INFORMATION MANAGEMENT

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "INFORMATION MANAGEMENT"

Transcript

1 INFORMATION MANAGEMENT Εισηγητής ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ιδάκτορας Πανεπιστηµίου Πειραιώς ΑΘΗΝΑ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ανάγκησυλλογής, περιγραφής, ανάλυσηςκαι ερµηνείαςτωνπληροφοριών. Η Στατιστική παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία για τη συλλογή, επεξεργασία και ανάλυση των δεδοµένων. Αρχή επιστηµονικής έρευνας: Συλλογή δεδοµένων γιατα "άτοµα" πληθυσµούπουµελετούµε. Οσκοπόςτηςέρευναςκαθορίζεικαιτηφύσητων δεδοµένων. Υπάρχουν περιορισµοί χρόνου ή κόστους).

2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΟΛΟΓΙΑ είγµα (sample): Είναι τα δεδοµένα µε τη µορφή µετρήσεων. Πληθυσµός (population): Το σύνολο απ όπου προέρχεται το δείγµα (αδύνατο ή ασύµφορο να µελετηθεί το σύνολο του πληθυσµού). Μονάδες (units) ή άτοµα (individuals) ή υποκείµενα (subjects) ή αντικείµενα (objects): Αποτελούν τις µονάδες του δείγµατος. Μεταβλητές (variables) ή χαρακτηριστικά (attributes): Οι παρατηρήσεις που έχουν καταγραφεί για κάθε µονάδα. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Απλοποίηση των δεδοµένων: Μείωση δεδοµένων χωρίς απώλεια σηµαντικής πληροφορίας. Οµαδοποίηση και ταξινόµηση των δεδοµένων: Οµάδες όµοιων ατόµων ή µεταβλητών. Είναι απαραίτητο να δηµιουργηθούν κανόνες ταξινόµησης Μελέτη της εξάρτησης ανάµεσα στις µεταβλητές: Ποιες είναι οι σχέσεις ανάµεσα στις µεταβλητές Πρόβλεψη: Πρόβλεψη τιµών κάποιας µεταβλητής από τις άλλες. ιατύπωση και έλεγχος υποθέσεων: Ερωτήµατα µε µορφή στατιστικώνυποθέσεων έλεγχος αποτελέσµατα. 2

3 ΟΡΓΑΝΩΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Οργάνωση σε µορφή πίνακα (array or matrix) Στον πίνακα οι γραµµές (rows) αποτελούν τις µονάδες παρατηρήσεις (observations) Στον πίνακα οι στήλες (columns) αποτελούν τιςµεταβλητές (variables) ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ARC MERC ABS DENIK

4 Η ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Στις περισσότερες έρευνες καταγράφεται για κάθε µεταβλητή ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων. Το µεγάλο µέγεθος δείγµατος έχει σαν αποτέλεσµα ο πίνακας δεδοµένων να αυξάνεται. Ετσι είναι αδύνατο να εξαχθούν συµπεράσµατα από απλή παρατήρηση του πίνακα. Μέθοδοι ανίχνευσης σχεδίων στους αριθµούς του πίνακα. Η φύση των δεδοµένων είναι σηµαντική για τον καθορισµό διαδικασιών. ΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Ποσοτικές (quantitative) µεταβλητές: Είναι αυτές που µπορούν να µετρηθούν αριθµητικά (όπως είναι ο χρόνος, το βάρος, το κόστος κλπ). α. ιακριτές (discrete) β. Συνεχείς (continuous) Ποιοτικές ή κατηγορικές (qualitative - categorical): Είναι αυτές οι µεταβλητές που χωρίζουν τις µονάδες του δείγµατος σε κατηγορίες σύµφωνα µε συγκεκριµένα ποιοτικά χαρακτηριστικά (όπως είναι τοχρώµα, ηµάρκα, κλπ). α. Ονοµαστικές (nominal) β. ιαταγµένες (ordinal) υαδικές (binary) είναι οι µεταβλητές που παίρνουν τιµές 0 και. 4

5 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Αποτελούν συνοπτική και περιεκτική παρουσίαση των δεδοµένων και των αποτελεσµάτων της Στατιστικής επεξεργασίας. Η γραφική παρουσίαση των δεδοµένων αποτελεί µέρος της περιγραφικής Στατιστικής. Οι γραφικές µέθοδοι υπάρχουν σε όλα τα προγράµµατα ανάλυσης δεδοµένων. Υπάρχει δυνατότητα διερεύνησης της δοµής των δεδοµένων Τα προηγµένα συστήµατα (µηχανογραφικά, στατιστικά) διαθέτουν ακόµα και κίνηση. εδοµένα µιας µόνο µεταβλητής: απλοί γραφικοί τρόποι παράστασης Ποιοτική µεταβλητή: ραβδόγραµµα (bar chart) κυκλικό διάγραµµα (pie chart) Ποσοτική µεταβλητή: ιστόγραµµα (histogram) θηκόγραµµα (box-plot) Για δύο ποσοτικές µεταβλητές: διάγραµµα διασποράς (scatter plot) Functions Number of cases 5

6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αποβλέπει στη σύµπτυξη των συλλεγέντων στοιχείων, µε κατάλληλες στατιστικές µεθόδους, ώστε να καταστεί δυνατή η εµφάνιση της χαρακτηριστικής ιδιότητας µε ένα και µόνο αριθµό. Ο αριθµός αυτός που συνοψίζει τα χαρακτηριστικά µιας σειράς µετρήσεων, ονοµάζεται παράµετρος. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ. Κεντρικής τάσης 2. Θέσης 3. ιασποράς 4. Ασυµµετρίας ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ. Μέσος αριθµητικός 2. Μέσος γεωµετρικός 3. Μέσος αρµονικός Οι παράµετροι αυτοί ονοµάζονται και µέσοι όροι και εκφράζουν τη κεντρική τάση των στοιχείων. ιακρίνονται σε απλούς ή αστάθµητους και σε σταθµικούς. Απλοί είναι αυτοί όταν υπολογίζονται για µια σειρά µετρήσεων σε κάθεµίααπότηνοποίααποδίδεταιηίδιασηµασία (στάθµιση). Σταθµικοί είναι αυτοί όταν σε µία τουλάχιστον τιµή αποδίδεται διαφορετικήσηµασίααπότιςυπόλοιπες (στάθµισηήweight). Ο σταθµικός µέσος ονοµάζεται και βαρυκεντρικός. 6

7 ΑΠΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Ενόςσυνόλου n παρατηρήσεωνείναιοµέσοςτουδείγµατος, µε τις εξής ιδιότητες: Α. Επηρεάζεται από ακραίες τιµές Β. Αποτελεί εκτίµηση του µέσου µ του πληθυσµού Τύποςυπολογισµού: x i n n X i Σταθµισµένος αριθµητικός µέσος Weighted Mean: ενός συνόλου n παρατηρήσεων είναι ο αριθµητικός µέσος που προκύπτει σταθµίζοντας κάθε παρατήρηση µε συγκεκριµένη βαρύτητα w Ανόλεςοισταθµίσειςείναιίδιεςτότεπροκύπτειο αριθµητικός µέσος Τύπος υπολογισµού: x n i n w i i w X i i 7

8 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΣΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ. Το άθροισµα των διαφορών των τιµών της µεταβλητής από τον µέσο αριθµητικό είναι πάντοτε µηδέν. 2. Αν προσθέσουµε στις τιµές της µεταβλητής Χ µία σταθερή ποσότητα, τότε ο µέσος αριθµητικός των αρχικών τιµών αυξάνεται κατά την σταθερή αυτή ποσότητα. 3. Αν αφαιρέσουµε από τις τιµές της µεταβλητής Χ µία σταθερή ποσότητα, τότε ο µέσος αριθµητικός των αρχικών τιµών µειώνεται κατά την σταθερή αυτή ποσότητα. 4. Αν πολλαπλασιάσουµε τις τιµές της µεταβλητής Χ µε µία σταθερή ποσότητα, τότε ο µέσος αριθµητικός πολλαπλασιάζεται κατά την σταθερή αυτή ποσότητα. 5. ΑνηµεταβλητήΧείναιµίασταθερήποσότητα, τότεοµέσος αριθµητικός ισούται µε τη σταθερή αυτή ποσότητα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ GEOMETRIC MEAN: ενός συνόλου n παρατηρήσεων είναι η νιοστή ρίζα του γινοµένου των παρατηρήσεων εν χρησιµοποιείται όταν υπάρχουν µηδενικές τιµές παρατηρήσεων Μέτρο ανθεκτικό στις ακραίες τιµές Τύπος υπολογισµού: x Geometric n X X 2... X n n n i X i 8

9 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ (συνέχεια) Με τις παραµέτρους θέσης προσδιορίζονται οι τιµές της µεταβλητής άνω ή κάτω από τις οποίες βρίσκεται ορισµένο πλήθος συχνοτήτων και το σηµείο της µεταβλητής στο οποίο αναφέρεται το µέγιστο πλήθος συχνοτήτων. Οι παράµετροι θέσης είναι: Η ιάµεσος Τα Τεταρτηµόρια Τα εκατηµόρια Τα Εκατοστηµόρια Γενικά τα Ποσοστηµόρια ΟΤύπος ΙΑΜΕΣΟΣ Καλείται η τιµή της µεταβλητής κάτω της οποίας βρίσκεται το ήµισυ των συχνοτήτωνταξινοµηµένωνκατ αύξουσατάξηµεγέθους. Αλλοιώς, διάµεσοςείναιηµέγιστητιµήτηςµεταβλητήςτωνµικρότερωνν/2 περιπτώσεωνήηελάχιστητιµήτωνν/2 µεγαλύτερωνπεριπτώσεων. Συµβολίζεται µε Μ, προσδιορίζεται από τις παρακάτω σχέσεις: Α. ιάµεσος ολιγοπληθών αταξινόµητων δεδοµένων ιάµεσος είναι ο όρος N + 2 Εάν το πλήθος των περιπτώσεων είναι περιττό (Ν2λ+), τότε διάµεσος είναι ο όρος λ+ (κεντρικός όρος). Εάν το πλήθος των περιπτώσεων είναι άρτιο (Ν2λ), διάµεσος είναι οποιαδήποτε τιµή µεταξύ λ και λ+ όρου. Συνηθίζεται όµως σαν διάµεσος να επιλέγεται ο µέσος αριθµητικός των όρων λ και λ+ (το ηµιάθροισµα των δύο κεντρικών όρων). 9

10 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΙΑΜΕΣΟΥ. Η διάµεσος βρίσκεται µεταξύ µέγιστης και ελάχιστης τιµής. 2. εν επιδέχεται αλγεβρικού χειρισµού. 3. εν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές της µεταβλητής. Για τον λόγο αυτό εάν στην κατανοµή υπάρχουν ακραίες τιµές, η διάµεσος πρέπει να προτιµάται από τον µέσο αριθµητικό. 4. Μπορείναπροσδιοριστείκαιγιαανοικτέςκατανοµέςσυχνοτήτων, αρκεί το διάστηµα τάξης στο οποίο εντοπίζεται να είναι ανοικτό. 5. Μπορεί να προσδιοριστεί γραφικώς µε την κατασκευή των αψίδων. ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ Συναφείς µε την διάµεσο παράµετροι θέσης είναι τα τεταρτηµόρια (quartiles), δεκατηµόρια (deciles), εκατοστηµόρια κλπ. Τα τεταρτηµόρια υποδιαιρούν την σειρά των µετρήσεων σε τέσσερα ίσα τµήµατα (συνεπώς είναι 3), ταδεκατηµόριασε 0 ίσατµήµατα, ταεκατοστηµόριασε 00 ίσα τµήµατα, κλπ. Πρώτοτεταρτηµόριο Q καλείταιητιµήτηςµεταβλητήςκάτωτηςοποίας βρίσκεται το /4 των περιπτώσεων ταξινοµηµένων κατ αύξουσα σειρά. Σύµφωναµεάλληέκφραση Q είναιηµέγιστητιµήτηςµεταβλητήςτων /4 περιπτώσεων, ή η ελάχιστη τιµή των 3/4 των µεγαλύτερων περιπτώσεων. Τρίτοτεταρτηµόριο Q 3 καλείταιητιµήτηςµεταβλητήςκάτωτηςοποίας βρίσκονται τα 3/4 των περιπτώσεων, ταξινοµηµένα κατ αύξουσα σειρά. Τρίτο δεκατηµόριο καλείται η τιµή της µεταβλητής κάτω της οποίας βρίσκονται τα 3/0 των περιπτώσεων ταξινοµηµένων κατ αύξουσα σειρά. 0

11 Ποσοστιαία σηµεία quantiles: ενός συνόλου διατεταγµένων παρατηρήσεων είναι αριθµοί οι οποίοι χωρίζουντοδείγµασεοµάδεςµεόσοτοδυνατόνίσο αριθµό παρατηρήσεων Υπάρχουν εκατοστηµόρια, δεκατηµόρια κτλ Τεταρτηµόρια: Q πρώτοτεταρτηµόριο Q 2 δεύτεροτεταρτηµόριο Q 3 τρίτοτεταρτηµόριο Χωρίζουν την κατανοµή σε τέσσερα ίσα µέρη Το Q 2 είναιηδιάµεσος ΤΥΠΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΟΣΟΣΤΗΜΟΡΙΩΝ. Ποσοστηµόρια αταξινόµητων ολιγοπληθών δεδοµένων Q Q D 3 K N + 4 3( N + ) 4 K ( N + ) 0 C K K ( N + ) 0 0 Τα κλάσµατα υποδηλούν τον όρο του αντίστοιχου ποσοστηµορίου και όχι το ποσοστηµόριο.

12 ΣΗΜΕΙΟ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Η ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ Η ΤΥΠΟΣ Σηµείο µέγιστης συχνότητας ή επικρατούσα τιµή ή Τύπος καλείται η τιµή της µεταβλητής στην οποία αντιστοιχούν οι περισσότερες συχνότητες. ΟΤύποςσυµβολίζεταιµεΤ 0 καισεκατανοµέςσυχνοτήτωνταξινοµηµένων δεδοµένων προκύπτει από την σχέση: T 0 X i + δ + 2 Οπου xi είναι το έλασσον όριο του διαστήµατος τάξης στο οποίο εντοπίζεταιοτ 0, δείναιτοπλάτοςτουδιαστήµατοςτάξηςστοοποίοεντοπίζεταιοτ 0, είναιηδιαφοράτηςµέγιστηςσυχνότηταςαπότηνπροηγούµενη (σε απόλυτητιµή) 2 είναιηδιαφοράτηςµέγιστηςσυχνότηταςαπότην επόµενη (σε απόλυτη τιµή). Εάν η κατανοµή των ταξινοµηµένων δεδοµένων είναι ασυνεχής, τότε πρέπει να µετατραπεί σε συνεχή. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ. Ο Τύπος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές της µεταβλητής και έτσι σε έντονα ασυµµετρικές κατανοµές προτιµάται από τον µέσο αριθµητικό ακόµα και από την διάµεσο. 2. Ο Τύπος δεν είναι δεκτικός αλγεβρικού χειρισµού. 3. Σε κατανοµές διπλοκόρυφες ή πολυκόρυφες, ο Τύπος χάνει την αξία του. 4. Σε κατανοµές συχνοτήτων άνισου πλάτους διαστηµάτων τάξης ο προσδιορισµός του Τύπου απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή γιατί είναι ενδεχόµενο να προκύψει παραπλανητικό αποτέλεσµα. 5. Ο Τύπος υπολογίζεται και σε ανοικτές κατανοµές συχνοτήτων αρκεί να είναι προσδιορίσηµα τα στοιχεία του τύπου του. 6. Ο Τύπος µπορεί να κατασκευαστεί και γραφικά µε την κατασκευή ιστογράµµου. 7. Η ακριβής τιµή του Τύπου προσδιορίζεται µε τις Ροπές. 2

13 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΙΑΜΕΣΟΥ ΚΑΙ ΤΥΠΟΥ Ο µέσος αριθµητικός, η ιάµεσος και ο Τύπος αποτελούν παραµέτρους κεντρικής τάσης και θέσης µιάς σειράς µετρήσεων που αποσκοπούν στο ναπαρουσιάσουνµεέναµόνοαριθµότοπλήθοςτωντιµώνµιάς µεταβλητής. Στην περίπτωση συµµετρικών κατανοµών (όπου οι τιµές που ισαπέχουν από τον µέσο έχουν την ίδια συχνότητα), οι τρείς αυτοί παράµετροι συµπίπτουν. Σε ασυµµετρικές κατανοµές οι παράµετροι αυτοί διαφέρουν, µε την διάµεσο να βρίσκεται πάντα µεταξύ των δύο άλλων παραµέτρων. Σε θετική ασυµµετρία η σειρά είναι: Τύπος, ιάµεσος, Μέσος αριθµητικός. Σε αρνητική ασυµµετρία η σειρά είναι: Μέσος αριθµητικός, ιάµεσος, Τύπος. Από τις τρείς αυτές παραµέτρους ο µέσος αριθµητικός χρησιµοποιείται σαν αντιπροσωπευτικός όλης της σειράς των µετρήσεων µόνο στις περιπτώσεις που αυτές κατανέµονται περίπου συµµετρικά. Αντίθετα σε περιπτώσεις έντονων ασυµµετρικών κατανοµών, ο µέσος αριθµητικός αποτελεί παράµετρο µη αντιπροσωπευτική της όλης σειράς των µετρήσεων, επειδή επηρεάζεται σηµαντικά από τις ακραίες τιµές της µεταβλητής. ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Οι παράµετροι κεντρικής τάσης δεν επαρκούν από µόνες τους να προσδιορίσουν τα γενικά χαρακτηριστικά και την µορφή µιας κατανοµής συχνοτήτων. Για τον πλήρη προσδιορισµό της απαιτούνται τέσσερα (4) είδη παραµέτρων: Κεντρική τάση, ιασπορά, Ασυµµετρία και Κύρτωση. Υπάρχουν πολλοί τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να µετρήσουµε την διασπορά ή διαφοροποίηση ή µεταβλητικότητα ή ανοµοιογένεια. ΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Καλείταιηδιαφοράµεταξύµεγίστηςκαιελαχίστηςτιµήςτηςµεταβλητής. Συµβολίζεται µε R και είναι: R max(x) min(x) Το εύρος µεταβολής παρουσιάζει το πλεονέκτηµα ότι προσδιορίζεται εύκολα και γίνεται εύκολα αντιληπτό. Μειονεκτεί όµως στο ότι δεν λαµβάνει όλες τις τιµές της µεταβλητής, αλλά µόνο την µεγαλύτερη και την µικρότερη. Έτσι, εάν συµβαίνει ότι µία τιµή της µεταβλητής είναι υπέρµετρα µεγάλη ή µικρή, να δίνει µια παραπλανητική εικόνα για την διασπορά της κατανοµής. Επίσης το εύρος δεν µπορεί να υπολογιστεί σε ανοικτές κατανοµές. 3

14 ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ιακύµανση καλείται ο µέσος αριθµητικός του τετραγώνου αποκλίσεων των τιµών της µεταβλητής από τον µέσο αριθµητικό τους. Συµβολίζεται µε σ 2 ή V(x). Μέση απόκλιση τετραγώνου ή τυπική απόκλιση καλείται η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης και συµβολίζεται µε σ. Α. Περίπτωση απλών δεδοµένων σ 2 ( µ ) Σ X N 2 Η µε τον παραλλαγµένο τύπο: σ 2 ΣΧ 2 ( ΣΧ) N N 2 ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Η τυπική απόκλιση (standard deviation) υπολογίζεται σαν η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης. Αποτελεί το καλύτερο στατιστικό µέγεθος για τον υπολογισµό της διασποράς των τιµών γύρω από τον µέσο αριθµητικό. Έτσι µικρή τιµή της τυπικής απόκλισης µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οι τιµές του µετρούµενου µεγέθους είναι συγκεντρωµένες στον µέσο αριθµητικό τους. Αντίθετα, µεγάλη τιµή της τυπικής απόκλισης µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οι τιµές του µετρούµενου µεγέθους παρουσιάζουν µεγάλη απόκλιση µεταξύ τους και δεν είναι συγκεντρωµένες στον µέσο αριθµητικό τους. 4

15 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ (VARIATION COEFFICIENT) είναι ο συντελεστής εκείνος ο οποίος µετρά το βαθµό απλώµατος των παρατηρήσεων σε σχέση µε το µέσο Συντελεστής µεταβλητότητας για τον πληθυσµό είναι ο σ CV µ Συντελεστής µεταβλητότητας για το δείγµα είναι ο s CV x Μερικές φορές πολλαπλασιάζεται µε το 00 και συνεπώς εκφράζει ποσοστό Σύγκριση περιπτώσεων όπου οι µονάδες είναι διαφορετικές ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕΤΟΝΜΕΣΟΚΑΙΤΗΝ ΙΑΜΕΣΟ Οπλέοναπλόςτρόποςγιατηµέτρησητης ασυµµετρίας, γίνεται µε τη χρήση του µέσου αριθµητικού και της διαµέσου. Εάνηδιαφοράτους (µ-μ) > 0, τότεέχουµεθετική ασυµµετρία. Εάνηδιαφοράτους (µ-μ) 0, τότεέχουµεµηδενική ασυµµετρία, δηλαδή συµµετρία. Εάνηδιαφοράτους (µ-μ) < 0, τότεέχουµεαρνητική ασυµµετρία. 5

16 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ίσως το σπουδαιότερο µέρος της Στατιστικής επιστήµης. Εξαγωγή συµπερασµάτων για τις τιµές των παραµέτρων του πληθυσµού από το τυχαίο δείγµα που έχουµε λάβει από τον πληθυσµό. Στατιστική µεθοδολογία µε την οποία απορρίπτουµε ή δεν απορρίπτουµε µια στατιστική υπόθεση. ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ένα από τα πιο βασικά θέµατα της Επαγωγικής Στατιστικήςείναιοέλεγχοςτωνστατιστικώνυποθέσεων. Στατιστική υπόθεση είναι µία πρόταση που αναφέρεται: Α. Στη δυνατότητα µιας παραµέτρου να λάβει µία συγκεκριµένη τιµή ή διάστηµα τιµών Β. Στη µορφή της κατανοµής µιάς τυχαίας µεταβλητής Ο έλεγχος των υποθέσεων αυτών, µε τη χρησιµοποίηση τυχαίων δειγµάτων, µας οδηγεί στην απόφαση αν η υπόθεση που έχει τεθεί είναι αληθινή ή όχι. Εποµένως ο έλεγχος των υποθέσεων είναι στην πράξη ένα πρόβληµα λήψης απόφασης. Αν ο έλεγχος που πραγµατοποιούµεοδηγείστηνικανοποίησητηςυπόθεσης, τότε η υπόθεση γίνεται δεκτή, αλλιώς η υπόθεση απορρίπτεται. 6

17 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (συνέχεια) Ορίζουµε ως στατιστική υπόθεση την υπόθεση που ισχυριζόµαστε για την κατανοµή πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής. Ορίζουµε ως τυχαία µεταβλητή την µεταβλητή που αναφέρεται σε κάποιο χαρακτηριστικό του υπό εξέταση πληθυσµού. Στον έλεγχο υποθέσεων συγκρίνουµε την διαφορά της δειγµατικής τιµής µιας στατιστικής παραµέτρου µε την αρχική τιµή που εµείς θέτουµε ή που είναι γνωστή από άλλες έρευνες. ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (συνέχεια) Όταν κάνουµε έλεγχο υποθέσεων για την διαφορά µιας παραµέτρου στο δείγµα και της τιµής που εµείς έχουµε υποθέσει και η διαφορά είναι στατιστικά σηµαντική τότε εννοούµε ότι η διαφορά αυτή πραγµατική και δεν ερµηνεύεται από τις τυχαίες διακυµάνσεις της δειγµατοληψίας που κάνουµε. Αν η παραπάνω διαφορά είναι στατιστικά ασήµαντη τότε εννοούµε ότι είναι φαινοµενική και συνεπώς µπορεί να εξηγηθεί από τις τυχαίες διακυµάνσεις της δειγµατοληψίας που κάνουµε. 7

18 ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Οι στατιστικές υποθέσεις διατυπώνονται πάντα ανά ζεύγη και διαµερίζουν το σύνολο του παραµετρικού χώρου Θ σε δυο ξένα υποσύνολα Θ καιθ 2 έτσιώστεναισχύειθθ +Θ 2 και Θ. I Θ 2 Ηπρώτηαπότιςδυουποθέσεις (Η 0 ) ονοµάζεται µηδενική υπόθεση ή Ελεγχόµενη υπόθεση και η δεύτερη υπόθεση (Η ) ονοµάζεται εναλλακτική ή υπόθεση έρευνας. Η Η 0 µας δείχνει την µη-διαφορά ανάµεσα στην τιµή της στατιστικής συνάρτησης του δείγµατος και της αντίστοιχης παραµέτρου του πληθυσµού. ΗΗ µαςδείχνειτηνδιαφοράανάµεσαστηντιµήτηςστατιστικής συνάρτησης του δείγµατος και της αντίστοιχης παραµέτρου του πληθυσµού. Ορίζουµε ως απλή υπόθεση την υπόθεση που εξειδικεύει πλήρως τηντιµήτηςπαραµέτρουκαιέχειτηνµορφή H 0 : f f 0 Ορίζουµε ως σύνθετη υπόθεση την υπόθεση που δεν προσδιορίζει πλήρως την τιµή της πληθυσµιακής παραµέτρου και έχει την µορφή H. 0 : f f0 η H 0 : f f0 ΗδιατύπωσητωνΗ 0 καιη είναιυψίστηςσηµασίαςκαθώςέτσιθα είναι δυνατόν να βγάλουµε πιο ασφαλή και ακριβή συµπεράσµατα 8

19 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ Σε έναν έλεγχο υποθέσεων υπάρχουν οι εξής δυνατές καταστάσεις: )ΝααπορρίψουµεήόχιτηνΗ 0 2)Η Η 0 να είναι σωστή ή να είναι λανθασµένη Έτσι βάσει αυτών των τεσσάρων ενδεχοµένων σε δυο από αυτά υπάρχει στατιστικό σφάλµα. Συγκεκριµένα ορίζουµε τα δυο αυτά είδη σφαλµάτων στη συνέχεια. ΕΙ Η ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Κατά τον έλεγχο µιας στατιστικής υπόθεσης είναι δυνατό να πραγµατοποιηθούν δύο είδη σφαλµάτων: Α. ΣΦΑΛΜΑ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙ ΟΥΣ Είναι το σφάλµα που γίνεται όταν απορρίπτουµε την αρχική (µηδενική) υπόθεση και αυτή η υπόθεση είναι αληθινή. Β. ΣΦΑΛΜΑ ΕΥΤΕΡΟΥ ΕΙ ΟΥΣ Είναι το σφάλµα που γίνεται όταν δεχόµαστε την αρχική (µηδενική) υπόθεση και αυτή η υπόθεση δεν είναι αληθινή. 9

20 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟ ΟΧΗΣ Η ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ H 0 ΑΛΗΘΙΝΗ Η ΑΛΗΘΙΝΗ Η 0 ΨΕΥ ΗΣ Η 0 ΑΠΟ ΕΚΤΗ ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΡΘΗ ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ Ι - Η ΑΠΟ ΕΚΤΗ ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ Ι ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΡΘΗ - ΑΠΟΡΡΙΨΗΤΗΣΗ 0 - ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΡΘΗ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ Περιοχή απόρριψης: είναι εκείνη η περιοχή τιµών στηνοποίαανβρεθείητιµήτης στατιστικής συνάρτησης ελέγχου απορρίπτουµετηνµηδενικήυπόθεσηη 0. Περιοχή αποδοχής: είναι εκείνη η περιοχή τιµών στην οποία αν βρεθεί η τιµή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου δεν απορρίπτουµε την µηδενικήυπόθεσηη 0. 20

21 ΕΙ Η ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων του µέσου αριθµητικού ενός κανονικού πληθυσµού α. Όταν η διακύµανση είναι γνωστή β. Όταν η διακύµανση είναι άγνωστη 2. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων του µέσου αριθµητικού ενός τυχαίου πληθυσµού 3. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων της διακύµανσης ενός κανονικού πληθυσµού 4. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων της διαφοράς αριθµητικών µέσων δύο κανονικών πληθυσµών 5. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων της διαφοράς αριθµητικών µέσων δύο µη κανονικών πληθυσµών ΕΙ Η ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6. Έλεγχος υποθέσεων αναλογίας 7. Έλεγχος υποθέσεων της διαφοράς δύο αναλογιών 8. Έλεγχος υποθέσεων του λόγου των διακυµάνσεων δύο κανονικών πληθυσµών 9. Έλεγχος προσαρµογής εµπειρικών κατανοµών σε θεωρητικές κατανοµές. Το Χ 2 test. 2

22 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΣΟ Οι δυνατές µορφές των ελέγχων είναι οι: ) ίπλευρος H H : 0 0 : µ µ µ µ 0 2) Μονόπλευρος προς τα πάνω H H : µ µ H : µ µ : µ > µ H : µ > µ 0 0 3) Μονόπλευρος προς τα κάτω H H : µ µ H : µ µ : µ < µ H : µ < µ 0 0 Επειδή Χ~Ν(µ,σ 2 ) και αν το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο τότε χρησιµοποιούµε ως στατιστική συνάρτηση ελέγχου την παρακάτω σχέση: Z X µ * 0 σ / n 22

23 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ Η Ανάλυση ιακύµανσης µε έναν παράγοντα (One-Way ANOVA) είναι µια µέθοδος ανάλυσης δεδοµένων όπου µια συνεχής ποσοτική µεταβλητή, η απόκριση, µετριέται επανειληµµένα σε διάφορα επίπεδα ενός ποιοτικού ανεξάρτητου παράγοντα. Εδώ περιοριζόµαστε στην περίπτωση όπου ο παράγοντας αυτός έχει πεπερασµένο (συνήθως µικρό) αριθµό επιπέδων τα οποία και περιλαµβάνονται στην ανάλυση (fixed factor). Ένα µέρος της διακύµανσης που παρουσιάζεται στις µετρήσεις της απόκρισης, κάτω από ορισµένες θεωρητικές προϋποθέσεις, θεωρείται ότι οφείλεται στην µεταβολή των επιπέδων της ποιοτικής ανεξάρτητης µεταβλητής, ενώ το υπόλοιπο µέρος αποδίδεται στην ύπαρξη τυχαίου σφάλµατος. Η απλή αυτή περίπτωση περιγράφεται από το γραµµικό στατιστικό υπόδειγµα i,2,..., a y ij µ + τ i + ε ij j,2,..., n όπου y ij είναιµετρήσειςτηςαπόκρισης, µείναιµίασταθερά κοινήγιαόλαταεπίπεδατουποιοτικούπαράγοντα, τατ i είναι παράµετροι - αποτελέσµατα της παρουσίας του παράγοντα αυτού που συνδέονται µε τα διάφορα επίπεδά του, και ορίζονται ως αποκλίσεις από τον γενικό µέσο όρο µ, ενώταε ij είναιτυχαίασφάλµατα. 23

24 Η απλή Ανάλυση ιακύµανσης µε έναν παράγοντα όπως εκτέθηκε εδώ, χρησιµοποιείται γιατονέλεγχοτηςισότηταςτωνµέσωνόρων πολλών δειγµάτων. Ως δείγµατα θεωρούνται οι συλλογές των n µετρήσεων της απόκρισης y σε κάθεένααπότα aεπίπεδατουποιοτικού παράγοντα. Η µέθοδος αυτή έχει το πλεονέκτηµα ότι ελέγχει µε µιάς αν υπάρχουν σηµαντικές διαφορές µεταξύ των µέσων των οµάδωνπαρατηρήσεων (δειγµάτων) διαµερίζοντας τη συνολική διακύµανση των µετρήσεων της απόκρισης σε ένα κοµµάτι που εξηγείταιαπότουπόδειγµακαισεέναάλλο µικρότερο που αποδίδεται σε «τυχαίο σφάλµα». Ηυπόθεσηπουελέγχεταιµεαυτότοντρόποείναι η Η 0 : τ τ 2... τ a 0 ήαλλιώς Η 0 : µ µ 2... µ a όπουµ i οµέσοςτου iδείγµατος. Τυχόναποδοχήτηςσηµαίνειότιοιµέσοιόροιτων a δειγµάτων δεν είναι σηµαντικά διαφορετικοί µεταξύτουςήµεάλλαλόγιαότιουπόεξέταση ποιοτικός παράγοντας δεν έχει σηµαντική επίδραση πάνω στην εξαρτηµένη ποσοτική µεταβλητή y. 24

25 Ωςκριτήριογιατηναπόρριψηήµητης παραπάνωµηδενικήςυπόθεσηςη 0 χρησιµοποιούµε την τιµή του F και την αντίστοιχη πιθανότητα (Pr>F). Αν η πιθανότητα αυτή είναι µικρότερη από µια προκαθορισµένη απόεµάςτιµή, συνήθως 0,05 ή 0,0, τότε απορρίπτουµετηνη 0 καισυµπεραίνουµεότι τουλάχιστον ένα από τα επίπεδα του ανεξάρτητου ποιοτικού παράγοντα έχει σηµαντική επίδραση πάνω στην απόκριση y ή µεάλλαλόγιαότιτουλάχιστονδύοαπότους µέσους είναι σηµαντικά διαφορετικοί µεταξύ τους. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΜΕ ΤΟ SPSS 25

26 26

27 27

28 28

29 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ Είναι µία Στατιστική µεθοδολογία πρόβλεψης µιας ή περισσότερων εξαρτηµένων µεταβλητών από ένα σύνολο ανεξάρτητων µεταβλητών. Εξαρτηµένη (dependent or response) µεταβλητή είναι µία τυχαία µεταβλητή µε τιµές που εξαρτώνται από άλλες µεταβλητές. Ανεξάρτητες (independent or predictor) µεταβλητές είναι οι µεταβλητές που επηρεάζουν την εξαρτηµένη µεταβλητή. Στην ανάλυση παλινδρόµησης κατασκευάζεται έναυπόδειγµαπουέχεισανσκοπό:. Την επεξήγηση της σχέσης της εξαρτηµένης µεταβλητής από τις ανεξάρτητες µεταβλητές. 2. Την πρόβλεψη τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής όταν γνωρίζουµε τις ανεξάρτητες µεταβλητές. 29

30 30 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Γραµµική παλινδρόµηση Y εξαρτηµένηµεταβλητή Ανεξάρτητες µεταβλητές: Γενικό µοντέλο: Μοντέλο µε n παρατηρήσεις: r X X X,,, 2 K ε β β β r r X X Y L 0 n nr r n n r r r r x x y x x y x x y ε β β β ε β β β ε β β β L M L L ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ. Οµέσοςτωνσφαλµάτωνείναιίσοςµε Η διακύµανση σ2 είναι σταθερή. 3. Η µήτρα συνδιακύµανσης είναι ίση µε το 0. k j Cov( (constant) Var E k j j j 0, ), ) ( 0 ) ( 2 ε ε σ ε ε

31 3 Χρησιµοποιούνται οι εκτιµητές Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Squares Estimation) µεσκοπό: α. Την προσαρµογή του γραµµικού µοντέλου στα δεδοµένα β. Την ελαχιστοποίηση της ποσότητας Όπου είναι οι εκτιµητές Από τα υπόλοιπα (residuals) λαµβάνουµε πληροφορία για το ) ) ( ( ) ( ) ( 2 0 Xβ y Xβ y β x x y S n i ir r i i β β β L βˆ 2 σ Xβ y ε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ir r i i i x x y β β β ε L ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ (COEFFICIENT OF DETERMINATION) n i i n i i n i i n i i y y y y y y R ) ( ) ( ˆ ) ( ˆ ε

32 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ Ο συντελεστής γραµµικού προσδιορισµού ερµηνεύει το ποσοστό της συνολικής διασποράς που εξηγείται απότοµοντέλοµετιςανεξάρτητεςµεταβλητές. Μετρά την ποιότητα προσαρµογής του µοντέλου και παίρνει τιµές ανάµεσα στο 0 και στο. Οσυντελεστήςαυτόςπαίρνειτιµήίσηµε (R 2 ) όταν περνά πάνω από όλα τα σηµεία. Στην πράξη ουδέποτε παίρνει τέτοια τιµή. Οσυντελεστήςαυτόςπαίρνειτιµήίσηµε 0 (R 2 0) όταν οι ανεξάρτητες µεταβλητές δεν έχουν καµιά επίδραση στην εξαρτηµένη µεταβλητή. ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. FULL MODEL FITTED 2. FORWARD SELECTION 3. BACKWARD ELIMINATION 4. STEPWISE 5. MAXIMUM R 2 IMPROVEMENT 6. MINIMUM R 2 IMPROVEMENT 7. R2 SELECTION 8. ADJUSTED R 2 SELECTION 9. MALLOWS C p SELECTION 32

33 FULL MODEL FITTED Είναι µία µέθοδος σύµφωνα µε την οποία γίνεται εξοµάλυνση του υποδείγµατος χρησιµοποιώντας όλες τις διαθέσιµες µεταβλητές. Πολλές φορές είναι χρήσιµη όταν γίνεται ανάλυση παλινδρόµησης, αλλά έχει το µειονέκτηµα ότι δενλαµβάνειυπ όψητηνθεωρίατου αντικειµένου που πραγµατεύονται οι µεταβλητές του υποδείγµατος, και στην συγκεκριµένη περίπτωσητηνοικονοµικήθεωρία. FORWARD SELECTION Σύµφωνα µε την µέθοδο αυτή, γίνεται ξεκίνηµα µετηνµεταβλητήπουέχειτοµεγαλύτερο F- στατιστικό στο υπόδειγµα και εκτελείται παλινδρόµηση. Ακολούθως προστίθεται η µεταβλητήµετοαµέσωςµικρότερο Fκαιαυτήη διαδικασία συνεχίζεται έως ότου εξαντληθούν οι µεταβλητές ή οι µεταβλητές που έχουν αποµείνει έχουν µικρότερη τιµή επιπέδου σηµαντικότητας από 0,05. 33

34 BACKWARD ELIMINATION Αυτή η µέθοδος ξεκινάει και υπολογίζει στατιστικά για το υπόδειγµα περιλαµβάνοντας σε αυτό όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές, και συνεχίζει αφαιρώντας µία µία τις µεταβλητές µε την µικρότερη συνεισφορά στο υπόδειγµα µε τιµή R 2 µικρότερηαπό 0,0. Καταλήγειτέλοςσε υπόδειγµα που περιλαµβάνει ανεξάρτητες µεταβλητές που η συνεισφορά κάθε µιάς είναι µεγαλύτερηαπό 0,0. STEPWISE Ηµέθοδοςαυτήείναιπαρόµοιαµετην FORWARD SELECTION, δηλαδή ξεκινά µε την µεταβλητή µε την µεγαλύτερη συνεισφορά στο υπόδειγµα και ακολουθούν µία µίαοιάλλεςµεταβλητές. Ηδιαφοράέγκειταιστοότι όποια µεταβλητή εισέλθει στο υπόδειγµα δεν είναι απαραίτητο να παραµείνει σε επόµενο στάδιο, όταν δηλαδή εισέρχεται κάποια επόµενη µεταβλητή. Αυτό έχει σαναποτέλεσµαµετηνείσοδοκάποιαςµεταβλητής, κάποια άλλη µεταβλητή που υπάρχει να φύγει από το υπόδειγµα και τελικά η διαδικασία αυτή σταµατά, όταν όλες οι µεταβλητές που είναι εκτός υποδείγµατος έχουν F-στατιστικό σε επίπεδο σηµαντικότητας µικρότερο του 0,5 καιοιυπάρχουσεςµεγαλύτεροτου 0,5. 34

35 MAXIMUM R 2 IMPROVEMENT Η µέθοδος αυτή αποτελεί την πλέον κλασσική στην εκτίµηση υποδειγµάτων παλινδρόµησης. Ξεκινά προσθέτοντας στο υπόδειγµα την µεταβλητή που δίδει τοµεγαλύτερο R 2, ακολούθωςπροσθέτειδεύτερη µεταβλητήµετοαµέσωςµικρότερο R 2, καισυγκρίνει ταυτόχρονα µε τις µεταβλητές που είναι εκτός υποδείγµατος, γιατοσυνολικό R 2 τουυποδείγµατος αποφασίζοντας αν πρέπει να φύγει και να πάρει την θέση της κάποια µεταβλητή που βρίσκεται εκτός. Αυτή η διαδικασία γίνεται για κάθε µία µεταβλητή µε βάση το µέγιστο R 2 πουδίνουνστουπόδειγµα. Τελικάπροτείνει ένα υπόδειγµα αποτελούµενο από όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές που ο συνδυασµός θέσης τους δίδει το µεγαλύτερο R 2. MINIMUM R 2 IMPROVEMENT Ηµέθοδοςαυτήείναιπαρόµοιαµετην MAXIMUM R 2 IMPROVEMENT, µετηνδιαφορά ότιβασίζεταιστογεγονόςτηςµικρότερης R 2 συνεισφοράς που δίδουν οι µεταβλητές στο υπόδειγµα. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα µε τις αλλεπάλληλες εισόδους και εξόδους των µεταβλητών από το υπόδειγµα, να παρουσιάζει µεγάλο όγκο αποτελεσµάτων, αν και καταλήγει σε υπόδειγµα που περιλαµβάνει όλες τις µεταβλητές (µετοµικρότερο R 2 βέβαια). 35

36 R 2 SELECTION Σύµφωνα µε την µέθοδο αυτή, γίνεται παρουσίαση όλων των δυνατών συνδυασµών µεταξύ των ανεξαρτήτων µεταβλητών ανά αριθµό µεταβλητών, ξεκινώντας µε µία µεταβλητή, µετά µε δύο, κ.ο.κ., παρουσιάζοντας κάθεφοράγιακάθεσυνδυασµότο R 2. Παρέχεται έτσι η δυνατότητα στον αναλυτή να επιλέξει το υπόδειγµα εκείνο που νοµίζει ότι ανταποκρίνεται καλύτερα στα δεδοµένα του, µε κριτήριο τον συντελεστή γραµµικού προσδιορισµού R 2. ADJUSTED R 2 SELECTION Είναιπαρόµοιαµέθοδοςµετην R 2 SELECTION, µε µόνη διαφορά ότι χρησιµοποιεί το προσαρµοσµένο R 2 (ADJUSTED R 2 ). Ισχύειδε ησχέση: adjusted-rsquare-(-rsquare)[(n-)/(n-m-)], όπου n είναι ο αριθµός των παρατηρήσεων (observations) και m ο αριθµός των παραµέτρων του υποδείγµατος χωρίς τον σταθερό όρο (intercept). Στα αποτελέσµατα παρουσιάζει τα υποδείγµαταµεσειράµεγαλύτερου adjrsq, γράφονταςκαιτοαντίστοιχο R 2. 36

37 MALLOWS Cp SELECTION Αυτήηµέθοδοςείναιπαραπλήσιατης ADJUSTED R 2 SELECTION, µε την διαφορά ότι αντί να χρησιµοποιείται το adjrsq, χρησιµοποιείται το κριτήριο Cp του Mallows για την επιλογή υποδείγµατος. Το στατιστικό Cp είναι µία µέτρηση τουσυνολικούτετραγωνικούσφάλµατος (total squared error), που προσδιορίζεται ως: Cp(SSEp/s 2 ) (N 2*p), όπου s 2 είναιτοµέσοτετραγωνικόσφάλµα (mean squared error, MSE) του υποδείγµατος και SSEp είναι το άθροισµα τωντετραγώνωντωνσφαλµάτων (sum of squared errors, SSE) για ένα υπόδειγµα µε p παραµέτρους συµπεριλαµβανοµένου του σταθερού όρου (intercept), εάν υπάρχει. Εναλλακτικά η µέθοδος αυτή µπορεί να εφαρµοσθεί για την επιλογή βέλτιστου αριθµού ανεξαρτήτων µεταβλητών (regressors) σε ένα παλινδροµικό υπόδειγµα. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ SPSS 37

38 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΗΜΙΟΥΡΓΟΥΝΤΑΙ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΙΚΩΝ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ. Ετεροσκεδαστικότητα 2. Συγγραµµικότητα - πολυσυγγραµµικότητα 3. Αυτοσυσχέτιση ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Τοφαινόµενοτηςετεροσκεδαστικότητας (heteroscedasticity) παρουσιάζεταιόταντατυχαίασφάλµατα e i δενείναι ανεξάρτητα ή οι διακυµάνσεις τους δεν είναι σταθερές και οι εκτιµήσεις των παραµέτρων είναι αµερόληπτες, αλλά η εκτίµηση της µήτρας συνδιακύµανσης είναι µή σταθερή. Τα κυριότερααίτιαπουπροκαλούναυτότοφαινόµενο, είναι: α) Η χρησιµοποίηση διακλαδικών ή διαστρωµατικών δεδοµένωνγιατηνεκτίµησητουυποδείγµατος, β) Η ύπαρξη σφαλµάτων µετρήσεων των µεταβλητών και γ) Η παράλειψη µιας σηµαντικής µεταβλητής στο υπόδειγµα. Η λύση για την αντιµετώπιση του προβλήµατος της ετεροσκεδαστικότητας συνίσταται στην χρησιµοποίηση της σταθµισµένηςµεθόδουτωνελαχίστωντετραγώνων (weighted least squares), ή στον µετασχηµατισµό του υποδείγµατος κατά τρόπο που ο διαταρακτικός όρος στο νέο υπόδειγµα να έχεισταθερήδιακύµανσησ 2. 38

39 ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ - ΠΟΛΥΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Το φαινόµενο της συγγραµµικότητας πολυσυγγραµµικότητας παρουσιάζεται όταν µεταξύ δύο ή περισσοτέρων ερµηνευτικών µεταβλητών υπάρχει γραµµική εξάρτηση, και τότε δεν µπορεί να εφαρµοστεί, για εκτιµήσεις η µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Η πολυσυγγραµικότητα φαίνεται από τις παρακάτωενδείξεις: α) όταν έχουµε µεγάλες µεταβολές στις τιµές των εκτιµηθέντων συντελεστών µε την πρόσθεση ή αφαίρεση µίας ανεξάρτητης µεταβλητής ή ορισµένου αριθµού παρατηρήσεων (observations), β) όταν προκύψει ότι δεν είναι στατιστικά σηµαντικοί οι συντελεστές µεταβλητών, που από την Οικονοµική θεωρία αναµένουµε να ασκούν σηµαντική επίδραση στη διαµόρφωση των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής, και γ) όταν ορισµένοι συντελεστές έχουν αντίθετο πρόσηµο απόεκείνοπουαναµένεταιναέχουνµεβάσητηνγνώση τηςοικονοµικήςθεωρίας. ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Οιλόγοιπουπροκαλούντηναυτοσυσχέτισηείναι: α) ηεσφαλµένηεξειδίκευσητουυποδείγµατος, β) η παράλειψη σηµαντικών ερµηνευτικών µεταβλητών, και γ) λάθη µετρήσεων ή υπολογισµών των τιµών των µεταβλητών. Για τη διαπίστωση του προβλήµατος, χρησιµοποιείται το κριτήριο των Durbin-Watson και για τη θεραπεία του συνήθως εφαρµόζονται κατάλληλοι µετασχηµατισµοί του αρχικού υποδείγµατος. 39

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Ποσοτική Ποιοτική ιακριτή ή ασυνεχής (dscrete qutttve vrble (Πεπερασµένο πλήθος πιθανών τιµών Άπειρο αλλά αριθµήσιµο πλήθος πιθανών τιµών Συνεχής (cotuous qutttve

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Δείγμα πριν τις διορθώσεις

Δείγμα πριν τις διορθώσεις Εισαγωγή Α ΜΕΡΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Εισαγωγή 1.1.1 Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 1.1.2 Επαγωγική ή Αναλυτική Στατιστική (Inferential or Αnalytical Statistics)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 23

Περιεχόμενα. Πρόλογος 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 23 Περιεχόμενα Πρόλογος 17 Μέρος A ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 23 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 23 1.1 Εισαγωγή 23 1.1.1 Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 24 1.1.2 Επαγωγική ή Αναλυτική Στατιστική (Inferential or

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3)

2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3) Τμήμα Οργάνωσης και Διαχείρισης Αθλητισμού 2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους 2015-2016 ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3) Αντώνης Κ.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες. Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες. Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧ Οικονομετρικά Πρότυπα Διαφάνεια 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΠΟΤΕ ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑ ΙΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί μετράμε την διασπορά;

Γιατί μετράμε την διασπορά; Γιατί μετράμε την διασπορά; Παράδειγμα Δίνεται το ετήσιο ποσοστό κέρδους δύο επιχειρήσεων για 6 χρόνια. Αν έπρεπε να επιλέξετε την μετοχή μιας εκ των 2 με κριτήριο το ποσοστό κέρδους αυτά τα 6 χρόνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς

Τεχνικές Προβλέψεων. Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα