άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή Ο (0,0) και ακτίνα ρ = 2. αυτό σηµαίνει ότι οι εικόνες των µιγαδικών w

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή Ο (0,0) και ακτίνα ρ = 2. αυτό σηµαίνει ότι οι εικόνες των µιγαδικών w"

Ευγένεια Βασιλικός
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ ο Α.. Θεωρία Σχολ. σελ. 5 Α.. Θεωρία Σχολ. σελ. 9 Β. α) Σ γ) Λ β) Σ δ) Λ ΘΕΜΑ ο ε) Σ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΜΑΪΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Είναι ( i ) z 6 i z 6 9 z 6 z, άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή Ο (,) και ακτίνα ρ. β) Είναι w ( i) w ( i), αυτό σηµαίνει ότι οι εικόνες των µιγαδικών w ισαπέχουν από τις εικόνες Α (,-) και Β (,-) των µιγαδικών -i και -i αντίστοιχα. Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η µεσοκάθετος (ε) του τµήµατος ΑΒ µε εξίσωση: y. γ) Επειδή οι εικόνες του w βρίσκονται πάνω στη µεσοκάθετο (ε) του ΑΒ και w απόσταση της εικόνας του w από την αρχή Ο. Η ελάχιστη τιµή του w είναι η ελάχιστη απόσταση του Ο από την (ε). ηλ. (ΟΓ) και Γ (,) ως µέσο του ΑΒ.

2 Εποµένως ελάχιστη τιµή w ( ΟΓ). δ) Η µεσοκάθετος (ε) του ΑΒ έχει εξίσωση (ε): y. Έστω Μ η εικόνα του z και Ν η εικόνα του w, τότε το Μ ανήκει στον κύκλο C:(,) και το Ν ( ε). Τότε z w ( MN) Φέρνουµε τις ΟΜ, ΟΝ και ΟΓ ε. Από το τρίγωνο ΟΜΝ έχουµε ή ή ή ( ΜΝ ) ( ΟΝ) ( ΟΜ) ( ΜΝ ) ( ΟΝ) διότι ( ΟΜ) ( ΜΝ ) ( ΟΝ) ( ΟΓ) ρ ( ΜΝ ) z w ηλαδή η ελάχιστη τιµή του z w είναι. ος τρόπος: z w z w w w ηλαδή η ελάχιστη τιµή του z w είναι. ΘΕΜΑ ο α. lim ( ) Άρα lim ( ) ( ) ln ( ln ) lim ln lim lim lim, οπότε συνεχής στο. lim β. Έχουµε: συνεχής στο [, ) παραγωγίσιµη στο (, ) µε ( ) ( ln) ln

3 Είναι ( ) ln ln ( ) > ln > ln > > Το πρόσηµο τη φαίνεται στον πίνακα: Άρα είναι στο, και στο, Επειδή συνεχής στο, A και στο Α, lim,, το σύνολο τιµών της είναι ( ) ( ) Όµοια συνεχής στο, A και στο Α, lim είναι ( ) ( ) A A, A A A, Εποµένως η έχει σύνολο τιµών ( ) ( ) ( ) α γ. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναµα:.

4 α ln ln α ln ln ( ) α α ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: ) Αν <, α τότε επειδή ( ) > α ) Αν α, τότε η ()α έχει µοναδική λύση την, η εξίσωση ()α δεν έχει λύση.. ) Αν < α < τότε η ()α έχει δύο ακριβώς ρίζες µία στο, και µία στο,. ) Αν α τότε () α () ln, αφού > 5)Αν α >, τότε α ( A) υπάρχει (, ) η ρίζα είναι µοναδική. δ. Είναι ( ) ln α (, ) ώστε ( ) α και επειδή και ( α) > για κάθε > άρα IR Για κάθε > στο διάστηµα [, ] ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής για την, άρα υπάρχει (, ) Έτσι η αποδεικτέα σχέση ( ) ( ) > ( ) ( ) γρά ( ) > ( ), λόγω της ( ) > που είναι αληθής γιατί διότι τέτοιο ώστε: ( ) ( ) (, ) ( ) φεται ισοδύναµα

5 ΘΕΜΑ ο α) Γνωρίζουµε ότι το ορισµένο ολοκλήρωµα t dt είναι πραγµατικός αριθµός. Έστω dt α IR, τότε () () η ισότητα: ( ) ( ) dt 5 ( ) ( ) α 5 () Και η () λόγω της () γράφεται ισοδύναµα: γράφεται (( ) α 5) α ( 6) dt α d α 5 α α 9 α 5α 9 α Εποµένως ( ) ( ) 5 ή ( ) 6 5 ος τρόπος Από την ( ) ( ) dt έπεται ( ) d ( ) ( ) d ( t) dt [ 5] ( ) d ( t) dt ( 6) 9 5 dt 9 dt 5 d 5

6 dt β) Αν θέσουµε τότε και g lim Έτσι g ( ) ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g lim lim ( ) () g αφού g παραγωγίσιµη υπάρχει το όριο () ( ) g ( ) γ) i) Επειδή g παραγωγίσιµη στο IR είναι συνεχής στο άρα ( ) () και limg g. Έτσι ( ) g( ) g( ) g lim. lim g lim g lim ( g( ) g( ) g( ) ) ( ) ( ) g ( ) ( ) g ( ) g ( ) g ( ) ( g ( ) g ( ) ) g ( ) Έτσι έχουµε: g ( ) ( ) 5 g g g ( ) ( ) ( 5 ) 6 ( ) 5 c ( ) Από την () για : προκύπτει: Άρα g ( ) 5 g ( ) c c limg ( ) g() 6

7 5 ( ) c ( ) g Από τη () για προκύπτει: 5 Έτσι g( ) g ( ) c c ii) Είναι ( ) g 5 > για κάθε IR άρα g IR οπότε και «-» 7

Σχετικά έγγραφα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε