ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μάθηµα Φυσική-ΙΙΙ (3 ο εξάµηνο ΣΕΜΦΕ) Ακαδηµαϊκό Έτος Προβλήµατα και Απαντήσεις - A

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Μάθηµα Φυσική-ΙΙΙ ( ο εξάµηνο ΣΕΜΦΕ Ακαδηµαϊκό Έτος - Προβλήµατα και Απαντήσεις - A. Θερήστε έναν γραµµικό αρµονικό ταλανττή µάζας και σταθεράς ελατηρίου s, που υφίσταται εξτερική διέγερση F( t F cos( t, ενώ οι τριβές θερούνται αµελητέες. (α Βρείτε µία έκφραση για το πλάτος µετατόπισης A A (, (ς συνάρτηση της συχνότητας διέγερσης, που εκφράζει την απόκριση του ταλανττή στη µόνιµη κατάσταση. (β Ποια είναι η τιµή στην οποία τείνει το πλάτος A, όταν ; Σχολιάστε. (γ Σχεδιάστε, ς συνάρτηση του, την A ( και τη διαφοράς φάσης φ( µεταξύ της αποµάκρυνσης και της δύναµης, πάλι στη µόνιµη κατάσταση. Απάντηση (α Η διαφορική εξίσση κίνησης γράφεται ɺɺ s+ F cos( t ɺɺ + s F cos( t ( Η λύση της διαφορικής εξίσσης κίνησης στη µόνιµη κατάσταση, περιλαµβάνει συνάρτηση µε τη µορφή και τη συχνότητα µόνο του µη-οµογενούς όρου, (επειδή οι «τριβές θερούνται αµελητέες» δεν υπάρχει αντίστοιχος όρος στη διαφορική εξίσση, αλλά η επίτευξη µόνιµης κατάστασης, έστ και µετά από µεγάλο χρονικό διάστηµα, F οφείλεται στην ύπαρξη, έστ και αµελητέν, τριβών. Εποµένς αναζητούµε λύση της µορφής ( t A( cos( t ɺɺ ( t A( cos( t. Η αντικατάσταση αυτών τν δύο σχέσεν στην ( δίνει ( F A A F ( s (, όπου F F (β Όταν τότε η σχέση ( δίνει A( A(, που είναι η στατική s αποµάκρυνση του ελατηρίου από την θέση ηρεµίας, για στατική δύναµη A( Α( φ Α( π φ( -π (γ Για τον σχεδιασµό της γραφικής παράστασης του A A ( παρατηρούµε ότι, εκτός από την οριακή τιµή που υπολογίστηκε στο (β, υπάρχει ένα απειρισµός όταν, περί τον οποίον σηµειώνεται αλλαγή προσήµου του A, δηλ. έχουµε αλλαγή φάσης κατά π. Αυτά τα χαρακτηριστικά αποτυπώνονται στο διπλανό σχήµα, όπου φαίνονται τα µεγέθη A ( (διακεκοµµένη γραµµή, A ( γραµµή, και ϕ( (συνεχής - 4 / s s. Σώµα µάζας ευρίσκεται µεταξύ δύο ακλόνητν τοιχµάτν µε τα οποία είναι συνδεδεµένο µε δύο ελατήρια σταθεράς s, το καθένα, και µπορεί να κινείται σε οριζόντιο επίπεδο χρίς τριβές Από το σώµα κρέµεται, µε

2 αβαρές µη-εκτατό νήµα µήκους, σώµα µάζας. α Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης, για µικρές αποµακρύνσεις από την κατάσταση ισορροπίας. Στην περίπτση που s g, : β Να υπολογίσετε τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης,. γ Να προσδιορίσετε τις κανονικές µεταβλητές. Απάντηση (α Έστ ότι, είναι οι µετακινήσεις τν δύο µαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους, σε κάποιο τυχαίο στιγµιότυπο της κίνησής τους. Οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης γράφονται: ɺɺ s+ T, και ɺɺ T, όπου T Tsiθ, ενώ, (λόγ τν µικρών γνιών ταλάντσης, cos g ta Ty T θ g T T g g θ g (, οπότε οι εξισώσεις cosθ g g κίνησης γράφονται: ɺɺ s+ (, ɺɺ (. Ισοδύναµα : g g s ( s ( ɺɺ + ɺɺ + ɺɺ + ( g g ɺɺ ( ɺɺ + ( + ( ɺɺ (β Στην περίπτση που s g,, έχουµε: ɺɺ + ( ɺɺ + 4 Acos( t+ θ. Οπότε, θέτοντας ɺɺ + ( + ɺɺ + B cos( t+ θ παίρνουµε: (4 A B ( a ( o + A+ ( B ( β ( 5± 7 µε ρίζες, ( (γ Για τον προσδιορισµό τν κανονικών µεταβλητών, προσδιορίζουµε πρώτα το λόγο τν πλατών Α/Β για κάθε κανονικό τρόπο ταλάντσης, από τις εξισώσεις (α ή (β, παραπάν. Συγκεκριµένα : για, η σχέση : 5+ 7 B 7 ( a (4 A B. 4 o o A 5 7 B + 7 για, η σχέση : ( a (4 o o A o B. A 4 Oπότε, η γενική κίνηση γράφεται ς εξής: ( t A cos( t+ θ + A cos( t+ θ ( t A cos( t+ θ + A cos( t+ θ ( a ( t B cos( t+ θ + B cos( t+ θ ( t A cos( t+ θ + A cos( t+ θ ( β 4 4 Απαλείφοντας από τις (α και (β εναλλάξ τους όρους µε την µία ή την άλλη συχνότητα παίρνουµε: ( a + ( β 7 + A cos( t+ θ, άρα η πρώτη κανονική 4 4 συντεταγµένη, που ταλαντώνεται µε την πρώτη ιδιοσυχνότητα είναι ο συνδυασµός X. 4

3 7 Όµοια, προκύπτει η δεύτερη κανονική συντεταγµένη του συστήµατος + X 4. Σηµειακή µάζα Μ βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, επί του οποίου µπορεί να ολισθαίνει χρίς τριβές. Η µάζα αυτή είναι συνδεδεµένη, µέσ ελατηρίου σταθεράς s, µε σηµειακή µάζα Μ η οποία κρέµεται από ακλόνητη οροφή M s M F cos(t µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους, µέσα σε πεδίο βαρύτητας ( g. Στην µάζα Μ ασκείται οριζόντια δύναµη της µορφής F( t F cos( t, ώστε οι δύο µάζες να εκτελούν κινήσεις µικρού πλάτους. (α Γράψτε το σύστηµα τν διαφορικών εξισώσεν κίνησης τν δύο µαζών. (β Υποθέστε ότι, στη µόνιµη κατάσταση κίνησης, οι δύο µάζες κινούνται µε την συχνότητα της διέγερσης και µε διαφορετικά πλάτη, Acos( t και B cos( t, και αντικαθιστώντας στις διαφορικές εξισώσεις κίνησης, γράψτε το σύστηµα τν γραµµικών εξισώσεν που ικανοποιούν τα πλάτη A και B. (γ Λύστε το γραµµικό σύστηµα και υπολογίστε τα πλάτη A και B, συναρτήσει τν,, g M και λ. M (δ είξτε ότι και τα δύο πλάτη A και B τείνουν στο άπειρο, για δύο τιµές, και της συχνότητας διέγερσης και υπολογίστε τις και, συναρτήσει του, αν.5 και λ.75. (ε Εξηγείστε τη σχέση που έχουν οι και µε τις ιδιοσυχνότητες του συζευγµένου συστήµατος. Λύση Αν και οι µετατοπίσεις, από τις θέσεις ισορροπίας, τν µαζών και, αντίστοιχα, οι εξισώσεις κίνησης γράφονται Mɺɺ s( Mɺɺ + s s Mɺɺ s( M g + F cos( t M + s+ M g s F cos( t ɺɺ s s Mɺɺ + s s ɺɺ + M M s+ Mɺɺ + s+ M g F cos( t s s g F + ɺɺ + + cos( t M M M s s s s ɺɺ + M M ɺɺ + M M s M s M g F s M s M g F + ɺɺ + + cos( t + ɺɺ + + cos( t M M M M M M M M M M s M (β Έστ ότι Acos( t και B cos( t, εποµένς: s A B M M s M s M g F M M M M M A+ + B s ɺɺ A t και cos( ɺɺ B t cos(

4 (γ Αν, s, g M M και λ, τότε το προηγούµενο γραµµικό σύστηµα γράφεται M ( A B F και οι λύσεις του προκύπτουν µε τη µέθοδο τν οριζουσών λ A+ ( λ+ B M F λ + F A λ λ M M 4 ( ( + λ λ+ F λ B λ λ F ( M ( ( M 4 + λ λ+ (δ Τα πλάτη A και B απειρίζονται όταν ο κοινός παρανοµαστής τείνει στο µηδέν ( ( ( λ + λ λ λ + + λ λ + + +, οι ρίζες του οποίου υπολογίζονται 4 ( (, ( λ+ + ± ( λ+ + 4, του οποίου η διακρίνουσα είναι: ( ( λ+ + 4 ( λ+ + + ( λ+ 4 4 ( λ+ + + ( λ+ ( λ ( λ ( λ + 4+ ( λ + + ( λ ( λ + + ( λ + ( λ+ Τελικώς : ( λ + + ( λ+ + >, εποµένς οι ρίζες, είναι πραγµατικές και ( λ+ + από τον οποίον µάλιστα θετικές, αφού η θετική είναι µικρότερη του όρου ( προσθαφαιρείται. Αν.5 και λ.75, από τη σχέση υπολογισµού τν δύο ριζών, έχουµε : ±, ± (ε Οι, είναι οι ιδιοσυχνότητες του συζευγµένου συστήµατος Επίσης παρατηρούµε ότι για, (ιδιοσυχνότητα του ασύζευκτου συστήµατος, το πλάτος B µηδενίζεται, ενώ το A (πλάτος ταλάντσης του συστήµατος, παραµένει πεπερασµένο.

5 4. Θερήστε, (σε µια ηµικλασική προσέγγιση, ότι το άτοµο του υδρογόνου αποτελείται από ένα αρνητικό νέφος, συνολικού φορτίου e, κατανεµηµένο οµοιόµορφα στο εστερικό σφαιρικού όγκου ακτίνας όση και η ακτίνα του Bohr, a.5 A o, στο κέντρο του οποίου βρίσκεται ένας σχεδόν σηµειακός πυρήνας µε φορτίο +e. Υποθέστε ότι, όταν το σύστηµα διαταράσσεται ελαφρώς, το ηλεκτρονιακό νέφος µετατοπίζεται χρίς παραµόρφση, µεταθέτοντας κατά το κέντρο βάρος του από τον πυρήνα. (α Με τη βοήθεια του νόµου του Gauss, δείξτε ότι η δύναµη που ασκείται µεταξύ πυρήνα και ηλεκτρονιακού νέφους, έχει τη µορφή δύναµης επαναφοράς και, εποµένς, το σύστηµα θα εκτελέσει αρµονική ταλάντση. (β Υπολογίστε την κυκλική συχνότητα της ταλάντσης,, συναρτήσει τν µεγεθών, e, a και (η µάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου, και της διηλεκτρικής σταθεράς του κενού ε [Υπόδειξη: κάντε εύλογες προσεγγίσεις για την ανηγµένη µάζα του συστήµατος, λαµβάνοντας υπόψη ότι η µάζα του πυρήνα είναι τρεις τάξεις µεγέθους µεγαλύτερη από εκείνη του ηλεκτρονίου]. (γ Συγκρίνετε την, του ερτήµατος (β µε την κυκλική συχνότητα περιστροφής ενός σηµειακού φορτίου e περί ένα ακλόνητο ελκτικό κέντρο φορτίου +e σε κυκλική τροχιά ακτίνας a. (δ Υποθέστε ότι η ταλάντση του 9 συστήµατος διαρκεί, λόγ απλειών, ένα χρονικό διάστηµα t s. Εκτιµείστε, µε τη βοήθεια τν θερηµάτν εύρους ζώνης, το αντίστοιχο εύρος συχνοτήτν ποιότητας Q του συστήµατος., και υπολογίστε τον συντελεστή Λύση (α Αν το κέντρο βάρους της οµοιόµορφης ηλεκτρονιακής κατανοµής έχει µετατοπιστεί κατά ς προς τον πυρήνα, ο πυρήνας αισθάνεται µόνο το ηλεκτρόνιο της σφαίρας r <, το πυρήνας οποίο το βλέπει ς σηµειακό, οπότε η ηλεκτρική δύναµη αλληλεπίδρασης q( e πυρήνα ηλεκτρονίου είναι : F( 4πε, όπου 4 4 e q q ( π ρe π ( 4 π a a e. Εποµένς: e F( s 4πε a : δύναµη επαναφοράς µε ενεργό σταθερά ελατηρίου e s 4πε a (β Το ατοµικό σύστηµα είναι ένα σύστηµα δύο σµάτν που αλληλεπιδρούν αρµονικά, οπότε η συχνότητα θα δίνεται από τη σχέση s, όπου µ η ανηγµένη µάζα του συστήµατος µ µ e p e + s e, λόγ της σχέσης p e, οπότε 4πε a e p (γ Στην περίπτση τν σηµειακών φορτίν έχουµε e a e F C F υ K e e 4πε a a a 4πε a, ίδια µε την ιδιοσυχνότητα ταλάντσης του (β. e (δ Ο παράγοντας ποιότητας είναι Q, εποµένς πρέπει να υπολογιστεί η τιµή του e a (.6 C 9 s 4πε ae C (.5.9 kg e e s. Από το θεώρηµα εύρους ζώνης t π, και t 7 Q π

6 5. Σύστηµα αποτελείται από Ν ταλανττές (µάζας και σταθεράς ελατηρίου k, συνδεδεµένους σε σειρά έτσι ώστε, σε κατάσταση ισορροπίας, τα ελατήρια να έχουν το φυσικό τους µήκος. Ο πρώτος ( ταλανττής είναι συνδεδεµένος σε ακλόνητο σηµείο, και ο τελευταίος (N διεγείρεται αρµονικά, µε πλάτος Α και συχνότητα < k. Να υπολογιστεί το πλάτος ταλάντσης του κάθε ταλανττή. Έστ y η µετατόπιση του σµατιδίου θέσης- από τη θέση ισορροπίας του. y ɺɺ k( y y k( y y ɺɺ y k y y y Η εξίσση κίνησης γράφεται : ( + + k Υποθέτοντας ότι y A cos( t, και ορίζοντας ς, η εξίσση κίνησης γίνεται: A+ + A ( A Αν δεχθούµε ότι : A C si( s θ +, ( σε συνδυασµό µε την συνθήκη A, έχουµε θ. Οπότε, η συνθήκη στο άλλο άκρο: A A A A C si( s, δίνει C si( s Επίσης, η σχέση (, A + A A + cos( s (, µέσ της ( (για θ, γίνεται cos( s, δηλαδή: Αλλά, από την προϋπόθεση < < < < <, οπότε, αντιστρέφοντας πρόσηµο, παίρνουµε: > > > > Άρα, s arccos : πραγµατικός αριθµός, µε si, sa π, και, A τελικά : A C si( s si( s, µε s arccos και συντονισµό όταν µηδενίζεται ο si( s παρονοµαστής, δηλ., s π,,,...,. ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Αντίθετα, στην περίπτση που: > > > >, και, αντιστρέφοντας πρόσηµο, έχουµε: < <, άρα, δεν µπορεί να ισχύει η (: cos( s. Εποµένς, σε αυτή την περίπτση, δεν έχουµε διέγερση µε τα πλάτη τν διαδοχικών σµατιδίν να A C si s+ θ, (. Αν υποθέσουµε ότι η είναι ελαφρώς µεγαλύτερη ακολουθούν τη µορφή: ( από το, δηλ., ( ( + ε + ε. Εποµένς,

7 A + A A + A ( + ε 4 ε ε ε ( + ε ( + ε A. + + A ηλαδή, τα πλάτη εναλλάσσουν πρόσηµο, αλλά ο µέσος όρος τν δύο εκατέρθεν είναι λίγο µεγαλύτερος (κατ απόλυτη τιµή από τον ενδιάµεσο. Εποµένς, η περιβάλλουσα, που περιγράφει την εξέλιξη του πλάτους, από σµατίδιο σε σµατίδιο, στρέφει τα κοίλα έξ από τον άξονα τν, και αντιστοιχεί σε εκθετική µείση, (φαινόµενο αποκοπής, [cut-off], για >. 6. Ιδανική λεπτή χορδή µήκους και µάζας gr, τείνεται, κατά µήκος του άξονα, µε τάση Τ4Ν. Να υπολογιστούν: α η ταχύτητα διάδοσης εγκάρσιν κυµάτν στη χορδή, β οι συχνότητες τν δύο πρώτν κανονικών τρόπν ταλάντσης της χορδής όταν έχει, i τα δύο άκρα της ακλόνητα, ii τα δύο άκρα της ελεύθερα να κινούνται χρίς τριβές, (µε τη βοήθεια δακτυλιδιών χρίς µάζα, επί δύο παράλληλν τροχιών, iii το ένα άκρο ελεύθερο (όπς στο βii και το άλλο άκρο ακλόνητο. γ Η χορδή αυτή συνδέεται άµεσα, (χρίς την παρεµβολή συνδετήριας σηµειακής µάζας, µε ισοµήκη χορδή τετραπλάσιας µάζας και το νέο σύστηµα τείνεται επίσης µε τάση Τ4Ν, κατά µήκος του άξονα, (από µέχρι. Τη χρονική στιγµή t, αρχίζει να εκπέµπεται, από το, τετραγνικός παλµός ύψους y και εύρους. Περιγράψτε την εικόνα του συστήµατος κατά τη χρονική στιγµή 5.5 s, σχεδιάζοντας το αντίστοιχο χρονικό στιγµιότυπο και αναγράφοντας στο σχήµα τα ύψη και τις θέσεις, (αρχή και τέλος, όλν τν παλµών, (προσπίπτοντος, διερχόµενου, ανακλώµενου και στα δύο τµήµατα της χορδής. (α Η γραµµική πυκνότητα της χορδής είναι: ρ gr gr, οπότε, η ταχύτητα διάδοσης τν T 4 4 kgs gr / kg s διαταραχών, στη χορδή, θα είναι: c ρ (β Οι κανονικοί τρόποι ταλάντσης αφορούν κίνηση µε την ίδια συχνότητα και φάση αλλά µε πλάτος που εξαρτάται από την θέση στο ελαστικό µέσο, δηλ., y(, t f ( cos( t+ ϕ. Όταν αντικατασταθεί αυτή η µορφή στην κυµατική εξίσση παίρνουµε: µορφής: f ( Asi( k+ θ, όπου k d f + f, η οποία επιδέχεται λύσεις της d c. Η τιµή του θ και η µορφή του k προσδιορίζονται από τις c του ελαστικού µέσου. συνοριακές συνθήκες, στα όρια, και Εποµένς: f f (βi ύο άκρα ελεύθερα:. Με αυτές τις συνθήκες εξασφαλίζουµε ότι δεν υπάρχει κατακόρυφη συνιστώσα της τάσης, η οποία (λόγ της αµελητέας σηµειακής µάζας τν δακτυλιδιών θα προκαλούσε άπειρες επιταχύνσεις στα άκρα της χορδής. f π π cos( θ θ, εποµένς: f ( Asi k+ Acos( k f π si( k k π k. π π Άρα, k ck π s. s f (βii Ένα άκρο ελεύθερο και ένα άκρο ακλόνητο ( f (

8 f π π cos( θ θ, εποµένς: f ( Asi k+ Acos( k π π f ( cos( k k ( k (. π π Άρα, k ck π s. s (γ Οι ταχύτητες στα δύο τµήµατα καθορίζονται από τις αντίστοιχες γραµµικές πυκνότητες c ρ c c c s ρ Ο παλµός φτάνει στο σηµείο σύνδεσης την χρονική στιγµή t 5s c / s Η µετατόπιση του παλµού σε 5.5 s είναι 5.5 s. c, εποµένς, (αφού το s εύρος του είναι, το µισό του εύρους του έχει περάσει στο δεύτερο τµήµα, όπου όµς διαδίδεται µε µισή ταχύτητα, οπότε, σε.5 s θα έχει διανύσει διάστηµα z c.5s.5 s.5 5, µε πλάτος y t y y, όπου s z + z z Tρ, άρα t,, ρ ρ, εποµένς y y ρ + ρ ρ + ρ z z Ο ανακλώµενος παλµός έχει πλάτος y ry y y z + z και έχει ταξιδέψει επί,5s και, εποµένς έχει διανύσει απόσταση c.5s, όσο δηλαδή και το υπολοιπόµενο εύρος του προσπίπτοντος παλµού. Στο πρώτο τµήµα, η συνολική διαταραχή είναι y+ y y y y, όσο δηλαδή και η διαταραχή στο δεύτερο τµήµα, επιβεβαιώνοντας την συνέχεια του µέσου στο σηµείο σύνδεσης. Μία σχηµατική απεικόνιση της διαδικασίας φαίνεται στο διπλανό σχήµα. -y / y y / 5 «Στιγµιαία στάσιµο» Το «Στιγµιαία στάσιµο» κύµα αφορά την περιοχή της χορδής όπου, (και για όσο διάστηµα, συνυπάρχουν οι δύο αντίθετα οδεύοντες παλµοί. 7. Ιδανική χορδή µήκους και γραµµικής πυκνότητας ρ, τείνεται κατά µήκος του άξονα, µε τάση Τ, µέσ δύο δακτυλιδιών αµελητέας µάζας που φέρει στα δύο άκρα της, και τα οποία µπορούν να κινούνται χρίς τριβές επί δύο οριζοντίν τροχιών, παραλλήλν στον άξονα y. α Να προσδιορισθούν τα κυµατανύσµατα (k και οι συχνότητες ( τν κανονικών τρόπν ταλάντσης της χορδής. β Tη χρονική στιγµή t, και ενώ η χορδή βρίσκεται στη θέση y, ο κρίκος του άκρου λαµβάνει, στιγµιαία, την ταχύτητα υ, µε αποτέλεσµα, όλα τα σηµεία της χορδής να έχουν µία κατανοµή ταχυτήτν η οποία µειώνεται γραµµικά, ς συνάρτηση της θέσης, λαµβάνοντας, στιγµιαία, την τιµή υ, στο σηµείο. Να γραφεί η κίνηση της χορδής yy(,t, για t>, ς επαλληλία τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. γ Να προσδιορισθούν όλες οι σταθερές της επαλληλίας του ερτήµατος (β. (α Υποθέτοντας Κανονικό Τρόπο Ταλάντσης, έχουµε :

9 ( ( y A cos k + ϕ si t+ ϕ. t Εφαρµόζουµε οριακές συνθήκες στα άκρα,, και, όπου, λόγ του ότι είναι ελεύθερα (αµελητέες µάζες, πρέπει να είναι µηδενικές οι κλίσεις. Οπότε : y A k si( ϕ si( t+ϕ t ϕ y π πc A k si( k si( t+ϕ t k π k ck Για τη µορφή τν τριών πρώτν ΚΤΤ, βλέπε σχήµα Προβλήµατος (β Η γενική κίνηση της χορδής περιγράφεται ς άθροισµα κινήσεν µε τους κανονικούς τρόπους ταλάντσης : y(, t A cos( k si( t+ ϕ t Για τον προσδιορισµό τν σταθερών Α και φ t εφαρµόζουµε τις αρχικές συνθήκες για τις αποµακρύνσεις και τις ταχύτητες : y(, t A cos( k si( ϕ ϕ t t t y υ A cos( k cos( υ A cos( k υ t Οπότε, οι συντελεστές Α προκύπτουν ς συντελεστές Fourier στο ανάπτυγµα Fourier της υ, εποµένς : υ A cos( k d cos( k d υ υ π υ π υ θcos( θ dθ [ siθ θcos θ ] ( o π π π πc υ αλλά ck, οπότε A ( π c, 8. Χορδή µήκους και γραµµικής πυκνότητας ρ, τείνεται µε τάση Τ, έχει υ(,t το ένα άκρο της στερεµένο σε ακλόνητο σηµείο ενώ το άλλο άκρο της είναι ελεύθερο να κινείται, µε τη βοήθεια δακτυλιδιού, πάν σε κάθετη στη υ χορδή ράβδο, χρίς τριβές. Τη χρονική στιγµή t, και ενώ όλα τα σηµεία της χορδής βρίσκονται στην θέση ισορροπίας τους (y(,t, η χορδή διεγείρεται µε µία κατανοµή ταχυτήτν η οποία παίρνει µέγιστη τιµή υ στο σηµείο / και µειώνεται ηµιτονοειδώς (όπς στο σχήµα, µηδενιζόµενη στα άκρα της χορδής. Να βρείτε την αποµάκρυνση (yy(,t της χορδής για t>. [siasibcos(a-b-cos(a+b, siacosbsi(a-b+si(a+b] Αναζητούµε τους κανονικούς τρόπους ταλάντσης της χορδής y(, t f ( si( t+ ϕ, ώστε να γράψουµε την κίνηση της χορδής ς γραµµικό συνδυασµό αυτών τν τρόπν.

10 Από την y(, t f ( si( t+ ϕ, και την εξίσση κύµατος : d f + f d c, άρα f ( Asi( k+ θ, όπου k. c y y, βρίσκουµε: c t Συνοριακές συνθήκες στα άκρα: (i f ( Asi( θ θ. Εποµένς f ( Asi( k y π π (ii kacos( k k ( k ( π Τελικά: f ( A si( k, µε k ( και ck, οπότε η γενική κίνηση της χορδής, π γράφεται: y(, t A si ( si( t+ θ π (, si ( si θ, Από τις αρχικές συνθήκες έχουµε: y t A ( θ t t y si π si ( π υ cos υ si π t και : A ( t π π που ισοδυναµεί µε την σχέση: υ si B si (, π όπου B A, και ck c( Οι συντελεστές Fourier, T ρ y π π B, υπολογίζονται από τη σχέση B υ si si ( d 9. ύο ηµιάπειρες ιδανικές χορδές, µε γραµµικές πυκνότητες ρ και ρ 4ρ, συνδέονται στο σηµείο και τείνονται µε τάση Τ. Στην αριστερή ηµιχορδή διαδίδεται προς τα δεξιά ένας τετραγνικός παλµός, ύψους y > και πλάτους, του οποίου το δεξιό µέτπο (έναρξη φτάνει στο σηµείο 4 τη χρονική στιγµή t. Κατά τη χρονική στιγµή : t, 5 T / ρ ( δώστε τις τιµές ύψους και πλάτους, α του προσπίπτοντος στην ασυνέχεια, β του ανακλώµενου και γ του διερχόµενου παλµού, ς συναρτήσεις τν y,, (σχεδιάστε την αντίστοιχη εικόνα διαταραχής τν δύο χορδών, για tt y (,t ρ Υπολογίζουµε τις ταχύτητες, στα δύο διαφορετικά ελαστικά µέσα, και τις χαρακτηριστικές σύνθετες αντιστάσεις, µε τη βοήθεια τν οποίν υπολογίζονται οι συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης. T T T c c, c, z T ρ, z Tρ 4Tρ z ρ ρ 4ρ T

11 Κατά τη χρονική στιγµή t, που το µέτπο έναρξης του προσπίπτντος παλµού φθάνει στο, το µέτπο λήξης του προσπίπτντος παλµού βρίσκεται στο, ενώ την ίδια στιγµή αρχίζουν να δηµιουργούνται ο ανακλώµενος και ο διερχόµενος παλµός, µε πλάτη z z z z z z yr y y y, y y y y z z z z z z z z t t Κατά τη χρονική στιγµή tt 4 /5 (T/ρ 4 /(5c, το µέτπο λήξης του παλµού έχει προχρήσει κατά διάστηµα ίσο µε c t 4 /5, οπότε βρίσκεται σε απόσταση /5 από το. tt -y Ταυτόχρονα, τα µέτπα έναρξης 4 /5 / του ανακλώµενου και του διερχόµενου παλµού, (τν οποίν τα µέτπα λήξης δεν έχουν σχηµατισθεί ακόµη, αφού διαρκεί ακόµη ο προσπίπτν πάλµός, έχουν προχρήσει, προς τα αριστερά και τα δεξιά, αντίστοιχα, κατά τις αποστάσεις 4 4 c 4 c t c, c t r / /5 y tt y / t 5c 5 5c 5 Σηµειώστε ότι παρά τον ασυνεχή χαρακτήρα του παλµού (στα µέτπα έναρξης και λήξης, εντούτοις, στο σηµείο, τα πλάτη προσπίπτοντος, ανακλώµενου και διερχόµενου, είναι τέτοια ώστε να διασφαλίζεται η συνέχεια του ελαστικού µέσου, µε εξαίρεση, βέβαια, στη συγκεκριµένη περίπτση, την χρονική στιγµή διέλευσης από το τν µετώπν έναρξης και λήξης τν παλµών, (τα οποία έχουν «εγγενείς» ασυνέχειες, από τη φύση του τετραγνικού παλµού.. Σε εύκαµπτη χορδή που τείνεται µε τάση Τ και έχει γραµµική πυκνότητα ρ διαδίδονται δύο τρέχοντα κύµατα y Acos(t-kz+δ και y Acos(t-kz+δ. α Βρείτε τη µέση διαδιδόµενη ισχύ, β Για ποιά σχέση µεταξύ τν δ και δ επιτυγχάνεται η µέγιστη και η ελάχιστη διαδιδόµενη ισχύς. Η µέση διαδιδόµενη ισχύς είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους y y + ολ y, όπου: a+ δ+ δ δ δ yολ A cos( a+ δ + cos( a+ δ Acos cos, µε a t kz a t kz y y y t y T y Η ισχύς είναι P( t Fυ y T T Zυ y t t t c t T όπου Z Tρ ρc : η σύνθετη µηχανική αντίσταση c y a+ και y Asi δ + δ υ ολ cos δ δ t Εποµένς: δ+ δ δ δ P( t Zυ y Z Asi ( t kz + cos δ+ δ δ δ 4ρc A si ( t kz + cos

12 Η µέση (χρονική ισχύς υπολογίζεται ς µέσος όρος σε µία περίοδο δ δ δ+ δ δ δ P( t Z υ y 4ρc A cos si ( t kz 4ρc A cos t t + δ δ Τελικά: P( t ρc A cos t, δ δ δ που µεγιστοποιείται όταν cos ± δ, δηλαδή, ± π δ δ π, δ δ και ελαχιστοποιείται όταν cos, δηλαδή, δ δ π ( δ δ ( π t. Η σχέση διασποράς που συνδέει τη συχνότητα και το κυµατάνυσµα k ενός αρµονικού κύµατος που διαδίδεται σε ένα ελαστικό µέσο δίνεται από τη σχέση + ak, όπου και α σταθερές ποσότητες. είξτε ότι το γινόµενο της φασικής και της οµαδικής ταχύτητας είναι σταθερό και υπολογίστε το. / + ak + ak ( + ak υ ph k k d υgr ( + ak ak ak υ ak gr dk + ak + ak Εποµένς: υ υ ( + ak a ak ph gr υ phυ gr k + ak υ( /. Ιδανική χορδή µήκους και γραµµικής πυκνότητας ρ, που τείνεται µε τάση Τ, έχει το ένα άκρο της ( στερεµένο σε ακλόνητο σηµείο ενώ το άλλο άκρο της ( είναι ελεύθερο να κινείται χρίς τριβές, µε τη βοήθεια δακτυλιδιού, πάν σε κάθετη στη χορδή ράβδο. Τη χρονική στιγµή t, και ενώ όλα τα σηµεία της χορδής βρίσκονται στην θέση ισορροπίας τους (y(,t, η χορδή διεγείρεται µε µία κατανοµή ταχυτήτν η οποία παίρνει µέγιστη τιµή υ στο σηµείο / και µειώνεται γραµµικά (όπς στο σχήµα, µηδενιζόµενη στα άκρα της χορδής. Να βρείτε την αποµάκρυνση (yy(,t της χορδής για t>. Οι κανονικοί τρόποι ταλάντσης της χορδής y(, t f ( si( t+ ϕ, βάσει της κυµατικής y y d f εξίσσης:, πρέπει να ικανοποιούν την: + f, άρα f ( Asi( k+ θ, όπου c t d c k. Εφαρµόζοντας τις συνοριακές συνθήκες στα άκρα: c (i f ( Asi( θ θ. Εποµένς f ( Asi( k

13 y π π (ii kacos( k k ( k ( π Τελικά: f ( A si( k, µε k ( και ck, οπότε η γενική κίνηση της χορδής, π γράφεται: y(, t A si ( si( t+ θ π (, si ( si θ, Από τις αρχικές συνθήκες έχουµε: y t A ( θ y π υ( A si ( cos t υ( t, που ισοδυναµεί µε την σχέση: και : ( t t π π υ( B si (, όπου B A, και ck c( Οι συντελεστές Fourier, όπου B, υπολογίζονται από τη σχέση l υ υ(, άρα υ B ( si ( π υ d, / π π π υ( si ( υ si ( υ si ( κ / B d d+ d αι οι πράξεις αφήνονται ς εξάσκηση στους σπουδαστές. Χορδή, συνολικού µήκους, αποτελείται από δύο ίσα τµήµατα µήκους / και /, µε γραµµικές πυκνότητες ρ και ρ, αντίστοιχα. Η χορδή τείνεται µε τάση Τ µεταξύ δύο σταθερών σηµείν. α Υπολογίστε τη συνάρτηση αποµάκρυνσης yy(,t, στην περίπτση που η γραµµική πυκνότητα είναι ίδια για όλη τη χορδή (ρ ρ, και οι αρχικές συνθήκες αποµάκρυνσης είναι y(,td(-// και yɺ (, t. β Στην περίπτση που ρ 4ρ, να βρείτε τις συχνότητες τν κανονικών τρόπν ταλάντσης του συστήµατος τν δύο χορδών. (α Υποθέτοντας κανονικούς τρόπους ταλάντσης: y(, t f ( cos( t+ ϕ y, και αντικαθιστώντας y y d f στην εξίσση κύµατος :, βρίσκουµε : + f, οπότε η f γράφεται : c t d c f ( Asi( k+ θ, όπου k c. Από τις οριακές συνθήκες στα άκρα και έχουµε: f ( si( θ θ, και f ( si( k k π, οπότε ck π c. Εποµένς η y γράφεται: y(, t A si(k cos( t + ϕ. Από την αρχική συνθήκη ταχυτήτν : y, προκύπτει: A si( ksi( ϕ ϕ. t t t

14 Άρα η τελική µορφή είναι : y(, t A si( kcos( t. Για τον υπολογισµό τν συντελεστών A εφαρµόζουµε την αρχική συνθήκη αποµακρύνσεν: y(, t D( / / A si( k D( / /, οπότε οι συντελεστές Α υπολογίζονται ς συντελστές Fourier της αρχικής αποµάκρυνσης ( k ( k D D A D si( k d si( k si( d k d D D ( si( ( ( si( ( k k d k k k d k D D D D θ θ θ θ θ θ π π si( d( ( si( d( I I ( π ( π ( π ( π Τα δύο ολοκληρώµατα υπολογίζονται ς εξής : π π π + si( ( si( cos( ( ( cos cos ( o o I θ θ d θ θ θ θ π π π I π π d o θ si( θ ( θ θsi( θ θ cos( θ + cos( θ π π + π π + + ( ( cos (cos cos ( [( ] Εποµένς : D + D + 4D A π( π ( + [( ] ( π π π 8D Τελικά : A,,,5,... A,,4,6,... π (β Στην περίπτση διαφορετικής πυκνότητας π o π o y (, t f ( cos( t+ ϕ, και από την εξίσση κύµατος : d f d + f, και όµοια c d f d y c + f, όπου c 5 / s c y c t, βρίσκουµε : f( Asi( k+ θ, και f( Bsi( k+ θ Συνοριακές συνθήκες στα άκρα: f( si( θ θ, f( si( k+ θ θ k Εποµένς: f( Asi( k, και f( Bsi( k[ ] Συνοριακές συνθήκες στο σηµείο σύνδεσης: (i f( / f( / Asi k Bsi k. k c k Αλλά, k, οπότε, Asi k B si k Bsi k k c Από την τελευταία σχέση προκύπτουν δύο ενδεχόµενα: είτε A B, (α

15 π είτε, si k k π k,. (β df df k (ii ka cos k kb cos k B cos k d / d /, ( η οποία πρέπει να συναληθεύει είτε µε την (α είτε µε την (β. Στην περίπτση που ισχύουν η (α και (, έχουµε: k Acos k ka cos k k Acos k Η σχέση k Acos k k Acos k δεν µπορεί να ισχύει παρά µόνο αν cos k, δηλαδή π π cos k k ( k, ( Στην περίπτση που ισχύουν η (β και (, έχουµε: si k cos k ±, οπότε, η k ( δίνει k A± B A± B. Εποµένς, έχουµε δύο οικογένειες κανονικών τρόπν ταλάντσης: π (Ι: A B, και k, (, ή, ισοδύναµα λ, που σηµαίνει ότι το πρώτο τµήµα της χορδής Y(, ( 4 (µήκους καλύπτεται από ακέραιο πολλαπλάσιο του ενός τετάρτου του αντίστοιχου µήκους κύµατος. Επειδή, µάλιστα, k k λ λ, τα άλλα / της χορδής (µήκους,,,, θα καλύπτονται επίσης από ακέραιο πολλαπλάσιο του ενός / τετάρτου του αντίστοιχου µήκους κύµατος. Αυτή η οικογένεια τν -,,,4,6,8, ( κανονικών τρόπν ταλάντσης είναι συνυφασµένη µε την παρουσία κοιλίας (θετικής ή αρνητικής στο σηµείο σύνδεσης. Στο διπλανό σχήµα, φαίνεται ο κανονικός τρόπος ταλάντσης της χορδής, για τον οποίο ισχύει η µπλέ-χοντρή καµπύλη για το διάστηµα. και η κόκκινη-λεπτή καµπύλη για το διάστηµα., όπου το µετρείται σε µονάδες του (ΙΙ: A± B /, και k, π π λ, λ, λ, ( 4 π, ή, ισοδύναµα, που σηµαίνει ότι το πρώτο τµήµα της χορδής (µήκους καλύπτεται από ακέραιο πολλαπλάσιο του µισού του αντίστοιχου µήκους κύµατος. - Επειδή, µάλιστα, k, k, λ, λ,, τα άλλα / της /,,,4,6,8, χορδής (µήκους θα καλύπτονται επίσης από ακέραιο ( πολλαπλάσιο του µισού του αντίστοιχου µήκους κύµατος. Αυτή η οικογένεια τν κανονικών τρόπν ταλάντσης είναι συνυφασµένη µε την παρουσία δεσµού στο σηµείο σύνδεσης. (Βλ. διπλανό σχήµα, όπς και αντέρ Y(

16 Και για τις δύο οµάδες κανονικών τρόπν ταλάντσης, οι συχνότητες υπολογίζονται από την σχέση c k, όπου οι δείκτες (, αναφέρονται σε µεγέθη τν τµηµάτν ( / και (,,(, ( / /, αντίστοιχα, για τα οποία βέβαια η συχνότητα του -τρόπου είναι κοινή, όπς θα περίµενε κανείς από την βασική ιδιότητα τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. 4. Η διαφορική εξίσση που διέπει την κίνηση, yy(,t, µίας µη-ιδανικής χορδής, η οποία εκτείνεται 4 y y y κατά µήκος της διεύθυνσης, είναι : ay+ b c, όπου : a, b, c, θετικές σταθερές. 4 t Θερώντας οδεύον κύµα συγκεκριµένης συχνότητας και κυµαταριθµού, να υπολογίσετε: α τη σχέση διασποράς (k, για τη συγκεκριµένη χορδή, β την εξάρτηση της ταχύτητας φάσης υ από το µήκος κύµατος, γ την ταχύτητα οµάδας υ g, για τη διάδοση ενός κυµατοπακέτου µε µέσο µήκος κύµατος λ. (α Αντικαθιστώντας οδεύον κύµα, παίρνουµε: (β ( y y t y y 4 i( k t Ae, στην κυµατική εξίσση: ay+ b c 4 y ay+ b( k y c( + k y a+ bk + ck a+ bk + ck a+ bk + ck a aλ 4π c a+ bk + ck υ ph + b+ ck + b+ k k k 4π λ d bk+ ck dk (γ ( 4 ( 4 a bk ck υ ( 4 gr a bk ck bk ck στην οποία αντικαθιστούµε όπου k k π λ ( a+ bk + ck 4, 5. Ιδανική χορδή µήκους και µάζας φέρει στα άκρα της δακτυλίους υ αµελητέας µάζας, µε τη βοήθεια τν οποίν τείνεται µε τάση Τ. Οι δύο δακτύλιοι µπορούν να κινούνται χρίς τριβές σε δύο παράλληλες τροχιές κάθετα στη χορδή, και το σύστηµα βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. α Προσδιορίστε όλους τους κανονικούς τρόπους ταλάντσης (ΚΤΤ µε τους οποίους µπορεί να κινηθεί η χορδή, καθώς και τις συχνότητές τους, και υ σχεδιάστε τους τρείς πρώτους ΚΤΤ. β Τη χρονική στιγµή t, και ενώ η χορδή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας, προσδίδουµε ίσες και αντίθετες ταχύτητες µέτρου υ στα δύο άκρα της, και υποθέτουµε ότι όλα τα ενδιάµεσα σηµεία της προσλαµβάνουν ταχύτητες που κατανέµονται µε γραµµικό τρόπο µεταξύ τν δύο άκρν. Υπολογίστε την αποµάκρυνση yy(,t, κάθε σηµείου της χορδής, για t>, ς επαλληλία κινήσεν µε τους ΚΤΤ, προσδιορίζοντας το βάρος συµµετοχής του κάθε ΚΤΤ. Υποθέτοντας Κανονικό Τρόπο Ταλάντσης, έχουµε : y A cos( k + si( t+ ϕ ϕ. t Εφαρµόζουµε οριακές συνθήκες στα άκρα,, και, όπου, λόγ του ότι είναι ελεύθερα (αµελητέες µάζες, πρέπει να είναι µηδενικές οι κλίσεις. Οπότε : y A k si( ϕ si( t+ϕ t ϕ

17 y π πc A k si( k si( t+ϕ t k π k ck Οι τρείς πρώτοι κανονικοί τρόποι ταλάντσης απεικονίζονται στο διπλανό σχήµα : y y (,,5, Η γενική κίνηση της χορδής περιγράφεται ς άθροισµα κινήσεν µε τους κανονικούς τρόπους ταλάντσης : y(, t A cos( k si( t+ ϕ t -,5 -, Για τον προσδιορισµό τν σταθερών Α και φ t εφαρµόζουµε τις αρχικές συνθήκες για τις αποµακρύνσεις και τις ταχύτητες : y(, t A cos( k si( ϕ ϕ t t y υ A cos( k cos( υ A cos( k υ t t Οπότε, οι συντελεστές Α προκύπτουν ς συντελεστές Fourier στο ανάπτυγµα Fourier της υ, εποµένς : 4υ υ A cos( k d cos( k cos( d k d υ 4υ υ 4υ υ 4υ θ θ θ θ θ [ θ θ θ] θ π π π π π 4υc A ( π π π π π cos( cos( si cos si( ( d d o 6. Μονοδιάστατο ελαστικό µέσο, που εκτείνεται κατά µήκος του άξονα z, χαρακτηρίζεται από την ψ ψ κυµατική εξίσση + a ψ b, όπου a και b, θετικές σταθερές. α Προσδιορίστε τις διαστάσεις t z τν σταθερών a και b και τη σχέση διασποράς (k. Προσδιορίστε το είδος τν λύσεν ψ(z, t όταν διαταράσσουµε το ελαστικό µέσο, στο z, µε µία αρµονική διέγερση συχνότητας, για τις περιπτώσεις β <a, γ >a. δ Προσδιορίστε την οµαδική ταχύτητα διάδοσης ενός κύµατος µε κεντρική συχνότητα, η οποία βρίσκεται σε ένα από τα δύο προηγούµενα διαστήµατα, όπου το µέγεθος αυτό έχει νόηµα. ψ ψ (α Από την µορφή της κυµατικής εξίσσης + a ψ b µπορούµε να προσδιορίσουµε τις t z διαστάσεις (µονάδες τν σταθερών a και b. Οι διαστάσεις τν ψ d( dψ είναι ίδιες µε τις είναι [χρόνος] και [µήκος], αντίστοιχα, ς τετράγνα διαφορικών πρώτης τάξης. Εποµένς, η σταθερά a έχει διαστάσεις [χρόνος] - και η σταθερά b έχει διαστάσεις [µήκος / χρόνος], προκειµένου όλοι οι όροι της εξίσσης να έχουν τις ίδιες διαστάσεις (µονάδες. διαστάσεις του ψ, (ς διαφορές διαφορών του ψ. Οι διαστάσεις τν t ( dt και z ( dz

18 (β Αν υποθέσουµε ότι από το σηµείο εκπέµπεται ηµιτονικό κύµα συχνότητας που, ς δεξιά ( οδεύον στην περιοχή >, θα έχει τη µορφή y Ae i k z t, τότε η αντικατάστασή του στη διαφορική ψ ψ εξίσση κύµατος + a ψ b t z δίνει ψ + aψ k bψ k ( / b ( a / b. Οπότε, όταν <a, το a k i iγ b του να µειώνεται εκθετικά µε την απόσταση. (γ k παίρνει αρνητικές τιµές, δηλαδή το k είναι φανταστικός αριθµός, και το οδεύον κύµα παίρνει τη µορφή: e ( e Όταν >a, το y A A e i ( k t γ z i ( t, µε το πλάτος k παίρνει θετικές τιµές και η µορφή του κύµατος παραµένει εκείνη ενός οδεύοντοα κύµατος µε σταθερό πλάτος και µε κυµατάνυσµα a k. b (δ Η οµαδική ταχύτητα έχει νόηµα για την περιοχή συχνοτήτν όπου το κύµα έχει χαρακτηριστικά οδεύοντος και δεν µειώνεται µε την απόσταση, δηλαδή την περιοχή >a, όπου έχουµε την σχέση ( a b k +. d b k b b Η ταχύτητα οµάδας είναι: υg ( a + b k b k dk ( a ( + b k υ ph k 7. Χορδή απείρου µήκους και γραµµικής πυκνότητας σ o, έχει ένα τµήµα µήκους a πυκνότητας σ και βρίσκεται υπό τάση Τ. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής µετάδοσης ενός επίπεδου κύµατος που k k + kk ιερευνήστε την περίπτση συντονισµού (µέγιστης διαδιδόµενης ενέργειας. προσπίπτει στο τµήµα a δίνεται από τον τύπο: T si ( k a όπου k(σ/τ /. y y y Στο πρώτο τµήµα της χορδής συνυπάρχουν το δεξιά οδεύον (µοναδιαίου πλάτους κύµα i( k t a y e y y i( k t και το αριστερά οδεύον y Be, (ς αποτέλεσµα διαδοχικών ανακλάσεν και διελεύσεν, στο σηµείο ασυνέχειας. Στο δεύτερο τµήµα της χορδής συνυπάρχουν το δεξιά οδεύον y i( k t Ce, και το αριστερά i( k t οδεύον y De, (ς αποτέλεσµα, επίσης, διαδοχικών ανακλάσεν και διελεύσεν, στο σηµείο ασυνέχειας a. i( k t Στο τρίτο τµήµα της χορδής υπάρχει µόνο το δεξιά οδεύον y Ee, δεδοµένου ότι αυτό το κύµα δεν συναντά άλλο σηµείο ασυνέχειας. [Προσέξτε τις διαφορές προσήµν στον όρο k, (που δηλώνουν την διαφορετική κατεύθυνση, καθώς και τις διαφορές δεικτών του k, που δηλώνουν το διαφορετικό ελαστικό µέσο.] Τα πλάτη B, C, D, E, υπολογίζονται από τις τέσσερις οριακές συνθήκες στα σηµεία ασυνέχειας: ( y y ( y y + +, ( y y ( y y + +

19 ( y y ( y +, a ( y+ y y a Αντικαθιστώντας στις παραπάν σχέσεις τις µορφές τν οδευόντν κυµάτν, έχουµε ένα γραµµικό σύστηµα 4 εξισώσεν µε 4 αγνώστους ( B, C, D, E, από την επίλυση του οποίου προκύπτει για πλάτος E, (που είναι ο συνολικός συντελεστής διέλευσης πλάτους του συστήµατος, λόγ του µοναδιαίου πλάτους του προσπίπτοντος. Από την µορφή του συντελεστή διέλευσης φαίνεται ότι έχουµε µέγιστη διέλευση όταν π si ( ka, εποµένς ka π a π a λ, δηλαδή, όταν ένα «πήγαινε-έλα» στο λ ενδιάµεσο µέσο (µήκους a είναι ίσο µε ακέραιο πολλαπλάσιο µηκών κύµατος στο ίδιο µέσο. D T ρ X X 8. Ιδανική χορδή µήκους, είναι συνδεδεµένη, µε το άκρο της, σε ακλόνητο τοίχο. Στο άκρο έχει κρίκο µάζας, µε τον οποίο συνδέεται σε οριζόντια ράβδο, στην οποία µπορεί να κινείται χρίς τριβές. Η χορδή έχει γραµµική πυκνότητα ρ και είναι τεντµένη µε τάση Τ. α Να προσδιορισθεί η σχέση υπολογισµού τν ιδιοσυχνοτήτν του συστήµατος. β Αν ο κρίκος έχει αµελητέα µάζα ( και, κατά τη χρονική στιγµή t, αφεθεί µε µηδενική αρχική ταχύτητα, ενώ βρίσκεται σε απόσταση D<<, από τη θέση ισορροπίας, να βρεθεί η κίνηση της χορδής yy(,t ς επαλληλία τν κανονικών τρόπν ταλάντσης. (α Έστ y(, t f ( cos( t+ ϕ, και από την εξίσση κύµατος : d f + f d c, άρα f ( Asi( k+ θ, όπου k. c y y, βρίσκουµε: c t Συνοριακές συνθήκες στα άκρα: f ( Asi( k+ θ θ k. Εποµένς f ( Asi( k[ ] y y T A k t Ak k t t si( cos( cos( cos(, αλλά si( k si( k και cos( k cos( k, οπότε η προηγούµενη σχέση γίνεται: Y k k k k 4 ρ ( T ta( k ta( k, c k k που επιλύεται µε γραφικό τρόπο, όπς στο διπλανό σχήµα, όπου προσδιορίζονται τα σηµεία τοµής τν δύο συναρτήσεν ta( k και ( ρ T k. k 4 6 8

20 (β Αν ο κρίκος έχει αµελητέα µάζα, τότε η συνοριακή συνθήκη στο άκρο γίνεται y π π cos( k cos( k k (. Άρα τα k ( Η γενική κίνηση της χορδής, ς άθροισµα τν προηγούµενν κανονικών τρόπν, γράφεται: ( ( θ y(, t A si k [ ] cos t+ Θα προσδιορίσουµε τις σταθερές A και θ µε τη βοήθεια τν αρχικών συνθηκών. Η µηδενική αρχική ταχύτητα µεταφράζεται y(, t ( A si ( k[ ] si( θ θ t t Η αρχική αποµάκρυνση εξαρτάται γραµµικά από την απόσταση και είναι της µορφής y(, t D, εποµένς D A si ( k [ ] Dξ / A si ( k ξ, όπου ξ, και εποµένς οι συντελεστές A υπολογίζονται από τη σχέση D A ( Dξ / si( kξ dξ ξ si ( kξ dξ si a cos a Για το τελευταίο ολοκλήρµα µπορεί να θερηθεί γνστό το si ad, και οι a a πράξεις αφήνονται ς µικρή εξάσκηση στους σπουδαστές. 9. Ιδανική χορδή µήκους και µάζας κρέµεται κατακόρυφα, από το ένα άκρο της, υπό την επίδραση του βάρους της. Βρείτε πς µεταβάλλεται η ταχύτητα διάδοσης µίας δαταραχής, κατά µήκος της χορδής, ς συνάρτηση της θέσης. Υπολογίστε το χρόνο που χρειάζεται µία δαταραχή, που εφαρµόζεται στο σηµείο ανάρτησης, για να φτάσει στο ελεύθερο άκρο της. Υπάρχει ανάκλαση; Αν συνδέσουµε στο ελεύθερο άκρο µία άλλη χορδή ίδιου µήκους αλλά µάζας, η οποία κρέµεται ελεύθερα, επίσης υπό την επίδραση του βάρους της, ποιός θα είναι ο συντελεστής ανάκλασης πλάτους στο σηµείο σύνδεσης ; Ποιός είναι ο συντελεστής ανάκλασης πλάτους στο σηµείο σύνδεσης τν δύο χορδών, αν από το ελεύθερο σηµείο της δεύτερης αναρτήσουµε σώµα µάζας Μ>> ; y( Εξίσση κίνησης : y y y T ( y d F( T ( d d T ( d +, t t T g όπου η τάση T ( g. y g y y y y y Εποµένς: d g d g g + +, t t δηλαδή έχουµε κυµατική εξίσση µε µη-σταθερούς συντελεστές. Όσον αφορά στην ταχύτητα διάδοσης, σε κάθε σηµείο, η ταχύτητα είναι (τοπικά T ( g υ( υ( g, οπότε ρ

21 t d d d g gdt gdt t dt o g Στο ελεύθερο άκρο ( δεν υπάρχει ανάκλαση, διότι το κύµα φτάνει µε µηδενική ταχύτητα, (όπς φαίνεται από τη σχέση υ ( g. Στην περίπτση που, στο ελεύθερο άκρο, κρέµεται µία άλλη χορδή, πρέπει να υπολογίσει κανείς την τοπική σύνθετη µηχανική αντίσταση στο σηµείο σύνδεσης, ς Z T ρ, αντικαθιστώντας την κατάλληλη τάση και γραµµική πυκνότητα σε κάθε πλευρά του σηµείου σύνδεσης. Έχουµε: T g, ρ, και T g, ρ, οπότε, αντίστοιχα προκύπτουν οι εκφράσεις για τα µεγέθη Z, Z, προκειµένου να υπολογίσει κανείς του συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης πλάτους, στο σηµείο σύνδεσης, µέσ την γνστών εκφράσεν Z r Z, t Z, Z+ Z Z+ Z (εφόσον δεν υπάρχουν άλλα στοιχεία στο σηµείο σύνδεσης, όπς σηµειακή µάζα, απόσβεση ή ελαστικότητα. [Οι πράξεις αφήνονται για εξάσκηση]. Στην περίπτση ανάρτησης, από το ελεύθερο σηµείο της δεύτερης χορδής, σώµατος µάζας Μ>>, οι γραµµικές πυκνότητες τν δύο χορδών παραµένουν ίδιες, ενώ οι τάσεις µεταβάλλονται κατά τον ίδιο προσθετικό παράγοντα g. [Οι πράξεις αφήνονται για εξάσκηση].. Ιδανική χορδή, που αποτελείται από δύο τµήµατα άπειρου µήκους, µε γραµικές πυκνότητες ρ και ρ αντίστοιχα, τείνεται µε τάση Τ, κατά µήκος του άξονα s. Τα δύο τµήµατα ενώνονται στο σηµείο µε τη βοήθεια σηµειακής µάζας, η οποία είναι T ρ ρ T συνδεδεµένη µε ακλόνητο τοίχο µέσ ελατηρίου σταθεράς s. Η µάζα είναι επίσης συνδεδεµένη µε X X έµβολο, έτσι ώστε, κατά την κίνησή της, να υφίσταται δύναµη τριβής F τρβ -bυ, όπου υ η εγκάρσια ταχύτητα -bυ της χορδής στο σηµείο, και b µία θετική σταθερά. Υποθέστε ότι στο σύστηµα, (που βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας, διαδίδεται ένα δεξιά οδεύoν εγκάρσιο µονοχρµατικό κύµα συχνότητας, το οποίο έρχεται από το -. α Γράψτε τη συνθήκη για τη συνέχεια τν αποµακρύνσεν στο, και τη συνθήκη για την εγκάρσια κίνηση της µάζας. β Υπολογίστε τους συντελεστές διάδοσης πλάτους, (ty o,διερχ /y o,προσπ, και ανάκλασης πλάτους, (ry o,ανακλ /y o,προσπ. γ Μελετήστε τις οριακές συµπεριφορές όταν: i, s, b ii, ή s, ή b, ή, iii s/. εξία οδεύον (προσπίπτον κύµα, για < : y Ae i( k t y Be Ce Αριστερά οδεύον (ανακλώµενο κύµα, για < : εξία οδεύον (διερχόµενο κύµα, για > : y i( k t i( k t Όλα τα κύµατα, (y, y, y, έχουν κοινή συχνότητα, (σχέση ταλανττή-διεγέρτη Το προσπίτον (y και το ανακλώµενο (y έχουν αντίθετα κυµατανύσµατα (k, -k ίδιου µέτρου k /c, αφού οδεύουν σε ελαστικό µέσο που χαρακτηρίζεται από την ταχύτητα διάδοσης διαταραχών c T. Για το διερχόµενο (y, k /c, όπου c ρ T Για τον υπολογισµό τν συντελεστών ρ

22 ανάκλασης πλάτους, rβ/α, και διάδοσης πλάτους, tc/a, εφαρµόζουµε τις οριακές συνθήκες, στο σηµείο ασυνέχειας της πυκνότητας, (, του ελαστικού µέσου. α Συνέχεια της µετατόπισης του ελαστικού µέσου, (τα δύο διαφορετικά τµήµατα της χορδής εξακολουθούν να είναι συνδεδεµένα στο κατά τη διάρκεια της κίνησης: ( y + y y A + B C t r ( β Νόµος του Newto για τη σηµειακή µάζα στο σηµείο ασυνέχειας της πυκνότητας, (, του ελαστικού µέσου: ( y y + y y y T s y b t t ( ( ( C it k C k A B sc b i C ( itk A itk B+ s ib itk C ( s i b + Tk + r+ t itk k ( ( k k b i s (+( t, ( T + r ( k + k + b + i( s T ( k + k + b + i( s T k t k k s + ɺ η t s,. Επίσης, όταν : s/, διαφορές φάσεις k k b r b ɺ η r k + k ɺ η (ανάµεσα στα y, y, y, φ(, ή, π, ενώ για s/, οι διαφορές φάσεις φ (, ή, π. (