ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α4. α) Λάθος. Το θεώρημα ισχύει για διάστημα και όχι για ένωση διαστημάτων που είναι το σύνολο Α. Π.χ.

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ENNIA (9) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 5 β) i) όταν η συνάρτηση είναι - ii) θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 36 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 4 Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 35 Α4. α) Λάθος. Το θεώρημα ισχύει για διάστημα και όχι για ένωση διαστημάτων που είναι το σύνολο Α. Π.χ. x ( x) x Είναι (x) για κάθε x (, ) (, + ) αλλά δεν είναι σταθερή στο,, β) Λάθος. Η πρόταση ισχύει όταν η είναι συνεχή στο x. Π.χ. x x ( x) x 3 x (x )(x+) τότε lim (x) = lim = lim(x + ) = ενώ ()=3 x x x x

2 Α5. ( x) dx ( x) dx ( x) dx ( ) ( ) ( ) Σωστό είναι το γ. ΘΕΜΑ Β Β. Η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την ευθεία y= οπότε θα είναι lim ((x) ) = => lim x + x + (e x + λ) = <=> + λ = άρα λ= Β. (x) = e x + (x) x = <=> e x + x = Θεωρούμε συνάρτηση g(x) = e x x +, x R g συνεχής στο R ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων g() = e + = e > g(3) = e = e 3 < Οπότε g() g(3) < άρα από Θ.Β. υπάρχει τουλάχιστον ένα x (,3) τέτοιο ώστε g(x ) = <=> e x x + = <=> (x ) x = g παραγωγίσημη στο [,3] ως άθροισμα παρ/μων συναρτήσεων με g (x) = (e x x + ) = e x = (e x + ) < για κάθε x R οπότε g γν. φθίνουσα στο R άρα και - οπότε έχει το πολύ μια ρίζα στο R. Τελικά η εξίσωση (x) x = έχει ακριβώς μια ρίζα x (,3) Β3. (x) = e x + παραγωγίσημη στο R με (x) = (e x + ) = e x < για κάθε x R οπότε γν. φθίνουσα στο R άρα και - οπότε αντιστρέφεται (x) = y <=> e x + = y e x = y (y > )

3 lne x = ln(y ) (y > ) x = ln(y ) (y > ) x = ln(y ) (y > ) Όμως (y) = x άρα (y) = ln(y ), y > τελικά (x) = ln(x ) με x > B4. (x) = ln(x ), x > lim x + (x) = lim [ln(x )]. Θέτουμε x-=u lim x + x +(x ) = οπότε έχουμε lim ( ln(u)) = lim lnu = + υ + u + οπότε κατακόρυφη ασύμπτωτη της C είναι x=. 3

4 ΘΕΜΑ Γ Γ. Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R, θα είναι και συνεχής στο R που σημαίνει ότι η είναι παραγωγίσιμη και συνεχής και στο παίρνουμε τις σχέσεις: x. Επομένως, lim x lim x και x x lim lim R. Από την x x x x x x πρώτη σχέση έχουμε, x lim x lim x lim x lim e x x x x x e () Από την δεύτερη σχέση έχουμε, x x x x e x lim lim lim lim x x x x x x x x () x x x e x x x e x lim lim lim lim. () x x x x x x x x x x ( ) x x e e x e lim lim lim e, x D. L. H. x x x άρα η σχέση () γίνεται: x e x x lim x lim lim lim. x x x x x x x από την σχέση (). και Γ. Για η συνάρτηση γίνεται x x x, x e x x, Για x > : (x) = x > για κάθε x> άρα η γνησίως αύξουσα στο [, + ). x x e x e x Για x :, αφού γνησίως αύξουσα στο (, ) Λόγω της συνέχειας της στο R, η είναι γνησίως αύξουσα στο R. Για το σύνολο τιμών έχουμε:, lim x, lim x, αφού,. x x x x e x x x lim lim, αφού lim e x, lim x lim x lim x. x x x x x e., άρα η 4

5 Γ3. i., lim x,lim x,,. x x e Το (, ) άρα e υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, ) άρα x αρνητικός, τέτοιο ώστε x, και είναι μοναδικό αφού γνησίως αύξουσα στο R. Γ3. ii. Έστω ότι υπάρχει μία λύση x x, της εξίσωσης x x x Άρα x x x και επειδή αφού η x, (από Γ3i) τότε x x x x x x x x x x. έχει μοναδική ρίζα το ΑΤΟΠΟ διότι x > x ΓΝ.ΑΥΞΟΥΣΑ (x ) > (x ) <=> (x ) >. Γ4. Για t t ισχύει x(t ) = 3, (x(t ))= και x (t)=μον/s. Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου ΜΟΚ ισούται Ε = β υ E(t) = x(t) (x(t)) = x(t)(x (t) + ) = x3 (t) + x(t), με x(t), t. Άρα, Ε (t) = 3x (t) x (t) + x (t), με x(t), t. Τελικά, 5

6 Ε (t ) = 3x (t ) x (t ) + x (t ) = 3 (3) + = 8τετρ. μον/s. ΘΕΜΑ Δ Δ:Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με x x x ln x x x ln x x x x x x Αφού η ευθεία : και yx είναι εφαπτομένη της. Δηλαδή:. Τελικά ο τύπος της C στο οπότε είναι ο Δ: Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από τον τύπο:, θα ισχύει x x ln x x x, x R ln x x dx x x x dx Για, x ισχύουν: x x και x x x x x x x ισχύει για κάθε x R. Άρα x ln x x ln που ζητούμενο εμβαδόν είναι: για κάθε, x και το x ln x x dx x ln x x dx x x ln x x dx. Θέτουμε u άρα x x u Οπότε: x dx du και για x το u, για x το ln udu u ln udu u ln u du ln ln u ln.. 6

7 Δ3: i) Ά τρόπος: Από Δ xx x x ln οπότε από Δ x x ln x x και x x x x ln x x x x αφού x x, x R. Άρα ως άθροισμα μη αρνητικών όρων και τελικά x ln x x x Η Β τρόπος: x x είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R με, για κάθε x R. x x x x x x x x. x x x 4 x x x x x Ισχύει ότι x x, x R και x x, x R οπότε x x και x x, x x είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το x.. Άρα η,, επομένως. Άρα για κάθε x R ισχύει 7

8 Δ3: ii) Α τρόπος 3 3 ln Η ανίσωση γίνεται: ln, λ R Έστω h(x) = (x) + x, x R η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως άθροισμα συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h (x) = (x) +, x R Ισχύει ότι h (x), x R από Δ3 i) και η h αφού: από Δ3 i) η Άρα η h παρουσιάζει μοναδικό ολικό ελάχιστο στο είναι γνησίως αύξουσα στο R και η μηδενίζεται σε μεμονωμένο σημείο το γίνεται: x το x. h h που ισχύει. Β τρόπος Η συνεχής στο (), και παραγωγίσιμη στο,,. Μέσης Τιμής προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) Άρα από () ( ) άρα από Θεώρημα τέτοιο ώστε που ισχύει αφού για κάθε x R ισχύει x. 8

9 Δ4: Έστω ότι οι γραφικές συναρτήσεις των και g παρουσιάζουν κοινή εφαπτομένη στα σημεία ( x, ( x)), ( x, g( x)) αντίστοιχα. ( x ) g( x ) Πρέπει, όμως από Δ3.) ισχύει ότι και g (x ) = 3x, x R άρα Για να είναι ίσα πρέπει ( x) g ( x), x R ( x ) x και g ( x) x Άρα () () και ( ): yx η εφαπτομένη. g () και g() με( ): yx η εφαπτομένη. Τελικά η ( ): yx είναι η μοναδική κοινή εφαπτομένη. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών ΟιδαΝικώ 9