INFORMATION MANAGEMENT

Transcript

1 INFORMATION MANAGEMENT Εισηγητής ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ιδάκτορας Πανεπιστηµίου Πειραιώς ΑΘΗΝΑ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ανάγκησυλλογής, περιγραφής, ανάλυσηςκαι ερµηνείαςτωνπληροφοριών. Η Στατιστική παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία για τη συλλογή, επεξεργασία και ανάλυση των δεδοµένων. Αρχή επιστηµονικής έρευνας: Συλλογή δεδοµένων γιατα "άτοµα" πληθυσµούπουµελετούµε. Οσκοπόςτηςέρευναςκαθορίζεικαιτηφύσητων δεδοµένων. Υπάρχουν περιορισµοί χρόνου ή κόστους).

2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΟΛΟΓΙΑ είγµα (sample): Είναι τα δεδοµένα µε τη µορφή µετρήσεων. Πληθυσµός (population): Το σύνολο απ όπου προέρχεται το δείγµα (αδύνατο ή ασύµφορο να µελετηθεί το σύνολο του πληθυσµού). Μονάδες (units) ή άτοµα (individuals) ή υποκείµενα (subjects) ή αντικείµενα (objects): Αποτελούν τις µονάδες του δείγµατος. Μεταβλητές (variables) ή χαρακτηριστικά (attributes): Οι παρατηρήσεις που έχουν καταγραφεί για κάθε µονάδα. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Απλοποίηση των δεδοµένων: Μείωση δεδοµένων χωρίς απώλεια σηµαντικής πληροφορίας. Οµαδοποίηση και ταξινόµηση των δεδοµένων: Οµάδες όµοιων ατόµων ή µεταβλητών. Είναι απαραίτητο να δηµιουργηθούν κανόνες ταξινόµησης Μελέτη της εξάρτησης ανάµεσα στις µεταβλητές: Ποιες είναι οι σχέσεις ανάµεσα στις µεταβλητές Πρόβλεψη: Πρόβλεψη τιµών κάποιας µεταβλητής από τις άλλες. ιατύπωση και έλεγχος υποθέσεων: Ερωτήµατα µε µορφή στατιστικώνυποθέσεων έλεγχος αποτελέσµατα. 2

3 ΟΡΓΑΝΩΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Οργάνωση σε µορφή πίνακα (array or matrix) Στον πίνακα οι γραµµές (rows) αποτελούν τις µονάδες παρατηρήσεις (observations) Στον πίνακα οι στήλες (columns) αποτελούν τιςµεταβλητές (variables) ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ARC MERC ABS DENIK

4 Η ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Στις περισσότερες έρευνες καταγράφεται για κάθε µεταβλητή ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων. Το µεγάλο µέγεθος δείγµατος έχει σαν αποτέλεσµα ο πίνακας δεδοµένων να αυξάνεται. Ετσι είναι αδύνατο να εξαχθούν συµπεράσµατα από απλή παρατήρηση του πίνακα. Μέθοδοι ανίχνευσης σχεδίων στους αριθµούς του πίνακα. Η φύση των δεδοµένων είναι σηµαντική για τον καθορισµό διαδικασιών. ΟΙ ΤΥΠΟΙ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Ποσοτικές (quantitative) µεταβλητές: Είναι αυτές που µπορούν να µετρηθούν αριθµητικά (όπως είναι ο χρόνος, το βάρος, το κόστος κλπ). α. ιακριτές (discrete) β. Συνεχείς (continuous) Ποιοτικές ή κατηγορικές (qualitative - categorical): Είναι αυτές οι µεταβλητές που χωρίζουν τις µονάδες του δείγµατος σε κατηγορίες σύµφωνα µε συγκεκριµένα ποιοτικά χαρακτηριστικά (όπως είναι τοχρώµα, ηµάρκα, κλπ). α. Ονοµαστικές (nominal) β. ιαταγµένες (ordinal) υαδικές (binary) είναι οι µεταβλητές που παίρνουν τιµές 0 και. 4

5 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Αποτελούν συνοπτική και περιεκτική παρουσίαση των δεδοµένων και των αποτελεσµάτων της Στατιστικής επεξεργασίας. Η γραφική παρουσίαση των δεδοµένων αποτελεί µέρος της περιγραφικής Στατιστικής. Οι γραφικές µέθοδοι υπάρχουν σε όλα τα προγράµµατα ανάλυσης δεδοµένων. Υπάρχει δυνατότητα διερεύνησης της δοµής των δεδοµένων Τα προηγµένα συστήµατα (µηχανογραφικά, στατιστικά) διαθέτουν ακόµα και κίνηση. εδοµένα µιας µόνο µεταβλητής: απλοί γραφικοί τρόποι παράστασης Ποιοτική µεταβλητή: ραβδόγραµµα (bar chart) κυκλικό διάγραµµα (pie chart) Ποσοτική µεταβλητή: ιστόγραµµα (histogram) θηκόγραµµα (box-plot) Για δύο ποσοτικές µεταβλητές: διάγραµµα διασποράς (scatter plot) Functions Number of cases 5

6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αποβλέπει στη σύµπτυξη των συλλεγέντων στοιχείων, µε κατάλληλες στατιστικές µεθόδους, ώστε να καταστεί δυνατή η εµφάνιση της χαρακτηριστικής ιδιότητας µε ένα και µόνο αριθµό. Ο αριθµός αυτός που συνοψίζει τα χαρακτηριστικά µιας σειράς µετρήσεων, ονοµάζεται παράµετρος. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ. Κεντρικής τάσης 2. Θέσης 3. ιασποράς 4. Ασυµµετρίας ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ. Μέσος αριθµητικός 2. Μέσος γεωµετρικός 3. Μέσος αρµονικός Οι παράµετροι αυτοί ονοµάζονται και µέσοι όροι και εκφράζουν τη κεντρική τάση των στοιχείων. ιακρίνονται σε απλούς ή αστάθµητους και σε σταθµικούς. Απλοί είναι αυτοί όταν υπολογίζονται για µια σειρά µετρήσεων σε κάθεµίααπότηνοποίααποδίδεταιηίδιασηµασία (στάθµιση). Σταθµικοί είναι αυτοί όταν σε µία τουλάχιστον τιµή αποδίδεται διαφορετικήσηµασίααπότιςυπόλοιπες (στάθµισηήweight). Ο σταθµικός µέσος ονοµάζεται και βαρυκεντρικός. 6

7 ΑΠΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Ενόςσυνόλου n παρατηρήσεωνείναιοµέσοςτουδείγµατος, µε τις εξής ιδιότητες: Α. Επηρεάζεται από ακραίες τιµές Β. Αποτελεί εκτίµηση του µέσου µ του πληθυσµού Τύποςυπολογισµού: x i n n X i Σταθµισµένος αριθµητικός µέσος Weighted Mean: ενός συνόλου n παρατηρήσεων είναι ο αριθµητικός µέσος που προκύπτει σταθµίζοντας κάθε παρατήρηση µε συγκεκριµένη βαρύτητα w Ανόλεςοισταθµίσειςείναιίδιεςτότεπροκύπτειο αριθµητικός µέσος Τύπος υπολογισµού: x n i n w i i w X i i 7

8 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΣΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ. Το άθροισµα των διαφορών των τιµών της µεταβλητής από τον µέσο αριθµητικό είναι πάντοτε µηδέν. 2. Αν προσθέσουµε στις τιµές της µεταβλητής Χ µία σταθερή ποσότητα, τότε ο µέσος αριθµητικός των αρχικών τιµών αυξάνεται κατά την σταθερή αυτή ποσότητα. 3. Αν αφαιρέσουµε από τις τιµές της µεταβλητής Χ µία σταθερή ποσότητα, τότε ο µέσος αριθµητικός των αρχικών τιµών µειώνεται κατά την σταθερή αυτή ποσότητα. 4. Αν πολλαπλασιάσουµε τις τιµές της µεταβλητής Χ µε µία σταθερή ποσότητα, τότε ο µέσος αριθµητικός πολλαπλασιάζεται κατά την σταθερή αυτή ποσότητα. 5. ΑνηµεταβλητήΧείναιµίασταθερήποσότητα, τότεοµέσος αριθµητικός ισούται µε τη σταθερή αυτή ποσότητα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ GEOMETRIC MEAN: ενός συνόλου n παρατηρήσεων είναι η νιοστή ρίζα του γινοµένου των παρατηρήσεων εν χρησιµοποιείται όταν υπάρχουν µηδενικές τιµές παρατηρήσεων Μέτρο ανθεκτικό στις ακραίες τιµές Τύπος υπολογισµού: x Geometric n X X 2... X n n n i X i 8

9 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ (συνέχεια) Με τις παραµέτρους θέσης προσδιορίζονται οι τιµές της µεταβλητής άνω ή κάτω από τις οποίες βρίσκεται ορισµένο πλήθος συχνοτήτων και το σηµείο της µεταβλητής στο οποίο αναφέρεται το µέγιστο πλήθος συχνοτήτων. Οι παράµετροι θέσης είναι: Η ιάµεσος Τα Τεταρτηµόρια Τα εκατηµόρια Τα Εκατοστηµόρια Γενικά τα Ποσοστηµόρια ΟΤύπος ΙΑΜΕΣΟΣ Καλείται η τιµή της µεταβλητής κάτω της οποίας βρίσκεται το ήµισυ των συχνοτήτωνταξινοµηµένωνκατ αύξουσατάξηµεγέθους. Αλλοιώς, διάµεσοςείναιηµέγιστητιµήτηςµεταβλητήςτωνµικρότερωνν/2 περιπτώσεωνήηελάχιστητιµήτωνν/2 µεγαλύτερωνπεριπτώσεων. Συµβολίζεται µε Μ, προσδιορίζεται από τις παρακάτω σχέσεις: Α. ιάµεσος ολιγοπληθών αταξινόµητων δεδοµένων ιάµεσος είναι ο όρος N + 2 Εάν το πλήθος των περιπτώσεων είναι περιττό (Ν2λ+), τότε διάµεσος είναι ο όρος λ+ (κεντρικός όρος). Εάν το πλήθος των περιπτώσεων είναι άρτιο (Ν2λ), διάµεσος είναι οποιαδήποτε τιµή µεταξύ λ και λ+ όρου. Συνηθίζεται όµως σαν διάµεσος να επιλέγεται ο µέσος αριθµητικός των όρων λ και λ+ (το ηµιάθροισµα των δύο κεντρικών όρων). 9

10 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΙΑΜΕΣΟΥ. Η διάµεσος βρίσκεται µεταξύ µέγιστης και ελάχιστης τιµής. 2. εν επιδέχεται αλγεβρικού χειρισµού. 3. εν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές της µεταβλητής. Για τον λόγο αυτό εάν στην κατανοµή υπάρχουν ακραίες τιµές, η διάµεσος πρέπει να προτιµάται από τον µέσο αριθµητικό. 4. Μπορείναπροσδιοριστείκαιγιαανοικτέςκατανοµέςσυχνοτήτων, αρκεί το διάστηµα τάξης στο οποίο εντοπίζεται να είναι ανοικτό. 5. Μπορεί να προσδιοριστεί γραφικώς µε την κατασκευή των αψίδων. ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ Συναφείς µε την διάµεσο παράµετροι θέσης είναι τα τεταρτηµόρια (quartiles), δεκατηµόρια (deciles), εκατοστηµόρια κλπ. Τα τεταρτηµόρια υποδιαιρούν την σειρά των µετρήσεων σε τέσσερα ίσα τµήµατα (συνεπώς είναι 3), ταδεκατηµόριασε 0 ίσατµήµατα, ταεκατοστηµόριασε 00 ίσα τµήµατα, κλπ. Πρώτοτεταρτηµόριο Q καλείταιητιµήτηςµεταβλητήςκάτωτηςοποίας βρίσκεται το /4 των περιπτώσεων ταξινοµηµένων κατ αύξουσα σειρά. Σύµφωναµεάλληέκφραση Q είναιηµέγιστητιµήτηςµεταβλητήςτων /4 περιπτώσεων, ή η ελάχιστη τιµή των 3/4 των µεγαλύτερων περιπτώσεων. Τρίτοτεταρτηµόριο Q 3 καλείταιητιµήτηςµεταβλητήςκάτωτηςοποίας βρίσκονται τα 3/4 των περιπτώσεων, ταξινοµηµένα κατ αύξουσα σειρά. Τρίτο δεκατηµόριο καλείται η τιµή της µεταβλητής κάτω της οποίας βρίσκονται τα 3/0 των περιπτώσεων ταξινοµηµένων κατ αύξουσα σειρά. 0

11 Ποσοστιαία σηµεία quantiles: ενός συνόλου διατεταγµένων παρατηρήσεων είναι αριθµοί οι οποίοι χωρίζουντοδείγµασεοµάδεςµεόσοτοδυνατόνίσο αριθµό παρατηρήσεων Υπάρχουν εκατοστηµόρια, δεκατηµόρια κτλ Τεταρτηµόρια: Q πρώτοτεταρτηµόριο Q 2 δεύτεροτεταρτηµόριο Q 3 τρίτοτεταρτηµόριο Χωρίζουν την κατανοµή σε τέσσερα ίσα µέρη Το Q 2 είναιηδιάµεσος ΤΥΠΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΟΣΟΣΤΗΜΟΡΙΩΝ. Ποσοστηµόρια αταξινόµητων ολιγοπληθών δεδοµένων Q Q D 3 K N + 4 3( N + ) 4 K ( N + ) 0 C K K ( N + ) 0 0 Τα κλάσµατα υποδηλούν τον όρο του αντίστοιχου ποσοστηµορίου και όχι το ποσοστηµόριο.

12 ΣΗΜΕΙΟ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Η ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ Η ΤΥΠΟΣ Σηµείο µέγιστης συχνότητας ή επικρατούσα τιµή ή Τύπος καλείται η τιµή της µεταβλητής στην οποία αντιστοιχούν οι περισσότερες συχνότητες. ΟΤύποςσυµβολίζεταιµεΤ 0 καισεκατανοµέςσυχνοτήτωνταξινοµηµένων δεδοµένων προκύπτει από την σχέση: T 0 X i + δ + 2 Οπου xi είναι το έλασσον όριο του διαστήµατος τάξης στο οποίο εντοπίζεταιοτ 0, δείναιτοπλάτοςτουδιαστήµατοςτάξηςστοοποίοεντοπίζεταιοτ 0, είναιηδιαφοράτηςµέγιστηςσυχνότηταςαπότηνπροηγούµενη (σε απόλυτητιµή) 2 είναιηδιαφοράτηςµέγιστηςσυχνότηταςαπότην επόµενη (σε απόλυτη τιµή). Εάν η κατανοµή των ταξινοµηµένων δεδοµένων είναι ασυνεχής, τότε πρέπει να µετατραπεί σε συνεχή. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ. Ο Τύπος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές της µεταβλητής και έτσι σε έντονα ασυµµετρικές κατανοµές προτιµάται από τον µέσο αριθµητικό ακόµα και από την διάµεσο. 2. Ο Τύπος δεν είναι δεκτικός αλγεβρικού χειρισµού. 3. Σε κατανοµές διπλοκόρυφες ή πολυκόρυφες, ο Τύπος χάνει την αξία του. 4. Σε κατανοµές συχνοτήτων άνισου πλάτους διαστηµάτων τάξης ο προσδιορισµός του Τύπου απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή γιατί είναι ενδεχόµενο να προκύψει παραπλανητικό αποτέλεσµα. 5. Ο Τύπος υπολογίζεται και σε ανοικτές κατανοµές συχνοτήτων αρκεί να είναι προσδιορίσηµα τα στοιχεία του τύπου του. 6. Ο Τύπος µπορεί να κατασκευαστεί και γραφικά µε την κατασκευή ιστογράµµου. 7. Η ακριβής τιµή του Τύπου προσδιορίζεται µε τις Ροπές. 2

13 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΙΑΜΕΣΟΥ ΚΑΙ ΤΥΠΟΥ Ο µέσος αριθµητικός, η ιάµεσος και ο Τύπος αποτελούν παραµέτρους κεντρικής τάσης και θέσης µιάς σειράς µετρήσεων που αποσκοπούν στο ναπαρουσιάσουνµεέναµόνοαριθµότοπλήθοςτωντιµώνµιάς µεταβλητής. Στην περίπτωση συµµετρικών κατανοµών (όπου οι τιµές που ισαπέχουν από τον µέσο έχουν την ίδια συχνότητα), οι τρείς αυτοί παράµετροι συµπίπτουν. Σε ασυµµετρικές κατανοµές οι παράµετροι αυτοί διαφέρουν, µε την διάµεσο να βρίσκεται πάντα µεταξύ των δύο άλλων παραµέτρων. Σε θετική ασυµµετρία η σειρά είναι: Τύπος, ιάµεσος, Μέσος αριθµητικός. Σε αρνητική ασυµµετρία η σειρά είναι: Μέσος αριθµητικός, ιάµεσος, Τύπος. Από τις τρείς αυτές παραµέτρους ο µέσος αριθµητικός χρησιµοποιείται σαν αντιπροσωπευτικός όλης της σειράς των µετρήσεων µόνο στις περιπτώσεις που αυτές κατανέµονται περίπου συµµετρικά. Αντίθετα σε περιπτώσεις έντονων ασυµµετρικών κατανοµών, ο µέσος αριθµητικός αποτελεί παράµετρο µη αντιπροσωπευτική της όλης σειράς των µετρήσεων, επειδή επηρεάζεται σηµαντικά από τις ακραίες τιµές της µεταβλητής. ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Οι παράµετροι κεντρικής τάσης δεν επαρκούν από µόνες τους να προσδιορίσουν τα γενικά χαρακτηριστικά και την µορφή µιας κατανοµής συχνοτήτων. Για τον πλήρη προσδιορισµό της απαιτούνται τέσσερα (4) είδη παραµέτρων: Κεντρική τάση, ιασπορά, Ασυµµετρία και Κύρτωση. Υπάρχουν πολλοί τρόποι µε τους οποίους µπορούµε να µετρήσουµε την διασπορά ή διαφοροποίηση ή µεταβλητικότητα ή ανοµοιογένεια. ΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Καλείταιηδιαφοράµεταξύµεγίστηςκαιελαχίστηςτιµήςτηςµεταβλητής. Συµβολίζεται µε R και είναι: R max(x) min(x) Το εύρος µεταβολής παρουσιάζει το πλεονέκτηµα ότι προσδιορίζεται εύκολα και γίνεται εύκολα αντιληπτό. Μειονεκτεί όµως στο ότι δεν λαµβάνει όλες τις τιµές της µεταβλητής, αλλά µόνο την µεγαλύτερη και την µικρότερη. Έτσι, εάν συµβαίνει ότι µία τιµή της µεταβλητής είναι υπέρµετρα µεγάλη ή µικρή, να δίνει µια παραπλανητική εικόνα για την διασπορά της κατανοµής. Επίσης το εύρος δεν µπορεί να υπολογιστεί σε ανοικτές κατανοµές. 3

14 ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ιακύµανση καλείται ο µέσος αριθµητικός του τετραγώνου αποκλίσεων των τιµών της µεταβλητής από τον µέσο αριθµητικό τους. Συµβολίζεται µε σ 2 ή V(x). Μέση απόκλιση τετραγώνου ή τυπική απόκλιση καλείται η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης και συµβολίζεται µε σ. Α. Περίπτωση απλών δεδοµένων σ 2 ( µ ) Σ X N 2 Η µε τον παραλλαγµένο τύπο: σ 2 ΣΧ 2 ( ΣΧ) N N 2 ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Η τυπική απόκλιση (standard deviation) υπολογίζεται σαν η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης. Αποτελεί το καλύτερο στατιστικό µέγεθος για τον υπολογισµό της διασποράς των τιµών γύρω από τον µέσο αριθµητικό. Έτσι µικρή τιµή της τυπικής απόκλισης µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οι τιµές του µετρούµενου µεγέθους είναι συγκεντρωµένες στον µέσο αριθµητικό τους. Αντίθετα, µεγάλη τιµή της τυπικής απόκλισης µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οι τιµές του µετρούµενου µεγέθους παρουσιάζουν µεγάλη απόκλιση µεταξύ τους και δεν είναι συγκεντρωµένες στον µέσο αριθµητικό τους. 4

15 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ (VARIATION COEFFICIENT) είναι ο συντελεστής εκείνος ο οποίος µετρά το βαθµό απλώµατος των παρατηρήσεων σε σχέση µε το µέσο Συντελεστής µεταβλητότητας για τον πληθυσµό είναι ο σ CV µ Συντελεστής µεταβλητότητας για το δείγµα είναι ο s CV x Μερικές φορές πολλαπλασιάζεται µε το 00 και συνεπώς εκφράζει ποσοστό Σύγκριση περιπτώσεων όπου οι µονάδες είναι διαφορετικές ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΜΕΤΟΝΜΕΣΟΚΑΙΤΗΝ ΙΑΜΕΣΟ Οπλέοναπλόςτρόποςγιατηµέτρησητης ασυµµετρίας, γίνεται µε τη χρήση του µέσου αριθµητικού και της διαµέσου. Εάνηδιαφοράτους (µ-μ) > 0, τότεέχουµεθετική ασυµµετρία. Εάνηδιαφοράτους (µ-μ) 0, τότεέχουµεµηδενική ασυµµετρία, δηλαδή συµµετρία. Εάνηδιαφοράτους (µ-μ) < 0, τότεέχουµεαρνητική ασυµµετρία. 5

16 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ίσως το σπουδαιότερο µέρος της Στατιστικής επιστήµης. Εξαγωγή συµπερασµάτων για τις τιµές των παραµέτρων του πληθυσµού από το τυχαίο δείγµα που έχουµε λάβει από τον πληθυσµό. Στατιστική µεθοδολογία µε την οποία απορρίπτουµε ή δεν απορρίπτουµε µια στατιστική υπόθεση. ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ένα από τα πιο βασικά θέµατα της Επαγωγικής Στατιστικήςείναιοέλεγχοςτωνστατιστικώνυποθέσεων. Στατιστική υπόθεση είναι µία πρόταση που αναφέρεται: Α. Στη δυνατότητα µιας παραµέτρου να λάβει µία συγκεκριµένη τιµή ή διάστηµα τιµών Β. Στη µορφή της κατανοµής µιάς τυχαίας µεταβλητής Ο έλεγχος των υποθέσεων αυτών, µε τη χρησιµοποίηση τυχαίων δειγµάτων, µας οδηγεί στην απόφαση αν η υπόθεση που έχει τεθεί είναι αληθινή ή όχι. Εποµένως ο έλεγχος των υποθέσεων είναι στην πράξη ένα πρόβληµα λήψης απόφασης. Αν ο έλεγχος που πραγµατοποιούµεοδηγείστηνικανοποίησητηςυπόθεσης, τότε η υπόθεση γίνεται δεκτή, αλλιώς η υπόθεση απορρίπτεται. 6

17 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (συνέχεια) Ορίζουµε ως στατιστική υπόθεση την υπόθεση που ισχυριζόµαστε για την κατανοµή πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής. Ορίζουµε ως τυχαία µεταβλητή την µεταβλητή που αναφέρεται σε κάποιο χαρακτηριστικό του υπό εξέταση πληθυσµού. Στον έλεγχο υποθέσεων συγκρίνουµε την διαφορά της δειγµατικής τιµής µιας στατιστικής παραµέτρου µε την αρχική τιµή που εµείς θέτουµε ή που είναι γνωστή από άλλες έρευνες. ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (συνέχεια) Όταν κάνουµε έλεγχο υποθέσεων για την διαφορά µιας παραµέτρου στο δείγµα και της τιµής που εµείς έχουµε υποθέσει και η διαφορά είναι στατιστικά σηµαντική τότε εννοούµε ότι η διαφορά αυτή πραγµατική και δεν ερµηνεύεται από τις τυχαίες διακυµάνσεις της δειγµατοληψίας που κάνουµε. Αν η παραπάνω διαφορά είναι στατιστικά ασήµαντη τότε εννοούµε ότι είναι φαινοµενική και συνεπώς µπορεί να εξηγηθεί από τις τυχαίες διακυµάνσεις της δειγµατοληψίας που κάνουµε. 7

18 ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Οι στατιστικές υποθέσεις διατυπώνονται πάντα ανά ζεύγη και διαµερίζουν το σύνολο του παραµετρικού χώρου Θ σε δυο ξένα υποσύνολα Θ καιθ 2 έτσιώστεναισχύειθθ +Θ 2 και Θ. I Θ 2 Ηπρώτηαπότιςδυουποθέσεις (Η 0 ) ονοµάζεται µηδενική υπόθεση ή Ελεγχόµενη υπόθεση και η δεύτερη υπόθεση (Η ) ονοµάζεται εναλλακτική ή υπόθεση έρευνας. Η Η 0 µας δείχνει την µη-διαφορά ανάµεσα στην τιµή της στατιστικής συνάρτησης του δείγµατος και της αντίστοιχης παραµέτρου του πληθυσµού. ΗΗ µαςδείχνειτηνδιαφοράανάµεσαστηντιµήτηςστατιστικής συνάρτησης του δείγµατος και της αντίστοιχης παραµέτρου του πληθυσµού. Ορίζουµε ως απλή υπόθεση την υπόθεση που εξειδικεύει πλήρως τηντιµήτηςπαραµέτρουκαιέχειτηνµορφή H 0 : f f 0 Ορίζουµε ως σύνθετη υπόθεση την υπόθεση που δεν προσδιορίζει πλήρως την τιµή της πληθυσµιακής παραµέτρου και έχει την µορφή H. 0 : f f0 η H 0 : f f0 ΗδιατύπωσητωνΗ 0 καιη είναιυψίστηςσηµασίαςκαθώςέτσιθα είναι δυνατόν να βγάλουµε πιο ασφαλή και ακριβή συµπεράσµατα 8

19 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ Σε έναν έλεγχο υποθέσεων υπάρχουν οι εξής δυνατές καταστάσεις: )ΝααπορρίψουµεήόχιτηνΗ 0 2)Η Η 0 να είναι σωστή ή να είναι λανθασµένη Έτσι βάσει αυτών των τεσσάρων ενδεχοµένων σε δυο από αυτά υπάρχει στατιστικό σφάλµα. Συγκεκριµένα ορίζουµε τα δυο αυτά είδη σφαλµάτων στη συνέχεια. ΕΙ Η ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Κατά τον έλεγχο µιας στατιστικής υπόθεσης είναι δυνατό να πραγµατοποιηθούν δύο είδη σφαλµάτων: Α. ΣΦΑΛΜΑ ΠΡΩΤΟΥ ΕΙ ΟΥΣ Είναι το σφάλµα που γίνεται όταν απορρίπτουµε την αρχική (µηδενική) υπόθεση και αυτή η υπόθεση είναι αληθινή. Β. ΣΦΑΛΜΑ ΕΥΤΕΡΟΥ ΕΙ ΟΥΣ Είναι το σφάλµα που γίνεται όταν δεχόµαστε την αρχική (µηδενική) υπόθεση και αυτή η υπόθεση δεν είναι αληθινή. 9

20 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟ ΟΧΗΣ Η ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ H 0 ΑΛΗΘΙΝΗ Η ΑΛΗΘΙΝΗ Η 0 ΨΕΥ ΗΣ Η 0 ΑΠΟ ΕΚΤΗ ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΡΘΗ ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ Ι - Η ΑΠΟ ΕΚΤΗ ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ Ι ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΡΘΗ - ΑΠΟΡΡΙΨΗΤΗΣΗ 0 - ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΡΘΗ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΕΛΕΓΧΟΥ Περιοχή απόρριψης: είναι εκείνη η περιοχή τιµών στηνοποίαανβρεθείητιµήτης στατιστικής συνάρτησης ελέγχου απορρίπτουµετηνµηδενικήυπόθεσηη 0. Περιοχή αποδοχής: είναι εκείνη η περιοχή τιµών στην οποία αν βρεθεί η τιµή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου δεν απορρίπτουµε την µηδενικήυπόθεσηη 0. 20

21 ΕΙ Η ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων του µέσου αριθµητικού ενός κανονικού πληθυσµού α. Όταν η διακύµανση είναι γνωστή β. Όταν η διακύµανση είναι άγνωστη 2. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων του µέσου αριθµητικού ενός τυχαίου πληθυσµού 3. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων της διακύµανσης ενός κανονικού πληθυσµού 4. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων της διαφοράς αριθµητικών µέσων δύο κανονικών πληθυσµών 5. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων της διαφοράς αριθµητικών µέσων δύο µη κανονικών πληθυσµών ΕΙ Η ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 6. Έλεγχος υποθέσεων αναλογίας 7. Έλεγχος υποθέσεων της διαφοράς δύο αναλογιών 8. Έλεγχος υποθέσεων του λόγου των διακυµάνσεων δύο κανονικών πληθυσµών 9. Έλεγχος προσαρµογής εµπειρικών κατανοµών σε θεωρητικές κατανοµές. Το Χ 2 test. 2

22 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΣΟ Οι δυνατές µορφές των ελέγχων είναι οι: ) ίπλευρος H H : 0 0 : µ µ µ µ 0 2) Μονόπλευρος προς τα πάνω H H : µ µ H : µ µ : µ > µ H : µ > µ 0 0 3) Μονόπλευρος προς τα κάτω H H : µ µ H : µ µ : µ < µ H : µ < µ 0 0 Επειδή Χ~Ν(µ,σ 2 ) και αν το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο τότε χρησιµοποιούµε ως στατιστική συνάρτηση ελέγχου την παρακάτω σχέση: Z X µ * 0 σ / n 22

23 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ Η Ανάλυση ιακύµανσης µε έναν παράγοντα (One-Way ANOVA) είναι µια µέθοδος ανάλυσης δεδοµένων όπου µια συνεχής ποσοτική µεταβλητή, η απόκριση, µετριέται επανειληµµένα σε διάφορα επίπεδα ενός ποιοτικού ανεξάρτητου παράγοντα. Εδώ περιοριζόµαστε στην περίπτωση όπου ο παράγοντας αυτός έχει πεπερασµένο (συνήθως µικρό) αριθµό επιπέδων τα οποία και περιλαµβάνονται στην ανάλυση (fixed factor). Ένα µέρος της διακύµανσης που παρουσιάζεται στις µετρήσεις της απόκρισης, κάτω από ορισµένες θεωρητικές προϋποθέσεις, θεωρείται ότι οφείλεται στην µεταβολή των επιπέδων της ποιοτικής ανεξάρτητης µεταβλητής, ενώ το υπόλοιπο µέρος αποδίδεται στην ύπαρξη τυχαίου σφάλµατος. Η απλή αυτή περίπτωση περιγράφεται από το γραµµικό στατιστικό υπόδειγµα i,2,..., a y ij µ + τ i + ε ij j,2,..., n όπου y ij είναιµετρήσειςτηςαπόκρισης, µείναιµίασταθερά κοινήγιαόλαταεπίπεδατουποιοτικούπαράγοντα, τατ i είναι παράµετροι - αποτελέσµατα της παρουσίας του παράγοντα αυτού που συνδέονται µε τα διάφορα επίπεδά του, και ορίζονται ως αποκλίσεις από τον γενικό µέσο όρο µ, ενώταε ij είναιτυχαίασφάλµατα. 23

24 Η απλή Ανάλυση ιακύµανσης µε έναν παράγοντα όπως εκτέθηκε εδώ, χρησιµοποιείται γιατονέλεγχοτηςισότηταςτωνµέσωνόρων πολλών δειγµάτων. Ως δείγµατα θεωρούνται οι συλλογές των n µετρήσεων της απόκρισης y σε κάθεένααπότα aεπίπεδατουποιοτικού παράγοντα. Η µέθοδος αυτή έχει το πλεονέκτηµα ότι ελέγχει µε µιάς αν υπάρχουν σηµαντικές διαφορές µεταξύ των µέσων των οµάδωνπαρατηρήσεων (δειγµάτων) διαµερίζοντας τη συνολική διακύµανση των µετρήσεων της απόκρισης σε ένα κοµµάτι που εξηγείταιαπότουπόδειγµακαισεέναάλλο µικρότερο που αποδίδεται σε «τυχαίο σφάλµα». Ηυπόθεσηπουελέγχεταιµεαυτότοντρόποείναι η Η 0 : τ τ 2... τ a 0 ήαλλιώς Η 0 : µ µ 2... µ a όπουµ i οµέσοςτου iδείγµατος. Τυχόναποδοχήτηςσηµαίνειότιοιµέσοιόροιτων a δειγµάτων δεν είναι σηµαντικά διαφορετικοί µεταξύτουςήµεάλλαλόγιαότιουπόεξέταση ποιοτικός παράγοντας δεν έχει σηµαντική επίδραση πάνω στην εξαρτηµένη ποσοτική µεταβλητή y. 24

25 Ωςκριτήριογιατηναπόρριψηήµητης παραπάνωµηδενικήςυπόθεσηςη 0 χρησιµοποιούµε την τιµή του F και την αντίστοιχη πιθανότητα (Pr>F). Αν η πιθανότητα αυτή είναι µικρότερη από µια προκαθορισµένη απόεµάςτιµή, συνήθως 0,05 ή 0,0, τότε απορρίπτουµετηνη 0 καισυµπεραίνουµεότι τουλάχιστον ένα από τα επίπεδα του ανεξάρτητου ποιοτικού παράγοντα έχει σηµαντική επίδραση πάνω στην απόκριση y ή µεάλλαλόγιαότιτουλάχιστονδύοαπότους µέσους είναι σηµαντικά διαφορετικοί µεταξύ τους. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΜΕ ΤΟ SPSS 25

26 26

27 27

28 28

29 ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ Είναι µία Στατιστική µεθοδολογία πρόβλεψης µιας ή περισσότερων εξαρτηµένων µεταβλητών από ένα σύνολο ανεξάρτητων µεταβλητών. Εξαρτηµένη (dependent or response) µεταβλητή είναι µία τυχαία µεταβλητή µε τιµές που εξαρτώνται από άλλες µεταβλητές. Ανεξάρτητες (independent or predictor) µεταβλητές είναι οι µεταβλητές που επηρεάζουν την εξαρτηµένη µεταβλητή. Στην ανάλυση παλινδρόµησης κατασκευάζεται έναυπόδειγµαπουέχεισανσκοπό:. Την επεξήγηση της σχέσης της εξαρτηµένης µεταβλητής από τις ανεξάρτητες µεταβλητές. 2. Την πρόβλεψη τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής όταν γνωρίζουµε τις ανεξάρτητες µεταβλητές. 29

30 30 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Γραµµική παλινδρόµηση Y εξαρτηµένηµεταβλητή Ανεξάρτητες µεταβλητές: Γενικό µοντέλο: Μοντέλο µε n παρατηρήσεις: r X X X,,, 2 K ε β β β r r X X Y L 0 n nr r n n r r r r x x y x x y x x y ε β β β ε β β β ε β β β L M L L ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ. Οµέσοςτωνσφαλµάτωνείναιίσοςµε Η διακύµανση σ2 είναι σταθερή. 3. Η µήτρα συνδιακύµανσης είναι ίση µε το 0. k j Cov( (constant) Var E k j j j 0, ), ) ( 0 ) ( 2 ε ε σ ε ε

31 3 Χρησιµοποιούνται οι εκτιµητές Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Squares Estimation) µεσκοπό: α. Την προσαρµογή του γραµµικού µοντέλου στα δεδοµένα β. Την ελαχιστοποίηση της ποσότητας Όπου είναι οι εκτιµητές Από τα υπόλοιπα (residuals) λαµβάνουµε πληροφορία για το ) ) ( ( ) ( ) ( 2 0 Xβ y Xβ y β x x y S n i ir r i i β β β L βˆ 2 σ Xβ y ε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ir r i i i x x y β β β ε L ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ (COEFFICIENT OF DETERMINATION) n i i n i i n i i n i i y y y y y y R ) ( ) ( ˆ ) ( ˆ ε

32 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ Ο συντελεστής γραµµικού προσδιορισµού ερµηνεύει το ποσοστό της συνολικής διασποράς που εξηγείται απότοµοντέλοµετιςανεξάρτητεςµεταβλητές. Μετρά την ποιότητα προσαρµογής του µοντέλου και παίρνει τιµές ανάµεσα στο 0 και στο. Οσυντελεστήςαυτόςπαίρνειτιµήίσηµε (R 2 ) όταν περνά πάνω από όλα τα σηµεία. Στην πράξη ουδέποτε παίρνει τέτοια τιµή. Οσυντελεστήςαυτόςπαίρνειτιµήίσηµε 0 (R 2 0) όταν οι ανεξάρτητες µεταβλητές δεν έχουν καµιά επίδραση στην εξαρτηµένη µεταβλητή. ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. FULL MODEL FITTED 2. FORWARD SELECTION 3. BACKWARD ELIMINATION 4. STEPWISE 5. MAXIMUM R 2 IMPROVEMENT 6. MINIMUM R 2 IMPROVEMENT 7. R2 SELECTION 8. ADJUSTED R 2 SELECTION 9. MALLOWS C p SELECTION 32

33 FULL MODEL FITTED Είναι µία µέθοδος σύµφωνα µε την οποία γίνεται εξοµάλυνση του υποδείγµατος χρησιµοποιώντας όλες τις διαθέσιµες µεταβλητές. Πολλές φορές είναι χρήσιµη όταν γίνεται ανάλυση παλινδρόµησης, αλλά έχει το µειονέκτηµα ότι δενλαµβάνειυπ όψητηνθεωρίατου αντικειµένου που πραγµατεύονται οι µεταβλητές του υποδείγµατος, και στην συγκεκριµένη περίπτωσητηνοικονοµικήθεωρία. FORWARD SELECTION Σύµφωνα µε την µέθοδο αυτή, γίνεται ξεκίνηµα µετηνµεταβλητήπουέχειτοµεγαλύτερο F- στατιστικό στο υπόδειγµα και εκτελείται παλινδρόµηση. Ακολούθως προστίθεται η µεταβλητήµετοαµέσωςµικρότερο Fκαιαυτήη διαδικασία συνεχίζεται έως ότου εξαντληθούν οι µεταβλητές ή οι µεταβλητές που έχουν αποµείνει έχουν µικρότερη τιµή επιπέδου σηµαντικότητας από 0,05. 33

34 BACKWARD ELIMINATION Αυτή η µέθοδος ξεκινάει και υπολογίζει στατιστικά για το υπόδειγµα περιλαµβάνοντας σε αυτό όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές, και συνεχίζει αφαιρώντας µία µία τις µεταβλητές µε την µικρότερη συνεισφορά στο υπόδειγµα µε τιµή R 2 µικρότερηαπό 0,0. Καταλήγειτέλοςσε υπόδειγµα που περιλαµβάνει ανεξάρτητες µεταβλητές που η συνεισφορά κάθε µιάς είναι µεγαλύτερηαπό 0,0. STEPWISE Ηµέθοδοςαυτήείναιπαρόµοιαµετην FORWARD SELECTION, δηλαδή ξεκινά µε την µεταβλητή µε την µεγαλύτερη συνεισφορά στο υπόδειγµα και ακολουθούν µία µίαοιάλλεςµεταβλητές. Ηδιαφοράέγκειταιστοότι όποια µεταβλητή εισέλθει στο υπόδειγµα δεν είναι απαραίτητο να παραµείνει σε επόµενο στάδιο, όταν δηλαδή εισέρχεται κάποια επόµενη µεταβλητή. Αυτό έχει σαναποτέλεσµαµετηνείσοδοκάποιαςµεταβλητής, κάποια άλλη µεταβλητή που υπάρχει να φύγει από το υπόδειγµα και τελικά η διαδικασία αυτή σταµατά, όταν όλες οι µεταβλητές που είναι εκτός υποδείγµατος έχουν F-στατιστικό σε επίπεδο σηµαντικότητας µικρότερο του 0,5 καιοιυπάρχουσεςµεγαλύτεροτου 0,5. 34

35 MAXIMUM R 2 IMPROVEMENT Η µέθοδος αυτή αποτελεί την πλέον κλασσική στην εκτίµηση υποδειγµάτων παλινδρόµησης. Ξεκινά προσθέτοντας στο υπόδειγµα την µεταβλητή που δίδει τοµεγαλύτερο R 2, ακολούθωςπροσθέτειδεύτερη µεταβλητήµετοαµέσωςµικρότερο R 2, καισυγκρίνει ταυτόχρονα µε τις µεταβλητές που είναι εκτός υποδείγµατος, γιατοσυνολικό R 2 τουυποδείγµατος αποφασίζοντας αν πρέπει να φύγει και να πάρει την θέση της κάποια µεταβλητή που βρίσκεται εκτός. Αυτή η διαδικασία γίνεται για κάθε µία µεταβλητή µε βάση το µέγιστο R 2 πουδίνουνστουπόδειγµα. Τελικάπροτείνει ένα υπόδειγµα αποτελούµενο από όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές που ο συνδυασµός θέσης τους δίδει το µεγαλύτερο R 2. MINIMUM R 2 IMPROVEMENT Ηµέθοδοςαυτήείναιπαρόµοιαµετην MAXIMUM R 2 IMPROVEMENT, µετηνδιαφορά ότιβασίζεταιστογεγονόςτηςµικρότερης R 2 συνεισφοράς που δίδουν οι µεταβλητές στο υπόδειγµα. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα µε τις αλλεπάλληλες εισόδους και εξόδους των µεταβλητών από το υπόδειγµα, να παρουσιάζει µεγάλο όγκο αποτελεσµάτων, αν και καταλήγει σε υπόδειγµα που περιλαµβάνει όλες τις µεταβλητές (µετοµικρότερο R 2 βέβαια). 35

36 R 2 SELECTION Σύµφωνα µε την µέθοδο αυτή, γίνεται παρουσίαση όλων των δυνατών συνδυασµών µεταξύ των ανεξαρτήτων µεταβλητών ανά αριθµό µεταβλητών, ξεκινώντας µε µία µεταβλητή, µετά µε δύο, κ.ο.κ., παρουσιάζοντας κάθεφοράγιακάθεσυνδυασµότο R 2. Παρέχεται έτσι η δυνατότητα στον αναλυτή να επιλέξει το υπόδειγµα εκείνο που νοµίζει ότι ανταποκρίνεται καλύτερα στα δεδοµένα του, µε κριτήριο τον συντελεστή γραµµικού προσδιορισµού R 2. ADJUSTED R 2 SELECTION Είναιπαρόµοιαµέθοδοςµετην R 2 SELECTION, µε µόνη διαφορά ότι χρησιµοποιεί το προσαρµοσµένο R 2 (ADJUSTED R 2 ). Ισχύειδε ησχέση: adjusted-rsquare-(-rsquare)[(n-)/(n-m-)], όπου n είναι ο αριθµός των παρατηρήσεων (observations) και m ο αριθµός των παραµέτρων του υποδείγµατος χωρίς τον σταθερό όρο (intercept). Στα αποτελέσµατα παρουσιάζει τα υποδείγµαταµεσειράµεγαλύτερου adjrsq, γράφονταςκαιτοαντίστοιχο R 2. 36

37 MALLOWS Cp SELECTION Αυτήηµέθοδοςείναιπαραπλήσιατης ADJUSTED R 2 SELECTION, µε την διαφορά ότι αντί να χρησιµοποιείται το adjrsq, χρησιµοποιείται το κριτήριο Cp του Mallows για την επιλογή υποδείγµατος. Το στατιστικό Cp είναι µία µέτρηση τουσυνολικούτετραγωνικούσφάλµατος (total squared error), που προσδιορίζεται ως: Cp(SSEp/s 2 ) (N 2*p), όπου s 2 είναιτοµέσοτετραγωνικόσφάλµα (mean squared error, MSE) του υποδείγµατος και SSEp είναι το άθροισµα τωντετραγώνωντωνσφαλµάτων (sum of squared errors, SSE) για ένα υπόδειγµα µε p παραµέτρους συµπεριλαµβανοµένου του σταθερού όρου (intercept), εάν υπάρχει. Εναλλακτικά η µέθοδος αυτή µπορεί να εφαρµοσθεί για την επιλογή βέλτιστου αριθµού ανεξαρτήτων µεταβλητών (regressors) σε ένα παλινδροµικό υπόδειγµα. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟ SPSS 37

38 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΗΜΙΟΥΡΓΟΥΝΤΑΙ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΙΚΩΝ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΩΝ. Ετεροσκεδαστικότητα 2. Συγγραµµικότητα - πολυσυγγραµµικότητα 3. Αυτοσυσχέτιση ΕΤΕΡΟΣΚΕ ΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Τοφαινόµενοτηςετεροσκεδαστικότητας (heteroscedasticity) παρουσιάζεταιόταντατυχαίασφάλµατα e i δενείναι ανεξάρτητα ή οι διακυµάνσεις τους δεν είναι σταθερές και οι εκτιµήσεις των παραµέτρων είναι αµερόληπτες, αλλά η εκτίµηση της µήτρας συνδιακύµανσης είναι µή σταθερή. Τα κυριότερααίτιαπουπροκαλούναυτότοφαινόµενο, είναι: α) Η χρησιµοποίηση διακλαδικών ή διαστρωµατικών δεδοµένωνγιατηνεκτίµησητουυποδείγµατος, β) Η ύπαρξη σφαλµάτων µετρήσεων των µεταβλητών και γ) Η παράλειψη µιας σηµαντικής µεταβλητής στο υπόδειγµα. Η λύση για την αντιµετώπιση του προβλήµατος της ετεροσκεδαστικότητας συνίσταται στην χρησιµοποίηση της σταθµισµένηςµεθόδουτωνελαχίστωντετραγώνων (weighted least squares), ή στον µετασχηµατισµό του υποδείγµατος κατά τρόπο που ο διαταρακτικός όρος στο νέο υπόδειγµα να έχεισταθερήδιακύµανσησ 2. 38

39 ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ - ΠΟΛΥΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ Το φαινόµενο της συγγραµµικότητας πολυσυγγραµµικότητας παρουσιάζεται όταν µεταξύ δύο ή περισσοτέρων ερµηνευτικών µεταβλητών υπάρχει γραµµική εξάρτηση, και τότε δεν µπορεί να εφαρµοστεί, για εκτιµήσεις η µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Η πολυσυγγραµικότητα φαίνεται από τις παρακάτωενδείξεις: α) όταν έχουµε µεγάλες µεταβολές στις τιµές των εκτιµηθέντων συντελεστών µε την πρόσθεση ή αφαίρεση µίας ανεξάρτητης µεταβλητής ή ορισµένου αριθµού παρατηρήσεων (observations), β) όταν προκύψει ότι δεν είναι στατιστικά σηµαντικοί οι συντελεστές µεταβλητών, που από την Οικονοµική θεωρία αναµένουµε να ασκούν σηµαντική επίδραση στη διαµόρφωση των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής, και γ) όταν ορισµένοι συντελεστές έχουν αντίθετο πρόσηµο απόεκείνοπουαναµένεταιναέχουνµεβάσητηνγνώση τηςοικονοµικήςθεωρίας. ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Οιλόγοιπουπροκαλούντηναυτοσυσχέτισηείναι: α) ηεσφαλµένηεξειδίκευσητουυποδείγµατος, β) η παράλειψη σηµαντικών ερµηνευτικών µεταβλητών, και γ) λάθη µετρήσεων ή υπολογισµών των τιµών των µεταβλητών. Για τη διαπίστωση του προβλήµατος, χρησιµοποιείται το κριτήριο των Durbin-Watson και για τη θεραπεία του συνήθως εφαρµόζονται κατάλληλοι µετασχηµατισµοί του αρχικού υποδείγµατος. 39