Κεφάλαιο 7. Δυναμική ενέργεια και διατήρηση της ενέργειας

Transcript

1 Κεφάλαιο 7 Δυναμική ενέργεια και διατήρηση της ενέργειας

2 Στόχοι 7 ου Κεφαλαίου Βαρυτική δυναμική ενέργεια. Ελαστική δυναμική ενέργεια. Δύναμη και δυναμική ενέργεια. Ενεργειακά διαγράμματα.

3 Δυναμική ενέργεια. Δυναμική ενέργεια είναι μια μορφή ενέργειας που σχετίζεται με τη θέση ενός σώματος όταν ασκούνται πάνω του δυνάμεις. Η δυναμική ενέργεια ουσιαστικά αποθηκεύεται σ ένα σώμα για να επανακτηθεί αργότερα. Οι δυνάμεις που μπορούν να ασκούνται σ ένα σώμα μπορεί να είναι 1. δυνάμεις πεδίου: βαρύτητα, μαγνητικές, ηλεκτρικές 2. δυνάμεις εξ επαφής Για παράδειγμα όταν ένα σώμα βρίσκεται σε ύψος y έχει μια δυναμική: U = mgy H ενέργεια αυτή ονομάζεται βαρυτική δυναμική ενέργεια. Όταν ένα σώμα πέφτει από ύψος y 1 σε ύψος y 2 με την επίδραση της βαρύτητας το έργο που παράγεται στο σώμα από τη βαρύτητα είναι: W grav = Fs = w y 1 y 2 = mgy 1 mgy 2, Ισχύει: W grav = U 1 U 2 = U 2 U 1 = U. Όταν το σώμα πέφτει από το ύψος y 1 στο ύψος y 2 τότε ΔU 0, το έργο της βαρυτικής δύναμης είναι θετικό. Όταν το σώμα ανεβαίνει από το ύψος y 1 στο ύψος y, το έργο είναι αρνητικό και η βαρυτική δυναμική ενέργεια θετική.

4 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας (βαρυτικές δυνάμεις). Ας θεωρήσουμε ότι το σώμα στο προηγούμενο παράδειγμα πέφτει από το σημείο y 1 στο οποίο έχει ταχύτητα υ 1 στο σημείο y 2 με ταχύτητα υ 2 μόνο υπό την επίδραση της βαρύτητας. Τότε το ολικό έργο παραγόμενο έργο πάνω στο σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής του ενέργειας: K = U ή K 2 K 1 = U 1 U 2 K 1 + U 1 = K 2 + U mυ mgy 1 = 1 2 mυ mgy 2 Επομένως υπό την επίδραση της βαρύτητας το σύνολο της κινητικής και δυναμικής ενέργειας, που ονομάζεται ολική μηχανική ενέργεια, παραμένει σταθερό: K + U = σταθερό Αυτό είναι μια πρώτη διατύπωση της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.

5 Παράδειγμα:Ύψος μιας μπάλας του μπέιζμπολ με χρήση της διατήρησης της ενέργειας. Πετάτε μια μπάλα του μπέιζμπολ μάζας 0,145 kg κατακόρυφα προς τα πάνω στον αέρα, προσδίδοντας της μια αρχική ταχύτητα προς τα πάνω μέτρου 20,0 m/s. Χρησιμοποιήστε τη διατήρηση της ενέργειας για να βρείτε σε ποιο ύψος θα φθάσει η μπάλα, αγνοώντας την αντίσταση του αέρα. y 2 = υ 1 2 2g K 1 = U mυ 1 2 = mgy 2 20,0 m/s 2 = = 20,4 m 2 9,80 m/s2 y 1 =0

6 Eπίδραση άλλων δυνάμεων. Όταν ενεργούν και άλλες δυνάμεις πάνω σ ένα σώμα εκτός της βαρύτητας, π.χ. μια δύναμη F other, τότε: W tot = W grav + W other = K 2 K 1 Επίσης έχουμε αναφέρει ότι το έργο της βαρύτητας μπορεί να εξισωθεί με τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας λόγω της μεταβολής της θέσης του αντικειμένου υπό την επίδραση της βαρύτητας: Επομένως: W grav = U 1 U 2 Κ 1 + U 1 + W other = K 2 + U mυ mgy 1 + W other = 1 2 mυ mgy 2

7 K + U + W = K + U, W = K K + U U = 29,7 J Παράδειγμα: έργο και ενέργεια κατά τη ρίψη μιας μπάλας μπέιζμπολ Ας υποθέσουμε ότι στο προηγούμενο παράδειγμα πετάτε τη μπάλα προς τα πάνω με μια δύναμη F και φεύγει από το χέρι σας με μια ταχύτητα 20 m/s. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα. Α) Βρείτε το μέγεθος της δύναμης. Β) βρείτε το μέτρο της ταχύτητας της μπάλας σ ένα σημείο 15,0 m από το σημείο στο οποίο η μπάλα χάνει την επαφή της με το χέρι σας. Α) K 1 = 0 U 1 = mgy 1 = 0,145 kg 9,80 m/s 2 0,50 m = 0,71 J K 2 = 1 2 mυ 2 2 = 1 2 0,145 kg 20,0 m/s 2 = 29,0 J, U 2 = mgy 2 = 0,145 kg 9,80 m/s 2 0 = 0

8 W other = F y 2 y 1 F = W other 29,7 J = = 59 N y 2 y 1 0,5 m B) Για να βρούμε το μέτρο της ταχύτητας στο σημείο 3, θα πρέπει να θεωρήσουμε ότι η δύναμη από το σημείο 2 στο 3 παύει να δρα άρα: W other = 0 Μεταξύ των 2 και 3 διατηρείται η μηχανική ενέργεια: υ 3y = ± 2K 3 m K 2 + U 2 = K 3 + U 3 U 3 = mgy 3 = 0,145 kg 9,80 m/s 2 15,0 m = 21,3 J = ± 2 7,7 J 0,145 kg =± 10 m s, K 3 = K 2 + U 2 mgy 3 = = 29,0 J + 0J 21,3 J = 7,7 J K 3 = 1 2 mυ 3y 2 Η σημασία του προσήμου είναι ότι η μπάλα διέρχεται δύο φορές από το σημείο 3, μια φορά κατά την άνοδο και μια φορά κατά την κάθοδο.

9 Βαρυτική δυναμική ενέργεια σε καμπύλη τροχιά. Το έργο που παράγεται από την επίδραση της βαρύτητας σε σώμα που κινείται σε καμπύλη τροχιά μεταξύ δύο σημείων που αντιστοιχούν σε ύψος y 1 και y 2 είναι ίσο με το έργο της βαρυτικής δύναμης αν το σώμα έκανε μια κατακόρυφη τροχιά μεταξύ αυτών των δύο σημείων. W grav = m y 2 y 1 = my 1 my 2 = U 1 U 2 = U

10 Παράδειγμα: Ενέργεια κατά την κίνηση βλήματος. Παίχτης του μπέιζμπολ πετάει κτυπάει δύο πανομοιότυπες μπάλες με το ίδιο μέτρο αρχικής ταχύτητας αλλά με διαφορετική γωνία. Να αποδειχθεί ότι στο ίδιο ύψος h οι μπάλες έχουν το ίδιο μέτρο ταχύτητας αν αγνοηθεί η αντίσταση του αέρα. Αν ασκείται μόνο η δύναμη της βαρύτητας πάνω στις μπάλες και αγνοηθεί η αντίσταση του αέρα τότε η ολική μηχανική ενέργεια διατηρείται. Στο ίδιο ύψος της τροχιάς τους οι δύο μπάλες έχουν την ίδια βαρυτική δυναμική ενέργεια. Άρα λόγω της διατήρησης της ολικής μηχανικής ενέργειας που είναι το άθροισμα της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και της κινητικής ενέργειας, και η κινητική ενέργεια θα είναι ίδια στο ίδιο ύψος για τις δύο μπάλες. Άρα το μέτρο της ταχύτητας θα είναι το ίδιο για το ίδιο ύψος στο οποίο βρίσκονται οι δύο μπάλες.

11 Παράδειγμα: Μέγιστο ύψος βλήματος με χρήση ενεργειακών μεθόδων. Στο παράδειγμα της μελέτης της κίνησης βλήματος καταλήξαμε σε μια έκφραση για το μέγιστο ύψος h ενός βλήματος που βάλλεται με αρχική ταχύτητα μέτρου υ 0 και με αρχική γωνία α 0 : h = υ 0 2 sin α 0 2 2g Να αποδείξετε την έκφραση αυτή χρησιμοποιώντας ενεργειακές έννοιες.

12 υ 2 = υ 1x 2 + υ 2y 2 K 1 = 1 2 m υ 1x 2 + υ 1y 2 K 2 = 1 2 m υ 2x 2 + υ 2y 2 Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στα σημεία 1 και 2 δίνει: Κ 1 + U 1 = K 2 + U m υ 1x 2 + υ 1y = 1 2 m υ 2x 2 + υ 2y 2 + mgh υ 1x = υ 2x και υ 2y = 0 υ 1y 2 = 2gh υ 1y = υ 0 sin α 0 h = υ sin α 0 2g

13 Παράδειγμα: Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας κατά μήκος της περιφέρειας ενός κατακόρυφου κύκλου. Στο πιο κάτω σχήμα ένας αθλητής του σκέιτμπορντ κατηφορίζει με το πατίνι του κατά μήκος πίστας σε σχήμα τεταρτημόριου με ακτίνα R. Ο αθλητής εκκινεί από την ηρεμία και δεν υπάρχει τριβή. Η συνολική μάζα του αθλητή και του σκέιτμπορτν είναι 25,0 kg. Α) βρείτε το μέτρο της ταχύτητας στο κατώτατο σημείο της κατωφέρειας. Β) βρείτε την κάθετη δύναμη που δρα στον αθλητή στο κατώτατο σημείο της τροχιάς.

14 K 1 = 0 U 1 = mgr K 2 = 1 2 mυ 2 2 U 2 = 0 K 1 + U 1 = K 2 + U mgr = 1 2 mυ , υ 2 = 2gR = 7,67 m/s a rad = υ 2 2 R = 2gR R = 2g Στο σημείο 2 ισχύει: F y = n w = ma rad = 2mg n = w + 2mg = 3mg

15 Παράδειγμα: Ένας κατακόρυφος κύκλος με τριβή. Στο προηγούμενο παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι η κατηφορική πίστα έχει τριβή και ότι το μέτρο της ταχύτητας του αθλητή είναι 6,00 m/s. Πόσο έργο παρήχθη από τη δύναμη τριβής που ασκείται στον αθλητή; Χρησιμοποιήστε την τιμή R=3,00 m. K 1 + U 1 + W f = K 2 + U 2 K 1 = 0, U 1 = mgr = 735 J K 2 = 1 2 mυ2 = 450 J W f = 285 J Η ολική μηχανική ενέργεια μειώνεται κατά 285 J.

16 Παράδειγμα: Ένα κεκλιμένο επίπεδο με τριβή. Ένα ανακατασκευασμένο κιβώτιο ταχυτήτων αυτοκινήτου βρίσκεται μέσα σε ξύλινο κιβώτιο πάνω στο δάπεδο. Η συνολική μάζα είναι 12 kg. Το κιβώτιο πρέπει να μεταφερθεί στην επιφάνεια μιας προβλήτας μεταφόρτωσης με ολίσθηση κατά μήκος μιας ράμπας μήκους 2,5 m με κλίση 30 ο. Ο εργοδηγός του εργαστηρίου, χωρίς να δώσει σημασία στη δύναμη της τριβής, εκτιμά ότι για να καλύψει το κιβώτιο όλο το μήκος της ράμπας, αρκεί αυτός να προσδώσει στο κιβώτιο αρχική ταχύτητα 5,0 m/s στο κατώτατο σημείο και να το αφήσει να ολισθήσει ελεύθερα προς τα πάνω. Δυστυχώς η τριβή δεν είναι αμελητέα. Το κιβώτιο ολισθαίνει προς τα πάνω καλύπτοντας μήκος 1,6 m, σταματά και ολισθαίνει και πάλι προς τα κάτω. Στο σχ. Φαίνεται η εξέλιξη της προσπάθειας του εργοδηγού, α) υποθέτοντας ότι η δύναμη της τριβής που ασκείται στο κιβώτιο είναι σταθερή, βρείτε το μέτρο της. β) Πόσο γρήγορα κινείται το κιβώτιο όταν φθάσει στο κατώτατο σημείο της ράμπας;

17 α) υποθέτοντας ότι η δύναμη της τριβής που ασκείται στο κιβώτιο είναι σταθερή, βρείτε το μέτρο της. K 1 = kg 5,00 m/s 2 = 150 J U 1 = 0 K 2 = 0 U 2 = 12 kg 9,8 m/s 2 0,80 m = 94 J W other = fs K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2 W other = fs = K 2 + U 2 K 1 U 1 f = K 2 + U 2 K 1 U J = s 1,6 m = 35 N

18 β) Πόσο γρήγορα κινείται το κιβώτιο όταν φθάσει στο κατώτατο σημείο της ράμπας; Το έργο της τριβής και στο ανέβασμα από 1 στο 2 αλλά και στο κατέβασμα 2 στο 3 είναι αρνητικό. W other = W fric = 2fs = 2 35 N 1,6 m = 112 J K 1 = kg 5,00 m/s 2 = 150 J U 1 = 0 K 1 + U 1 + W other = K 3 + U 3 K 3 = K 1 + U 1 U 3 + W other = 150 J J = 38 J K 3 = 1 2 mυ 3 2 υ 3 = 2K 3 m = 2 38 N 12 kg = 2,5 m/s

19 Ελαστική Δυναμική Ενέργεια. Όταν ένα βαγόνι τραίνου προσκρούει σ ένα προφυλακτήρα με ελατήριο, τότε το ελατήριο συμπιέζεται. Αν δεν υπάρχει τριβή το ελατήριο εκτείνεται προς τα πίσω και το βαγόνι κυλά προς την αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα ίδιου μέτρου. Δηλ., η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί στο ελατήριο δίνεται πίσω με τη μορφή κινητικής ενέργειας. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ελαστικής δυναμικής ενέργειας. (ελαστικό λέγεται το σώμα που μπορεί μετά από μια παραμόρφωση να επανέλθει στο αρχικό του σχήμα. Το έργο που παράγεται επί ενός ελατηρίου που επιμηκύνεται από το x 1 στο x 2 είναι θετικό: W = 1 2 kx kx 1 2. Όταν το αφήσουμε να χαλαρώσει από το x 2 στο x 1 το έργο που παράγεται επί του ελατηρίου είναι αρνητικό. Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα το έργο που παράγει το ελατήριο για να πάει από το x 1 στο x 2 είναι: W el = 1 2 kx kx 2 2 Η ποσότητα U = 1 2 kx2 ονομάζεται ελαστική δυναμική ενέργεια. Το έργο που παράγεται στο σώμα που είναι αναρτημένο στο ελατήριο όταν επιμηκύνεται από το x 1 στο x 2 είναι: W el = 1 2 kx kx 2 2 = U 1 U 2 = U

20 Θεωρώντας ότι η ελαστική δύναμη είναι η μόνη δύναμη που παράγει έργο επί του σώματος, τότε W tot = W el = U 1 U 2 = K 2 K 1 1 mυ kx = 1 mυ kx Όταν η μόνη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι η ελαστική δύναμη, η ολική μηχανική ενέργεια διατηρείται, E = K + U.

21 Αν και άλλες δυνάμεις παράγουν έργο επί του σώματος τότε: W el + W other = K 2 K 1, W el = U 1 U 2 K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2 1 mυ kx W other = 1 mυ kx 2 2 2

22 Βαρυτική και Ελαστική Δυναμική Ενέργεια. Τι συμβαίνει όταν για παράδειγμα ένα σώμα κρέμεται από ένα ελατήριο και υπόκειται στη δύναμη της βαρύτητας. Τότε η συνολική δυναμική ενέργεια είναι το άθροισμα της βαρυτικής και ελαστική δυναμικής ενέργειας: U = U grav + U el Όταν ασκείται και κάποια δύναμη πέρα της βαρυτικής και της ελαστικής δύναμης ισχύει: K 1 + U grav,1 + U el,1 + W other = K 2 + U grav,2 + U el,2 Το έργο που παράγεται από όλες τις δυνάμεις, εκτός από τη βαρυτική και την ελαστική δύναμη, είναι ίσο προς τη μεταβολή στην ολική μηχανική ενέργειας E = K + U του συστήματος, όπου U είναι το άθροισμα της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και της ελαστικής δυναμικής ενέργειας.

23 Παράδειγμα: Κίνηση με ελαστική δυναμική ενέργεια. Στο πιο κάτω σχήμα ένας ολισθητής μάζας m=0,200 kg βρίσκεται στη θέση x=0 μιας οριζόντιας αεροτροχιάς χωρίς τριβές και είναι συνδεδεμένος με ελατήριο σταθεράς k=5,00 N/m. Έλκετε τον ολισθητή, εκτείνοντας το ελατήριο κατά 0,100 m και στη συνέχεια τον αφήνετε χωρίς αρχική ταχύτητα. Ο ολισθητής αρχίζει να κινείται πάλι προς τη θέση ισορροπίας του (x=0). Πόση είναι η x συνιστώσα της ταχύτητάς του όταν x=0,080 m; K 1 = 1 2 0,200 kg 0 2 = 0 U 1 = 1 2 5,00 N/m 0,100 m 2 = 0,0250 J K 2 = 1 2 0,200 kg υ 2 2 U 2 = 1 2 5,00 N/m 0,080 m 2 = 0,0160 J K 1 + U 1 = K 2 + U 2 K 2 = 0,0090 J υ 2 = ± 2K 2 = ±0,30 m/s. Αφού ο ολισθητής κινείται προς το μηδέν δεχόμαστε m τη λύση -0,30 m/s

24 Παράδειγμα: Κίνηση με ελαστική δυναμική ενέργεια και έργο παραγόμενο από άλλες δυνάμεις. Υποθέστε ότι ο ολισθητής στο προηγούμενο παράδειγμα αρχικά ηρεμεί στη θέση x=0 ενώ το ελατήριο είναι ανέκτατο. Στη συνέχεια εφαρμόζετε μια σταθερή δύναμη F στην κατεύθυνση +x και μέτρου 0,610 Ν στον ολισθητή. Πόση είναι η ταχύτητα του ολισθητή όταν αυτός έχει μετακινηθεί στη θέση x=0,100 m. K 1 = 0 U 1 = 0 K 2 = 1 2 mυ 2 2 U 2 = 1 2 5,00 N/m 0,100 m 2 = 0,0250 J W other = 0,610 N 0,100 m = 0,0610 J K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2 K 2 = ,610 N 0,0250 J = 0,0360 J υ 2 = ± 2K 2 m =± 0,060 m/s. υ 2 = 0,60 m/s, επιλέγουμε τη θετική ταχύτητα επειδή ο ολισθητής κινέιται προς την κατεύθυνση +x.

25 Παράδειγμα: Κίνηση με ελαστική δυναμική ενέργεια όταν παύσουν να ενεργούν άλλες δυνάμεις. Στο προηγούμενο παράδειγμα υποθέστε ότι η δύναμη F παύει να ασκείται τη στιγμή που ο ολισθητής φθάνει στο σημείο x=0,100 m. Πόση επιπλέον απόσταση καλύπτει ο ολισθητής πριν σταματήσει; Στο προηγούμενο παράδειγμα βρήκαμε για το στο σημείο όπου ο ολισθητής με την επίδραση της δύναμης F έχει μετακινηθεί στη θέση x=0,100 m η κινητική ενέργεια K 2 =0,0360 J και U 2 =0,0250 J. Επομένως η ολική μηχανική ενέργειας είναι: K 2 + U 2 = 0,0610 J Όταν ο ολισθητής σταματά στο x=x 3, η κινητική ενέργεια K 3 είναι μηδέν και η δυναμική ενέργεια U 3 είναι: K 2 + U 2 = K 3 + U 3 U 3 = K 2 + U 2 K 3 = 0,0360J + 0,0250J 0 = 0,0610J Αλλά U 3 = 1 2 kx 3 2 επομένως: x 3 = 2U 3 k = 2 0,0610J 5,00 N/m = 0,156 m Όταν δεν ασκείται πια η δύναμη πάνω στο σώμα για x=0,100 m, το σώμα καλύπτει επιπλέον απόσταση 0,056 m.

26 Κατά τη διάρκεια της συμπίεσης ασκείται η δύναμή της τριβής προκαλώντας αρνητικό έργο αφού η δύναμη τριβής ασκείται αντίθετα προς την μετατόπιση. Άρα: W other = N 3,00 m = J Παράδειγμα: Κίνηση με βαρυτικές, ελαστικές δυνάμεις και με δυνάμεις τριβής. Ένας ανελκυστήρας μάζας 2000 kg με κομμένο το συρματόσκοινο ανάρτησής του υφίσταται ελεύθερη πτώση με ταχύτητα 25 m/s όταν έρχεται σε πρώτη επαφή με ένα ελατήριο απορρόφησης κραδασμών στον πυθμένα του φρέατος του ανελκυστήρα. Το ελατήριο θα προκαλέσει την ακινητοποίηση του ανελκυστήρα και θα υποστεί συμπίεση 3,00 m κατά τη διάρκεια αυτή. Κατά τη διάρκεια της κίνησης ένας σφιγκτήρας ασφαλείας ασκεί σταθερή δύναμη τριβής N στον ανελκυστήρα. Ποια πρέπει να είναι σταθερή δύναμης του ελατηρίου; Αρχική ταχύτητα υ 1 =25 m/s. K 1 = 1 2 mυ 1 2 = kg 25 m/s 2 2 = J Επιλέγουμε στο σημείο 1, y 1 =0, όταν ο ανελκυστήρας ακουμπά το ελατήριο και στο σημείο 2, y 2 =-3 m.

27 Η δυναμική ενέργεια στο σημείο 1 δηλαδή το άθροισμα της βαρυτικής και της ελαστικής θα είναι μηδέν αφού το ελατήριο σ αυτή τη θέση δεν είναι ακόμα συμπιεσμένο και θεωρήσαμε y 1 =0 (άρα U grav = mgy 1 = 0). Στο σημείο 2, η ολική δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας και ελαστικής δύναμης του ελατηρίου θα είναι: U 2 = 1 2 ky mgy 2 mgy 2 = 2000 kg 9,80 m/s 2 3,00 m = J Η δύναμη της τριβής είναι αντίθετη προς τη μετατόπιση οπότε το έργο της στο σημείο 1 θα είναι: Επομένως, W other = N 3,00 m = J K W other = ky mgy 2 k = 2 K 1 + W other mgy 2 = y 2 2 = 1, N/m J J 58800J 3,00 m 2

28 Διατηρητικές και μη διατηρητικές δυνάμεις ή αλλιώς συντηρητικές ή μη συντηρητικές δυνάμεις. Όταν πετάμε μια μπάλα προς τα πάνω τότε η μπάλα επιβραδύνεται καθώς η κινητικής της ενέργεια μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια. Κατά την επιστροφή της μπάλας προς τα κάτω η μπάλα επιταχύνεται καθώς δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική. Αν δεν υπήρχε η τριβή του αέρα τότε η μπάλα θα έφτανε στο χέρι μας με την ίδια ταχύτητα που την πετάξαμε προς τα πάνω. Αν ένας ολισθητής που κινείται σε οριζόντια τροχιά χωρίς τριβές προσκρούσει πάνω σε προφυλακτήρα στο τέλος της αεροτροχιάς, το ελατήριο συμπιέζεται και ο ολισθητής σταματά. Στη συνέχεια ο ολισθητής αναπηδά και αφού δεν υπάρχει τριβή, αποκτά ταχύτητα ίδιου μέτρου και κινητική ενέργεια που είχε πριν την πρόσκρουση. Σ αυτό το παράδειγμα έχουμε και πάλι μια αμφίδρομη μετατροπή της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας. Και στα δύο παραδείγματα, στη μια περίπτωση η βαρυτική δύναμη και στη δεύτερη περίπτωση η ελαστική δύναμη του ελατηρίου προσφέρουν τη δυνατότητα αμφίδρομης μετατροπής της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας και γι αυτό ονομάζονται διατηρητικές ή συντηρητικές δυνάμεις.

29 Για κάθε διατηρητική δύναμη το έργο που παράγεται από τη δύναμη αυτή εξαρτάται μόνο από τα ακραία σημεία της διαδρομής και όχι από τη διαδρομή. Στο πιο κάτω σχήμα η βαρυτική δύναμη παράγει το ίδιο έργο επί του δρομέα που είναι ανεξάρτητο από τον ακολουθούμενο δρόμο μεταξύ των σημείων 1 και 2. Αν οι μοναδικές δυνάμεις που παράγουν έργο είναι διατηρητικές, τότε η ολική μηχανική ενέργεια E = K + U είναι σταθερή. Αν υπάρχει τριβή π.χ. στο παράδειγμα με την μπάλα που πετάμε ψηλά στον αέρα, τότε η μέρος της μηχανικής ενέργειας θα χαθεί και κατά την επιστροφή της στο χέρι μας η μπάλα θα έχει μικρότερη ταχύτητα από την αρχική και επομένως μικρότερη κινητική ενέργεια. Δηλαδή η δύναμη της τριβής παράγει αρνητικό έργο και επομένως η μηχανική ενέργεια ελαττώνεται. Η χαμένη μηχανική ενέργεια δεν μπορεί να αναπληρωθεί με αντιστροφή της κίνησης. Μια τέτοια δύναμη, όπως είναι η τριβή ονομάζεται μη διατηρητική ή μη συντηρητική.

30 Παράδειγμα: Το έργο της τριβής εξαρτάται από το δρόμο. Κινούμε το στρώμα στο σημείο 1 από το σημείο 2 του σχήματος. Το στρώμα ολισθάνει πάνω στο δάπεδο κατά τη μετακίνηση. Στο σχήμα δείχνονται δύο δρόμοι μια είναι μια ευθεία (2,50 m) που ενώνει τα σημεία 1 και 2 και η άλλη είναι η τεθλασμένη με δύο σκέλη (2,00 m και 1,50 m). Πόσο περισσότερο έργο πρέπει να παράγετε για να ωθήσετε το στρώμα κατά την τεθλασμένη διαδρομή; W you = W fric = f k s = +μ k mgs = = 0,200 40,0 kg 9,80 m/s 2 2,50 m = 196 J ευθύγραμμη διαδρομή W you = W fric == 0,200 40,0 kg 9,80 m 2,00 m + 1,50 m = s J τεθλασμένη διαδρομή Το επιπλέον έργο είναι 78 J

31 Δύναμη και δυναμική ενέργεια. Το έργο που παράγεται από μια διατηρητική δύναμη (βαρύτητα, ελαστική δύναμη σε ελατήριο) W είναι ίσο με τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας ΔU με αντίθετο πρόσημο: W = U Θεωρώντας μια διάσταση το έργο W που παράγεται από μια δύναμη F(x) που προκαλεί μετατόπιση κατά Δx είναι: W = F x x x = U Και επομένως για μια διατηρητική δύναμη ισχύει: F x x = U x Όταν x 0 τότε F x x = du x dx

32 Γραφικές παραστάσεις ελαστικής δύναμης ελατηρίου και ελαστικής δυναμικής ενέργειας σε σχέση με τη μετατόπιση x του ελατηρίου. Γραφικές παραστάσεις βαρυτικής δύναμης και βαρυτικής δυναμικής ενέργειας σε σχέση με την κατακόρυφη μετατόπιση y.

33 Δύναμη και δυναμική ενέργεια σε τρεις διαστάσεις. F = U x i + U y j + U z k = U Ενεργειακά διαγράμματα (Ευσταθής-ασταθής ισορροπία).