Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================= Παναγιώτης Δ. Κυράνας, Κώστας Γ.

Transcript

1 Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================= Παναγιώτης Δ. Κυράνας, Κώστας Γ. Σάλαρης ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ. Γνωρίζουμε από προηγούμενα μαθήματα ότι οι ακέραιοι θετικοί αριθμοί δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί χωρίς το 0, αποτελούνται από ακέραιες μονάδες,σε πλήθος που δηλώνει ο αριθμός π,χ ο αριθμός 23 αποτελείται 23 ακέραιες μονάδες. Κάθε κλάσμα αποτελείται από κλασματικές μονάδες, τόσες όσες και ο αριθμός του αριθμητή, π.χ το κλάσμα 3 5 αποτελείται από 3 κλασματικές μονάδες που η καθεμιά είναι το κλάσμα 1. Όταν γνωρίζουμε την αξία μιας ακεραίας ή κλασματικής μονάδας 5 είναι εύκολο να βρούμε την αξία περισσοτέρων μονάδων. Π.χ i) Ενα λίτρο βενζίνας πωλείται 1,60, πόσο πωλούνται τα 40 λίτρα βενζίνης. Απάντηση 1, ii)το 1 4 ενός αριθμού είναι 20, να βρεθεί ποιός είναι ο αριθμός. Απάντηση: ο αριθμός, δηλαδή τα 4 4 είναι 4 20=80. Ανάγω (ουσιαστικό αναγωγή) σημαίνει μετατρέπω με υπολογισμό κάτι σε άλλο απλούστερο ή ισοδύναμο. Αναγωγή στη μονάδα σημαίνει με κάποιον υπολογισμό, σε ένα πρόβλημα, να υπολογίσουμε τι ισχύει για τη μονάδα είτε είναι ακέραια είτε είναι κλασματική, οπότε μετά θα μπορούμε να υπολογίσουμε τί ισχύει για οποιοδήποτε πλήθος μονάδων. Με τη μέθοδο της αναγωγής στη μονάδα λύνονται εύκολα και γρήγορα όλα τα προβλήματα των αναλόγων, αντιστρόφως αναλόγων ποσών καθώς και άλλες σημαντικές κατηγορίες προβλημάτων. Παρακάτω θα αναφέρουμε μερικά παραδείγματα, ώστε να κατανοήσουμε τη μέθοδο αναγωγής στη μονάδα σαν εργαλείο επίλυσης προβλημάτων. Προβλημα 1 Τα 250 λίτρα βενζίνης πωλούνται 400 ευρώ. Να βρείτε πόσο πωλούνται τα 600 λίτρα...

2 Τα πόσα: ποσότητα βενζίνας και αξία βενζίνας είναι ανάλογα Κάνουμε αναγωγή στη μονάδα Τα 250 λίτρα πωλούνται 400 ευρώ Το ένα λίτρο πωλείται 400 1,6 250 ευρώ Τα 600 λίτρα θα πωλούνται 600 1,6 960 ευρώ Άρα για τα 600 λίτρα βενζίνας ο οδηγός πλήρωσε 960 ευρώ. Πρόβλημα 2 Για να βάψουν ένα σπίτι 4 εργάτες, χρειάζονται 6 ώρες. Σε πόσες ώρες θα βάψουν το ίδιο σπίτι οι 3 από τους παραπάνω εργάτες; : Τα ποσά εργάτες- χρόνος για το ίδιο έργο είναι αντιστρόφως ανάλογα Αναγωγή στη μονάδα Οι 4 εργάτες βάφουν το σπίτι σε 6 ώρες. Ο 1 εργάτης θα βάψει το σπίτι σε ώρες.. Οι 3 εργάτες θα βάψουν το σπίτι σε ώρες Άρα οι 3 εργάτες χρειάζονται 8 ώρες για να βάψουν το σπίτι. Πρόβλημα 3 Τα 3 5 ενός αριθμού είναι 12. Να βρείτε: α) τα 2 5 του αριθμού β) τον αριθμό : Αναγωγή στη μονάδα α) Τα 3 5 του αριθμού είναι 12. Το 1 5 του αριθμού είναι

3 τα 2 5 του αριθμού είναι β) τα 5 5 (ολόκληρος ο αριθμός) είναι Πρόβλημα 4 Μία βρύση Α γεμίζει μία δεξαμενή σε 10 ώρες, όταν τρέχει μόνη της, και μία βρύση Β αδειάζει τη δεξαμενή σε 12 ώρες όταν τρέχει μόνη της. Αν αφήσουμε και τις 2 βρύσες να τρέχουν συγχρόνως, σε πόσες ώρες θα γεμίσει η δεξαμενή. Η βρύση Α: Αναγωγή στη μονάδα σε 10 ώρες γεμίζει την δεξαμενή σε 1 ώρα θα γεμίσει το 1 10 της δεξαμενής Η βρύση Β: σε 12 ώρες αδειάζει την δεξαμενή σε 1 ώρα θα αδειάσει το 1 της δεξαμενής 12 Όταν τρέχουν και οι 2 βρύσες μαζί Α+Β βρύσες: σε 1 ώρα γεμίζουν = 1 60 της δεξαμενής. Άρα τα (ολόκληρη η δεξαμενή) θα γεμίσει σε 60 1=60 ώρες Πρόβλημα 5 Σύμφωνα με το νόμο Boyle-Mariotte, όταν η θερμοκρασία είναι σταθερή, τότε ο όγκος V ενός αερίου, είναι αντιστρόφως ανάλογος προς την πίεση P κάτω από την οποία βρίσκεται. ή το γινόμενο P.V=σταθερό Αν για P=600 atm είναι V=18 m 3,να υπολογίσετε το V όταν η πίεση P γίνει 900atm Αναγωγή στη μονάδα. όταν P=600 τότε V=18 αν P=1 τότε θα είναι V=600 18=10800 Συνεπώς αν P=900 τότε V= =12 Άρα για P=900atm ο όγκος V γίνεται 12 m 3.

4 Πρόβλημα 6 Να βρείτε πόσες ευθείες περνάνε από 7 σημεία, όταν αυτά συνδεθούν ανά 2, τα οποία ανά 3 δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και να γενικεύσετε το πρόβλημα για ν σημεία. : Έστω Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,Η τα σημεία Εάν ενώσουμε ένα(1) σημείο π.χ το σημείο Α με τα υπόλοιπα 6 7 1, τότε μπορούμε να φέρουμε 6 ευθείες. Και αυτό μπορούμε να το κάνουμε για κάθε σημείο. Άρα από το 1 σημείο φέρνουμε 6 ευθείες Από τα 7 σημεία θα φέρουμε 7 6=42 ευθείες Όταν όμως ενώνουμε κάθε φορά ένα σημείο με όλα τα υπόλοιπα, τότε έχουμε φέρει τις ευθείες 2 φορές. Συνεπώς ο αριθμός των ευθειών που περνάνε από τα 7 σημεία όταν συνδεθούν ανά 2, είναι ευθείες. Η γενίκευση του προβλήματος αφήνεται στον αναγνώστη. Πρόβλημα 7 Στη διπλανή εικόνα βλέπετε ένα κομμάτι από το γεωγραφικό χάρτη Πελοποννήσου. Μετρούμε στο χάρτη την απόσταση Κορίνθου Τρίπολης και τη βρίσκουμε ότι είναι 4cm, ενώ γνωρίζουμε, ότι η πραγματική απόσταση είναι 81 Km. Nα βρείτε ποια είναι η απόσταση μεταξύ Τρίπολης και Γυθείου.. Η απόσταση 4cm στο χάρτη Κόρινθος Τρίπολη αντιστοιχεί σε cm στη πραγματικότητα. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο αναγωγής στη μονάδα και βρίσκουμε, ότι στο 1cm απόσταση στο χάρτη αντιστοιχούν cm ( Ο λόγος 4

5 1: λέγεται και κλίμακα κατασκευής του χάρτη). Στη συνέχεια μετρούμε στο χάρτη την απόσταση Τρίπολης Γυθείου και τη βρίσκουμε 4,8cm. Επομένως η απόσταση Τρίπολης Γυθείου είναι , cm 97,2Km Παρατήρηση : Οι αποστάσεις στο χάρτη παίρνονται σε ευθείες, στη πραγματικότητα όμως οι δρόμοι δεν είναι πάντοτε ευθείες, αλλά ακολουθούν τη μορφολογία του εδάφους, για αυτό κάθε φορά έχουμε μικρές αποκλίσεις από την πραγματικότητα. Πρόβλημα 8 Ένα αυτοκίνητο τρέχει με σταθερή ταχύτητα 70 χιλιόμετρα την ώρα. Την απόσταση Αθήνα-Κόρινθος τη διανύει σε 6 5 Αθήνας-Κορίνθου. της ώρας. Να βρούμε την απόσταση σε χιλιόμετρα Για να λύσουμε το πρόβλημα πρέπει να βρούμε πόσα χιλιόμετρα διανύει το αυτοκίνητο σε 6 5 ώρες. Γνωρίζουμε ότι σε 1 ώρα ή 5 5 της ώρας το αυτοκίνητο διανύει 70 χιλιόμετρα. Στο 1 5 της ώρας(κλασματική μονάδα) θα διανύσει χιλιόμετρα. Και τα 6 5 της ώρας θα διανύσει χιλιόμετρα. Αυτή είναι και η απόσταση Αθήνας-Κορίνθου Πρόβλημα 9 Ο παππούς θέλει να κάνει δώρο ένα ποσό ευρώ στα 3 εγγόνια του, ανάλογα προς τις ηλικίες τους, που είναι 6, 8, και 11 ετών. Πόσα χρήματα θα πάρει το κάθε εγγόνι; Επειδή τα ευρώ θα δοθούν και στις 3 ηλικίες, δηλαδή συνολικά στα =25 έτη, ανάλογα με την ηλικία τους, μπορούμε με αναγωγή στη μονάδα να βρούμε πόσα χρήματα θα έπαιρνε ένα εγγόνι ενός έτους. αναγωγή στη μονάδα Τα 25 έτη θα πάρουν ευρώ. Το 1 έτος θα πάρει :25=800 ευρώ. Τα 6 έτη θα πάρουν 6 800=4.800 ευρώ Τα 8 έτη θα πάρουν 8 800=6.400 ευρώ και τα 11 έτη θα πάρουν =8.800 ευρώ

6 άρα το εγγόνι των 6 ετών θα πάρει ευρώ, το εγγόνι των 8 ετών θα πάρει ευρώ και το εγγόνι των 11 ετών θα πάρει ευρώ. Επαλήθευση: =20000 ευρώ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗ ΜΟΝΑΔΑ. 1. Τρεις επιχειρηματίες ιδρύουν μία βιομηχανία γάλακτος και συμμετέχουν με κεφάλαια ο Α, ο Β και Γ. Τα κέρδη της επιχείρησης θα μοιράζονται ανάλογα με τα κεφάλαια που έχει βάλει ο καθένας. Εάν το πρώτο έτος τα κέρδη της επιχείρησης ήταν Να βρείτε τι ποσό από τα κέρδη αντιστοιχεί στον καθένα, με τη μέθοδο αναγωγής στη μονάδα. Απάντηση Α: , B: , Γ: Μια κυρία αγόρασε 8,25 μέτρα από ένα ύφασμα και έδωσε 330. Ο έμπορος όμως έκανε λάθος και έδωσε 0,25 μέτρα λιγότερο ύφασμα. Πόσα χρήματα πρέπει να επιστρέψει ο έμπορος στην κυρία. Απάντηση Μια φρουρά από 400 στρατιώτες σε μια απομακρυσμένη μονάδα έχει τροφές για 6 μήνες. Πόσους στρατιώτες έπρεπε να έχει η φρουρά για να περάσει 8 μήνες με τις ίδιες πάντα τροφές. Απάντηση 300 στρατιώτες 4. Να βρείτε τον αριθμό των διαγωνίων που μπορούμε να φέρουμε σε ένα εξάγωνο. Να γενικεύσετε το πρόβλημα σε ένα ν-γωνο. Υπόδειξη: θα βρείτε πρώτα πόσες διαγώνιες μπορούμε να φέρουμε από μία κορυφή του εξαγώνου και εν συνεχεία θα σκεφτείτε όπως και στο λυμένο πρόβλημα 6.