ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μια εισαγωγή στην μαθηματική μοντελοποίηση μικροηλεκτρομηχανικών συστημάτων

Transcript

1 [1] ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μια εισαγωγή στην μαθηματική μοντελοποίηση μικροηλεκτρομηχανικών συστημάτων ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ ΚΑΛΛΙΟΠΗ Α.Μ. 313/ Επιβλέπων καθηγητής: Νικολόπουλος Χρήστος Σάμος ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2016

2 [2] Ένα ταξίδι έφτασε στο τέλος του. Σε αυτό το σημείο θέλω να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου κύριο Νικολόπουλο Χρήστο, που δέχτηκε να κάνει την πτυχιακή μαζί μου. Για την αμέριστη συμπαράσταση και βοήθεια του. Επίσης, ένα μεγάλο ευχαριστώ στην Δροσινού Ουρανία γιατί χωρίς την δική της βοήθεια δεν θα έφτανα στην σημερινή ημέρα.

3 [3] Αφιερωμένο στην οικογένεια μου, αυτούς που είναι εδώ αλλά και αυτούς που έχουν φύγει, και τον σύζυγο μου που με υποστήριζαν όλο αυτό το διάστημα, ηθικά και ψυχολογικά. Ένα μέρος αυτού του ταξιδιού τους ανήκει. Σας ευχαριστώ.

4 [4] ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ - Εισαγωγή - Ιστορική Αναδρομή - Ελαστικότητα - Οι εξισώσεις Navier - Αρχικές και συνοριακές συνθήκες: Η παλλόμενη χορδή. Η παλλόμενη μεμβράνη. Δοκοί, πλάκες και ελαχιστοποίηση ενέργειας. Η αναθεωρημένη χορδή. Ελαστικοί Δοκοί. Ελαστικές Πλάκες. - ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Εισαγωγή. Παραδείγματα δομών ελαστικού σε MEMS και NEMS: 1. Micromirrors. 2. Κάλυμμα νανοσωλήνων άνθρακα. 3. Αισθητήρες πίεσης. 4. Αισθητήρες συχνοτήτων. 5. Επεξεργασμένοι διακόπτες. 6. Μικρο- και Νανο- λαβίδες/ Μικρο- και Νανο- διαστάσεις. 7. Το νανομηχανικό αντήχειο. Η μάζα σε ένα ελατήριο: 1. Η βασική εξίσωση. 2. Αβίαστες ταλαντώσεις. 3. Το επίπεδο φάσεων. 4. Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις συντονισμού. 5. Μη γραμμικά ελατήρια. 6. Ενεργές σταθερές ελατηρίου. Μεμβράνες: 1. Η βασική εξίσωση. 2. Μονοδιάστατη μεμβράνη σε ομοιόμορφο φορτίο. 3. Μονοδιάστατη μεμβράνη σε συγκεντρωμένο φορτίο. 4. Μονοδιάστατη μεμβράνη με αυθαίρετο φορτίο. 5. Ελεύθερη ταλάντωση μιας μονοδιάστατης μεμβράνης. 6. Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις συντονισμού.

5 [5] Δοκοί: 1. Η βασική εξίσωση. 2. Δοκός με ομοιόμορφο φορτίο. 3. Δοκός με συγκεντρωμένο φορτίο. 4. Ελεύθερη ταλάντωση μιας δοκού. Επιφάνεια: 1. Η βασική εξίσωση. 2. Κυκλική πλάκα με ομοιόμορφο φορτίο. 3. Ελεύθερη ταλάντωση μιας κυκλικής πλάκας. - Ο αισθητήρας χωρητικής πίεσης. - Η κυματική εξίσωση. - ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή. Συσκευές που χρησιμοποιούν ηλεκτροστατική ενεγοποίηση: 1. Σχάρες light value. 2. Micromirrors. 3. Χτένα κίνησης. 4. Μικροαντλίες. 5. Μικροδιακόπτες. 6. Μικροβαλβίδες. 7. Micro- και Nanotweezers. 8. Shuffle Motor. Μοντέλο μάζας ελατηρίου: 1. Η βασική εξίσωση. 2. Χρονοδιάγραμμα για συστήματα που χαρακτηρίζονται από αδράνεια. 3. Χρονοδιάγραμμα για συστήματα που κυριαρχεί το ιξώδες. 4. Λύσεις για την σταθερή κατάσταση. 5. Σταθερότητα των σταθερών μελών. 6. Επαναληπτικές αριθμητικές μέθοδοι. - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ Euler. - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.

6 [6] ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα ασχοληθούμε με τα μικροηλεκτρομηχανικά και τα νανο-ηλεκτρομηχανικά συστήματα. Θα ξεκινήσουμε με μια εισαγωγή στις έννοιες των MEMS και NEMS και με την ιστορική αναδρομή αυτών. Στην συνέχεια θα αναφερθούμε στις εξισώσεις ελαστικότητας Navier. Θα ασχοληθούμε με την μοντελοποίηση των ελαστικών κατασκευών και θα δώσουμε παραδείγματα δομών ελαστικού σε MEMS / NEMS όπως Micromirrors, Κάλυμμα νανοσωλήνων άνθρακα, Αισθητήρες πίεσης, Αισθητήρες συχνοτήτων, Επεξεργασμένοι διακόπτες, Μικρο-λαβίδες και Νανο-λαβίδες, Μικρο- διαστάσεις και Νανοδιαστάσεις και το Νανομηχανικό αντήχειο. Στην συνέχεια θα αναφερθούμε στο μοντέλο μάζα-ελατηρίου, στην βασική εξίσωση, στις αβίαστες ταλαντώσεις, στο επίπεδο φάσεων, στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις συντονισμού, στα μη γραμμικά ελατήρια και στις ενεργές σταθερές ελατηρίου. Στην συνέχεια θα ασχοληθούμε με τις μεμβράνες, την βασική εξίσωση, την μονοδιάστατη μεμβράνη με ομοιόμορφο φορτίο, με συγκεντρωμένο φορτίο, με αυθαίρετο φορτίο, την εξαναγκασμένη ταλάντωση μιας μονοδιάστατης μεμβράνης και τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις συντονισμού. Ακολουθούν οι δοκοί, η βασική εξίσωση, δοκός με ομοιόμορφο φορτίο, με συγκεντρωμένο φορτίο και η ελεύθερη ταλάντωση μιας δοκού. Στην συνέχεια είναι η σειρά της επιφάνειας, η βασική εξίσωση, η κυκλική πλάκα με ομοιόμορφο φορτίο και η ελεύθερη ταλάντωση μιας κυκλικής πλάκας. Στην συνέχεια αναφερόμαστε στον αισθητήρα χωρητικής πίεσης και στην κυματική εξίσωση. Μια μεγάλη ενότητα αποτελεί η ηλεκτροστατική μοντελοποίηση. Αναφερόμαστε στις συσκευές που χρησιμοποιούν ηλεκτροστατική ενεργοποίηση και φυσικά στο μοντέλο μάζαςελατηρίου, και στην βασική εξίσωση. Τέλος, ακολουθεί ένα χρονοδιάγραμμα για συστήματα που χαρακτηρίζονται από

7 [7] αδράνεια, ένα χρονοδιάγραμμα για συστήματα που κυριαρχεί το ιξώδες, λύσεις για την σταθερή κατάσταση, σταθερότητα των σταθερών μελών και οι επαναληπτικές αριθμητικές μέθοδοι. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ MEMS ΚΑΙ NEMS

8 [8] Εισαγωγή Αυτές τις μέρες υπάρχει τεράστιο ενδιαφέρον για τα μικρο- και νανοηλεκτρομηχανικά συστήματα (MEMS και NEMS) Η μοντελοποίηση MEMS και NEMS αναμιγνύει τρία συστατικά: συσκευές περιγραφής MEMS / NEMS, μαθηματικά μοντέλα και μαθηματικές μέθοδους. Οι συσκευές MEMS και NEMS από το 1970 έχουν εξελιχθεί και χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς. Ιστορική Αναδρομή Οι ρίζες της τεχνολογίας μικροσυστημάτων βρίσκονται στις τεχνολογικές εξελίξεις που συνοδεύουν τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο. Συγκεκριμένα, η ανάπτυξη των ραντάρ έρευνας βασίζεται στην σύνθεση των ημιαγώγιμων υλικών. Αυτά τα υλικά, ιδιαίτερα το καθαρό πυρίτιο, θα καταστούν η ψυχή της τεχνολογίας ολοκληρωμένων κυκλωμάτων και μοντέρνων MEMS. Σύμφωνα με τη διάλεξη του Feynman το 1959 κατά την ετήσια συνεδρίαση της American Physical Society, ο Feynman προέβλεπε ότι τις επόμενες τέσσερις δεκαετίες οι μελέτες θα επικεντρώνονταν γύρω από τις τεχνολογίες MEMS και NEMS. Η διάλεξη του Feynman ενέπνευσε σημαντικές εξελίξεις, μετά από 5 χρόνια, αφού η τεχνολογία MEMS έγινε επίσημη. Στην συνέχεια το 1964, ο Η.C. Nathanson και οι συνεργάτες του παρήγαγαν την πρώτη παρτίδα MEMS στην οποία η μαθηματική μοντελοποίηση έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη αυτού του συστήματος. Η εφεύρεση του μικροεπεξεργαστή το 1970, ενώ τεχνικά δεν συνεισφέρει στα MEMS και NEMS, προκάλεσε το ενδιαφέρον στις τεχνικές λιθογραφικής κατασκευής οι οποίες θα έχουν τεράστιο αντίκτυπο στις μεθόδους κατασκευής MEMS. Το 1979, το πρώτο επιταχυνσιόμετρο MEMS αναπτύχθηκε από ερευνητές στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ. Στον τομέα της νανοτεχνολογίας, πολλές ήταν οι εξελίξεις στις

9 [9] δεκαετίες του 1980 και Το 1982, η ανάπτυξη του μικροσκοπίου σάρωσης σήραγγας, η παρακολούθηση της εξέλιξης της ατομικής δύναμης του μικροσκοπίου το 1986, η ανακάλυψη του νανοσωλήνα άνθρακα το 1991 και η τεχνική που ανακαλύφθηκε από το Smalley το 1996 για την παραγωγή ομοιόμορφων νανοσωλήνων συγκαταλέγονται στις πιο σημαντικές εξελίξεις της περιόδου αυτής. Στις επόμενες ενότητες παρουσιάζονται η ελαστικότητα των υπό μελέτη συστημάτων, οι εξισώσεις Navier, οι αρχικές και συνοριακές ευθύνες, οι ελαστικοί δοκοί και η ενέργεια. Επίσης, οι ελαστικές πλάκες καταγράφονται και παρουσιάζονται οι τύποι με τους οποίους υπολογίζονται. Το επόμενο κεφάλαιο αφορά την μοντελοποίηση ελαστικών κατασκευών που περιλαμβάνει το κάλυμμα νανοσωλήνων άνθρακα, τους αισθητήρες πίεσης και συχνοτήτων και τις μικρό- και νανο-λαβίδες. Στην ανάλυση των επόμενων ενοτήτων παρουσιάζεται η μάζα σε ένα ελατήριο, οι αβίαστες ταλαντώσεις και τα επίπεδα των φάσεων. Επιπρόσθετα, στο κεφάλαιο των μεμβρανών περιλαμβάνονται η βασική εξίσωση, η μονοδιάστατη μεμβράνη με ομοιόμορφο φορτίο, με συγκεντρωμένο φορτίο και με αυθαίρετο φορτίο. Το επόμενο κεφάλαιο αφορά τις δοκούς με διάφορα φορτία και ακολουθεί η ανάλυση των επιφανειών. Τέλος, αναλύεται ο αισθητήρας χωρητικής πίεσης. Ελαστικότητα Η μηχανική με τους όρους "microelectromechanical" και "nanoelectromechanical" συνήθως αναφέρεται στην ελαστική συμπεριφορά κάποιου συστήματος. Για να κατανοήσουμε την συμπεριφορά οποιασδήποτε συσκευής που περιλαμβάνει μια ελαστική παραμόρφωση, πρέπει να είμαστε εξοικειωμένοι με τις

10 [10] εξισώσεις της ελαστικότητας. Γενικά, όταν επιτρέπει μεγάλες εκτροπές, οι εξισώσεις της ελαστικότητας είναι μη γραμμικές. Ωστόσο σε πολλές εφαρμογές οι εξισώσεις Navier, είναι επαρκείς. Οι εξισώσεις Navier. Η ελαστική συμπεριφορά ενός στερεού σώματος χαρακτηρίζεται από την πίεση και την ένταση. Η πίεση σε ένα στερεό σώμα εκφράζεται σε όρους του τανυστή τάσης σij. Το στοιχείο σij εκφράζει την δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας σε μια κατεύθυνση i που ασκείται σε μία στοιχειώδη επιφάνεια στην διεύθυνση j. Η διατήρηση της στροφορμής μέσα σε ένα ελαστικό σώμα απαιτεί ότι ο τανυστής τάσης θα είναι συμμετρικός, δηλαδή ότι: σij = σji. Σε συμβολισμό πινάκων, σ 11 σ 12 σ 13 σ ij = ( σ 21 σ 31 σ 22 σ 23 σ 23 ). σ 33 (1) Έχουμε μόνο έξι ανεξάρτητες συνιστώσες του τανυστή τάσης. Η παραμόρφωση σε ένα στερεό σώμα εκφράζεται επίσης συνάρτηση του τανυστή τάσης, και ονομάζεται τανυστής παραμόρφωσης. Για μικρές μετατοπίσεις ισχύει, ε ij = 1 2 ( u i x j + u j x i ). (2) Εδώ, το u i είναι η i-συνιστώσα του φορέα μετατόπισης και οι παράγωγοι λαμβάνονται σε σχέση με το x 1, x 2, x 3 σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Σε γενικές γραμμές, ο τανυστής παραμόρφωσης είναι:

11 [11] ε ij = 1 2 ( u i x j + u j x i + u k x i u k x j ). (3) Στην σύμβαση άθροισης Einstein, όταν ένας δείκτης επαναλαμβάνεται, σημαίνει άθροισμα των στοιχείων πάνω από τον δείκτη. Παραπάνω, ο επαναλαμβανόμενος δείκτης k υποδηλώνει άθροισμα όλων των στοιχείων πάνω από το k. Η προσέγγιση των μικρών μετατοπίσεων μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση (2) στη θέση της εξίσωσης (3). Η βασική εξίσωση της ελαστικότητας προέρχεται από την εφαρμογή της διατήρησης της ορμής. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα: ρ 2 u i t 2 = σ ij x j + f i, (4) όπου ρ είναι η πυκνότητα του σώματος και f i είναι η δύναμη σώματος ανά μονάδα όγκου. Για παράδειγμα, στη διαμόρφωση μιας ηλεκτροστατικής συσκευής που ενεργοποιείται, η fi θα υπολογίζεται από ηλεκτροστατικές δυνάμεις, ενώ σε μια μαγνητική συσκευή θα υπολογίζεται από μαγνητικές δυνάμεις. Η εξίσωση (4) είναι στην πραγματικότητα τρεις εξισώσεις, μία για κάθε ένα από τα συστατικά του φορέα μετατόπισης. Για λόγους σαφήνειας γράφουμε την εξίσωση (4) σε τρεις επιμέρους: ρ 2 u 1 t 2 = σ 11 x 1 + σ 21 x 2 + σ 31 x 3 +f 1, (5) ρ 2 u 2 t 2 = σ 12 x 1 + σ 22 x 2 + σ 32 x 3 +f 2, (6) ρ 2 u 3 t 2 = σ 13 x 1 + σ 23 x 2 + σ 33 x 3 +f 3. (7)

12 [12] Τέλος κάνουμε μια υπόθεση. Υποθέτουμε, χρησιμοποιώντας τον γενικευμένο νόμο του Hooke ότι: σ ij = 2με ij + λε kk δ ij. (8) Ακριβώς, όπως ο νόμος του Hooke, χρησιμοποιείται για να βρει την κίνηση μιας μάζας σε ένα ελατήριο, η εξίσωση (8) υποθέτει ότι η τάση και η πίεση έχουν γραμμική σχέση. Τα μ και λ είναι οι σταθερές Lame και το δ ij ονομάζεται δέλτα του Kronecker. Σε όρους πίνακα, το δ ij είναι απλά ο 3 3 ταυτοτικός πίνακας. Οι σταθερές Lame δίνονται από το νόμο του Young: E = μ(2μ+3λ) λ+μ (9) και του λόγου Poisson: ν = λ 2(λ+μ). (10) Ως εκ τούτου, η εξίσωση (8) μπορεί να ξαναγραφτεί ως: Εε ij = (1 + ν)σ ij νσ kk δ ij. (11) Τώρα, αντικαθιστώντας την εξίσωση (8) στις εξισώσεις (4), παίρνουμε τις εξισώσεις ελαστικότητας Navier: ρ 2 u i t 2 = x j (2με ij + λε kk δ ij). (12) Τέλος η εξίσωση: ρ 2 u t 2 = μ 2 u + (μ + λ) ( u) + f, (13) λέγεται εξίσωση ελαστικότητας Navier. Αρχικές και συνοριακές συνθήκες

13 [13] Προκειμένου να ολοκληρωθεί ένα πρόβλημα γραμμικής ελαστικότητας, πρέπει να καθορίσουμε τις αρχικές και τις συνοριακές συνθήκες εκτός από την εξίσωση (13). Αρχικά πρέπει να προσδιοριστούν, η αρχική μετατόπιση, η ταχύτητα και οι μετακινήσεις και οι τάσεις στο σύνορο του χωρίου το οποίο μελετάμε. Παρακάτω παρατίθενται μερικά παραδείγματα. Η παλλόμενη χορδή Σκεφτείτε ένα λεπτό ελαστικό κορδόνι ανάμεσα σε δύο άκαμπτα τοιχώματα. Υποθέτουμε ότι δεν ασκούνται καθόλου δυνάμεις στο σώμα. Υποθέτουμε επίσης ότι το σχήμα κινείται μόνο προς την x 2 ή y κατεύθυνση και το διάνυσμα παίρνει την μορφή: 0 ( u 2 ). (14) 0 Επιπλέον, υποθέτοντας ότι η χορδή είναι λεπτή παίρνουμε ότι το u 2 είναι μια συνάρτηση των x και t, δηλαδή, u 2 = u 2 (x, t). Ως εκ τούτου, οι εξισώσεις Navier, μετατρέπουν την εξίσωση για το u 2 ως εξής: ρ 2 u 2 t 2 = μ 2 u 2 x 2. (15) Για να ολοκληρωθεί η περιγραφή αυτού του προβλήματος, χρειαζόμαστε αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Δεδομένου ότι η εξίσωση είναι δεύτερης τάξης στο χρόνο, χρειαζόμαστε ένα ζευγάρι αρχικών συνθηκών. Είναι συνηθισμένο να δίνεται ο καθορισμός της αρχικής μετατόπισης και της ταχύτητας από τη σχέση της μορφής: u 2 (x, 0) = f(x), (16) u 2 t (x, 0) = g(x). (17)

14 [14] Αν η χορδή είναι συνδεδεμένη με τα δύο τοιχώματα μπορούμε να καθορίσουμε σταθερές συνοριακές συνθήκες: u 2 (0, t) = 0, (18) u 2 (L, t) = 0. (19) Η παλλόμενη μεμβράνη Έστω μια λεπτή ελαστική μεμβράνη πάνω στην οποία υποθέτουμε ότι δεν ασκείται καμία δύναμη. Υποθέτουμε ότι η μεμβράνη κινείται μόνο προς την κατεύθυνση x 3 ή την κατεύθυνση z. Το διάνυσμα μετατόπισης έχει την μορφή: 0 ( 0 ). (20) u 3 Υποθέτοντας ότι η μεμβράνη είναι λεπτή, μας επιτρέπεται να υποθέσουμε ότι το u 3 είναι μια συνάρτηση του x, y και t μόνο, δηλαδή, u 3 = u 3 (x, y, t). Έτσι, οι εξισώσεις Navier, για την u 3 παίρνουν την απλούστερη μορφή: όπου ρ 2 u 3 t 2 = μ 2 u 3, (21) 2 = 2 x y 2. (22) Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, έτσι και εδώ πρέπει να καθοριστούν οι αρχικές και οι συνοριακές συνθήκες. Η εξίσωση αυτή είναι δεύτερης τάξης στον χρόνο και χρειαζόμαστε ένα ζευγάρι αρχικών συνθηκών. Καθορίζουμε την αρχική μετατόπιση και ταχύτητα: u 3 = (x, y, 0) = f(x, y), (23)

15 [15] u 3 t (x, y, 0) = g(x, y), (24) Όσον αφορά στις συνοριακές συνθήκες, μια ποικιλία από συνθήκες μπορεί να εφαρμοστεί. Μία τυπική επιλογή είναι να πάρουμε συνθήκες Dirichlet: u 3 (x, y, t) = 0. (25) Όπου (x,y), t 0, είναι το χωρίο που καταλαμβάνει η μεμβράνη. Δοκοί, πλάκες, και ελαχιστοποίηση ενέργειας Εκτός από τις χορδές και τις μεμβράνες, οι εξιδανικευμένες δομές των δοκών και πλακών διαδραματίζουν κεντρικό ρόλο στη μηχανική ελαστικότητα. Σε αντίθεση με τις χορδές και τις μεμβράνες, οι οποίες είναι εξιδανικευμένη προσέγγιση σε πραγματικές κατασκευές, με πάχος απείρως μικρό σε σύγκριση με τις πλευρικές διαστάσεις, σε δοκούς και πλάκες το πάχος της δομής δεν μπορεί να αγνοηθεί. Παρ 'όλα αυτά δοκάρια και πλάκες συχνά αντιμετωπίζονται ως εξιδανικευμένες δομές όπου η αναλογία του πάχους προς πλευρικές διαστάσεις είναι μικρή. Ενώ είναι δυνατόν να προκύψουν τέτοια συστήματα και εξισώσεις για ράβδους ή πλάκες όπως οι εξισώσεις Navier, σε γενικές γραμμές αυτά είναι δύσκολο να μελετηθούν. Έτσι είναι σκόπιμο να παρουσιάσουμε μια εναλλακτική προσέγγιση για τον υπολογισμό αυτών των εξισώσεων με βάση την αρχή της ελαχιστοποίησης ενέργειας μέσω του λογισμού των μεταβολών. Ο λογισμός των μεταβολών έχει ευρεία εφαρμογή και πέρα από τη θεωρία ελαστικότητας. Σε πολλές περιπτώσεις, ειδικά όταν η συνήθης προσέγγιση μέσω της μοντελοποίησης δεν είναι απόλυτα σαφής, μια προσέγγιση μέσω του λογισμού των μεταβολών είναι συχνά σημαντική. Η αναθεωρημένη χορδή

16 [16] Για την εισαγωγή του λογισμού των μεταβολών, θα επανεξετάσουμε την μονοδιάστατη ελαστική παλλόμενη χορδή. Για να απλοποιηθεί περαιτέρω το θέμα, θεωρούμε την σταθερή συμπεριφορά μιας τέτοιας χορδής και υποθέτουμε ότι η βαρύτητα είναι η μόνη δύναμη που ασκείται στο σώμα. Η ενέργεια, Ε, του συστήματος αυτού αποτελείται από δύο μέρη και μπορεί να γραφεί ως εξής: E = ελαστική ενέργεια + βαρυτική ενέργεια. (26) Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι η ελαστική ενέργεια του συστήματος είναι ανάλογη με την αλλαγή μήκους της χορδής. Αν υποθέσουμε ότι η χορδή κρατιέται σταθερή στα δύο άκρα της, και ότι τα εν λόγω άκρα αφορούν τις θέσεις x = 0 και x = L, και επιπλέον ότι η εκτροπή της χορδής στη θέση x από την οριζόντια θέση συμβολίζεται με y(x), μπορούμε να γράψουμε την ελαστική ενέργεια ως: L Ελαστική ενέργεια = T( 1 + y 2 0 dx L). (27) Η σταθερά αναλογίας Τ, είναι απλά η τάση στη χορδή και ο τόνος δηλώνει παραγώγιση ως προς x. Η έκφραση στην παρένθεση δηλώνει την αλλαγή στο μήκος από το μήκος L. Η βαρυτική ενέργεια μπορεί επίσης να γραφτεί ως προς y(x). Αν σ είναι η μάζα ανά μονάδα μήκους της χορδής και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, έχουμε: L Βαρυτική ενέργεια = σg y(x)dx. 0 (28) Ως εκ τούτου, η συνολική ενέργεια είναι: L Ε = Τ ( 1 + y 2 0 dx L) + σg y(x)dx. (29) Δεδομένου ότι ο στόχος μας είναι να συγκρίνουμε την παρούσα αντιμετώπιση του προβλήματος με τη γραμμική θεωρία για την 0 L

17 [17] παλλόμενη χορδή, πρέπει να εισάγουμε τις ίδιες παραδοχές γραμμικοποίησης που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα. Δηλαδή, θα πρέπει να θεωρήσουμε μικρές αποκλίσεις και να αναπτύξουμε την τετραγωνική ρίζα υποθέτοντας ότι η y 2 είναι μικρή. Συγκεκριμένα: 1 + y 2 ~ y 2 +. (30) Να επισημάνουμε ότι αυτό είναι απλά η σειρά Taylor του 1 + x γύρω από το σημείο x = 0. Στη συνέχεια, μπορούμε να αγνοήσουμε όλους τους άλλους όρους εκτός των πρώτων όρων σε αυτό το ανάπτυγμα για την απόκτηση της ενέργειας οπότε: Ε = Τ L 2 y 2 L dx + σg y(x)dx. 0 0 (31) Παρατηρούμε ότι ο πρώτος όρος της τετραγωνικής ρίζας έχει ακυρώσει το σταθερό μήκος στο συναρτησιακό μας. Αυτός είναι ο λόγος που διατηρούνται οι δύο πρώτοι όροι στην επέκταση της τετραγωνικής ρίζας. Η ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως ένα ενιαίο ολοκλήρωμα: L 0 Ε = ( Τ 2 y 2 + σgy) dx. (32) Στόχος μας είναι να ελαχιστοποιήσουμε την εξίσωση (32) επί όλων των πιθανών παραμορφώσεων y(x). Όλα αυτά τα προβλήματα (και πολλά άλλα) οδηγούν στο πρόβλημα της ελαχιστοποίησης ενός ολοκληρώματος Ι του τύπου: x 2 I = F(x, y, y )dx, (33) x 1 σε ένα σύνολο των συναρτήσεων y(x). Αντί να εργαζόμαστε με το ιδιαίτερο πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του Ε, θα προσπαθήσουμε να ελαχιστοποιήσουμε το Ι. Η βασική ιδέα πίσω από τον λογισμό των μεταβολών είναι να μετατρέψει το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης, πάνω από ένα σύνολο συναρτήσεων σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης μιας μόνο πραγματικής μεταβλητής. Η ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης μιας μόνο πραγματικής μεταβλητής είναι μια απλή

18 [18] άσκηση λογισμού. Για να επιτευχθεί αυτό, πρέπει πρώτα να φανταστούμε ότι γνωρίζουμε τον πραγματικό ελαχιστοποιητή y(x). Ας υποθέσουμε ότι y (x 1 ) = y 1 και y (x 2 ) = y 2. Έστω η συνάρτηση: y(x) + εη(x), (34) με τις συνθήκες η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0. Αυτή η συνάρτηση είναι ε μακριά από την ακριβή λύση y(x) και συμφωνεί με την ακριβή λύση στα συνοριακά σημεία x 1 και x 2. Αντικαθιστούμε αυτή τη συνάρτηση στο συναρτησιακό Ι και έχουμε: x 2 I(ε) = F(x, y + εη, y + εη )dx. (35) x 1 Τώρα, παρατηρούμε ότι το I(ε) είναι μια συνάρτηση της ενιαίας πραγματικής μεταβλητής ε και ότι το I(0) θα πρέπει να είναι ελάχιστο δεδομένου ότι το y(x) υποτέθηκε ότι είναι ο πραγματικός ελαχιστοποιητής για το I. Αλλά, το Ι(ε) θεωρείται ως μια συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής ε και έχει ένα ελάχιστο στο ε= 0 που υποδηλώνει ότι: di dε (0) = 0. (36) Έτσι, υπολογίζουμε την παράγωγο της εξίσωσης (35) σε σχέση με το έψιλον, για ε = 0 και ορίζουμε το αποτέλεσμα ίσο με μηδέν, όπως απαιτείται από την εξίσωση (36).Σημειώνουμε ότι: Ως εκ τούτου: και η εξίσωση (36) απαιτεί: F = F F η + η. (37) ε ε=0 y y x 2 Ι (0) = ( F F η + η ) dx (38) x 1 y y

19 [19] x 2 ( F F η + η ) dx = 0. (39) x 1 y y Εν συνεχεία: F F ηdx + η x 1 y y x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 d F dx y ηdx = 0. (40) Όμως, το η εξαφανίζεται στο σχήμα x 1 και x 2 και ως εκ τούτου αυτό οδηγεί στις σχέσεις: x 2 x 1 F y ηdx x 2 x 1 d F dx y ηdx = 0 (41) ή ( F d F dx y ) ηdx = 0. (42) x 2 x 1 y Τώρα, αυτό πρέπει να ισχύει για κάθε η που ικανοποιεί τις συνθήκες η(x1) = 0 και η(x2) = 0. Επομένως η έκφραση στο ολοκλήρωμα Fy - d dx Fy πολλαπλασιάζοντας με η πρέπει να είναι ταυτοτικά μηδέν. Έτσι έχουμε: F F d y dx y = 0. (43) Η εξίσωση (43) είναι γνωστή ως εξίσωση Euler-Lagrange για το συναρτησιακό Ι. Παρατηρούμε ότι αυτή είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση για την άγνωστη συνάρτηση y. Έχουμε μετατρέψει το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης από ένα σύνολο συναρτήσεων, σε ένα πρόβλημα επίλυσης μιας συνήθης διαφορικής εξίσωσης. Αυτή η διαδικασία της μετατροπής ενός προβλήματος ελαχιστοποίησης σε μια διαφορική εξίσωση αναφέρεται συχνά ως έμμεση μέθοδος. Τέλος, ας εφαρμόσουμε την εξίσωση Euler-Lagrange για την παλλόμενη χορδή. Από την εξίσωση (32) έχουμε υπό την επίδραση βαρύτητας:

20 [20] F(x, y, y ) = T 2 y 2 + σgy, (44) και αντικαθιστώντας στην εξίσωση (43) βρίσκουμε ότι η μετατόπιση της χορδής πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: y = σg T. (45) Αυτή είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση που ολοκληρώνεται. Ελαστικοί Δοκοί Τα εργαλεία του λογισμού των μεταβολών εισήχθησαν με σκοπό την απλούστευση και την παραγωγή των εξισώσεων που διέπουν ελαστικά δοκάρια και πλάκες. Ως ένα παράδειγμα μιας ελαστικής δοκού, ας εξετάσουμε μια λεπτή λωρίδα χαρτιού. Μια λεπτή λωρίδα χαρτί θα είναι γενικά επίπεδη σε ισορροπία. Τώρα, λυγίζουμε το χαρτί ελαφρά και το αφήνουμε ελεύθερο. Επιστρέφει στην επίπεδη διαμόρφωση του. Δηλαδή, το χαρτί, ή οποιαδήποτε ελαστική δοκός, αντιστέκεται στην κάμψη. Αυτό είναι ένα διαφορετικό φαινόμενο σε σχέση με αυτό που συζητήθηκε παραπάνω για την ελαστική χορδή που αντιστάθηκε στις αλλαγές στο μήκος της. Αν εμείς εξετάσουμε μια στατική ράβδο, η ενέργεια του συστήματος, που συμβολίζεται εδώ Σ, μπορεί να γραφτεί: Σ = ελαστική ενέργεια = Ενέργεια διάτασης +Ενέργεια κάμψης, (46) και από τη μελέτη μας στις χορδές ξέρουμε ότι η ενέργεια διάτασης είναι: L 0 T ( 1 + y 2 dx L). (47) Εδώ το Τ είναι η τάση, L είναι το μήκος της δοκού, και το y(x) περιγράφει την εκτροπή της δοκού από τη θέση ισορροπίας y = 0 στο σημείο x. Γραμμικοποιώντας αυτή την έκφραση όπως στη προηγούμενη ενότητα παίρνουμε ότι:

21 [21] Ενέργεια διάτασης = T L 2 y 2 dx 0. (48) Η ενέργεια κάμψης για μια ράβδο θεωρείται ότι είναι ανάλογη με την γραμμικοποιημένη καμπυλότητα της δοκού. Έχουμε: Ενέργεια κάμψης = EI 2 y 2 dx. (49) 0 Εκεί, το Ε είναι ο συντελεστής Young της δοκού, και το Ι είναι η ροπή αδράνειας μιας εγκάρσιας τομής της δοκού. Η ποσότητα EI ονομάζεται βαθμός ελαστικότητας της δοκού. Για το σύνολο της ενέργειας έχουμε: L Σ = T L 2 y 2 dx ΕΙ L 2 y 2 dx 0 (50) ή L Σ = ( T 2 y 2 + ΕΙ 0 2 y 2 ) dx. (51) Παρατηρήστε ότι αυτό το ολοκλήρωμα είναι ελαφρώς διαφορετικού τύπου από εκείνο που ελαχιστοποιήθηκε πρωτύτερα. Εδώ, εκτός από y, το ολοκλήρωμα μας περιέχει έναν δεύτερο παράγωγο όρο, y. Η εξίσωση Euler-Lagrange για ολοκληρώματα της μορφής: είναι x 2 F(x, y, y, y )dx (52) x 1 F y d dx Για την ράβδο έχουμε: F y + d2 dx 2 F y = 0. (53) F(x, y, y, y ) = T 2 y 2 + ΕΙ 2 y 2 (54)

22 [22] και εφαρμόζουμε την εξίσωση Euler-Lagrange για να πάρουμε ότι: EIy Ty = 0 (55) ως εξίσωση της μονοδιάστατης ελαστικής δοκού χωρίς να ασκούνται δυνάμεις πάνω στο σώμα αλλά περιλαμβάνονται τα εξής δύο: η ένταση της κάμψης αλλά και της ακαμψίας. Μέχρι τώρα έχουμε συζητήσει στατικές εκτροπές της ελαστικής δοκού. Η εξίσωση που διέπει τη δυναμική της δοκού μπορεί επίσης να παραχθεί χρησιμοποιώντας τον λογισμό των μεταβολών. Σε αντίθεση με τη στατική περίπτωση, όπου η ενέργεια του συστήματος ελαχιστοποιείται, στη περίπτωση χρονικών μεταβολών εφαρμόζεται η αρχή του Hamilton και η ελαχιστοποίηση της δράσης του συστήματος. Αυτό αναφέρεται ως η αρχή της ελάχιστης δράσης. Εδώ, η δράση ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ της κινητικής και δυναμικής ενέργειας στο σύστημα. Η διαφορά κατά σημείο της κινητικής και δυναμικής ενέργειας είναι η Λαγκρατζιανή για το σύστημα. Συμβολίζοντας την Λαγκρατζιανή με L έχουμε: L = Κινητική Ενέργεια - Δυναμική ενέργεια. (56) Η Λαγκρατζιανή είναι συνήθως συνάρτηση του y, των χωρικών παραγώγων του, και των χρονικών παραγώγων. Δηλαδή, L = L(x, t, y, y, y,, y, y, ). H αρχή του Χάμιλτον χρησιμεύει για να ελαχιστοποιηθεί το διπλό ολοκλήρωμα: t 2 L L(x, t, y, y, y,, y, y, )dxdt. (57) t 1 0 Μέσα από την εξίσωση Euler-Lagrange γενικεύεται η προηγούμενη ανάλυση. Θα εστιάσουμε την προσοχή μας στην δονούμενη δοκό. Στη στατική μελέτη μας προηγουμένως, υπολογίσαμε την δυναμική ενέργεια του συστήματος. Η κινητική ενέργεια σε κάθε χρονική στιγμή είναι:

23 [23] ρα L y 2 dx, (58) 2 0 όπου ρ είναι η πυκνότητα μάζας ανά μονάδα όγκου της δοκού και το Α είναι η επιφάνεια της εγκάρσιας τομής. Στη συνέχεια, σύμφωνα με την αρχή του Hamilton, πρέπει να ελαχιστοποιηθεί το συναρτησιακό: t 2 L ( ρα y 2 T 2 2 y 2 EI 2 y 2 ) dxdt. (59) t 1 0 Η Λαγκρατζιανή μας είναι: L = ρα 2 y 2 T 2 y 2 EI 2 y 2, (60) και η εξίσωση Euler-Lagrange σε όρους του L είναι: L + d L d2 L t y dx y dx 2 y = 0. (61) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (60) στην εξίσωση (61) παίρνουμε ραy Ty + EIy = 0 (62) δηλαδή την εξίσωση της δόνησης της ελαστικής δοκού. Σε σύγκριση με την εξίσωση των χορδών, η εξίσωση της δοκού είναι τέταρτης τάξης, δηλαδή, η υψηλότερη χωρική παράγωγος ως προς το γ είναι τέταρτη παράγωγος. Αυτό σημαίνει ότι για ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών για μια δοκό θα χρειαστούν τέσσερις συνοριακές συνθήκες. Σε γενικές γραμμές μπορούμε να επιβάλλουμε δύο σε κάθε συνοριακό σημείο. Εμείς θα δώσουμε επτά σύνολα συνθηκών. Εάν το άκρο της δοκού είναι ελεύθερο, η δεύτερη και η τρίτη παράγωγος μηδενίζονται σε εκείνο το σημείο. Άρα έχουμε:

24 [24] y (L, t) = y (L, t) = 0. (63) Εάν το άκρο της δοκού συγκρατείται σταθερό, η πρώτη παράγωγος της μηδενίζεται στο σημείο αυτό. Άρα: y(0, t) = y (0, t) = 0. (64) Εάν το άκρο υποστηρίζεται απλώς ή καρφώθηκε, η δεύτερη παράγωγος του μηδενίζονται στο σημείο αυτό και έχουμε: y(0, t) = y (0, t) = 0. (65) Εάν το άκρο της δοκού προσαρτάται σε ένα ελατήριο με σταθερά ελατηρίου k, θέτουμε: y (L, t) = 0, EIy (L, t) = ky(l, t). (66) Εάν το άκρο της δοκού προσαρτάται σε ένα ελατήριο στρέψης με σταθερά ελατηρίου k, έχουμε: y(0, t) = 0, EIy (0, t) = ky (o, t). (67)

25 [25] Εάν το άκρο της δοκού προσαρτάται σε ένα σημείο μάζας m, θέτουμε: y (L, t) = 0, EIy (L, t) = my (L, t). (68) Τέλος, αν το άκρο της δοκού προσαρτάται σε ένα αποσβεστήρα θέτουμε: y (0, t) = 0, EIy (0, t) = cy (0, t), (69) όπου c είναι η σταθερά απόσβεσης του αποσβεστήρα.

26 [26] Ελαστικές πλάκες Η εξίσωση που διέπει την κίνηση μιας λεπτής ελαστικής πλάκας μπορεί να προέρχεται με τον ίδιο τρόπο όπως η εξίσωση δοκού. Η βασική διαφορά μεταξύ αυτών, είναι ότι η παραμόρφωση της πλάκας, δηλαδή w, είναι μία συνάρτηση δύο μεταβλητών, δηλαδή x και y. Ως εκ τούτου, η w = w (x, y, t) μετρά την παραμόρφωση της πλάκας στην κατεύθυνση z. Η εξίσωση της πλάκας είναι: ρh 2 w t 2 T 2 w + D 4 w = 0, (70) όπου ρ είναι η πυκνότητα, το h είναι το πάχος του ελάσματος, το Τ είναι η τάση στην πλάκα, και D είναι ο βαθμός ακαμψίας της πλάκας. Η σταθερά D σχετίζεται με το μέτρο του Young, Ε του λόγου του Poisson ν, και του πάχους της πλάκας, h, μέσω της σχέσης: D = 2h3 E 3(1 v 2 ). (71) Όπως και με τις δοκούς, είναι δυνατή μία ποικιλία από συνοριακές συνθήκες σύμφωνα με το είδος της στήριξης. Η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη από ό, τι για δοκούς, λόγω της προστιθέμενης χωρικής διάστασης.

27 [27] Μοντελοποίηση Ελαστικών Κατασκευών Εισαγωγή Η επανάσταση της μικροηλεκτρονικής απέδωσε θαύματα. Στα τριάντα μόλις χρόνια, προσωπικοί υπολογιστές, κινητά τηλέφωνα, PDAs, locators GPS, ψηφιακές φωτογραφικές μηχανές, ψηφιακοί δίσκοι, και αμέτρητες άλλες συσκευές έγιναν πραγματικότητα. Όλες λόγω του μικροτσίπ. Τώρα φανταστείτε τη δύναμη της μικροηλεκτρονικής που ενώθηκε με τα πράγματα που κινούνται. Αυτό ήταν η ουσία της υπόσχεσης των MEMS και NEMS. Παραδείγματα ελαστικών δομών σε MEMS / NEMS Σε αυτή την παράγραφο θα ρίξουμε μια σύντομη ματιά σε επτά μικροσυστήματα που επιδεικνύουν τη γκάμα των ελαστικών δομών που χρησιμοποιούνται σε MEMS και NEMS. Οι επιλογές μας είναι αντιπροσωπευτικές και όχι ολοκληρωμένες. Οι ερευνητές συνεχώς προσπαθούν να κατασκευάσουν και να χρησιμοποιούν όλο και περισσότερο πολύπλοκες δομές σε ελαστικές MEMS συσκευές. Micromirrors Η στρεπτική micromirror απεικονίζει μια απλή ελαστική δομή που βρίσκεται συχνά σε MEMS. Σε αυτό το σύστημα ο στόχος είναι να αναδιαμορφωθεί η θέση MEMS και NEMS. Οι επιλογές μας είναι να αλλάξει η γωνία του άκαμπτου καθρέφτη, ώστε να ελέγχεται η θέση μιας ανακλώμενης δέσμης φωτός. Αυτό επιτρέπει στο

28 [28] κάτοπτρο να δράσει ως ένας οπτικός διακόπτης για δίκτυα οπτικής ίνας. Το κάτοπτρο είναι κατασκευασμένο από ένα υλικό με επαρκή ακαμψία για την αποφυγή κάμψης. Ο καθρέφτης είναι συνδεδεμένος με μία λεπτή δοκό που δένεται στη θέση της κατά το αντίθετο άκρο. Η δοκός είναι ελεύθερη να στρίψει και να ενεργεί ως ελατήριο στρέψης. Συχνά ο καθρέφτης προσαρτάται σε δύο δοκούς, μία σε κάθε πλευρά και όχι από μία ενιαία δοκό. Θερμοελαστικές, ηλεκτροστατικές, μαγνητικές ή πιεζοηλεκτρικές δυνάμεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προκαλέσουν την κίνηση του καθρέφτη. Ένα ζεύγος ηλεκτροδίων τοποθετούνται κάτω από τον καθρέφτη. Όταν μια διαφορά δυναμικού εφαρμόζεται μεταξύ των ηλεκτροδίων και του καθρέφτη, ασκείται μία ροπή προκαλώντας την επιθυμητή περιστροφή. Κάλυμμα νανοσωλήνων άνθρακα Η ανακάλυψη του C60, η δομή άνθρακα "Buckeyball", από τους Curl, Kroto, και Smalley, σίγουρα κατατάσσεται ως ένα από τα σημαντικότερα επιστημονικά επιτεύγματα τα τέλη του εικοστού αιώνα. Το 1996, το τρίο τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ για τις προσπάθειές τους. Η ανακάλυψη των νανοσωλήνων άνθρακα, δηλαδή φύλλων άνθρακα τυλιγμένα σε κύλινδρο στο μέγεθος νανοκλίμακας, υπόσχεται να είναι μία από τις πιο, τεχνολογικά, σημαντικές εξελίξεις από τα τέλη του εικοστού και τις αρχές του εικοστού πρώτου αιώνα. Έδειξαν ότι ένας νανοσωλήνας άνθρακα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα ελατήριο που υπακούει το νόμο

29 [29] του Hooke. Επιπλέον πρόσφατες εργασίες έδειξαν ότι αυτό μπορεί να εξαρτάται από την θερμοκρασία και μπορεί επίσης να τροποποιηθεί με την πλήρωση του νανοσωλήνα με διαφορετικά υλικά. Αισθητήρες πίεσης Ο αισθητήρας πίεσης είναι μια βάση της μηχανικής MEMS. Η ζήτηση για φθηνές, υψηλής ποιότητας, μικρογραφίες αισθητήρων πίεσης προέρχεται από μία ποικιλία βιομηχανιών όπως την αυτοκινητοβιομηχανία, την αεροναυτική και ιατρική που είναι μερικές από τις πιο σημαντικές. Το σύστημα αποτελείται από ένα παραμορφωμένο διάφραγμα πάνω από μία σφραγισμένη κοιλότητα. Η κοιλότητα μπορεί να περιέχει ένα αέριο σε μία γνωστή πίεση αναφοράς ή μπορεί να περιέχει ένα κενό. H απέναντι πλευρά του διαφράγματος είναι εκτεθειμένη στην ατμόσφαιρα. Η διαφορά πίεσης μεταξύ των αντίθετων πλευρών του διαφράγματος προκαλεί πίεση και, ενδεχομένως, μια μετατόπιση του διαφράγματος. Μια ποικιλία μεθόδων έχουν αναπτυχθεί για την ανίχνευση της πίεσης ή της μετατόπισης. Αισθητήρες χωρητικής πίεσης ανιχνεύουν τη μετατόπιση μετρώντας την αλλαγή στην χωρητικότητα του συστήματος που αποτελείται από το διάφραγμα και μια πλάκα γείωσης. Αισθητήρες πίεσης Piezoresistive κάνουν χρήση του piezoresistive (piezoelastic ->Relating to, or designating the property of exhibiting a slight reversible elasticity on application of an external electric current.) αποτελέσματος, όπου η ηλεκτρική αντίσταση του διαφράγματος αλλάζει σε απόκριση με μία εφαρμοζόμενη τάση. Στο κατάλληλο κύκλωμα η αντίσταση μπορεί να μετρηθεί και να συναχθεί πίεση. Πολυάριθμες ερευνητικές ομάδες έχουν κατασκευάσει αισθητήρες πίεσης και τους δοκιμάζουν σε ευρεία διάφορα περιβάλλοντα. Η κατανόηση της σχέσης μεταξύ της πίεσης και ελαστικής εκτροπής είναι ένα σημαντικό μέρος του σχεδιασμού κάθε αισθητήρα πίεσης MEMS.

30 [30] Αισθητήρες Συχνοτήτων Μια κατηγορία MEMS και NEMS αισθητήρων, παρόμοια με τον αισθητήρα πίεσης είναι οι λεγόμενοι αισθητήρες συχνοτήτων. Όπως και με τους αισθητήρες πίεσης, ο αισθητήρας συχνοτήτων συσχετίζει μια αλλαγή στην ελαστική συμπεριφορά του συστήματος με την ποσότητα που κάποιος επιθυμεί να αισθανθεί. Οι αισθητήρες συχνοτήτων συσχετίζουν τη συχνότητα συντονισμού της συσκευής με την ποσότητα που πρέπει να ανιχνευτεί. Όμως, αντί να παραμένουν σταθερές, το διάφραγμα εξαναγκάζεται μηχανικά. Ηλεκτροστατική, θερμοελαστική, μαγνητική ή πιεζοηλεκτρική ενεργοποίηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παροχή της κινητήριας δύναμης. Ένα υποσύστημα παρακολουθεί συνεχώς την συχνότητα συντονισμού της μεμβράνης. Δεδομένου ότι οι εξωτερικές πιέσεις αλλάζουν, η ένταση στη μεμβράνη και ως εκ τούτου η συχνότητα συντονισμού των μετατοπίσεων του συστήματος ανιχνεύουν αυτή τη μετατόπιση και παρέχουν ένα μέτρο της πίεσης. Το ίδιο βασικό σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προκαλέσει συντονισμό χημικών ή βιοαισθητήρων. Στην περίπτωση αυτή το διάφραγμα θα επικαλύπτεται με ένα στρώμα πολυμερούς. Ειδικές χημικές ουσίες ή βιολογικά υλικά απορροφούνται από το πολυμερές. Με τη σειρά του, αυτό αλλάζει τη μάζα και ως εκ τούτου, τη συχνότητα συντονισμού του διαφράγματος. Η μέτρηση της συχνότητας συντονισμού συσχετίζεται με την απορροφούμενη μάζα για να μετρηθεί το χημικό ή βιολογικό υλικό στο περιβάλλον. Επεξεργασμένοι Διακόπτες Ένα σύστημα που απεικονίζει το ρόλο των διαφόρων ελαστικών δομών σε μικροκλίμακα μηχανικής είναι οι επεξεργασμένοι διακόπτες. Η βασική δομή είναι αρκετά απλή. Ένα ζεύγος ηλεκτροδίων περιλαμβάνει το διακόπτη. Ένα ηλεκτρόδιο είναι συνήθως άκαμπτο και σταθερό στο χώρο. Το άλλο ηλεκτρόδιο έχει

31 [31] μία παραμορφώσιμη ελαστική δομή. Αυτό το ηλεκτρόδιο μπορεί να κατασκευασθεί σε μια ποικιλία σχημάτων που μοιάζουν με μια ελαστική μεμβράνη ή μια ελαστική πλάκα. Ο διακόπτης κλείνει εφαρμόζοντας διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο ηλεκτροδίων. Αυτό δημιουργεί μια ηλεκτροστατική δύναμη εκτρέποντας το παραμορφώσιμο ηλεκτρόδιο και προκαλώντας την επιθυμητή επαφή μεταξύ των ηλεκτροδίων. Πολλές ερευνητικές ομάδες έχουν κατασκευάσει και δοκιμάσει τέτοιες δομές. Μικρο και Νανο- λαβίδες / Μικρο και Nανο- Διαστάσεις Μία ιδιαίτερα νέα εφαρμογή της τεχνολογίας NEMS είναι η nanotweezer (μίνι βαλβίδα) που αναπτύχθηκε από τον Philip Kim και Charles Lieber στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ. Στο σχεδιασμό τους, ένα ζευγάρι των νανοσωλήνων άνθρακα συνδέονται σε ηλεκτρόδια χρυσού, που με τη σειρά τους, στερεώνονται σε ένα κωνικό σταγονόμετρο. Μια διαφορά δυναμικού εφαρμόζεται μεταξύ των νανοσωλήνων, δημιουργώντας μια ελκυστική ηλεκτροστατική δύναμη. Αλλάζοντας τη διαφορά δυναμικού, αλλάζουμε τη δύναμη επί των νανοσωλήνων και επομένως την απόσταση μεταξύ των σωλήνων. Η νανολαβίδα μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί ως κοινό τσιμπιδάκι. Aντικείμενα νανοκλίμακας - κύτταρα, νανομηχανές, κ.λ.π, μπορούν να χειραγωγηθούν. Τόσο στην micro- και nanotweezer σχεδιαστική η ελαστική δοκός διαδραματίζει κεντρικό ρόλο. Η κατανόηση της παραμόρφωσης των ελαστικών δοκών που υποβάλλονται σε διάφορα φορτία είναι απαραίτητη για την κατανόηση και το σχεδιασμό micro - και nanotweezers. Το Νανομηχανικό αντήχειο Μια μικρή επιβάρυνση για μια μπάλα που αιωρείται ανάμεσα σε δύο κουδούνια, έχει σαν αποτέλεσμα την προσέλκυση σε ένα από τα δύο κουδούνια. Κατά την επαφή με ένα κουδούνι, η μπάλα

32 [32] καταθέτει το φορτίο της, σηκώνει το αντίθετο φορτίο, και φορτίζεται με τον ίδιο τρόπο. Η μπάλα στη συνέχεια κάνει επαφή με τo αντίθετo κουδούνι και ο κύκλος επαναλαμβάνεται. Σε νανοκλίμακα, η κινητήρια δύναμη είναι η ίδια. Ωστόσο, μια μπάλα που αναστέλλεται μεταξύ δύο κουδουνιών, μία άκαμπτη δοκός πυριτίου, υποστηρίζει μια νανοκλίμακα μεταξύ ενός ζεύγους ηλεκτροδίων. Η νανοκλίμακα έχει ένα χαρακτηριστικό μήκος των 100nm. Αυτή η βασική δομή μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί ως συσκευή ανίχνευσης φορτίου, ως παραμετρικός ενισχυτής, ένα ρολόι νανοκλίμακας, ή ένας ηχηρός αισθητήρας. Νανομηχανικά αντήχεια λειτουργούν σε συχνότητες άνω 500MHz. Η κατανόηση της παραμόρφωσης των ελαστικών δοκών και το φαινόμενο του συντονισμού είναι πολύ σημαντικά ώστε να γίνει κατανοητός ο τρόπος κατασκευής και λειτουργίας αυτών των συσκευών. Η μάζα σε ένα ελατήριο Κάθε σπουδαστής της φυσικής ξοδεύει μέρος του χρόνου του μελετώντας αυτό το σύστημα. Από πολύ νωρίς, η απλή αρμονική κίνηση, και ο νόμος του Hooke και συντονισμού έχουν προστεθεί στο λεξικό του μαθητή και τα πεδία που φαινομενικά είναι ανόμοια όπως ελαστικότητα, ηλεκτρικά κυκλώματα, ακουστική, στατιστική μηχανική, χημεία, ακόμη και πληθυσμιακή βιολογία έχουν όλοι τον αρμονικό ταλαντωτή ως ένα από τα βασικά μοντέλα τους. Η μελέτη των μικροσυστημάτων δεν αποτελεί εξαίρεση. Όπως θα δούμε ο ταλαντωτής μάζας-ελατηρίου είναι συχνά μία βασική συνιστώσα της πρώτης MEMS-NEMS συσκευής. Για προετοιμασία θα επανεξετάσουμε τον αρμονικό ταλαντωτή και θα μελετήσουμε την κίνηση μιας μάζας για ένα ελατήριο. Θα εξετάσουμε την απόσβεση ταλαντώσεων και θα εισάγουμε τις ιδέες της ενέργειας και του επιπέδου των φάσεων. Θα εξετάσουμε την έννοια του συντονισμού

33 [33] μέσω της μελέτης του αρμονικού ταλαντωτή. Θα αναφερθούμε εν συντομία στην προέλευση των μη γραμμικών όρων σε μοντέλα μάζας-ελατηρίου και τη σχέση τους με MEMS και NEMS. Έχουμε αναφέρει επίσης πώς μπορεί να σχετίζεται με τις παραμέτρους ένα μοντέλο μάζας-ελατηρίου από ένα πραγματικό σύστημα, μέσω της χρήσης μιας αποτελεσματικής σταθεράς ελατηρίου. Η βασική εξίσωση Η βασική εξίσωση στο σύστημα μάζας-ελατηρίου προκύπτει άμεσα από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Έχουμε: m d2 x dt 2 = F. (1) Εδώ, το x είναι η μετατόπιση της μάζας, m, από την θέση ισορροπίας. Οι δυνάμεις που ενεργούν στο σύστημά μας είναι η δύναμη του ελατηρίου, F S, η δύναμη απόσβεσης, Fd, και η δύναμη εξαναγκασμού, Fe. Υποθέτουμε ότι το ελατήριο είναι ένα γραμμικό ελατήριο και ακολουθεί τον νόμο του Hooke, F S = k(x l), (2) όπου l είναι το μήκος του ελατηρίου σε ισορροπία και k είναι η σταθερά του ελατηρίου. Εμείς υποθέτουμε ότι η απόσβεση είναι γραμμικά ανάλογη με την ταχύτητα, δηλαδή: F d = a dx dt, (3) και επιπλέον υποθέτουμε ότι η δύναμη εξαναγκασμού είναι αρμονική με τον χρόνο στη μορφή: F e = A cos(ωt ). (4) Η εισαγωγή των εξισώσεων (2), (3), και (4) στην εξίσωση (1) δίνει m d2 x dx dt 2 + a + k(x l) = A dt cos(ωt ). (5)

34 [34] Είναι βολικό να σχηματίσουμε την εξίσωση (5) και να την ξαναγράψουμε σε όρους αδιάστατων μεταβλητών. Εισάγουμε τα εξής: u = x l, t = k t, (6) B m στην εξίσωση (5). Αυτό δίνει την αδιάστατη εξίσωση: όπου d 2 u dt 2 + γ du dt + u = δ cos(ωt), (7) γ = α mk, δ = Α kb, ω = Ω m k. (8) Η παράμετρος γ είναι ένα αδιάστατο μέτρο του λόγου της απόσβεσης σε σχέση με την δύναμη του ελατηρίου. Το αντίστροφο της γ ονομάζεται συντελεστής ποιότητας ή Q του συστήματος. Όπως θα δούμε πιο κάτω η γ και ως εκ τούτου το Q ρυθμίζει το ρυθμό εξασθένησης των ταλαντώσεων και μας λέει πόσο συχνά το σύστημα ταλαντεύεται πριν από την πλήρη απόσβεση. Η παράμετρος ω είναι μια αναλογία χρονικών κλιμάκων, του Ω της F e και του k m. Η παράμετρος δ είναι ένα αδιάστατο μέτρο του πλάτους στο σύστημα. Παρατηρήστε ότι δεν έχουμε καθορίσει το Β. Έχουμε αρκετές επιλογές για το Β. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε το Β να είναι η αρχική μετατόπιση της μάζας, ή θα μπορούσαμε να επιλέξουμε B = A / k. Η κατάλληλη επιλογή Β θα εξαρτηθεί από το πρόβλημα υπό εξέταση. Αβίαστες Ταλαντώσεις Στη συνέχεια, εξετάζουμε αβίαστες ή ελεύθερες ταλαντώσεις του συστήματος μάζας-ελατηρίου. Δηλαδή, θέτουμε δ = 0 και μελετάμε την εξίσωση:

35 [35] d 2 u dt 2 + γ du dt + u = 0. (9) Αυτή είναι μια συνηθισμένη γραμμική διαφορική εξίσωση, με σταθερούς συντελεστές, δεύτερης τάξης. Μπορούμε να την λύσουμε αντικαθιστώντας μία λύση της μορφής e λt, στην εξίσωση (9) για να ληφθεί η τετραγωνική εξίσωση για λ: λ 2 + γλ + 1 = 0. (10) Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες που ονομάζουμε λ 1 και λ 2. Όσον αφορά τις ρίζες αυτών η γενική λύση της εξίσωσης (9) μπορεί να γραφεί ως: u(t) = c 0 e λ 1t + c 1 e λ 2t. (11) Η συμπεριφορά της παραπάνω λύσης εξαρτάται από την ακριβή φύση της λ i. Λύνουμε την τετραγωνική εξίσωση για λ και βρίσκουμε: λ = γ 2 ± 1 2 γ2 4. (12) Αξίζει να αναφερθούμε στην περίπτωση γ 0. Είναι εύκολο να δούμε ότι, αν γ = 0, τότε τα λ 1 και λ 2 είναι ένα καθαρά φανταστικό συζυγές ζεύγος. Ειδικότερα, λ 1, 2 = ± i. Έτσι, η λύση u(t), της εξίσωσης (11), είναι καθαρά ταλαντευόμενη. Φυσικά αυτό είναι προφανές, όταν το γ = 0 και δεν έχουμε απόσβεση. Αν 0 <γ <2, οι ρίζες λ 1 και λ 2 είναι ένα σύνθετο συζυγές ζεύγος με αρνητικό πραγματικό μέρος και μη μηδενικό φανταστικό μέρος. Ως εκ τούτου, η λύση για u(t) αποτελείται από φθίνουσες ταλαντώσεις. Να σημειώσουμε ότι ο ρυθμός της απόσβεσης διέπεται από την αδιάστατη παράμετρο γ. Αν γ> 2 οι λ 1, λ 2 ρίζες είναι αμιγώς πραγματικές και αρνητικές. Ως εκ τούτου, η λύση u(t) είναι αυστηρά φθίνουσα χωρίς ταλαντώσεις. Επιπλέον, αξίζει να ερευνηθεί μια εναλλακτική προοπτική. Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση (9) με την du / dt, παίρνουμε:

36 [36] d dt [1 2 (du dt )2 + u2 2 ] = γ (du dt )2. (13) Ορίζουμε τον όρο εντός παρενθέσεων με E(t) δηλαδή: E(t) = 1 2 (du dt )2 + u2 2. (14) Η συνάρτηση E(t) μπορεί να ερμηνευθεί ως ενέργεια για το σύστημα. Ο πρώτος όρος στο Ε(t) είναι ανάλογος με το τετράγωνο της ταχύτητας και αντιπροσωπεύει τη κινητική ενέργεια. Ο δεύτερος όρος είναι ανάλογος με το τετράγωνο της μετατόπισης και αντιπροσωπεύει την δυναμική ενέργεια που αποθηκεύεται στο ελατήριο. Με την ερμηνεία αυτή, δεδομένου ότι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (13) είναι αρνητική για γ> 0, βλέπουμε ότι η εξίσωση (13) είναι απλώς η δήλωση ότι η ενέργεια στο σύστημα μειώνεται. Φυσικά η απόσβεση μειώνει την κινητική και δυναμική ενέργεια, εφόσον το γ είναι θετικό. Επίσης όταν γ=0 η εξίσωση (13) αναφέρει ότι η ενέργεια διατηρείται. Και πάλι αυτό είναι ρεαλιστικό, μια και το γ= 0 αντιστοιχεί σε μηδενική απόσβεση. Πρέπει να επισημάνουμε σε αυτή την ειδική περίπτωση, ότι η εξίσωση (13) γίνεται: de dt = 0, (15) πράγμα που συνεπάγεται ότι το Ε είναι μία σταθερά. Μπορούμε να φανταστούμε το Ε να καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες, έτσι ώστε: E = [ 1 2 (du dt )2 + u2 2 ] t=0. (16) Τώρα, δεδομένου ότι το Ε είναι σταθερό, όπως καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες, μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση (14) ως εξής: E u2 2 = 1 2 (du dt )2. (17)

37 [37] Δεδομένου ότι η δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης είναι πάντοτε θετική, η αριστερή πλευρά πρέπει επίσης να είναι. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση μπορεί να καθοριστεί από το δυναμικό που ορίζεται από τη σχέση: V(u) = u2 2. (18) Δηλαδή, αν σχεδιάζουμε την V(u) και, στη συνέχεια, σχεδιάσουμε μια γραμμή που αντιπροσωπεύει τη σταθερή ενέργεια Ε, η κίνηση μπορεί να γίνει μόνο με έναν τρόπο σύμφωνο με την προϋπόθεση ότι το E-V(u)> 0. Αυτό συνεπάγεται άμεσα ότι το u(t) οριοθετείται και είναι περιοδικό. Η ύπαρξη αυτού του συναρτησιακού Ε(t) υπονοεί ότι το u = 0 είναι μια σταθερή λύση, όταν γ> 0. Δηλαδή, αν διαταράξουμε το σύστημα από την κατάσταση ηρεμίας, επιστρέφει στην κατάσταση όπου και οι δύο ποσότητες, u και du / dt είναι ίσες με το μηδέν. Το επίπεδο φάσεων Ωστόσο, αξίζει να διερευνηθεί και μια άλλη οπτική γωνία για το σύστημα μάζας-ελατηρίου. Η σταθερή κατάσταση ηρεμίας του ταλαντωτή μάζας-ελατηρίου για την περίπτωση γ> 0 μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σημείο στο επίπεδο. Αυτό το επίπεδο ονομάζεται phase plane για το σύστημα και οι άξονες είναι η θέση της μάζας, u (t), και η ταχύτητα της μάζας, v(t) = du / dt. Αν ξαναγράψουμε το μοντέλο μας ως ένα πρώτης τάξης σύστημα, d [u dt υ ] = [ γ ] [u ], (19) υ αυτό γίνεται αμέσως σαφές. Το σημείο u = 0, v = 0, καλείται κρίσιμο σημείο για το πρόβλημά μας. Αν το σύστημα ξεκινήσει από το σημείο u = 0, v = 0, το σύστημα θα παραμείνει σε αυτό το σημείο για όλο το χρόνο. Αυτό προκύπτει από το σύστημα πρώτης τάξης, δεδομένου ότι βλέπουμε αμέσως ότι τόσο du / dt και dv / dt είναι

38 [38] πανομοιότυπα μηδέν όταν u = 0 και v = 0. Καμία αλλαγή δεν συμβαίνει σε αυτό το σημείο. Στη συνέχεια θα διερευνήσουμε τη συμπεριφορά ενός μη γραμμικού συστήματος δεύτερης τάξης κοντά σε ένα κρίσιμο σημείο. Θεωρούμε, ένα σύστημα της μορφής: du dt = F(u), (20) όπου u είναι το διάνυσμα δύο στοιχείων [u, v]. Ένα κρίσιμο σημείο για αυτό το σύστημα είναι απλά ένα σημείο τέτοιο ώστε: F(u) = 0. (21) Πού τείνουν οι λύσεις που ξεκίνησαν κοντά στο κρίσιμο σημείο της εξίσωσης (20);. Αυτή η πληροφορία εξάγεται από το σύστημα με γραμμικοποίηση κοντά στο κρίσιμο σημείο. Συμβολίζουμε ένα κρίσιμο σημείο της (20) με u* και εισαγάγουμε: u = u + εw, (22) στην εξίσωση (20) και, στη συνέχεια, με το ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης F για το σημείο ε=0 παίρνουμε: ε dw dt = F(u ) + εdf(u )w +. (23) Κοντά στο κρίσιμο σημείο διατηρούμε μόνο γραμμικούς όρους. Αν εμείς αγνοήσουμε τους όρους ανώτερης τάξης και δεδομένου ότι το F(u *) = 0, το γραμμικοποιημένο πρόβλημα γίνεται: dw dt = DF(u )w. (24) Ο όρος DF είναι ο Ιακωβιανός πίνακας της συνάρτησης f στο σημείο u *. Αν εμείς υποδηλώνουμε τα στοιχεία της συνάρτησης F με F1 και F2, τότε ο πίνακας DF είναι:

39 [39] DF(u ) = [ θf 1 θu θf 2 θu θf 1 θυ θf 2 θυ ] u=u. (25) Έτσι, η γραμμικοποίηση κοντά σε ένα κρίσιμο σημείο ενός μη γραμμικού συστήματος δεύτερης τάξης (20) έχει ως αποτέλεσμα ένα γραμμικό σύστημα της μορφής: d [u dt υ ] = [a b c d ] [u υ ]. (26) Για αυτό το γραμμικό σύστημα, την εξίσωση (26), το να βρούμε, τα κρίσιμα σημεία ισοδυναμεί με την εύρεση όλων των λύσεων της εξίσωσης: Au = 0, (27) a b Όπου Α = [ c d ]. (28) Είναι εύκολο να δούμε ότι αν ad-bc είναι διάφορη του μηδενός, τότε u = 0 είναι το μόνο κρίσιμο σημείο. Η ποσότητα ad - bc ονομάζεται ορίζουσα του A. Για τον αρμονική μας ταλαντωτή, η ορίζουσα είναι ίση με το ένα και ως εκ τούτου η αρχή (0,0) είναι το μόνο κρίσιμο σημείο για ταλαντωτή μας. Γνωρίζουμε από την προηγούμενη υποενότητα ότι μία λύση, αρχίζοντας με οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες, φθίνει προς την πηγή όσο ο χρόνος αυξάνει εάν γ> 0. Αν γ = 0 η λύση ταλαντώνεται για όλο το χρόνο. Στην περίπτωση όπου γ = 0, όλοι οι τροχιές είναι κλειστές καμπύλες. Στην περίπτωση αυτή, το κρίσιμο σημείο στην αρχή ονομάζεται κέντρο. Όταν 0 <γ <2, το κρίσιμο σημείο στην αρχή ονομάζεται σταθερή εστία. Στην περίπτωση που γ> 2, το κρίσιμο σημείο στην αρχή ονομάζεται σταθερός κόμβος. Οι υπόλοιπες πιθανές συμπεριφορές ενός

40 [40] κρίσιμου σημείου στην αρχή δεν είναι πραγματοποιήσιμες από τον αρμονικό ταλαντωτή μας. Eξαναγκασμένες ταλαντώσεις Συντονισμού. Η εξίσωση εξαναγκασμένου αρμονικού ταλαντωτή δεύτερης τάξης έχει τη μορφή: d 2 u dt 2 + γ du dt + u = δ cos(ωt), (29) είναι γραμμική και μπορεί να λυθεί ακριβώς. Μπορούμε να γράψουμε τη λύση ως: u(t) = c 0 e γt 2 sin(ω 0 t) + c 1 e γt 2 cos(ω 0 t) + A cos(ωt φ), (30) Όπου και ω 0 = 1 γ2 2, (31) φ = tan 1 ( Α = γω 1 ω 2), (32) δ (1 ω 2 ) 2 +γ 2 ω 2. (33) Οι πρώτοι δύο όροι στη λύση μπορούν να θεωρηθούν ότι εκφράζουν τη μεταβατική συμπεριφορά του συστήματος. Αν γ> 0 αυτοί οι όροι φθίνουν καθώς αυξάνεται ο χρόνος. Ο τρίτος όρος είναι αμιγώς ταλαντωτικός, υπάρχει για όλο το χρόνο, και μπορεί να θεωρηθεί ως η συμπεριφορά μετάβασης του συστήματος. Σημειώστε ότι αυτός ο όρος ταλαντώνεται με την ίδια συχνότητα όπως στη δύναμη εξαναγκασμού, αλλά με ένα φ, φάση, που είναι γενικά διαφορετική από την δύναμη εξαναγκασμού. Το πλάτος της

41 [41] λύσης δίνεται από τον Α όρο. Επισημαίνουμε ότι ο όρος αυτός είναι ανάλογος με το μέγεθος της δύναμης εξαναγκασμού μέσω του δ αλλά εξαρτάται επίσης και από το αδιάστατο μέτρο της απόσβεσης, γ, και την αδιάστατη συχνότητα, ω. Αν σχεδιάσουμε το διάγραμμα του Α με το ω και σταθερές τα γ και δ, παίρνουμε το λεγόμενο διάγραμμα συχνότητας απόκρισης του συστήματος το οποίο δείχνει το μέγεθος της απόκρισης σε διαφορετικές εξαναγκάζουσες συχνότητες. Αυτό το διάγραμμα κορυφώνεται στο σημείο ω = ω 0. Αυτό είναι το φαινόμενο που είναι γνωστό ως συντονισμός, δηλαδή, το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος στη φυσική συχνότητα είναι μεγαλύτερο από το πλάτος της απόκρισης σε οποιαδήποτε άλλη συχνότητα. Τέλος, σημειώνουμε ότι μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τη συχνότητα συντονισμού στις γνωστές μονάδες συχνότητας. Το όρισμα της λύσης είναι της μορφής ω 0 t, η οποία σε διαστατική μορφή, είναι: ω 0 t m k, (34) και ως εκ τούτου η φυσική συχνότητα του αρμονικού ταλαντωτή είναι: f 0 = m k γ2 (1 ). (35) 2 Μη γραμμικά Ελατήρια Πραγματικά ελατήρια και πραγματικά ελαστικά συστήματα έχουν συχνά μη γραμμική συμπεριφορά. Ένας τρόπος για να συμπεριλάβουμε μη γραμμικούς όρους στο σύστημα μάζαςελατηρίου είναι να επανεξετάσουμε τον Νόμο του Hooke και να τον τροποποιήσουμε. Η δύναμη του ελατηρίου δίνεται από τον νόμο του Hooke που υποτίθεται και είναι μια δύναμη επαναφοράς. Παρατηρούμε ότι η δύναμη είναι θετική όταν η μετατόπιση είναι αρνητική και αντίστροφα όταν η μετατόπιση είναι θετική. Δηλαδή,

42 [42] η δύναμη ενεργεί για να αντιταχθεί στην κίνηση. Μπορούμε να διατηρήσουμε αυτή τη συμπεριφορά και να κάνουμε τον νόμο του Hooke μη γραμμικό, προσθέτοντας ένα κύβο. Δηλαδή, θεωρούμε μια τροποποιημένη δύναμη ελατηρίου της μορφής: F m = kx + k 1 x 3. (36) Για μικρές μετατοπίσεις διατηρείται η δύναμη επαναφοράς όπως είναι επιθυμητό. Παρατηρούμε ότι σύμφωνα με το πρόσημο του k 1 δύο τύποι συμπεριφοράς είναι δυνατοί. Αν k 1 > 0 τότε η F m είναι πάντα μικρότερη από την F s. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το ελατήριο είναι αδύναμo ή μαλακό ελατήριο. Η μη γραμμική δύναμη επαναφοράς είναι πάντα μικρότερη από τη γραμμική. Αν k 1 <0 τότε η Fm είναι πάντα μεγαλύτερη από Fs. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το ελατήριο είναι ισχυρό και σκληρό. Η μη γραμμική δύναμη επαναφοράς είναι πάντα μεγαλύτερη από ότι στην γραμμική περίπτωση. Σε αυτά τα μικροσυστήματα, οι μη γραμμικοί όροι συχνά είναι σημαντικοί. Αυτή είναι η τάση των υλικών να γίνονται μαλακότερα ή σκληρότερα όταν υποβάλλονται σε μεγάλες μετατοπίσεις. Η μελέτη ενός συστήματος μάζαςελατηρίου με την κατάλληλη μη γραμμικότητα μπορεί να δώσει εικόνα για το σχεδιασμό της συσκευής. Η προσθήκη μη γραμμικών όρων σε ένα μοντέλο μάζας-ελατηρίου MEMS ή NEMS μπορεί επίσης να είναι κατάλληλη όταν οι μετατοπίσεις στο σύστημα αναμένεται να είναι μεγάλες. Αξίζει να επισημάνουμε ότι, η γραμμική ελαστική θεωρία που παρουσιάζεται αφορά μικρές μετατοπίσεις και μικρές κλίσεις. Τα πραγματικά συστήματα μπορούν ή δεν μπορούν να συμμορφωθούν με αυτές τις υποθέσεις. Κάνοντας μια πρώτη εκτίμηση της επίδρασης των μετατοπίσεων βλέπουμε ότι είναι συχνά χρήσιμο να προσθέτουμε μη γραμμικούς όρους σε ένα μοντέλο μάζας-ελατηρίου.

43 [43] Ενεργές σταθερές ελατηρίου Ένας τρόπος για να δούμε τη μελέτη μας για το μοντέλο μάζαςελατηρίου είναι απλά μια αφαίρεση από τα βασικά χαρακτηριστικά των ελαστικών διατάξεων. Ωστόσο, μπορεί να θέλουμε να πάμε περαιτέρω. Στην πραγματικότητα, θα μπορούσε κανείς να επιχειρήσει να συσχετίσει τις παραμέτρους στο μοντέλο μάζαςελατηρίου με τις υλικές παραμέτρους για μια πραγματική συσκευή. Αλλά λίγες συσκευές έχουν μια απλή πηγή με γνωστή σταθερά ελατηρίου ως βασικό στοιχείο μηχανικής τους. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να γράψουμε τον νόμο του Hooke για μια ράβδο ως εξής: σ = Ε u x,(37) όπου Ε είναι το μέτρο του Young, σ είναι η τάση στην αξονική κατεύθυνση, u το στέλεχος κατά την αξονική διεύθυνση, και x η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα της ράβδου. Με αυτόν τον τρόπο, βλέπουμε ότι το k μπορεί να σχετίζεται με το μέτρο Young, Ε, για ελατήρια μορφής «δοκού». Ο συντελεστής Young είναι γνωστός για πολλά υλικά που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή MEMS, και αυτό είναι ιδιαίτερα βολικό. Ένας τυπικός υπολογισμός μιας τέτοιας σταθεράς του ελατηρίου ακολουθεί την εξής διαδικασία. Κατ αρχάς, σημειώνουμε ότι ο νόμος του Hooke για την περίπτωση των ελατηρίων είναι: F s = kx. (38) Τώρα, αν εφαρμόσουμε μια δύναμη στο δεξί άκρο της δοκού μεγέθους F, η δύναμη που προκύπτει επί της δοκού έχει μέγεθος: σ = F A, (39) όπου το Α είναι το εμβαδόν διατομής της δοκού. Από την εξίσωση (37) μπορούμε να βρούμε τη μετατόπιση της δοκού με την αντικατάσταση. Βρίσκουμε:

44 [44] u(x) = F AE x + c 0. (40) Θέτουμε στο x=0, ότι c 0 = 0. Έτσι, η μετατόπιση του δεξί άκρο της δοκού είναι: u(l) = FL AE. (41) Αλλά η u(l) είναι απλώς η αλλαγή στο μήκος της δοκού, ή σκεπτόμενοι σε όρους του νόμου του Hooke, x. Ταυτίζοντας τις δύο εκφράσεις μας για την αλλαγή στο μήκος φτάνουμε στη σχέση: keff = AE L, (42) ως μια ενεργή σταθερά για το σύστημα της δοκού. Μεμβράνες Αισθητήρες πίεσης, μικροαντλιών, ηλεκτροστατικά συστήματα προβολής, και πολλές άλλες συσκευές MEMS και NEMS κάνουν χρήση των λεπτών μεμβρανών. Κατά συνέπεια, η ελαστική μεμβράνη θα είναι κεντρικής σημασίας για πολλά από τα μοντέλα που θα μελετηθούν. Βασική Εξίσωση Μια ελαστική μεμβράνη είναι ένα σώμα με τάση. Δεν έχει καμία αντίσταση στην κάμψη, αλλά αντιστέκεται στο τέντωμα. Τροποποιώντας την εξίσωση (22) γράφουμε την εξίσωση της μεμβράνης μας ως:

45 [45] ρ 2 u t 2 = μ 2 u + f(x, y, t ). (43) Η λειτουργία u(x, y, t ) είναι το ύψος της μεμβράνης στη θέση (x, y ) και τη χρονική στιγμή t πάνω από κάποια θέση αναφοράς. Η συνάρτηση f(x, y, t ) είναι το φορτίο στη μεμβράνη. Υπενθυμίζουμε ότι ρ είναι η πυκνότητα της μεμβράνης και μ είναι η τάση της μεμβράνης. Αλλάζουμε την κλίμακα στο u με κάποια χαρακτηριστική μετατόπιση, στα x και y με κάποιο χαρακτηριστικό μήκος του συστήματος, και το χρόνο με μία φυσική κλίμακα χρόνου όπως αυτής της ταλάντωσης με την εισαγωγή καινούργιων μεταβλητών: u = u A, x x =, L y y =, L t t = μ, (44) ρ L στην εξίσωση (43), η οποία δίνει: 2 u t 2 = 2 u + F(x, y, t). (45) Η συνάρτηση F είναι μια αδιάστατη μορφή του όρου εξαναγκασμού f. Μονοδιάστατη μεμβράνη με ομοιόμορφο φορτίο Ως πρώτο παράδειγμα της μηχανικής μεμβράνης, εξετάζουμε μια μονοδιάστατη μεμβράνη. Θεωρούμε την αδιάστατη παραπάνω εξίσωση (45). Η μονοδιάστατη μεμβράνη μπορεί να θεωρηθεί ως μια λωρίδα μεγάλου μήκους ή ως ένα απλό ελατήριο. Η εξίσωση χορδών είναι απλά η εξίσωση μεμβράνης με τη συνάρτηση του u σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, το οποίο εδώ παίρνουμε να είναι x. Ας εξετάσουμε την σταθερή κατάσταση εκτροπής ενός τέτοιου ελατηρίου με ένα σταθερό φορτίο μεγέθους p. H εξίσωση είναι τότε: d 2 u dx 2 + p = 0. (46)

46 [46] Υποθέτουμε ότι το ελατήριο διατηρείται σταθερό στα δύο άκρα. Αυτά μπορούν να είναι x = ± 1/2. Θα επιβάλλουμε τις συνοριακές συνθήκες: u ( 1 2 ) = u (1 2 ) = 0. (47) Η εξίσωση (46) είναι εύκολο να λυθεί. Βρίσκουμε ότι: u(x) = px2 2 + c 0x + c 1, (48) και εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες, βρίσκουμε: u(x) = p 2 (x2 1 4 ). (49) Ή, επιστρέφοντας στις διαστατικές μεταβλητές, u (x ) = PL2 2 2μ [(x ) 1 ], (50) L 4 όπου Ρ είναι το διαστατικό φορτίο στο ελατήριο. Ως ένα ελαφρώς πιο δύσκολο παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την εκτροπή μιας κυκλικής ελαστικής μεμβράνης με σταθερό φορτίο μεγέθους σ. Εδώ, και πάλι το πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μονοδιάστατο με την μετατόπιση συνάρτηση της ακτινικής μεταβλητής r μόνο. Η εξίσωση Laplace σε κυλινδρικές συντεταγμένες, έχει τη μορφή: d 2 u du + 1 dr 2 r dr + p = 0. (51) Υποθέτουμε ότι η μεμβράνη διατηρείται σταθερή στο εξωτερικό όριο της. Στο όριο είναι r = 1 εάν η ακτίνα της μεμβράνης θεωρηθεί ότι έχει μήκος ένα. Θέτουμε την οριακή συνθήκη: u(1) = 0. (52) Ολοκληρώνουμε την αρχική μας εξίσωση και βρίσκουμε: u(r) = pr2 4 + c 0 log(r) + c 1. (53)

47 [47] Ο δεύτερος όρος στην έκφραση αυτή γίνεται άπειρος για r = 0. Αυτό μας λέει ότι η δεύτερη προϋπόθεση απαιτεί ότι το u(r) πρέπει να είναι φραγμένο στην αρχή και πρέπει c 0 = 0. Επιβάλλοντας την συνθήκη στο r = 1 βρίσκουμε: u(r) = p 4 (r2 1). (54) Ή, επιστρέφοντας σε διαστατικές μεταβλητές: u (r ) = PL2 4μ [(r L ) 2 1], (55) όπου Ρ είναι η πίεση επί της μεμβράνης και το L είναι η ακτίνα της μεμβράνης. Μονοδιάστατη μεμβράνη με συγκεντρωμένο φορτίο Η κατανόηση της συμπεριφοράς του συστήματος σε ένα σημειακό φορτίο ή σημειακή δύναμη είναι χρήσιμη και για θεωρητικούς και για πρακτικούς λόγους. Από θεωρητική άποψη, για ένα αυθαίρετο φορτίο η λύση μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μόνο το γνωστό φορτίο και τη λύση για μια σημειακή πηγή. Από πρακτική άποψη, μια σημειακή πηγή είναι ένα χρήσιμο μοντέλο συμπεριφοράς πολλών πραγματικών συστημάτων. Ένας ηλεκτροστατικός ενεργοποιητής με ένα μικρό ηλεκτρόδιο ή ένας μαγνητικός ενεργοποιητής με ένα μικρό μόνιμο μαγνήτη είναι μερικά παραδείγματα των συστημάτων MEMS όπου η μοντελοποίηση με ένα σημειακό φορτίο μπορεί να είναι κατάλληλη. Έχουμε μοντελοποιήσει το σημείο πηγή χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δέλτα Dirac και εξετάζουμε την εξίσωση : d 2 g dx 2 + δ(x x 0) = 0. (56) Η συνάρτηση Dirac είναι μηδέν σε όλα τα σημεία, εκτός από x = x 0 και έχει την ιδιότητα:

48 [48] δ(x x 0 )dx = 1. (57) Η εξίσωση (56) χρησιμοποιείται σε μοντέλα με μονοδιάστατα ελατήρια με σημειακή πηγή στο x = x 0. Χρησιμοποιήσαμε το g αντί u για τη λύση. Η λύση στο πρόβλημα αυτό ονομάζεται συνάρτηση του Green. Υποθέτουμε τα άκρα του ελατηρίου ότι είναι σταθερά και έχουμε: g ( 1 ) = g 2 (1 ) = 0. (58) 2 Λύνουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η συνάρτηση δέλτα μηδενίζεται μακριά από το σημείο x = x 0. Ως εκ τούτου, προς τα αριστερά και δεξιά του x 0, η λύση είναι απλά μια γραμμική συνάρτηση. Αυτή είναι: g(x) = { ax + b, 1/2 x < x 0 cx + d, x 0 x 1/2. (59) Η επιβολή των οριακών συνθηκών στο x = ± 1/2 απλοποιεί τη g σε: g(x) = { a(x + 1/2), 1/2 x < x 0 c(x 1/2), x 0 x 1/2. (60) Τώρα, έχουμε ακόμη δύο άγνωστες σταθερές α και c. Για να τις προσδιορίσουμε θα απαιτήσουμε καταρχάς ότι η g είναι συνεχής στο σημείο x 0, δηλαδή: g(x 0 ) = g(x 0 +), (61) όπου τα συν και πλην υποδεικνύουν λύσεις από αριστερά και δεξιά του x 0, αντίστοιχα. Η τελική συνθήκη προέρχεται από την ολοκλήρωση της εξίσωσης στο σημείο x 0 και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα του Dirac. Συγκεκριμένα έχουμε: dg (x dx 0 +) = dg (x dx 0 ) = 0. (62) Από την εφαρμογή αυτών των δύο παραπάνω προϋποθέσεων βρίσκουμε:

49 [49] g(x) = { (x + 1/2)(x 0 1/2), 1/2 x < x 0 (x 1/2)(x 0 + 1/2), x 0 x 1/2, (63) όπως η μετατόπιση της ελαστικής μεμβράνης με σημειακό φορτίο της μοναδιαίας δύναμης στο σημείο x 0. Μονοδιάστατη μεμβράνη με αυθαίρετο φορτίο Ως ένα τελευταίο παράδειγμα, υπολογίζουμε την παραμόρφωση μιας μονοδιάστατης μεμβράνης που υποβάλλεται σε αυθαίρετο φορτίο. Αυτό το παράδειγμα είναι ενδιαφέρον, λόγω της μεθόδου που χρησιμοποιείται για να κατασκευάσει την λύση. Συγκεκριμένα, κάνουμε χρήση της συνάρτησης του Green, που προκύπτει κατά το προηγούμενο παράδειγμα. Η τεχνική που εισήγαγε είναι ισχυρή και γενικεύεται για να καταστεί δυνατή η κατασκευή της λύσης σε γραμμικά προβλήματα τόσο συνήθων όσο και μερικών διαφορικών εξισώσεων. Περαιτέρω, η τεχνική αυτή είναι χρήσιμη για την κατασκευή ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων λύσεων μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Θεωρούμε: d 2 u dx 2 + p = 0, (64) όπου p (x) είναι ένα γνωστό αυθαίρετο φορτίο. Υποθέτουμε ότι τα άκρα του ελατηρίου είναι σταθερά και: u( 1/2) = u(1/2) = 0. (65) Τώρα, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση του Green του προηγούμενου παραδείγματος για να κατασκευάσουμε μια λύση για το πρόβλημα αυτό. Ξεκινάμε από τον πολλαπλασιασμό της εξίσωσης (56) με u και της εξίσωσης (64) με g. Αφαιρώντας τις δύο εξισώσεις, και ολοκληρώνοντας από x = -1/2 έως x = 1/2 έχουμε: 1/2 1/2 (g(x) d2 u u(x) d2 g + p(x)g(x, x dx 2 dx 0) u(x)δ(x x 2 0 ) dx = 0. (66)

50 [50] Στη συνέχεια, έχουμε ολοκληρώσει τους δύο πρώτους όρους κατά μέλη μια φορά και εφαρμόζουμε τις οριακές συνθήκες για τα, u και g. Όλες οι συνεισφορές από αυτούς τους δύο πρώτους όρους εξαφανίζονται και έχουμε μείνει με τη σχέση: u(x 0 ) = 1/2 1/2 p(x)g(x, x 0 )dx. (67) Σημειώνοντας ότι η g είναι μια συμμετρική συνάρτηση του x και x 0, και μπορούμε να εναλλάξουμε τις μεταβλητές και να γραφεί η σχέση στη μορφή: 1/2 u(x) = p(x 0 )g(x, x 0 )dx 1/2 0. (68) Αυτή είναι η αναπαράσταση της λύσης της συνάρτησης του Green. Ελεύθερη ταλάντωση μιας μονοδιάστατης μεμβράνης Στη συνέχεια διερευνούμε τις δονήσεις μιας μονοδιάστατης ελαστικής μεμβράνης. Η εξίσωση μονοδιάστατης μεμβράνης σε αδιάστατη μορφή, είναι: 2 u = 2 u. (69) t 2 x 2 Θα πρέπει να το σκεφτούμε αυτό ως την αρχική εξίσωση για την κίνηση μιας χορδής με x τη συντεταγμένη κατά μήκος της χορδής. Υποθέτουμε ότι η χορδή διατηρείται σταθερή στα δύο άκρα. Έχουμε θέσει τις συνοριακές συνθήκες, u(0, t) = u(1, t) = 0. (70) Αναζητούμε λύσεις αυτής της εξίσωσης με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών. Υποθέτουμε αρχικά ότι η λύση u(x, t) μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο δύο συναρτήσεων, μια συνάρτηση του x, και μια συνάρτηση t μόνο. Ειδικότερα, παίρνουμε:

51 [51] u(x, t) = A(t)Φ(x). (71) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (69) παίρνουμε A φ = Αφ. (72) Διαιρώντας με Αφ αυτή μπορεί να ξαναγραφεί ως Α = Φ Α Φ. (73) Το κλειδί στην μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών είναι ότι το αριστερό μέλος είναι συνάρτηση του t μόνο, ενώ το δεξιό μέλος είναι μια συνάρτηση του x μόνο. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο εάν και τα δύο μέλη είναι ίσα με μια σταθερά. Συμβολίζουμε αυτή την σταθερά ομοιότητας με λ 2 και γράφουμε: Α Α = Φ Φ = λ2. (74) Η δεύτερη από αυτές τις δύο εξισώσεις μπορεί να γραφεί ως: Φ + λ 2 Φ = 0, (75) και οι οριακές συνθήκες στο u(x, t) συνεπάγονται άμεσα τις συνθήκες: Φ(0) = Φ(1) = 0. (76) Οι εξισώσεις (75) και (76) αποτελούν ένα πρόβλημα ιδιοτιμών. Δηλαδή, αυτό το σύστημα έχει μη τετριμμένες λύσεις για ορισμένες χαρακτηριστικές τιμές του λ, που ονομάζονται ιδιοτιμές. Το βλέπουμε αυτό από την γενική λύση των εξισώσεων (75) και (76) ως: Φ(x) = c 0 sin(λx) + c 1 cos(λx). (77) Από τη συνοριακή συνθήκη στο x = 0 έχουμε c 1 = 0, ενώ η οριακή συνθήκη στο x = 1 δίνει ότι είτε c 0 = 0 ή sin(λ) = 0. (78)

52 [52] Αυτό συνεπάγεται ότι λ = nπ όπου n = 1, 2, 3,.... Οι τιμές των λ είναι οι ιδιοτιμές ή φυσικές συχνότητες του συστήματος και αποτελούν το ανάλογο της φυσικής συχνότητας που βρήκαμε στο σύστημα μάζαςελατηρίου. Η διαφορά είναι ότι η μονοδιάστατη μεμβράνη έχει ένα αριθμήσιμο πλήθος από φυσικές συχνότητες. Οι αντίστοιχες λύσεις για το πρόβλημα χωρικής ιδιοσυνάρτησης είναι: φ n (x) = c n sin (nπx). (79) Χρησιμοποιούμε την κανονικοποίηση cn = 1. Παρατηρούμε ότι οι κανονικές συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε τιμές n είναι συμμετρικές για x = 1/2, ενώ οι ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν σε περιττές τιμές του n είναι αντισυμμετρικές. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τις τιμές λn = nπ για να λύσουμε τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση (74). Έχουμε: A + n 2 π 2 A = 0. (80) Η εξίσωση αυτή έχει γενική λύση: A n (t) = a n cos(nπt) + b n sin(nπt). (81) Ως εκ τούτου, μπορούμε να κατασκευάσουμε λύσεις γινόμενα για την u(x, t): A n (t)φ(x) = (a n cos(nπt) + b n sin(nπt)) sin(nπt), (82) όπου έχουμε απορροφήσει τη σταθερά στη χωρική ιδιοσυνάρτηση στο α n και b n. Η γενική λύση για την εξίσωση (69) είναι ένα άθροισμα αυτών των λύσεων, δηλαδή: u(x, t) = n=1 (a n cos(nπt) + b n sin(nπt)) sin(nπχ). (83) Είναι επίσης χρήσιμο να έχουμε τις ιδιοσυχνότητες του συστήματος μας σε αδιάστατη μορφή, nπ. Το όρισμα των χρονικά μεταβαλλόμενων λύσεων είναι nπt, ως προς τον διαστατικό χρόνο t, συγκεκριμένα:

53 [53] nπt μ ρ 1 L. (84) Ως εκ τούτου, οι διαστάτικές φυσικές συχνότητες της παλλόμενης χορδής μας είναι: f n = nπ L μ ρ. (85) Τέλος χρησιμοποιούμε τη γενική λύση, της εξίσωσης (83), για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος αρχικών τιμών. Συνήθως, μπορούμε να θέσουμε συνθήκες για τη μετατόπιση και τη ταχύτητα του u(x, t) κατά το χρόνο t = 0. Για παράδειγμα: και u(x, 0) = g(x) (86) u t (x, 0) = h(x). (87) Τα a n και b n τότε καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Συγκεκριμένα: και g(x) = n=1 a n sin(nπχ) (88) h(x) = n=1 nπb n sin(nπχ). (89) Για να εξάγουμε τις μεμονωμένες τιμές του a n και b n, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της ορθογωνιότητας. Συγκεκριμένα: αν n m και 1 Φ n (x)φ m (x)dx = Φ n (x)φ n (x)dx = 1 0 2, (90). (91)

54 [54] Έτσι, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση (88) ή την εξίσωση (89) με τo sin(nπx), ολοκληρώνουμε από 0 έως 1 και λύνουμε για a n και b n ώστε να βρούμε: 1 a n = 2 g(x) sin(nπx)dx, 0 b n = 2 nπ 1 0 h(x) sin(nπx)dx (92). (93) Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις Συντονισμού Η τελική μας συζήτηση περί μεμβρανών, αφορά την εξαναγκασμένη ταλάντωση μιας μονοδιάστατης ελαστικής μεμβράνης. Ειδικότερα, θεωρούμε την εξίσωση: 2 u = 2 u δ(x x t 2 x 0)e iωt. (94) 2 Δηλαδή, εξετάζουμε την απόκριση της μεμβράνης με το χρόνο αναγκάζοντας αρμονικά τη συχνότητα ω να συγκεντρωθεί στο σημείο x 0. Όπως και με την σταθερή κατάσταση παραπάνω, αυτό στην πραγματικότητα είναι το πρόβλημα της συνάρτησης Green s για τη μεμβράνη. Θεωρούμε μία λύση σε μιγαδική και εκθετική μορφή. Η εκθετική μορφή επιλέγεται για λόγους ευκολίας. Μια πραγματική λύση μπορεί να ληφθεί με τη λήψη του πραγματικού μέρους του u(x, t) στο τέλος της ανάλυσης. Υποθέτουμε σταθερές συνοριακές συνθήκες: u(0, t) = u(1, t) = 0 (95) και επιδιώκουμε μια λύση της μορφής: u(x, t) = φ(x)e iωt. (96) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (94) και ολοκληρώνοντας εκθετικούς όρους έχουμε: τους

55 [55] d 2 Φ dx 2 + ω2 Φ = δ(x x 0 ). (97) Αυτό είναι παρόμοιο με το πρόβλημα της συνάρτησης του Green, που μελετήσαμε νωρίτερα. Εμείς μπορεί να κατασκευάσουμε μία λύση με τον ίδιο τρόπο. Δηλαδή, από τα αριστερά και δεξιά του x 0 λύνουμε την εξίσωση λαμβάνοντας την δεξιά πλευρά να είναι μηδέν. Αυτή δίνει: Φ(x) = { a sin(ωx) + b cos(ωx), 0 x < x 0 c sin(ωx) + d cos(ωx), x 0 x 1. (98) Οι συνοριακές συνθήκες στο u δίνουν: Φ(0) = Φ(1) = 0. (99) Εφαρμόζοντας τους για την λύση φ παίρνουμε: Φ(x) = { a sin(ωx), 0 x < x 0 c (sin(ωx) tan(ω) cos(ωx)), x 0 x 1.(100) Έχουμε μείνει με δύο αγνώστους και πρέπει να επιβάλλουμε δύο επιπλέον προϋποθέσεις. Η πρώτη από αυτές είναι η συνέχεια του φ στο σημείο x 0, δηλαδή: Φ(x 0 ) = Φ(x 0 +), (101) και η δεύτερη επιτυγχάνεται με την ολοκλήρωση της εξίσωσης (97) στο σημείο x 0 ώστε να έχουμε: dφ (x dx 0 +) dφ (x dx 0 ) = 1. (102) Η εφαρμογή αυτών των δύο προϋποθέσεων οδηγεί στη σχέση: sin(ωχ) sin(ω(1 x 0)), 0 x < x ω sin(ω) 0 Φ(x) = {, x 0 x 1 sin(ωx 0) sin(ω(1 x)) ω sin(ω). (103) Παρατηρούμε ότι το πλάτος του φ(x) γίνεται άπειρο, όταν η συχνότητα ω ισούται με nπ. Αυτές οι τιμές του ω αντιστοιχούν

56 [56] ακριβώς στις φυσικές συχνότητες του συστήματος που βρήκαμε στη μελέτη μας για ελεύθερες δονήσεις της χορδής. Πάλι έχουμε το φαινόμενο του συντονισμού που συμβαίνει στο σύστημά μας. Το πλάτος της απόκρισης είναι μεγαλύτερο από ότι σε οποιαδήποτε άλλη εξαναγκάζουσα συχνότητα. Σε αντίθεση με το σύστημα μάζαςελατηρίου, εδώ το πλάτος γίνεται άπειρο στις συχνότητες συντονισμού. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι δεν έχουμε απόσβεσεις στο σύστημά μας. Αν ένας όρος απόσβεσης συμπεριληφθεί, θα δούμε ότι το πλάτος του φ(x) έγινε μεγάλο αλλά παρέμεινε φραγμένο για τις φυσικές συχνότητες. Δοκοί Η ελαστική δοκός είναι μια κατασκευή μηχανικής MEMS και NEMS. Ηχηροί αισθητήρες, ηλεκτροστατικές μονάδες, θερμικοί ενεργοποιητές, και άλλες συσκευές κάνουν χρήση του μηχανισμού μιας δοκού. Βασική Εξίσωση Αξίζει να τονίσουμε ότι μια ελαστική δοκός είναι ένα εξιδανικευμένο σώμα που παρουσιάζει αντοχή στο λύγισμα και στο τέντωμα. Γράφουμε την εξίσωση ως εξής: ρa 2 u μ 2 u 2 + (EI 2 u t 2 x 2 x 2 x 2) = f(x, t ). (104) Εισάγουμε τα εξής: x = x L, u u =, B t t = EI, (105) L 2 Aρ στην εξίσωση (104), το οποίο δίνει:

57 [57] 2 u a 2 u t u x 2 x Η παράμετρος α δίνεται από τη σχέση: 4 = F(x, t). (106) a = μa L 4 EI (107) και είναι ένα αδιάστατο μέτρο των σχετικού λόγου της αντοχής, της δύναμης και κάμψης στο πρόβλημα. Η συνάρτηση F είναι μια αδιάστατη μορφή της συνάρτησης f. Δοκός με ομοιόμορφο φορτίο Ως πρώτο παράδειγμα της μηχανικής δέσμης της δοκού, θα εξετάσουμε,σε σταθερή κατάσταση, τη μετατόπιση της ελαστικής δοκού με σταθερό φορτίο. Υποθέτουμε ότι α = 0, δηλαδή, αμελούμε τις επιπτώσεις της τάσης στην ράβδο, και μελετούμε την εξίσωση: d 4 u dx 4 = p, (108) όπου το p είναι μια σταθερά. Θεωρούμε την περίπτωση μιας δοκού, όπου το άκρο στο x = 0 είναι σταθερό και στο x = 1 είναι ελεύθερο. Επιλέγουμε κατάλληλες συνοριακές συνθήκες και έχουμε: u(0) = du (0) = d2 u (1) = d3 u (1) dx dx 2 dx3 = 0. (109) Η εξίσωση (108) είναι εύκολο να ολοκληρωθεί. Βρίσκουμε: u(x) = px c 0x c 1x c 2x + c 3, (110) και εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε: u(x) = px2 2 (x2 x + 1 ). (111) Ή, συναρτήσει διαστατικών μεταβλητών έχουμε:

58 [58] u (x ) = PL4 2EI (x L ) 2 [ 1 12 (x L ) 2 x 3L ],(112) όπου P είναι το διαστατικό φορτίο στη δοκό. Δοκός με συγκεντρωμένο φορτίο Στη συνέχεια, θεωρούμε την συμπεριφορά της δοκού όταν έχουμε ένα σημειακό φορτίο στο σημείο x 0. Όπως και με την μεμβράνη, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση δέλτα του Dirac για να μοντελοποιηθεί η σημειακή πηγή. Παίρνουμε α = 0 και εξετάζουμε την εξίσωση: d 4 u dx 4 = δ(x x 0). (113) Θεωρούμε πάλι την περίπτωση μιας προεξέχουσας δοκού όπου το άκρο στο x = 0 είναι σταθερό και το άκρο στο x = 1 είναι ελεύθερο. Έχουμε θέσει τις συνοριακές συνθήκες: u(0) = du (0) = d2 u (1) = d3 u (1) dx dx 2 dx3 = 0. (114) Τώρα, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η συνάρτηση του δέλτα Dirac εξαφανίζεται μακριά από το x 0, λύνουμε για x μικρότερο και μεγαλύτερο από το x 0, και έχουμε: u(x) = { a 0x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3, 0 x < x 0, b 0 x 3 + b 1 x 2 + b 2 x + b 3, x 0 x 1. (115) Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες στο x = 0 και x = 1 έχουμε: u(x) = { a 0x 3 + a 1 x 2, 0 x < x 0, b 2 x + b 3, x 0 x 1. (116) Παρατηρούμε ότι έχουμε ακόμη τέσσερις άγνωστες σταθερές για τον προσδιορισμό. Η πρώτη παράγωγος της, και η δεύτερη παράγωγος της, είναι συνεχείς στο x 0. Δηλαδή, θέτουμε:

59 [59] u(x 0 ) = u(x 0 +), (117) du (x dx 0 ) = du (x dx 0+), (118) d 2 u (x dx 0 ) = d2 u (x 2 dx 0+). (119) 2 Η τελική συνθήκη προέρχεται από την ολοκλήρωση της εξίσωσης (113) στο x 0 για να πάρουμε: d 3 u (x dx 3 0 +) d3 u (x dx 3 0 ) = 1. (120) Εφαρμόζοντας αυτές τις τέσσερις συνθήκες (117),(118),(119),(120) βρίσκουμε: u(x) = { x2 (x 2 0 x ), 0 x < x 3 0, (121) x 0 2 (x x 0 ), x x 3 0 x 1. Ελεύθερη ταλάντωση μιας δοκού Στη συνέχεια, θα διερευνήσουμε τις ελεύθερες δονήσεις μιας ελαστικής δοκού. Εργαζόμαστε στην εξίσωση μας σε αδιάστατη μορφή και λαμβάνουμε α = 0. Δηλαδή, θεωρούμε την εξίσωση: 2 u + 4 u t 2 x 4 = 0. (122) Αυτή τη φορά θεωρούμε την περίπτωση όπου τα δύο άκρα της δοκού είναι καρφωμένα. Έτσι, θέτουμε τις συνοριακές συνθήκες: u(0, t) = 2 u (0, x2 t) = 0,(123) u(1, t) = 2 u (1, x2 t) = 0.(124) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών, αναζητούμε λύσεις της μορφής u(x, t) = Α (t)φ(x) και παίρνουμε:

60 [60] d 4 Φ dx 4 λ2 Φ = 0, (125) όπου λ 2 είναι η σταθερά διαχωρισμού. Οι συνοριακές συνθήκες στο u συνεπάγονται: Η εξίσωση (125) έχει γενική λύση: Φ(0) = d2 Φ (0) dx2 = 0, (126) Φ(1) = d2 Φ (1) dx2 = 0.(127) Φ(x) = a 0 sin(λx) + a 1 cos(λx) + a 2 sinh(λx) + a 3 cosh(λx). (128) Εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες θεωρούμε ότι α 1 = α 2 = α 3 = 0, α 0 είναι αυθαίρετη και το λ ικανοποιεί: sin(λ) = 0. (129) Ως εκ τούτου, λ = nπ, όπου n = 1, 2, 3,... Επιλύοντας το πρόβλημα για το Α(t) έχουμε: Α n (t) = a n cos(nπt) + b n sin(nπt), (130) έτσι ώστε να έχουμε λύσεις: Φ(x)A n (t) = (a n cos(nπt) + b n sin(nπt)) sin(nπx) (131) και γενική λύση: u(x, t) = n=1 (a n cos(nπt) + b n sin(nπt)) sin(nπx). (132) Οι φυσικές συχνότητες της δοκού είναι: f n = nπ L 2 EI ρα. (133)

61 [61] Επιφάνεια Η ελαστική επιφάνεια είναι ένα δισδιάστατο ανάλογο της μονοδιάστατης ελαστικής δοκού. Η επιφάνεια είναι μια εξιδανικευμένη ελαστική κατασκευή που αντιστέκεται τόσο στην κάμψη όσο και στο τέντωμα, αλλά καταλαμβάνει μια δισδιάστατη αντί μονοδιάστατη περιοχή. Κατά συνέπεια, η ελαστική επιφάνεια εμφανίζεται σε MEMS και NEMS κατασκευές όπως μικροαντλίες και μικροβαλβίδες όπου η επίπεδη κατασκευή είναι απαραίτητη. Εδώ μελετάμε την ελεύθερη ταλάντωση και παραμόρφωση των ελαστικών επιφανειών. Βασική Εξίσωση Η εξίσωση επιφάνειας μπορεί να παραχθεί χρησιμοποιώντας την αρχή του Hamilton και τον λογισμό των μεταβολών. Θεωρούμε την εξίσωση: ρh 2 ω t 2 T 2 ω + D 4 ω = f(x, y, t ). (134) Είναι βολικό να ξαναγράψουμε την εξίσωση σε αδιάστατη μορφή. Εισαγάγουμε: x = x L, y y =, L ω ω =, Α t t = D, (135) L 2 ρh στην εξίσωση (134) και έχουμε: 2 ω t 2 α 2 ω + 4 ω = F(x, y, t). (136)

62 [62] Όπου: α = TL2 D. (137) Κυκλική πλάκα με ομοιόμορφο φορτίο Ως πρώτο παράδειγμα της μηχανικής πλάκας, θεωρούμε στάσιμη κατάσταση μετατόπισης κυκλικής ελαστικής πλάκας που υπόκειται σε ένα ομοιόμορφο φορτίο. Υποθέτουμε α = 0, δηλαδή, αγνοούμε την τάση στην πλάκα, και έχουμε: 4 ω = p. (138) Επιπλέον, υποθέτουμε ότι οι λύσεις είναι ακτινικά συμμετρικές. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει μεταβολή στην κατεύθυνση θ. Ως εκ τούτου, έχουμε την δυαρμονική εξίσωση (138), κρατώντας μόνο όρους, ως προς την ακτινική συντεταγμένη r παίρνουμε: ( d2 + 1 d ) ω dr 2 r dr (d2 + 1 dr 2 r dω dr ) = p. (139) Υποθέτουμε ότι η ακμή της πλάκας συσφίγγεται ή είναι σταθερή. Αυτό συνεπάγεται τις συνοριακές συνθήκες: ω(1) = dω dr (1) = 0. (140) Η εξίσωση (139) ολοκληρώνεται εύκολα. Βρίσκουμε: ω(r) = pr c 1 + c 2 r 2 + c 3 log(r) + c 4 r 2 log(r).(141) Παρατηρούμε ότι έχουμε τέσσερις άγνωστες σταθερές και μέχρι στιγμής έχουν τεθεί μόνο δυο οριακές συνθήκες. Εντούτοις, όπως με την κυκλική μεμβράνη, απαιτείται η λύση να οριοθετείτε στο r = 0. Αυτό σημαίνει αμέσως c 3 = c 4 = 0. Με επιβολή των υπόλοιπων δύο συνοριακών συνθηκών, βρίσκουμε: ω(r) = p 64 (r2 1) 2, (142)

63 [63] όπως η εκτροπή της κυκλική ελαστικής πλάκας που υποβάλλει ένα ομοιόμορφο φορτίο. Ή, σε όρους διαστατικών μεταβλητών, 2 ω (r ) = PL4 64D [(r L )2 1], (143) όπου Ρ είναι η πίεση επί της πλάκας. Ελεύθερη ταλάντωση μιας κυκλικής πλάκας Στη συνέχεια διερευνούμε τις ελεύθερες δονήσεις μιας κυκλικής ελαστικής πλάκας. Συνεπώς, μελετάμε την εξίσωση: Θέτουμε τις συνοριακές συνθήκες: 2 ω t ω = 0. (144) ω(1, θ, t) = 0, (145) ω r (1, θ, t) = 0. (146) Καθ όλη αυτή την ενότητα θα χρησιμοποιήσουμε κυκλικές πολικές συντεταγμένες. Δηλαδή, r θα είναι μια ακτινική συντεταγμένη και θ μια γωνιακή συντεταγμένη. Σημειώνουμε ότι σε αντίθεση με τις συναρτήσεις των δοκών και μεμβρανών, η λύση εδώ είναι μια συνάρτηση τριών μεταβλητών. Έτσι, ενώ χρησιμοποιούμε τον διαχωρισμό των μεταβλητών, θα πρέπει να προχωρήσουμε με προσοχή. Κατ αρχάς, θα αναζητήσουμε μια λύση της μορφής: Αυτή δίνει: ω(r, θ, t) = ψ(r, θ, )e iωt. (147) 4 ψ ω 2 ψ = 0. (148) Στη συνέχεια, σημειώνουμε ότι αυτή η εξίσωση έχει την λύση ψ(r, θ) = Μ (r, θ) + Ν (r, θ) όπου Μ και Ν ικανοποιούν τις σχέσεις:

64 [64] 2 M ωm = 0 (149) και 2 N + ωn = 0. (150) Τώρα, έχουμε διαχωρίσει τις μεταβλητές σε κάθε μία από αυτές τις εξισώσεις. Κατ αρχάς, θα αναζητήσουμε λύσεις στην εξίσωση για τη μεταβλητή N της μορφής: N(r, θ) = Α(θ)Φ(r). (151) Και οδηγούμαστε σε δύο εξισώσεις: Και d 2 Φ d 2 A dθ 2 + λ2 A = 0 (152) dφ + 1 dr 2 r dr λ2 + (ω r2) Φ = 0. (153) Η εξίσωση (152) λύνεται εύκολα. Βρίσκουμε: Επίσης: Α(θ) = a 0 sin(λθ) + b 0 cos(λθ). (154) Α(θ) = Α(θ + 2π), η οποία αμέσως συνεπάγεται ότι λ = n = 1, 2, 3,... Ως εκ τούτου, οι λύσεις μας στην κατεύθυνση θ είναι: Α n (θ) = a n sin(nθ) + b n cos(nθ). (155) Η εξίσωση μας για Φ(r) γίνεται: d 2 Φ dφ + 1 dr 2 r dr n2 + (ω r2) Φ = 0, (156) η οποία είναι η εξίσωση Bessel και έχει τη λύση: Φ n (r) = c n J n ( ωr) + d n Y n ( ωr). (157)

65 [65] Οι συναρτήσεις Jn και Yn είναι γνωστές ως συναρτήσεις Bessel. Η συνάρτηση Yn είναι μη φραγμένη για r = 0 και ως εκ τούτου, χρειαζόμαστε d n = 0. Έτσι, οι λύσεις μας για Ν (r, θ) θα έχουν τη μορφή: N n (r, θ) = J n ( ωr)(a n sin(nθ) + b n cos(nθ)), (158) όπου η c n έχει απορροφηθεί από a n και b n. Κατά τον ίδιο τρόπο, θα κατασκευάσουμε λύσεις για το Μ και βρίσκουμε: M n (r, θ) = I n ( ωr)(c n sin(nθ) + d n cos(nθ)). (159) Οι λύσεις μας για ψ έχουν τη μορφή: ψ n (r, θ) = (a n J n ( ωr) + c n I n ( ωr)) sin(nθ) + (b n J n ( ωr) + d n I n ( ωr)) cos(nθ). (160) Τέλος, εφαρμόζουμε τις συνοριακές συνθήκες και έχουμε ότι: J n ( ω)i n ( ω) J n ( ω)i n ( ω) = 0. (161) Για κάθε τιμή του n η εξίσωση αυτή έχει αριθμήσιμο άπειρο πλήθος λύσεων. Εμείς συμβολίζουμε τις λύσεις με ω nm. Επιστρέφοντας στις διαστατικές μεταβλητές οι φυσικές συχνότητες της κυκλικής ελαστικής πλάκας μας είναι: f n = ω nm L 2 D ρh, (162) όπου οι ρίζες της εξίσωσης (161), δηλαδή, το ω nm, πρέπει να προσδιορίζονται αριθμητικά.

66 [66] Ο αισθητήρας χωρητικής πίεσης Σε αυτό το σύστημα είναι σημαντικό να κατανοήσουμε τη σχέση μεταξύ της χωρητικότητας της συσκευής, της μετατόπισης του ελαστικού συστατικού, και την πίεση που ασκείται από το περιβάλλον. Συγκεκριμένα, μια σχέση μεταξύ της πίεσης και της χωρητικότητας είναι επιθυμητή. Η χωρητικότητα του συστήματος αποτελείται από το ελαστικό διάφραγμα και το κάτω μέρος της σφραγισμένης κοιλότητας και δίνεται από C = ε Ω dx dy h+ω (x,y ). (163) Εδώ, μας απασχολεί το πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι γνώσεις μας σχετικά με ελαστικές παραμορφώσεις και να υπολογίσoυμε μια σχέση χωρητικότητας-πίεσης. Χρησιμοποιούμε αδιάστατες μεταβλητές. Ειδικότερα, θέτουμε: x = x L, y y =, L ω ω =. (164) h Αυτό αποδίδει την αδιάστατη έκδοχη της χωρητικότητας: c = C = εh Ω dxdy 1+ω(x,y). (165) Τώρα, εάν ο αισθητήρας πίεσης μας είναι κυκλικός, δηλαδή, εάν ο τομέας Ω είναι ένας δίσκος, και εάν το ελαστικό διάφραγμα συμπεριφέρεται σαν μια ελαστική μεμβράνη βρίσκουμε: c = 2π 0 1 rdrdθ 0 1 p 4 (r2 1), (166) ή c = 4π p log ( 4 4+p ). (167) Σημειώνουμε ότι εδώ υποθέτουμε ότι η εκτροπή της μεμβράνης είναι λόγω της πίεσης. Στην πραγματικότητα, η μεμβράνη θα

67 [67] αισθανθεί μια δύναμη λόγω της διαφοράς τάσης μεταξύ της μεμβράνης και της επάνω πλάκας. Εάν η ένταση στη μεμβράνη είναι υψηλή, και η διαφορά τάσης χαμηλή, η ηλεκτροστατική δύναμη μπορεί να παραμεληθεί προς όφελος της δύναμης πίεσης. Αρνητική p αντιστοιχεί σε ένα κενό στην κοιλότητα και πίεση στο εξωτερικό περιβάλλον. Επίσης, όταν p = -4 η μεμβράνη αγγίζει την πλάκα γείωσης, αυτό είναι το όριο της περιοχής του αισθητήρα. Ένα τροποποιημένο σχέδιο, όπου η κάτω πλάκα καλύπτεται με ένα μονωτικό στρώμα θα επιτρέψει αυτή η περιοχή να επεκταθεί. Ωστόσο, πληροφοριακά η καμπύλη χωρητικότητας πίεσης θα απαιτούσε την επίλυση ενός προβλήματος σε επαφή με την ελαστικότητα. Ενώ αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί θεωρείται πιο περίπλοκο από τους προηγούμενους υπολογισμούς. Τέλος, ας σημειώσουμε την μη γραμμικότητα της εξίσωσης (167). Η Μαθηματική μοντελοποίηση είναι απαραίτητη προκειμένου να καθοριστεί η μορφή της μη γραμμικότητας και είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την διερεύνηση εναλλακτικών σχεδίων που επιχειρούν να προσαρμόσουν τη χωρητικότητα καμπύλης πίεσης. Η Κ Υ Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ξ Ι Σ Ω Σ Η Θα ασχοληθούμε με το αντίστοιχο πρόβλημα με την κυματική εξίσωση. Θεωρούμε, λοιπόν, το πρόβλημα αρχικών και συνοριακών συνθηκών για την κυματική εξίσωση με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet σε ένα φραγμένο διάστημα:

68 [68] u tt = c 2 u xx, 0 < x < l, t 0, u(0, t) = u(l, t) = 0, t 0, u(x, 0) = φ(x), 0 x l, { u t (x, 0) = ψ(x), 0 x l, (1) όπου φ δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση, και ψ μία φορά συνεχώς παραγωγίσιμη. Πάλι θα προσπαθήσουμε πρώτα να προσδιορίσουμε λύσεις του προβλήματος { v tt = c 2 v xx, 0 < x < l, t > 0, v(0, t) = v(l, t) = 0, t 0, (2) της μορφής v(x, t) = X(x)T(t). (3) Για μια v της παραπάνω μορφής (3), η διαφορική εξίσωση στο (2) γράφεται ως εξής: X(x)T (t) = c 2 X (x)t(t), οπότε διαιρώντας δια c 2 XT έχουμε T (t) c 2 T(t) = X (x) = λ = σταθερά, X(x) συνεπώς για την T οδηγούμαστε στη διαφορική εξίσωση T (t) = λc 2 T(t), t 0, (4) για δε τη X, αν λάβουμε υπ όψιν μας και τις συνοριακές συνθήκες, X(0) = X(l) = 0. Για λ = λ n = ( nπ l )2, οι λύσεις της (4) είναι της μορφής T n (t) = A n cos nπct l + B n sin nπct l, n = φυσικός (5) με A n και B n οι σταθερές. Στην συνέχεια, λαμβάνουμε ένα άπειρο πλήθος λύσεων u n,

69 [69] v n (x, t) = [A n cos nπct l + B n sin nπct nπx ] sin, n = φυσικός (6) l του προβλήματος (2), με A n και B n σταθερές. Επιστρέφουμε τώρα στο πρόβλημα (1). Για λόγους συμβατότητας των δεδομένων, υποθέτουμε l φ(0)=φ(l)=ψ(0)=ψ(l)=φ'(0)=φ''(l)=0. Όπως και για την εξίσωση της θερμότητας, ας δούμε και εδώ κατ αρχάς σε ποιες περιπτώσεις μπορούμε ενδεχομένως, να πάρουμε τη λύση του προβλήματος (1) ως πεπερασμένο άθροισμα συναρτήσεων της μορφής (6). Προφανώς, για οποιεσδήποτε σταθερές α n και b n, η u, N u(x, t) = [a n cos nπct l + b n sin nπct nπx ] sin l l, n=1 (7) ικανοποιεί τόσο τη διαφορική εξίσωση όσο και τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος (1). Απομένει, συνεπώς, να δούμε κατά πόσον και σε ποιες περιπτώσεις μια συνάρτηση u της μορφής (7) ικανοποιεί και τις αρχικές συνθήκες. Κατ αρχάς έχουμε Επίσης οπότε u t (x, t) = u(x, 0) = N nπc n=1 l u t (x, 0) = c N n=1 (8) [a n sin nπx ]. l [ a n sin nπct l N nπ n=1 l + b n cos nπct nπx ] sin b n sin nπx l. (9) l Βάσει των (8) και (9) οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι η λύση του προβλήματος (1) είναι της μορφής (7), αν και μόνο αν οι αρχικές τιμές φ και ψ είναι περιττά τριγωνομετρικά πολυώνυμα με περίοδο l,

70 [70] 2l. Σε αυτήν την περίπτωση θεωρούμε ότι οι φ και ψ ορίζονται, ως τριγωνομετρικά πολυώνυμα σε όλο το. Μάλιστα, σε αυτήν την περίπτωση τα α n είναι, προφανώς οι συντελεστές Fourier της φ. Όσον αφορά τα b n, παρατηρούμε ότι η σχέση N ψ(χ) = c nπ l n=1 b n sin nπx l, (βλ. την (9)), δίνει x ψ(χ)ds = C 0 N c nπ l n=1 b n cos nπx l, δηλαδή τα - b n, n = 1,., N είναι οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης Ψ, x ψ(χ) = ψ(s)ds, 0 διαιρεμένοι δια c. Συνηθίζεται να γράφουμε την (7) στη μορφή u(x, t) = N [a n cos nπct 1 b c n sin nπct nπx n=1 ] sin (7 ) l l ώστε τα α n και b n να είναι τώρα οι συντελεστές Fourier των συναρτήσεων φ και ψ αντίστοιχα. Στη γενική περίπτωση, επεκτείνουμε τις φ και ψ κατά περιττό τρόπο στο διάστημα ( l, 0) και στη συνέχεια σε όλη την πραγματική ευθεία περιοδικά με περίοδο 2 l. Συμβολίζουμε φ π και ψ π τις συναρτήσεις που λαμβάνουμε κατ αυτόν τον τρόπο. Επί πλέον οι φ π και ψ π είναι περιττές συναρτήσεις. Ορίζουμε τώρα τη συνάρτηση x ψ π (x) ψ π (s)ds, x. 0 Πολύ εύκολα διαπιστώνουμε ότι η ψ π είναι άρτια συνάρτηση. Επί πλέον, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι l,

71 [71] a+2l ψ π (s)ds = a l ψ π (s)ds = 0, l Διαπιστώνουμε αμέσως ότι η ψ π είναι περιοδική με περίοδο 2 l. Θεωρούμε τώρα τις σειρές Fourier των συναρτήσεων φ π και ψ π, οι οποίες είναι, βεβαίως, σειρές ημιτόνων και συνημίτονων, αντίστοιχα. Oι σειρές αυτές συγκλίνουν ομοιόμορφα. Έχουμε: φ π (x) = a n sin nπx n=1, (10) ψ π (x) = b 0 + b 2 n cos nπx n=1, (11) l l όπου α n και b n οι συντελεστές Fourier των φ π και ψ π, αντίστοιχα. Η σειρά Fourier της ψ π συγκλίνει ομοιόμορφα προς την ψ π και δίνεται ως ψ π (x) = n=1 b n nπ l sin nπx l, (10 ) και ισχυριζόμαστε ότι, υπό κατάλληλες συνθήκες ομαλότητας των δεδομένων, η λύση του προβλήματος (1) δίνεται ως u(x, t) = (a n cos nπct 1 b c n sin nπct nπx n=1 ) sin, (12) l l όπου α n και b n οι συντελεστές Fourier των συναρτήσεων φ π και ψ π,αντίστοιχα. Για τη συνάρτηση u που δίνεται από την (12) έχουμε: Προφανώς u(0, t) = u(l, t) = 0, t 0. Επί πλέον, σύμφωνα με την (10), l u(x, 0) = a n sin nπx l n=1 = φ(x), 0 x l. Τώρα παραγωγίζοντας τη σειρά στην (12) ως προς t και λαμβάνοντας υπ όψιν την ομαλότητα των φ π και ψ π, βλέπουμε εύκολα ότι η νέα σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα, άρα η u είναι παραγωγίσιμη ως προς t και ισχύει

72 [72] u t (x, t) = n=1 ( nπc l Οπότε σύμφωνα με την (10 ), a n sin nπct l nπ l b n cos nπct l ) sin nπx l, u t (x, 0) = nπ l b n sin nπx l n=1 = ψ(x), 0 x l. Όσον αφορά τώρα τη διαφορική εξίσωση, ας υποθέσουμε προς το παρόν ότι οι δεύτερες παράγωγοι της u που δίνεται από την (12) λαμβάνονται παραγωγίζοντας τη σειρά όρο προς όρο. Τότε, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι u n που δίνονται στην (5) ικανοποιούν την κυματική εξίσωση, διαπιστώνουμε ότι και η u ικανοποιεί την κυματική εξίσωση. Αν οι φ και Ψ είναι συνεχείς και κατά τμήματα συνεχώς παραγωγίσιμες, τότε διαπιστώνουμε ότι οι δεύτερες παράγωγοι λαμβάνονται πράγματι με παραγώγιση της σειράς όρο προς όρο. Ηλεκτροστατική Μοντελοποίηση Ελαστικά συστήματα Other springs, more surprises. Edward Abbey Εισαγωγή Έχουν περάσει δέκα χρόνια από την διακοσιοστή επέτειο του νόμου του Coulomb. Ωστόσο, καθημερινά μικρο- και νανοηλεκτρομηχανικά συστήματα χρησιμοποιούν την δύναμη Coulomb για να αρπάξουν, να αντλήσουν, να λυγίσουν, να

73 [73] περιστραφούν, ακόμη και για να ολισθήσουν. Η θεωρία για τα ηλεκτροστατικά συστήματα που είναι εν κινήσει, ξεκίνησε με τον περίφημο αντίστροφο τετραγωνικό νόμο του Coulomb και είναι απαραίτητη για τη συνεχή ανάπτυξη των MEMS και NEMS. Αυτή είναι και το αντικείμενο της συγκεκριμένης ενότητας. Πειραματικές εργασίες πάνω στην συγκεκριμένη ενότητα χρονολογούνται από το 1967 και το έργο του Nathanson, όπου ο Nathanson και οι συνεργάτες του περιγράφουν την κατασκευή και τη μοντελοποίηση μιας ηχηρής πύλης τρανζίστορ μεγέθους ενός χιλιοστού. Αυτή η πρώιμη συσκευή MEMS χρησιμοποιεί τόσο ηλεκτρικά όσο και μηχανικά εξαρτήματα στο υπόστρωμα με αποτέλεσμα τη βελτίωση της αποτελεσματικότητας, μικρότερο κόστος και μειωμένο μέγεθος συστήματος. Ο Nathanson και οι συνεργάτες του, εισήγαγαν ένα απλό μοντέλο μάζας-ελατηρίου ηλεκτροστατικής ενεργοποίησης. Σε μια παράλληλη ενδιαφέρουσα εξέλιξη, ο παραγωγικός Βρετανός επιστήμονας, G.I. Taylor, διερευνά την ηλεκτροστατική ενεργοποίηση περίπου την ίδια στιγμή με τον Nathanson. Ενώ ο Taylor ασχολείται με την ηλεκτροστατική εκτροπή των ταινιών σαπουνιού και όχι με την ανάπτυξη των συσκευών MEMS, το έργο του γέννησε ένα μικρό κομμάτι της βιβλιογραφίας και για τα δύο MEMS και NEMS. Σε αυτή την ενότητα θα ερευνήσουμε το έργο του Nathanson και του Taylor, καθώς χτίζουμε μια θεωρία των ηλεκτροστατικών συστημάτων που είναι εν κινήσει. Ξεκινάμε με μια επισκόπηση των οκτώ ηλεκτροστατικών συσκευών MEMS και NEMS που ενεργοποιούνται εν κινήσει. Ένα εντυπωσιακό γεγονός σχετικά με αυτές τις οκτώ συσκευές είναι ότι όλα περιορίζονται από μια αστάθεια. Αυτή η αστάθεια, ονομάζεται "pull-in" αστάθεια από τον Nathanson, και γίνεται όταν η τάση που εφαρμόζεται στο σύστημα υπερβεί μια βασική τιμή. Πέρα από αυτή την βασική τιμή δεν υπάρχει πλέον μια σταθερή κατάσταση διαμόρφωσης μέρους της συσκευής, στην οποία τα μηχανικά μέλη να παραμένουν ξεχωριστά. Τα ξεχωριστά στοιχεία της συσκευής έχουν "pull-in" ή έχουν καταρρεύσει πάνω σε ένα άλλο. Στην συνέχεια μελετάμε το μοντέλο μάζας-ελατηρίου ηλεκτροστατικής ενεργοποίησης. Το μοντέλο αυτό εισήχθη στην βιβλιογραφία από τους Nathanson,

74 [74] Newell, Wickstrom, και Davis το 1967.Στην μελέτη της ηχηρής πύλης του τρανζίστορ, ο Nathanson εισήγαγε και ανέλυσε το μοντέλο μάζας-ελατηρίου ως ένας τρόπος για να αποκτήσουν εικόνα για τη λειτουργία της συσκευής. Η έξυπνη αφαίρεση του συστήματος μάζας-ελατηρίου από τον σχεδιασμό της συσκευής δοκός- πλάκα αφαιρεί την επιπλοκή της γεωμετρίας από την ανάλυση και εστιάζει στην ισορροπία των ηλεκτροστατικών και μηχανικών δυνάμεων. Αυτό επέτρεψε στον Nathanson και τους συνεργάτες του να προβλέψουν και να προσφέρουν μια πρώτη εξήγηση της pull-in αστάθειας τάσης. Από το αρχικό άρθρο του Nathanson το μοντέλο μάζας-ελατηρίου έχει εμφανιστεί στην βιβλιογραφία για τα μικροσυτήματα πολλές φορές. Ο Shi et. al. χρησιμοποιεί ένα μοντέλο μάζας-ελατηρίου ενός ηλεκτροστατικά ενεργοποιειμένου μικροσυστήματος για να μοντελοποιήσει την συμπεριφορά ενός microtweezer. Άλλοι συγγραφείς έχουν χρησιμοποιήσει μοντέλα μάζας-ελατηρίου για να κατανοήσουν τα φαινόμενα υστέρησης των MEMS,τη δυναμική των συσκευών, τον σχεδιασμό των δεικτών και την συμπεριφορά των ηλεκτροστατικών ενεργοποιητών. Ακόμα άλλοι έχουν ενσωματώσει το βασικό μοντέλο μάζας-ελατηρίου σε πιο πολύπλοκα συστήματα σε μια προσπάθεια να κατανοήσουν προτεινόμενα σχέδια για τον έλεγχο της pull-in αστάθειας. Καθώς αναπτύσσονται νέες συσκευές, περιμένει κανείς το μοντέλο μάζας-ελατηρίου να μετατραπεί σε ένα χρήσιμο πρώτο μοντέλο πολλών μικροσυστημάτων. Τέλος, υπολογίζουμε την τάση pull-in και την απόσταση pull-in που προβλέπεται από το μοντέλο μάζας-ελατηρίου.

75 [75] Συσκευές που χρησιμοποιούν ηλεκτροστατική ενεργοποίηση Σε αυτό το τμήμα θα ρίξουμε μια σύντομη ματιά σε οκτώ συσκευές που χρησιμοποιούν ηλεκτροστατικές δυνάμεις για τη λειτουργία τους. Οι επιλογές μας είναι αντιπροσωπευτικές της ποικιλίας των τρόπων και της ποικιλίας των συστημάτων στα οποία χρησιμοποιούνται ηλεκτροστατικές δυνάμεις. Σχάρες Light Valve Ένα από τα πιο διάσημα ηλεκτροελαστικά συστήματα είναι οι σχάρες light valve ή GLV που εφευρέθηκαν από ερευνητές στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ. Ένα εμπορικό σύστημα απεικόνισης βασισμένο στις σχάρες light valve αναπτύχθηκε στο Silicon Light Machines of Sunnyvale της Καλιφόρνιας. Το σύστημα αποτελείται από μία συστοιχία εικονοστοιχείων. Κάθε εικονοστοιχείο είναι ένα MEMS με βάση ένα ηλεκτροστατικά ελεγχόμενο φράγμα περίθλασης. Κάθε φράγμα περίθλασης αποτελείται από μια σειρά από λεπτές ελαστικές ταινίες που συγκρατείται υπό κάποια τάση. Η δεδομένη ταινία εκτρέπεται από την εφαρμογή μεταξύ της ταινίας και ενός ηλεκτροδίου γείωσης. Όταν δεν υπάρχουν ταινίες να εκτρέπονται, το εικονοστοιχείο παρουσιάζει μια σταθερή σαν καθρέφτης επιφάνεια. Όταν άλλες ταινίες εκτρέπονται, το εικονοστοιχείο γίνεται ένα φράγμα περίθλασης. Θα κάνουμε πολλές και σημαντικές παρατηρήσεις σχετικά με τις GLV. Πρώτον, η χρήση της εφαρμοσμένης διαφοράς δυναμικού παρέχει μία κινητήρια δύναμη, είναι βασική σε ηλεκτροστατικά MEMS και NEMS. Στη συνέχεια, το σχέδιο περιορίζεται από την pullin αστάθεια. Ο βαθμός στον οποίο οι ταινίες μπορούν να εκτραπούν και ως εκ τούτου οι ιδιότητες του φράγματος περίθλασης

76 [76] ελέγχονται άμεσα από την pull-in ισχύ. Δεν είναι σκόπιμο να επιτραπεί στις ταινίες να έρθουν σε επαφή με το ηλεκτρόδιο εδάφους. Το φαινόμενο της stiction μπορεί να αποτρέψει μια επιστροφή στην αρχική διαμόρφωση ακόμη και όταν οι εφαρμοζόμενες τάσεις αφαιρούνται. Τέλος, οι GLV είναι ένα παράδειγμα συσκευών που αποτελούνται από ελαστικές μεμβρανες που συγκρατούνται υπό τάση. Micromirrors Η συστροφή micromirror συζητήθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο, ως παράδειγμα μιας απλής ελαστικής δομής που συναντάμε συχνά σε MEMS. Υπενθυμίζουμε ότι σε αυτό το σύστημα ο στόχος είναι να αλλάξει η γωνία ενός άκαμπτου κατόπτρου ώστε να ελεγχθεί η τοποθεσία της ανακλώμενης δέσμης φωτός. Ο καθρέφτης μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί ως μία οπτική εναλλαγή για δίκτυα οπτικών ινών ή ως συστατικό ενός προσαρμοστικού οπτικού συστήματος. Όταν ηλεκτροστατικές δυνάμεις χρησιμοποιούνται για την ενεργοποίηση του συστήματος, το εύρος λειτουργίας περιορίζεται από την pull-in αστάθεια. Η συσκευή ενεργοποιείται με την εφαρμογή διαφοράς δυναμικού μεταξύ του κατόπτρου και ενός από τα ηλεκτρόδια γείωσης. Αυτό προκαλεί μια ροπή στο σύστημα, το οποίο αντισταθμίζεται από την επίδραση ενός ελατηρίου στρέψης. Για αυτό το σύστημα, η pull-in αστάθεια εμφανίζει με φορά περιστροφής μέσω μιας κρίσιμης γωνίας. Δηλαδή, το φάσμα των γωνιακής κίνησης περιορίζεται από την pull-in αστάθεια.

77 [77] Χτένα κίνησης Η βασική δομή στην χτένα κίνησης απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Η χτένα κίνησης πήρε το όνομά της από την ομοιότητα στη δομή με ένα ζευγάρι χτένες. Μία δομή στήριξης χτένας είναι αγκυροβολημένη στη θέση του και δεν κινείται. Η δεύτερη δομή στήριξης χτένας συνδέεται με ένα ελατήριο ή μια διπλωμένη δοκό και είναι ελεύθερο να κινηθεί. Μια διαφορά δυναμικού εφαρμόζεται μεταξύ των δύο χτενών, με αποτέλεσμα μία ηλεκτροστατική δύναμη δείχνει προς την κατεύθυνση των δαχτύλων. Η χτένα κίνησης δεν επηρεάζεται από την pull-in αστάθεια με τη συνήθη έννοια. Δηλαδή, η μετατόπισή της δεν περιορίζεται από το pull-in φαινόμενο. Ωστόσο, το pull-in φαινόμενο έχει δημιουργήσει μια πλάγια "πλευρά με πλευρά" αστάθεια στη χτένα κίνησης. Αν η δομή της χτένας έχει διαταραχθεί προκαλώντας ένα ζευγάρι δόντια να έρθει πάρα πολύ κοντά, το φαινόμενο pull-in θα ολοκληρώσει την διαταραχή και θα προκαλέσει τα δόντια να συγκρουστούν. Επαρκή πλευρική ακαμψία πρέπει να σχεδιαστεί μέσα στη δομή της χτένας για να αποτρέψει αυτή τη δυσκολία.

78 [78] Μικροαντλίες Η μικροαντλία MEMS έχει εμφανιστεί αρκετές φορές σε όλο αυτό το κείμενο. Θα ασχοληθούμε με την μικροαντλία η οποία ενεργοποιείται ηλεκτροστατικά. Η βασική δομή της αντλίας απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Η αντλία λειτουργεί με την εφαρμογή διαφοράς δυναμικού ανάμεσα σε ένα παραμορφώσιμο διάφραγμα και ένα σταθερό αντίθετο ηλεκτρόδιο. Ηλεκτροστατικές δυνάμεις προκαλούν το διάφραγμα να εκτραπεί προς το αντίθετο ηλεκτρόδιο. Η αλλαγή στον όγκο στον θάλαμο κάτω από το διάφραγμα προκαλεί υγρό να αναρροφάται μέσω της βαλβίδας ελέγχου εισόδου. Η τάση στη συνέχεια απομακρύνεται, το διάφραγμα επιστρέφει στην αρχική κατάσταση και ωθεί υγρό έξω από βαλβίδα ελέγχου εισόδου. Η εργασία αυτή επαναλαμβάνεται με αποτέλεσμα μια δράση άντλησης. Το σχέδιο της ηλεκτροστατικής μικροαντλίας περιορίζεται άμεσα από την pull-in αστάθεια. Το θέμα του όγκου της αντλίας, που κάποιος θα ήθελε να μεγιστοποιήσει, είναι μικρό λόγω του περιορισμένου εύρους των σταθερών μετατοπίσεων του διαφράγματος. Δεν είναι επιθυμητό να τρέξει η αντλία σε λειτουργία "pull-in", όπου το διάφραγμα συντρίβεται εντός του αντίθετου ηλεκτροδίου. Stiction μπορεί να αποτρέψει την εκ νέου απελευθέρωση του διαφράγματος και οι επαναλαμβανόμενες επιπτώσεις μπορεί να βλάψουν το διάφραγμα.

79 [79] Μικροδιακόπτες Οι μικροδιακόπτες που ενεργοποιούνται ηλεκτροστατικά, είναι ένα παράδειγμα ενός συστήματος που συχνά εκτελείται σε λειτουργία "pull-in". Η δομή του μικροδιακόπτη ποικίλλει ευρέως. Ένα απλό σχέδιο είναι να μιμηθούμε την δομή μιας μονής ταινίας GLV. Με την εφαρμογή διαφοράς δυναμικού μεταξύ της ταινίας και του υποστρώματος, η ταινία μπορεί να τραβηχτεί προς τα κάτω. Με αυτό τον τρόπο μια ηλεκτρική επαφή μεταξύ της ταινίας και ενός δευτερεύον ηλεκτροδίου στο υπόστρωμα, μπορεί να προκαλέσει σαν αποτέλεσμα έναν μικροδιακόπτη. Μικροβαλβίδες Εκτός από μικροαντλίες, οι μικροβαλβίδες είναι απαραίτητες για τη ρύθμιση της ροής μικροκλίμακας. Οι μικροβαλβίδες που ενεργοποιούνται ηλεκτροστατικά,είναι ένα δεύτερο παράδειγμα ενός συστήματος που εκτελείται σε pull-in κατάσταση. Στον πυρήνα τους, όλα τα σχέδια μικροβαλβίδων αποτελούνται από παραμορφώσιμο έλασμα που μπορεί να μετακινηθεί για να ανοίξει ή να κλείσει μια βαλβίδα. Στις μικροβαλβίδες που ενεργοποιούνται ηλεκτροστατικά, η πλάκα κινείται με την εφαρμογή ενός δυναμικού

80 [80] διαφοράς μεταξύ της πλάκας και ενός ηλεκτροδίου γείωσης. Αν λειτουργούν σε κατάσταση pull-in, μία τάση πέραν της pull-in εφαρμόζεται και προκαλεί την πλάκα να καταρρεύσει πάνω στο υπόστρωμα, κλείνοντας την βαλβίδα. Micro- και Nanotweezers Οι Micro- και Nanotweezers συζητήθηκαν σε προηγούμενο κεφάλαιο ως παραδείγματα των κοινών ελαστικών δομών σε MEMS. Κατά το σχεδιασμό των Kim και Lieber, οι βραχίονες των nanotweezers κατασκευάζονται από νανοσωλήνες άνθρακα. Μια διαφορά δυναμικού εφαρμόζεται μεταξύ των βραχιόνων, με αποτέλεσμα μια ηλεκτροστατική δύναμη. Οι άκρες των βραχιόνων κινούνται πιο κοντά και λειτουργούν ως τσιμπιδάκια. Ο σχεδιασμός του ηλεκτροστατικού nanotweezer περιορίζεται από την pull-in αστάθεια. Το φάσμα των σταθερών μετατόπισης, περίπου το ένα τρίτο του μηδενικού χάσματος τάσης, περιορίζει το μέγεθος των αντικειμένων που μπορεί να υφίστανται χειρισμό. Η μικρότερη κλίμακα του nanotweezer, δηλαδή το microtweezer, πάσχει από την ίδια δυσκολία σχεδιασμου. Shuffle Motor Ένα τελικό παράδειγμα της χρήσης ηλεκτροστατικών δυνάμεων σε MEMS παρέχεται από τον κινητήρα με τυχαία σειρά. Ο κινητήρας σε τυχαία σειρά είναι μια γραμμική μικροκλίμακα, ηλεκτροστατικού κινητήρα stepper ικανού να παράγει μεγάλες δυνάμεις και μικρές κινήσεις. Η βασική αρχή της λειτουργίας απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα.

81 [81] Μια ελαστική πλάκα αναρτάται μεταξύ δύο σφιγκτήρων. Οι σφιγκτήρες είναι ελεύθεροι να ολισθαίνουν επί του υποστρώματος. Μία διαφορά δυναμικού μεταξύ του σφιγκτήρα και ενός ηλεκτροδίου που ενσωματώνεται στο υπόστρωμα μπορεί να εφαρμοστεί. Όταν αυτό γίνει, ο σφιγκτήρας αποτελεσματικά κλειδώνει στη θέση του. Αν ο μπροστινός σφιγκτήρας είναι κλειδωμένος και μια διαφορά δυναμικού εφαρμόζεται μεταξύ της ελαστικής πλάκας και του ηλεκτροδίου υποστρώματος, η επακόλουθη παραμόρφωση της πλάκας σέρνει τον πίσω σφιγκτήρα προς τα εμπρός. Ο πίσω σφιγκτήρας μπορεί κατόπιν να κλειδωθεί, ο μπροστινός σφιγκτήρας να απελευθερωθεί, και η τάση απομακρύνεται από την πλάκα. Αυτό αναγκάζει το μπροστινό σφιγκτήρα προς τα εμπρός, με αποτέλεσμα μια επιστροφή στην αρχική διαμόρφωση, αλλά μετατοπίζεται προς τα δεξιά. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία επιτρέπουμε στον κινητήρα να "περπατάει" σε οποιαδήποτε κατεύθυνση. Και πάλι λόγω του φαινομένου stiction, δεν επιθυμούμε να έχει επαφή η ελαστική πλάκα με το υπόστρωμα. Ως εκ τούτου, τα βήματα του κινητήρα σε τυχαία σειρά περιορίζονται από το φαινόμενο pull-in.

82 [82] Το μοντέλο μάζας-ελατηρίου Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε λεπτομερώς το μοντέλο μάζαςελατηρίου των ηλεκτροστατικών κινητοποιημένων συσκευών MEMS. Σημειώστε ότι η βάση αυτού του μοντέλου στηρίζεται σε αρκετές προσεγγίσεις. Η πρώτη, αναφέρθηκε παραπάνω, και αφορά την γεωμετρία. Πιο συγκεκριμένα, το μοντέλο μάζας-ελατηρίου παραμελεί τις γεωμετρικές επιπτώσεις, όπως η κάμψη των δοκών ή τις εκτροπές των μεμβρανών. Αντίθετα, οι παράλληλες συνιστώσες του συστήματος, θα παραμείνουν παράλληλες σε όλες τις εκτροπές. Αυτό σημαίνει ότι η μηχανική κατάσταση του συστήματος μπορεί να καθορίζεται από μία μόνο εξαρτημένη μεταβλητή, u, η παραμόρφωση, η οποία από μόνη της είναι μόνο συνάρτηση του χρόνου. Φυσικά, αυτό σπάνια μπορεί να υλοποιηθεί στην πράξη. Ωστόσο, όπως στην αρχική μελέτη του Nathanson, κάποιος φαντάζεται ότι η σταθερά του ελατηρίου, k, εξυπηρετεί το άθροισμα των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν τις μηχανικές ιδιότητες του συστήματος. Η δεύτερη υπόθεση είναι επίσης γεωμετρική ως προς την φύση της, αλλά ίσως λιγότερο προφανής με αυτόν τον τρόπο. Αυτή η υπόθεση αφορά το ηλεκτρικό πεδίο και ως εκ τούτου, τον υπολογισμό των ηλεκτροστατικών δυνάμεων στο σύστημα. Εδώ, θεωρούμε ότι η ηλεκτροστατική δύναμη μπορεί να υπολογιστεί από την προσέγγιση της παράλληλης πλάκας. Αυτό προϋποθέτει ότι το λεγόμενο "fringing fields " παραμένει αμελητέο. Στην ενότητα αυτή, θα κάνουμε απλά αυτή την υπόθεση, αλλά στην επόμενη ενότητα, θα το εξετάσουμε λεπτομερώς και θα δούμε ότι αυτό πραγματικά απαιτεί ο λόγος διαστάσεων της συσκευής να είναι μικρός. Δηλαδή, το χαρακτηριστικό μήκος του παραμορφωμένου εξαρτήματος θα πρέπει να είναι μεγάλο σε σχέση με το μέγεθος της εκτροπής. Σε αυτή την περίπτωση η υπόθεση είναι γεωμετρική στην φύση της.

83 [83] Βασική Εξίσωση Ξεκινάμε με την ανάλυση της ισορροπίας των δυνάμεων για το σύστημα που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Η βασική εξίσωση για το σύστημα μάζας-ελατηρίου προκύπτει άμεσα από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Δηλαδή, m d2 u = forces. (1) dt 2 Εδώ, το u είναι η μετατόπιση της άνω πλάκας από το άνω τοίχωμα και το m είναι η κορυφή της μάζας πλάκας. Υποθέτουμε ότι η πλάκα στον πάτο συγκρατείται στη θέση της. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημά μας είναι η δύναμη του ελατηρίου, F s, μια δύναμη απόσβεσης που εκπροσωπείται από τον αποσβεστήρα στο σχήμα, F d, και η ηλεκτροστατική δύναμη, F e, λόγω της εφαρμοσμένης διαφοράς της τάσης μεταξύ των πλακών. Υποθέτουμε ότι το ελατήριο είναι γραμμικό ελατήριο και ακολουθεί τον νόμο του Hooke, F s = k(u l), (2)

84 [84] όπου l είναι το υπόλοιπο μήκος του ελατηρίου και k είναι η σταθερά του ελατηρίου. Εμείς υποθέτουμε ότι η απόσβεση είναι γραμμικά ανάλογη με την ταχύτητα, δηλαδή, F d = a du dt. (3) Για να υπολογίσουμε την ηλεκτροστατική δύναμη πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι η ενέργεια, U, που περιέχεται σε ένα ηλεκτρικό πεδίο δίνεται από U = ϵ 0 2 E 2, (4) όπου ϵ 0 είναι η διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου και το ολοκλήρωμα είναι ένας όγκος αναπόσπαστος πάνω από όλα χώρος. Από προηγούμενη ενότητα, γνωρίζουμε ότι το μέγεθος του πεδίου E μεταξύ των πλακών μπορεί να προσεγγιστεί από E = Q ϵ 0 A, (5) όπου Q είναι το συνολικό φορτίο σε ένα πιάτο και A είναι η περιοχή της πλάκας. Ως εκ τούτου, U = Q2 (u L) 2ϵ 0 A. (6) Θα θέλαμε μια έκφραση από την άποψη της τάσης αντί του φορτίου. Από προηγούμενη ενότητα γνωρίζουμε ότι το φορτίο μπορεί να εκφραστεί σε όρους τάσης και χωρητικότητας ως εξής Q = CV = ϵ 0AV (u L) (7) και ως εκ τούτου, U = ϵ 0V 2 A 2(u L). (8)

85 [85] Τώρα, για να υπολογίσουμε τη δύναμη, μπορούμε απλά να υπολογίσουμε τη μεταβολή της ενέργειας για μια απειροελάχιστη αλλαγή στο διάκενο μεταξύ των πλακών. Δηλαδή, F e = U (u L) = 1 2 ϵ 0 AV 2 (L u) 2. (9) Εδώ, θα γενικεύσουμε την ηλεκτροστατική δύναμη, F e, επιτρέποντας την εφαρμοζόμενη τάση να ποικίλει στο χρόνο. Υποθέτουμε, η διακύμανση είναι χρόνος αρμονικός και έχει την μορφή Vcos(ωt ). Με την παραδοχή ότι το πεδίο μεταξύ των πλακών μπορεί ακόμα να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας ηλεκτροστατική, η μόνη αλλαγή στην εξίσωση (9) είναι η προσθήκη του όρου συνημίτονο, F e = 1 2 ϵ 0 AV 2 (L u) 2 cos2 (ωt ). (10) Τοποθετώντας τις εξισώσεις (2), (3) και (10) στην εξίσωση (1) έχουμε, m d2 u dt 2 + a du dt + k(u l) = 1 2 ϵ 0 AV 2 (L u) 2 cos2 (ωt ). (11) Η εξίσωση (11) είναι το πρώτο μας μοντέλο ηλεκτροστατιστικής απόσβεσης που ανάγκασε τις συσκευές MEMS. Πριν επιχειρήσουμε να αναλύσουμε την εξίσωση (11), είναι χρήσιμο να προσαρμόσουμε την κλίμακα της εξίσωσης και να εισάγουμε αδιάστατες μεταβλητές. Δεδομένου ότι η κατάλληλη επιλογή του κλιμάκωσης εξαρτάται από το εύρος των παραμέτρων υπό εξέταση και, ως εκ τούτου, από τον τύπο του συστήματος, θεωρούμε διάφορες πιθανές επιλογές της κλίμακας χρόνου. Όσον αφορά την κλίμακα μήκους, εισάγουμε v = u l L l. (12)

86 [86] Δηλαδή, έχουμε την κλίμακα της μετατόπισης της άνω πλάκας με την απόσταση L l. Στην πραγματικότητα, είναι η μέγιστη απόσταση που η άνω πλάκα μπορεί να εκτραπεί από την διαμόρφωση μηδενικής τάσης. Ως εκ τούτου, αυτή η επιλογή της κλίμακας μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι το v είναι O(1). Ένα χρονοδιάγραμμα για συστήματα που χαρακτηρίζονται από αδράνεια Αν το σύστημα που θέλουμε να μοντελοποιήσουμε χαρακτηρίζεται από αδράνεια, δηλαδή, αν περιμένουμε η επίδραση της αδράνειας να είναι πιο σημαντική από ό, τι οι συνέπειες της απόσβεσης, τότε θα πρέπει να το συγκρίνουμε με τη φυσική συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος μάζας-ελατηρίου. Καθορίζουμε τον αδιάστατο χρόνο, t = k m t. (13) Εισάγουμε τις εξισώσεις (12) και (13) στην εξίσωση (11) και έχουμε, Όπου d 2 v dt 2 + a dv dt + v = λ (1 v) 2 cos(ω 1t), (14) a = a mk, Ω 1 = k m, λ = 1 2 ϵ 0 AV 2 k(l l) 3. (15) Η αδιάστατη παράμετρος a μπορεί να ερμηνευθεί ως ο συντελεστής απόσβεσης που μετρά τη σχετική ισχύ της ιξώδους δύναμης

87 [87] απόσβεσης σε σύγκριση με την δύναμη του ελατηρίου. Το a είναι το αντίστροφο του συντελεστή ποιότητας ή Q για το σύστημα. Παρατηρήστε ότι το a πολλαπλασιάζει τον όρο της απόσβεσης, v. Στην αδράνεια, αναμένουμε ένα υψηλό Q και ως εκ τούτου το a είναι μικρό, και βλέπουμε ότι έχουμε υπολογίσει σωστά όσο το a εμφανίζεται μπροστά από το v. Η παράμετρος Ω 1 μετρά τη συχνότητα της δύναμης σε σχέση με την φυσική συχνότητα της ταλάντωσης του συστήματος. Η παράμετρος λ είναι μια βασική παράμετρος στην ηλεκτροστατική των MEMS και εγγυάται περαιτέρω εξέταση. Αν ξαναγράψουμε το λ ως τότε βλέπουμε ότι λ = 1 2 ϵ 0 AV 2 (L l) 2 1 k(l l), (16) λ = reference electrostatic force reference spring force. (17) Δηλαδή, το λ μετρά τα σχετικά πλεονεκτήματα των ελαστικών και των ηλεκτροστατικών δυνάμεων στη συσκευή μας. Είναι ανάλογη με το V 2, και χρησιμεύει ως η παράμετρος "ρύθμιση" για το σύστημά μας. Αν σκεφτούμε πειραματικά, το λ είναι η παράμετρος που θα ποικίλει ανάλογα με την εφαρμοζόμενη τάση η οποία μεταβάλλεται σε ένα πείραμα. Το γεγονός ότι το λ περιέχει την σταθερά k του ελατηρίου, τα μήκη, l και L, η περιοχή των πλακών, A, και η διηλεκτρική σταθερά του ελεύθερου χώρου, ϵ 0, λένε ότι τα αποτελέσματα της ανάλυσής μας μπορούν να συνοψιστούν εύκολα από την άποψη της παραμέτρου λ. Αν κατανοήσουμε τη συμπεριφορά των εξισώσεων μας ως συνάρτηση του λ, τότε καταλαβαίνουμε τη συμπεριφορά όλων αυτών των συσκευών για τις οποίες οι απλουστευτικές υποθέσεις μας είναι έγκυρες.

88 [88] Ένα χρονοδιάγραμμα για τα συστήματα στα οποία κυριαρχεί το ιξώδες Αν στο σύστημα που θέλουμε να μοντελοποιήσουμε κυριαρχεί το ιξώδες, δηλαδή, αν περιμένουμε οι επιδράσεις τις απόσβεσης να είναι πιο σημαντικές από τις επιδράσεις τις αδράνειας τότε θα πρέπει να εισάγουμε μια χρονική κλίμακα με βάση το χρόνο απόσβεσης για το σύστημα. Ορίζουμε τον αδιάστατο χρόνο ως εξής: t = k a t. (18) Εισάγοντας τις εξισώσεις (12) και (18) στην εξίσωση (11) έχουμε ότι, 1 d2 v a 2 dt 2 + dv dt + v = λ (1 v) 2 cos(ω 2t), (19) όπου εδώ τα a και λ είναι όπως πριν και το Ω 2 είναι ο λόγος της απόσβεσης και ο αναγκάζοντας χρόνος δίνεται από Ω 2 = ω k a. (20) Όταν οι επιδράσεις τις απόσβεσης κυριαρχούν στις επιδράσεις τις αδράνειας, δηλαδή, για μια μικρή συσκευή Q, αναμένουμε ότι η παράμετρος a είναι μεγάλη. Με την κλιμάκωση εισάγουμε, έναν παράγοντα για το 1/ a 2 που εμφανίζεται μπροστά από τον όρο της αδράνειας, καθιστώντας τον μικρό, όπως είναι αναμενόμενο. Λύσεις για την σταθερή κατάσταση Πολλές συσκευές, όπως microtweezers, μικροαντλίες, γραμμικοί κινητήρες, ή ακόμη και οι ενεργοποιητές λειτουργούν σε καθεστώς συνεχούς ρεύματος. Ένας διακόπτης ρίχνεται, μια τάση εφαρμόζεται, η συσκευή ανταποκρίνεται και έρχεται σε μια νέα διαμόρφωση. Από μαθηματικής απόψεως, για να συλλάβουμε αυτό το σενάριο, θέτουμε τη συχνότητα εναλλασσόμενου ρεύματος,

89 [89] ω, να γίνει μηδέν στην εξίσωση (7.11) και, στη συνέχεια, ρυθμίζουμε όλα τα παράγωγα του χρόνου στο μηδέν για να αποκτήσουμε μια αλγεβρική εξίσωση που διέπει τη σταθερή κατάσταση στην συμπεριφορά του συστήματος μάζας-ελατηρίου. Σε αδιάστατες μεταβλητές, ανεξάρτητα από την κλίμακα του χρόνου, αυτή η αλγεβρική εξίσωση είναι v = λ (1 v) 2. (21) Ορίζοντας, f(v) = λ (1 v) 2 v (22) μας επιτρέπει να χαρακτηρίσουμε τις λύσεις της σταθερής κατάστασης για το σύστημα μάζας-ελατηρίου, όπως οι πραγματικές ρίζες της f(v). Στο παρακάτω σχήμα, σχεδιάζουμε την f(v) για τις διάφορες τιμές του λ. Πρώτα, παρατηρούμε ότι η f έχει μια μοναδικότητα στο v = 1. Αυτό είναι αναμενόμενο καθώς το v = 1 αντιστοιχεί στην σύγκρουση της πάνω πλάκας με την κάτω πλάκα και η ηλεκτροστατική δύναμη γίνεται άπειρη. Όταν, ν > 1 αντιστοιχεί στην άνω πλάκα που διέρχεται από την κάτω πλάκα, οποιαδήποτε ρίζα του f μεγαλύτερη από το 1 δεν είναι φυσικό και δεν αποτελεί ενδιαφέρον. Η άνω πλάκα δεν επιτρέπεται να κινείται μέσα από την

90 [90] κάτω πλάκα! Από την άλλη πλευρά, οι ρίζες της f κάτω από 1 αντιστοιχούν σε σχετικές λύσεις. Βλέπουμε στο σχήμα, ότι η f είτε έχει δύο τέτοιες ρίζες, ή ακριβώς μια τέτοια ρίζα ή και καθόλου. Η μετάβαση πραγματοποιείται αυξάνοντας το λ. Για μικρές τιμές του λ, έχουμε δύο ρίζες, διότι όταν το λ είναι αρκετά μικρό, η ηλεκτροστατική δύναμη είναι αρκετά αδύναμη, ώστε η γραμμική δύναμη του ελατηρίου να μπορεί ακριβώς να ισορροπήσει, δημιουργώντας μια στάσιμη κατάσταση. Όταν το λ αυξάνεται, η ηλεκτροστατική δύναμη αυξάνεται, ώστε να συντρίψει τη γραμμική δύναμη του ελατηρίου και όλες οι σταθερές καταστάσεις εξαφανίζονται. Αυτή είναι η προέλευση της έλξης σε αστάθεια τάσης! Η πλήρης εξαφάνιση όλων συνεπάγεται ότι η άνω πλάκα πρέπει να έχει καταρρεύσει ή να έχει τραβηχτεί από την κάτω πλάκα. Ένας άλλος χαρακτηρισμός της pull-in αστάθειας είναι δυνατός. Αν λύσουμε την εξίσωση (21) για λ παίρνουμε λ = v (1 v) 2. (23) Προς το παρόν, ας σκεφτούμε το λ ως συνάρτηση του V, που ορίζεται από την εξίσωση (23). Ας δούμε το παρακάτω σχήμα. Αν αναστρέψουμε τώρα τους άξονες στο παραπάνω σχήμα, όπως γίνεται παρακάτω, παίρνουμε αυτό που είναι γνωστό ως το διάγραμμα διακλάδωσης για το μοντέλο μας.

91 [91] Κατά μήκος του άξονα x, παίρνουμε την τιμή του λ που αντιστοιχεί στο πείραμα μας και στη συνέχεια διαβάζουμε τις λύσεις κατά μήκος του άξονα. Όταν το λ περνά την τιμή λ, δεν υπάρχουν φυσικές λύσεις. Ως εκ τούτου, το λ είναι η αδιάστατη τάση pullin! Εδώ, μπορούμε να υπολογίσουμε ρητά το λ. Για να γίνει αυτό, απλά υπολογίζουμε τη θέση και ύψος του πρώτου μέγιστου σημείου της καμπύλης στο πρώτο σχήμα. Θεωρούμε ότι η αδιάστατη τάση pull-in είναι λ = 4/27. Η απόσταση της συσκευής μας έχει εκτραπεί σε λ, συμβολίζεται με v p και είναι επίσης εύκολο να υπολογιστεί. Βρίσκουμε v p = 1/3. Όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα, το v p είναι η μέγιστη σταθερή παραμόρφωση, και ως εκ τούτου, το v p είναι η αδιάστατη pull-in απόσταση. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του λ για να πάρουμε την αξία των διαστάσεων της pull-in τάσης για το σύστημά μας. Δηλώνοντας την τιμή αυτή με v p, βρίσκουμε ότι, V p = ( 8 k(l l) 3 27 ϵ 0 A ). (24) Ομοίως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κλιμάκωση μας για το ν για να υπολογίσουμε την διαστατική αξία της pull-in απόστασης. Δηλώνοντας την τιμή αυτή, βρίσκουμε, u p = 1 (L l). (25) 3

92 [92] Παρατηρούμε ότι για το μοντέλο μάζας-ελατηρίου, η pull-in απόσταση είναι ακριβώς ένα τρίτο του κενού μηδενικής τάσης. Το αντικείμενο που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα ονομάζεται fold=πτυχή. Η καμπύλη των λύσεων, όπως οπτικοποιείται στο διάγραμμα διακλάδωσης διπλώνει πίσω, πάνω στον εαυτό της όσο η παράμετρος διακλάδωσης, λ, είναι αυξημένη. Αργότερα σε αυτήν την ενότητα, θα δούμε την pull-in αστάθεια για πιο πολύπλοκες συσκευές και πάλι μπορεί να χαρακτηρίζεται από τους όρους μιας πτυχής στο διάγραμμα διακλάδωσης. Ενώ ο άξονας στο παραπάνω σχήμα θα αντικατασταθεί από κάποιο άλλο μέτρο της λύσης, η υποκείμενη δομή εξακολουθεί να είναι μια απλή πτυχή. Σταθερότητα των σταθερών μελών Όταν υπάρχουν περισσότερες από μία σχετικές λύσεις σταθερής κατάστασης σε ένα δεδομένο μοντέλο, όπως συμβαίνει με το σύστημά μας, καταλαβαίνουμε ότι η σταθερότητα αυτών των σταθερών καταστάσεων είναι ζωτικής σημασίας. Καταρχάς, ας δουλέψουμε με το ιξώδες μοντέλο που προσδιορίζεται η σταθερότητα με την παραδοχή ότι α 1. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να αγνοήσουμε τον όρο της αδράνειας στην εξίσωση (19) και να δουλέψουμε με την πιο απλή εξίσωση πρώτης τάξης, dv dt + v = λ (1 v) 2, (26) όπου, φυσικά, έχουμε επίσης θέσει ότι ω = 0. Είναι βολικό να ξαναγράψουμε αυτή την εξίσωση ως εξής, dv dt = λ v. (27) (1 v) 2 Αναγνωρίζουμε ότι η δεξιά πλευρά είναι ακριβώς η συνάρτηση f(v), που ορίσαμε παραπάνω, και μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση μας ως εξής,

93 [93] dv dt = f(v). (28) Τώρα, η σταθερότητα μπορεί να προσδιορισθεί απλά εξετάζοντας το παρακάτω σχήμα. Ας σκεφτούμε την περίπτωση όπου το λ είναι πέρα από τάση pullin, δηλαδή, το λ είναι τόσο μεγάλο ώστε να μην υπάρχουν ρίζες της f λιγότερες από μία. Στη συνέχεια, από το παραπάνω σχήμα, η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (28) είναι πάντα θετική. Έτσι, ξεκινώντας από οποιοδήποτε φυσικό αρχικό σημείο για το ν, η μετατόπιση της άνω πλάκας θα αυξηθεί συνεχώς, και συγκρούεται με την κάτω πλάκα, όταν v = 1. Αυτό δεν θα πρέπει να αποτελέσει καμία έκπληξη διότι είμαστε πέρα από τάση pull-in. Τώρα, θεωρούμε την περίπτωση όπου λ < λ έτσι ώστε οι δύο ρίζες για την f να υπάρχουν στο παραπάνω σχήμα. Εξετάζουμε τις μικρότερες από τις δύο ρίζες. Στο αριστερό μέρος της ρίζας, η f (v) είναι θετική, ενώ στα δεξιά, με την προϋπόθεση ότι είμαστε λιγότερο από τη δεύτερη ρίζα, η f(v) είναι αρνητική. Ως εκ τούτου, από την εξίσωση (28), αν έχουμε ξεκινήσει προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά και χαμηλότερα από την δεύτερη ρίζα, πλησιάζουμε αυτή την λύση. Αυτό σημαίνει ότι αυτή η λύση είναι σταθερή. Στο διάγραμμα διακλάδωσης μας η χαμηλότερη διακλάδωση λύσεων, δηλαδή πριν από την πρώτη πτυχή, είναι ένας σταθερός κλάδος λύσεων. Τώρα, θεωρούμε τις μεγαλύτερες από τις δύο ρίζες. Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτή η ρίζα είναι ασταθής. Αν αρχίσουμε προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά, η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (28) είναι είτε αρνητική είτε

94 [94] θετική, ωθώντας μας μακριά από αυτή τη λύση. Στο διάγραμμα διακλάδωσης, αυτές οι ρίζες αντιστοιχούν στο δεύτερο σκέλος και, συνεπώς, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ο κλάδος αυτός είναι ένας κλάδος από ασταθείς λύσεις. Η ανώτατη διακλάδωση είναι μη φυσική και εμείς δεν ασχολούμαστε με την σταθερότητά της. Παρατηρούμε, ότι για αυτό το απλοποιημένο μοντέλο πρώτης τάξης, έχουμε καθορίσει την παγκόσμια δυναμική των λύσεων. Αν πάρουμε μια αρχική τιμή για το ν και μια τιμή για το λ και εξετάσουμε την κίνηση στο διάγραμμα διακλάδωσης μας, βλέπουμε ότι για λ < λ, οι λύσεις μονοτονικά προσεγγίζουν την χαμηλότερη σταθερή διακλάδωση, εφόσον έχουν ξεκινήσει κάτω από το μεσαίο κλάδο. Αν αρχίσουν πάνω από τον ασταθή μεσαίο κλάδο, η συσκευή τραβιέται μέσα μονότονα. Αν λ > λ η συσκευή επίσης τραβιέται μονοτονικά. Θα θέλαμε επίσης να μάθουμε τη σταθερότητα των λύσεων σε ένα μοντέλο δεύτερης τάξης. Για δεύτερης τάξης συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τα αποτελέσματα της γενικής σταθερότητας δεν λαμβάνονται εύκολα όπως είναι στην περίπτωση πρώτης τάξης. Ας δηλώσουμε οποιοδήποτε από τα σταθερής κατάστασης διαλύματα, δηλαδή, τις ρίζες της f(v), με v. Τώρα, επιδιώκουμε μια λύση στην εξίσωση (19) της μορφής, v(t) = v + ϵe μt, (29) όπου ϵ 1 και μ είναι μια ιδιοτιμή που θα καθοριστεί. Σημειώνουμε, ότι το πραγματικό μέρος του μ θετικά (αρνητικά) αντιστοιχεί σε γραμμική σταθερότητα (αστάθεια). Εισάγουμε την εξίσωση (29) στην εξίσωση (19), και έχουμε, ϵ μ2 α 2 e μt ϵμe μt = f(v + ϵe μt ). (30) Τώρα, επεκτείνουμε το f σε μια σειρά Taylor με ϵ = 0, αγνοούμε τους όρους της τάξης ϵ 2 και παίρνουμε την χαρακτηριστική εξίσωση για μ, μ 2 α 2 μ = f (v ), (31)

95 [95] με ρίζες, μ = α2 2 ± α f (v ) a 2. (32) Είναι εύκολο να δούμε ότι το πραγματικό μέρος του μ είναι θετικό αν και μόνο αν f (v ) < 0. Η συνάρτηση f περνά μέσα από τη μικρότερη ρίζα με αρνητική κλίση και ως εκ τούτου αυτή η λύση είναι σταθερή, ενώ το αντίθετο ισχύει για τις άλλες λύσεις σταθερής κατάστασης Επαναληπτικές Αριθμητικές Μέθοδοι Ένα διάγραμμα ροής που περιγράφει τον βασικό επαναληπτικό αλγόριθμο που χρησιμοποιείται για την προσομοίωση της ηλεκτροστατικής ενεργοποίησης παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα. Αυτή το επαναληπτικό σύστημα βρίσκεται στον πυρήνα πολλών αλγορίθμων και κωδικών που χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουμε τη σταθερή κατάσταση ενός μικροσυστήματος που ενεργοποιείται ηλεκτροστατικά. Η ιδέα πίσω από το σχέδιο είναι πολύ φυσική. Αρχίζουμε με κάποια εικασία ως προς την ελαστική διαμόρφωση της συσκευής, κρατώντας αυτή την διαμόρφωση

96 [96] σταθερή, και υπολογίζουμε το ηλεκτροστατικό πεδίο και ως εκ τούτου τις ηλεκτροστατικές δυνάμεις για το σύστημα, χρησιμοποιώντας τις υπολογισμένες δυνάμεις, που λύνουν το ελαστικό πρόβλημα ώστε να βρει την ενημερωμένη διαμόρφωση της συσκευής. Επαναλαμβάνουμε μέχρι τα πράγματα να μην αλλάζουν πλέον, δηλαδή, μέχρι τη σύγκλιση. Μπορούμε να εφαρμόσουμε το σχήμα αυτό στη λύση του προβλήματος σταθερής κατάστασης για το μοντέλο μάζας-ελατηρίου. Εδώ, η διαμόρφωση της συσκευής δίνεται από την εκτροπή, την οποίο συμβολίζουμε με v n. Λύνοντας ως προς την ηλεκτροστατική δύναμη απλά σημαίνει τον υπολογισμό της αξίας του λ (1 v n ) 2, (33) και λύνοντας για την νέα ελαστική διαμόρφωση, v n+1, σημαίνει απλά εξισορρόπηση της δύναμης του ελατηρίου με την ηλεκτροστατική δύναμη, δηλαδή, v n+1 = λ (1 v n ) 2. (34) Είναι χρήσιμο να εισάγουμε το συμβολισμό, Τ, για το δεξιό μέλος της εξίσωσης (34). Δηλαδή, Tv n = λ (1 v n ) 2. (35) Στη συνέχεια, το επαναληπτικό μας σύστημα μπορεί να γραφτεί, v n+1 = Tv n. (36) Με μία αφηρημένη έννοια, το Τ συμβολίζει την αντιστροφή του ελαστικού προβλήματος. Ο αναγνώστης ενθαρρύνεται με το να σκέφτεται το T με αυτόν τον τρόπο και να οραματιζόμαστε την εξίσωση (36) ως συντομογραφία για τον αλγόριθμο στο παραπάνω σχήμα. Το Τ θεωρείται ως φορέας εκμετάλλευσης που μας επιτρέπει να αντιστρέψουμε τις εξισώσεις ελαστικότητας και επομένως να λύσουμε το ελαστικό πρόβλημα. Το αριθμητικό μυαλό του

97 [97] αναγνώστη μπορεί να σκεφτεί το T ως κώδικα, ίσως ένα πεπερασμένο κωδικό στοιχείο, το οποίο λύνει το ελαστικό πρόβλημα. Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της χαρτογράφησης συστολής για τη μελέτη του επαναληπτικού μας συστήματος, η εξίσωση (36), με το Τ ορίζεται από την εξίσωση (35). Για τη διερεύνηση της σύγκλισης του αριθμητικού μας συστήματος, θα πρέπει να διερευνηθεί η συσταλτικότητα του Τ σε ένα κατάλληλα ορισμένο χώρο Banach. Στην περίπτωση αυτή, ο χώρος Banach είναι απλά ένα κλειστό διάστημα. Ας επιτρέψουμε τα u, v να είναι πραγματικοί αριθμοί, και λ 0 και έχουμε, 1 T u T v = T u T v = λ (1 u) 2 1 (1 v) 2. (37) Σαφώς, η δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης δεν μπορεί να περιοριστεί αν το διάστημα (ο χώρος Banach), S, περιέχει τον αριθμό ένα. Εξετάζουμε το διάστημα S = [ 0, 1 ϵ ] όπου 1 > ϵ > 0. Πέρα από το S, μπορούμε να δεσμεύσουμε την δεξιά πλευρά της εξίσωσης (37), 2 (u + v) λ (4 + 2ϵ) T u T v = λ u v (1 u) 2 (1 v) 2 ϵ 4 u v. (38) Ως εκ τούτου, βλέπουμε ότι το T είναι μια συστολή που παρέχει, λ < ϵ ϵ. (39) Τα T και λ πληρούν την προϋπόθεση των χαρτών S είναι εύκολο να δει κανείς και ως εκ τούτου, από το θεώρημα χαρτογράφησης συστολής, το επαναληπτικό μας σύστημα συγκλίνει όταν το λ ικανοποιεί αυτόν τον περιορισμό. Αν και είναι ωραίο να έχουμε αποδεδειγμένα σύγκλιση της αριθμητικής μεθόδου μας για μια σειρά λ, οι επιπτώσεις της ανάλυσής μας όσον αφορά τις αριθμητικές δυσκολίες έχουν πρωταρχικό ενδιαφέρον. Καταρχάς, παρατηρούμε ότι η συσταλτικότητα της χαρτογράφησης Τ

98 [98] εξαρτάται από το λ. Ειδικότερα, όσο το λ αυξάνεται το Τ γίνεται "λιγότερο συσταλτικό." Αυτό δεν αποτελεί έκπληξη διότι, γνωρίζουμε ότι η μέθοδος πρέπει να αποτύχει μια φορά όταν το λ υπερβαίνει το λ. Δηλαδή, για λ πέρα του λ, δεν υπάρχει καμία λύση στο πρόβλημα S και ως εκ τούτου, η μέθοδός μας δεν θα πρέπει να συγκλίνει. Αυτό που είναι ίσως έκπληξη είναι ότι ο ρυθμός σύγκλισης της επαναληπτικής μεθόδου θα εξαρτηθεί από το λ. Καθώς το λ πλησιάζει το λ και η χαρτογράφηση γίνεται λιγότερο συσταλτική, ο αριθμός των επαναλήψεων για σύγκλιση θα τείνει στο άπειρο. Αυτό απεικονίζεται στην παρακάτω εικόνα. Ξεκινώντας από την αρχική εικασία ότι v 0 = 0, σχεδιάζουμε τον αριθμό των επαναλήψεων ως συνάρτηση του λ. Οι συνέπειες αυτού του γεγονότος είναι σοβαρές. Ενώ ο απλός επαναληπτικός αλγόριθμος θα λειτουργήσει καλά σε χαμηλές τάσεις, θα γίνεται όλο και πιο δαπανηρός, όταν οι τάσεις αυξάνονται. Αν θέλουμε να αριθμητικοποιήσουμε την προσπάθειά μας υπολογίζοντας την pull-in τάση, ο επαναληπτικός αλγόριθμος θα δώσει μόνο μια αργή προσέγγιση. Τέλος, το επαναληπτικό μας σύστημα επιστρέφει μόνο τον κάτω κλάδο των λύσεων. Δηλαδή, υπολογίζουμε μόνο τον χαμηλότερο κλάδο των λύσεων στο διάγραμμα διακλάδωσης. Τα αποτελέσματα ενός τέτοιου υπολογισμού χρησιμοποιώντας την επαναληπτική μέθοδο φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

99 [99] Εδώ, μπορεί κανείς να υποστηρίξει ότι ο μεσαίος κλάδος είναι ασταθής και η άνω διακλάδωση μη φυσική και ως εκ τούτου δεν αποτελούν ενδιαφέρον. Αυτό είναι ένα ισχυρό επιχείρημα. A priori, δεν ξέρουμε την σταθερότητα ή την θέση των άνω κλάδων. Πώς μπορούμε να ξεπεράσουμε τις δυσκολίες με τον επαναληπτικό αλγόριθμο; Η ανάλυσή μας δείχνει προς την λύση. Εξετάζοντας το διάγραμμα διακλάδωσης, όταν βλέπουμε το ν ως συνάρτηση του λ, η κατάσταση είναι αρκετά περίπλοκη. Η συνάρτηση v(λ) είναι πολλαπλών τιμών και έχει άπειρη κλίση σε δύο σημεία. Ένα από αυτά τα σημεία είναι η pull-in τάση, λ. Το διάγραμμα διακλάδωσης περιέχει μια πτυχή. Από την άλλη πλευρά, όταν βλέπουμε το λ ως συνάρτηση του v, η κατάσταση είναι αρκετά ήρεμη. Η συνάρτηση λ(v) είναι αξιόλογη και διαφορίσιμη παντού. Το κλειδί για την επίλυση των δυσκολιών με το επαναληπτικό σύστημα έγκειται σε αυτή την αλλαγή στην προοπτική. Εδώ, για το μοντέλο μάζας-ελατηρίου, μπορούμε να ζητήσουμε να βρούμε την λ(v) αντί ν(λ). Νωρίτερα γράψαμε, λ = v(1 v) 2, (40) και απλά χαράσσουμε την λ (v) και όχι την επίλυση της ν (λ). Η ίδια ιδέα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διάσωση της αριθμητικής μας μεθόδου. Ενώ για το σύστημα μάζας-ελατηρίου, αυτό είναι ασήμαντο, για πιο περίπλοκα μοντέλα επιλέγοντας το σωστή

100 [100] προοπτική δεν είναι. Μεγάλο μέρος της έρευνας έχει επικεντρωθεί επί του αποδοτικού αριθμητικού υπολογισμού του διαγράμματος διακλάδωσης που περιέχουν μια πτυχή. Το έργο του Η.Β. Keller είναι κεντρικής σημασίας για την επίλυση αυτών των δυσκολιών.

101 [101] ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ Euler Έστω η εξίσωση αρμονικού ταλαντωτή δεύτερης τάξης: d 2 u du + γ + u = δ cos(ωt), dt2 dt η οποία μπορεί να γραφτεί και στην μορφή: u + γu + u = δ cos(ωt). Ας υποθέσουμε ότι γ=δ=1 και ω=2 άρα με αντικατάσταση η εξίσωση μετασχηματίζεται και γίνεται: u + u + u = cos(2t). (1) Επίσης οι αρχικές συνθήκες u(0) = 0 και u (0) = 1. Θα μετασχηματίσουμε την δευτέρου βαθμού εξίσωση σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων πρώτου βαθμού ως εξής: Έστω ότι u = y τότε, (1): u = u u + cos(2t), (2) Η οποία γίνεται: y = y u + cos(2t). (3)

102 [102] Έχουμε λοιπόν το ακόλουθο σύστημα δύο εξισώσεων πρώτου βαθμού: u = y { y = y u + cos(2t). Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Euler ξέρουμε ότι: Και y 1 = y 0 + Δt dy dt 0 u 1 = u 0 + Δt du dt 0. Επίσης μπορούμε να γράψουμε γενικότερα: Και y N+1 = y N + Δt( y N u N + cos(2t)) u N+1 = u N + Δty N. Έστω z(1) = u και z(2) = y τότε το σύστημα μετασχηματίζεται ως εξής: dy dt du dt = y dz(1) = z(2) = y u + cos (2t) dz(2) = z(2) z(1) + cos (2t). Και οι αρχικές συνθήκες μετασχηματίζονται επίσης ως εξής: z(1) = 0 z(2) = 1.

103 [103] Με την βοήθεια του MatLab, εισάγουμε τα δεδομένα και προκύπτει η ακόλουθη παράσταση: