«Πυθαγόρειες Αναλογικότητες ή Αναλογίες ή Μεσότητες»: Οι γεννήτορες της αρχαίας Ελληνικής Μουσικής

Transcript

1 «Πυθαόρειες Αναλοικότητες Αναλοίες Μεσότητες»: Οι ενντορες της αρχαίας Ελληνικς Μουσικς Ο Πυθαόρας και οι Πυθαόρειοι θεωρούσαν πως η αρμονία της ψυχς, η αρμονία των χων και αυτ η ίδια η αρμονία του σύμπαντος σχετίζεται με τον τέλειο αριθμό, την ιερά τετρακτύν (++3+0), της οποίας ενσαρκωτές είναι οι αριθμοί,, 3,. Ανακάλυψαν πως οι τέλειες συμφωνίες εκφράζονται ως αναλοίες αφενός μεν μεταξύ των αριθμών των ενσαρκωτών της ιεράς τετρακτύος, αφετέρου δε μεταξύ των εωμετρικών στοιχείων του κύβου («εωμετρικ αρμονία»). Επιβεβαίωσαν με ακρίβεια ότι μέσα σ αυτν καθεαυτν τη φύση του χου υφίσταται μια αυστηρ αριθμητικ οράνωση είτε αυτός παράεται από ένα μουσικό όρανο, είτε από το ίδιο το Σύμπαν (Μουσικ των Σφαιρών), διότι η μουσικ εξέφραζε την υφιστάμενη συμπαντικ αρμονία και ταν ένα μέσο προσέισς της μέσω του ίδιου του κάλλους της. Ο Πυθαόρας έδωσε τον ορισμό της α ρ μ ο ν ί α ς ( δ ι α π α σ ώ ν ο κ τ ά β α ς ) στη μουσικ ως «ἁρμονία ἐστὶ κρᾶσις καὶ σύνθεσις ἐναντίων» υπονοώντας ότι η οκτάβα δομείται από τη σύνθεση της αριθμητικς και της αρμονικς (υπεναντίου) αναλοιών αναλοικοττων. Οι Πυθαόρειοι θεωρούσαν ανακαίο το να πλάθουν λέξεις εσωτερικς σημασίας όπως π.χ. φιλοσοφία, κόσμος, τετρακτύς, κάθαρσις, εχεμύθια, κατάρτυσις κ.α., στις οποίες απέδιδαν ιδιαίτερη σημασία. Η τετρακτύς ταν πρωτίστως τιμωμένη από τους Πυθαορείους, διότι περιείχε όλες τις μουσικές συμφωνίες. Πράματι, : είναι ο τετραπλάσιος λόος και εκφράζει τη συμφωνία (το εύφωνο μουσικό διάστημα) της δις διαπασών (δύο οκτάβες), 3: είναι ο ημιόλιος λόος και εκφράζει τη διά πέντε συμφωνία διοξεία (διάστημα πέμπτης καθαρς), ο :3 είναι ο επίτριτος λόος και εκφράζει τη διά τεσσάρων συμφωνία συλλαβά (διάστημα τετάρτης καθαρς), : είναι ο διπλάσιος λόος και εκφράζει τη διά πασών συμφωνία (διάστημα οκτάβας). Κατά την τελετ της μυσεως των Πυθαορείων οι νεόφυτοι σαν υποχρεωμένοι να δίνουν τον περίφημο Πυθαόρειο όρκο στην ιερ τετρακτύ «Οὐ, μὰ τὸν ἁμετέρα ψυχὰ παραδόντα τετρακτύν, παὰν ἀενάου φύσιος ριζώματ' ἔχουσαν». Κύβος, η «Γεωμετρικ Αρμονία»: (Νικόμαχος, ό.π. 6,) «εωμετρικὴν ἁρμονίαν φασὶ τὸν κύβον ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ τρία διαστματα ᾑρμόσθαι ἰσάκις. ἐν ὰρ παντὶ κύβῳ ἥδε ἡ μεσότης ἐνοπτρίζεται. πλευραὶ μὲν ὰρ παντὸς κύβου εἰσὶν ιβ', ωνίαι δὲ η, ἐπίπεδα δὲ ς. μεσότης ἄρα ὁ η' τῶν ς' καὶ τῶν ιβ' κατὰ τὴν ἁρμονικν. Στην εν λόω σειρά αριθμών διακρίνονται όλες οι μουσικές συμφωνίες και ιαυτό τον κύβο τον ονόμαζαν οι Πυθαόρειοι «Γεωμετρικ Αρμονία». Πράματι, το 8 είναι ο μέσος αρμονικός των αριθμών 6 και, διότι 8. Ο επίτριτος λόος 8:6 εκφράζει το διατεσσάρων διάστημα. Ο ημιόλιος λόος : εκφράζει το διαπέντε διάστημα. Ο διπλάσιος λόος, δηλαδ το διαπασών διάστημα εκφράζεται από το ινόμενο 8. Το διαπασών και το διαπέντε, συνδυαζόμενα, εκφράζονται από τον τριπλάσιο λόο Το δις διαπασών διάστημα εκφράζεται από τον τετραπλάσιο λόο ως εξς:

2 «Πυθαόρειες αναλοικότητες αναλοίες μεσότητες» οι ενντορες της αρχαίας Ελληνικς μουσικς Η Μουσικ ια τους Πυθαορείους αποτελούσε τη «Θεωρία των λόων» και συκαταλεόταν ως τρίτο μέρος ανάμεσα στα τέσσερα μέρη (Αριθμητικ, Γεωμετρία, Μουσικ, Αστρονομία) της Μαθηματικς επιστμης 3. Για να καταστεί κατανοητό το θεωρητικό μέρος της Μουσικς, της Αστρονομίας, της Γεωμετρίας και της Φιλοσοφίας του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη πρέπει να ορισθεί η έννοια της μεσότητος αναλοικότητος αναλοίας. Ο Πρόκλος ορίζει την αναλοία στο Υπόμνημα εις τον Πλάτωνος Τίμαιο ως «την ταυτότητα του λόου και ως τον πλέον υπέροχο εκ των δεσμών». «Αναλοικότητα είναι η αναω δύο περισσοτέρων λόων σε έναν». «Αναλοικότητα είναι η όμοια σχέση δύο περισσοτέρων λόων, οι οποίοι δεν έχουν δομηθεί από τις ίδιες ποσότητες και διαφορές». «Λόος είναι μια ορισμένη σχέση μεταξύ δύο όρων, που παράει το αναλοικό ανάλοο και η αναλοικότητα προκύπτει από την ένωση λόων». Η αναλοικότητα μπορεί να αποτελείται από οποιονδποτε πλθος όρων μεαλύτερο του 3. Τέσσερις () είναι το ελάχιστο πλθος αριθμών, που δομούν μια αναλοία διεζευμένη, δηλαδ μη συνεχ, μη συνημμένη π.χ. a β. Εάν, όμως, εισαχθεί στην αναλοία ως δ όρος αυτς η διαφορά δύο όρων της καταστεί συνεχς (συνημμένη) με την επανάληψη του παρονομαστού 5 του πρώτου λόου στον αριθμητ 6 του δεύτερου λόου, τότε το πλθος a β των αριθμών περιορίζεται στο τρία (3) π.χ. β. Τρεις αναλοίες, η Αριθμητικ, η Γεωμετρικ και η Αρμονικ ( Υπενάντιος) 7, σαν νωστές στους πιο αρχαίους Μαθηματικούς και οι οποίες παρουσιάσθηκαν στη φιλοσοφία του Πυθαόρα ( π.χ.), του Πλάτωνα (7-37 π.χ.) και του Αριστοτέλη (38-3 π.χ.). Αυτές οι τρεις αναλοικότητες (μεσότητες) σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο (36- μ.χ.) χρησιμοποιθηκαν από τον Πλάτωνα μέχρι τον Ερατοσθένη (76-9 π.χ.). Αλλες τρεις αναλοικότητες, υπενάντιες των τριών πρώτων χωρίς συκεκριμένη ονομασία, αλλά αναφερόμενες ως τέταρτη, πέμπτη και έκτη αναλοικότητα, επενοθησαν από τους 3 Οι Πυθαόρειοι διαχώριζαν τη Μαθηματικ επιστμη σε τέσσερα μέρη. Το ένα από τα μέρη της το απέδιδαν στο πόσα πολλά και το άλλο στο πόσο πολύ. Διαχώριζαν πάλι σε δύο το καθένα απ αυτά τα δύο μέρη, διότι έλεαν ότι το πόσα πολλά δηλαδ μια ποσότητα είτε υφίσταται αυτ καθεαυτ (εκφράζεται με απόλυτους αριθμούς), είτε μελετάται σε σχέση με κάτι άλλο (εκφράζεται με αναλοία) και ότι το πόσο πολύ είτε είναι σταθερό, είτε είναι σε κίνηση. Επίσης έλεαν ότι η Αριθμητικ ερευνά το πόσα πολλά που υφίστανται καθεαυτά, ενώ η Μουσικ ερευνά το πόσα πολλά που υφίστανται αναφορικά προς κάτι άλλο. Η Γεωμετρία μελετά το πόσο πολύ που είναι ακίνητο, αλλά η Αστρονομία μελετά το πόσο πολύ που είναι από μόνο του κατ ουσίαν κινητό. Ο όρος «αναλοία» κανονικά ισχύει μόνον στις εωμετρικές προόδους. Όμως, οι αρχαίοι Ελληνες Μαθηματικοί συνθιζαν να χρησιμοποιούν τον όρο «αναλοία» και ια τις αριθμητικές και ια τις εωμετρικές και ια τις αρμονικές προόδους. Η θεωρία των αναλοικοττων των αναλοιών φαίνεται να πρωτοεισχθη από τον Θαλ και μετά να υπέστη από τους Πυθαορείους συνεχείς βελτιώσεις. Βρκε εφαρμο στον τομέα των καθαρών Μαθηματικών ( Ιππασος ο Μεταποντίνος [6 ος -5 ος π.χ. αι.], Ιπποκράτης ο Χίος [70-00 π.χ.]), στη Μουσικ ( Ιππασος ο Μεταποντίνος, Φιλόλαος [ π.χ.], Αρχύτας ο Ταραντίνος [ π.χ.]), στη Γλυπτικ (Πολύκλειτος ο Αρείος [ ος π.χ. αι.]), και στη, Ιατρικ (!) (Αλκμαίων [ π.χ.], Φιλόλαος). Ο στοιχειωτς Ευκλείδης μας διδάσκει την προϊστορία της αναλοίας στο βιβλίο V των Στοιχείων του (Τα κυριώτερα σημεία του βιβλίου V των Στοιχείων είναι έρο του Ευδόξου), παραθέτοντας έναν θαυμαστς τελειότητος ορισμό του Ευδόξου. Πρέπει να τονισθεί ότι η Ευκλείδειος ορολοία της διδασκαλίας ια την αναλοία προδίδει τη σχέση της προς τη θεωρία της Μουσικς. 5 Ο παρονομαστς κλάσματος ελέετο κατά τους αρχαίους Υπόλοος. 6 Ο αριθμητς κλάσματος ελέετο κατά τους αρχαίους Πρόλοος. 7 Ο Νικόμαχος υποραμμίζει ότι οι τρεις αυτές πρώτες αναλοίες πραν τα ονόματά τους από τις τρεις πρώτες επιστμες, δηλαδ την Αριθμητικ, τη Γεωμετρία και την Αρμονικ (Μουσικ).

3 «Πυθαόρειες αναλοικότητες αναλοίες μεσότητες» οι ενντορες της αρχαίας Ελληνικς μουσικς 3 Αρχύτα και Ίππασο τον Μεταποντίνο. Οι μεταενέστεροι του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη φιλόσοφοι, ο Μυωνίδης και ο Ευφράνωρ (ος π.χ. αιώνας), λόω της κατά τον Πυθαόρα τελειότητας της δεκάδας (++3+0), πρόσθεσαν άλλες τέσσερις () αναλοικότητες. Τελευταία, μια ενδέκατη αναλοία προστέθηκε από τον Τζορντάνο Μπρούνο. Πρέπει να τονισθεί ότι στην Αριθμητικ αναλοία, από την οποία παράεται ο αριθμητικός μέσος 8, «ανοείται η ταυτότητα του λόου και εξετάζεται μόνον η διαφορά των όρων», με άλλα λόια, «διατηρεί τις σχέσεις των όρων σύμφωνα με την ισότητα της ποσότητας, αρνούμενη την ομοιότητα του λόου» 9. Στον Πίνακα Ι παρατίθενται οι δέκα(+μία) Πυθαόρειες αναλοίες ια τις οποίες έινε προηουμένως λόος. Όσον αφορά στους τρεις μέσους αριθμητικό, εωμετρικό και αρμονικό 0 ο Πρόκλος στο Ὑπόμνημα εἰς τὸν Πλάτωνος Τίμαιον σελ. 38 κάνει την εξς παρατρηση: «έχουν σχέση με την Ευνομία, τη Δίκη και την Ειρνη, τις τρεις κόρες της Θέμιδος. Ο αριθμητικός μέσος σχετίζεται με την Ειρνη. Επειδ υπερβαίνει και υπερβαίνεται από μια ίση ποσότητα, τον χρησιμοποιούμε στις συναλλαές μας εν καιρώ ειρνης. Ο εωμετρικός μέσος έχει σχέση με την Ευνομία, τη δίκαιη νομοθεσία, την οποία ο Πλάτων ονομάζει και κρίση του Δία, μέσω της οποίας το σύμπαν κοσμείται με εωμετρικές αναλοίες. Ο αρμονικός μέσος έχει σχέση με τη Δίκη Δικαιοσύνη, μέσω της οποίας οι μεαλύτεροι όροι έχουν ένα μεαλύτερο λόο και οι μικρότεροι ένα μικρότερο λόο. Πίνακας Ι: Οι δέκα(+μία) Πυθαόρειες αναλοίες (έστω ότι α > β > ). α/α Ονομασία Μαθηματικός Ορισμός Παράδειμα αριθμητικό α β α β β α β Αριθμητικ α β β α + β 3,, 8 Οι μέσοι από τους αρχαίους απεκαλούντο μέσα. Τρία σαν τα μέσα που σαν νωστά στους πιο αρχαίους μαθηματικούς και αυτά σαν το αριθμητικό, το εωμετρικό και το αρμονικό. 9 Σύμφωνα με την ορολοία που χρησιμοποιεί ο Νικόμαχος ο Γερασηνός δύο ζεύη αριθμών έχουν μια όμοια ποιοτικ σχέση, όταν παρουσιάζουν τον ίδιο λόο και έχουν μια όμοια ποσοτικ σχέση, όταν παρουσιάζουν την ίδια διαφορά. 0 Γενικά, δοθέντων δύο αριθμών χ, y (έστω χ<y) ισχύει η πολλαπλ ανισότητα, που απεδείχθη από τους Πυθαορείους: χ < αρμονικός μέσος < εωμετρικός μέσος < αριθμητικός μέσος < y x < x y < xy < + < y + x y Η Αριθμητικ αναλοικότητα μας είναι σμερα νωστ ως Αριθμητικ πρόοδος. Ονομάζεται και «αναλοία κατά ποσότητα», διότι σε αυτν δεν ισχύει η ισότητα των λόων μεταξύ τριών διαδοχικών όρων, αλλά η ισότητα των διαφορών τους. Πράματι, εάν α, β, (α>β>) είναι τρεις διαδοχικοί όροι αριθμητικς προόδου, τότε ισχύει η κατά ποσότητα αναλοία α-ββ- και όχι η κατά ποιότητα αναλοία α:ββ:. Οι προενέστεροι του Νικομάχου (50-0 μ.χ.) νώριζαν ότι στην αριθμητικ αναλοικότητα ο λόος των δύο μικροτέρων όρων της είναι μεαλύτερος του λόου των δύο μεαλυτέρων όρων της π.χ. 3 >, αφού ο πρώτος είναι διπλάσιος και ο δεύτερος είναι ημιόλιος. Βάσει αυτού ο αριθμητικός μέσος συκρίνεται με την ολιαρχία την πολιτεία που κυβερνάται από λίους, οι οποίοι επιδιώκουν το δικό τους καλό και όχι αυτό της πολιτείας.

4 «Πυθαόρειες αναλοικότητες αναλοίες μεσότητες» οι ενντορες της αρχαίας Ελληνικς μουσικς α β α β Γεωμετρικ β β β α α β α β 3 Αρμονικ 3 + Τέταρτη (Υπενάντιος της αρμονικς) 5 Πέμπτη (Υπενάντιος της εωμετρικς) 6 Εκτη (Υπενάντιος της εωμετρικς) α β α β α + α β β α α β,, 6,,3 6,5,3 β β α β β β α α α α α α β α β β 7 β 8 9 5,, 6,, 9,8,6 9,7,6 7,6, Η Γεωμετρικ αναλοικότητα μας είναι σμερα νωστ ως Γεωμετρικ πρόοδος. Οι προενέστεροι του Νικομάχου νώριζαν ότι στη εωμετρικ αναλοικότητα ο λόος των δύο μικροτέρων όρων της είναι ίσος προς το λόο των δύο μεαλυτέρων όρων της π.χ. (αναλοία κατά ποιότητα), αφού και οι δύο εκφράζουν τον διπλάσιο λόο. Βάσει αυτού ο εωμετρικός μέσος είναι ανάλοος προς μια λαϊκ κυβέρνηση, όπου τόσο ο φτωχός όσο και ο πλούσιος συμμετέχουν ισότιμα στη διακυβέρνηση. 3 Η Αρμονικ Υπενάντιος αναλοικότητα, που μας είναι σμερα νωστ ως Αρμονικ πρόοδος, αποδίδεται στον Ιππασο τον Μεταποντίνο, ο οποίος ταν λίο προενέστερος του Φιλολάου. Σύμφωνα με τον Φιλόλαο ονομάστηκε Αρμονικ, διότι ασχολείται με τη «Γεωμετρικ Αρμονία», δηλαδ την αρμονία του κύβου. Οι προενέστεροι του Νικομάχου νώριζαν ότι στην αρμονικ αναλοικότητα ο λόος των δύο 6 3 μικροτέρων όρων της είναι μικρότερος του λόου των δύο μεαλυτέρων όρων της π.χ. <, αφού ο πρώτος είναι επίτριτος και ο δεύτερος είναι ημιόλιος. Για το λόο αυτό η αρμονικ πρόοδος ονομάζεται υπεναντία της αριθμητικς προόδου. Βάσει αυτού ο αρμονικός μέσος λέεται ότι αντιστοιχεί στην αριστοκρατία, επειδ υπάρχει μεαλύτερος λόος στους μεαλύτερους όρους. 3

5 «Πυθαόρειες αναλοικότητες αναλοίες μεσότητες» οι ενντορες της αρχαίας Ελληνικς μουσικς 5 0 του Τζορντάνο Μπρούνο α β α β α β + 8,5,3 α α 6,,3 β α β Δυστυχώς, η δέκατη αναλοικότητα είναι σμερα νωστ ως η σειρά Fibonacci. Ο Leonardo Fibonacci Leonardo ο εκ Πίζης (80-50) εισαε στην Ευρώπη το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα. Ισχυρίσθηκε ότι, μελετώντας τον τρόπο που πολλαπλασιαζόντουσαν τα κουνέλια στην αυλ του, ανακάλυψε την ομώνυμη σειρά αριθμών. Στη σειρά Fibonacci, όταν οι όροι τεθούν κατ αύξουσα σειρά, ο κάθε όρος ισούται με το άθροισμα των δύο προηουμένων του όρων. Γενντορες αριθμοί στη σειρά Fibonacci είναι οι,,.