2. Τυχαίες Μεταβλητές.

Transcript

1 . Τυχαίες Μεταβλητές. Κατά τη μελέτη ενός τυχαίου πειράματος ενδιαφερόμαστε συνήθως για κάποια συνάρτηση του αποτελέσματος και όχι για το αποτέλεσμα αυτό καθεαυτό π.χ. σε μια ακολουθία δοκιμών μας ενδιαφέρει το πλήθος από επιτυχίες και όχι ποιες δοκιμές ήταν επιτυχίες. Θα μελετήσουμε λοιπόν μεταβλητές των οποίων η τιμή καθορίζεται από το αποτέλεσμα κάποιου στοχαστικού πειράματος. Για το λόγο αυτό οι μεταβλητές αυτές καλούνται τυχαίες μεταβλητές.

2 Κάθε απεικόνιση Χ από το δειγματικό χώρο Ω σε κάποιο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών R θα καλείται τυχαία μεταβλητή τ.μ.. Η τ.μ. Χ απεικονίζει κάθε στοιχείο ω του Ω στο ω R Ω ω Χ R Χω

3 Γράφουμε [ A] για κάποιο Α R εννοώντας το ενδεχόμενο [ A] {ω Ω: ω A}. Γράφουμε [ A] ή απλούστερα A εννοώντας την πιθανότητα A {ω Ω: ω A}. [ A] Ω ω Χ A Χω R Για να μην δημιουργούνται τεχνικά προβλήματα απαιτούμε η απεικόνιση Χ να είναι τέτοια ώστε τα σύνολα της μορφής [ A] να είναι πράγματι ενδεχόμενα του Ω.

4 Παράδειγμα. Έστω μία οικογένεια με τρία παιδιά. Ας θεωρήσουμε την τ.μ. Χ η οποία εκφράζει το πλήθος των αγοριών. Ο δειγματικός χώρος θα είναι Ω{ααααακακακααακκκακκκακκκ} ααα αακ ακα καα κκα κακ ακκ Χ Ω κκκ - /8 /8 /8 /8 Αν θεωρήσουμε ότι τα 8 στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα τότε {ω Ω: ω} {κκκ} /8 {ω Ω: ω} {ακκκακκκα} /8 {ω Ω: ω} {αακακακαα} /8 {ω Ω: ω} {ααα} /8. R

5 Παρατηρούμε ότι η συνολική πιθανότητα ή % του Ω «κατανέμεται» στα στοιχεία του συνόλου τιμών της τ.μ. Χ μέσω της συνάρτησης. Στις εφαρμογές συνήθως δεν μας ενδιαφέρει από ποια στοιχεία του Ω έχει προέλθει η πιθανότητα που έχει κατανεμηθεί στα διάφορα σημεία του R αλλά μόνο η «κατανομή» της πιθανότητας στον R. Για παράδειγμα συνήθως δεν μας ενδιαφέρει ότι η πιθανότητα /8 στο σημείο έχει προέλθει από τα στοιχειώδη ενδεχόμενα ω ακκ ω κακ ω κκα αλλά μόνο το γεγονός ότι στα σημεία έχει κατανεμηθεί πιθανότητα /8 /8 /8 και /8 αντίστοιχα. Επομένως αρκεί να βρούμε ένα τρόπο να περιγράψουμε την «κατανομή» αυτή της συνολικής πιθανότητας στον R. Η συνάρτηση Χ : R [] ώστε ] R καλείται αθροιστική συνάρτηση κατανομής σ.κ. της τ.μ.. 5

6 Παράδειγμα Η τ.μ. Χ εκφράζει το πλήθος των αγοριών σε μία οικογένεια τριών παιδιών. Βρήκαμε παραπάνω ότι /8 /8 /8 /8. Η εκφράζει την πιθανότητα που έχει κατανεμηθεί στο σύνολο ]. /8 /8 /8 /8 - R και συνεπώς θα είναι ίση με ] < /8 < /8 < 7 /8 < 8/8 6

7 Σχηματικά θα έχουμε ότι 7/8 /8 /8 7

8 Αποδεικνύεται η επόμενη πρόταση. Για τη συνάρτηση κατανομής μιας τ.μ. ισχύουν τα εξής: για κάθε R. lim lim Η είναι μη φθίνουσα συνάρτηση δηλαδή για κάθε >y ισχύει ότι y. H είναι δεξιά συνεχής δηλαδή lim. Επίσης < b b b < b < b b b b R 8

9 Διακριτές καλούνται οι τ.μ. που έχουν ως πεδίο τιμών κάποιο υποσύνολο του Ζ ή του Ν ή γενικότερα έχουν αριθμήσιμο πεδίο τιμών. Οι αντίστοιχες κατανομές τους θα καλούνται διακριτές κατανομές. ένα σύνολο καλείται αριθμήσιμο αν μπορεί να γραφεί στη μορφή Α{α α...α κ } π.χ. {5} ή Α{α α...} π.χ. { } ή {69...}}. Τα σύνολα {...n} N Z είναι αριθμήσιμα ενώ π.χ. ένα διάστημα αβ δεν είναι. Συνεχείς καλούνται οι τ.μ. που έχουν ως πεδίο τιμών ένα διάστημα του R ή όλο το R ενώ επιπλέον έχουν παραγωγίσιμες συναρτήσεις κατανομής. Οι αντίστοιχες κατανομές τους θα καλούνται συνεχείς κατανομές. Υπάρχουν κατανομές που δεν είναι ούτε συνεχείς ούτε διακριτές π.χ. είναι μικτές ή ιδιάζουσες κατανομές. Τέτοιες κατανομές δεν εμφανίζονται συχνά στις εφαρμογές και δεν θα τις εξετάσουμε στην συνέχεια. 9

10 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι διακριτές τ.μ. παίρνουν τιμές στο {...n} ή στο {...} Ν. Η κατανομή μιας τ.μ. Χ με τιμές στο Α περιγράφεται από την συνάρτηση κατανομής της. Στην περίπτωση όμως των διακριτών τ.μ. είναι μερικές φορές βολικότερο να χρησιμοποιήσουμε και την λεγόμενη «συνάρτηση πιθανότητας». Η συνάρτηση Χ : A [] A καλείται συνάρτηση πιθανότητας σ.π. της τ.μ. Χ.

11 Αν Β Α ΧΩ τότε B B. B Αν Β Α ΧΩ τότε προφανώς A A. Δηλαδή το άθροισμα των τιμών της για όλα τα είναι ίσο με. Επίσης είναι > σε ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του R. Αντίστροφα τώρα αν μία μη-αρνητική συνάρτηση παίρνει γνήσια θετικές τιμές σε ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του R και το άθροισμα των τιμών της είναι τότε μπορεί να θεωρηθεί ως η συνάρτηση πιθανότητας μιας διακριτής τ.μ.

12 Σχέση μεταξύ συνάρτησης πιθανότητας και συνάρτησης κατανομής. Αν γνωρίζουμε την σ.π. τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη σ.κ. και αντίστροφα. Για παράδειγμα αν Χ {...} τότε R i i i i ] [ ] [ ] [.... i i i i i Στις διακριτές κατανομές η σ.κ. αρκεί να ορίζεται μόνο στα σημεία όπου αλλάζει τιμές παρουσιάζει «άλματα».

13 Γενικά το γράφημα της συνάρτησης κατανομής Χ και της αντίστοιχης συνάρτησης πιθανότητας μιας διακριτής τ.μ. Χ θα είναι της μορφής:

14 Παράδειγμα. Έστω ότι η τ.μ. Χ έχει σ.κ. /6 /6 / /6 < < < < < < <. /6 8/6 /6 /6 Να υπολογισθούν οι < > < και Λύση. Θα είναι < 6 6 και < < > 6 6

15 5 Άσκηση Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c έτσι ο παρακάτω τύπος να ορίζει μια συνάρτήση πιθανότητας c /...} { Χ R Να βρεθεί η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής. Λύση. Θα πρέπει και οι τιμές της να έχουν άθροισμα δηλαδή c c c c c c Η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής θα είναι... y y y y y y y και y για y <. Υπενθυμίζονται ορισμένες βασικές σχέσεις lim 6 < n n n n n n n n n n n

16 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Παράδειγμα Έστω Χ ο χρόνος ζωής ενός λαμπτήρα. Διαισθητικά αναμένουμε ότι h < όταν h θα πρέπει η να γίνεται ακριβώς μηδέν διότι το ενδεχόμενο να χαλάσει ο λαμπτήρας τη δεδομένη στιγμή φαίνεται απίθανο διαισθητικά Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι υπάρχει μία θετική συνάρτηση για την ο- ποία θα ισχύει ότι ή πιο αυστηρά h < h για h πολύ μικρό h h h < h για h. Με άλλα λόγια αναμένουμε ότι d d για κάποια θετική συνάρτηση. 6

17 Ολοκληρώνοντας την παραπάνω από το α έως το b προκύπτει τελικά ότι για κάποια θετική συνάρτηση. b d Δηλαδή η θα πρέπει να υπολογίζεται με βάση το εμβαδόν κάτω από μία καμπύλη όπως π.χ. στο παρακάτω σχήμα: b.8 b b.6.. b 7

18 Η κατηγορία των τ.μ. με κατανομές που περιγράφονται με αυτό τον τρόπο έχουν ι- διαίτερο ενδιαφέρον στις εφαρμογές. Συγκεκριμένα θα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό Μία τ.μ. Χ θα καλείται συνεχής αν υπάρχει μία μη αρνητική συνάρτηση ώστε b b d αb R Η συνάρτηση θα καλείται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της συνεχούς τ.μ. Χ. Εδώ η συνολική πιθανότητα «απλώνεται» με συνεχή τρόπο πάνω σε όλα τα σημεία ενός διαστήματος του R ή ακόμη και σε ολόκληρο το R όπως π.χ. κατανέμεται μία μάζα κατά μήκος μιας ράβδου - ειδικότερα η δείχνει την «πυκνότητα» με την οποία έχει «απλωθεί» η συνολική πιθανότητα στον R Η περιγραφή της κατανομής γίνεται και πάλι μέσω της σ.κ. η οποία τώρα είναι συνεχής και μάλιστα παραγωγίσιμη συνάρτηση και δεν παρουσιάζει «άλματα» όπως στην διακριτή περίπτωση. Τώρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την διότι η πιθανότητα αυτή είναι τώρα πάντοτε ίση με. 8

19 Οι τύποι που ισχύουν για τη σ.π.π. είναι αντίστοιχοι με αυτούς που ισχύουν για τη σ.π. στη θέση αθροισμάτων και διαφορών τώρα έχουμε ολοκληρώματα και παράγωγους d t dt. d Επίσης θα ισχύει ότι d. Η ισούται με το εμβαδόν κάτω από την σ.π.π. από το έως το. Σχηματικά: d 9

20 Άσκηση. Έστω συνεχής τ.μ. Χ η οποία παίρνει τιμές στο διάστημα [] με πυκνότητα. Να υπολογίσετε: τη σταθερά α τη σ.κ. και την πιθανότητα >. Λύση. Η στο R\[] θα είναι. Θα πρέπει να ισχύει ότι d και επομένως / d d d. Αλλά

21 Η συνάρτηση κατανομής θα είναι ίση με > < dt dt t dt t dt t dt t dt dt dt t Θα ισχύει ότι >.

22 Συναρτήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής. Σε αρκετές περιπτώσεις εμφανίζεται η ανάγκη μελέτης μιας συνάρτησης Υ g μιας τ.μ. Χ. Η συνάρτηση αυτή θα είναι μία νέα τ.μ π.χ. e / κ.ο.κ. Ποια θα είναι η σ.κ. Υ της τ.μ. Υ gχ αν είναι γνωστή η σ.κ. της τ.μ. Χ; Αν η g είναι αύξουσα και άρα αντιστρέψιμη στο πεδίο τιμών της Χ θα έχουμε ότι g g g Y Y αν η g είναι φθίνουσα αλλάζει η και αν π.χ. η Χ είναι συνεχής τ.μ. τότε d dg g g d d d d Y Y.

23 Παράδειγμα. Έστω Χ συνεχής τ.μ. με τιμές στο [ και Υ αχ b α > b R Τότε b b b Y Y b και b Y < ενώ b Y Y b d dg g d d για b. - Αν π.χ. [] και [] τότε η νέα τ.μ. Υ Χ [] έχει σ.π.π. την ] [ Y.