Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Transcript

1 Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου (σώματος) που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση επάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Η ταχύτητα θα υπολογιστεί με δύο τρόπους: α) ως κλίση ευθείας που εφάπτεται της πειραματικής καμπύλης απόστασης χρόνου, β) από άμεση μέτρηση της απόστασης που διανύει το σώμα για συγκεκριμένο (μικρό) χρονικό διάστημα. Η επιτάχυνση θα υπολογιστεί με δύο τρόπους: α) ως κλίση της ευθείας ταχύτητας χρόνου, β) θεωρητικά, από τους αντίστοιχους νόμους της Φυσικής. Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: τράπεζα κίνησης, αμαξίδια, αισθητήρας κίνησης, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio. Πιθανά οφέλη: Να μάθεις να κατασκευάζεις γραφικές παραστάσεις. Να συνειδητοποιήσεις τι πληροφορίες μπορείς να πάρεις και τι συμπεράσματα μπορείς να βγάλεις από τις γραφικές παραστάσεις. Να εκτιμήσεις την επιτάχυνση της βαρύτητας στο σημείο που βρίσκεσαι. Προαπαιτούμενη γνώση: νόμοι της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, δυναμική υλικού σημείου, καταγραφή δεδομένων με το Data Studio, κατασκευή γραφικών παραστάσεων. 3.1 ΘΕΩΡΙΑ Ένα σώμα μάζας m κινείται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο (Εικόνα 3.1). Αν αγνοήσουμε τις τριβές (που θεωρούμε αμελητέες στο σημερινό μας πείραμα), τότε οι δυνάμεις που ασκούνται οποιαδήποτε στιγμή πάνω του είναι το βάρος του B mg και η αντίδραση από το επίπεδο προς το σώμα N. Η κίνηση του σώματος γίνεται με επιτάχυνση η οποία δίδεται από τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής F ma. Αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες: μία κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο: Β y =Βcos(θ) =mgcos(θ) και μία παράλληλη σε αυτό: Β x =Βsin(θ) =mgsin(θ). 1

2 Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για δύο άξονες, έναν παράλληλο και έναν κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο, έχουμε: Β y =N B x =mα α=g sin(θ), όπου (3.1) Η συνιστώσα Β x είναι σταθερή. Άρα, η επιτάχυνση α του σώματος είναι και αυτή σταθερή. Επομένως, το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Εικόνα 3.1 Κεκλιμένο επίπεδο. Θυμίζουμε τις γνωστές σχέσεις (Young, 1994) που δίνουν τη στιγμιαία θέση x και τη στιγμιαία ταχύτητα u ενός σώματος στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση μια χρονική στιγμή t: u=u o +αt (3.2) x=u o t+ 2 1 αt 2, (3.3) όπου u 0 είναι η αρχική ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t=0. Επομένως, η γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου είναι μια ευθεία γραμμή, ενώ εκείνη της απόστασης χρόνου είναι μια παραβολή. Στιγμιαία ταχύτητα Για ένα υλικό σημείο η στιγμιαία ταχύτητα ορίζεται ως ένα φυσικό διανυσματικό μέγεθος το οποίο: Έχει σημείο εφαρμογής το σημείο αυτό. Είναι εφαπτόμενο της τροχιάς στο ίδιο σημείο. Έχει φορά που συμπίπτει με τη φορά της κίνησης. Έχει μέτρο: Σχόλιο: Ο τύπος (3.4) περιέχει τη μαθηματική έννοια του ορίου με παρονομαστή που πάει να γίνει μηδέν, κάτι που έχει προβληματίσει πολύ κόσμο. (3.4) 2

3 Απορία: Αφού η ταχύτητα είναι στιγμιαία, δηλαδή αναφέρεται στη συγκεκριμένη στιγμή t 1, τι είναι η διάρκεια Δt; Απάντηση: Ο Μαθηματικός λέει ότι το Δt τείνει στο μηδέν. Εμείς αυτό το εννοούμε ως εξής: Το χρονικό διάστημα Δt μπορεί να είναι τόσο μικρό, όσο μας επιτρέπουν τα όργανα παρατήρησης δύο διακριτών διαδοχικών θέσεων του κινητού. Συμπέρασμα Για να ικανοποιήσουμε τον ορισμό του ορίου στον τύπο (3.4), πρέπει να έχουμε ένα γρήγορο καταγραφικό σύστημα διαδοχικών θέσεων του κινητού σε γνωστά χρονικά διαστήματα. Έναν τέτοιο μηχανισμό διαθέτει και το σημερινό μας πείραμα. Ονομάζεται αισθητήρας κίνησης και θα τον περιγράψουμε στη συνέχεια. 3.2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Σύντομη περιγραφή της διάταξης του πειράματος Η διάταξη του πειράματος (Εικόνα 3.2) περιλαμβάνει έναν αλουμινένιο διάδρομο κίνησης τον οποίο έχουμε ανασηκώσει από τη μια του άκρη, σε τυχαίο ύψος, στηρίζοντάς τον πάνω σε κατακόρυφο άξονα ο οποίος με την σειρά του προσδένεται σε μεταλλική ακλόνητη βάση. Με αυτόν τον τρόπο, ο διάδρομος αποτελεί ένα α- κίνητο κεκλιμένο επίπεδο. Το αμαξίδιο μπορεί να κινείται στο διάδρομο με πολύ μικρές απώλειες κινητικής ενέργειας από τριβές, εξαιτίας: α) της μικρής επιφάνειας επαφής των άκαμπτων τροχών του με τον διάδρομο και β) της στήριξης του άξονα των τροχών σε σφαιρίδια με πολύ μικρή τριβή κύλισης (ρουλεμάν). Ο αισθητήρας κίνησης είναι τοποθετημένος στο ανυψωμένο άκρο του διαδρόμου κίνησης. Δουλεύει ως εξής: Στέλνει περιοδικά υπερηχητικούς παλμούς προς το κινητό. Οι παλμοί ανακλώνται στην επιφάνεια του κινητού και επιστρέφουν στον αισθητήρα ο οποίος τους ανιχνεύει. Υπολογίζει, έτσι, το μέτρο της ταχύτητας και τη θέση του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο. Εικόνα 3.2 Πειραματική διάταξη της άσκησης 3. 3

4 Εικόνα 3.3 Οθόνη του Data Studio. Πειραματική διάταξη και μετρήσεις άσκησης 3 Βίντεο Το βίντεο δείχνει τη διάταξη του πειράματος και πώς παίρνονται οι μετρήσεις που χρειάζονται για τον υπολογισμό του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. Βίντεο 3.1 Πείραμα της άσκησης Βήματα 1. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS. 2. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. 3. Τοποθετείς το αμαξίδιο έτσι, ώστε το μέσον του να βρίσκεται σε απόσταση περίπου 20 cm από τον αισθητήρα κίνησης. 4. Αφήνεις το αμαξίδιο ελεύθερο και αμέσως πατάς το κουμπί Start στο Data Studio, οπότε αρχίζει η καταγραφή των δεδομένων απόστασης ταχύτητας. Τη στιγμή που ξεκινά η καταγραφή, το αμαξίδιο έχει μη μηδενική ταχύτητα, οπότε η κίνηση που καταγράφεται είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα. 5. Λίγο πριν το αμαξίδιο φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, πατάς το κουμπί Stop, για να σταματήσει η καταγραφή. Η οθόνη του υπολογιστή σου πρέπει να έχει διαμορφωθεί όπως στην Εικόνα 3.3. Βλέπεις τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου (velocity time) και τον πίνακα μετρήσεων απόστασης χρόνου (position time). 3.3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα: 4

5 Τίτλος άσκησης: Όνομα: Ημερομηνία: Σκοπός: Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, θα πρέπει να φαίνονται και οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους Πειραματικό μέρος Α : Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας (με δύο τρόπους) Από τον πίνακα μετρήσεων της οθόνης παίρνεις 9 ζεύγη τιμών ανά Δt=0,1 s (π.χ. 0,1 s, 0,2 s, 0,3 s κ.ο.κ) και τα καταχωρείς στον Πίνακα 3.1. Α/Α t (s) x (m) Πίνακας 3.1 Μετρήσεις απόστασης χρόνου. 1ος τρόπος Για μια τυχαία κουκκίδα (π.χ. την 6 η ), καταγράφεις τις θέσεις και τους χρόνους του κινητού λίγο πριν και λίγο μετά. π.χ. Για την 6 η κουκκίδα: x 5 = m x 7 = m Εκτιμάς το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας από τη σχέση: t 5 = s t 7 = s x7 x5 u... m/ s 6 t t 7 5 (3.5) 2ος τρόπος 1. Με βάση τα δεδομένα του Πίνακα 3.1, κατασκευάζεις τη γραφική παράσταση διαστήματος χρόνου με το πρόγραμμα Excel του υπολογιστή. 2. Γράφεις στο τετράδιο την εξίσωση της παραβολής που σου δίνει ο υπολογιστής: Εξίσωση παραβολής:. 3. Παραγωγίζεις την εξίσωση και θέτεις στη θέση της μεταβλητής x την τιμή του χρόνου (π.χ. της 6 ης κουκκίδας). Η τιμή αυτή της παραγώγου ισούται με την κλίση της παραβολής στο συγκεκριμένο σημείο και εκφράζει το μέτρο της ταχύτητας τη στιγμή εκείνη. u κ = κλίση = m/s Έχεις τώρα δύο τιμές για το μέτρο της ταχύτητας: μία από την τιμή της παραγώγου u κ και μία από τις τιμές του πίνακα την ίδια χρονική στιγμή u Υπολογίζεις τη διαφορά επί τοις % των στιγμιαίων ταχυτήτων που βρήκες για το ίδιο χρονικό σημείο με τις δύο παραπάνω μεθόδους: X % u u u % (3.6) 5

6 3.3.2 Πειραματικό μέρος Β : Υπολογισμός του μέτρου της επιτάχυνσης 1. Στη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου, με το αριστερό κουμπί του ποντικιού πατημένο, επιλέγεις (κιτρινίζεις) ένα τμήμα της ευθείας όπου, κατά τη γνώμη σου, η κίνηση είναι ομαλά επιταχυνόμενη (όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.3). 2. Πατάς το κουμπί Fit και επιλέγεις το Linear, ώστε το λογισμικό να σχεδιάσει την καλύτερη πειραματική ευθεία για τα σημεία που επέλεξες. 3. Διαβάζεις την ένδειξη slope που εμφανίζεται σε καρτέλα στην δεξιά πλευρά του γραφήματος και η οποία ισούται με την κλίση της ευθείας (χωρίς το σφάλμα). Η κλίση αυτή είναι εξ ορισμού ίση με το μέτρο της επιτάχυνσης του αμαξιδίου. κλίση = α = m/s 2 4. Επιπλέον, υπολογίζεις τη θεωρητική τιμή του μέτρου της επιτάχυνσης ως εξής: Μετράς το ύψος του ανασηκωμένου άκρου του κεκλιμένου επιπέδου h, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.1. h= m 5. Γνωρίζοντας ότι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου είναι L=1,22 m, υπολογίζεις την αναμενόμενη θεωρητική τιμή του μέτρου της επιτάχυνσης: h g m/s 2 L (3.7) 6. Συγκρίνεις την μέση τιμή της επιτάχυνσης που βρήκες πειραματικά με την θεωρητική τιμή [που υπολόγισες από τον τύπο(3.7)], και βγάζεις την εκατοστιαία διαφορά: X a a % Η άσκηση της μέτρησης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Βίντεο Το βίντεο παρουσιάζει όλη την άσκηση για τον υπολογισμό του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης (θεωρία, πείραμα, μετρήσεις, υπολογισμούς). Βίντεο 3.2 Παρουσίαση της άσκησης 3. Βιβλιογραφία Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.ι. (παράγραφοι 3.1, 3.2, 3.3, σ ). Αθήνα: Παπαζήση. Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης 1 1. Με τη βοήθεια της Εικόνας 3.4 να βρεις την επιτάχυνση του αμαξιδίου στο SI. 6

7 Εικόνα 3.4 Επιτάχυνση αμαξιδίου Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Εάν το ύψος του κεκλιμένου επιπέδου που σχηματίζει ο διάδρομος είναι 4,4 cm και το μήκος του 1,22 m, υπολογίστε την επιτάχυνση του αμαξιδίου στο SI. (Δίνεται g=9,81 m/s 2 ). 3. Εάν η εξίσωση της γραφικής παράστασης διαστήματος - χρόνου είναι: 0,13x 2 +0,24x+0,11, βρείτε την αριθμητική τιμή της ταχύτητας που έχει το αμαξίδιο τη χρονική στιγμή 0,4. 4. Με τη βοήθεια των τιμών του πίνακα Time (Χρόνου) Position (Θέσης) στην Εικόνα 3.5, βρείτε στο SI την ταχύτητα που έχει το αμαξίδιο, όταν t=0,5 s. Εικόνα 3.5 Πίνακας τιμώνtime - Position Ερώτηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; a) Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου είναι παραβολή. 7

8 b) Για να αλλάξω την κλίμακα των αξόνων της γραφικής παράστασης, κρατώ πατημένο το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού πάνω σε κάποιο αριθμό του άξονα και σέρνω το ποντίκι. c) Μονάδα δύναμης στο SI είναι το 1 Ν (Νιούτον). Απαντήσεις 1. Η επιτάχυνση είναι ίση με την κλίση (slope). Όπως φαίνεται στην Eικόνα 3.6, η κλίση m (slope) στο SI είναι 0,320 (m/s 2 ), επειδή στο SI η ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα είναι σε (m/s) και ο χρόνος στον ο- ριζόντιο άξονα είναι σε (s). Εικόνα 3.6 Επιτάχυνση αμαξιδίου Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης Σύμφωνα με τον τύπο (3.7), έχω: 3. Η ταχύτητα είναι η παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο. Παραγωγίζω την εξίσωση και βρίσκω την τιμή της παραγώγου για χρόνο 0,4: (0,13x 2 +0,24x+0,11) =20,13x+0,24. Για x=0,4, έχω: 20,130,4+0,24=0, Σύμφωνα με τον τύπο (3.5) και τις τιμές του πίνακα στην Εικόνα 3.7, έχω: 8

9 Εικόνα 3.7 Πίνακας τιμώνtime - Position Απάντηση Κριτηρίου Αξιολόγησης 1 άσκησης a) Λάθος b) Σωστό c) Σωστό. 9