ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος

Transcript

1 Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση των σχετικών σχημάτων και ασκήσεων Φυσική 1

2 ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Έργο W F s cos W F Μεταβαλλόμενη δύναμη στην ευθύγραμμη κίνηση W dw Fdx s Φυσική 2

3 ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Έργο W dw Fdx F kx W 1 2 kx Φυσική 3 2

4 ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Μέση Ισχύς Μέση ενέργεια ανά μονάδα χρόνου W -W 2 1 P = = av t - t 2 1 W t Στιγμιαία Ισχύς P= W lim dw t 0 t dt Φυσική 4

5 ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος W Fs mv mv K mv Κινητική Ενέργεια!!! W K K K tot 2 1 Το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη εξωτερική δύναμη επί ενός σωματίου είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειάς του Φυσική 5

6 ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Βαρυτική Δυναμική ενέργεια W mgy mgy U U U grav Ολική μηχανική ενέργεια U U Fother U W U Fother 1 1 other 2 2 Το έργο που παράγεται από όλες τις δυνάμεις (εκτός από τη βαρυτική) ισούται με τη μεταβολή της ολικής μηχανική ενέργειας Φυσική 6

7 ΣΥΝΟΨΗ 4 ου Μαθήματος Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Καθορισμός αρχικής (1 ) και τελικής (2 ) κατάστασης Καθορισμός του συστήματος συντεταγμένων (το y προς τα πάνω για τη σχέση U=mgy ) Καταγραφή τιμών ενέργειας (Κ 1, Κ 2, U 1, U 2 ) Υπολογισμός έργου άλλων δυνάμεων W other Χρήση σχέσης: U W U 1 1 other 2 2 Προσοχή: Η βαρύτητα στο ΔU, άλλες δυνάμεις στο W other Φυσική 7

8 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Δυναμική ενέργεια Υποκαθιστά την ανάγκη υπολογισμού του έργου κάποιας δύναμης Παράδειγμα: Βαρυτική Δυναμική ενέργεια Χωρίς θεώρηση W K K K Δυναμικής Ενέργειας tot 2 1 Με θεώρηση Δυναμικής Ενέργειας W tot Έργο όλων των δυνάμεων +W + U + K =U K 1 1 other 2 2 W other Έργο όλων των δυνάμεων εκτός των βαρυτικών Φυσική 8

9 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ελατήρια: Αποθήκες μηχανικής ενέργειας Αποθήκευση ενέργειας από το βαρυτικό πεδίο Αποθήκευση ενέργειας στο ελατήριο Ελαστική Δυναμική ενέργεια Βαρυτική Δυναμική ενέργεια Φυσική 9

10 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έργο που παράγουμε επί του ελατηρίου x W kx kx x 2 Φυσική 10

11 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Έργο που παράγεται από το ελατήριο F kx 1 1 Wel kx kx 2 2 el Η ποσότητα 12 kx ονομάζεται ελαστική δυναμική ενέργεια W U U U Φυσική 11

12 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U 1 2 kx Έ 2 Wel Fother U 0 tot W W U U tot el 1 2 W U U U U Διατήρηση ολικής μηχανικής ενέργεια Φυσική 12

13 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ W U U U el 1 2 Fother W W W K K tot el other U U W U 1 2 other 2 1 W U 1 1 other 2 2 Το έργο που παράγεται από όλες τις δυνάμεις (εκτός από την ελαστική) ισούται με τη μεταβολή της ολικής μηχανικής ενέργειας Φυσική 13

14 ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ & ΒΑΡΥΤΙΚΗ 1 2 U W U 1 1 other U kx mgy K 1 2 mv kx mgy mv Wother kx mgy mv Φυσική 14

15 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα 7-11 Σε ένα «καταστροφικό» σενάριο, σε ένα ανελκυστήρα μάζας 2000Kg κόβεται το συρματόσχοινο και ο ανελκυστήρας με ταχύτητα 25m/s πέφτει σε ελατήριο απορρόφησης και το συμπιέζει 3m. Παράλληλα, ένας σφιγκτήρας ασφαλείας ασκεί δύναμη τριβής 17000Ν στο ασανσέρ. α) Ποια η σταθερά του ελατηρίου; β) Τι θα γίνει μετά τη συμπίεση του ελατηρίου; W U1 1 U other kx mgy mv Wother kx mgy mv Φυσική 15

16 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U W U 1 1 other 2 2 Επίπεδο Αναφοράς * v * 3 k * 9.8 * k 1.41*10 N / m Φυσική 16

17 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ γ) Αν η τριβή του μηχανισμού ασφαλείας εφαρμόζεται συνέχεια με τι ταχύτητα θα φύγει το ασανσέρ από το ελατήριο; U W U 1 1 other 2 2 Επίπεδο Αναφοράς 5 ύ k 1.41*10 N / m * v * 3 k * 9.8 * 3 0 v m / s Φυσική 17

18 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ δ) Με τι ταχύτητα θα επιστρέψει το ασανσέρ στο ελατήριο μετά την αναπήδησή του; ε) Ποια συνολική διαδρομή θα διανύσει το ασανσέρ προτού σταματήσει και σε ποιο ύψος θα σταματήσει; Επίπεδο Αναφοράς Φυσική 18

19 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Άσκηση 7-20 Σώμα μάζας 2Kgr συμπιέζει ελατήριο σταθεράς k=400n/m κατά 0.22m. Όταν το αφήσουμε ελεύθερο ανέρχεται κατά μήκος επιφάνειας κλίσης 37 ο χωρίς τριβή. α) Ποια ταχύτητα έχει το σώμα μόλις φύγει από το ελατήριο; Β) Πόση διαδρομή θα διανύσει το σώμα στην επικλινή επιφάνεια πριν σταματήσει; U U kx mgy 1 mv 1 kx mgy 1 mv Φυσική 19

20 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Άσκηση 7-20 (συνέχεια) 1 2 s 3 y U U U U Μόλις φύγει από το ελατήριο * v v 3.11 m / s Μόλις σταματήσει πάνω στην επικλινή επιφάνεια 1 2 o 400 * * 9.8 * s * sin s 0.82m Φυσική 20

21 ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Βαρυτικό πεδίο: Έργο ανεξάρτητο του δρόμου διαδρομής Έργο αντιστρεπτό Ανεξάρτητο της τροχιάς ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ (ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ) Αν το αρχικό και το τελικό σημείο συμπίπτουν, το συνολικό έργο είναι μηδέν Μπορεί να εκφραστεί ως διαφορά αρχικής-τελικής δυναμικής ενέργειας Φυσική 21

22 ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Τριβή ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ (ΜΗ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ) Έργο μη αντιστρεπτό Αν το αρχικό και το τελικό σημείο συμπίπτουν, το συνολικό έργο δέν είναι μηδέν Δεν μπορεί να εκφραστεί μέσω δυναμικής ενέργειας Φυσική 22

23 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ W U U U grav 1 2 W U U U el 1 2 Σε όλες τις περιπτώσεις διατηρητικών δυνάμεων το έργο της δύναμης συνδέεται με δυναμική ενέργεια Παράδειγμα Γενικά W U F x0 kx Wel F x U F du dx 1 2 kx Φυσική 23 2 F U x

24 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Παράδειγμα 7-13 Ένα ηλεκτρικά φορτισμένο σωμάτιο κρατείται σε ηρεμία στο x=0 και ένα δεύτερο κινείται ελεύθερα στον άξονα x. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι U=k/x. Ποια ηλεκτρική δύναμη ασκείται στο κινούμενο φορτίο, ως συνάρτηση της θέσης x. F du dx 1 k( ) x k x 2 2 Φυσική 24

25 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Θεώρηση του στερεού σώματος όχι ως ένα εξιδανικευμένο μοντέλο Επιμήκυνση Θλίψη Στρέψη Τάση Παραμόρφωση Δύναμη ανά μονάδα Μεταβολή μήκους ανά μονάδα ~ επιφάνειας Μήκους (σχετική μεταβολή) Μέτρο ελαστικότητας Νόμος του Hooke (για στερεά σώματα) Φυσική 25

26 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Εφελκυσμός Ανάλογος εφελκυσμού ελατηρίου, τάσης σε σχοινί Τάση εφελκυσμού Μονάδα: 1Ν/m 2 =1Pa 1MPa = 10 6 Pa = 10bar τ F A Πίεση ελαστικών: 2bar=2*10 5 Pa Πίεση Ατμόσφαιρας: ~1bar (1.013bar) Αντοχή ατσάλινου σχοινιού: 10 8 Pa=1kbar Φυσική 26

27 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Συμπίεση-Θλίψη Τάση συμπίεσης ή θλιπτική τάση τ F A Φυσική 27

28 ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΘΛΙΨΗ Εφελκυσμός στα σχοινιά Αποτελεσματικός σε μεσαία φορτία - μεγάλες αποστάσεις Θλίψη στα τόξα της γέφυρας Αποτελεσματικός σε μεγάλα φορτία - μικρές αποστάσεις Φυσική 28

29 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Παραμόρφωση Εφελκυσμού Ποσοστιαία (ανηγμένη) μεταβολή μήκους e l l l l 0 l 0 0 Παραμόρφωση Συμπίεσης ή Θλιπτική παραμόρφωση e l F 0 e A l Νόμος του Hooke Y: Μέτρο του Young (Μονάδες πίεσης) Φυσική 29

30 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ e F kx Y: Δυσκολία επιμήκυνσης Μόλυβδος: 0.16*10 11 Pa = 0.16Mbar Ατσάλι: 2.0*10 11 Pa = 2.0Mbar Βολφράμιο: 3.6*10 11 Pa = 3.6Mbar Δl/2 w w l l 0 0 l 0 w 0 Νόμος Hooke e e W l Δl/2 Δw/2 Δw/2 e l l Φυσική 30 l 0 e w w w Λόγος Poisson σ: Αναλογία παραμόρφωσης σε διαφορετικές διαστάσεις Τιμές: (0.5 υγρά) 0

31 τ F ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Παράδειγμα 11-6 Ανελκυστήρας μάζας 554 Kg κρέμεται από ατσαλένιο συρματόσχοινο μήκους 3m και διατομής 0.2cm 2. Λόγω φορτίου το συρματόσχοινο επιμηκύνεται κατά 0.4cm. Προσδιορίστε: α) Την τάση του σχοινιού, β) Την παραμόρφωση (κατά μήκος), γ) Το μέτρο του Young. Θεωρώντας ότι το σχοινί συμπεριφέρεται ως συμπαγής χάλυβας (σ=0.19), βρείτε τη σχετική και απόλυτη λέπτυνση του σχοινιού. 2 A 550 * * *10 8 Pa e l l l *10 Φυσική % W 2 *10 Pa e e w Χάλυβας!!! w w 0 w e w w 0 e e l e w e W e ( S / ) 10 1 / 2 4 l cm 0.025%

32 ΙΣΟΤΡΟΠΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΡΟΠΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Υδροστατική πίεση Ίδια σε όλα τα σημεία μίας επιφάνειας σε σταθερό βάθος, ανεξάρτητα προσανατολισμού Πίεση πάντα κάθετη στην επιφάνεια p p ρ A h p F w p F A mg A A h g p gh A Δp = dp = ρgδh ρgdh Φυσική 32

33 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ p Ποία η πίεση που ασκεί ένας σωλήνας διατομής 1cm 2 και ύψους 10m γεμάτος με νερό στη βάση του; gh Kg m 1000 * 9.8 * m s m 5 10 Pa 1bar ρ 10m p Αν θεωρήσουμε ότι η Γη βρίσκεται (κατά προσέγγιση) σε υδροστατική ισορροπία και ο φλοιός της έχει πάχος ~45km και πυκνοτητα ~2.7gr/cm 3, ποια η μέση πίεση στη βάση του φλοιού; gh Kg m 2700 * 9.8 * 45 * m s *10 Pa 12Kbar 3 m ρ Φυσική 33 p 45km

34 ΙΣΟΤΡΟΠΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΡΟΠΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Υδροστατική πίεση Η πίεση μεταφέρεται μέσω των ρευστών και ασκείται στην επιφάνεια κάθε σώματος που είναι βυθισμένο σε αυτό (Pascal) Ισοτροπική τάση Αρχή Pascal Η ισοτροπική τάση προκαλεί μεταβολή όγκου V V 0 Ανηγμένη μεταβολή όγκου Φυσική 34

35 ΙΣΟΤΡΟΠΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΡΟΠΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ V V 0 Μέτρο ελαστικότητας όγκου Β: Αντίδραση σε μεταβολή όγκου λόγω ισότροπης πίεσης B p p VV 0 k 1 1 V B V p 0 Συμπιεστότητα Ποσοστιαία ελάττωση για μοναδιαία αύξηση πίεσης π.χ. k=46.4*10-8 atm -1 (νερό) Φυσική 35

36 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Διατμητική Τάση p F A Διατμητική Παραμόρφωση Μόνο σε στερεά!!! p e x h tan ( rad ) Φυσική 36

37 ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Διατμητική Τάση p S F A ~ e Νέο Μέτρο ελαστικότητας p F x F e A h Διατμητική Παραμόρφωση x tan h A p Νόμος του Hooke S: Μέτρο διάτμησης (Μονάδες πίεσης) Μέτρο δυσκαμψίας ή Μέτρο στρέψης Φυσική 37

38 ΜΕΤΡΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Πολλά για ένα στερεό σώμα!!! l 0 F e A l l e e W l Νόμος του Hooke S B p e p F x A h p VV 0 F A p Ένα μέτρο ελαστικότητας για το ελατήριο (Ποιο από όλα;) F = kx Φυσική 38

39 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Νόμος του Hooke: Περιορισμένη ισχύ!!! (Μικρές παραμορφώσεις) F = kx τ= F A Δl/l ή Δw/w ή ΔV/V... Φυσική 39

40 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ τ= F A Ψαθυρό X Όλκιμο X Ελαστική παραμόρφωση μέχρι το όριο ελαστικότητας (γραμμική σχέση μέχρι το όριο αναλογίας) ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ Πλαστική παραμόρφωση μετά το όριο ελαστικότητας (Θραύση στο όριο θραύσης) ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ Δl/l ή Δw/w ή ΔV/V... Φυσική 40

41 ΙΣΟΤΡΟΠΗ ΤΑΣΗ & ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Ένας υδατόπυργος, όπως παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα, αποτελείται από μία κυλινδρική δεξαμενή νερού και ύψους h 1 =20m, η οποία βασίζεται σε τσιμεντένια βάση με το μισό ύψος και ίδιο εμβαδόν. Το όλο σύστημα στηρίζεται σε ακλόνητη και άκαμπτη ατσαλένια βάση. Αν η πυκνότητα του τσιμέντου από το οποίο είναι φτιαγμένος ο υδατόπυργος είναι ρ ΤΣΙΜΕΝΤΟ =3.5gr/cm 3, να βρεθούν: Α) Η πίεση p 1 σε Pa και bar που ασκεί το νερό στη βάση της δεξαμενής νερού. Β) Αν θεωρηθεί ότι το τσιμέντο συμπεριφέρεται όπως το νερό (υδροστατικά), η πίεση p 2 που ασκείται στην ατσαλένια βάση του υδατόπυργου, αν αγνοήσουμε το βάρος των τοιχωμάτων της δεξαμενής του νερού. Γ) Λόγω της πίεσης στη βάση της δεξαμενής νερού, η τσιμεντένια βάση παραμορφώνεται κατά ύψος κατά δh 2. Αν το μέτρο του Young για το τσιμέντο είναι Υ=10 9 Pa, βρείτε: 1) Πώς παραμορφώνεται η δεξαμενή κατά τη διεύθυνση του ύψους και του πλάτους; 2) Πόση είναι η σχετική και η απόλυτη παραμόρφωση της τσιμεντένιας δεξαμενής κατά τη διεύθυνση του ύψους, λόγω της πίεσης της δεξαμενής νερού; 3) Αν η διάμετρος της τσιμεντένιας βάσης είναι 20m και ο λόγος Poisson του τσιμέντου είναι σ=0.22, πόση είναι η σχετική και η απόλυτη παραμόρφωση της τσιμεντένιας δεξαμενής κατά τη διεύθυνση του πλάτους, λόγω της πίεσης της δεξαμενής νερού; Φυσική 41

42 ΣΥΝΟΨΗ 5 ου Μαθήματος Έργο που παράγεται από το ελατήριο F kx 1 1 Wel kx kx 2 2 el Η ποσότητα 12 kx ονομάζεται ελαστική δυναμική ενέργεια W U U U Φυσική 42

43 ΣΥΝΟΨΗ 5 ου Μαθήματος 1 2 U W U 1 1 other U kx mgy K 1 2 mv kx mgy mv Wother kx mgy mv Ολική μηχανική ενέργεια U + Κ Φυσική 43

44 ΣΥΝΟΨΗ 5 ου Μαθήματος ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ (ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ) Έργο αντιστρεπτό Ανεξάρτητο της τροχιάς Αν το αρχικό και το τελικό σημείο συμπίπτουν, το συνολικό έργο είναι μηδέν Μπορεί να εκφραστεί ως διαφορά αρχικής-τελικής δυναμικής ενέργειας F du dx Φυσική 44

45 ΣΥΝΟΨΗ 5 ου Μαθήματος Ελαστικότητα: Θεώρηση του στερεού σώματος όχι ως ένα εξιδανικευμένο μοντέλο Επιμήκυνση Θλίψη Στρέψη Εφελκυσμός Θλίψη (συμπίεση) Φυσική 45

46 ΣΥΝΟΨΗ 5 ου Μαθήματος Υδροστατική πίεση Ίδια σε όλα τα σημεία μίας επιφάνειας σε σταθερό βάθος, ανεξάρτητα προσανατολισμού Πίεση πάντα κάθετη στην επιφάνεια Η πίεση μεταφέρεται μέσω των ρευστών και ασκείται στην επιφάνεια κάθε σώματος που είναι βυθισμένο σε αυτό (Pascal) Ισοτροπική τάση p gh ρ A p h Φυσική 46