Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξισώσεων γενικά ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Transcript

1 Μέρος Α ΕΠΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Γενικά Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξισώσεων γενικά ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα και διακρίνουμε δεδομένα από ζητούμενα. Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το ) για να εκφράσουμε τον άγνωστο αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε. Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του. Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της εκφώνησης. Λύνουμε την εξίσωση. Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 4 είναι ίσο με το 2. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις επιλύει το πρόβλημα αυτό; A 2-4=2 Β 2+2=4 Γ 4-2=2 Δ 2+4=2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2+4=2 Εάν υποθέσουμε ότι είναι ο ζητούμενος αριθμός επειδή το διπλάσιο είναι αυξημένο κατά 4 προσθέτουμε τον αριθμό αυτό και προκύπτει η παράσταση 2+4 και έλος η εξίσωση 2+4=2, οπότε σωστό είναι το Δ 2. Ο Κώστας έχει 8 και ο Γιάννης 14. Αγόρασαν από ένα σουβλάκι ο καθένας, οπότε τα χρήματα που έχει τώρα ο Κώστας είναι τριπλάσια από τα χρήματα που έχει ο Γιάννης. Πόσο κοστίζει το κάθε σουβλάκι; Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις επιλύει το πρόβλημα αυτό; A 8+=+14 Β 8-=(14-) Γ 14-=(8-) Δ 8=.14+

2 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 8-=(14-) ΜΕΡΟΣ Α ΕΠΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Εάν υποθέσουμε ότι το κάθε σουβλάκι κοστίζει ευρώ, τότε μετά την αγορά ο Κώστας θα έχει (8-) και ο Γιάννης (14-). Επειδή σύμφωνα με το πρόβλημα τα χρήματα του Κώστα είναι τριπλάσια των χρημάτων του Γιάννη πρέπει 8-=(14-), άρα σωστό είναι το Β Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να βρεθούν οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, αν η μία είναι διπλάσια της άλλης. Β Γ = 90 Β + 2Β = 90 Β = Β = = 0 0 Γ = Εάν υποθέσουμε ότι Β, Γ είναι οι οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου τότε το άθροισμά τους είναι Αφού η μία είναι διπλάσια της άλλης τότε Γ=2Β. Αντικαθιστούμε την γωνία Γ με το ίσο της στην πρώτη σχέση και έχουμε μια εξίσωση 1 ου βαθμού ως προς Β την οποία και λύνουμε με τον γνωστό τρόπο. Δηλαδή κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και κατόπιν 0 Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. Επαλήθευση: Γ=60 0 =.0 0 =.Β = 60 0 ΑΣΚΗΣΗ 2 Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο και το τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. -7 P P 2 + 2( 7) = = = 14 = 14 = Αν υποθέσουμε ότι P,P είναι οι περίμετροι του ορθογωνίου και του τριγώνου αντίστοιχα αυτές θα είναι ίσες. Αν στην θέση των P,P βάλουμε τις περιμέτρους των δύο σχημάτων όπως μας δίνονται στο σχήμα με την βοήθεια της μεταβλητής δημιουργείται μια εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς. Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 14 και 14-7=7 Επαλήθευση: P=2+2(-7)= =28+14=42, P ==.14=42

3 Μέρος Α ΕΠΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΑΣΚΗΣΗ Ένας πατέρας είναι 44 ετών και ο γιος του είναι 8 ετών. Μετά από πόσα έτη η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου; 44 + = 8 20 = 2 = 20 2 ( + ) 44 + = = = 10 Εάν υποθέσουμε ότι η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου μετά από χρόνια. Τότε η ηλικία του πατέρα θα είναι 44+ και η ηλικία του γιου θα είναι 8+. Δημιουργούμε την εξίσωση πρώτου βαθμού και την λύνουμε κατά τα γνωστά, δηλαδή: Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. Επαλήθευση: Άρα η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου μετά από 10 χρόνια. Πράγματι μετά από 10 χρόνια ο πατέρας θα είναι 44+10=54 χρόνων και ο γιος 8+10=18 χρόνων (54=.18) ΑΣΚΗΣΗ 4 Τρεις φίλοι μοιράστηκαν ένα χρηματικό ποσό. Ο πρώτος πήρε το ποσού,ο δεύτερος πήρε το 1 του ποσού και ο τρίτος πήρε το 1 του 4 1 του πο- σού και 100 ακόμη. Να βρεθεί το αρχικό χρηματικό ποσό που μοιράστηκαν και το μερίδιο του καθενός = = = = = ΑΣΚΗΣΗ 5 Εάν υποθέσουμε ότι ήταν το αρχικό ποσό τότε ο πρώτος πήρε 1., ο δεύτερος πήρε 4 1. και ο τρίτος πήρε το άθροισμα αυτών των ποσών είναι το αρχικό ποσό. Δημιουργούμε την εξίσωση πρώτου βαθμού και την λύνουμε κατά τα γνωστά. 1 1 Ο πρώτος πήρε. =.1200 = , ο δεύτερος πήρε 1. = = και τρίτος = 500 Το ρεζερβουάρ ενός αυτοκινήτου περιέχει διπλάσια ποσότητα βενζίνης από το ρεζερβουάρ ενός άλλου αυτοκινήτου. Αν το πρώτο αυτοκίνητο καταναλώσει 4 λίτρα και το δεύτερο 7 λίτρα, θα μείνει ίδια ποσότητα βενζίνης στα δύο αυτοκίνητα.πόσα λίτρα βενζίνης περιέχει κάθε αυτοκίνητο;

4 2 ΜΕΡΟΣ Α ΕΠΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 4 = 7 2 = 4 7 = 27 Εάν υποθέσουμε ότι είναι η ποσότητα που περιέχει το ρεζερβουάρ του δεύτερου αυτοκινήτου τότε το ρεζερβουάρ του πρώτου θα περιέχει 2. Αν το πρώτο καταναλώσει 4 λίτρα,δηλαδή 2-4 και το δεύτερο καταναλώσει 7 λίτρα,δηλαδή -7 τότε οι ποσότητες βενζίνης των δύο ρεζερβουάρ θα είναι ίσες. Δημιουργούμε την εξίσωση πρώτου βαθμού και την λύνουμε κατά τα γνωστά. Επαλήθευση: 2-4=2.27-4=20, -7=27-7=20 ΑΣΚΗΣΗ 6 12 μικρά λεωφορεία των 8 και 14 ατόμων μεταφέρουν 126 συνολικά επιβάτες. Πόσα λεωφορεία είναι των 8 και πόσα των 14 ατόμων; ( 12 ) = = = = = = 7 λεωφορεία 6 ΑΣΚΗΣΗ 7 Εάν υποθέσουμε ότι είναι τα λεωφορεία των 8 τότε τα λεωφορεία των 14 θα είναι 12-. Δημιουργούμε την εξίσωση πρώτου βαθμού ως εξής:.8 θα είναι οι επιβάτες των λεωφορείων που μεταφέρουν 8 άτομα και (12-).14 θα είναι επιβάτες των λεωφορείων που μεταφέρουν 14 άτομα. Αν προσθέσουμε τους επιβάτες των λεωφορείων των 8 ατόμων και των 14 ατόμων πρέπει να μας δώσουν 126 επιβάτες συνολικά. Κατόπιν λύνουμε την εξίσωση κατά τα γνωστά. Τα λεωφορεία των 14 ατόμων θα είναι 12-7=5 Επαλήθευση: =56+70=126 επιβάτες Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι 8 m και 12 m. Για να διπλασιάσουμε το εμβαδόν του, αυξάνουμε τη μεγαλύτερη διάσταση κατά 4 m. Πόσο πρέπει να αυξήσουμε τη μικρότερη διάσταση; ( + 8) 16 = = = = = = 4 16 Εάν υποθέσουμε ότι αυξάνουμε κατά την μικρότερη διάσταση τότε αυτή θα είναι +8. Δημιουργούμε την εξίσωση πρώτου βαθμού ως εξής: Το εμβαδόν του ορθογωνίου αρχικά θα είναι 8.12 Το εμβαδόν του ορθογωνίου μετά τις αυξήσεις των πλευρών του θα είναι (+8).(12+4)= (+8).16 Αφού μετά τις αυξήσεις των πλευρών του το εμβαδόν του θα είναι διπλάσιου προκύπτει η εξίσωση: (+8).16=2.(8.12) Κατόπιν λύνουμε την εξίσωση κατά τα γνωστά. Επαλήθευση: (+8).16=(4+8).16=12.16=192, 8.12=96, 96.2=192

5 Μέρος Α ΕΠΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 8 Ο Πέτρος και ο Σάκης αμείβονται για την εργασία τους με την ώρα. Ο Πέτρος κερδίζει 2 την ώρα περισσότερα από τον Σάκη. Όταν ο Πέτρος εργάζεται 7 ώρες και ο Σάκης 5 ώρες, ο Σάκης κερδίζει 26 λιγότερα από τον Πέτρο. Να βρεθεί το ωρομίσθιο του καθενός. 7 ( 2 + ) = Εάν υποθέσουμε ότι ο Σάκης παίρνει τότε ο Πέτρος θα = = = 12 = 12 2 ΑΣΚΗΣΗ 9 = 6 Ευρώ παίρνει 2+. Εργαζόμενος ο Πέτρος 7 ώρες παίρνει 7(2+) και ο Σάκης εργαζόμενος 5 ώρες παίρνει 5.. Δημιουργούμε την εξίσωση πρώτου βαθμού ως εξής: Όσα παίρνει ο Πέτρος είναι όσα παίρνει ο Σάκης συν 26 Δηλαδή 7(2+)=5+26. (θα μπορούσαμε να πούμε και 7(2+)-26=5) Κατόπιν λύνουμε την εξίσωση κατά τα γνωστά. Επαλήθευση:7.8=56, 5.6=0 56-0=26 Όλα μου τα στιλό εκτός από είναι μπλε, όλα μου τα στιλό εκτός από 4 είναι κόκκινα, όλα μου τα στιλό εκτός από 5 είναι μαύρα. Πόσα στιλό έχω; = Εάν υποθέσουμε ότι έχω στιλό τότε θα είναι τα - μπλε, τα = = = = 6 στιλό 2 4 κόκκινα και τα -5 μαύρα. Δημιουργούμε την εξίσωση πρώτου βαθμού ως εξής: Το άθροισμα των μπλε, κόκκινων, μαύρων στιλό θα είναι δηλαδή =. Κατόπιν λύνουμε την εξίσωση κατά τα γνωστά. Επαλήθευση: -=6-=, -4=6-4=2, -5=6-5=1, +2+1=6 ΑΣΚΗΣΗ 10 Το τρίαθλο είναι ένα αγώνισμα που περιλαμβάνει έναν αγώνα κολύμβησης, έναν αγώνα ποδηλασίας και έναν αγώνα δρόμου. Η συνολική απόσταση που διανύει ένας αθλητής και στα τρία αγωνίσματα είναι 51,5 km. Ο αγώνας δρόμου γίνεται σε μία απόσταση που είναι κατά 8,5 km μεγαλύτερη από την α- πόσταση στην οποία γίνεται ο αγώνας κολύμβησης. Ο αγώνας της ποδηλασίας γίνεται σε τετραπλάσια απόσταση απ' αυτήν του αγώνα δρόμου.

6 4 ΜΕΡΟΣ Α ΕΠΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ α) Υποθέτοντας ότι το ευθύγραμμο τμήμα παριστάνει την απόσταση στην οποία γίνεται ο αγώνας δρόμου, να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε το σχήμα με τις πληροφορίες της εκφώνησης. β) Ποια απόσταση διανύει ένας αθλητής σε κάθε αγώνισμα; Συνολική διαδρομή ; 6 = 60 = 60 = 10 6 ; ; ; Αγώνας κολύμβησης 8, = 51, = 51,5 + 8,5 Αγώνας ποδηλασίας Αγώνας δρόμου α) Εάν υποθέσουμε ότι χιλιόμετρα είναι ο αγώνας δρόμου τότε σύμφωνα με τις πληροφορίες της εκφώνησης ο αγώνας κολύμβησης είναι -8,5 χιλιόμετρα και ο αγώνας της ποδηλασίας είναι 4 χιλιόμετρα. β) Δημιουργούμε την εξίσωση πρώτου βαθμού ως εξής: Το άθροισμα των χιλιομέτρων κάθε αγώνα θα είναι 51,5 δηλαδή -8,5+4+=51,5. Κατόπιν λύνουμε την εξίσωση κατά τα γνωστά. Επαλήθευση: 1, =51,5