( ) ( ) ΘΕΜΑ Β Β1. Θέτουμε z = x + yi, x, y ΙR Είναι: 2 x + y + 2xi 4 2i = 0 2x + 2y 4 + (2x 2)i = 0. 2y = 2 y = 1 ήy= 1 = = = Άρα = 1+ i, z2. z 1 Β2.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) ΘΕΜΑ Β Β1. Θέτουμε z = x + yi, x, y ΙR Είναι: 2 x + y + 2xi 4 2i = 0 2x + 2y 4 + (2x 2)i = 0. 2y = 2 y = 1 ήy= 1 = = = Άρα = 1+ i, z2. z 1 Β2."

Δαίμων Μπότσαρης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία - Σχολικό βιβλίο σελ. 5 Α Θεωρία - Σχολικό βιβλίο σελ. 73 Α3 Θεωρία - Σχολικό βιβλίο σελ. 5 Α4 α λάθος, β σωστό, γ σωστό, δ σωστό, ε λάθος. ΘΕΜΑ Β Β. Θέτουμε z yi,, y ΙR Είναι: y i 4 i y 4 ( )i y y ήy Άρα z i, z i Β z i w 3 3 z i 39 i 3 3 3i 3i B3. Είναι: u 3i 4( i) ( i) i u 3i 4 4i i i 3 4i Άρα ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών αριθμών u είναι κύκλος με K,3 και ακτίνα ρ 5. κέντρο ΘΕΜΑ Γ Γ. Η h είναι παραγωγίσιμη στο ΙR με

2 ' h ( ), ΙR h παραγωγίσιμη στο ΙR με '' h ( ) <, ΙR άρα h κοίλη στο ΙR. h( h' ( ) ) h( h' ( ) ) Γ. Είναι < ln < ln h ( h' ( )) < ln h h' < ln ( ) ( ) h γν.αυξ h h' < h h' < h' < < > > >. Γ3. lim h lim ln ln( ) lim ln. Θέτoυμε u, συνεπώς lim lim. lim h limln u ln. Επομένως u DLH Άρα y, οριζόντια ασύμπτωτη της C h στο. h( ) ln( ) (ε) : lim lim λ. ln( ) Γιατί lim, αφού lim. Επίσης lim [ h() ] lim [ ln( ) ] β

3 γιατί lim ln( ). Άρα η ευθεία y Γ4. Είναι h( ) ln 3 είναι πλάγια ασύμπτωτη της C h στο. φ h ln ln ln " ". Είναι φ παραγωγίσιμη στο ΙR ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με φ' h ln h' h ln h'. Για ( ) ( ) h γν.αυξ. h' > > h > h h > lnh () ln >. Άρα φ' ( ) >, γιατί h' >. Οπότε φ γνησίως αύξουσα άρα η μοναδική ρίζα. Συνεπώς E Ω Φ d h ln d ( h ( ) ln ) h' ( ) d ( ) h ln d ( ln( ) ) ln [ ln( ) ] ( )ln τ.μ. ΘΕΜΑ Δ Δ. και lim f lim lim f DLH h ln ln ln ln

4 Άρα f συνεχής στο. 4 Για f παραγωγίσιμη ως ρητή με ' ( ) f' ( ) Θεωρούμε g( ), ΙR. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο ΙR ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g'. g' ( ). g, οπότε g, ΙR. Και το " " ισχύει μόνο για. Οπότε f' ( ) >, ΙR *. Και επειδή f συνεχής στο μηδέν θα είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ΙR. f( ) f( ) Δ.α) lim lim lim lim lim lim. DLH DLH Άρα f' ( ). Για > είναι Για < είναι Είναι f( ) >. Άρα f ( ) >, ΙR. > και < και f >. > άρα < άρα, προφανώς ρίζα της εξίσωσης γιατί f' γν.αύξουσα Για > f' ( ) > f' ( ) g() f >. f ' - 8 _ 8

5 f' ( ) > f' ( ) > f' γν.αύξουσα 5 Για f' ( ) f' ( ) < < f' ( ) < f' ( ) < Συνεπώς τα όρια του ολοκληρώματος είναι ίσα μόνο για και f >, ΙR, η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την. επειδή t ' ( t) β) Είναι y( t), ( t) και y' ( t) ( ) ( t) t t '(t)( t) ( ) ' ( t) y' ( t) ( t) ' ( t) ' ( t) t t ( t) ( t) t t ( t) ( t) t (t) ( t) ( t) Θέτουμε Κ( ), ΙR. K' ( ) ( ) Για < είναι < < >. K' < < Άρα Για > είναι > > < Άρα K' ( ) < > Επειδή η K είναι συνεχής, είναι γν. φθίνουσα στο ΙR. Προφανής ρίζα της εξίσωσης Κ( ) είναι η, που είναι μοναδική γιατί Κ είναι γνησίως φθίνουσα. t y t f t Άρα και Άρα το σημείο είναι Μ (, ). Δ3. Για >, είναι g( ) g f ( ) ( ) ( )

6 (( )( )) H g παραγωγίσιμη στο., ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με ( )( ) ( ) ( ) 6 g' ' ( ). g' ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(), ΙR.,. Η φ είναι συνεχής στο [ ] φ <. φ( ) >. Άρα φ φ <, σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) ώστε φ( ). > o Είναι φ () για κάθε >. Άρα το o είναι μοναδική ρίζα. f Για < o φ() < φ(o ) f Για > o φ() > φ(o ) _ - _ - g() Άρα η g έχει δύο θέσεις τοπικών ελάχιστων και μία θέση τοπικού μέγιστου. ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΒΑΒΟΥΡΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΠΟΡΦΥΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΚΑΡΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΦΡΟΝΤΙΣΤΕΣ SCIENCE PRESS 8

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Σχολικό βιβλίο σελ Α2 Σχολικό βιβλίο σελ. 28 Α3. α σωστό, β σωστό, γ λάθος, δ λάθος, ε σωστό. ΘΕΜΑ Β

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Σχολικό βιβλίο σελ Α2 Σχολικό βιβλίο σελ. 28 Α3. α σωστό, β σωστό, γ λάθος, δ λάθος, ε σωστό. ΘΕΜΑ Β ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 6