52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:"

Ἀρέθουσα Χατζηιωάννου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Θεωρία, σχολικό σελ. 51. ii) Θεωρία, σχολικό σελ. 4. Β. i) Θεωρία, σχολικό σελ. 73. ii) Θεωρία, σχολικό σελ Γ. i) Λ ii) Σ iii) Σ iv) Λ v) Λ ΘΕΜΑ ο Α) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει η σχέση : z 6 3i 8. α) Ισχύει : z 6 3i 8 z ( 6 3i) 8. Άρα ο Γ. Τ των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ( 6,3) και ακτίνα ρ 8, εξίσωση C : ( 6) (y 3) 64, και όλα τα εσωτερικά σημεία αυτού. β) Για την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z 6 i z (6 i) αρκεί να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση του σημείου A(6, ) από τον προηγούμενο Γ. Τ. Εφόσον το σημείο Α βρίσκεται εκτός του κύκλου C ενώνω το Α με το κέντρο του κύκλου και προεκτείνω μέχρι η ΑΚ να τμήσει τον κύκλο σε σημεία Β και Γ, όπου έστω Β το πιο κοντινό σημείο στο Α και Γ το πιο μακρινό. Τότε : z 6 i (AB) (ΑΚ) ρ min και z 6 i (AΓ) (ΑΚ) ρ , όπου (ΑΚ) 13. ma Τα παραπάνω φαίνονται και στο σχήμα που ακολουθεί

2 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 Β) Εφόσον f παραγωγίσιμη στο α,β θα είναι και συνεχής στο α,β. α) Ισχύει : z z z z z z z z (z z )(z z ) (z z )(z z ) (z z )(z z ) (z z )(z z ) z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 0 z z z z 0 Re(z z ) 0 Re(z z ) 0 Όμως : z z (α if(α))(β if(β)) α β α f(β)i β f(α)i f(α)f(β) zz α β f(α)f(β) (β f(α) α f(β))i 1 Άρα : 1 Re(z z ) 0 α β f(α)f(β) 0 f(α)f(β) α β 0 αφού αβ 0.

3 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 i) Οπότε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β και ισχύει: f(α)f(β) 0. Άρα ικανοποιούνται για την f οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον α,β ώστε f( 0) 0. 0 τέτοιο ii) Επειδή f(α)f(β) 0 σημαίνει ότι f(α) f(β). Άρα η f είναι συνεχής στο α,β και f(α) f(β). Επιπλέον ι σχύει f(α) f(γ) f(β). Άρα ικανοποιούνται για την f οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον α,β f( 1) f(γ). 1 τέτοιο ώστε β) Δίνονται : z3 if(α), z4 if(β) και z3 z4. Άρα 3 4 z z if(α) if(β) 4 f (α) 4 f (β) 4 f (α) 4 f (β) f (α) f (β) f(α) f(β). Δίνεται επίσης ότι : f(α) f(β) 0 f(α) f(β). Άρα τελικά f(α) f(β). Δηλαδή η f είναι συνεχής στο α,β, παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) f(β). Άρα ικανοποιούνται για την f οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον κ α,β τέτοιο ώστε f(κ) 0.

4 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΘΕΜΑ 3 ο Α) α) Df. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πράξεις με Επειδή f 7 0, για κάθε ( αφού 4 0 ) 1 f _ + f f 1 3 ΕΛΑΧΙΣΤΟ Η f είναι f 1 3. στο,1 στο 1, και παρουσιάζει ελάχιστο για 1 το, lim f lim lim 4 και επειδή lim f lim lim το σύνολο τιμών της f είναι 3, f D. f β) Διακρίνω τις περιπτώσεις για το a Αν a 3, τότε η εξίσωση Αν 3 f a, τότε η εξίσωση f a 3 ( η τιμή του ελαχίστου ) Αν a 3, τότε η εξίσωση στο 1. f γ) f a, δεν έχει πραγματικές ρίζες αφού το f D 3,, έχει μία πραγματική ρίζα την 1 a, έχει δύο πραγματικές ρίζες μία στο,1 και μία για κάθε ( αφού 8 0) Η f είναι κυρτή στο και δεν έχει σημεία καμπής. f

5 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 δ) f : συνεχής στο, f : παραγωγίσιμη στο, 1 Άρα ισχύει το Θ.Μ.Τ απ όπου έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε f f : συνεχής στο f f (1) 1 f : παραγωγίσιμη στο,, 3 3 τέτοιο 1 1 Άρα ισχύει το Θ.Μ.Τ απ όπου έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε f f f 3 3 () τέτοιο 3 Από το ερώτημα γ) έχουμε ότι η f είναι κυρτή στο άρα η f στο άρα f 1, f f f f 1 f 1 f Β) Ισχύει f 01 0, για κάθε (1) Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο, επομένως και συνεχής. Θεωρώ τη συνάρτηση g f 01, με η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις με g f Άρα η g είναι στο α) Για β) Για 01 0, για κάθε, ( λόγω της (1) ), οπότε g 0 g g 0 f 01 f 0 f f 0 01 g 0 g g 0 f 01 f 0 f f 0 01 Γ) ) Ισχύει 3 f 4, για κάθε (1) Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο, επομένως και συνεχής. 4 α) Η g f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις με g f 4 3 0, για κάθε, ( λόγω της (1) ) Άρα η g είναι β) Ισχύει στο. g 1 g g 1 f 4 f f f f f 1 15

6 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 γ) f : συνεχής στο 1, f : παραγωγίσιμη στο 1, Άρα ισχύει το Θ.Μ.Τ απ όπου έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 1, τέτοιο ώστε f f 1 f f f ( λόγω του ερωτήματος β) ) Δ) Ισχύει f f, για κάθε 0, f f f, για κάθε 0, f f, για κάθε 0, Από εφαρμογή σχολικού σελίδα 5 έχουμε ότι f c e, για κάθε 0, για έχουμε f ce e ce c Άρα f e, για κάθε 0, f e, για κάθε 0, ΘΕΜΑ 4 ο A) α) Η συνάρτηση g γράφεται: με α. Οπότε: α α α α g() f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt g() α f(t)dt α f(t)dt f( )( ) f( )( ) f( ) f( ). β) Δίνεται f(t)dt f(t)dt 0(1). Έστω η συνάρτηση h() f(t)dt για την οποία ισχύει h() 0 λόγω της (1). Είναι όμως h( ) h(1) 0, δηλαδή h() h( ) και h() h(1). Επομένως η h παίρνει στα και 1 ελάχιστη τιμή, και επειδή στα σημεία αυτά πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Fermat θα ισχύει: h( ) h(1) 0. Όμως :

7 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 α) h() ( f(t)dt ) f( ) f( ) 1. Άρα: h( ) 0 4f(4) f(4) f(4) 3 f(4) 1 και h(1) 0 f(1) f(1) 1 0 3f(1) 3 f(1) 1. Οπότε f(1) f(4). γ) Η f είναι συνεχής στο 1,4 και ισχύει f(1) f(4). Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο (1,4) τότε η f έχει κρίσιμο σημείο στο (1,4). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο (1,4), τότε πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,4 τέτοιο ώστε f(ξ) 0. Άρα σε κάθε περίπτωση η f έχει κρίσιμο σημείο στο (1,4). Β) α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με dt 1 0 f() 0. Άρα η f είναι 1t 1 γνησίως αύξουσα στο οπότε είναι και 1-1 δηλαδή αντιστρέφεται. β) Είναι: dt dt f f(ln( 1)) f() ln( 1) ln( 1) 0. 1t 1t ln(1) 0 0 Έστω λοιπόν η συνάρτηση h με h() ln( 1), 1. Η συνάρτηση h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις με h() h() (ln( 1) ) Είναι και το πρόσημο της h φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί h() h()

8 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 Οπότε η h παρουσιάζει στο 0 μέγιστο το h(0) 0, δηλαδή θα ισχύει h() h(0) ln( 1) 0, που είναι και το ζητούμενο. γ) Είναι f(εφ) dt εφ 0 1 t. Άρα εφ f(εφ) dt εφ 1 t 1 εφ 1 εφ συν ημ συν 0 1 συν συν 1 συν 1. συν ημ συν συν Επομένως f(εφ) 1 f(εφ) () f(εφ) c (1). Είναι όμως f(0) 0. Άρα η (1) για 0 δίνει c 0, οπότε τελικά ισχύει f(εφ). δ) Η συνάρτηση 1 g() 1 είναι συνεχής και θετική σε όλο το του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες 0 και 1 δίνεται από το ολοκλήρωμα: (γ) 1 d π π 0 E(Ω) f(1) f(εφ ) Επομένως το εμβαδόν 1 g() 1 τον άξονα Γ) Η συνάρτηση t 1u 1 f() du dt 0 0 u είναι φορές παραγωγίσιμη με e t u 0 u u 1 u 1 f() du dt du e και e 1u 1 0 u f() du. 1. e e e

9 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 Είναι 1 1 f() και το πρόσημο της f φαίνεται στον πίνακα 1 e που ακολουθεί. 0 f () f () Οπότε η f παρουσιάζει στο 0 ελάχιστο, δηλαδή η γραφική παράσταση της f έχει στο σημείο (0,f(0)) (0,0) ελάχιστη κλίση. Επιμέλεια : Μ. ΜΥΛΩΝΑ Φ. ΡΑΔΙΩΤΟΥ Χ. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,