν και μόνο αν f (x) 0 για κάθε x Ι Σημείο καμπής: Το σημείο στο οποίο η f αλλάζει καμπυλότητα και από κοίλη γίνεται κυρτή και αντίστροφα. Από οικονομικής άποψης, μια συνάρτηση ενός ολικού οικονομικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από φθίνουσες οριακές αποδόσεις στα διαστήματα που αυτή είναι κοίλη και αύξουσες οριακές αποδόσεις στα διαστήματα που αυτή είναι κυρτή. Η διάκριση μεταξύ κυρτότητας και καμπυλότητας μιας συνάρτησης είναι ιδιαίτερα σημαντική στη μελέτη οικονομικών υποδειγμάτων.

10 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ-ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ-ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ (2) Η δεύτερη παράγωγος f (x) της f(x) είναι στο διάστημα Ι Θετική Αρνητική Μαθηματική ιδιότητα Η f(x) είναι κυρτή στο Ι Η f(x) είναι κοίλη στο Ι Οικονομική ιδιότητα Η f(x) έχει αύξουσες οριακές αποδόσεις Η f(x) έχει φθίνουσες οριακές αποδόσεις

11 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ (3) ΕΝΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται ότι είναι κυρτή (κοίλη) σε ένα διάστημα Ι, αν και μόνο αν το ευθύγραμμο τμήμα, που ενώνει οποιαδήποτε δύο σημεία του γραφήματος της στο Ι βρίσκεται αντίστοιχα άνω (κάτω) από το γράφημα ή επί του γραφήματος.

12 ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΜΕ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ Ένα σημείο x 0 ονομάζεται σημείο καμπής μιας συνάρτησης f, αν υπάρχει ένα διάστημα (α, β) γύρω από το x 0, τέτοιο ώστε: i. f (x 0 ) 0 στο (α, x 0 ) και f (x 0 ) 0 στο (x 0, β) ή ii. f (x 0 ) 0 στο (α, x 0 ) και f (x 0 ) 0 στο (x 0, β). Για να προσδιορίσουμε τυχόν σημεία καμπής αποκλειστικά με τη δεύτερη παράγωγο εφαρμόζουμε την εξής διαδικασία: 1. Κατασκευάζουμε το σύνολο των κρίσιμων σημείων της f (x), δηλαδή σημεία x 0 για τα οποία f (x) = 0 ή η f (x) δεν υπάρχει. 2. Από το σύνολο αυτό, κατασκευάζουμε το σύνολο των σημείων καμπής, που αποτελείται από σημεία x 0 στα οποία η f (x) αλλάζει πρόσημο καθώς περνάμε από τιμές μικρότερες τους σε μεγαλύτερες.

13 ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α, β] και n φορές παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 του (α, β) με f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f n-1 = 0 και f n (x 0 ) 0 Τότε, το σημείο x 0 είναι θέση σημείου καμπής του γραφήματος της f αν n είναι περιττός και μάλιστα όταν f n (x 0 ) > 0 η f είναι κοίλη αριστερά του x 0 και κυρτή δεξιά του σημείου x 0. Το αντίθετο συμβαίνει όταν f n (x 0 ) 0.

14 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

15 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω y = f(x) μια συνάρτηση ενός ολικού οικονομικού μεγέθους, όπως ολικά κέρδη, ολικά έσοδα, ολικό κόστος, κλπ. Π1. Η συνάρτηση ενός μέσου μεγέθους Α(x) = f(x)/x έχει τοπικά ακρότατα ή οριζόντια σημεία καμπής στα σημεία που είναι ίση με τη συνάρτηση f (x) του αντίστοιχου οριακού μεγέθους. Π2. Στα σημεία x = x*, όπου οι συναρτήσεις του μέσου και του οριακού μεγέθους είναι ίσες, η συνάρτηση του μέσου μεγέθους έχει τοπικά ελάχιστα αν η παράγωγος του οριακού μεγέθους είναι θετική, δηλαδή εάν f (x*) > 0, και τοπικά μέγιστα εάν η παράγωγος του οριακού μεγέθους είναι αρνητική, δηλαδή εάν f (x*) 0.

16 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ Π3. Η ελαστικότητα της συνάρτησης του ολικού μεγέθους ισούται προς την ελαστικότητα του αντίστοιχου μέσου μεγέθους συν ένα. Δηλαδή ε y = ε Α(x) + 1. Π4. Η συνάρτηση ενός μέσου οικονομικού μεγέθους έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία που η ελαστικότητα του αντίστοιχου ολικού οικονομικού μεγέθους ισούται προς τη μονάδα. Με τον ίδιο τρόπο η συνάρτηση ενός ολικού οικονομικού μεγέθους έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία που η ελαστικότητα του αντίστοιχου μέσου οικονομικού μεγέθους ισούται με μείον ένα.

17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ Η συνάρτηση παραγωγής ή συνάρτηση ολικού προϊόντος q = f(x) υποθέτουμε ότι εκφράζει τον βέλτιστο κανόνα μετασχηματισμού ποσοτήτων των συντελεστών παραγωγής σε ποσότητες προϊόντος. Μια τυπική συνάρτηση παραγωγής q = f(x) που είναι ορισμένη σε ένα διάστημα [0, α] είναι γνησίως αύξουσα και αυτό οφείλεται στην υπόθεση της βέλτιστης χρησιμοποίησης των συντελεστών παραγωγής. Το οριακό προϊόν f (x) είναι μια αύξουσα συνάρτηση έως ένα ορισμένο σημείο x 0 και φθίνουσα συνάρτηση για τιμές της x μεταξύ x 0 και α. Δηλαδή έχουμε f (x) > 0 για κάθε x (0, x 0 ) και f (x) 0 για κάθε x (x 0, α), που σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα (0, x 0 ), όπου ισχύει ο νόμος του αύξοντος οριακού προϊόντος ή της αύξουσας οριακής απόδοσης και κοίλη στο διάστημα (x 0, α), όπου ισχύει ο νόμος του φθίνοντος οριακού προϊόντος ή της φθίνουσας οριακής απόδοσης. Τέλος το x 0 αποτελεί θέση σημείου καμπής, αφού στο σημείο αυτό αλλάζει η καμπυλότητα η f(x).

18 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ (2) Την αντίστροφη συμπεριφορά παρουσιάζει μια τυπική συνάρτηση κόστους TC = C(q). Ειδικότερα, το οριακό κόστος C (q) είναι μια φθίνουσα συνάρτηση έως ένα ορισμένο σημείο q 0, στο οποίο και ελαχιστοποιείται, και αύξουσα συνάρτηση για τιμές της q μεγαλύτερες του q 0. Δηλαδή έχουμε C (q) 0 για q [0, q 0 ) και C (q) > 0 για q (q 0, + ), που σημαίνει ότι η C είναι κοίλη στο διάστημα [0, q 0 ), όπου ισχύει ο νόμος του αύξοντος οριακού κόστους. Τέλος, το q 0 είναι θέση σημείου καμπής της C(q) αφού στο σημείο αυτό αλλάζει η καμπυλότητα.

19 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ (3) Ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού που έχει τη γενική μορφή f x = ax 3 + βx 2 + γx + δ με α 0, θα μπορούσε να είναι μια κατάλληλη συνάρτηση παραγωγής ή κόστους, αν οι τιμές των α, β, γ και δ περιορίζονταν αναλόγως. Περιορισμοί για μια συνάρτηση παραγωγής: α < 0, β > 0, γ = 0 και δ = 0. Περιορισμοί για μια συνάρτηση κόστους: α > 0, β < 0, γ > 0, δ > 0 και β 2 = 3αγ

20 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ (4) Βέλτιστα σημεία συνάρτησης παραγωγής. Η συνάρτηση ολικού προϊόντος f x = αx 3 + βx 2 με α < 0 και β > 0 έχει: 1. Μεγιστοποίηση συνάρτησης οριακού προϊόντος Σημείο καμπής: x = x 0 = β 3α 2. Τοπικά ακρότατα: x = 0 και x = 2β 3α (η παράγωγος μηδενίζεται). 3. Τοπικό ελάχιστο: x = 0, επειδή f (0) > Τοπικό μέγιστο: x = 2β 2β 2β, επειδή f ( ) 0, με μέγιστη τιμή f 3α 3α 3α = β 2β 3 3α 2.

21 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ (5) Αν πάρουμε τη συνάρτηση μέσου προϊόντος AP = f(x) = αx3 +βx 2 x x βx, στο σημείο x 0 όπου η πρώτη παράγωγος AP έσοδα ισούνται με τα οριακά. Πράγματι : = αx 2 + μηδενίζεται, τα μέσα Οριακά έσοδα = 3αx 2 + 2βx = ax 2 + βx = Μέσα έσοδα Η συνάρτηση κόστους που ενσωματώνει κανονικές συνθήκες παραγωγής και αγοράς δεν έχει βέλτιστα σημεία. Ελαχιστοποίηση συνάρτησης οριακού κόστους Σημείο καμπής: q = q = β 3α

22 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ Το είδος της συνάρτησης των ολικών εσόδων R(p) εξαρτάται από το είδος της συνάρτησης της ζήτησης q = D(p), αφού η R(p) είναι το γινόμενο της ποσότητας q επί την τιμή p. Έχουμε δηλαδή Ολικά έσοδα TR = R(p) = pq = pd(p). Αν στην αγορά επικρατούν συνθήκες τέλειου ανταγωνισμού, τότε η τιμή είναι δεδομένη και η συνάρτηση ζήτησης της επιχείρησης είναι μια σταθερή συνάρτηση p = α. Αν στην αγορά επικρατούν συνθήκες ατελούς ανταγωνισμού, τότε ο επιχειρηματίας θέτει τις τιμές σε διάφορα επίπεδα και παρατηρεί τις αντιδράσεις των καταναλωτών ως προς τις ζητούμενες ποσότητες. Στην περίπτωση αυτή ισχύει κατά βάση ο νόμος της ζήτησης που αναφέρει ότι όσο μειώνεται η τιμή ενός προϊόντος τόσο αυξάνει η ζητούμενη ποσότητα και αντίστροφα.

23 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ (2) Αν η συνάρτηση ζήτησης είναι παραγωγίσιμη, τότε D (p) 0, δηλαδή η D(p) είναι γνησίως φθίνουσα. Επιπλέον η D(p) είναι συνήθως κυρτή που σημαίνει ότι η δεύτερη παράγωγος είναι θετική. Αντιπροσωπευτικές οικογένειες συναρτήσεων που ικανοποιούν το νόμο της ζήτησης είναι οι γραμμικές, οι τετραγωνικές και οι εκθετικές.

24 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ (3) Αν παραγωγίσουμε τη συνάρτηση ολικών εσόδων TR παίρνουμε: R (p) = q (1+ε q ). Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Η ζήτηση είναι ελαστική, δηλαδή ε q > 1. Στην περίπτωση αυτή έχουμε 1+ε q 0, γεγονός που συνεπάγεται R (p) 0, οπότε η συνάρτηση των ολικών εσόδων είναι φθίνουσα ως προς την τιμή p. Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι: Αν η ζήτηση είναι ελαστική, τότε μια αύξηση στην τιμή της μονάδας του προϊόντος, θα επιφέρει μείωση στα συνολικά έσοδα και αντιστρόφως.

25 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ (4) 2. Η ζήτηση είναι ανελαστική, δηλαδή ε q 1. Στην περίπτωση αυτή έχουμε 1+ε q > 0, γεγονός που συνεπάγεται R (p) > 0, οπότε η συνάρτηση των ολικών εσόδων είναι αύξουσα συνάρτηση της p. Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι: Αν η ζήτηση είναι ανελαστική, τότε μια αύξηση στην τιμή του προϊόντος, θα συνοδεύεται από μια αύξηση των ολικών εσόδων και αντίστροφα. 3. Η ζήτηση έχει μοναδιαία ελαστικότητα, δηλαδή ε q = 1. Στην περίπτωση αυτή έχουμε 1+ε q = 0, γεγονός που συνεπάγεται R (p) = 0, οπότε η συνάρτηση των ολικών εσόδων είναι φθίνουσα ως προς την τιμή p. Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι: Αν η ζήτηση έχει μοναδιαία ελαστικότητα, τότε μια αύξηση ή μείωση στην τιμή του προϊόντος δεν μεταβάλλει τα συνολικά έσοδα και επομένως τα συνολικά έσοδα μεγιστοποιούνται στο σημείο αυτό. Συμπερασματικά για να αποφασίσουμε αν μια αύξηση στην τιμή p πώλησης ενός προϊόντος θα επιφέρει αύξηση ή μείωση στα συνολικά έσοδα θα πρέπει να γνωρίζουμε την ελαστικότητα ζήτησης.

26 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΩΝ ΝΕΚΡΑ ΣΗΜΕΙΑ Ένας από τους βασικούς στόχους μιας επιχείρησης είναι η μεγιστοποίηση των κερδών της. Στην επιλογή δηλαδή εκείνης της ποσότητας παραγωγής ή οικονομικής δραστηριότητας που μεγιστοποιεί τα κέρδη. Συνάρτηση ολικών κερδών TP = π (q) = R (q) - C(q). Μεγιστοποίηση κερδών: 1. Αναγκαίες συνθήκες : R (q) = C (q). 2. Ικανές συνθήκες: R (q) C (q).

27 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΩΝ ΝΕΚΡΑ ΣΗΜΕΙΑ (2) Νεκρό σημείο του κύκλου εργασιών: ποσότητα q που ικανοποιεί π q = R(q) C(q) = 0 ή R q = C(q). Νεκρό σημείο q: μια ρίζα της εξίσωσης π (q) = 0, στο οποίο η επιχείρηση δεν έχει ούτε κέρδη ούτε ζημιές. Σε μια πλήρως ανταγωνιστική αγορά οι συναρτήσεις ζήτησης, οριακών εσόδων και μέσων εσόδων είναι ίσες μεταξύ τους.

28 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΩΝ ΝΕΚΡΑ ΣΗΜΕΙΑ (3) Μέγιστα κέρδη, νεκρά σημεία σε συνθήκες ατελούς ανταγωνισμού Η συνάρτηση ζήτησης D(p) της επιχείρησης είναι γνησίως φθίνουσα. Μια γραμμική ζήτησης D(p) είναι ταυτόσημη με τη συνάρτηση των μέσων εσόδων AR.

29 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ Αν Τ τα φορολογικά έσοδα, t ο φόρος για κάθε πωλούμενη μονάδα και q η πωλούμενη ποσότητα, τότε Τ = tq. Συνθήκες τέλειου ανταγωνισμού: Η τιμή προσδιορίζεται από το σημείο ισορροπίας στο οποίο η συνάρτηση προφοράς Q s = γ + δp ισούται προς τη συνάρτηση ζήτησης Q d = α βp με α, β, γ, δ > 0. Αν η κυβέρνηση επιβάλλει φορολογία t νομισματικών μονάδων, τότε οι προμηθευτές θα εισπράξουν την τιμή πώλησης μειωμένη κατά τον φόρο t, δηλαδή p t. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση προσφοράς μετά τη φορολογία γίνεται: Q s = γ + δ(p t)

30 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ Τιμή ισορροπίας p* μετά τη φορολογία: p = p = α+γ β+δ + δ δ+β t Τιμή ισορροπίας q* μετά τη φορολογία: q = q = αδ βγ βδt Συνάρτηση φορολογικών εσόδων: T = g t = tq = β+δ αδ βγ t βδt2 β+δ Μεγιστοποίηση t: t = t = αδ βγ 2βδ Τιμή ισορροπίας πριν τη φορολογία: p = α+γ β+δ Ποσότητα ισορροπίας πριν τη φορολογία: q = αδ+βγ β+δ Η επιβολή φορολογίας μειώνει την πωλούμενη ποσότητα κατά: q q = 2βγ+βδt β+δ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (2) Κάθε αύξηση της φορολογίας πέραν της βέλτιστης τιμής t* η κυβέρνηση εισπράττει λιγότερα και η οικονομική δραστηριότητα μειώνεται

31 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (3) Συνθήκες ατελούς ανταγωνιστικής αγοράς: Συνάρτηση ζήτησης: D p = α βq, α, β > 0 Συνάρτηση κόστους: C q = γ + δq + λq 2, γ, δ, λ > 0 Όταν η κυβέρνηση επιβάλλει φορολογία t σε κάθε μονάδα που πουλιέται η επιχείρηση προσθέτει τη φορολογία t στη συνάρτηση κόστους περνώντας έτσι τη φορολογία στον καταναλωτή. Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση της τιμής και τη μείωση της ζητούμενης ποσότητας. Άρα: Συνάρτηση ολικού κόστους C(q): C q = γ + (δ + t)q + λq 2 Συνάρτηση ολικών εσόδων R(q): R q = pq = aq βq 2 Συνάρτηση ολικών κερδών π(q): π q = R q C q = aq βq 2 -[γ + (δ + t)q + λq 2 ]

32 Ποσότητα q* που μεγιστοποιεί τα ολικά κέρδη: q = q = α δ t 2(β+λ) Τιμή p* που αντιστοιχεί στην q*: p = p = 2αλ+β(α+δ+t) 2(β+λ) Συνάρτηση φορολογικών εσόδων όταν πωλούνται q*: α δ t t2 g q = tq = 2(β+λ) Μεγιστοποίηση φορολογικών εσόδων: t = t = 1 2 (α δ) ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (4)

33 Επίδραση φορολογίας στην πωλούμενη ποσότητα Ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη πριν την φορολογία: q = α δ 2(β+λ). Εάν συγκριθεί με την ποσότητα q* μετά τη φορολογία βλέπουμε ότι q > q. Πράγματι, ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ α δ > α δ t 2(β+λ) 2(β+λ) ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (5) t > 0. Η μείωση στην πωλούμενη ποσότητα που οφείλεται στη φορολογία είναι ίση με q q t = 2(β + λ)

34 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (6) Επίδραση φορολογίας στην τιμή του προϊόντος Τιμή πώλησης πριν τη φορολογία: p = 2αλ+β(α+δ) 2(β+λ) Τιμή πώλησης μετά τη φορολογία: p = 2αλ+β(α+δ+t) 2(β+λ) Βλέπουμε ότι: p > p, αντικαθιστώντας έχουμε: 2αλ + β(α + δ + t) 2(β + λ) > 2αλ + β(α + δ) 2(β + λ) βt > 0.

35 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΟ Έστω Α(t) η αξία ενός οικονομικού προϊόντος σε σχέση με το χρόνο, και ότι εφαρμόζουμε συνεχή ανατοκισμό r. Η παρούσα αξία του μεγέθους αυτού σε σχέση με το χρόνο είναι: P t = A(t)e rt. Η τιμή t* που μεγιστοποιεί την Ρ (t) πρέπει να ικανοποιεί Ρ (t*) = 0 και Ρ (t*) 0. Προκύπτει ότι: ΧΡΟΝΟ Η παρούσα αξία P t μεγιστοποιείται στο χρονικό σημείο t = t* αν και μόνο αν η συνάρτηση του ποσοστιαίου ρυθμού μεταβολής της A (t ) Α(t) στο σημείο αυτό είναι φθίνουσα, είναι δηλαδή d dt και ίση με το σταθερό ετήσιο επιτόκιο r, δηλαδή Α (t) = ra(t). A(t ) < 0

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του

Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ - ΕΝΝΟΙΕΣ Q ή q : Ποσότητα (Quantity) προϊόντος ρ, Ρ : τιμή (Price) προϊόντος ανά μονάδα προϊόντος. Συνάρτηση τηςζητησης; Η ζήτηση ενός προϊόντος εξαρτάται από την τιμή του. Δηλαδή Qd = f(p).

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() f () της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διαφορικός Λογισμός Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 1 Σκοποί ενότητας 4

Διαβάστε περισσότερα

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 8 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Έστω η συνάρτηση συνολικής ζήτησης: p = D(q) = 50 2q

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5- Σημειώσεις

Διάλεξη 5- Σημειώσεις Διάλεξη 5- Σημειώσεις 1 Κοίλες (concave) και κυρτές (convex) συναρτήσεις Σημείωση: Μόνο για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα (κυρτό) διάστημα R και παραγωγίσιμες τουλάχιστον δύο φορές στο εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1)

Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά (1) ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής Ορισμός : Συνάρτηση f μιας πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ. max. ( ) (16 ) Q Q = +. [1]

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ. max. ( ) (16 ) Q Q = +. [1] ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ Θέµα ο. (α) Η µονοπωλιακή επιχείρηση µεγιστοποιεί το κέρδος της οποίο δίνεται από τη συνάρτηση π µε τύπο π ( ) = (6 ), δηλαδή λύνει το πρόβληµα max. π ( ) = (6 ) π '( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ι Εργασία - ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ - ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Παρακάτω δίνονται συνολικά ασκήσεις με πολλαπλά ερωτήματα τις οποίες θα επιλύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΥ Ζ. - ΜΟΝΟΒΑΣΙΛΗΣ Θ. Τυπικές Συναρτήσεις Μικροοικονομικής Ανάλυσης Συνάρτηση Παραγωγής Q (production function):

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Διαβάστε περισσότερα

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.Παραδείγματα αναλυτικά.παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα ζήτησης 4.Ελαστικότητα προσφοράς 5. Έσοδο 6.Κέρδος μονοπωλίου. Παραδείγματα αναλυτικά Παράδειγμα. Σε μια οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α. ΟΜΑΔΑ Ι 1 α) Η ποσότητα ζήτησης Q ενός αγαθού εξαρτάται από την μοναδιαία τιμή του P και από το

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α. ΟΜΑΔΑ Ι 1 α) Η ποσότητα ζήτησης Q ενός αγαθού εξαρτάται από την μοναδιαία τιμή του P και από το ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α. ΟΜΑΔΑ Ι 1 α) Η ποσότητα ζήτησης ενός αγαθού εξαρτάται από την μοναδιαία τιμή του P και από το εισόδημα Y, σύμφωνα με την σχέση: = P Y. Αν η τιμή αυξηθεί κατά %, να εκτιμηθεί πόσο πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Επιχειρησιακά Μαθηματικά Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1 Τηλ:10.93.4.450 Πεδίο Ορισμού Οικονομικών Συναρτήσεων Οι οικονομικές συναρτήσεις (συνάρτηση Ζήτησης, συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΕΟ 13 ΚΟΣΤΗ TC = FC + VC ή TC = AC* SOS TC ATC = Το μέσο κόστος ισούται με το

Διαβάστε περισσότερα

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης.

από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία Σχέση ελαστικότητας ζήτησης και κλίση της καμπύλης ζήτησης. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΖΗΤΗΣΗΣ Ορισμός: Η ελαστικότητα ζήτησης, ενός αγαθού ως προς την τιμή του δίνεται από την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής του. Δηλαδή %

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ)

ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) A. Κανόνας de L Hospital (Συνέχεια από το προηγούµενο µάθηµα) Παράδειγµα 1. Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Βελτιστοποίηση συναρτήσεων

Βελτιστοποίηση συναρτήσεων Βελτιστοποίηση συναρτήσεων Παράγωγοι εκθετικών λογαριθμικών συναρτήσεων Ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής Παράγωγοι ανώτερης τάξης Εύρεση μεγίστων-ελαχίστων Οικονομικές συναρτήσεις Παράγωγοι εκθετικών λογαριθμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

(α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΔΕΟ -: Άσκηση I. (α) Από τους κανόνες σύνθετης παραγώγισης δύναμης συναρτήσεως και λογαρίθμου συναρτήσεως:

Διαβάστε περισσότερα

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα. . ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.. ίνονται τα διανύσµατα (x,0), (0,y), (z,0). Είναι γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Μέρος Α. (3.6 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 3: Μη γραμμικές συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές οικονομικών συναρτήσεων

Εφαρμογές οικονομικών συναρτήσεων Εφαρμογές οικονομικών συναρτήσεων Μεγιστοποίηση κερδών Διάθεση προϊόντος με δύο συναρτήσεις ζήτησης Οριακά έσοδα σε σχέση με ελαστικότητα Εύρεση πεδίου ορισμού Επιβολή φόρου Σημείο μεγιστοποίησης κερδών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x

Γενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος Α Μέρος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (3.6 μονάδες) (α). Δίνεται η εξίσωση: = 8. Αν το ελαττωθεί από την τιμή = κατά 1%, να εκτιμηθεί η αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή του. (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. x 300 = = = Άσκηση 3.1

Κεφάλαιο 3. x 300 = = = Άσκηση 3.1 Άσκηση. Κεφάλαιο Έστω χ η πόσοτητα ενός αγαθού που παράγει μια επιχείρηση. Η κάθε μονάδα αυτής της ποσότητας μπορεί να πουλήθει στην τιμή που δίνεται από τη συνάρτηση P = 00. Το συνολικό κόστος για την

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.5.1: Μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

α β. M x f x. f x x x = = =.

α β. M x f x. f x x x = = =. Κυρτές συναρτήσεις σηµεία καµπής, Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) (α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ), τότε η fείναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα πάνω στο [ α,

Διαβάστε περισσότερα

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής:

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 4 ο Μάθημα: Οικονομικές Συναρτήσεις-Κατάσταση Ισορροπίας

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 4 ο Μάθημα: Οικονομικές Συναρτήσεις-Κατάσταση Ισορροπίας Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 4 ο Μάθημα: Οικονομικές Συναρτήσεις-Κατάσταση Ισορροπίας Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Μοντέλα ζήτησης και προσφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης () στο διάστημα, της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές 9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Αγορές - Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 6 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Αγορές - 6 Δεκεμβρίου 2012 1 / 26 Ως τώρα, υποθέσαμε ότι οι αγορές είναι ανταγωνιστικές. Μία συνέπεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι α) Η ποσότητα ζήτησης ενός αγαθού εξαρτάται από την µοναδιαία τιµή του P και από το εισόδηµα Y, σύµφωνα µε την σχέση: = P Y. Αν η τιµή αυξηθεί κατά %, να εκτιµηθεί πόσο πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις

2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις . Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις Α. Ενημερωτική Διαφήμιση στη Μονοπωλιακά Ανταγωνιστική Αγορά (Butters, Gerard 977, Equilibrium Distribution of Prices and Advertising) -To υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα

f(x) γν. φθίνουσα ολ.ελ. γν. αύξουσα ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 (i) Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 141 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. To πεδίο ορισμού της f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου

1 ου πακέτου. Βαθµός πακέτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Χειµώνας-Άνοιξη Μάθηµα: ηµόσια Οικονοµική ιδασκαλία: Βασίλης Θ. Ράπανος Γεωργία Καπλάνογλου Μετά και το 4 ο πακέτο, πρέπει να στείλετε

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Νεκρού Σημείου Σημειώσεις

Ανάλυση Νεκρού Σημείου Σημειώσεις Ανάλυση Νεκρού Σημείου Σημειώσεις ΜΑΘΗΜΑ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Αν. Καθ. Δημήτρης Ασκούνης Εισαγωγή Η ανάλυση του Νεκρού Σημείου είναι ένα σπουδαίο χρηματοοικονομικό μέσο και αποτελεί βασικά μια αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0,

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0, Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. (3. μονάδες) Η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο διάστημα 0, και έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. α). Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας β). Να γίνουν τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ.

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ. Άσκηση. α Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (,y, Α=(, και Β=(0, β Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο B(0, και έχει κλίση -0.. Να βρεθούν τα σημεία που

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0

ή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0 KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως εξής: Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης u που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική

Διαβάστε περισσότερα

(2B) Επιλογή Προϊόντος της Μονοπωλιακής Επιχείρησης

(2B) Επιλογή Προϊόντος της Μονοπωλιακής Επιχείρησης (2B) Επιλογή Προϊόντος της Μονοπωλιακής Επιχείρησης - Αν η αγορά του προϊόντος είναι µονοπωλιακή, η επιχείρηση επιλέγει την τιµή (p) του προϊόντος κατά τρόπο ώστε να µεγιστοποιεί τα κέρδη της θεωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w : ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Παραγώγιση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213 lika@biology.uoc.gr Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν το όριο lim h + h h υπάρχει. Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.4. Αν αυξηθεί η αμοιβή της εργασίας η καμπύλη του οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα επάνω και αριστερά.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.4. Αν αυξηθεί η αμοιβή της εργασίας η καμπύλη του οριακού κόστους μετατοπίζεται προς τα επάνω και αριστερά. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 ο : Η Ζήτηση των Αγαθών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Οι τιμές των αγαθών προσδιορίζονται στην αγορά από την αλληλεπίδραση της ζήτησης και της προσφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα