Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας

Transcript

1 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας ΦΥΣ102 1

2 Δυναμική Ενέργεια και διατηρητικές δυνάμεις Δυναμική ενέργεια είναι ενέργεια που συνδέεται με την θέση και όχι με την κίνηση του σώματος. Διατηρητικές δυνάμεις είναι οι δυνάμεις που μπορούν να συσχετιστούν με κάποιου είδους δυναμική ενέργεια. Σε ένα διατηρητικό σύστημα η ολική μηχανική ενέργεια ισούται με την πρόσθεση της κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Η ολική μηχανική ενέργεια (διατηρείται) είναι σταθερή. Η μεταβολές της δυναμικής ενέργειας συνοδεύονται με αντίθετες μεταβολές της κινητικής ενέργειας. ΦΥΣ102 2

3 Δυναμική Ενέργεια Ένα σύστημα χαρακτηρίζεται από τη δυναμική του ενέργεια. Παραδείγματα δυναμικής ενέργειας είναι: Συμπιεσμένο ελατήριο. Τεντωμένο λάστιχο. Ένα αντικείμενο σε κάποιο ύψος πάνω από το έδαφος. ΦΥΣ102 3

4 Π.χ.: Βάρος: η κινητική ενέργεια ενός σώματος αυξάνεται κατά την πτώση, γιατί μία δύναμη (το βάρος του) παράγει έργο: W tot = ΔΚ Ένας άλλος τρόπος διατύπωσης είναι να πούμε ότι η κινητική ενέργεια του αυξάνεται γιατί ελαττώνεται η δυναμική του. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια ισούται με: y 1 y 2 U = mgy και το έργο λόγω του βάρους είναι: W tot = Fd = mg y 1 y 2 = mgy 1 mgy 2 = ΔU ΦΥΣ102 4

5 Επομένως: W tot = ΔU = ΔΚ mgy 1 mgy 2 = 1 2 mv mv mv mgy 1 = 1 2 mv mgy 2 Απουσία μησυντηρητικών δυνάμεων, το άθροισμα των μεταβολών της κινητικής και δυναμικής ενέργειας ενός συστήματος παραμένει σταθερό. K 1 + U 1 = K 2 + U 2 Ε 1 = Ε 2 (Διατήρηση Ενέργειας) Κατά την πτώση ενός αντικειμένου έχουμε μετατροπή δυναμικής ενέργειας σε κινητική. Αν δεν ασκούνται άλλες δυνάμεις (απώλεια ενέργειας) τότε η ολική μηχανική ενέργεια διατηρείται. Η δυναμική ενέργεια είναι ιδιότητα του συστήματος και όχι μόνο του αντικειμένου. ΦΥΣ102 5

6 ΜΟΝΟ μεταβολές στη δυναμική ενέργεια μπορούν να μετρηθούν. Επειδή U = mgy, πρέπει να είμαστε συνεπείς ως προς το σημείο y=0 (επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας). Η δυναμική ενέργεια ορίζεται ΜΟΝΟ για συντηρητικές (διατηρητικές) δυνάμεις. ΦΥΣ102 6

7 Συντηρητικές και μη-συντηρητικές δυνάμεις Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν: Το έργο της δύναμης εξαρτάται μόνο από το τελικό και αρχικό σημείο του αντικειμένου πάνω στο οποίο δρα, είναι δηλ. ανεξάρτητο της τροχιάς που ακολουθεί. ΦΥΣ102 7

8 Η συμπερίληψη μη-συντηρητικών δυνάμεων F other έχει ως αποτέλεσμα το άθροισμα των μεταβολών της κινητικής και δυναμικής ενέργειας ενός συστήματος να μην παραμένει σταθερό αλλά: K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2 W other = Ε 2 Ε 1 όπου W other είναι το έργο που παράγεται από F other. Το έργο που παράγεται από όλες τις δυνάμεις, εκτός της βαρυτικής δύναμης, ισούται με την μεταβολή στην ολική μηχανική ενέργεια του συστήματος. W other > 0 η ενέργεια αυξάνεται. W other < 0 η ενέργεια μειώνεται. ΦΥΣ102 8

9 Εναλλακτικός ορισμός συντηρητικής δύναμης: Το συνολικό έργο που παράγει ή καταναλώνει μια συντηρητική δύναμη σε ένα αντικείμενο όταν αυτό διαγράψει μια κλειστή τροχιά είναι μηδέν. Παρουσία τριβής, το έργο δεν εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση αλλά και από την τροχιά. Η τριβή είναι μια μησυντηρητική δύναμη. ΦΥΣ102 9

10 Ο γενικός ορισμός της Δυναμικής ενέργειας της Βαρύτητας είναι: Και γενικά για συντηρητικές δυνάμεις: ΦΥΣ102 10

11 Ελαστική δυναμική ενέργεια Το ελατήριο όταν συμπιέζεται ή επιμηκύνεται έχει δυναμική ενέργεια που την ονομάζουμε ελαστικότητα. Η δύναμη που απαιτείται για τη συμπίεση ή επιμήκυνση είναι: x 2 x 1 Όταν το x 2 είναι μεγαλύτερο από το x 1 το έργο που παράγουμε επί του ελατηρίου είναι αρνητικό: το σώμα κινείται στην κατεύθυνση x και το ελατήριο το απωθεί προς το +x. Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (επιμήκυνση) είναι: ΦΥΣ102 11

12 Στην προηγούμενη διάλεξη βρήκαμε έργο που πρέπει να παραγάγουμε επί του ελατηρίου για να το εκτείνουμε από μια επιμήκυνση x=0 σε μια μεγαλύτερη επιμήκυνση x. Τώρα στην προηγούμενη σελίδα βρήκαμε το έργο που παράγεται από το ελατήριο επί του σώματος και κατά συνέπεια την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. ΦΥΣ102 12

13 Σε μια διάσταση: Εάν παραγωγίσουμε την εξίσωση βρίσκουμε: Σε τρεις διαστάσεις έχουμε: Επομένως μια διατηρητική δύναμη ορίζεται ως: F(x, y, z) = U(x, y, z) ΦΥΣ102 13

14 Συνοψίζοντας, η αρχή διατήρηση της μηχανικής ενέργειας λέει: Εάν σε ένα σύστημα δρουν μόνο συντηρητικές δυνάμεις, τότε η συνολική μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή-διατηρείται. Οι διατηρητικές (συντηρητικές) δυνάμεις προσφέρουν την δυνατότητα αμφίδρομης μετατροπής μεταξύ των 2 μορφών ενέργειας της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας. ΦΥΣ102 14

15 Το έργο που παράγει μια διατηρητική δύναμη έχει πάντα τις εξής ιδιότητες: 1. Μπορεί πάντα να εκφραστεί ως την διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής τιμής της δυναμικής ενέργειας. 2. Είναι αντιστρεπτό. 3. Είναι ανεξάρτητο της τροχιάς που ακολουθεί το σώμα και εξαρτάται μόνο από το σημείο εκκίνησης και κατάληξης της τροχιάς. 4. Αν το αρχικό σημείο συμπίπτει με το τελικό (κλειστή διαδρομή), το συνολικό έργο είναι μηδέν. ΦΥΣ102 15

16 Μη-συντηρητικές (διατηρητικές) δυνάμεις: Τριβή Δυνάμεις που παράγουν Θερμότητα Αντίσταση του αέρα Συντηρητικές (διατηρητικές) δυνάμεις: Ηλεκτρική Δύναμη Χημική (Ενέργεια) Δύναμη Βαρυτική Δύναμη Ελαστική Δύναμη Για ΜΟΝΩΜΕΝΑ (χωρίς απώλειες προς το περιβάλλον) συστήματα ισχύει πάντα η σχέση: ΔK + ΔU + {οποιαδήποτε άλλη μορφή μεταβολή ενέργειας} = 0 Η συνολική ενέργεια για ένα μονωμένο σύστημα ούτε αυξάνεται ούτε ελαττώνεται. Ενέργεια μπορεί να μετατραπεί σε άλλη μορφή και να μεταφερθεί από αντικείμενο σε αντικείμενο αλλά η συνολική ενέργεια του (μονωμένου) συστήματος παραμένει σταθερή. ΦΥΣ102 16

17 Δυναμικές Ενεργειακές Επιφάνειες Ευσταθής και Ασταθής Ισορροπία Στο διάγραμμα απεικονίζεται η δυναμική ενέργεια ενός αντικειμένου που το κινεί μια συντηρητική δύναμη. Η συνολική συμπεριφορά του αντικειμένου προσδιορίζεται από τη μηχανική ενέργειά του. Με ενέργεια E 1, το αντικείμενο «ταλαντεύεται» μεταξύ των σημείων καμπής x 3 και x 2. Με ενέργεια E 2 έχει τέσσερα (4) σημεία καμπής. Με ενέργεια E 0 βρίσκεται σε (σταθερή) ευσταθή ισορροπία x 0. Το σημείο x 4 μπορεί να είναι ένα μέγιστο της Δυναμικής Ενέργειας. Στο σημείο x 4 βρίσκεται σε ασταθή ισορροπία. 17 ΦΥΣ102

18 Κάθε ελάχιστο της καμπύλης δυναμικής ενέργειας είναι μία θέση ευσταθούς ισορροπίας ενώ κάθε μέγιστο είναι ένα σημείο ασταθές ισορροπίας. Η κλίση της πιο πάνω καμπύλης είναι η παράγωγος της συνάρτησης du F = du dx dx. F < 0, ΕΛΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΘΕΤΙΚΗ ΚΛΙΣΗ F = 0, ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ (ΜΕΓΙΣΤΟ Ή ΕΛΑΧΙΣΤΟ) F > 0, ΑΠΩΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΚΛΙΣΗ ΦΥΣ102 18

19 Στρατηγική επιλύσεις ασκήσεων: 1. Διάγραμμα. 2. Προσδιορίζουμε το σύστημα. 3. Προσδιορίζουμε αρχικές και τελικές καταστάσεις ενέργειας για τα αντικείμενα που μας ενδιαφέρουν. 4. Επιλέγουμε σύστημα αναφοράς. 5. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας. 6. Λύνουμε. ΦΥΣ102 19

20 Δύο διαφορετικές νεροτσουλήθρες έχουν το ίδιο ύψος h. Δύο νέοι, ο Paul και η Kathleen, αρχίζουν από το ίδιο σημείο στην κορυφή. (α) Ποιος θα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα κατά την έξοδο από τη τσουλήθρα; (β) Ποιος φτάνει πρώτος στο τέρμα της τσουλήθρας; Αγνοούμε την τριβή και υποθέτουμε ότι και οι δύο τσουλήθρες έχουν το ίδιο μήκος. (α) Η ταχύτητα θα είναι ίδια λόγω Διατήρηση της ενέργειας 1 2 mv mgh v 2gh 2 (β) Επειδή η πίστα της Kathleen είναι περισσότερο απότομη στην αρχή, η Kathleen επιταχύνει περισσότερο για το μεγαλύτερο μέρος της διαδρομής και κατά συνέπεια θα είναι πάντα πιο μπροστά από το Paul και θα φτάσει πρώτη στην έξοδο. ΦΥΣ102 20

21 Ασκήσεις 1. Στο σχήμα που φαίνεται το μέγιστο ύψος της τροχιάς είναι 40 m, και το βαγόνι είναι αρχικά ακίνητο. Βρείτε (α) την ταχύτητα του βαγονιού στον πάτο της διαδρομής (β) Σε τι ύψος έχει την μισή ταχύτητα του (α); 2. Το «βέλος» ενός ψεύτικου όπλου ζυγίζει 0.100kg και οπλίζει ένα ελατήριο. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k = 250 N/m (αγνοούμε τη μάζα του) και συμπιέζεται 6.0 cm. Ποια είναι η ταχύτητα του βέλους όταν φύγει από το ελατήριο στη θέση x=0. ΦΥΣ102 21

22 3. Ένα απλό εκκρεμές αποτελείτε από ένα σφαιρίδιο μάζας m που κρέμεται από ένα σκοινί (αμελητέας μάζας) l. Η σφαίρα απελευθερώνεται στο χρόνο t = 0, όπου το σκοινί σχηματίζει γωνία θ = θ 0 με την κατακόρυφο. (α) Περιγράψτε την κίνηση της σφαίρας ως προς την κινητική και δυναμική της ενέργεια, (β) στη συνέχεια προσδιορίστε την ταχύτητα της σφαίρας σαν συνάρτηση της γωνίας θ (γ) πόση είναι η ταχύτητα στο χαμηλότερο σημείο της διαδρομής (δ) πόση είναι η τάση του σκοινιού. Αγνοείστε την αντίσταση του αέρα. ΦΥΣ102 22

23 4. Το βαγονάκι στο δεύτερο μέρος της διαδρομής φτάνει μόνο μέχρι τα 25 m και σταματάει. Διάνυσε 400 m. Εάν η μάζα του βαγονιού είναι 1000kg βρείτε την απώλεια σε ενέργεια λόγω τριβής (θερμότητα) και την δύναμη της τριβής (υποθέστε ότι είναι περίπου σταθερή). 5. Μια μάζα m που κινείται σε «μη λεία» οριζόντια επιφάνεια με ταχύτητα v 0 και προσκρούει σε ελατήριο (αμελητέας μάζας) το οποίο συμπιέζεται κατά X. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι k, προσδιορίστε τον συντελεστή τριβής κίνησης. ΦΥΣ102 23