( ) ( ) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Είναι. f (x) > 0 e 1 x > 0 1 x > 0 1 > x x < 1. η f είναι γνησίως αύξουσα Στο [ 1, + ) η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Είναι. f (x) > 0 e 1 x > 0 1 x > 0 1 > x x < 1. η f είναι γνησίως αύξουσα Στο [ 1, + ) η f είναι γνησίως φθίνουσα."

Ποδαργη Παπακώστας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3/4/ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 335 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 8 Α 3. Λ, Σ, 3 Λ, 4 Λ, 5 Σ, 6 Σ, 7 Λ ΘΕΜΑ ο Α. ) Είναι f () = + ( ) = + ( ) = = ( ) > f () = = = = > f () > > > > < Στο (, ] η f είναι γνησίως αύξουσα Στο [, + ) η f είναι γνησίως φθίνουσα Επειδή το πεδίο ορισµού της f αποτελείται από τα διαστήµατα A = (, ] και A = [, + ) έχουµε ότι το σύνολο τιµών f ( A) = f ( A ) f ( A ) Είναι lim f () = lim = lim lim () Θέτω = t και έχουµε Όταν + + t + t Οπότε από () lim lim f () = = = = = + = t + ( + ) D'LH lim f () = lim = lim = lim = lim = lim = ( ) Στο A = (, ] η f γνησίως αύξουσα οπότε f ( A ) = ( lim f (), f () = (, ] Στο A = [, + ) η f γνησίως φθίνουσα οπότε f ( A ) = ( lim f (), f () = (, ] Άρα f ( A ) = (, ] (, ] = (, ] + ) Είναι f () = ( ) ( ) + ( ) = ( ) = ( + ) = ( )

2 > f () = = = = > f () > > > > 3) Ι) = Στο (, ] η f είναι κοίλη Στο [, + ) η f είναι κυρτή f g () g ()d f g() g ()d () Είναι f () = = = Οπότε στο A, η f παρουσιάζει σηµείο καµπής Θέτω g() = οπότε g ()d = d Για = είναι = g() = και για = είναι = g() = f ()d = f ()d = d = d = d = Οπότε από () = = d = + d = + = + = + = ΙΙ) ( g f )() f ()d = g ( f ()) f ()d = ( g ( f () )) d = g ( f ()) = g( f () ) g ( f ()) () Είναι f () = και f () = = Οπότε από () = g() g() = = Β. Είναι g() = f dt t Θέτω t =. Για t = είναι = = και για t = είναι = = Επειδή = t = t = t Οπότε dt = d dt = d

3 Άρα είναι g() = f () d f ()d f ()d = = g () = f ()d f ()d f ()d f ()d f () = + = + Έχουµε g () = f ()d + f () = f () = αφού το σηµείο Α(, ) ανήκει στην C f ΘΕΜΑ 3 ο α) g() = + ln > g () = g () = = = = = = = ± Στο (,] η f γνησίως φθίνουσα, στο [, + ) η f γνησίως αύξουσα. g() = + ln = 3 ln β) f () = + > g() ln ln + ln f () = + = + = Για = g() = 3. g γν.αύξουσα Για > g() > g() g() > 3 Για έχουµε g() 3 g() g γν.φθίνουσα > > Για < < g() > g() g() > 3 Οπότε f () > f γνησίως αύξουσα

4 + ln ln lim f () = lim + lim + lim = = = lim = + + DLH + + Είναι + Άρα η y= Π.Α. της f στο +. γ) ΑΝ Ο, ώστε f ( ) = Η f συνεχής στο, ln f = + = + 4( ln ) = 4ln < δ) ln f () = + = > Από Θ.Β. υπάρχει, ώστε f ( ) =. h() + th(t)dt = Η συνάρτηση th(t) είναι συνεχής στο R ως γινόµενο συνεχών th(t)dt παραγωγίσιµη άρα και η h() συνεχής ως διαφορά παραγωγίσιµων. h () + h() = h () + h() = h () + h() = h() = Οπότε είναι h() = c και για = είναι h() = c h() = c Για = στην αρχική σχέση έχουµε h() + = h() = Οπότε c= Άρα = = = h() h() h()

5 ε) ΑΝ Ο υπάρχει, ώστε : h() = = ln = ln = ln = ln ln ln = f () + = = Όµως στο γ ερώτηµα δείξαµε ότι η f έχει ρίζα στο, (*) ζ) lim th(t)dt lim lim + = = = = + + th(t)dt = h() = lim t = lim = (*) + t Θέτω = t Όταν + τότε t η) Το εµβαδό ανάµεσα στην = εώς = είναι ln = = + = + φ() f () ln την g() τον άξονα από E = φ() g() d Είναι φ() g() > + ln + ln > 4ln > 4ln > ln > > > Άρα φ() g() = g() φ() Οπότε Ε = g() φ() d = 4 ln d = d 4 ln d = [ ] 4 ( = ) ln d = ( ) 4 [ ln ] d = [ ] [ ] = 4 ln + 4 = 4 ln ln = 6 4 ln = 6 6 = 4 6 τ.µ. 4( ) + =

6 f () = Β) Είναι z f (t)dt z + ηµ () R Ι) Έστω z g() = f (t)dt z + ηµ Έχουµε µε βάση την () ότι : g() g() g() H g παρουσιάζει στο = ολικό µέγιστο. Όµως g() = ΙΙ) H g παρουσιάζει στο Θεωρ. Frmat = ολικό µέγιστο. g () = Η g παραγωγίσιµη στο = Είναι g () = z f ( z ) z + συν άρα έχουµε : g () = z f () z+ συν= z z + = z + = z ΙΙΙ) z + = z z + z + = zz 4zz + z + z + = zz 3zz + z + z + = (**) Είναι 3z + 3z + z + = = = 3z + = 3z + 3z + = Οπότε :3 9zz + 6z + 6z + 4 = 9zz + 6z + 6z + 3 = 3zz + z + z + = που ισχύει από (**) ΙV) Είναι z = + f ()i 3 z + = + f ()i + = + f ()i = + f () = + f () = f () = f () = Ορίζω h() = f () Η h συνεχής στο [, ] ως διαφορά συνεχών h() = f () = = > h() h() < h() = f () = <, Από Θ.Β. υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε h( ) = f ( ) = f ( ) =

7 ΘΕΜΑ 4 ο α) Είναι t f () = f dt Θέτω t = Για t = είναι = = = και για t = είναι = = t Ισχύει dt = d dt = d dt = d Οπότε έχουµε f () = f () d f () = f ()d + Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη µε f () = f ()d + f () = f () + β) Είναι ( ) f () f () = f () f () = f () = f () = + c Για = είναι Οπότε Άρα f () = f ()d + = + = f () = + c = + c c = f () f () f () f () = + = = = + = + = + Είναι Επειδή > f () > για κάθε R Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και δεν έχει ακρότατα στο R f () = = = 4 Είναι Επειδή γ) Ι) Είναι > > για κάθε R οπότε η f κυρτή στο R και δεν έχει σηµεία καµπής 4 f () g( + t)dt f () g( + t)dt f () Θέτω + t = Οπότε για t = είναι = και για t = είναι = +. Είναι ( + t) dt = d dt = d Έχουµε g()d f () g()d + g()d f () g()d g()d f ()

8 + Έστω η συνάρτηση h() = g()d g()d f (). Ισχύει ότι h() για κάθε R Επειδή h() = g()d g()d f () = + = = Άρα ισχύει h() h() h() για κάθε R. ηλαδή στο = η h παρουσιάζει µέγιστο Από το Θ. Frmat ισχύει h () = h () = g()d g()d + g()d g()d f () [ ] h () = g()d g()d + g( + ) g() Οπότε + + [ g() g() ] h () = g()d g()d g()d = g()d = ΙΙ) Έστω η συνάρτηση = G() = g(t)dt η οποία είναι συνεχής στο R αφού η g συνεχής στο R Είναι G() = g(t)dt = = και G() = g(t)dt = = Οπότε από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε ξ G(ξ) = g(t)dt = g(t)dt = ΙΙΙ) Είναι Θεωρούµε τη συνάρτηση ξ g(t)dt = g() g(t) + g() = Φ() = g(t)dt η οποία είναι συνεχής στο R ως πράξεις συνεχών Η Φ() είναι παραγωγίσιµη στο R µε παράγωγο Φ () = g(t)dt + g(t)dt Φ () = g(t)dt + g() οπότε για την Φ() ισχύουν : Έστω ξ (, ) Φ() = g(t)dt = και Φ(ξ) = ξ g(t)dt ξ ξ = ξ ξ =

9 Επειδή η Φ συνεχής στο [, ξ ] παραγωγίσιµη στο Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ξ) ώστε Φ ( ) = Επειδή ξ (, ) άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), ξ και Φ() = Φ(ξ) = από το Θ. Roll ώστε Φ = g(t)dt + g = g(t)dt = g

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,