ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

Transcript

1 ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα ορισμένες διορθώσεις ή συμπληρώσεις, οι οποίες, προκειμένου να είναι ευδιάκριτες, έχουν σημανθεί με κόκκινο χρώμα.

2 Θέματα Θέμα 9o Α. Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύουν f ( ) για κάθε, f () 1, f () και f ( ) 4 f ( ) f ( ) f ( ) για κάθε. i. Να δείξετε ότι f ( ) f ( ). ii. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι iii. Να βρείτε το lim ( 1) f( ) ημ. iv. Να δείξετε ότι 1 ημ f ( ) d ln. 4 1 f ( ). 1 v. Αν g ( ) f(, ) να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη C g, τον άξονα, τον άξονα yy και την ευθεία 1. Β. Αν F είναι μία παράγουσα της f με F (), τότε: π π i. Να δείξετε ότι F( εφ )= για κάθε,. ii. Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη C F, τον άξονα και τις ευθείες και 1 iii. Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη ευθείες και 1. C f, τον άξονα και τις Θέμα 1o Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 1 1,. i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. ii. Να δείξετε ότι υπάρχει,1στο οποίο η εφαπτόμενη στη C f είναι παράλληλη στην ευθεία 1y94. iii. Να δείξετε ότι υπάρχουν 1,,1 ρ ρ τέτοια ώστε 9 f( ρ1) f( ρ). 14

3 Θέματα vi. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. vii. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης e α για τις διάφορες τιμές του α. Θέμα ό Έστω μία συνάρτηση f συνεχής στο, για την οποία ισχύουν: f ( ) f ( ) (1) για κάθε και f () 1 (). i. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f ( ) 1,. ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. iii. Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή. iv. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f. v. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της F, τον άξονα και την ευθεία 1, όπου F( ) f( ). vi. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης. vii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f 1. viii. Να λύσετε την εξίσωση: Θέμα 1o αν Δίνεται η συνάρτηση e, f ( ) 1 ln( 1), αν i. Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο. ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. iv. Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει δύο ρίζες ετερόσημες 1, με 1.

4 Θέμα 5o Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο, για την οποία ισχύει: f ( ) 6 f( ) d (1). i. Να βρείτε τον τύπο της f. ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f και της C. v. Να βρείτε τη σχετική θέση της C f με την ευθεία y. vi. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f και C. vii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη 1 f C στο σημείο 1 f 14,. 1 f Θέμα 6o Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 1 i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. iii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f. iv. Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. v. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. vi. Να βρείτε τα κοινά σημεία της C f και της C. vii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I f() t dt. viii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη και τις ευθείες και 5. i. Να υπολογίσετε το όριο lim f( )ln. 1 f C f 1, τον άξονα

5 Θ.Μ.Τ. για την f στα [, δ ] και [ δ,1], οπότε υπάρχουν κ (, δ ) (,1) και f( δ) f() 1δ1 9δ λ( δ,1) (,1) τέτοια ώστε f ( κ) (5) και δ δ δ f(1) f( δ) 1 1 δ δ f ( λ) = (6). 1 δ 1 δ 1 δ 9δ δ 9δ Από (5) και (6) προκύπτει ότι f ( κ) f ( λ). δ 1 δ 1 δ vi. Αφού η f είναι κυρτή στο [,1], η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της «κάτω» από τη C f. Η εφαπτομένη στο (, f ()) είναι η ln1 ln1 y f() f()( ) y1 y Άρα f ( ) ln1 y f ( ) 1για κάθε [,1]. 1 vii. Θεωρούμε την g( ) f() t dt f() t dt, [,1] g() f() tdt f() tdt f() tdt f() tdt, διότι 4 f ( ) f( ) d 1 1 4, άρα g(1) f( tdt ) f( tdt ) 1 1 g() g (1). C f θα βρίσκεται Θ.Β. Η g συνεχής στο1,1και g(1) g (1) υπάρχει (1,1) τέτοιο ώστε g ( ). Δηλαδή το είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Θέμα 11o f ( ) f ( ) f( ) i. f ( ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) c f (1) c 1 c c, f( ) f(1) f ( ) f( ) f( ) 4 f ( ) (4 ) f( ) άρα 49

6 v. Η f m στο [, ), άρα: f m f( ) f(1) f( ) d f(1) d f( ) d f(1) f m 1 f( ) f() f( ) d f() d f( ) d f() f m f( ) f(1) f( ) d f(1) d f( ) d f(1) Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει: f ( ) d f ( ) d... f ( ) d f (1) f ()... f (1) f ( ) d f (1) f ()... f (1). vi. f t t 1 f ( t ) f ( t 1) f ( t ) dt f ( t 1) dt, (1). Για το ολοκλήρωμα I 1 f( t1) dt θέτουμε u t1 du dt. Για t u 1 και για t 1u, 1 1 οπότε το I γίνεται I f ( u ) du f (t) dt () (1) 1 () 1 f() t dt f() t dt, [1, 6]. Θέμα 19o 1 f( ) i. f ( ), 1 f( ) f( ) f( ) ln f( ) lnc 1 1 f (1) ln1 c c ln, άρα f( ) ln f( ),. 1 ii. lim f( ) lim ln, άρα η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. 65

7 f m Δ 1 διότι Δ e, f( ) f e, lim f( ), lim f( ) e 1 f ( Α) f( Δ1) f( Δ),. e α α ln vii. e ln ln e ln α α f( ) α Αν α 1, τότε αf ( Α ), άρα η εξίσωση δεν έχει καμία ρίζα. e Αν α 1, τότε α f ( Δ ) 1 και α f ( Δ ), άρα η εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα. e 1 Αν α, τότε α f( Δ1) και α f( Δ), άρα η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες. e Αν α, τότε α f( Δ) και α f( Δ ), άρα η εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα. 1 Θέμα ό i. (1) 1 f ( ) f( ) f ( ) f( ) 1 όπου f( ) 1 h ( ) 1 (), h( ) f( ). Ισχύει 1 για κάθε h ( ) h( ) Για την h ισχύουν: Η h συνεχής στο ως διαφορά συνεχών και για κάθε. h ( ) ( δε μηδενίζεται) για κάθε. Άρα η h διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, h() f () 1, επομένως h( ) για κάθε. Άρα από τη () προκύπτει h( ) 1 f( ) 1 f( ) 1, για κάθε (ο τύπος της f ). ii. 1 f ( ) Ισχύει = 67

8 Έχουμε y f() f()( ) y14 5( )... y 5 6 (β). Στη (β) εναλλάσσουμε τα, y και προκύπτει 5y 6, που είναι η ζητούμενη εξίσωση. Θέμα 6ο i. 4 ( ) ( 1) ( )( 1) f ( ) f( )..., 1 ( 1) ( 1) 4 διότι και 1 για κάθε, άρα η f είναι < στο. ii. lim f( ) lim lim ( ), lim f( ) lim lim ( ). Η f είναι συνεχής και < στο, άρα το Σ.Τ. είναι: f (A) lim f( ), lim f( ),. iii. Ασύμπτωτη της C f στο (πλάγια) f( ) lim lim lim lim ( 1) β lim f( ) λ lim... lim. 1 1 Άρα η ασύμπτωτη της C f στο είναι η ευθεία y. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ίδια ασύμπτωτη είναι και στο. λ iv. 4 6 f ( ) f( )... ( 1) ( 1) f ( ) 6 ( ) ή ή. Το πρόσημο της f εξαρτάται από το πρόσημο του αριθμητή, αφού ο παρονομαστής είναι θετικός για κάθε και φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. 77