ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Σαπφειρη Σπηλιωτόπουλος
4 χρόνια πριν
Προβολές:

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ www.orionidf.gr ΘΕΜΑ Α Α.

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη στη σελίδα 6 6. A. Ορισµός στη σελίδα 8. Α3. α Σ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ B B. z 3i + z + 3i = z 3i + z 3i = z 3i + z 3i = z 3i = z 3i = Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z είναι κύκλος µε κέντρο K(, 3 ), ακτίνα ρ = και εξίσωση C: + y 3 = β τρόπος z 3i + z+ 3i = z= + yi,, y R

2 + ( y 3) i + + ( 3 y) i = + y y = + y 3 = + y 3 = + y 3 = Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z είναι κύκλος µε κέντρο K(, 3 ) και ακτίνα ρ =. B. z 3i = z 3i = z 3i z 3i = z 3i z 3i z + 3i = z + 3i = z 3i B3. B w = z 3i + w z 3i z 3i z 3i = + + z= + yi w = z+ z w = R + y 3 = y 3 = και επειδή ( y 3) θα είναι: w Β4. Για z= + yi είναι w = z w = z + yi = + yi + yi = + yi + y = + y

3 + y = + y που ισχύει ΘΕΜΑ Γ Γ. Εξ υποθέσεως για κάθε R ισχύει: ( ) f f f f + = + + = + f f f f ( ) f ( f ) ( ) f ( f ) + = + ( f ) ( ) ( f ) = ( f ) ( f ) = = + () f f c () Για = f ( ) = c και αφού Άρα f = f f = c= = = () f f f Θα δείξουµε ότι για κάθε R και συγκεκριµένα ότι Θέτουµε t = /A = R t t = /A = A = R t t > για κάθε R. t = = = /R t > > > > /R t < < < <

4 t() t + + OΛ.ΕΛ. Άρα η t παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για Άρα t > για κάθε R. = το t = >. Παρατήρηση: Θα µπορούσε η αντίστοιχη ανισότητα να λυθεί και µε χρήση Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση h /R, ή αποδεικνύοντας ότι η h είναι κυρτή στο R οπότε η C h θα είναι = στο [ ] πάνω από την εφαπτοµένη της σε οποιοδήποτε σηµείο. Η εφαπτοµένη της C h στο A(, ) έχει εξίσωση ε : ψ = +. Άρα για κάθε R ισχύει: + > Άρα f ( ) f ( ) = = f = f ( ln ) > ( ) f = ln f = ln + c Για = έχουµε Αφού f( ) = c= Άρα f = ln( ) f = ln+ c= c. = Γ. Η f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f f = = = =. > f > > > >

5 > f < < < < f < για κάθε (, ) f συνεχής στο (, ] f (, ] f > για κάθε (, + ) f συνεχής στο [, + ) f [, + ) Άρα η f παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο το f = f() f + + OΛ.ΕΛ. f() = Γ3. f ( ) ( ) ( )( ) = = = ( ) ( ) ( ) + + = = = > για κάθε R Θέτουµε t = + / At = R t = + = = t = = t > < t < >

6 t() t + + OΛ.Μ. Η t παρουσιάζει ολικό µέγιστο για = το t= > 4 t = < t = <, Η t συνεχής στο R, άρα και στα διαστήµατα [, ], [, ] t( ) t < και () tt < Άρα από Θ. Bolzano υπάρχουν (, ) και (, ) τέτοια ώστε t = t = Η ύπαρξη των ριζών της t θα µπορούσε να εξασφαλιστεί και µε χρήση συνόλου τιµών της t. Αφού t / (, ], η (ε) t = θα έχει το πολύ µία ρίζα στο (, ). Οµοίως t / [, + ), άρα η (ε) t = θα έχει το πολύ µία ρίζα στο,. Άρα η (ε) t = έχει ακριβώς δύο ρίζες εκατέρωθεν των οποίων η t αλλάζει πρόσηµο. = Αφού f t ( ), η f θα έχει ακριβώς δύο σηµεία καµπής. ln = συν ln συν =. Γ4. (ε) π Φ = ln συν / AΦ = R ή AΦ =, Θέτουµε Η Φ συνεχής στο π, ως πράξη συνεχών Φ( ) = ln συν= <

7 π π π Φ = ln > αφού f > για κάθε R* π Φ Φ < Άρα π, :Φ =, οπότε από Θεωρ. Bolzano υπάρχει: Άρα η ζητούµενη (ε) έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο π, Η Φ είναι παραγωγίσιµη στο Α Φ µε: Φ = f + ηµ Φ > για κάθε Φ συνεχής στο π, π, Φ / π, Άρα η (ε) Φ = θα έχει το πολύ µία ρίζα στο π,, οπότε τελικά η ζητούµενη (ε) θα έχει ακριβώς µία ρίζα στο π, ΘΕΜΑ. Θέτουµε u = + t t = u και dt = du Για t = u =, για t = u = Άρα t u ( ) u dt = du = du = g t g u g u ( + ) u u = du = du g u. g( u) Άρα η δοθείσα σχέση γίνεται:

8 u u f = du f = du g u g u u f = + du g u Θέτουµε h( u) u = / Ah = R. g u Η h είναι συνεχής στο R ως πηλίκο συνεχών. Άρα η συνάρτηση f θα είναι παραγωγίσιµη στο R µε f Αντίστοιχα και η g είναι παραγωγίσιµη στο R µε g f g f = = g = = f g f g f >, g > = f g f g f >, g > f g = ( ln ( f )) = ( ln ( g )) f g ( ) ( ) ln f = ln g + c () Στις δοθείσες σχέσεις για = προκύπτουν: =. g =. f f = f = και g = g = Για () = ln+ ln= c c= ln Άρα ln ( f ) = ln ( g ) f = g

9 β τρόπος f g = f g f g f g = Οµοίως > f g f g g g g = f f c f c g g = = = g Οµοίως για = έχοµε: Άρα f = g = f = g = c = f c g. = g f g = f f f = f f = f = f c Άρα = + () () Για = f = + c Άρα c= Αφού f = f > f = f = 3. Θέτουµε u =. Αφού u Άρα ln f ln f u u ln lim = lim = lim = f u u u f u

10 u = lim = lim = lim = u u + u u u u u u PLH u ( ) u = lim = lim ( ) = u u ( u) =, 4. Αφού η f είναι συνεχής στο R, η F θα είναι παραγωγίσιµη στο R µε F f( ) αφού και η g( t) f( t ) = θα είναι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών. Αφού η F είναι παραγωγίσιµη στο R θα είναι και συνεχής. Άρα το ζητούµενο εµβαδόν θα ισούται µε E = F d. Αφού f > για κάθε R θα ισχύει F Άρα E= F d = F d = F d = ( ) στο [ ] = F + F d = F + f d = = + d = d d = =,. = = τ.µ.

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ www.orion.du.gr