ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 45 iii) A. Σχολικό βιβλίο σελ. 5 Α. f T και g H Α4. α) Ψ β) ο παράδειγμα σελ. 6 σχολικού βιβλίου Α5. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. lim f() ( + α) = + α lim + f() + + = Η f είναι συνεχής, άρα + α = α = + Β. Για α= είναι f() =, > +, f() f() + lim ( )( + ) = + f() f() lim ( ) =

2 η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο o =, άρα και στο, 4, επομένως δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα, 4. Β. Για < είναι f () = f () = 4 = 4 = 8 f 8 = 8 + = 64 + = Το σημείο είναι A, 65 και η εφαπτομένη στο σημείο αυτό είναι: 8 64 ε : y f 8 =f + 65 y = + y = Για > είναι f ()= =- f () = 4 - = 4 = 4 = ± με >, άρα = f() = Το σημείο είναι Β, και η εφαπτομένη στο σημείο αυτό είναι: ε : y f()=f ()( ) y = 4 ( ) y = 4 + Β4. lim f() = + lim = Άρα η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο + Στο δεν έχει ασύμπτωτες ως πολυωνυμική ου βαθμού Η f είναι συνεχής στο επομένως δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες

3 ΘΕΜΑ Γ Γ: Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με e- e e ( -) f = = > αφού >, e >, > επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα και - δηλαδή αντιστρέψιμη. Το πεδίο ορισμού της f - είναι το σύνολο τιμών της f. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ= (, + ) άρα, lim =, + αφού f f Δ f f e lim f = e lim e = Γ. Η εξίσωση - f α f α ημα = γράφεται - - e e lim lim = DLH.. = και

4 - - f α + - f α ημα- = με ¹ και ¹ και ¹ θεωρούμε τη συνάρτηση - g = ( - ) f( α) + ( -) f ( α) -( -)( -)( ημα- ) στο [, ] η οποία είναι συνεχής στα διαστήματα [, ] και [, ] ως πολυωνυμική (με βαθμό το πολύ ) g( ) =-( ημα - ) > αφού ημα - < g =- fα < αφού f( α) > e λόγω του συνόλου τιμών της f - - g = f ( α) > αφού f ( α) Î Df = (, + ) δηλαδή g( ) g < και g g < οπότε από το θεώρημα Bolzano η εξίσωση g = έχει τουλάχιστον λύσεις. Μία στο (, ) και μία στο (, ) Η συνάρτηση g( ) είναι πολυώνυμο το πολύ ου βαθμού άρα έχει το πολύ ρίζες. Οι λύσεις, επομένως, της g = που είναι ισοδύναμη με την - f( α) f ( α) ημα = για ¹ και ¹ και ¹ είναι ακριβώς. - - Γ. Για κάθε > ισχύει e æe ö e e f + > e+ ln f Û + > e+ ln Û + > e+ ln e -ln Û + -e- + ln > ç çè ø e,+ με Θεωρούμε τη συνάρτηση K = + -e- + ln με ³ η οποία είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο [ ) e - e - e K = - + = - + = = ( - )-( - ) ( e -)( -) e = = > για κάθε > οπότε η K( ) είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) και για κάθε > θα ισχύει e K > K = Û + -e- + ln > 4

5 ΘΕΜΑ Δ Δ. f = συν - π f = Ûσυν - = Û συν = Û = Η f είναι συνεχής στο [, π] με μοναδική ρίζα την π =. Δηλαδή ισχύει f ¹ και συνεχής στα διαστήματα διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα αυτά. é πö, ê ë ø æπ και, ù çè úû επομένως Για να βρω το πρόσημο της f στο επομένως f > στο [, π) é πö, ê ë ø æπ Για να βρω το πρόσημο της f στο π, ù υπολογίζω το çè úû æπ f ( π) = συνπ - =- - < επομένως f > στο π, ù çè úû και η μονοτονία της f δίνεται από τον παρακάτω πίνακα f π + - f( ) υπολογίζω το f ( ) = συν - = > π Η f έχει ολικό μέγιστο για π = την τιμή 5 æπö π fç = = - çè ø Η f έχει τοπικό ελάχιστο για = και = π τις τιμές f( ) = και f( π) =- π αντίστοιχα. Προφανώς για π = η f έχει ολικό ελάχιστο Δ. Ισχύει f =- ημ < στο (, π) δηλαδή η f( ) είναι κοίλη στο [, π] οπότε η C f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της σε οποιοδήποτε σημείο A(, f( ) ) με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή η C f και η εφαπτομένη της στο A(, f( ) ) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το A(, f( ))

6 Δ. π π π ò ò ò f συνd = ημσυν - συν d = ημ - συν d = æ π π ö ò ημd ç ò π π π π = - =- - = - + ò ημd ò συνd [ συν] ( ημ) d [ συνπ συν] [ ημ ] ç æ π =- [ ημπ π - ημ ] ημd ö π π ç - = ημd = [ - συν ] συνπ συν =- + = + = è ò ø ò - - = è ø Δ4. α) β) f ημ - ημ lim - = - = ( ) lim é f - f ln ù é ημ - - ημ + lnù éημ - ημ συν + lnù= ëê ûú ë û ë û é( ημ- ημ συν + ) ù æ ημ ημ ö ln - συν + ln = ê ú ç è ø ë û = - + = διότι - + ln ( ln ) lim ln lim lim lim lim + = = = - = - = DLH.. æö - ç çè ø 6