1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

Transcript

1 o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ του τετραγώνου ΑΒΓΔ. B. Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C της συνάρτησης τέμνει και τις δυο διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ. B3. Αν ο τύπος της συνεχούς στο, συνάρτησης, της οποίας η C βρί- σκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ είναι,,, να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. B4. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και με την διαγώνιο ΑΓ. B5. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και. B6. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο ξ,, στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των C και C παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή και ότι οι εφαπτόμενες των C και C στα σημεία

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ξ, ξ και ξ, ξ είναι παράλληλες. Μ ο ν ά δ ε ς ( ) = 5 Λ ύ σ η Β. Η εξίσωση της διαγωνίου ΑΓ είναι: ΑΓ : y, άρα Ομοίως η εξίσωση της διαγωνίου ΒΔ είναι: ΒΔ : y ΑΓ : y, άρα ΒΔ : y 3 Β. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, και η γραφική της παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. Επομένως το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του,, δηλαδή για κάθε,. Θα δείξουμε αρχικά ότι η C τέμνει την διαγώνιο ΑΓ : y. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει μια, τουλάχιστον ρίζα στο,. Θεωρούμε την συνάρτηση h, η οποία είναι συνεχής στο, και ισχύει Αν h h και, τότε, άρα η εξίσωση h έχει ως ρίζα το,

3 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 3 Αν επομένως η h άρα η εξίσωση επομένως η C τέμνει την διαγώνιο ΑΓ στο σημείο Α,., τότε, έχει ως ρίζα το, C τέμνει την διαγώνιο ΑΓ στο σημείο Γ,. Αν h h, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον, επομένως η τέτοιο, ώστε h, οπότε, Ρ,. C τέμνει την διαγώνιο ΑΓ στο σημείο Συνεπώς σε κάθε περίπτωση η Για την άλλη διαγώνιο ΒΔ εργαζόμαστε ομοίως. C τέμνει την διαγώνιο ΑΓ. Β3. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, με παράγωγο, για κάθε Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε είναι, επομένως αντιστρέφεται. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της, δηλαδή το σύνολο τιμών της. H συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α,, άρα το σύνολο τιμών της είναι Η συνάρτηση γράφεται Για κάθε, έχουμε: A,,.,, y y y y, y

4 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ y y Επομένως,,. Β4. Για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων της C και της διαγωνίου ΑΓ λύνουμε την εξίσωση Είναι:. 3 ή Άρα τα κοινά σημεία των C και της διαγωνίου ΑΓ είναι τα Α, και Γ, Ομοίως για να βρούμε τις τετμημένες των κοινών σημείων της C και της διαγωνίου ΑΓ λύνουμε την εξίσωση. Είναι: 3 ή Άρα τα κοινά σημεία των C και της διαγωνίου ΑΓ είναι τα Α, και Β5. H γραφική παράσταση C της συνάρτησης προκύπτει από Γ,.,, μια οριζόντια μετατόπιση κατά δεξιά και μια κατακόρυφη μετατόπιση κατά προς τα πάνω της συνάρτησης t. Στη συνέχεια σχεδιάζουμε την γραφική παράσταση της αντίστροφής της στηριζόμενοι στο ότι οι γραφικές παραστάσεις ως προς την ευθεία y. C και C είναι συμμετρικές

5 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 5 Β6. Θεωρούμε τη συνάρτηση g,,, η οποία παριστάνει την κατακόρυφη απόσταση των C και C, εφόσον H συνάρτηση g είναι συνεχής στο,, για κάθε, άρα η g παίρνει στο, μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή Μ. Την μέγιστη τιμή Μ την παρουσιάζει σε εσωτερικό σημείο ξ του διαστήματος,, αφού προφανώς υπάρχει, ώστε g g και g.

6 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Επίσης η g είναι παραγωγίσιμη στο,, άρα και στο ξ, με παράγωγο: g. Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα Frmat είναι: g ξ ξ ξ ξ ξ Επομένως οι εφαπτόμενες των C και C στα σημεία είναι παράλληλες. ξ, ξ και ξ, ξ

7 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 7 o. Θ Ε Μ Α Β Γ. Δ Η Μ Η Τ Ρ Ι Α Δ Η Σ - Φ. Κ Α Λ Δ Η Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () B. Nα αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. B. Nα αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των και εφαπτομένη στην αρχή των αξόνων. έχουν κοινή B3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της τον άξονα ' και τις κατακόρυφες ευθείες,. B4. Αν h να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς, τέτοιο ώστε h h h h h. 5 Μ ο ν ά δ ε ς ( ) = 5 Λ ύ σ η Β. H είναι παραγωγίσιμη γιακάθε ρ με παράγωγο ()

8 8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 4 Eίναι (), γιακάθε ρ, άρα η είναι γνησίως αύξουσα άρα και - στο ρ και συνεπώς αντιστρέφεται. Για την εύρεση της αντίστροφης έχουμε : () y y y y y y y y y y y ln y y y ln y y y y y y y y y Άρα () ln,,. B. Aρκεί να δείξουμε ότι Eίναι () () () και () () και () ln ln Άρα () () Eίναι 4 4 () και

9 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 9 οπότε () ln Άρα () () () Β3. Είναι () () ()... Eπομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι () d () d () d ()d ()d d d d d ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ln ln ln ln ln τ.μ. Β4. H h = ο ορίζεται για κάθε ρ τέτοια ώστε D ρ ρ () D () ρ Για κάθε, ρ με αφού η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε : h h Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα στο ρ οπότε ισχύουν : h( ) h( ) h() h( ) h( ) h() h( ) h() h() h( ) h() h() h( ) h() h() ( ) 5h( ) h( ) h( ) h() h() h() 5h() Αλλά h() () οπότε h( ) h( ) h() h() h( ) h() 5 h( ) h( ) h() h() h( ) h() 5 H h είναι συνεχής στο ΙR ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης με τον εαυτό της οπότε από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε h h h h h. 5 Επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση άρα και -, το, είναι μοναδικό.

11 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 3o. Θ Ε Μ Α Δ Α. Κ Α Λ Α Μ Π Ο Κ Α - Μ. Κ Α Λ Α Μ Π Ο Κ Α Σ Δίνεται η συνάρτηση με τύπο, όπου και ν. ν Β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β. Να δείξετε ότι ο άξονας είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Β3. Aν α, β και α β να δείξετε ότι: ν Β4. Αν ν : Λ ύ σ η D α ν α. β νβ i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση έχει 3 σημεία καμπής τα οποία είναι συνευθειακά. ii. Nα υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη Β. Εχουμε: γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις και. ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν Μ ο ν ά δ ε ς ( ) = 5

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν Από πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι: στα διαστήματα, ν και ν, η είναι γνησίως φθίνουσα. στο διάστημα, ν ν η είναι γνησίως αύξουσα. στη θέση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή ν ν ν ν. ν ν ν ν ν ν Στη θέση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο με τιμή ν

13 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 3 ν ν ν. ν ν ν ν ν ν lim lim lim lim ν ν ν Β. lim lim lim lim ν ν ν Άρα η ευθεία y, συνεπώς ο άξονας είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της. Β3. Για α β η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα άρα ν γν. φθιν. α β α α ν α β α β α ν β ν β β ν Β4. i. Για ν έχουμε, οπότε και ,

14 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Πρόσημο ή ή ή : Πίνακας μεταβολών: Είναι οπότε A 3, οπότε B, οπότε Γ 3, λ ΑΟ και

15 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 5 άρα λ ΟΓ λ ΑΟ λ οπότε τα 3 σημεία καμπής Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ΟΓ Β4. ii. EΩ d d d d d d ln ln ln ln ln ln ln ln ln τ.μ.

16 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 4o. Θ Ε Μ Α Γ Γ. Δ Η Μ Η Τ Ρ Ι Α Δ Η Σ - Α. Κ Α Λ Α Μ Π Ο Κ Α Γ. Να λύσετε την εξίσωση 4ln Γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης Γ3. Να λύσετε την εξίσωση () ln 4 4 () () Λ ύ σ η Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της, () και την κατακόρυφη ευθεία =. Γ. Για > η εξίσωση Θεωρούμε τη συνάρτηση 4ln γράφεται 4ln g() 4ln, Μ ο ν ά δ ε ς ( ) = 5 Η εξίσωση g() έχει μία τουλάχιστον ρίζα την = (προφανή) Η g είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο Είναι 4 4 g () ( ) ( )

17 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 7 επειδή η g είναι συνεχής στο (, ) g () για κάθε (,) (, ) και η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) άρα και - Οπότε η = είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης g() Γ. Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με παράγωγο Είναι: ln () ln ln 4 ln g() 3 3 Γ. () g() Για Για g[ g() g() g() () g[ g() g() g() () Το πρόσημο της () πίνακα και η μονοτονία της () φαίνεται στον παρακάτω Είναι ln lim () lim ln lim lim ( 4 ln ) 4 4 Γιατί:

18 8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 4 lim lim 4 lim 4 και 4 κοντά στο αφού lim 4 ln lim 4( ln ) αφού Επίσης διότι ln lim ( ln ) lim lim lim ( ) DL'H ln lim () lim ln lim ln lim ln lim lim άρα DLH ln lim 4 4 lim lim 4 Αν A (,] τότε επειδή η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα θα είναι Αν A (, ) (A ) (), lim (), τότε επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα θα είναι Άρα το σύνολο τιμών της είναι (A ) lim (), lim (),

19 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 9 Γ3. Η εξίσωση (A) (A ) (A ), () () έχει προφανή ρίζα την = αφού () () Από τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της προκύπτει ότι για κάθε (,) (, ) είναι () () 4 4 () 4 () () () 9 9 () 9 3 () Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () παίρνουμε άρα Συνεπώς η εξίσωση () () () () για κάθε (,) (, ) () () έχει μοναδική ρίζα την =. Γ4. Η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της A, () είναι Είναι Άρα ε : y () ()( ) () και () ε : y y Επειδή το συνόλο τιμών της είναι το (A), είναι

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι () για κάθε (, ) E () d ln d 4 4 d d ln d d () ln d [] ( ) ln ln d ( ) 3 () ln d [ ln ] d [] ( ) τ.μ

21 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 5o. Θ Ε Μ Α Γ Λ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ-Ρ. ΘΩΜΟΠΟΥΛΟΥ-Α. ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΔΗΣ Έστω συνάρτηση :, όπου ισχύει Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε με και. ln,. Γ. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα της. Γ3. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της, καθώς και το πλήθος των λύσεων της εξί- σωσης Γ4. Να αποδείξετε ότι. 3 d. Γ5. Να υπολογιστεί το εμβαδό που περικλείεται ανάμεσα στην γραφική παρά- σταση της, την κατακόρυφη ευθεία και την ευθεία y. Μ ο ν ά δ ε ς ( ) = 5 Λ ύ σ η Γ. Είναι : c c c c. Οπότε έχουμε :

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Άρα είναι ln ln c c c. ln ln,. Γ. Η ln έχει πεδίο ορισμού το A, και είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) με παράγωγο Έτσι έχουμε : ln ln. ln ln ln ln. Επιπλέον είναι : ln ln ln ln και ln ln ln ln, οπότε κάνουμε τον πίνακα μονοτονίας ακροτάτων της : Συνεπώς : Η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα A,. Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα και η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο Ακόμη είναι A,., το.

23 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 3 για κάθε >, συνεπώς η είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της. Γ3. Έχουμε όπου Άρα : Οπότε -, lim lim ln, ln lim ln lim lim lim και DLH lim lim ln. συνεχής A,, lim, γν.φθ., συνεχής A,, lim, γν.αύξ.. το σύνολο τιμών της. A A A, Για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 3 3 Το A άρα η εξίσωση 3, έχουμε : έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο A, η οποία είναι μοναδική αφού η είναι γνησίως φθίνουσα, άρα και, στο A. 3 Το A

24 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ άρα η εξίσωση 3 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο A, η οποία είναι μοναδική αφού η είναι γνησίως αύξουσα, άρα και, στο A. Συνεπώς η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες, 3 μία στο A, και μία στο A,. Γ4. Γνωρίζουμε από εφαρμογή του σχολικού ότι ln για κάθε > με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Ακόμη είναι Έτσι έχουμε : ln ln. ln ln ln, γν.αύξ. ισότητα μόνο για ln ln ln d ln d d ln d d. Γ5. Η ln έχει πεδίο ορισμού το A, αυτό ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Είναι Αναζητούμε το πρόσημο της Επιπλέον είναι : y ln y : και είναι συνεχής σε ln. y ln ln.

25 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 5 ln ln ln και ln ln ln, οπότε κάνουμε τον πίνακα προσήμων Επομένως έχουμε : E y d y d ln d ln d 4 ln d τ.μ

26 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 6o. Θ Ε Μ Α Γ Α. ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΔΗΣ-Λ. ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ-Ρ. ΘΩΜΟΠΟΥΛΟΥ Δίνεται η συνάρτηση Γ. Να αποδείξετε ότι μονοτο νία και τα ακρότατα. Γ. Να λυθεί η εξίσωση () 3 (t)dt. () και να μελετηθεί η ως προς τη ( 8) Γ3. Να βρεθούν οι εφαπτομένες ε, ετης A,. C που διέρχονται από το σημείο Γ4. Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται από τις C,ε, ε. Γ5. Αν g() (), να βρεθεί ο θετικός αριθμός α, ώστε η ευθεία y α να χωρίζει το χωρίο που περικλείεται από την χωρία. C και την ευθεία y 4σε δύο ισεμβαδικά Μ ο ν ά δ ε ς ( ) = 5 Λ ύ σ η Γ. Είναι: Έστω Επομένως Η γίνεται : () 3 (t)dt 3 (t)dt ()d k () 3k, 3 3k 3k 3k d k k k 3 3

27 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 7 Επομένως k k 3 3 (), Είναι () και () Εύκολα προκύπτει ο παρακάτω πίνακας Η είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο,. Παρουσιάζει ελάχιστο στο και θα ισχύει () ( ) () για κάθε. Ενώ η ισότητα () θα ισχύει μόνο για. Γ. Είναι (από τη σχέση του ολικού ελαχίστου). Γ3. Η εξίσωση της εφαπτομένης της M, ( ) έχει C σε τυχαίο σημείο της εξίσωση y ( ) ( )( )

28 8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Για να διέρχεται από το σημείο A(, ) θα πρέπει να ισχύει : ( ) ( )( ) ( ) ή Επομένως οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι ε : y () () y ε : y ( ) ( )( ) y 4 Γ4. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της C καθώς και οι εφαπτομένες της ε και ε. Οι ευθείες ε και ε τέμνονται στο σημείο M(, ) επομένως το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι Γ5. Είναι E () ( 4) d () d d d τ.μ g() () Χαράζουμε τη γραφική παράσταση της g() και παίρνουμε το παρακάτω σχήμα:

29 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 9 Η Η C g τέμνεται με την y 4 στα σημεία C g τέμνει την Θεωρούμε y και Λ,4 K,4 α στα σημεία Z( α,α ) και Ν α,α E το εμβαδόν της E το εμβαδόν της C g με την y 4 και C g με την y α. Αφού θέλουμε η y α να χωρίζει το χωρίο που ορίζεται από την παραβολή g() και την ευθεία y=4 σε δύο ισεμβαδικά χωρία θα πρέπει E E α 4 d α d α 3 3 α 4 α 3 3 α α 3 α 8 8 α α α α 4 α 4

30 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7o. Θ Ε Μ Α Δ Γ. Δ Η Μ Η Τ Ρ Ι Α Δ Η Σ - Φ. Κ Α Λ Δ Η Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν, για κάθε, ()ln (). 3 9 d d 4 4 () () Δ. Nα αποδείξετε ότι () = και ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο,. Δ. Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το ( ),. Δ3. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ώστε να είναι : lim (α) (β) γ Δ4. Αν η είναι συνεχής να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ, λ με κ λ είναι : β α λ d λ κ ln κ Μ ο ν ά δ ε ς ( ) = 5 Λ ύ σ η Δ. Για κάθε, είναι ln ln ln οπότε έχουμε ()ln () ()ln () ()ln () ()ln () () () ln ln Θεωρούμε τη συνάρτηση

31 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 3 () g(), ln η οποία λόγω της () είναι γνησίως αύξουσα στο Α,. Επομένως Αλλά () () ln g() g() () () ln ln ln () 3 9 d d () 4 4 () 3 () 9 d d 4 4 () 3 9 d 4 4 () () 8 d () ( 4) d () () () 4 4 d d () () Επομένως () ln Άρα για κάθε, είναι d () '()ln () '() ln Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα. Δ. Αφού η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα το σύνολο τιμών της θα είναι

32 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Α) (), lim () Για κάθε, είναι () ln και επειδή lim () Δ3. Για > έχουμε : και αφού ()= είναι (Α), lim (α) (β) lim ln θα είναι lim (α) (β) lim (α) (β) lim (α) (β) lim (α) (β) (α) (β) Αν (α) (β) τότε, άτοπο. lim (α) (β) Αν (α) (β) τότε, άτοπο. lim (α) (β) Άρα πρέπει (α) (β) (α) (β) () Αλλά επειδή (Α), ισχύει () για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Συνεπώς (α) (α) και (β) (β) οπότε από την () προκύπτει

33 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 33 Άρα α = β =. Έχουμε : (α) (α) (β) (β) lim (α) (β) lim lim lim lim lim lim lim lim

34 34 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Άρα γ =. Δ4. Για κάθε, οπότε έχουμε : αφού lim είναι λ κ () και '() λ d λ κ ln κ λ d κ κ ln λ κ λ d κ κ ln () λ λ λ λ λ λ d d d κ κ κ λ λ d d κ κ λ λ d d κ κ λ d κ λ κ λ κ και κ λ κ d d, που ισχύει

35 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου o. Θ Ε Μ Α Δ Γ. Δ Η Μ Η Τ Ρ Ι Α Δ Η Σ - Λ. Ζ Α Χ Α Ρ Ι Α Δ Η Σ Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν :, για κάθε, (). π (), (), () 4 h 3 lim h h h (), για κάθε, Έστω ακόμη οι συναρτήσεις και Δ. Nα αποδείξετε ότι: Δ. Να βρείτε το όριο: Δ3. Να αποδείξετε ότι: g :, με g() ln h :, με h() (). (),. 3 3 εφ () lim. 4 h() g(), για κάθε,. Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφι- Λ ύ σ η κές παραστάσεις των g και h και τις ευθείες = και =. Δ. Για κάθε έχουμε Μ ο ν ά δ ε ς ( ) = 5 h h lim lim h ( h) ( h) () DL'H h ( h)( h) ( h)( h)

36 36 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ h h lim lim h ( h) ( h) h ( h) ( h) h lim h ( h) () ( h) () lim h ( h) () ( h) () h h Η είναι φορές παραγωγίσιμη στο [, ) επομένως για κάθε είναι Οπότε Επομένως ( h) () () lim h h lim lim h h u u ( u) () lim () u u ( h) () uh ( u) () h lim h ( h) ( h) () ( h) () ( h) () lim lim h h h h () () () Άρα για κάθε είναι ( ) () () () 4 3 () () () c ( ) Για έχουμε Άρα () c c c

37 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 37 (), Η είναι συνεχής στο [, ) άρα στο, ως παραγωγίσιμη συνάρτηση οπότε Άρα Δ. Έχουμε () lim () lim (), εφ () εφ εφ () () 3 3 εφ () lim lim 4 4 εφ () εφ εφ () () lim εφ () εφ εφ () () lim Είναι () εφ () lim lim συν lim συν DL H συν ημ lim lim ( )συν ( )συν ημ lim ημ ( ) ( )συν εφ ημ lim lim συν () () lim lim lim DL H Συνεπώς εφ () 3 3 lim ( ) 4

38 38 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Δ3. Θέλουμε να δείξουμε ότι για κάθε [,] είναι h() g() () ln( ) () ln( ) Θεωρούμε την συνάρτηση φ() () ln( ), [,] η οποία είναι φορές παραγωγίσιμη στο [,] ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με φ () () () () () φ () () ( ) ( ) ( ) ( ) Είναι φ () για κάθε (,] και επειδή η φ είναι συνεχής στο [,] η φ () είναι γνησίως αύξουσα στο [,]. Άρα για θα είναι φ () φ () φ () () φ (). Αφού η φ() είναι συνεχής στο [,] θα είναι γνησίως αύξουσα στο [,]. Επομένως για κάθε [,] είναι φ() φ() h() g() ln h() g() Δ4. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι Δ3 E h() g() d h() g() d h()d g()d Έχουμε h()d ()d ()d () ()d () d π ( ) d d 4

39 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων Ιουνίου 7 39 π d 8 π 8 ()d d π () 8 π () () 8 π π π π π g()d ln( )d () ln( )d ln d ln( ) d ( ) ln d ln d ln d ()d ln () ln ( ) () () π π ln ln 4 Άρα π π π π 3 π E ln ln ln τ.μ