ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΚΑΤΩΦΛΙΟΥ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΫΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΝΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΣΟΦΑΣΗ ΔΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΜΕΝΗΣ ΥΛΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΚΑΤΩΦΛΙΟΥ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΫΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΑΣΤΑΘΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΝΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΣΟΦΑΣΗ ΔΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΡΑΜΟΥ ΕΥΘΥΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΜΕΝΗΣ ΥΛΗΣ ΕΠΙΒΛΕΨΗ ΖΕΓΚΙΝΟΓΛΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΜΠΥΚΝΩΜΕΝΗΣ ΥΛΗΣ ΠΑΤΡΑ 2010

2 1

3 2

4 3

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 - Οι υγροί κρύσταλλοι και οι ιδιότητες τους 1.1 Ταξινόμηση Ιδιότητες των μορίων Κατευθυντής-Παράμετρος Τάξης S Ανισοτροπία Θεωρία της ελαστικότητας νηματικών μεσοφάσεων Ελεύθερη ενέργεια υπό την επίδραση εξωτερικών πεδίων Φαινόμενα ροής στα νηματικά ρευστά 22 Κεφάλαιο 2 - Ηλεκτροϋδροδυναμικές αστάθειες των νηματικών μεσοφάσεων 1..1 Οι περιοχές Williams Ο ανώμαλος προσανατολισμός και το μοντέλο Carr-Helfrich Παρατηρήσεις πάνω στη θεωρία του Helfrich Θεωρίες που βασίζονται στον μηχανισμό Carr-Helfrich Παρατηρήσεις πάνω στη μονοδιάστατη θεωρία του Orsay Δισδιάστατη θεωρία των EHD ασταθειών Παρατηρήσεις πάνω στη δισδιάστατη θεωρία 43 Κεφάλαιο 3 Θεωρία της μεθόδου προσδιορισμού της τάσης κατωφλίου 3.1 Εισαγωγή Η οπτική του προβλήματος Η δυναμική συμπεριφορά του κατευθυντή 49 4

6 3.4 Το πείραμα για τον υπολογισμό του χρόνου αποκατάστασης Χρόνοι εξασθένισης της EHD αστάθειας Η δυναμική της μετάβασης Freedericsz 55 Κεφάλαιο 4 Σχεδιασμός και εκτέλεση του πειράματος 4.1 Εισαγωγή Πειραματική διάταξη Διαδικασία λήψης των μετρήσεων Πειραματικά αποτελέσματα Πειραματικός προσδιορισμός της ελαστικής σταθεράς k Παρατηρήσεις Συμπεράσματα 77 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 5

7 Κεφάλαιο Πρώτο Οι υγροί κρύσταλλοι και οι ιδιότητες τους 6

8 1.1 Ταξινόμηση Υπάρχει μια κατηγορία οργανικών ενώσεων, που εμφανίζουν μέσα σε καθορισμένα για την κάθε μία όρια θερμοκρασίας, μία ή περισσότερες φάσεις κατά τη μετάβαση τους από τη στερεά στην υγρή κατάσταση, με ιδιότητες που έχουν χαρακτήρα ενδιάμεσο των ιδιοτήτων των κρυσταλλικών στερεών και των ισότροπων υγρών. Οι φάσεις αυτές αναφέρονται ως μεσόμορφες καταστάσεις, ή μεσοφάσεις, ενώ οι ουσίες που παρουσιάζουν μεσοφάσεις αναφέρονται ως μεσογόνα ή υγροί κρύσταλλοι. Στην υγροκρυσταλλική φάση το κρυσταλλικό πλέγμα καταστρέφεται σχεδόν πλήρως, με επακόλουθο την εμφάνιση ιδιοτήτων υγρών, π.χ. ρευστότητα σε οποιονδήποτε άξονα, επιφανειακή τάση κλπ, εξακολουθεί, όμως, να υπάρχει προσανατολισμός των μορίων του υλικού κατά έναν άξονα, σε μεγάλη περιοχή μέσα στη μάζα του υλικού. Άμεσο επακόλουθο αυτού, είναι η εμφάνιση ανισοτροπίας στις μηχανικές, θερμικές και ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των μεσοφάσεων, ιδιότητες που συναντώνται μόνο στα κρυσταλλικά υλικά. Με βάση τη γεωμετρική δομή των μορίων τους, οι υγροί κρύσταλλοι ταξινομούνται σε διάφορα είδη. Υλικά με ραβδοειδή μόρια (ο ένας μοριακός άξονας είναι πολύ μεγαλύτερος από τους άλλους δύο) ονομάζονται καλαμιτικοί. Πρόκειται για μια ομάδα υλικών που έχει μελετηθεί εκτενώς και είναι ιδιαίτερα χρήσιμη σε πολλές εφαρμογές. Μεσοφάσεις που δημιουργούνται από δισκοειδή μόρια (ο ένας μοριακός άξονας είναι μικρότερος από τους άλλους δύο) ονομάζονται δισκοτικές, κατηγορία άγνωστη μέχρι το 1977 που ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα από τους Chandrasekhar [1] και Billard [2]. Μεταβάσεις στις μεσοφάσεις πραγματοποιούνται με δύο τρόπους. Ο πρώτος είναι μέσω θερμικών διαδικασιών και τα υλικά που δημιουργούνται με αυτόν τον τρόπο ονομάζονται θερμοτροπικά, τα οποία εμφανίζουν μεσόμορφη συμπεριφορά σε συνάρτηση με τη θερμοκρασία. Ο δεύτερος τρόπος είναι μέσω της δράσης κάποιου διαλύτη επάνω στον στερεό κρύσταλλο και τα υλικά αυτά ονομάζονται λυοτροπικά, των οποίων η συμπεριφορά είναι συνάρτηση της συγκέντρωσης του ενός (ή περισσοτέρων) μοριακού είδους στο δείγμα. Οι βασικές κατηγορίες των καλαμιτικών θερμοτροπικών υγρών κρυστάλλων είναι οι νηματικές, οι χολεστερικές (ή ελικοειδείς) και οι σμηγματικές μεσοφάσεις, ενώ οι υγροί κρύσταλλοι με δισκοειδή μόρια χωρίζονται στους δισκοτικούς και τους κυλινδρικούς. Οι λυοτροπικοί υγροί κρύσταλλοι είναι πάντα μείγματα ή διαλύματα ανόμοιων μορίων, από τα οποία το ένα τουλάχιστον συστατικό είναι μια 7

9 αμφίφιλη οργανική ένωση. Άμεση συνέπεια αυτού, είναι ότι οι ενώσεις αυτές είναι διαλυτές και στο νερό αλλά και στους υδρογονάνθρακες. Τρία διαφορετικά είδα λυοτροπικών υγρών κρυστάλλων έχουν αναγνωριστεί, η φυλλοειδής (lamellar), η εξαγωνική και η κυβική φάση. Η ταξινόμηση των υγρών κρυστάλλων γίνεται με βάση δύο χαρακτηριστικά, τον τρόπο προσανατολισμού των μορίων και την κατανομή των μοριακών αξόνων στο χώρο. Οι πιο γνωστές καλαμιτικές θερμοτροπικές υγροκρυσταλλικές φάσεις αναφέρονται παρακάτω. Απλή νηματική φάση Η απλή νηματική φάση, είναι η πιο απλή υγροκρυσταλλική φάση, στην οποία οι μοριακοί άξονες είναι περίπου παράλληλοι μεταξύ τους σε όλη τη μάζα του υγρού, ενώ τα κέντρα μάζας έχουν τυχαία κατανομή. Αυτός ο μέσος μοριακός προσανατολισμός ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα, που ονομάζεται κατευθυντής. Η απλή νηματική φάση χαρακτηρίζεται από τάξη προσανατολισμού σε μία διάσταση και οπτικά είναι μονοαξονικό μέσο, δηλαδή παρουσιάζει κυλινδρική, μη πολική, συμμετρία απείρου τάξης. Να σημειωθεί πως έχουν παρατηρηθεί διαξονικές νηματικές φάσεις με τετράγωνα μόρια, όπως επίσης και με πιο εξωτικές συμμετρίες δηλαδή εξαγωνική, κυβική, εικοσάεδρη [3]. (α) (β) 8

10 Σχήμα 1.1 : Κατανομή των μορίων σε νηματικές μεσοφάσεις (στιγμιότυπο). α) Κυρίως νηματική. Το μοναδιαίο διάνυσμα ορίζει τον μέσο μοριακό προσανατολισμό και ονομάζεται κατευθυντής. β) Διαξονική νηματική Σμηγματικές φάσεις Όλες οι σμηγματικές φάσεις εμφανίζουν προσανατολισμό των μοριακών αξόνων σε μία διεύθυνση, τα κέντρα μάζας, όμως, είναι κατανεμημένα σε επίπεδες μοριακές στοιβάδες που είναι κάθετες ή πλάγιες στο μέσο μοριακό προσανατολισμό. Οι μοριακές στοιβάδες διαμορφώνονται σε σταθερή ενδοστρωματική απόσταση και τα μόρια μπορούν να περιστρέφονται γύρω από τους μεγάλους άξονες τους, στην περίπτωση των και. Η πιο απλή μορφή είναι η σμηγματική Α ( ), όπου ο μέσος μοριακός άξονας είναι κάθετος στις μοριακές στοιβάδες και κάθε στοιβάδα είναι ένα δισδιάστατο υγρό. Πρόκειται για ένα οπτικώς μονοαξονικό μέσο. Η σμηγματική C ( ) ορίζεται ως εξής. Κάθε στοιβάδα συνεχίζει να είναι ένα δισδιάστατο υγρό, αλλά ο μέσος μοριακός άξονας σχηματίζει γωνία θ με την κάθετο z στις μοριακές στοιβάδες. Σαν συνέπεια αυτού, το υλικό είναι οπτικώς διαξονικό. Τέλος τα μόρια του υλικού είναι οπτικώς ανενεργά. Στη Σμηγματική Β τα κέντρα μάζας των μορίων σχηματίζουν κανονικά εξάγωνα, ενώ τα ίδια τα μόρια παραμένουν κάθετα κατά μέσο όρο στις μοριακές στοιβάδες. 9

11 (α) (β (γ) Σχήμα 1.2 : Κατανομή των μορίων σε σμηγματικές μεσοφάσεις (στιγμιότυπο). α) Σμηγματική Α. Το κάθε στρώμα έχει πάχος όσο περίπου το μήκος του μορίου. Η κατανομή των κέντρων μάζας των μορίων κάθε στρώματος είναι τυχαία και ανεξάρτητη από την κατανομή των γειτονικών στρωμάτων. β) Σμηγματική C. Η γωνία θ που σχηματίζει ο κατευθυντής με ην κάθετο στις στοιβάδες ονομάζεται γωνία απόκλισης. Αν l το μήκος του μορίου, τότε το πάχος κάθε στοιβάδας θα είναι περίπου ίσο με lcosθ. γ) Σμηγματική Β. Τα μόρια, σε κάθε στρώμα, σχηματίζουν δισδιάστατο κρύσταλλο, δηλαδή εκτός από την τάξη προσανατολισμού, υπάρχει και τάξη θέσης. Από τις τρεις αυτές μεσοφάσεις η σμηγματική Β έχει τη μικρότερη συμμετρία, ενώ η σμηγματική Α την μεγαλύτερη. Ελικοειδείς Μεσοφάσεις 10

12 Στην ελικοειδή νηματική φάση ( ή ), τα μόρια διευθετούνται κατά στοιβάδες, που η απόσταση τους είναι σχεδόν ίση με το πάχος του μορίου. Σε κάθε στοιβάδα τα μόρια τοποθετούνται παράλληλα μεταξύ τους, όπως στην απλή νηματική, από στοιβάδα σε στοιβάδα όμως, οι μοριακοί άξονες αποκλίνουν σχηματίζοντας μια μικρή σταθερή γωνία, έτσι ώστε η διεύθυνση στο χώρο να σχηματίζει έλικα με άξονα κάθετο στα επίπεδα προσανατολισμού. Χάρις στην παρουσία της έλικας, αυτή η φάση παρουσιάζει ιδιαίτερες οπτικές ιδιότητες. βήμα της έλικας μοριακή βήμα της έλικας (α) (β Σχήμα 1.3 : α) Ελικοειδής νηματική φάση. Αν α η γωνία των μοριακών αξόνων σε δύο διαδοχικά επίπεδα, τότε ο αριθμός των επιπέδων που θα διατρέξει η έλικα για να κάνει μία πλήρη περιστροφή θα είναι 2π/α. Αν d το πάχος του μορίου, τότε το μήκος της έλικας θα είναι Ρ=(2π/α)d. Να σημειωθεί ότι τα μόρια κινούνται 11

13 ελεύθερα πάνω στα νηματικά επίπεδα (δηλαδή το υγρό ρέει ανεμπόδιστα στις νηματικές στοιβάδες), όμως η ελικοειδής σπείρα παραμένει άθικτη από αυτήν την κίνηση. β) Ελικοειδής σμηγματική C. Μία πλήρης περιστροφή της έλικας συνήθως εκτίνεται σε εκατοντάδες στρώματα. Η γωνία απόκλισης παραμένει σταθερή, εκείνο που μεταβάλλεται είναι το αζιμούθιο. Αξίζει να σημειωθεί ότι, το βήμα της έλικας, Ρ, σε μια χολεστερική φάση είναι της τάξεως του μήκους κύματος της ορατής ακτινοβολίας. Το γεγονός αυτό, είναι η αιτία του φαινομένου της εκλεκτικής σκεδάσεως, που παρατηρείται στις μεσοφάσεις του τύπου αυτού. Το βήμα της έλικας είναι μια αρκετά ευαίσθητη συνάρτηση της θερμοκρασίας. Αποτέλεσμα αυτού είναι ότι, με το φαινόμενο της εκλεκτικής σκέδασης είναι δυνατός ο προσδιορισμός θερμοκρασίας με ακρίβεια 0,001 ο C. Όλες οι ελικοειδείς σμηγματικές φάσεις με μοριακούς άξονες που σχηματίζουν γωνία με τις μοριακές στοιβάδες, παρουσιάζουν σιδηροηλεκτρικές ιδιότητες. Εμφανίζουν αυθόρμητη πόλωση και πιεζοηλεκτρικές ιδιότητες και γι αυτό το λόγο αναφέρονται ως σιδηροηλεκτρικοί υγροί κρύσταλλοι. Η πιο γνωστή φάση είναι η ελικοειδής C ή C *. Η διευθέτηση των μορίων της είναι τέτοια, ώστε να μοιάζει με τη συνήθη C μεσόφαση. Ο μέσος, όμως, μοριακός προσανατολισμός κάθε μοριακής στοιβάδας σχηματίζει γωνία, σταθερού μέτρου, με το μέσο μοριακό προσανατολισμό του προηγούμενου στρώματος, ενώ η γωνία απόκλισης παραμένει σταθερή κατά μέτρο. Το βήμα Ρ της έλικας, που σχηματίζει ο κατευθυντής, είναι πολύ μεγαλύτερο από το πάχος d του σμηγματικού στρώματος (τυπική τιμή Ρ=10 3 d και το Ρ δεν είναι, απαραίτητα ακέραιο πολλαπλάσιο του d). Παραδείγματα μεσογόνων που δίνουν κυρίως νηματική φάση είναι η p-azoxyanisole ( o C) και η p-methoxybenzylidine-p-n-butylaniline (20-47 o C). Ελικοειδή νηματική φάση παρουσιάζουν μεταξύ άλλων και πολλοί εστέρες της χοληστερόλης, με πιο γνωστό τον εννεαϊκό ( ο C). Από εδώ προέρχεται ο όρος χολεστερικός. Παραδείγματα σμηγματογόνων είναι το p-pheylbenzal-p-aminoethylbenzoate ( o C), ethyl-4-ethoxybenzol-4-aminocinnamate ( o C), p-n-octyloxbenzoic acid ( o C). Φαινόμενο που παρατηρείται συχνά μεταξύ των θερμοτροπικών μεσογόνων είναι η πολυμορφία, η εμφάνιση, δηλαδή, σε ένα μεσογόνο περισσοτέρων της μιας μεσοφάσεων. Σε μια τέτοια περίπτωση, όσο πιο υψηλή είναι η θερμοκρασία, τόσο πιο μεγάλη είναι και η συμμετρία της μεσοφάσεως. Εάν ένα μεσογόνο μπορούσε να παρουσιάσει όλες τις φάσεις, η σειρά που θα διαδεχόταν η μία την άλλη, καθώς αυξάνει η 12

14 θερμοκρασία, θα γινόταν σύμφωνα με τον παρακάτω κανόνα αλληλουχίας : Κρυσταλλικό στερεό Σμηγματικές μεσοφάσεις μειωμένης συμμετρίας Σμηγματική Β Σμηγματική C Σμηγματική Α Νηματική Ισότροπο υγρό. Δεν υπάρχει ακόμα κανένα γνωστό υλικό, που να παρουσιάζει όλες αυτές τις φάσεις. Στα περισσότερα μεσογόνα, μόνο ένας μικρός αριθμός διαφορετικών μεσοφάσεων εμφανίζεται. Εξαίρεση στον παραπάνω κανόνα αλληλουχίας, έχει παρατηρηθεί σε μεσογόνα [4],[5], όπου μία φάση υψηλής συμμετρίας μπορεί να εμφανισθεί μεταξύ δύο φάσεων χαμηλότερης συμμετρίας. 1.2 Ιδιότητες των μορίων Πρέπει να πληρούνται κάποιες προϋποθέσεις, εάν θέλουμε να δημιουργήσουμε θερμοτροπικές καλαμιτικές μεσόμορφες καταστάσεις. Τα μόρια οφείλουν να συγκεντρώνουν τα ακόλουθα γνωρίσματα [3] : 1. Το επίμηκες σχήμα 2. Ο μεγάλος άξονας των μορίων πρέπει να είναι άκαμπτος, κάτι που ευνοείται από την παρουσία διπλών ή τριπλών δεσμών κατά μήκος του μορίου. Συνήθεις ομάδες : CH=N-, -N=N-, -CH=CH-, -CH=N-N=CH- 3. Η παρουσία επίπεδων ομάδων, πχ δακτυλίων βενζολίου, που ενισχύει την τάση για προσανατολισμό των μορίων. 4. Η παρουσία ομάδων με σημαντική διπολική ροπή, πχ CN, -NO 2 ή πολωσιμότητα, όπως CH 3 (CH 2 ) n -, RO-, R-(CO)-. Μια μεγάλη κατηγορία θερμοτροπικών μεσογόνων έχουν έναν από τους παρακάτω χημικούς τύπους : R X R 13

15 R X Y R όπου R και R ομάδες τις περίπτωσης 4 και Χ και Y ομάδες της περίπτωσης 2. Τα μόρια αυτού του είδους δίνουν γενικά νηματικές μεσοφάσεις. Παραδείγματα τέτοιων νηματογόνων είναι το p-azoxyanisole (PAA) με χημικό τύπο : το οποίο εμφανίζει νηματική φάση σε υψηλές θερμοκρασίες, από 116 ο C μέχρι 135 ο C. Ένα ακόμη, γνωστό νηματογόνο είναι το N-(p-methoxy-benzylidene)-p-butylaniline (ΜΒΒΑ) με χημικό τύπο : το οποίο εμφανίζει νηματική φάση σε θερμοκρασίες από 20 o C έως 47 ο C, γεγονός που κάνει το MBBA δημοφιλές για πειραματικές εφαρμογές. 1.3 Κατευθυντής-Παράμετρος Τάξης S Τα μόρια που συγκροτούν τη νηματική φάση κατανέμονται στο χώρο έτσι ώστε τα κέντρα μάζας τους να μην ακολουθούν κανενός είδους κανονικότητα, ενώ οι άξονές τους να έχουν ως μέση διεύθυνση, τη μέση διεύθυνση των αξόνων των γειτονικών μορίων. Μακροσκοπικά, η ιδιότητα αυτή περιγράφεται με ένα μοναδιαίο διάνυσμα,, που ονομάζεται κατευθυντής. Το διάνυσμα αυτό είναι παράλληλο προς τη διεύθυνση του μέσου μοριακού προσανατολισμού, συμπίπτει δηλαδή με τη διεύθυνση του οπτικού άξονα z και οι συνιστώσες του είναι οι (0,0, ). Επειδή η νηματική φάση δεν έχει πολικότητα, συνεπάγεται ότι οι νόμοι που διέπουν τα 14

16 φαινόμενα, που εμφανίζονται στις νηματικές μεσοφάσεις, παραμένουν αναλλοίωτοι στο μετασχηματισμό. Η έννοια του κατευθυντή δεν ισχύει μόνο για τους νηματικούς υγρούς κρυστάλλους και προφανώς σχετίζεται με τη συμμετρία που εμφανίζει η κατανομή των μορίων στο ρευστό. Η διεύθυνση του κατευθυντή δεν είναι γενικά σταθερή σε όλη τη μάζα του νηματικού υγρού, όταν υπάρχουν παραμορφωτικά εξωτερικά αίτια (όπως ηλεκτρικά/μαγνητικά πεδία, παρουσία προσμίξεων κλπ), αλλά μεταβάλλεται από περιοχή σε περιοχή, είναι δηλαδή μία συνάρτηση του χώρου. Και επειδή πολλά από τα εξωτερικά αίτια είναι δυνατόν να μεταβάλλονται με το χρόνο ο κατευθυντής είναι συνάρτηση και του χρόνου, δηλαδή. Ο κατευθυντής απλώς ορίζει τη διεύθυνση του μέσου μοριακού προσανατολισμού δε λέει όμως τίποτα για το πόσο πλησιάζουν ή προσεγγίζουν σε αυτή τη διεύθυνση τα μόρια. Η απόκλιση του προσανατολισμού των μορίων από τη διεύθυνση του κατευθυντή οφείλεται στη θερμική κίνηση των μορίων η οποία είναι τόσο έντονη (και άρα έχουμε μεγαλύτερη απόκλιση) όσο υψηλότερη είναι η θερμοκρασία του υλικού. Μέτρο λοιπόν του βαθμού προσανατολισμού των μορίων του νηματικού ρευστού γύρω από τη διεύθυνση του κατευθυντή αποτελεί η παράμετρος τάξης S που ορίζεται από τη σχέση : (1.1) όπου το σύμβολο της αγκύλης υποδηλώνει μέση τιμή και θ είναι η γωνία που σχηματίζει το κάθε μόριο με τη διεύθυνση του κατευθυντή. Οι τιμές της παραμέτρου S κυμαίνονται μεταξύ 0 και 1. Η μηδενική τιμή αντιστοιχεί σε πλήρη αποπροσανατολισμό (δηλαδή αναγόμαστε στην περίπτωση ενός ισότροπου υγρού), ενώ η τιμή 1 αντιστοιχεί σε τέλειο προσανατολισμό των μορίων. Λόγω της θερμικής κίνησης των μορίων ποτέ δεν επιτυγχάνεται τέλειος προσανατολισμός. Συνήθως σε ένα νηματικό υγρό κρύσταλλο η μέγιστη τιμή της παραμέτρου S είναι 0,6-0,8, ενώ σε ένα σμηγματικό μεσογόνο το S είναι περίπου 0,9 και αλλάζει ελάχιστα με τη θερμοκρασία. Η θερμοκρασιακή εξάρτηση της παραμέτρου S για ένα νηματικό υγρό έχει τη μορφή : 15

17 TC TN TC TN όπου : T CN είναι η θερμοκρασία μετατροπής από την κρυσταλλική φάση στη νηματική και T NI είναι η θερμοκρασία μετατροπής από νηματικό σε ισότροπο υγρό. 1.4 Ανισοτροπία Στα ισότροπα υλικά, χαρακτηριστικές ιδιότητες του μέσου, όπως η ηλεκτρική αγωγιμότητα, το ιξώδες κ.α. έχουν μία και μοναδική τιμή για όλες τις διευθύνσεις κατά τις οποίες εφαρμόζεται ένα εξωτερικό πεδίο (ή κατά τις οποίες ρέει το υγρό εάν αναφερόμαστε στο ιξώδες). Η ύπαρξη εξέχουσας διεύθυνσης στα νηματικά ρευστά έχει ως αποτέλεσμα η ισοτροπία να αίρεται. Το νηματικό ρευστό (γενικά όλα τα υγροκρυσταλλικά υλικά) εμφανίζει διαφορετικές ιδιότητες σε διεύθυνση παράλληλη στον κατευθυντή και διαφορετικές σε διεύθυνση κάθετη σε αυτόν. Έχουμε, λοιπόν, δύο χαρακτηριστικές τιμές για την αγωγιμότητα, δύο για το ιξώδες, κλπ. Οι ιδιότητες αυτές θα εκφράζονται πλέον με τανυστές δεύτερης τάξης, που θα έχουν δύο ανεξάρτητα στοιχεία, οπότε αν ένας τέτοιος τανυστής θα ισχύει :, όπου ο μοναδιαίος τανυστής. Η σχέση αυτή εφαρμόζεται για οποιονδήποτε από τους τανυστές διηλεκτρικής συμπεριφοράς, μαγνητικής διαπερατότητας, ηλεκτρικής αγωγιμότητας, θερμικής αγωγιμότητας κλπ, οι οποίοι ουσιαστικά συνδέουν γραμμικά δύο διανυσματικά πεδία, που λόγω της ανισοτροπίας δεν είναι παράλληλα. Για την περίπτωση της μονοαξονικής νηματικής φάσης, οι τανυστές της μαγνητικής επιδεκτικότητας και της διηλεκτρικής επιτρεπτότητας, αν 16

18 θεωρήσουμε ότι η διεύθυνση του κατευθυντή συμπίπτει με τη διεύθυνση z σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων, γράφονται : (1.2) Μέτρο της ανισοτροπίας, που εμφανίζει ένα νηματικό ρευστό, όσον αφορά την αγωγιμότητα του, αποτελεί η διαφορά. Η ποσότητα αυτή ονομάζεται ανισοτροπία της αγωγιμότητας. Ανάλογες σχέσεις μπορούμε να γράψουμε και για τις υπόλοιπες ιδιότητες των νηματικών ρευστών, οπότε θα έχουμε η ανισοτροπία της μαγνητικής επιδεκτικότητας και η διηλεκτρική ανισοτροπία. Το είναι αδιάστατο μέγεθος στο CGS και οι αριθμητικές τιμές του είναι της τάξης του για υγρούς κρυστάλλους που έχουν αρωματικούς δακτυλίους, ενώ η τάξη μεγέθους του μειώνεται για κάθε βενζοϊκό δακτύλιο που αντικαθίσταται από κυκλοεξάνιο. Αρνητική ανισοτροπία έχει παρατηρηθεί σε καθαρά κυκλοαλιφατικούς υγρούς κρυστάλλους. Το μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός αριθμός, ανάλογα με το αν τα μόρια του υλικού φέρουν μόνιμα δίπολα ή όχι. Τόσο το, όσο και το, παίζουν καθοριστικό ρόλο στις ιδιότητες ενός υγρού κρυστάλλου και στη συμπεριφορά του υπό την επίδραση εξωτερικού πεδίου. Για την ακρίβεια, αυτά τα μεγέθη καθορίζουν την τάση των μορίων να προσανατολισθούν σε σχέση με το πεδίο. Για παράδειγμα, εάν <0, τότε τα μόρια τείνουν να προσανατολισθούν κάθετα στη διεύθυνση του εξωτερικού πεδίου. Ενδιαφέρον παρουσιάζει, επίσης, η οπτική ανισοτροπία των υγρών κρυστάλλων, που είναι η αιτία της διπλοθλαστικότητας που εμφανίζουν. Δηλαδή, μια φωτεινή ακτίνα που είναι πολωμένη κατά τη διεύθυνση του κατευθυντή διαδίδεται με διαφορετική ταχύτητα από ότι ακτίνα πολωμένη κάθετα σε αυτόν. Οι μονοαξονικοί υγροί κρύσταλλοι έχουν δύο δείκτες διάθλασης : α) τον τακτικό δείκτη διάθλασης, n ο, που σχετίζεται με τη διάδοση φωτός πολωμένου κάθετα στον οπτικό άξονα και β) τον έκτακτο δείκτη διάθλασης, n e, που σχετίζεται με τη διάδοση φωτός πολωμένου παράλληλα στον οπτικό άξονα. Στις μονοαξονικές νηματικές φάσεις, η διεύθυνση του οπτικού άξονα συμπίπτει με τη διεύθυνση του κατευθυντή. 17

19 Οπτικός άξονας (α) (β) Σχήμα 1.4 : Διάδοση του φωτός για την κυρίως νηματική φάση. α) Διάδοση κάθετα στον οπτικό άξονα. β)διάδοση παράλληλα στον οπτικό άξονα. Η οπτική ανισοτροπία εξαρτάται από τη θερμοκρασία και καθορίζεται από τη σχέση. Για ραβδοειδή μόρια το Δn είναι θετικό, με τιμές από 0,02 έως 0,4, ενώ για την περίπτωση δισκοειδών μορίων το Δn είναι αρνητικό. Οι διηλεκτρικές σταθερές ε i είναι όλες μη αρνητικές και συναρτήσεις της κυκλικής συχνότητας, ω, του ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται στο μέσο, όταν δε το μέσο είναι διαφανές συνδέονται με τους αντίστοιχους δείκτες διάθλασης, n i, με τις σχέσεις ε i =n i 2. Έτσι, για μονοαξονικούς νηματικούς υγρούς κρυστάλλους, αν θεωρήσουμε ότι η διεύθυνση του οπτικού άξονα συμπίπτει με τον άξονα z : 18

20 (1.3) Για ένα μονοχρωματικό κύμα που διαδίδεται σε τέτοιου είδους υλικά, η λύση της εξίσωσης Fresnel (που είναι από τις βασικές εξισώσεις της οπτικής των ανισότροπων μέσων) θα δίνεται από τη σχέση : (1.4) όπου n ο δείκτης διάθλασης του υλικού κατά τη διεύθυνση διάδοσης και θ η γωνία που σχηματίζει το κάθετο στην ισοφασική επιφάνεια του κύματος μοναδιαίο διάνυσμα με τον οπτικό άξονα z. 1.5 Θεωρία ελαστικότητας νηματικών μεσοφάσεων Η τάση των μορίων για κοινό προσανατολισμό, προσδίδει στους υγρούς κρυστάλλους ενδιαφέρουσες μηχανικές ιδιότητες, καθώς εμφανίζουν ελαστική συμπεριφορά. Κάθε προσπάθεια να παραμορφώσουμε την ομοιόμορφη διάταξη των κατευθυντών και τη δομή των μοριακών στοιβάδων, έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ελαστικής δύναμης επαναφοράς. Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται κυρτοελαστικότητα και οι σταθερές αναλογίας μεταξύ των παραμορφώσεων και των δυνάμεων επαναφοράς ονομάζονται ελαστικές σταθερές. Θεωρούμε ένα ελαφρώς παραμορφωμένο μέσο, δηλαδή οι μεταβολές στον προσανατολισμό του κατευθυντή ( φάση) γίνονται αντιληπτές πάνω από απόσταση, μεγαλύτερη του μήκους, που είναι ένα μήκος της τάξης του μήκους του μορίου ( ) [6]. Η μεσόφαση, λοιπόν, αποκτά επιπλέον ελεύθερη ενέργεια (ελαστική ή ενέργεια παραμόρφωσης), σε σχέση με την αδιατάρακτη κατάσταση. Η ελεύθερη ενέργεια ανά μονάδα όγκου του μέσου θα είναι : (1.5) όπου, κατάστασης και : η ελεύθερη ενέργεια ανά μονάδα όγκου της αδιατάρακτης : η ελαστική ελεύθερη ενέργεια ανά μονάδα όγκου. Μια παραμόρφωση που μπορεί να συμβεί στον κατευθυντή, από οποιαδήποτε αιτία και αν προέρχεται, δεν είναι η ίδια σε όλη τη μάζα του υλικού, αλλά μεταβάλλεται βαθμιαία από σημείο σε σημείο, γι αυτό θα περιγράφεται από το διανυσματικό πεδίο. Εφόσον, θα πρέπει, η μεταβολή του κατευθυντή κατά ένα μήκος της τάξης του μήκους 19

21 του μορίου, να είναι πολύ μικρότερη από τη μονάδα, δηλαδή. Βάσει αυτού του περιορισμού η έκφραση της ελαστικής ελεύθερης ενέργειας (ανά μονάδα όγκου) παίρνει τη μορφή : (1.6) Οι συντελεστές ονομάζονται σταθερές ελαστικότητας και είναι 81 στο σύνολό τους. Αν αξιοποιήσουμε τις συμμετρίες της νηματικής φάσης (κυλινδρική συμμετρία, μη πολικότητα) μόνο τρεις από τους συντελεστές είναι ανεξάρτητοι και μη μηδενικοί. Έτσι τελικά, καταλήγουμε στην εξίσωση του Frank για την ελαστική ελεύθερη ενέργεια των μονοαξονικών νηματικών υλικών εκπεφρασμένη σαν συνάρτηση των επιμέρους παραμορφώσεων του κατευθυντή : (1.7) όπου, οι σταθερές είναι γνωστές ως ελαστικές σταθερές του Frank [6] και σχετίζονται με τρία βασικά είδη παραμόρφωσης : 1. Την απόκλιση, (splay) 2. Τη στρέψη, (twist) 3. Την κάμψη, (bend) 20

22 (α) (β (γ) Σχήμα 1.5 : Οι δυνατές παραμορφώσεις του κατευθυντή για την απλή νηματική φάση. α) παραμόρφωση τύπου S (splay). β) παραμόρφωση τύπου T (twist). γ) παραμόρφωση τύπου Β (bend). Οι σταθερές ελαστικότητας έχουν διαστάσεις δύναμης και η τάξη μεγέθους τους είναι από 10-7 μέχρι 10-6 dynes [3]. Στα νηματικά ρευστά ισχύει. Οι μικρές τιμές για τα k φανερώνουν ότι για τη δημιουργία βάθμωσης του κατευθυντή απαιτείται μικρό ποσό ενέργειας. 1.6 Ελεύθερη ενέργεια υπό την επίδραση εξωτερικών πεδίων Η ελαστική ελεύθερη ενέργεια, που δίνεται από τη σχέση (1.7), είναι η συνολική ελεύθερη ενέργεια ενός νηματικού υλικού, στην περίπτωση απουσίας μαγνητικού ή ηλεκτρικού πεδίου. Στην περίπτωση επίδρασης τέτοιων πεδίων, θα πρέπει να προστεθεί στη σχέση (1.7) και η ανά μονάδα όγκου ελεύθερη μαγνητική ενέργεια : 21

23 (1.8) καθώς και η ανά μονάδα όγκου ελεύθερη ηλεκτρική ενέργεια : (1.9) Στην κατάσταση ισορροπίας η ολική ελεύθερη ενέργεια θα δίνεται από τη σχέση : (1.10) όπου η ολοκλήρωση θα γίνει σε όλο τον όγκο του υλικού και θα ληφθούν υπ όψιν οι οριακές συνθήκες για τη διεύθυνση του κατευθυντή, διότι οι συνθήκες προσανατολισμού που επικρατούν στα τοιχώματα της κυψελίδας, που φέρει το νηματικό υγρό, είναι καθοριστικής σημασίας για τον προσανατολισμό των μορίων σε όλο τον όγκο του υλικού και στη συμπεριφορά του υλικού υπό την επίδραση εξωτερικών πεδίων. Η απαίτηση ελαχιστοποίησης της ολικής ελεύθερης ενέργειας, με τις μεταβολές του κατευθυντή, οδηγεί στην εξίσωση Euler-Lagrange : (1.11) όπου : με, και ισχύει η σύμβαση για άθροιση των όρων με επαναλαμβανόμενους δείκτες. Το παριστάνει την αλλαγή του σε ένα σταθερό σημείο στο χώρο και πρέπει να ισχύει. Η παράσταση ονομάζεται μοριακό πεδίο, ονομασία που δόθηκε από τον de Gennes [3] και έχει τις ρίζες της στη θεωρία του σιδηρομαγνητισμού. Στην κατάσταση ισορροπίας ο προσανατολισμός του συμπίπτει με αυτόν του. Το σύνολο των εξωτερικών (λόγω πεδίου) και εσωτερικών (λόγω ελαστικότητας) δυνάμεων που ενεργούν στον κατευθυντή, μπορούν να περιγραφούν με τη βοήθεια του μοριακού πεδίου. Η φυσική του σημασία είναι ότι το εκφράζει τις ροπές που δρουν πάνω στον κατευθυντή. Μπορούμε να κάνουμε την εξής παρατήρηση για τις σχέσεις (1.8) και (1.9). Εάν αγνοήσουμε τις οριακές συνθήκες, θεωρώντας το νηματικό υγρό σε μεγάλη έκταση, τότε στην περίπτωση που το F B γίνεται ελάχιστο όταν, ενώ αν τότε το F B γίνεται ελάχιστο όταν. Αντίστοιχα στην περίπτωση του ηλεκτρικού πεδίου η διεύθυνση κατά την οποία τείνει να προσανατολιστεί ο κατευθυντής (κάθετα ή παράλληλα στο πεδίο) καθορίζεται από το πρόσημο του. Μετάβαση Freedericsz 22

24 Ο όρος μετάβαση Freedericsz αναφέρεται στην παραμόρφωση ενός στρώματος υγρού κρυστάλλου με ομοιόμορφη κατανομή του κατευθυντή μέσω εξωτερικού πεδίου. Η μετάβαση αυτή εκδηλώνεται πάνω από μία τιμή κατωφλίου του εφαρμοζόμενου πεδίου. Πρόκειται για την πιο απλή μέθοδο μέτρησης των ελαστικών σταθερών και επιπλέον παρέχει τη βάση της θεωρίας των οθονών υγρών κρυστάλλων. Χρειάζονται τρεις βασικές διαμορφώσεις : (α) (β (γ) Σχήμα 1.6 : Γεωμετρίες για την παρατήρηση του φαινομένου Freedericsz 1. Ένα μαγνητικό πεδίο πχ εφαρμόζεται κάθετα στην επιφάνεια ενός cell με επίπεδο προσανατολισμό (homogeneous alignment). Λόγω της θετικής μαγνητικής ανισοτροπίας του υλικού, τα μόρια στο μέσο του cell στρέφονται παράλληλα στο πεδίο, ενώ τα μόρια στα άκρα του διατηρούν τον προσανατολισμό τους. Έχει δημιουργηθεί απόκλιση μεταξύ της επιφάνειας και του μέσου του cell, (σχήμα 1.6α). 23

25 2. Αν το μαγνητικό πεδίο εφαρμοστεί παράλληλα στην επιφάνεια του cell αλλά κάθετα στον κατευθυντή του υλικού, θα παρατηρηθεί στρέψη, (σχήμα 1.6β). 3. Σε ένα cell με ομοιοτροπικό προσανατολισμό (homeotropic alignment) εφαρμόζουμε μαγνητικό πεδίο παράλληλα στην επιφάνεια του cell και κάθετα στον κατευθυντή. Σε αυτήν την περίπτωση παρατηρούμε κάμψη, (σχήμα 1.6γ). Το μαγνητικό πεδίο κατωφλίου που απαιτείται για να δημιουργήσουμε τις τρεις αυτές γεωμετρίες δίνεται από τη σχέση : i=1, 2, 3 (1.12) όπου d είναι το πάχος του δείγματος. Η περίπτωση εφαρμογής ηλεκτρικού πεδίου είναι πιο περίπλοκη. Το γεγονός οφείλεται στο ότι, το παίρνει πολύ μεγαλύτερες τιμές από ότι το, κάτι που σημαίνει ότι πάνω από το κατώφλι η επαγόμενη ηλεκτρική πόλωση δεν θα είναι πλέον παράλληλη στο εξωτερικό πεδίο και το ηλεκτρικό πεδίο δεν θα είναι ενιαίο σε όλο το δείγμα (μόνο η τάση). Ένα επιπλέον πρόβλημα προκύπτει από δείγματα που είναι αγώγιμα, καθώς θα πρέπει να συνυπολογίσουμε και την ανισοτροπία της αγωγιμότητας. Εάν αγνοήσουμε αυτές τις δυσκολίες, μπορούμε να πάρουμε εκφράσεις για την τάση κατωφλίου ανάλογες με την περίπτωση του μαγνητικού πεδίου : όπου : το i=1, 2, 3 (1.13) >0. Παρατηρούμε ότι η τάση κατωφλίου είναι ανεξάρτητη του πάχους του δείγματος και μόνο η διηλεκτρική ανισοτροπία εισάγεται ως παράμετρος. Στην περίπτωση πάντως της επίδρασης ηλεκτρικού πεδίου πάνω σε νηματική μεσόφαση επιβάλλεται μία πιο προσεκτική θεώρηση [10], ειδικά σε μεσοφάσεις με αρνητική διηλεκτρική ανισοτροπία, όπου η επίδραση της αγωγιμότητας στον αναπροσανατολισμό του κατευθυντή είναι πιο έκδηλη. Τότε εμφανίζεται μια σειρά φαινομένων, γνωστών με τον όρο ηλεκτροϋδροδυναμικές (EHD) αστάθειες, που είναι το αντικείμενο που θα αναπτύξουμε διεξοδικά στο επόμενο κεφάλαιο. Προς το παρόν, θα αναφέρουμε το εξής. Τα υλικά που εμφανίζουν αυτού του είδους τις αστάθειες είναι μονομοριακά/διμερή/πολυμερή και χαρακτηρίζονται από αρνητική διηλεκτρική ανισοτροπία και θετική ανισοτροπία στην αγωγιμότητα. Η συμπεριφορά των μορίων μεσόφασης με <0, που θα περίμενε να δει κανείς υπό την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου, θα ήταν ένας αναπροσανατολισμός του κατευθυντή κάθετος στη 24

26 διεύθυνση του πεδίου (ανεξάρτητα αν το πεδίο είναι συνεχές ή εναλλασσόμενο). Αντί αυτού, όταν το πεδίο είναι συνεχές ή εναλλασσόμενο χαμηλής συχνότητας, εμφανίζεται ένας αναπροσανατολισμός του κατευθυντή που τείνει να γίνει παράλληλος προς το πεδίο (ανώμαλος προσανατολισμός) και μόνο όταν η συχνότητα γίνει αρκετά υψηλή, ο προσανατολισμός γίνεται κάθετος. Οι EHD αστάθειες που εμφανίζει το υλικό, ανιχνεύονται είτε εξετάζοντας το δείγμα με μικροσκόπιο, είτε ηλεκτροοπτικά καθώς εμφανίζονται κροσσοί συμβολής, όταν φωτεινή παράλληλη δέσμη διέλθει από το δείγμα. Η ανίχνευση των κροσσών συμβολής παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον, τόσο λόγω των εφαρμογών που έχει, όσο και λόγω των πληροφοριών για τις φυσικές σταθερές των υλικών που παρέχει. 1.7 Φαινόμενα ροής στα νηματικά ρευστά Για την κατασκευή εξίσωσης που θα περιγράφει τη ροή ενός ρευστού, πρέπει να λάβουμε υπόψη όλες τις δυνάμεις που δρουν σε αυτό. Σε ένα σύνηθες ρευστό οι δυνάμεις είναι τριών ειδών : η πίεση στα τοιχώματα, η εσωτερική τριβή (ιξώδες) και πιθανόν κάποιο εξωτερικό δυναμικό πεδίο (πχ πεδίο βαρύτητας). Αυτό που κάνει τη μελέτη των ανισότροπων ρευστών δυσκολότερη από εκείνη των ισότροπων είναι η έκφραση των δυνάμεων του ιξώδους. Για ένα νηματικό ρευστό του οποίου η συμπιεστότητα θεωρείται αμελητέα, ο τανυστής ιξώδους περιγράφεται από το άθροισμα 6 ανεξάρτητων όρων [7] : (1.14) όπου : α i (i=1,2,..6) οι συντελεστές ιξώδους του νηματικού υγρού, που ονομάζονται συντελεστές Leslie, η δε τιμή τους εξαρτάται από τη θερμοκρασία και την πίεση και είναι ο τανυστής της βαθμίδας της ταχύτητας ροής του ρευστού, είναι συμμετρικός και οι συνιστώσες του ορίζονται από τη σχέση : με i,j=1,2,3 (1.15) Το είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής του κατευθυντή ως προς το ρευστό και δίνεται από τη σχέση : (1.16) Ξαναγυρνώντας στη σχέση (1.14) για την έκφραση του τανυστή ιξώδους, πρέπει να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις. Οι τέσσερεις πρώτοι όροι 25

27 οφείλονται στη βάθμωση της ταχύτητας του ρευστού, ενώ οι δύο τελευταίοι στη μεταβολή της διεύθυνσης ως προς σύστημα που κινείται μαζί με το ρευστό. Από τους 6 συντελεστές μόνο οι 5 είναι ανεξάρτητοι και συγκεκριμένα ισχύει η σχέση α 6 -α 5 =α 3 +α 2 που ονομάζεται εξίσωση Parodi [8]. Ωστόσο, για να διευκολυνθούν οι πράξεις μας, καθώς θα καταστρώνουμε τις εξισώσεις κινήσεως του νηματικού ρευστού, εισάγουμε μία νέα ομάδα συντελεστών [9] (που σχετίζονται με τους συντελεστές α i ) Για να χαρακτηρίσουμε πλήρως ένα νηματικό ρευστό χρειάζονται 5 διαφορετικοί συντελεστές ιξώδους. Οι τρεις από αυτούς εκφράζουν τη ροή σε σχέση με τη διεύθυνση του κατευθυντή και οι υπόλοιποι δύο λαμβάνουν υπόψη, ο ένας την περιστροφή του κατευθυντή και ο άλλος τη σύζευξη μεταξύ του κατευθυντή και του μοτίβου της ροής. Για ένα προσανατολισμένο δείγμα νηματικού ρευστού προκύπτουν οι εξής συντελεστές : : ο κατευθυντής είναι κάθετος στη ροή και παράλληλος στη βάθμωση της ταχύτητας. : ο κατευθυντής είναι παράλληλος στη ροή και κάθετος στη βάθμωση της ταχύτητας. : ο κατευθυντής είναι κάθετος στη ροή και κάθετος στη βάθμωση της ταχύτητας. : ο κατευθυντής βρίσκεται σε γωνία 45 o με τη ροή και τη βάθμωση της ταχύτητας. Οι συντελεστές αυτοί είναι γνωστοί ως συντελεστές Miesowicz [10]. Οι τρεις πρώτοι είναι αντισυμμετρικοί και μόνο ο τελευταίος είναι συμμετρικός και έχει σχετικά μικρή τιμή. 26

28 Σχήμα 1.7 : Οι ανισότροποι συντελεστές ιξώδους που χρειάζονται για να χαρακτηρίσουμε ένα νηματικό ρευστό. Όταν παρατηρείται περιστροφή του μορίου γύρω από άξονα κάθετο στον κατευθυντή, προκύπτει ένας επιπλέον συντελεστής ιξώδους,. Ο συντελεστής αυτός είναι πολύ σημαντικός στον αναπροσανατολισμό του κατευθυντή, όταν πρόκειται για την εφαρμογή εξωτερικού πεδίου. Στις οθόνες υγρών κρυστάλλων, ο χρόνος χαλάρωσης τ είναι ανάλογος του γ 1 d 2, όπου d το πάχος του δείγματος. Η τιμή του συντελεστή γ 1 για 27

29 νηματικούς υγρούς κρυστάλλους είναι στην περιοχή από μερικά εκατοστά του Poise μέχρι και μερικά Poise. Η μακροσκοπική κίνηση των νηματικών ρευστών μπορεί να περιγραφεί πλήρως, εάν θεωρήσουμε τον υγρό κρύσταλλο σαν ένα συνεχές μέσο. Χρειάζεται να προσδιοριστούν δύο πεδία : το πεδίο της ταχύτητας, που δίνει τη ροή του νηματικού ρευστού και το πεδίο του κατευθυντή, που θα περιγράφει την τοπική κατάσταση του προσανατολισμού. Ο σκοπός μας είναι να γράψουμε τις εξισώσεις κίνησης των ν και. Το κύριο αίτιο της διαφοράς ανάμεσα στα νηματικά και τα ισότροπα ρευστά είναι η περιστροφή των μοριακών αξόνων (δηλαδή του κατευθυντή), ακόμα και όταν τα κέντρα μάζας των μορίων παραμένουν ακίνητα (δηλαδή όταν δεν υπάρχει ροή). Ορίζουμε τη γωνιακή ταχύτητα του κατευθυντή : (1.17) και η εξίσωση κίνησης του κατευθυντή μπορεί να γραφεί ως : (1.18) όπου : Ι είναι η ανά μονάδα όγκου ροπή αδράνειας για τον μοριακό επαναπροσανατολισμό, ο δεύτερος όρος της εξίσωσης περιγράφει τη ροπή ανά μονάδα όγκου που δρα στον κατευθυντή λόγω των ελαστικών, ηλεκτρικών και μαγνητικών δυνάμεων και ο τρίτος όρος περιγράφει τη ροπή που ασκείται στον κατευθυντή από τις δυνάμεις εσωτερικής τριβής, η οποία γράφεται ως : με (1.19) Με αντίστοιχο σκεπτικό, μπορούμε να καταστρώσουμε την εξίσωση της μεταφορικής κίνησης, όπου θα συμπεριληφθεί η ανισοτροπία του ρευστού. Η επιθυμητή εξίσωση είναι η : (1.20) όπου : ρ η πυκνότητα του υγρού, p η πίεση στο εσωτερικό του υγρού και η ανά μονάδα όγκου δύναμη που οφείλεται στην ελεύθερη ενέργεια. Οι σχέσεις (1.18) και (1.20) είναι οι ζητούμενες εξισώσεις για την περιστροφική και τη μεταφορική κίνηση, αντίστοιχα, του νηματικού ρευστού. Και στις δύο εξισώσεις υπεισέρχεται η εσωτερική τριβή. Όπως αναφέρθηκε πιο πριν, οι συντελεστές ιξώδους μπορούν να φτάσουν την τιμή μερικών Poise. Ο Helfrich [11] και η ομάδα Υγρών κρυστάλλων του Orsay [12], μετά από σύγκριση του αδρανειακού όρου της κάθε εξίσωσης με τον αντίστοιχο όρου ιξώδους, δέχονται την απάλειψη του αδρανειακού όρου, χωρίς αισθητό σφάλμα. Έτσι, στην εξίσωση (1.18) η τάξη μεγέθους του Ι (μοριακός συντελεστής αδράνειας) είναι ρα 2, όπου ρ η πυκνότητα του υλικού (της τάξεως του 1 28

30 gr/cm 3 ) και α το μοριακό μήκος ( ). Επομένως, ο αδρανειακός όρος θα είναι της τάξης του ω 2 gr/cm, όπου ω η γωνιακή συχνότητα που διεγείρει το υλικό. Στο άλλο μέλος της ίδιας εξίσωσης, για τον όρο του ιξώδους γ 1 Ν (με γ 1 ~10-1 gr/cmsec) θα έχουμε μια τάξη μεγέθους 10-1 ωgr/cmsec, που είναι πολύ μεγαλύτερη από το ω 2 gr/cm του πρώτου μέλους, άρα ο αδρανειακός όρος μπορεί να παραλειφθεί. Με παρόμοιους συλλογισμούς μπορεί να παραλειφθεί ο αδρανειακός όρος ρdv/dt στη σχέση (1.20). Επομένως οι δύο εξισώσεις μπορούν να γραφούν εκ νέου : (1.21) που συχνά αναφέρεται σαν εξίσωση ισορροπίας των ροπών που δρουν στον κατευθυντή και : (1.22) Οι εξισώσεις για τον κατευθυντή και την ταχύτητα του νηματικού ρευστού, μαζί με την εξίσωση συνέχειας για το ασυμπίεστο ρευστό (1.23) είναι αυτές, που η επίλυσή τους θα οδηγήσει στον προσδιορισμό των συναρτήσεων, και, εάν είναι γνωστές οι αρχικές και οι οριακές συνθήκες καθώς και τα εφαρμοζόμενα εξωτερικά πεδία. 29

31 Κεφάλαιο Δεύτερο Ηλεκτροϋδροδυναμικές αστάθειες των νηματικών μεσοφάσεων 30

32 2.1 Οι περιοχές Williams Μεταξύ όλων των μεσόμορφων καταστάσεων, οι νηματικές είναι αυτές που συγκέντρωσαν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον των ερευνητών, αφ ενός λόγω της σχετικά απλής μοριακής δομής τους και αφ ετέρου λόγω των ηλεκτροοπτικών φαινομένων τα οποία παρουσιάζουν. Ένα πείραμα που έμεινε ιστορικό στην έρευνα των μεσοφάσεων, είναι το πείραμα του Williams [13], που έγινε το Ο Williams τοποθέτησε ανάμεσα σε δύο αγώγιμα γυάλινα πλακίδια δείγμα από το νηματογόνο p-azoxyanisole (PAA). Το σύστημα θερμάνθηκε σε θερμοκρασία στην περιοχή των 117 ο C 137 o C, όπου το PAA είναι νηματικό. Εφαρμόζοντας εναλλασσόμενη τάση, με συχνότητα 1 kh ή και συνεχή, παρατήρησε ότι όταν αυτή γινόταν ίση με μία τιμή της τάξεως των 10 V, τότε το νηματικό στρώμα, που εξέταζε με ένα μικροσκόπιο, παρουσίαζε μία σειρά από λωρίδες (αυλακώσεις), με εύρος της τάξεως του πάχους του δείγματος (από 10μ. έως 100μ.). Παρατήρησε επίσης, πως από την τιμή της τάσεως κατωφλίου και πάνω το νηματικό στρώμα παρουσίαζε έντονη σκέδαση του φωτός. Οι αυλακώσεις που παρατήρησε ο Williams έγιναν γνωστές με το όνομα περιοχές Williams (Williams domains), όχι επειδή ήταν ο πρώτος που τις ανακάλυψε, αλλά επειδή ήταν ο πρώτος που προσπάθησε να δώσει μία εξήγηση του φαινομένου. Σύμφωνα με τον Williams, λοιπόν, οι λωρίδες που παρουσίαζε το υλικό, δεν μπορούν παρά να ερμηνευθούν ως μία περιοδικότητα στην χωρική κατανομή του κατευθυντή, που είναι και ο οπτικός άξονας του έντονα διπλοθλαστικού PAA. 31

33 Η τάση κατωφλίου, όπως θα περίμενε κανείς και όπως θα φανεί παρακάτω, είναι στενά συνδεδεμένη με τις φυσικές σταθερές των νηματικών υλικών. Επομένως, η γνώση της έχει μεγάλη σημασία, τόσο στη μελέτη των υλικών αυτών, όσο και στη μελέτη των EHD ασταθειών που παρουσιάζουν. Η σημασία της γίνεται ακόμα μεγαλύτερη τη στιγμή που οι περισσότερες θεωρίες, που προσεγγίζουν την ερμηνεία του φαινομένου, προϋποθέτουν ότι η τάση διέγερσης των υλικών βρίσκεται πολύ κοντά σε αυτήν. Η εμφάνιση των περιοχών Williams δεν είναι μία ακριβής μέθοδος προσδιορισμού της τάσης κατωφλίου. Όπως παρατήρησε και ο ίδιος ο Williams, οι περιοχές που παρουσιάζει το υλικό πρέπει να οφείλονται σε κάποια περιοδικότητα στην κατανομή του κατευθυντή στο χώρο. Η περιοδικότητα όμως αυτή του κατευθυντή μπορεί να αρχίσει πριν από την οπτική εμφάνιση των περιοχών Williams. Έτσι, είναι ορθότερο να θεωρηθεί σαν τάση κατωφλίου, η τιμή της διαφοράς δυναμικού στην οποία αρχίζει να παρουσιάζεται η κυμάτωση του κατευθυντή. Η κυμάτωση ανιχνεύεται από τον σχηματισμό κροσσών συμβολής, εάν φωτεινή δέσμη διέλθει από το νηματικό υλικό, κάθετα στον οπτικό του άξονα και στα πλακίδια που το φέρουν. 32

34 μέτωπο κυμάτωση z x μέτωπο πόλωση Μέτωπο Σχήμα 2.1 : Ο αρχικός προσανατολισμός του κατευθυντή είναι παράλληλος προς τον άξονα x. Λόγω της αρνητικής διηλεκτρικής ανισοτροπίας θα έπρεπε η παραμόρφωση λόγω του πεδίου Ε(z), να γίνεται παράλληλα προς τον άξονα Οx. Εάν φωτεινή δέσμη, παράλληλη στον άξονα z, και με επίπεδο πόλωσης παράλληλο στον άξονα x, προσπέσει επάνω στο νηματικό υλικό, τότε λόγω της ανισοτροπίας του δείκτη διάθλασης αλλά και της κυμάτωσης του κατευθυντή (ο οπτικός άξονας είναι παράλληλος στον κατευθυντή) δεν ακολουθείται η ευθύγραμμη πορεία μέσα στο υλικό. Αυτό, επειδή, λόγω της (1.4), στις περιοχές μέγιστης παραμόρφωσης του κατευθυντή, ο δείκτης διάθλασης n γίνεται ελάχιστος (no<n<ne), ενώ στις περιοχές όπου δεν υπάρχει παραμόρφωση, γίνεται μέγιστος (n=n e ). Έτσι, οι ακτίνες αποκλίνουν και εστιάζουν στα σημεία F1 και F2. Εάν το προσπίπτον φως 33

35 είναι πολωμένο κατά τον άξονα y, οι εστίες εξαφανίζονται, κάτι που σημαίνει πως τα μόρια παραμένουν στο επίπεδο xz. 2.2 Ο ανώμαλος προσανατολισμός και το μοντέλο Carr-Helfrich Τα πειραματικά αποτελέσματα του Williams υπήρξαν ένας ακόμη κρίκος σε μία αλυσίδα από αναπάντητα ερωτήματα, σχετικά με τον προσανατολισμό του κατευθυντή υπό την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου σε νηματικά υλικά με αρνητική διηλεκτρική ανισοτροπία, όπως είναι το PAA. Πιο συγκεκριμένα, όταν ένα νηματικό υλικό με αρνητική διηλεκτρική ανισοτροπία ( ) υπόκειται σε ένα συνεχές ή εναλλασσόμενο πεδίο, τότε θα περίμενε κανείς τον προσανατολισμό του κατευθυντή κάθετο προς το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο. Αντίθετα, πολλά πειράματα, μεταξύ των οποίων και το πείραμα του Williams, έδειξαν πως όταν το ηλεκτρικό πεδίο ήταν συνεχές ή εναλλασσόμενο με χαμηλή συχνότητα, τότε ο μέσος μοριακός προσανατολισμός παρουσίαζε μία τάση να γίνει παράλληλος προς το ηλεκτρικό πεδίο. Το φαινόμενο αυτό, που ονομάστηκε ανώμαλος προσανατολισμός, βρήκε την πλήρη ερμηνεία του με τις εργασίες των Carr [14]-[18] και Helfrich [11],[19]. Σύμφωνα με τον Carr, για την ερμηνεία του ανώμαλου προσανατολισμού θα πρέπει να ληφθεί υπόψη, εκτός από τη διηλεκτρική ανισοτροπία, και η μικρή μεν (και θετική), αλλά ανισότροπη, αγωγιμότητα της νηματικής μεσοφάσεως. Η ανισοτροπία της αγωγιμότητας προκαλεί, με την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου, συσσώρευση φορτίων χώρου σε περιοχές τοπικής παραμόρφωσης του κατευθυντή. Τέτοιες περιοχές υπάρχουν πάντα σε μία νηματική φάση και είναι ανάλογες προς τις ατέλειες των στερεών κρυστάλλων. Η συσσώρευση αυτή των φορτίων χώρου προκαλεί, με την παρουσία πάντοτε του ηλεκτρικού πεδίου, πρόσθετες δυνάμεις που, μέσω των φορτίων, προκαλούν υδροδυναμική ροή του υλικού. Η ροή αυτή προκαλεί διατμητικές τάσεις, που σύμφωνα με τη θεωρία των Ericksen [20] και Leslie [7],[21] τείνουν να προσανατολίσουν τον κατευθυντή παράλληλα με τη διεύθυνση της ροής, παράλληλα δηλαδή προς το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο. Με βάση το μηχανισμό που πρότεινε ο Carr, ο Helfrich διατύπωσε μια θεωρία για την ερμηνεία του φαινομένου που παρατήρησε ο Williams. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, η συσσώρευση των φορτίων χώρου έχει δύο συνέπειες, αφενός δημιουργείται ένα τοπικό ηλεκτρικό πεδίο που έχει διεύθυνση παράλληλη στη διεύθυνση του κατευθυντή, με επακόλουθο 34

36 την επενέργεια ροπής πάνω στα μόρια του υγρού κρυστάλλου, που τείνει να τα προσανατολίσει κάθετα στην αρχική διεύθυνση (ε α <0, επομένως τα μόρια φέρουν μόνιμα δίπολα κάθετα στον μεγάλο μοριακό άξονα), αφετέρου λόγω της επίδρασης του εξωτερικού πεδίου δημιουργείται μία κίνηση των συσσωρευμένων φορτίων, παράλληλα προς το πεδίο, με συνέπεια τη (λόγω του ιξώδους) δράση μηχανικής ροπής στα μόρια, η οποία είναι της ίδιας φοράς με τη ροπή λόγω φορτίων χώρου. Σε αυτές τις δύο ροπές δρουν ανταγωνιστικά η ροπή από το εξωτερικό πεδίο, λόγω της αρνητικής διηλεκτρικής ανισοτροπίας του υλικού, και η ροπή που προέρχεται από τις κυρτοελαστικές τάσεις. Σχήμα 2.2 : Ο ανώμαλος προσανατολισμός σύμφωνα με το μηχανισμό Carr-Helfrich. Οι καμπύλες παριστάνουν την κατανομή του κατευθυντή στο χώρο. είναι το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο, είναι η ταχύτητα ροής του νηματικού υλικού. Στην περίπτωση του σχήματος. είναι η ροπή των ζευγών δυνάμεων που εξασκούνται, από το ηλεκτρικό πεδίο, πάνω στα φορτία χώρου. Το αν θα παρατηρηθεί ηλεκτροϋδροδυναμική ροή ή όχι, εξαρτάται από τη σχέση ισορροπίας ανάμεσα στις τέσσερεις αυτές ροπές. Στην τάση κατωφλίου οι δύο πρώτες ροπές μόλις που υπερισχύουν των άλλων δύο, προκαλώντας έτσι το φαινόμενο του ανώμαλου προσανατολισμού. Για τάσεις κάτω από την τάση κατωφλίου η συσσώρευση των φορτίων χώρου είναι μικρή, έτσι οι ελαστικές και οι διηλεκτρικές ροπές υπερισχύουν των άλλων δύο, με αποτέλεσμα το νηματικό υλικό να διατηρεί τον αρχικό 35

37 προσανατολισμό του. Αντίθετα, σε μεγάλες τάσεις δημιουργούνται τυρβώδεις ροές με αποτέλεσμα την απώλεια κάθε είδους κανονικότητας στην κατανομή του κατευθυντή. Στην περίπτωση αυτή, το νηματικό υλικό παρουσιάζει έντονη σκέδαση του φωτός που προσπίπτει επάνω του, λόγω της μεγάλης διπλοθλαστικότητάς του. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε δυναμική σκέδαση (Dynamic Scattering-DS) και η ηλεκτροοπτική εφαρμογή του οφείλεται στον Heilmeier [22] (αν και ένα παρόμοιο φαινόμενο παρατηρήθηκε από τον Bjornstahl). Για την ιστορία, το φαινόμενο DS οδήγησε στην πρώτη επιτυχή εμπορική εφαρμογή των συστημάτων απεικόνισης (displays) και αναζωπύρωσε το επιστημονικό και τεχνολογικό ενδιαφέρον για τους υγρούς κρυστάλλους. Η τιμή κατωφλίου της τάσεως που διεγείρει το σύστημα, για την οποία τα φορτία χώρου είναι μόλις ικανά να προκαλέσουν ροή και επομένως παραμόρφωση του κατευθυντή, δίνεται σύμφωνα με τους υπολογισμούς του Helfrich από την εξίσωση : (2.1) όπου. Να σημειωθεί πως, σύμφωνα με τη θεώρηση του Helfrich, η παραμόρφωση του κατευθυντή είναι τύπου Β (bend), γι αυτό στη σχέση (2.1) υπεισέρχεται μόνο η ελαστική σταθερά k 3. Σύμφωνα με τη σχέση (2.1), το κατώφλι της τάσεως διεγέρσεως, για να προκληθεί παραμόρφωση, είναι ανεξάρτητο από το πάχος του νηματικού στρώματος (δηλαδή το πάχος του δείγματος). Η τιμή που βρίσκει κανείς χρησιμοποιώντας τις φυσικές σταθερές του MBBA είναι περίπου 3 V, τιμή πολύ μικρότερη από την πειραματικά παρατηρούμενη (~6.5 V). Συντελεστές Ιξώδους για το ΜΒΒΑ (Poise-25 o C) Συντελεστές Leslie α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 (α 3 +α 2 +α 5 ) γ 1 (α 3 -α 2 ) 36

38 Συντελεστές Miesowicz η 1 (-α 2 +α 4 +α 5 )/ 2 η 2 (α 3 +α 4 +α 6 )/ 2 η 3 (α 4 /2) 2.3 Παρατηρήσεις πάνω στη θεωρία του Helfrich Η θεωρία του Helfrich για την ερμηνεία του φαινομένου των περιοχών Williams είχε δύο ατέλειες. Η πρώτη από αυτές συνδέεται με την υπόθεση ότι η τάση που διεγείρει το νηματικό στρώμα είναι συνεχής. Μπορεί όμως να αποδειχθεί [23] ότι στην περίπτωση αυτή, για να διατηρηθεί ο μηχανισμός που πρότεινε ο Helfrich, θα πρέπει να υπάρχει μία συνεχής τροφοδοσία ιόντων από τα τοιχώματα προς το νηματικό υλικό. Η συνεχής όμως, αυτή τροφοδοσία ιόντων θα προκαλεί μια άλλη μορφή ηλεκτροϋδροδυναμική αστάθεια, την αστάθεια Felici [24], που παρατηρείται σε ένα οποιοδήποτε διηλεκτρικό υγρό, είτε ισότροπο είτε ανισότροπο. Το κατώφλι της αστάθειας Felici είναι της ίδιας τάξεως με το κατώφλι του σχηματισμού των περιοχών Williams [25]. Τα πειράματα που έγιναν με συνεχή διέγερση νηματικών στρωμάτων δείχνουν ότι η αστάθεια που δημιουργείται είναι μάλλον αστάθεια Felici, αφού παρατηρείται και σε θερμοκρασίες στις οποίες το νηματογόνο είναι ισότροπο [26],[27]. Η αστάθεια Felici δεν παρατηρείται όταν η διέγερση γίνεται με εναλλασσόμενη τάση [24]. Η μικρότερη συχνότητα, πέραν της οποίας δεν θα είναι απαραίτητη η παροχή ιόντων προς το νηματικό υλικό, μπορεί να εκτιμηθεί ως εξής. Έστω L το πάχος του νηματικού στρώματος, V η τάση που επικρατεί στα τοιχώματα του και μ η μέση ευκινησία των ιόντων. Ο μέσος χρόνος διαδρομής των ιόντων θα είναι : (2.2) 37

39 όπου υ η μέση ταχύτητα των ιόντων. Κάνοντας χρήση της σχέσης Einstein, που συνδέει την ευκινησία ενός ιόντος με τη σταθερά διάχυσης του, και υποθέτοντας ότι τα ιόντα είναι μονοσθενή βρίσκουμε : (2.3) όπου e το στοιχειώδες φορτίο, D η μέση σταθερά διάχυσης των ιόντων, k η σταθερά Boltzmann και Τ η θερμοκρασία. Από τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι : (2.4) Για το ΜΒΒΑ πχ, Τ~300 ο Κ, D~10-7 cm 2 /sec. Για ένα στρώμα πάχους L~25μ, υπό την επίδραση τάσεως 10V, θα βρούμε τ~0.3 sec. Άρα, όταν η ημιπερίοδος της τάσης είναι μικρότερη από 0.3 sec, όταν δηλαδή η τάση έχει συχνότητα μεγαλύτερη από 1.7 Hz, τότε η αστάθεια Felici δεν θα παρατηρηθεί, η δε παροχή ιόντων προς το νηματικό υλικό δε θα είναι απαραίτητη για τη συντήρηση του μηχανισμού Helfrich. Δεδομένου ότι, για τόσο χαμηλές συχνότητες, η τάση κατωφλίου δεν εξαρτάται από τη συχνότητα [28], θα λέγαμε ότι η θεωρία Helfrich προβλέπει τη συμπεριφορά του νηματικού υλικού στην περιοχή αυτή των συχνοτήτων. Η δεύτερη ατέλεια της θεωρίας του Helfrich αναφέρεται στην υπόθεση ότι η μόνη συντεταγμένη, από την οποία εξαρτώνται οι μεταβλητές του προβλήματος, είναι αυτή που ανήκει στον άξονα που είναι παράλληλος προς τη διεύθυνση του προσανατολισμού του αδιατάρακτου νηματικού στρώματος. Η παραδοχή αυτή καθιστά τη θεωρία ανίκανη να υπολογίσει την περίοδο της παραμόρφωσης (το εύρος δηλαδή των περιοχών Williams). Για να καταλήξει στο αποτέλεσμα (2.1), ο Helfrich δέχεται ότι ο κυματάριθμος της παραμόρφωσης είναι π/l, με L το πάχος του νηματικού στρώματος. Ενώ, για είναι σε θέση κανείς να προβλέψει την τιμή του κυματάριθμου της παραμορφώσεως, θεωρητικά θα πρέπει να λάβει υπόψη του τις οριακές συνθήκες του συστήματος πάνω στα δύο αγώγιμα πλακίδια, πράγμα που αναγκαστικά θα τον οδηγήσει σε δισδιάστατες εξισώσεις, με δεύτερη διάσταση τον κάθετο άξονα προς τα δύο πλακίδια. Ανεξάρτητα από τις παρατηρήσεις αυτές, θα πρέπει να γίνει παραδεκτό ότι η θεωρία του Helfrich είναι αυτή που ερμήνευσε το φαινόμενο των περιοχών Williams και άνοιξε το δρόμο για τη λεπτομερέστερη επεξεργασία του προβλήματος. 2.4 Θεωρίες που βασίζονται στον μηχανισμό Carr-Helfrich 38

40 Οι Heilmeier και Helfrich [29], εφαρμόζοντας σε ένα νηματικό στρώμα υψηλή εναλλασσόμενη τάση, ανακάλυψαν μία δεύτερη μορφή ηλεκτροϋδροδυναμικής αστάθειας, που την ονόμασαν αστάθεια ταχείας αποκατάστασης επειδή οι χρόνοι αποκρίσεως του νηματικού στρώματος ήταν πολύ μικρότεροι απ ότι στην περίπτωση του πειράματος Williams. Η ύπαρξη της αστάθειας ταχείας αποκατάστασης προβλέπεται από τη θεωρία της ομάδας του Orsay [30]-[32]. Η θεωρία της ομάδας αυτής είναι μονοδιάστατη, δέχεται όμως ότι η τάση που διεγείρει το νηματικό υλικό είναι εναλλασσόμενη, είτε ημιτονοειδής είτε τετραγωνική και διατυπώνει δύο πρωτοβάθμιες διαφορικές εξισώσεις από τις οποίες διέπεται η συμπεριφορά του α) την εξίσωση του φορτίου : (2.5) όπου q είναι το ανά μονάδα όγκου φορτίο χώρου, ψ είναι η κάμψη του κατευθυντή κατά μήκος της διεύθυνσης προσανατολισμού ( ), Ε είναι η στιγμιαία τιμή του ηλεκτρικού πεδίου, σ Η σταθερά με διαστάσεις αγωγιμότητας που σχετίζεται με το μηχανισμό Carr (για το ΜΒΒΑ ) και τ είναι ο χρόνος αποκατάστασης του φορτίου, δηλαδή ο χρόνος διηλεκτρικής αποκατάστασης : (2.6) β) την εξίσωση του κατευθυντή : (2.7) όπου T ο χρόνος μοριακής αποκατάστασης (του κατευθυντή) και η συντελεστής με διαστάσεις ιξώδους. Για την ακρίβεια : (2.8) όπου k ο κυματάριθμος της παραμόρφωσης και,,. Αποδεικνύεται ότι η >0, επομένως για υλικά με ε α <0 τα η, α, β θα είναι πάντα θετικά. Τα κυριότερα συμπεράσματα της θεωρίας του Orsay είναι τα εξής. 39

41 Ανάλογα με τη συχνότητα και την τιμή της τάσεως, το νηματικό στρώμα εμφανίζει δύο ειδών ηλεκτροϋδροδυναμικές αστάθειες : την αστάθεια αγωγιμότητας και τη διηλεκτρική αστάθεια. Κατά την αστάθεια αγωγιμότητας τα φορτία χώρου εναλλάσσονται (τα θετικά με τα αρνητικά) σε κάθε ημιπερίοδο της εφαρμοζόμενης τάσης, η κάμψη όμως του κατευθυντή παραμένει σταθερή (δηλαδή δεν εναλλάσσονται τα όρη με τις κοιλάδες). Αντίθετα, κατά τη διηλεκτρική αστάθεια τα φορτία κατέχουν περίπου σταθερή θέση μέσα στο υλικό, οι καμπύλες όμως της κάμψης του κατευθυντή κάνουν ταλάντωση, που θυμίζει στάσιμο κύμα. Κάθε τμήμα της καμπύλης είναι κάθετο στο συνιστάμενο πεδίο. Η αστάθεια αγωγιμότητας, που είναι αυτή που οδηγεί στη δημιουργία των περιοχών Williams, εμφανίζεται όταν η συχνότητα είναι τέτοια ώστε, η δε τάση κατωφλίου αυξάνει με τη συχνότητα μέχρι μιας συχνότητας αποκοπής f c, πέραν της οποίας δεν παρατηρείται αστάθεια του τύπου αυτού. Η συχνότητα αποκοπής είναι ανάλογη της αγωγιμότητας και εξαρτάται από την καθαρότητα του νηματικού υλικού. Η (ενεργός) τάση κατωφλίου θα είναι ίση με : (2.9) όπου V είναι μία σταθερά που εξαρτάται από την ελαστική σταθερά k 3 και τις διηλεκτρικές σταθερές του υλικού και ζ μία παράμετρος ανισοτροπίας που δίνεται από τη σχέση : (2.10) Η κυκλική συχνότητα αποκοπής θα δίνεται από τη σχέση : (2.11) Όταν εμφανίζεται η διηλεκτρική αστάθεια. Σε αυτήν την περίπτωση τα φορτία χώρου δεν μπορούν να ακολουθήσουν την ταλάντωση του ηλεκτρικού πεδίου (λόγω της υψηλής συχνότητας) και η κάμψη του κατευθυντή γίνεται χρονικά εξαρτώμενη. Η αστάθεια αυτή χαρακτηρίζεται από τάσεις κατωφλίου πολύ μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες τάσεις της αστάθειας αγωγιμότητας και αυξάνουν με τη συχνότητα σύμφωνα με τη σχέση : (2.12) όπου τα ε και η είναι κατάλληλοι συνδυασμοί των διηλεκτρικών συντελεστών και των συντελεστών ιξώδους. 40

42 Η διηλεκτρική αστάθεια είναι η αστάθεια ταχείας αποκατάστασης που παρατήρησαν οι Heilmeier και Helfrich. Κατά την εξέταση του υλικού μέσω μικροσκοπίου το νηματικό ρευστό δεν εμφανίζει πλέον τις παράλληλες αυλακώσεις των περιοχών Williams. Τώρα οι νηματικές περιοχές σχηματίζουν οξείες γωνίες μεταξύ τους και έχουν την ονομασία chevron, δηλαδή γαλόνια. (α) (β) Σχήμα 2.3 : α) Περιοχές Williams, β) Το μοτίβο των chevron Ο κυματάριθμος παραμορφώσεως, στην αστάθεια αγωγιμότητας, είναι της τάξεως του αντίστροφου του πάχους του νηματικού στρώματος, ενώ η διηλεκτρική αστάθεια χαρακτηρίζεται από κυματάριθμους μεγαλύτερους κατά μία τάξη μεγέθους. Η τάση κατωφλίου για την αστάθεια αγωγιμότητας είναι σχεδόν ανεξάρτητη από το πάχος του δείγματος, ενώ η τάση κατωφλίου για τη διηλεκτρική αστάθεια είναι ανάλογη προς το πάχος του δείγματος. Δηλαδή, η διηλεκτρική αστάθεια χαρακτηρίζεται από πεδίο κατωφλίου. 41

43 Υπάρχει μία περιοχή συχνοτήτων, αρκετά μεγάλη για την περίπτωση διεγέρσεως με τετραγωνικούς παλμούς, πολύ μικρότερη για ημιτονοειδή διέγερση, στην οποία το νηματικό στρώμα, εκτός από τάση κατωφλίου, παρουσιάζει και άνω όριο τάσεως για αστάθεια αγωγιμότητας. Η περιοχή αυτή των συχνοτήτων λέγεται μεταβατική περιοχή, άνω όριο της οποίας είναι η συχνότητα αποκοπής f c. Τέλος, η μεταβολή του κυματάριθμου παραμορφώσεως της διηλεκτρικής αστάθειας με τη συχνότητα παρουσιάζει ένα μέγιστο, ενώ ο κυματάριθμος αυτός πρέπει σε κάποια συχνότητα να μηδενίζεται [33]. 42

44 διηλεκτρική αστάθεια αστάθεια περιοχή σταθερότητας Σχήμα 2.4 : Γραφική παράσταση της πειραματικής μεταβολής της τάσης κατωφλίου σε σχέση με τη συχνότητα, για διέγερση με Α : ημιτονοειδείς παλμούς και Β : τετραγωνικούς παλμούς. Η συχνότητα f c είναι η μεγαλύτερη συχνότητα 43

45 στην οποία παρατηρείται αστάθεια αγωγιμότητας (είναι η συχνότητα αποκοπής), ενώ η συχνότητα ft ονομάζεται μεταβατική συχνότητα. Η περιοχή μεταξύ των fc και ft ονομάζεται μεταβατική περιοχή, όπου ανάλογα με την εφαρμοζόμενη τάση μπορεί να εμφανισθεί αστάθεια μόνο αγωγιμότητας ή μόνο διηλεκτρική αστάθεια. Είναι εμφανές από το σχήμα πως η μεταβατική περιοχή είναι μεγαλύτερη στην περίπτωση διέγερσης με τετραγωνικούς παλμούς. 2.5 Παρατηρήσεις πάνω στη μονοδιάστατη θεωρία του Orsay Η θεωρία του Orsay υπήρξε το δεύτερο ουσιαστικό βήμα στην έρευνα των φαινομένων που συνεπάγεται η παρουσία ηλεκτρικού πεδίου σε μία νηματική φάση. Ο πειραματικός της έλεγχος [28],[34],[35] έδειξε ότι η θεωρία είναι ποιοτικά σωστή. Η μόνη αδυναμία της θεωρίας βρίσκεται στο ότι είναι μονοδιάστατη. Επακόλουθα αυτού είναι : 1. Αδυνατεί να υπολογίσει τον κυματάριθμο παραμορφώσεως αγωγιμότητας, τον οποίο και δέχεται ίσο προς π/l. Είναι όμως γνωστό από μετρήσεις [36],[37], ότι ο κυματάριθμος αυτός αυξάνει με τη συχνότητα (ή την τάση). 2. Οι ποσοτικές της προβλέψεις περιορίζονται στην ακρίβεια της τάξεως μεγέθους, όπως πχ στην περίπτωση του κατωφλίου αστάθειας αγωγιμότητας (3 V έναντι 6.5 V που είναι η πειραματική τιμή). 3. Σαν μονοδιάστατη που είναι προσεγγίζει καλύτερα την πραγματικότητα σε περιοχή μεγάλων κυματάριθμων. Πλην όμως, ο μηδενισμός του κυματάριθμου της διηλεκτρικής παραμορφώσεως δεν επαληθεύεται από το πείραμα [38]. 2.6 Δισδιάστατη θεωρία των EHD ασταθειών Η εισαγωγή της δεύτερης διάστασης και των οριακών συνθηκών πάνω στα τοιχώματα του νηματικού στρώματος περιπλέκει πολύ το μαθηματικό πρόβλημα του προσδιορισμού του κατωφλίου τάσεως για τη δημιουργία περιοδικής παραμόρφωσης στο νηματικό στρώμα. Λύση στο πρόβλημα έδωσαν εργαζόμενοι ανεξάρτητα οι Penz και Ford [39] αφενός και ο Pikin [40],[41] αφετέρου, με την υπόθεση πάντοτε ότι η διεγείρουσα τάση είναι συνεχής. Η λύση τους συνιστάται στη διατύπωση των γραμμικοποιημένων εξισώσεων του προβλήματος, στην εφαρμογή των οριακών συνθηκών και στην επίλυση του συστήματος των εξισώσεων που προκύπτουν μέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή. 44

46 Η μέθοδος είναι σωστή και οι προβλέψεις της για την τάση κατωφλίου και τον κυματάριθμο δεν αποκλίνουν στο μεγαλύτερο μέρος από τα πειραματικά δεδομένα. Μία γενίκευση της μεθόδου αυτής για την περίπτωση της διέγερσης με εναλλασσόμενη τάση είναι λόγω της πολυπλοκότητας του προβλήματος πρακτικά ανέφικτη. Πιο γρήγορη θα είναι μία μέθοδος η οποία αφού λάβει υπόψη της τις δύο διαστάσεις και τις οριακές συνθήκες, θα κάνει ορισμένες παραδοχές για τα μεγέθη που περιγράφουν την κατάσταση του υλικού, όταν αυτό βρίσκεται πολύ κοντά στο κατώφλι της αστάθειας, οι οποίες θα οδηγήσουν σε γραμμικοποίηση της θεωρίας και την απλοποίηση και λύση του σύνθετου αυτού μαθηματικού προβλήματος. Ο Χ. Ζεγκίνογλου [42] στη διδακτορική διατριβή του παρουσίασε μία τέτοια μέθοδο, θεωρητικού υπολογισμού της τάσης κατωφλίου και του κυματάριθμου. Η σύμπτωση της με τα πειραματικά δεδομένα είναι αρκετά ικανοποιητική, επειδή δε οι προβλέψεις της χρησιμοποιούνται στα επόμενα κεφάλαια αναφέρεται περιληπτικά παρακάτω. Έστω νηματικό υλικό τοποθετημένο ανάμεσα σε παράλληλα αγώγιμα πλακίδια και ομοιογενώς προσανατολισμένο ( ) κατά τον άξονα x (ο προσανατολισμός επιτυγχάνεται με την εφαρμογή εξωτερικού μαγνητικού πεδίου στη διεύθυνση του επιθυμητού προσανατολισμού, λόγω της θετικής ανισοτροπίας της μαγνητικής επιδεκτικότητας που παρουσιάζουν όλες οι νηματικές φάσεις). Έστω ακόμα, L η απόσταση ανάμεσα στις αγώγιμες επιφάνειες των πλακιδίων η οποία θεωρείται πολύ μικρότερη από τις διαστάσεις των πλακιδίων. Εάν τα πλακίδια συνδεθούν με γεννήτρια εναλλασσόμενης τάσης V=V(t) με μηδενική μέση τιμή, αναζητούνται οι οριακές ενεργές τιμές της V(t) για να παρουσιάσει το σύστημα παραμόρφωση. z L θ x Σχήμα 2.5 : Η γεωμετρία της κυψελίδας που φέρει το υλικό Η θεωρία [42]-[45] αυτή βασίζεται σε παραδοχές οι οποίες ενώ απλοποιούν το πρόβλημα δεν απέχουν από την πραγματική εικόνα του συστήματος. 45

47 Παραδοχή πρώτη : Τα φορτία χώρου, η ταχύτητα ροής και η παραμόρφωση του κατευθυντή είναι μεγέθη τόσο μικρά, εφόσον το σύστημα βρίσκεται στο κατώφλι της αστάθειας (στην αδιατάρακτη κατάσταση και τα τρία μεγέθη μηδενίζονται), ώστε σε όλες τις μαθηματικές εκφράσεις αυτών των μεγεθών να διατηρούνται μόνο οι όροι πρώτης τάξης. Η παραδοχή αυτή δεν είναι προσέγγιση, επειδή το ζητούμενο είναι η οριακή συνθήκη της αστάθειας. Παραδοχή Δεύτερη : Καμία από τις μεταβλητές του προβλήματος δεν εξαρτάται από τη συντεταγμένη y, αφού το σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μία μεταφορά κατά μήκος του άξονα y. Επομένως,, οπότε η παραμόρφωση του κατευθυντή θα πραγματοποιείται κατά τον άξονα z και αν η γωνία του με τον άξονα x τότε : (2.13) Η ταχύτητα ροής θα είναι παράλληλη στο επίπεδο xz, δηλαδή : (2.14) Επομένως η εξίσωση συνέχειας θα πάρει τη μορφή : (2.15) Μετά τις παραδοχές αυτές, είναι δυνατή πλέον η εξαγωγή των εξισώσεων, που θα περιγράψουν τη συμπεριφορά του νηματικού υλικού στην περιοχή που βρίσκεται πολύ κοντά στο κατώφλι της EHD αστάθειας. Οι εξισώσεις αυτές θα είναι : Η εξίσωση της ορμής Από τη διανυσματική εξίσωση της κίνησης (1,22), θεωρώντας ότι σύμφωνα με τα παραπάνω η συνιστώσα y της ταχύτητας ροής είναι μηδέν, όλες δε οι μεταβλητές είναι ανεξάρτητες της y, από την εξίσωση του τανυστή ιξώδους (1.14) διατηρώντας μόνο τους όρους πρώτης τάξης, από την εξίσωση συνέχειας (2.15) και τέλος από τη σχέση που δίνει τη δύναμη του ηλεκτρικού πεδίου (με ) λαμβάνεται η εξίσωση της ορμής που θα έχει τη μορφή : (2.16) με, και 46

48 Η εξίσωση (2.16) είναι ο νόμος της αδράνειας διατυπωμένος για το σύστημα του σχήματος 2.5 και συσχετίζει το ρυθμό μεταβολής της z συνιστώσας της ανά μονάδα όγκου ορμής του νηματικού υλικού με τις εξωτερικές δυνάμεις και τις διατμητικές τάσεις ιξώδους. Η εξίσωση της στροφορμής Εντελώς ανάλογα, από την εξίσωση (1.21) που εκφράζει τη διατήρηση της στροφορμής στο νηματικό υλικό (δηλαδή την ισορροπία των ελαστικών, ηλεκτρικών και διατμητικών ροπών), τους ορισμούς (1.11), (1.15), (1.16) και έχοντας υπόψη τις πιο πάνω παραδοχές και την εξίσωση συνέχειας (2.15) λαμβάνεται η εξίσωση της στροφορμής : (2.17) όπου Ε είναι το πεδίο που οφείλεται στο φορτίο χώρου. Η εξίσωση (2.17) εκφράζει την ισορροπία των ελαστικών, ηλεκτρικών και διατμητικών ροπών στο νηματικό στρώμα και άρα τη διατήρηση της στροφορμής. Οι ηλεκτρικές εξισώσεις Το σύστημα το υδροδυναμικών εξισώσεων (2.16) και (2.17) συμπληρώνεται από τις εξισώσεις που θα προέλθουν από την εφαρμογή των νόμων της ηλεκτροστατικής στο νηματικό υλικό. Ο νόμος του Gauss : Η αρχή διατήρησης του φορτίου :, όπου η πυκνότητα του ρεύματος με, όπου και οι τανυστές αγωγιμότητας και ιοντικής διάχυσης αντίστοιχα Εφαρμόζοντας τις παραδοχές που αρχικά ετέθησαν, ο νόμος του Gauss σε συνδυασμό με το αστρόβιλο του ηλεκτρικού πεδίου μέσα στο υλικό ( ) γράφεται : ενώ η αρχή διατήρησης φορτίου θα δώσει : (2.18) (2.19) Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (2.16) έως (2.19) με άγνωστους τις μεταβλητές ψ, q, u z, και Ε x, είναι αυτό που πρέπει να επιλυθεί για να 47

49 προσδιορισθεί η οριακή συνθήκη αστάθειας του νηματικού υλικού. Η μαθηματική του επίλυση είναι αδύνατη, αλλά δυνατή είναι η αριθμητική του επίλυση μέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή. Πιο γρήγορη λύση μπορεί να προκύψει αν, παρακάμπτοντας με κάποιες προσεγγίσεις τη μαθηματική αυστηρότητα, απλοποιηθούν οι πιο πάνω εξισώσεις, χωρίς βέβαια οι προσεγγίσεις αυτές να είναι αυθαίρετες ή να μη βρίσκονται κοντά στην πραγματική κατάσταση του υλικού. Έτσι σύμφωνα με τον Ζεγκίνογλου, αν δεχθούμε το μηχανισμό Carr-Helfrich, τότε για πολύ μικρές παραμορφώσεις ψ του κατευθυντή, η σχέση ανάμεσα στα φορτία χώρου q και στην παραμόρφωση ψ θα είναι γραμμική (τη στιγμή μάλιστα που για ψ=0 συνεπάγεται ότι και q=0). Γραμμική θα είναι και η σχέση ανάμεσα στην κλίση του (η οποία σύμφωνα με το νόμο του Gauss οφείλεται στην παρουσία των φορτίων χώρου) και στην παραμόρφωση ψ, επομένως υπάρχει αναλογία μεταξύ των συναρτήσεων q(x,z,t), και. Η παραδοχή που γίνεται εδώ είναι ότι, εφόσον υπάρχει η αναλογία, οι τρεις πιο πάνω μεταβλητές θα προκύπτουν από την ίδια χωρική συνάρτηση, άρα είναι δυνατόν να εκφραστούν με τις σχέσεις : (2.20) όπου τελικά, αν η χωρική συνάρτηση g(x,z) γραφεί με τη μορφή του γινομένου δύο συναρτήσεων g 1 (x)g 2 (z) θα δίνεται από τη σχέση :, m=π/l (2,21) όπου C σταθερά και k ο κυματάριθμος της παραμόρφωσης. Να σημειωθεί πως η περιοδικότητα της παραμόρφωσης εκδηλώνεται στη διεύθυνση του αρχικού προσανατολισμού (xx ). Επομένως, αν Λ η περίοδος της παραμόρφωσης, τότε k=2π/λ. Σχετικά με τις τιμές του m, πιο σωστά πρέπει να γραφεί. Αποδεικνύεται όμως ότι η τιμή του n που προβλέπει τη μικρότερη τάση κατωφλίου ή τη μεγαλύτερη τιμή του άνω ορίου είναι η n=1. Μετά από αντικατάσταση των (2.20) στο σύστημα (2.16)-(2.19) προκύπτει το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων : (2.22) 48

50 όπου (2.23) με,, (2.24) και (2.25) όπου S είναι ένα μέγεθος που δείχνει τον κυματάριθμο της παραμόρφωσης σε σχέση με το πάχος του νηματικού υλικού (S=k/m, θα παρατηρηθεί για n=1). Να σημειωθεί πως αστάθεια αγωγιμότητας 2.7 Παρατηρήσεις πάνω στη δισδιάστατη θεωρία Η δισδιάστατη θεωρία καταλήγει σε ένα σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων, εκ των οποίων η μεν πρώτη συνδέει τη χρονική συμπεριφορά των φορτίων χώρου με την κάμψη του κατευθυντή (η οποία είναι υπεύθυνη σύμφωνα με το μηχανισμό Carr-Helfrich, για τη δημιουργία των φορτίων χώρου), η δε δεύτερη τη χρονική μεταβολή της κάμψης του κατευθυντή με τα φορτία που δημιουργούνται, σύμφωνα με το μηχανισμό Carr-Helfrich από τις περιοδικές παραμορφώσεις μέσα στο υλικό. Για m=0 οι εξισώσεις (2.22) ανάγονται στις (2.5) και (2.7). Η τιμή m=0 υποδηλώνει πως το νηματικό στρώμα είναι τόσο παχύ ( ), ώστε η επίδραση των τοιχωμάτων στη συμπεριφορά του είναι αμελητέα. 49

51 Δύο επισημάνσεις που καταδεικνύουν την υπεροχή της δισδιάστατης θεωρίας έναντι της μονοδιάστατης του Orsay είναι οι εξής : Αφενός μπορεί να υπολογίσει τον κυματάριθμο της παραμόρφωσης (στην αστάθεια αγωγιμότητας) για κάθε συχνότητα διέγερσης, σε αντίθεση με τη μονοδιάστατη όπου θεωρείται αυθαίρετα ίσος με π/l. Αφετέρου οι ποσοτικές της προβλέψεις (τάσεις κατωφλίου) είναι κατά πολύ πιο κοντά στα πειραματικά δεδομένα. Οι συντελεστές και του θεωρούμενου συστήματος έχουν διαστάσεις αντίστροφου χρόνου. Ουσιαστικά είναι ένα μέτρο της ταχύτητας, με την οποία το φορτίο χώρου q και η κάμψη του κατευθυντή ψ αντίστοιχα ανταποκρίνονται σε μία μεταβολή στις συνθήκες διέγερσης. Κατά συνέπεια, οι χρόνοι αποκατάστασης του φορτίου τ και του κατευθυντή Τ θα δίνονται από τις σχέσεις : και (2.26) Ένας υπολογισμός με βάση τις φυσικές σταθερές του ΜΒΒΑ δείχνει ότι το a 1 και επομένως ο χρόνος αποκατάστασης των φορτίων, κυμαίνεται σε τιμές της τάξης των msec και παρουσιάζει μικρή σχετικά εξάρτηση από το S. Αυτό συμβαίνει διότι, οι σταθερές διαχύσεως, λόγω της μικρής τους τιμής, έχουν μικρή συμβολή στο a 1, ενώ στο υπόλοιπο της έκφρασης για το a 1, το S υπεισέρχεται σε ένα κλάσμα με παραπλήσιους συντελεστές για το S 2. Αντίθετα, ο χρόνος αποκατάστασης του κατευθυντή παρουσιάζει μεγάλη εξάρτηση και από το ηλεκτρικό πεδίο και από τον κυματάριθμο της παραμορφώσεως. Κατά συνέπεια, η περιοχή διέγερσης με μικρές τάσεις και μικρούς κυματάριθμους παραμόρφωσης (περιοχή χαμηλών συχνοτήτων στην αστάθεια αγωγιμότητας) χαρακτηρίζεται από μικρές τιμές για το a 2 και συνεπώς μεγάλους χρόνους αποκατάστασης για τον κατευθυντή. 50

52 Κεφάλαιο Τρίτο Θεωρία της μεθόδου προσδιορισμού της τάσης κατωφλίου 51

53 3.1 Εισαγωγή Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη πειραματικής μεθόδου για τον προσδιορισμό του κατωφλίου της αστάθειας αγωγιμότητας, βασιζόμενοι στην εξάρτηση του χρόνου αποκατάστασης του κατευθυντή, Τ, από την τιμή του εξωτερικά εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου. Όταν η εφαρμοζόμενη τάση τείνει στην τιμή κατωφλίου, ο ρυθμός εξασθένισης, 1/Τ, του κατευθυντή τείνει στο μηδέν. Επομένως, η γραφική παράσταση του 1/Τ σε συνάρτηση με την εφαρμοζόμενη τάση, μας επιτρέπει να καθορίσουμε την τάση κατωφλίου της αστάθειας αγωγιμότητας. Επιπλέον, η εξάρτηση του χρόνου αποκατάστασης από μετρήσιμες ποσότητες, όπως το πάχος του νηματικού στρώματος, οι ελαστικές σταθερές και οι συντελεστές ιξώδους του υλικού, καθιστά τη μέτρηση του 1/Τ χρήσιμο εργαλείο για το χαρακτηρισμό ενός νηματικού υλικού. Η μέτρηση του ρυθμού εξασθένισης 1/Τ επιτυγχάνεται με οπτικά μέσα. Παρακάτω λοιπόν, εκτίθεται το θεωρητικό υπόβαθρο το απαραίτητο για τη διεξαγωγή του πειράματος. Η ανάπτυξη της πειραματικής μεθόδου της παρούσας εργασίας βασίζεται στη δημοσίευση της Ομάδας Υγρών Κρυστάλλων του Πανεπιστημίου Πάτρας On the measurement of the director relaxation time of a periodically reoriented nematic liquid crystal layer [46], η οποία συνιστάται στην εύρεση σχέσης μεταξύ της έντασης των φωτεινών κροσσών, που δημιουργούνται όταν μονοχρωματική φωτεινή ακτίνα διέλθει μέσω νηματικού στρώματος, και της παραμόρφωσης του κατευθυντή. Γνωρίζοντας τη σχέση έντασης παραμόρφωσης είναι δυνατόν, λαμβάνοντας κανείς το διαμόρφωμα της έντασης του πρώτου κροσσού στο χρονικό διάστημα που το εφαρμοζόμενο πεδίο είναι μηδέν (δηλαδή ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς παλμούς), να υπολογίζει το χρόνο αποκατάστασης του κατευθυντή. Να σημειωθεί πως για ό,τι πρόκειται να ειπωθεί παρακάτω, η συζήτηση περιορίζεται στην περίπτωση όπου για δεδομένη συχνότητα, η εφαρμοζόμενη τάση είναι ελάχιστα πιο υψηλή από την τάση κατωφλίου. Αυτή η κατάσταση, όπου η περιοδικότητα της παραμόρφωσης, όπως και ο αναπροσανατολισμός του κατευθυντή συνεχίζουν να υφίστανται, ονομάζεται κατάσταση ελάχιστα πιο πάνω από το κατώφλι (slightly above threshold conditions). 3.2 Η οπτική του προβλήματος 52

54 Ο σκοπός της δημοσίευσης On the measurement of the director relaxation time of a periodically reoriented nematic liquid crystal layer είναι η οπτική εξερεύνηση ενός νηματικού στρώματος, υπό συνθήκες ελάχιστα πιο πάνω από το κατώφλι, με στόχο το χαρακτηρισμό του νηματικού υλικού. Για ένα περιοδικά παραμορφωμένο στρώμα νηματικού ρευστού με αρχικό προσανατολισμό τον άξονα x (σχήμα 3.1), η γωνία παραμόρφωσης του κατευθυντή περιγράφεται με πολύ καλή προσέγγιση από τη σχέση : (3.1) υπό την προϋπόθεση ότι η γωνία της μέγιστης παραμόρφωσης (που ονομάζεται πλάτος παραμόρφωσης) είναι αρκετά μικρή ( ). Η σχέση (3.1) προκύπτει από τις (2.20) και (2.21), αν θεωρήσει κανείς ότι η χρονική εξάρτηση της παραμόρφωσης του κατευθυντή είναι ίδια με τη χρονική εξάρτηση της κάμψης. Αυτή η παραδοχή, η οποία δεν είναι προσέγγιση, ισχύει πάντα για συνθήκες περιοχής κατωφλίου. Σχήμα 3.1 : Η κατανομή του πεδίου του κατευθυντή και της ροής ενός περιοδικά παραμορφωμένου νηματικού στρώματος κατά την εμφάνιση ΕΗD αστάθειας. Στη σχέση (3.1) είναι η γωνία που σχηματίζει ο κατευθυντής με τον άξονα x, p=π/l όπου L είναι το πάχος του δείγματος και q=2π/λ είναι ο κυματάριθμος της παραμόρφωσης με Λ την περίοδο της παραμόρφωσης. Όταν ένα νηματικό στρώμα είναι παραμορφωμένο, σύμφωνα με τη θεωρία που έχουμε περιγράψει ως τώρα (για την αστάθεια αγωγιμότητας), φωτιστεί από μία μονοχρωματική πολωμένη στον άξονα x φωτεινή ακτίνα με κατεύθυνση στο επίπεδο xz, σχηματίζονται κροσσοί συμβολής. Το νηματικό στρώμα έχει μετατραπεί σε φράγμα περίθλασης και με την απαίτηση να διατηρούνται όροι πρώτης τάξης ως προς σε 53

55 όλες τις μαθηματικές εκφράσεις, η ένταση Ι n του νιοστού κροσσού θα δίνεται από τη σχέση [47],[48] : (3.2) όπου Α n είναι σταθερά που παρουσιάζει μικρή εξάρτηση από την τάξη του κροσσού, J n είναι συνάρτηση Bessel πρώτου είδους n τάξης και : (3.3) με λ το μήκος κύματος της φωτεινής ακτίνας, τη γωνία πρόσπτωσης της φωτεινής ακτίνας και g αδιάστατη ποσότητα της τάξεως της μονάδας, που εξαρτάται από τα p, q, και τους δείκτες διάθλασης του νηματικού υλικού. Η αναλογία 4L/λ, για προσπίπτουσα φωτεινή ακτίνα στην ορατή περιοχή του φάσματος είναι της τάξης του 100. Έτσι σύμφωνα με τις εξισώσεις (3.2) και (3.3), ακόμα και για πολύ μικρά, το όρισμα της συνάρτησης Bessel στην εξίσωση (3.2) μπορεί να είναι ίσο ή και μεγαλύτερο από τη μονάδα, εφόσον η γωνία πρόσπτωσης της φωτεινής ακτίνας είναι μη μηδενική ( ). Στην περίπτωση κάθετης πρόσπτωσης της φωτεινής ακτίνας ( ), παρατηρούμε πως Q=0 και σύμφωνα με την εξίσωση (3.2) I n =0, κάτι που σημαίνει πως για τον υπολογισμό της έντασης των φωτεινών κροσσών απαιτείται προσέγγιση δεύτερης τάξης ως προς. Για κάθετη πρόσπτωση, λοιπόν, η ένταση των φωτεινών κροσσών άρτιας τάξης (2n) θα δίνεται από τη σχέση [49] : όπου το εξαρτάται από την τάξη του κροσσού και, ενώ η ένταση των κροσσών περιττής τάξης αποδεικνύεται πως είναι σημαντικά μικρότερη (για μικρές γωνίες παραμόρφωσης του κατευθυντή, όπως ισχύει στη συγκεκριμένη πειραματική θεώρηση). Πιο συγκεκριμένα, για τόσο μικρές παραμορφώσεις μόνο ο κεντρικός κροσσός είναι πειραματικά ανιχνεύσιμος. Η αδυναμία της ανίχνευσης των φωτεινών κροσσών, στην περίπτωση που το νηματικό στρώμα βρίσκεται στο κατώφλι της EHD αστάθειας και η φωτεινή δέσμη προσπίπτει κάθετα σε αυτό, αίρεται στην περίπτωση που η πρόσπτωση γίνεται πλάγια. Επιπλέον, οι εξισώσεις (3.2) και (3.3) υποδηλώνουν πως, για αρκετά μικρή γωνία παραμόρφωσης, οι πιο έντονοι κροσσοί είναι αυτοί της πρώτης τάξης, κάτι που σημαίνει πως η οπτική διερεύνηση του νηματικού στρώματος (τόσο στην περίπτωση του On the measurement of the director relaxation time of a periodically 54

56 reoriented nematic liquid crystal layer, όσο και στην παρούσα εργασία) πραγματοποιείται μέσω της μέτρησης της έντασης του πρώτου φωτεινού κροσσού για πλάγια πρόσπτωση φωτεινής ακτίνας σε νηματικό στρώμα. 3.3 Η δυναμική συμπεριφορά του κατευθυντή Η χρονική εξάρτηση του πλάτους παραμόρφωσης του κατευθυντή ( ) καθορίζει, μέσω της ποσότητας Q (που ορίζεται από τη σχέση (3.3)), τη χρονική εξάρτηση της έντασης του πρώτου φωτεινού κροσσού (όπως ορίζεται από τη σχέση (3.2)). Σκεπτόμενοι αντιστρέφοντας αυτά τα δεδομένα μπορεί κανείς, εάν μετρήσει τη χρονική εξάρτηση της έντασης του πρώτου κροσσού, να μελετήσει την κίνηση του κατευθυντή σε συνθήκες κοντά στο κατώφλι, όπου οι εξισώσεις (3.2) και (3.3) έχουν ισχύ. Σύμφωνα με την προαναφερθείσα γραμμική θεωρία της ηλεκτροϋδροδυναμικής αστάθειας ενός ομοιογενώς προσανατολισμένου (homogeneous alignment) νηματικού ρευστού, η κίνηση του κατευθυντή και η συμπεριφορά του φορτίου χώρου περιγράφονται από τις εξισώσεις (2.22) τις οποίες θα ξαναγράψουμε λίγο διαφορετικά. Να σημειωθεί πως, ο αρχικός προσανατολισμός στο δείγμα έχει επιτευχθεί χωρίς τη χρήση μαγνητικού πεδίου, επομένως οι όροι που αναφέρονται σε αυτό παραλείπονται. (3.4) (3.5) όπου (3.6) με 55

57 (3.7) όπου ρ είναι η πυκνότητα του φορτίου χώρου, E=E(t)=V(t)/L είναι το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο νηματικό στρώμα και V(t) η εφαρμοζόμενη τάση στο δείγμα. Παρατηρούμε ότι οι ποσότητες τ, Τ, p 1, b 1 και b 2 εξαρτώνται από τις παραμέτρους του υλικού, όπως επίσης και από το πάχος του δείγματος και τον κυματάριθμο της παραμόρφωσης. Ειδικά οι ποσότητες τ και Τ, που είναι οι ήδη γνωστοί χρόνοι αποκατάστασης του φορτίου χώρου και του κατευθυντή αντίστοιχα, κυριαρχούν στη χρονική εξάρτηση των ρ και. Στην ειδική περίπτωση όπου, για πεπερασμένο χρονικό διάστημα, το ηλεκτρικό πεδίο μηδενίζεται, η εξίσωση (3.4) απλοποιείται στην παράσταση : (3.8) από όπου η χρονική εξάρτηση του θα είναι μία εξασθένιση της μορφής (3.9) όπου η χρονική στιγμή t=0 είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία το πεδίο Ε μηδενίζεται (και παραμένει μηδέν). Επομένως, μετρώντας την ένταση ενός κροσσού κατά το χρονικό διάστημα όπου το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδενικό και χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.2) και (3.3), μπορεί κανείς να προσδιορίσει πειραματικά το χρόνο αποκατάστασης του κατευθυντή. Η εξάρτηση του από τις ελαστικές σταθερές της κάμψης και της απόκλισης, όπως επίσης και από τους συντελεστές ιξώδους (σχέση (3.6)), επιτρέπει να υπολογίσουμε τουλάχιστον ένα συνδυασμό των παραμέτρων του υλικού που θα χρησιμοποιηθούν. 3.4 Το πείραμα για τον υπολογισμό του χρόνου αποκατάστασης Όπως αναφέρθηκε και πιο πριν, η όλη πειραματική προσπάθεια του On the measurement of the director relaxation time of a periodically reoriented nematic liquid crystal layer αποβλέπει στη μέτρηση της έντασης ενός από τους κροσσούς συμβολής που σχηματίζονται, όταν δέσμη λέιζερ διέλθει 56

58 υπό γωνία από νηματικό στρώμα, που βρίσκεται στην περιοχή κατωφλίου της αστάθειας αγωγιμότητας, αφήνοντας τον κατευθυντή να αποκατασταθεί πλήρως και να προσδιορισθεί η ακρίβεια με την οποία η χρονική εξάρτηση της έντασης του κροσσού περιγράφεται από τις εξισώσεις (3.2), (3.3) και (3.9). Σχήμα 3.2 : Οι κροσσοί συμβολής που δημιουργούνται όταν πολωμένο φως διέλθει από νηματικό στρώμα που εμφανίζει ΕΗD αστάθεια. Η όλη πειραματική διαδικασία πραγματοποιήθηκε σε θερμοκρασία δωματίου ~25 ο C και το υλικό που χρησιμοποιήθηκε είναι το ΜΒΒΑ. Ο λόγος για τον οποίο επιλέχθηκε το συγκεκριμένο υλικό είναι πως πρόκειται για ένα από τα πιο δημοφιλή νηματογόνα, επομένως οι παράμετροι του είναι γνωστοί και μπορούν να συγκριθούν με τις πειραματικά μετρούμενες αντίστοιχες τιμές. Το υλικό τοποθετήθηκε ανάμεσα σε δύο αγώγιμα πλακίδια με ομοιογενή προσανατολισμό. Στο δείγμα προσπίπτει η δέσμη ενός λέιζερ υπό γωνία 20 ο και όταν με τον κατάλληλο ηλεκτρικό παλμό προκληθεί EHD αστάθεια σχηματίζονται φωτεινοί κροσσοί. Η ένταση του πρώτου κροσσού μετράται με φωτοανιχνευτή, η έξοδος του οποίου ενισχύεται και κατευθύνεται σε υπολογιστή, όπου το σήμα επεξεργάζεται και αποθηκεύεται. 57

59 Σχήμα 3.3 : Η μορφή του περιοδικού παλμού που εφαρμόστηκε για τη διέγερση του νηματικού στρώματος κατά τη διάρκεια του πειράματος για τη μέτρηση του χρόνου αποκατάστασης. Η τάση που εφαρμόζεται στο δείγμα είναι ημιτονοειδής, με συχνότητα στα 100 Hz και προσαρμόζεται έτσι ώστε να έχει τη συμπεριφορά τετραγωνικού παλμού, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.3. Η ημιπερίοδος του παλμού είναι 30 sec, τιμή που αποδεικνύεται πως είναι παραπάνω από αρκετή για την πλήρη αποκατάσταση του κατευθυντή. Η τάση κατωφλίου στα 100 Hz βρέθηκε ίση με Volts και ο κυματάριθμος της παραμόρφωσης, όπως υπολογίστηκε, είναι ίσος με 1925 της συχνότητας αποκοπής είναι cm -1. Η τιμή 5 Hz. Για να εξασφαλισθούν συνθήκες κοντά στο κατώφλι εφαρμόστηκε τάση με τιμή 6.1 Volts. (α) (β) Σχήμα 3.4 : Η νορμαλισμένη γραφική παράσταση της χρονικής εξάρτησης της έντασης του πρώτου κροσσού α) όπως μετρήθηκε πειραματικά και β) όπως υπολογίστηκε με βάση τη θεωρία. Στο σχήμα 3.4α απεικονίζονται τα αποτελέσματα μιας από τις μετρήσεις που λήφθηκαν, σύμφωνα με την πειραματική διαδικασία που αναφέρθηκε πιο πάνω, και αφορά τη χρονική εξάρτηση της έντασης του πρώτου κροσσού καθώς αποκαθίσταται ο κατευθυντής. Η χρονική στιγμή t=0 συμπίπτει με τη χρονική στιγμή που η εφαρμοζόμενη τάση μηδενίζεται και παραμένει μηδενική για 30 secs. Η γραφική παράσταση του σχήματος 3.4β απεικονίζει τη θεωρητική χρονική εξάρτηση της έντασης του πρώτου κροσσού, που υπολογίστηκε με βάση τη σχέση 58

60 , η οποία προέκυψε από τον συνδυασμό των σχέσεων (3.2), (3.3) και (3.9). Να σημειωθεί πως σημασία έχει η χρονική εξάρτηση της έντασης και όχι οι ακριβείς τιμές της. Οι δύο καμπύλες μοιάζουν μεταξύ τους, ωστόσο η καμπύλη β δεν μπορεί να θεωρηθεί η θεωρητική ερμηνεία της καμπύλης α. Τα αρχικά τους τμήματα διαφέρουν σημαντικά, αλλά καθώς ο χρόνος περνάει σταδιακά ταυτίζονται, όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε στο σχήμα 3.5. Σχήμα 3.5 : Σύγκριση των πειραματικά μετρούμενων τιμών της έντασης με τις αντίστοιχες θεωρητικές τιμές. Δύο λόγοι μπορούν να εξηγήσουν αυτό το γεγονός, α) όλες οι σχέσεις από τις οποίες προέκυψε η εξίσωση προήλθαν από την απαίτηση να παραλειφθούν όροι του από δεύτερη τάξη και πάνω και β) η βασική προϋπόθεση της θεωρίας που αναπτύχθηκε είναι ότι η γωνία της μέγιστης παραμόρφωσης είναι αρκετά μικρή, κάτι που συμβαίνει σταδιακά καθώς εξασθενεί η γωνία του κατευθυντή, με αποτέλεσμα η ορθότητα των εξισώσεων, όπως ορίστηκαν, να αυξάνει. Με βάση την προσαρμογή των πειραματικών μετρήσεων στη θεωρητική σχέση, η οποία όπως αναφέρθηκε υπολογίζει την ένταση των κροσσών συμβολής, η ακρίβεια της τιμής του χρόνου αποκατάστασης, όπως υπολογίστηκε, επιβαρύνεται με σφάλμα 1.6% απόκλιση που θεωρείται αρκετά ικανοποιητική. 59

61 3..8 Χρόνοι εξασθένισης της EHD αστάθειας Μέχρι αυτό το σημείο περιγράψαμε το θεωρητικό υπόβαθρο, στο οποίο θα στηριχθεί η πειραματική μέθοδος της παρούσας εργασίας. Πιο συγκεκριμένα ορίσαμε τις σχέσεις που παρέχουν την ένταση του κάθε κροσσού συμβολής που σχηματίζεται, όπως επίσης και τον τρόπο εξάρτησης του χρόνου αποκατάστασης του κατευθυντή από πειραματικά μετρήσιμα μεγέθη. Παρακάτω θα ορίσουμε τη σχέση μεταξύ του χρόνου αποκατάστασης του κατευθυντή και του εξωτερικά εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου. Πρόκειται για εμπειρική σχέση [50], καθώς μέχρι στιγμής δεν έχουν δημοσιευθεί ακριβείς υπολογισμοί που να συνδέουν το ρυθμό εξασθένισης, 1/Τ, του κατευθυντή με την εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση : (3.10) όπου παρατηρούμε πως, καθώς η εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση αυξάνει, ο ρυθμός 1/Τ ελαττώνεται. Στη σχέση (3.10), d είναι το πάχος του δείγματος, η b =(α 4 +α 5 -α 2 )/2 και β είναι ένας συντελεστής που εξαρτάται από παραμέτρους του υλικού όπως τις ελαστικές σταθερές και την διηλεκτρική ανισοτροπία. Μέσω της σχέσης (3.10) και πιο συγκεκριμένα, αν τοποθετηθούν σε διάγραμμα (XY) τα ζεύγη (V 2,1/T) μπορούμε να υπολογίσουμε πειραματικά την τάση κατωφλίου, που είναι ο σκοπός της παρούσας εργασίας. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον, παρουσιάζει η έκφραση της τάσης κατωφλίου αστάθειας σε σχέση με τη συχνότητα. Η σχέση [42] αυτή προκύπτει μέσω της επίλυσης του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων (2.22), επομένως η τάση κατωφλίου για την πρόκληση EHD αστάθειας στο νηματικό στρώμα θα είναι : (3.11) όπου ω=2πf η κυκλική συχνότητα και a 1, b 1, b 2, p o, p 1 είναι οι ποσότητες που ορίστηκαν στο κεφάλαιο 2. Αν υπολογιστεί η τάση κατωφλίου για διαφορετικές συχνότητες και τα ζεύγη (f 2, V th 2 ) τοποθετηθούν σε διάγραμμα (XY), θα σχηματίσουν ευθεία σύμφωνα με τη σχέση : 60

62 όπου οι σταθερές Α και C επιλέχθηκαν τυχαία και παριστάνουν τις εκφράσεις που συνδέουν τις ποσότητες a 1, b 1, b 2, p 1 για μεγαλύτερη ευκολία στις πράξεις. Μέσω της σχεδίασης του διαγράμματος των πειραματικών ζευγών (f 2, V th 2 ) είναι δυνατός ο προσδιορισμός της τάσης που διεγείρει το νηματικό στρώμα, όταν η συχνότητα τείνει στο μηδέν. Τότε η σχέση (3.11) παίρνει τη μορφή : (3.12) Με βάση τη σχέση (3.12), η τάση κατωφλίου, όταν η συχνότητα τείνει στο μηδέν, εξαρτάται μόνο από σταθερές που χαρακτηρίζουν το υλικό του νηματικού στρώματος. Σύμφωνα με τον Χ. Μ. Ζεγκίνογλου, η έκφραση αυτή μπορεί να απλοποιηθεί. Ο λόγος b 1 /a 1 ισούται με : (3.13) Από τους δύο όρους του παρονομαστή, αυτός που περιέχει τους συντελεστές διαχύσεως είναι αμελητέος σε σχέση με τον άλλο. Για την ακρίβεια, είναι της τάξεως του 10-13, ενώ ο πρώτος όρος του παρονομαστή είναι της τάξεως του 5. Κατά συνέπεια η παράσταση (3.13) μπορεί να γραφεί στην απλούστερη μορφή : (3.14) από την οποία γίνεται εμφανές πως ο λόγος b 1 /a 1 όπως και οι υπόλοιπες ποσότητες που υπεισέρχονται στη σχέση (3.12) εξαρτώνται από μόνο από σταθερές του νηματικού υλικού. Έχει σημασία ο προσδιορισμός της τάσης όταν η συχνότητα τείνει στο μηδέν, καθώς δεν μπορεί να μετρηθεί πειραματικά. Όταν η συχνότητα είναι μηδενική, η διεγείρουσα τάση είναι συνεχής και όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 2, όταν η διεγείρουσα τάση είναι συνεχής επικρατεί η αστάθεια Felici, που οφείλεται σε μηχανισμό που δεν είναι σχετικός με την ανισοτροπία της νηματικής μεσοφάσεως. Επομένως, προσδιορίζοντας την τάση κατωφλίου, όταν η συχνότητα τείνει στο μηδέν, μέσω του διαγράμματος (XY) των πειραματικών ζευγών (f 2, V th 2 ), είναι δυνατό αρχικά να επιβεβαιωθεί η σύμπτωση θεωρίας-πειράματος και επιπλέον, είναι δυνατόν να προταθεί η διαδικασία σαν νέα μέθοδος προσδιορισμού 61

63 των σταθερών των νηματικών μεσοφάσεων, λόγω της εξάρτησης της τάσεως από σταθερές του υλικού. 3.6 Η δυναμική της μετάβασης Freedericsz Ένα τελευταίο βήμα της πειραματικής μεθόδου είναι η σύγκριση των πειραματικά μετρούμενων τιμών με τις αντίστοιχες θεωρητικές. Ωστόσο, τόσο η τάση κατωφλίου, όσο και ο χρόνος αποκατάστασης του κατευθυντή εξαρτώνται από παραμέτρους του δείγματος, όπως το πάχος και ο κυματάριθμος της παραμόρφωσης του νηματικού στρώματος, οι πέντε ανεξάρτητοι συντελεστές ιξώδους και επιπλέον οι ελαστικές σταθερές της κάμψης, k 3, και της απόκλισης, k 1. Το υλικό που πρόκειται να χρησιμοποιηθεί είναι το ΜΒΒΑ, για το οποίο οι συντελεστές ιξώδους σε θερμοκρασία δωματίου έχουν ήδη υπολογισθεί και είναι γνωστοί. Ωστόσο, οι τιμές των ελαστικών σταθερών είναι ιδιαίτερη περίπτωση, καθώς οι τιμές που έχουν κατά καιρούς δημοσιευθεί ποικίλλουν. Σύμφωνα με βιβλιογραφικές πηγές, η τιμή του λόγου k 1 /k 3 είναι ίση με 0,8, με μικρές αποκλίσεις, ενώ η τιμή της ελαστικής σταθεράς k 3 σε θερμοκρασία δωματίου κυμαίνεται από 0.4x10-6 dyn μέχρι 0.86x10-6 dyn [3]. Μπορούμε να καθορίσουμε την ελαστική σταθερά k 3 ενός νηματικού υγρού κρυστάλλου με αρνητική διηλεκτρική ανισοτροπία, όπως είναι το ΜΒΒΑ, μέσω του πειραματικού προσδιορισμού της τάσης κατωφλίου Freedericsz για δείγμα με ομοιοτροπικό προσανατολισμό [50], δεδομένου ότι είναι γνωστή η διηλεκτρική ανισοτροπία του. Για το ΜΒΒΑ, η γενικά αποδεκτή τιμή της διηλεκτρικής ανισοτροπίας του είναι ε α =-0.5 και για τη δεδομένη γεωμετρία, η τάση κατωφλίου Freedericsz θα είναι ίση με : (3.15) Στην παρούσα εργασία, θα υπολογίσουμε τη ζητούμενη τάση κατωφλίου αξιοποιώντας τη θεωρία που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά της μετάβασης Freedericsz [52]. Έστω λοιπόν, νηματικό στρώμα με ομοιοτροπικό προσανατολισμό, που υπόκειται σε παραμόρφωση τύπου Β (bend) μέσω εφαρμογής της κατάλληλης τάσης, που θα προκαλέσει μετάβαση Freedericsz. 62

64 Σχήμα 3.6 : Η γεωμετρία του δείγματος για την πρόκληση παραμόρφωσης Β, μέσω φαινομένου Freedericsz. Στο σχήμα απεικονίζονται ο αρχικός προσανατολισμός του δείγματος, καθώς και η παραμόρφωση που επιτυγχάνεται, όταν το εφαρμοζόμενο πεδίο ξεπεράσει την τιμή κατωφλίου. Για την παραμόρφωση που ζητείται να προκληθεί στο δείγμα, η εξίσωση κίνησης του κατευθυντή προέρχεται από την ισορροπία των ροπών που προκαλούν οι ελαστικές δυνάμεις επαναφοράς, οι δυνάμεις ιξώδους και το εξωτερικά εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο, δηλαδή : (3.16) όπου Ε είναι το εξωτερικά εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο και η γωνία του κατευθυντή σε σχέση με τον αρχικό προσανατολισμό. Στην ιδιαίτερη περίπτωση, όπου η εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση είναι ελάχιστα μεγαλύτερη από την τάση κατωφλίου, ώστε η ποσότητα και η γωνία απόκλισης του κατευθυντή από τον αρχικό προσανατολισμό να είναι μικρή, η εξίσωση κίνησης του κατευθυντή μετατρέπεται στην : (3.17) Η πιο γενική λύση, η οποία ικανοποιεί την συνοριακή συνθήκη άκρα του δείγματος, είναι ο γραμμικός συνδυασμός : (3.18) στα όπου παρατηρούμε πως οι συντελεστές c n είναι χρονικά εξαρτώμενοι και ισχύει η ανισότητα,. Εάν επιλέξουμε n=0, που είναι η πιο αργά αναπτυσσόμενη αρμονική, η (3.17) δίνει : (3.19) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (3.19) στην (3.17) παίρνουμε : 63

65 (3.20) και με ολοκλήρωση μπορούμε να εξάγουμε τη χρονική εξάρτηση του πλάτους παραμόρφωσης του κατευθυντή στο κέντρο του νηματικού στρώματος : (3.21) όπου με συμβολίζουμε τη σταθεροποιημένη κατάσταση του πλάτους παραμόρφωσης παρουσία εξωτερικού πεδίου και η ποσότητα παριστάνει τις διακυμάνσεις από τον προσανατολισμό του κατευθυντή τη χρονική στιγμή που ανοίγουμε το πεδίο. Για μεγάλες τιμές του χρόνου, το μέγιστο πλάτος παραμόρφωσης τείνει εκθετικά προς την τιμή με σταθερά χρόνου,, που εξαρτάται από το εξωτερικά εφαρμοζόμενο πεδίο, σύμφωνα με τη σχέση : Η τελευταία εξίσωση γράφεται πιο απλά : (3.22) (3.23) Η σχέση (3.23) μπορεί να χρησιμοποιηθεί πειραματικά για τον προσδιορισμό των χρόνων διέγερσης του φαινομένου Freedericsz. Παρατηρούμε πως καθώς η εξωτερικά εφαρμοζόμενη τάση αυξάνει προς την τιμή κατωφλίου, ο χρόνος διέγερσης τ on αυξάνει. Αν η τάση στα άκρα του δείγματος μηδενιστεί, τότε ο κατευθυντής αποκαθίσταται με χρόνο,. Η γραφική παράσταση του 1/τ on έναντι της εξωτερικά εφαρμοζόμενης τάσης, μας βοηθάει να προσδιορίσουμε πειραματικά την τάση κατωφλίου για παραμόρφωση τύπου Β και μέσω αυτής να υπολογίσουμε την ελαστική σταθερά k 3 του υλικού. 64

66 65

67 Κεφάλαιο Τέταρτο Σχεδιασμός και εκτέλεση του πειράματος 66

68 4.1 Εισαγωγή Η όλη πειραματική προσπάθεια της παρούσας εργασίας αποβλέπει στη λήψη του διαμορφώματος των φωτεινών κροσσών, που σχηματίζονται όταν φωτεινή δέσμη διέλθει υπό γωνία από ένα στρώμα νηματικού υγρού κρυστάλλου, που έχει διεγερθεί με ημιτονοειδή ηλεκτρικό παλμό και βρίσκεται στην περιοχή κατωφλίου της αστάθειας αγωγιμότητας. Ουσιαστικά, ενδιαφέρει το τμήμα του διαμορφώματος που βρίσκεται μεταξύ δύο διαδοχικών παλμών, καθώς ο απώτερος σκοπός του πειράματος είναι ο προσδιορισμός της τάσης κατωφλίου για διαφορετικές συχνότητες, μέσω της μέτρησης του χρόνου αποκατάστασης του κατευθυντή, υπό την προϋπόθεση ότι το νηματικό υλικό (που εφεξής θα καλείται δείγμα) είναι λίγο πιο πάνω από το κατώφλι της ηλεκτροϋδροδυναμικής αστάθειας αγωγιμότητας (slightly above threshold conditions). 4.2 Πειραματική Διάταξη Ένα λεπτό στρώμα υγροκρυσταλλικού υλικού, που εγκλωβίστηκε ανάμεσα σε δύο αγώγιμα πλακίδια, είναι προφανώς το κέντρο της πειραματικής διάταξης. Στο δείγμα προσπίπτει, υπό γωνία 30 ο, φωτεινή δέσμη λέιζερ, πολωμένη παράλληλα στο επίπεδο xz, και όταν με τον κατάλληλο ηλεκτρικό παλμό προκληθεί ΕΗD αστάθεια, σχηματίζονται φωτεινοί κροσσοί συμβολής. Η ένταση του πρώτου κροσσού μετράται με φωτοανιχνευτή, η έξοδος του οποίου ενισχύεται και κατευθύνεται σε υπολογιστή, όπου το σήμα επεξεργάζεται και αποθηκεύεται. 67

69 Σχήμα 4.1 : Σχηματική αναπαράσταση της πειραματικής διάταξης. Το νηματογόνο που χρησιμοποιήθηκε για δείγμα ήταν το N-(4-methoxybenzylidene)-4-butylaniline (MBBA) της εταιρίας Sigma-Aldrich με κωδικό CAS και καθαρότητα 98%. Ο κυριότερος λόγος που προτιμήθηκε το ΜΒΒΑ είναι, όπως αναφέρθηκε και πιο πριν, ένα πολύ δημοφιλές υλικό, που παρουσιάζει νηματική μεσοφάση σε θερμοκρασία δωματίου. Οι παράμετροι του ΜΒΒΑ, που αναφέρονται σε πολλές βιβλιογραφικές πηγές, συνήθως μετρούνται σε θερμοκρασία δωματίου, για αυτό το λόγο η πειραματική διαδικασία διεξήχθη σε θερμοκρασία (25 0.1) o C. Παρακάτω, αναφέρονται με περισσότερες λεπτομέρειες κάποια από τα επιμέρους τμήματα της πειραματικής διάταξης, για να αποσαφηνισθούν τυχόν απορίες και, φυσικά, για να αποκτήσουμε μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα της πειραματικής προσπάθειας. Το δείγμα είναι τοποθετημένο μεταξύ ενός πολωτή και ενός αναλύτη. Ο πολωτής παρεμβάλλεται ανάμεσα στο λέιζερ και το δείγμα, έτσι ώστε η φωτεινή ακτίνα, που διέρχεται στο δείγμα, να είναι γραμμικώς πολωμένη. Ο αναλύτης, που παρεμβάλλεται ανάμεσα στο δείγμα και τον φωτοανιχνευτή, είναι όμοιος με τον πολωτή έχει όμως διεύθυνση πόλωσης κάθετη σε αυτή του πολωτή. Μέσω του αναλύτη μπορούμε να αυξομειώσουμε την ένταση του πρώτου κροσσού, που μετράται από τον φωτοανιχνευτή. Ο ηλεκτρικός παλμός, με τον οποίο διεγείρουμε το δείγμα, έχει τη μορφή που απεικονίζεται στο σχήμα. Πρόκειται για σύνθεση δύο ημιτονοειδών παλμών με ημιπερίοδο 25 sec. Το τμήμα με το μεγαλύτερο πλάτος παραμένει σταθερό σε όλη τη διάρκεια της λήψης των μετρήσεων και είναι χαρακτηριστικό της εκάστοτε συχνότητας, καθώς πρόκειται για την τάση που διεγείρει το νηματικό στρώμα στην ΕΗD αστάθεια, με τιμή λίγο μεγαλύτερη από την τάση κατωφλίου. 68

70 Σχήμα 4.2 : Η μορφή του ηλεκτρικού παλμού με τον οποίο διεγέρθηκε το νηματικό στρώμα κατά τη διάρκεια του πειράματος. Η ημιπερίοδος του παλμού είναι 25 sec. Η ενεργός τιμή της τάσης αυτής, από εδώ και πέρα θα ονομάζεται V αν (τάση αναφοράς). Αυτό που μεταβάλλεται είναι το τμήμα του παλμού με τη χαμηλότερη ενεργό τιμή που θα ονομάζεται V 2. Η τιμή της V 2 κυμαίνεται από τη μηδενική μέχρι την τιμή της V αν, της εκάστοτε συχνότητας. Ο ηλεκτρικός αυτός παλμός τροφοδοτείται από τη γεννήτρια TGA MHz της εταιρίας Thurlby Thandar Instruments Ltd. Με τη γεννήτρια αυτή, μπορεί κανείς να δημιουργήσει μια ευρεία ποικιλία κυματομορφών μεταξύ 0.1 mhz και 16 MHz, με υψηλή ανάλυση και ακρίβεια. Επιπλέον, είναι διαθέσιμες αρκετές πρότυπες κυματομορφές όπως, η ημιτονοειδής, η τριγωνική, η τετράγωνη κλπ. Τέλος, η γεννήτρια αυτή επιτρέπει τη ρύθμιση της συχνότητας του παλμού, τη ρύθμιση του πλάτους του και τη ρύθμιση της στάθμης του. Ο παλμός που παράγει η γεννήτρια κατευθύνεται στο νηματικό στρώμα, μέσω ενισχυτικού συστήματος τάσης (βασισμένου στον ενισχυτή υψηλής τάσης της εταιρίας Apex Microtechnology με κωδικό ΡΑ89Α), που σχεδιάστηκε και κατασκευάστηκε για τις ανάγκες του πειράματος. Περιοχή ΙΤΟ 5x5 mm Άνοιγμα 2 Επίστρωση για προσανατολισμού Ηλεκτρόδιο Κόλλα με spacers Ηλεκτρόδιο Άνοιγμα 1 69