z - 3i + z + 3i = 2 z - 3i + z - 3i = 2 2 z - 3i = 2 z - 3i = 1 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "z - 3i + z + 3i = 2 z - 3i + z - 3i = 2 2 z - 3i = 2 z - 3i = 1 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι"

Αγαθάγγελος Αλαφούζος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδες 6-6 Α.

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδες 6-6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Α3. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθ, δ. Λάθ, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. τρόπ z - 3i + z + 3i = z - 3i + z - 3i = z - 3i = z - 3i = άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλ με κέντρο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = τρόπ z = + yi z - 3i + z + 3i = + yi - 3i + - yi + 3i = + (y - 3) + + (3 - y) = + (y - 3) = B. + (y - 3) = + (y - 3) = άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι κύκλ με κέντρο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = oς τρ όπ z - 3i z - 3i = z - 3i = (z - 3i)(z + 3i) = z + 3i = z - 3i oς τρόπο z + 3i = (z - 3i)(z + 3i) = z - 3i = z - 3i z - 3i ς = (ισχύει)

2 B3. z + 3i z + 3i w = z - 3i + = z - 3i + = z - 3i + z - 3i (z - 3i)(z + 3i) z - 3i = z - 3i + z + 3i = z + z = R(z) IR τρόπ Από το γ.τ. των εικόνων του z (διπλανό σχήμα) K προκύπτει ότι - R(z) - R(z) - w τρόπ Από το γ.τ. των εικόνων του z έχουμε : + (y - 3) = άρα - - O - - R(z) - w 3 τρόπ w = z - 3i + z - 3i + = + = + = z - 3i z - 3i z - 3i wir w - w A B4. z = + yi z - w = + yi - = - + yi = -( - yi) = -z = z w = ΘΕΜΑ Γ Γ. f () + f () - = f () + f () f () + f () - = f () + f () f () - = f () από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () - = f () + c Για = προκύπτει c = -, άρα f () - = f () - f () - f () = - ( - )f () = - () Θα αποδείξουμε ότι - >, για κάθε IR

3 τρόπ Θεωρούμε συνάρτηση g, με g () = -, g () = - IR - + g () - + g () H g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = την τιμή g () =, άρα g () > - > τρόπ y y = Ο y = Από τις γραφικές παραστάσεις των f () = και f () = έχουμε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f, για κάθε IR, άρα > - >, για κάθε IR. Γ. - > - () :( - )f () = - f () = f () = n( - ) - από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = n Για = προκύπτει c =, άρα - f () = - ( - ) + c f () = n( - ), IR - + f () - + f () Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, ], ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [, +). Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = την τιμή f () =

4 Γ3. f () = = = - ( - ) ( - ) Οι ρίζες και το πρόσημο της f ταυτίζονται με - ( - ) - ( - ) - - τις ρίζες και το πρόσημο του αριθμητή. Θεωρούμε συνάρτηση h, με h () = - -, IR Θα αποδείξουμε ότι η τρόπο ς h () = - = ( - ) h έχει ακριβώς ρίζες. - + h () + - h () Δ = (-, ) Η h είναι συνεχής και γν. αύξουσα στο Δ im h () = im ( - - ) = im ( - ) = im - = -, διότι im = im = im - - DL'H h συνεχής im h () = h () = - άρα h (Δ ) = (-, - ) h (Δ ), άρα η h () = έχει ακριβώς μια ρίζα ρ στο Δ. Δ = [, +) Η h είναι συνεχής και γν. φθίνουσα στο Δ h () = - = im h () = im ( - - ) = im ( - ) - = διότι im ( - ) = - και im = άρα h (Δ ) = (-, - ] h (Δ ), άρα η h () = έχει ακριβώς μια ρίζα ρ στο Δ. Επομένως η h () = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο IR.

5 τρόπ Η h είναι συνεχής στο [-, ] h (-) = - (-) - = - <, h () = - - = - > άρα από Θ. Bolzano η h έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-, ) Δ και επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο (Δ ), άρα η h () = έχει ακριβώς μια ρίζα ρ στο Δ. Η h είναι συνεχής στο [, ] h () = - - = - > h () = - - = - < άρα από Θ. Bolzano η h έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Δ και επειδή η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (Δ ), άρα η h () = έχει ακριβώς μια ρίζα ρ στο Δ. Επομένως η h () = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο IR. Πρέπει να αποδείξουμε ότι η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν των ριζών ρ και ρ. h στο (-, ) < ρ h () < h (ρ ) h () < f () < h στο (-, ) ρ < < h () > h (ρ ) h () > f () > h στο (, + ) < < ρ h () > h (ρ ) h () > f () > h στο (, + ) > ρ h () < h (ρ ) h () < f () < - ρ ρ + f () f () σ.κ. σ.κ. Άρα η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει ακριβώς δύο σημεία καμπής.

6 π Γ4. Θεωρούμε συνάρτηση φ, με φ () = f () - συν,, π Η φ είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών φ () = f () - = - < π π φ = f > f () = Από Θ. Bolzano η φ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, π φ () = f () + ημ >, για, π π διότι f () > στο, και ημ > στο, Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα και το είναι μοναδικό Επομένως η εξίσωση π στο διάστημα,. ΘΕΜΑ Δ t - f () - Δ. = dt g ( + t) n( - ) = συν έχει ακριβώς μια λύση θέτουμε + t = u Eίναι t = u - dt = du t = u = t = - u = π - f () - f () = du = du (u - ) u - g (u) g (u) - f () = f () = + u du g (u) u - f () = - du g (u) u du g (u) Θεωρούμε τις συναρτήσεις g, g, με g () = και g () = g (t) dt. g () H g είναι συνεχής στο IR, ως πράξεις συνεχών. άρα η g είναι παρ/μη στο IR με g () = g () = g ()

7 H συνάρτηση f, με f () = + g () είναι παρ/μη στο IR ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. f () = + g () = g () = f () g () = g () () Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι η g είναι παραγωγίσιμη και u g () = + du και f () g () = f (u) () τρόπ Από τις () και () με αφαίρεση προκύπτει f () g () - f () g () f () g () - f ( ) g () = = g () f () g () συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = = c g () f () Για = προκύπτει = c = c = c g () άρα f () = g ( ), για κάθε IR. τρόπ Από τις () και () με προκύπτει f () > f () g () f () g () = f () g () = g () > f () g () συνέπειες Θ.Μ.Τ. nf () = ng () nf () = ng () + c Για = προκύπτει nf () = ng () + c = c άρα nf () = ng () f () = g (), για κάθε IR.

8 Δ. Aπό τη σχέση () προκύπτει f () f () = f () f () = f () = από συνέπειες Θ.Μ.Τ. προκύπτει f () = + c Για =, έχουμε f () = + Άρα f () = f () = και επειδή f () > θα είναι f () =, για κάθε ΙR. c = c Δ3. θέτουμε = u - Όταν τότε u - f -u -u u - = im = im = im = - u- u u- u DL'H u- n f () n im = im = im t Δ4. F () = f (t ) dt = dt t F () = dt = >, άρα F γνησίως αύξουσα στο ΙR Αναζητούμε το πρόσημο της F στο [, ] F F () F () F () F () Ε = - F () d = - () F () d = - F () + F () d = d = d = = - τ.μ.

Σχετικά έγγραφα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: