x sin 3x 3 sin 3x dx = 3 + C = ln x = x2 ln x d 2 2 ln x 1 x 2 x2 x2 e x sin x dx) e 3x 2x dx = ( 1 3 )x2 e 3x x 2 e 3x 3 2x 3 8x 2 + 9x + 1 4x + 4

Transcript

1 ΦΥΕ4, 9- - η Εργασία Παράδοση 8.. Πρόβληµα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα (i cos d, (ii ln d, (iii e sin d, (iv e d (i cos d = = ( sin ( sin sin d = ( ( ( cos + C = ( ( sin + sin ( sin d ( cos + C 9 (ii u = ln du = d ln d = = ( ln d ln d = ln = ln d(ln d = ln + C = ln 4 + C (iii e sin d = e sin e cos d = e sin (e cos + = e (sin cos e sin d e sin d e sin d = e (sin cos Συνεπώς e sin d = e (sin cos + C (iv u =, dz = e d du = d και z = ( e ( ( e d = e ( ( [ ( ( ] ( = e e e d = ( ( ( ( e = e e C = e d = ( e e e ( ( 9 ( e d ( e [ e + ( ( e + C 7 ] e d Πρόβληµα. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα (i d, (ii d, (iii + ( d, (i Ο παρονοµαστής είναι τριώνυµο ου ϐαθµού και έχει πραγµατικές ϱίζες τους αριθµούς - και. Εποµένως d = ( + ( d

2 Αναλύουµε σε µερικά κλάσµατα τη παράσταση : ( + ( = A + + B = A( + B( + = A A + B + B = (A + B + B A Από τη λύση του συστήµατος προκύπτει A = 5/ και B = /. Οπότε d = ( + ( d = 5/ + d + = 5 + d + { = A + B = B A / d d = 5 ln + + ln + C (ii Παρατηρούµε ότι d = = = , = (, και A + B A =, B = ( = + ( d + d + + ln + C d = + ln ( + C = (iii + ( d = ( d + ( d = = ( / d Θέτουµε = t, οπότε = arcsin + c ( d + / d( ( = arcsin + c / d ( / t / ( / d( t / = arcsin + c ( / + c = arcsin + c + t / + c + ( d = arcsin + + c, όπου c = c + c Πρόβληµα. (Α Η ισχύς που καταναλώνεται σε µια εξωτερική αντίσταση R από ένα ηλεκτρικό στοιχείο ηλεκτρεγερτικής δύναµης E και εσωτερικής αντίστασης r δίνεται από τον τύπο P = E R (r + R Να ϐρεθεί η τιµή της εξωτερικής αντίστασης για την οποία η παρεχόµενη ισχύς γίνεται µέγιστη.

3 (Β υο ορθοί κυκλικοί κώνοι έχουν αναστραφεί και εισαχ- ϑεί ο ένας µέσα στον άλλον. Οι ϐάσεις των δύο κώνων είναι παράλληλες, και η κορυφή του µικρού κώνου συµπίπτει µε το κέντρο της ϐάσης του µεγάλου κώνου. Αν η ακτίνα της ϐάσης του µικρού κώνου είναι r και το ύψος του h να ϐρεθεί για ποιες τιµές των r, h ϑα γίνει ο όγκος του µικρού κώνου µέγιστος. Η ακτίνα του µεγάλου κώνου είναι R = 6 m και το ύψος του H = m. Υπόδειξη : ίνεται ο όγκος, V, κυκλικού κώνου ϐάσης r και ύψους h V = πr h (Α Παραγωγίζοντας, ϑα υπολογίσουµε τα ακρότατα της συνάρτησης, δηλαδή ϑα έχουµε dp dr = E (r + R E R(r + R (r + R 4 = E (r + R E R (r + R = R = r Για R > r dp dp dr <, εποµένως η συνάρτηση P είναι ϕθίνουσα, ενώ για R < r dr αύξουσα. Άρα η συνάρτηση P ϑα παρουσιάζει ένα µέγιστο στο R = r. > ϑα έχουµε P (Β Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕ είναι όµοια (γωνία Α κοινή, γωνία Β =γωνία Ε, γωνία Γ = γωνία (λόγω παραλληλίας ΒΓ,Ε». Εποµένως ισχύει : ΒΓ Ε = ΑΒ ΑΕ R r = H H(R r h = H h R Ο όγκος του εσωτερικού κώνου δίνεται από τη σχέση V = πr h Αντικαθιστώντας στη σχέση από τα προηγούµενα προκύπτει Παραγωγίζοντας ϑα ϐρούµε το ακρότατο V = H(R r πr = Hπ R R (r R r dv dr = Hπ R (rr r = r = R Με τη η παράγωγο προσδιορίζουµε το είδος του ακροτάτου d V dr = Hπ R (R 6r d V dr = R/ Hπ < εποµένως έχουµε µέγιστο για r = R/, και όπως προκύπτει από τα δεδοµένα, r = 4 m. Εποµένως, ϑα έχουµε h = H(R r R = 4 m Πρόβληµα.4 (Α

4 4 Να µελετηθεί η συνάρτηση f( = για R. (Β (α Να υπολογίσετε την επιφάνεια που περικλείεται από τις καµπύλες y = και y = + 6. (Υπόδειξη : Είναι πιο εύκολο να αναλύσετε το πρόβληµα ως προς την ανεξάρτητη µεταβλητή (ϐ Να ϐρεθεί το εµβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται µεταξύ των καµπυλών f( = 5 και g( =. (γ Να ϐρεθεί το εµβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται µεταξύ των καµπυλών f( =, g( = και h( = 5. (Α Η f είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού της, το οποίο είναι όλο το R, γιατί ο παρονοµαστής είναι πάντα ϑετικός. Για = είναι f( =, οπότε το διάγραµµά της τέµνει τον άξονα Oy στο σηµείο και f( = ( + /( + = για = οπότε το διάγραµµά της τέµνει τον άξονα O στο σηµείο. Ακόµα, για < είναι f( < και για > είναι f( >. Η f είναι παραγωγίσιµη R f ( = ( + ( ( + ( + ( ( + ( + ( + ( ( + = ( + = ( + ( ( +. f ( =, για = και = (πιθανές ϑέσεις ακροτάτων ιερευνούµε το πρόσηµο της f (. Ισχύει < f ( >, (, f ( >, > f ( >, άρα η f δεν έχει ακρότατα και είναι αύξουσα. Η f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη R, f ( = ( ( = + ( + ( + ( ( ( + ( ( = + ( + ( ( ( = + ( + = 6( ( ( +. Είναι f ( = για = /, =, = (εποµένως ϑα είναι πιθανά σηµεία καµπής. ιερευνούµε το πρόσηµο της f (. Ισχύει (, / (, + f ( >, και (, (/, f ( <, άρα f κυρτή στα διαστήµατα (, / (, + και f κοίλη στα (, (/,. Εποµένως τα τρία πιθανά σηµεία καµπής ( = /, =, = είναι όντως σηµεία καµπής αφού αλλάζει το πρόσηµο της ϐ παραγώγου εκατέρωθεν αυτών των σηµείων. εν υπάρχουν κατακόρυφες ασύµπτωτες. Είναι lim + f( = + και lim f( = άρα δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύµπτωτες. και f( lim ± = lim ± = + ( lim [f( ] = lim ± ± = lim + ± + = 4, οπότε η ευθεία y = + 4 είναι πλάγια ασύµπτωτη του διαγράµµατος.

5 5 f f f ΣΚ ΣΚ ΣΚ Σχήµα Σχήµα (Β (α Είναι πιο εύκολο να αναλύσουµε το πρόβληµα ως προς την ανεξάρτητη µεταβλητή, δηλαδή οι δυο καµπύλες ϑα είναι y -4 = y + = y µε σηµεία τοµής y = y + y y 8 = (y + (y 4 = δηλαδή τα σηµεία τοµείς είναι y =, και y = 4. Εποµένως το εµβαδόν ϑα είναι 4 Εµβαδόν = [ ( ] 4 [ (y + y dy = ] y + y + 4 dy y =+6 = 4 6 y + 4 y + 4y 4 = 8 (ϐ Βρίσκουµε που τέµνονται οι δύο καµπύλες 5 = ( 4 = =, = 4, = 4.

6 6 Το εµβαδόν είναι E = 4 5 d+ 4 5 d = 4 ( 5 d = (γ Τα σηµεία τοµείς των τριών ευθειών είναι, 5/, 5/. Το εµβαδόν είναι : ] [ 4 6 = 4 6 τµ. E = 5/ ( d+ 5/ 5/ (5 d = 5/ +(5 5/ 5/ =, 8 τµ. Πρόβληµα.5 (Α Ενα σώµα µάζας m µπορεί να κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο y χωρίς τριβές. Τη χρονική στιγµή t = το σώµα ϐρίσκεται στο σηµείο ( =, y = και έχει ταχύτητα v( = v ĵ, όπου v >. Πάνω στο σώµα ασκείται η δύναµη F(t = (a btî btĵ (a, b > (α Να διατυπώστε την εξίσωση κίνησης του σώµατος. (ϐ Βρείτε την ταχύτητα v(t του σώµατος. (γ Βρείτε τις συντεταγµένες (t, y(t του σώµατος ως συνάρτηση του χρόνου. (δ Βρείτε τη σχέση που πρέπει να συνδέει τις σταθερές a, b και v, ώστε να µπορέσει το σώµα να ξαναπεράσει από το σηµείο ( =, y =. (Β Ενα σωµατίδιο µάζας m κινείται µε σταθερή ταχύτητα v στη διεύθυνση. Τη στιγµή t = (ϑεωρήστε ότι η ϑέση του είναι ( = εισέρχεται σε ένα αέριο µε αποτέλεσµα να ασκείται πάνω του δύναµη F = bv. Βρείτε την ταχύτητα και τη ϑέση του σωµατιδίου για t >. (Α (α και (ϐ όπου v = v î + v y ĵ F = m (a btî btĵ = m = m (a bt v = m at bt m (γ (δ y = m bt v y = v bt m = m at 6m bt, y = v t 6m bt y = = = = ( m a ( v 6m bt 6m bt t t = a b t v = 6m b9a b = a bm

7 7 (Β Συνεπώς (αφού ϑεωρήσουµε v = vî v F = m bv = m = (b/mv και v( = v î v = (b/m v v = t ( b/m ln v v = (b/mt v = v e (b/mt και d = v e (b/mt = v t (b/m e (b/mt t d = v e (b/mt = v [ e (b/mt] (b/m Πρόβληµα.6 Ενα αεροπλάνο διάσωσης ετοιµάζεται να ϱίξει προµήθειες σε αναρριχητές σε µια ϐραχώδη περιοχή m πιο χαµηλά. Θεωρήστε ότι το αεροπλάνο ταξιδεύει στην οριζόντια κατεύθυνση µε ταχύτητα 5 km/h. (α Πόσο µακριά από τους αναρριχητές (στην οριζόντια κατεύθυνση πρέπει να ϱίξει το αεροπλάνο τις προµήθειες; (ϐ Εστω το αεροπλάνο αφήνει τις προµήθειες σε µια οριζόντια απόσταση 4 m πριν από το σηµείο που ϐρίσκονται οι αναρριχητές. Τι αρχική κατακόρυφη ταχύτητα πρέπει να δοθεί στις προµήθειες ώστε να ϕτάσουν ακριβώς στη ϑέση που ϐρίσκονται οι αναρριχητές (προς τα πάνω ή προς τα κάτω; (γ Στην τελευταία περίπτωση, µε τι ταχύτητα ϑα προσγειωθούν οι προµήθειες; ( ίνεται η επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 9, 8 m/s. (α Η ταχύτητα του αεροπλάνου διάσωσης είναι 5/6 = 69, 44 m/s. Οι προµήθειες ϑα έχουν αρχική ταχύτητα την ταχύτητα του αεροπλάνου, v = 69, 44 m/s και v y =. Εποµένως y = y ( gt t = = = 6, 9 s g 9, 8 και = v t = 69, 44 6, 9 = 44, 7 m. (ϐ Υπολογίζουµε αρχικά το χρόνο t = /v = 5, 76 s. Από την y = y + v y t + gt v y = y gt t = 6, 5 m/s Συνεπώς για να ϕτάσουν οι προµήθειες ακριβώς στη ϑέση των αναρριχητών πρέπει πέσουν από το αεροπλάνο προς τα κάτω µε ταχύτητα 6, 5 m/s. (γ v = v = 69, 44 m/s, v y = v y + gt = 6.9 m/s ( vy v = v + vy = 9, 8 m/s, και θ = arctan = 4. o ως προς τον οριζόντιο άξονα v Πρόβληµα.7

8 8 Άνθρωπος ξεκινάει από σηµείο Α που ϐρίσκεται πάνω στην άσφαλτο και προχωράει προς το σηµείο Β που ϐρίσκεται στην άµµο, όπως ϕαίνεται στο διπλανό σχήµα. Η ταχύτητα του στην άσφαλτο είναι v, ενώ στην άµµο είναι n ϕορές µικρότερη. Να υπολογισθεί ποια πρέπει να είναι η σχέση µεταξύ των γωνιών θ και θ, ώστε να ϕθάσει στο Β στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Α θ θ Β Υπόδειξη : Σε ένα οµοιόµορφο µέσο διάδοσης, όπου η ταχύτητα παραµένει σταθερή, ελάχιστος χρόνος σηµαίνει ελάχιστη διαδροµή και εποµένως ο άνθρωπος κινείται σε ευθεία τροχιά. Θεωρούµε ότι τα σηµεία Α και Β ϐρίσκονται στο ίδιο επίπεδο y και ότι η διαχωριστική ευθεία των δύο µέσων είναι ο άξονας. Σε ένα οµοιόµορφο µέσο διάδοσης, όπου η ταχύτητα παραµένει σταθερή, ελάχιστος χρόνος σηµαίνει ελάχιστη διαδροµή και εποµένως ο άνθρωπος κινείται σε ευθεία τροχιά. Συνεπώς η διαδροµή από το Α στο Β ϑα απαρτίζεται από ένα ευθύγραµµο τµή- µα που ενώνει το Α µε κάποιο σηµείο της διαχωριστικής επιφάνειας Ρ, και από ένα δεύτερο τµήµα µεταξύ των Ρ και Β. Από τη σχέση της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση έχουµε t = AP a + = v y a Α θ θ b d P θ Β v Οµοίως, από το Ρ στο Β απαιτείται χρόνος t = PB b + (d = v v Ο χρόνος από το Α στο Β είναι το άθροισµα των παραπάνω σχέσεων a + t = t + t = b + (d + v v Στην εξίσωση αυτή, ο χρόνος t έχει εκφραστεί ως διαφορίσιµη συνάρτηση του στο πεδίο ορισµού [, d]. Ζητάµε το ολικό ελάχιστο του τ σε αυτό το κλειστό διάστηµα. Βρίσκουµε d = v a + d v b + (d Εκφράζοντας το τελευταίο αποτέλεσµα συναρτήσει των γωνιών θ, θ έχουµε d = sin θ v sin θ v Από τη σχέση αυτή ϐλέπουµε /d < για = και /d > για = d. Συνεπώς, ϑα ισχύει /d = για κάποιο o ενδιάµεσα. Τέτοιο σηµείο υπάρχει µόνο ένα, διότι η /d είναι αύξουσα συνάρτηση του. Εποµένως έχουµε sin θ = sin θ sin θ = v = n v v sin θ v Μπορούµε να υπολογίσουµε τη δεύτερη παράγωγο d t/d =o και να επιβεβαιώσουµε ότι είναι ϑετική, δηλαδή το σηµείο o µας δίνει ελάχιστο για τη συνάρτηση t = t(.

9 9 Πρόβληµα.8 Σωµατίδιο µάζας m ϐάλλεται κατά µήκος οριζόντιας επιφάνειας µε αρχική ταχύτητα µέτρου v. Το σωµατίδιο υπόκειται σε ολική αντίσταση µέτρου F = kmv, όπου v, είναι το µέτρο της ταχύτητας και της ϑέσης του αντίστοιχα σε τυχούσα χρονική στιγµή και k ϑετική σταθερά. (α Υπολογίστε την απόσταση, s, που διανύει το σωµατίδιο µέχρι να ηρεµήσει ως συνάρτηση των γνωστών µεγεθών. (ϐ Επαναλάβετε το ερώτηµα (α στην περίπτωση που η ολική αντίσταση είναι της µορφής F = kmv. (α Η εξίσωση κίνησης για το σωµατίδιο ϑα είναι m = mkv v = kv d d = kv v d = kv v = k s d v = v k s Οταν το σώµα ϑα σταµατήσει v = και εποµένως η σχέση της ταχύτητας και ϑέσης ϑα είναι = v k s (ϐ s = v k Στην περίπτωση που η δύναµη που ασκείται στο σωµατίδιο είναι F = mkv, η εξίσωση κίνησης ϑα είναι Για v = έπεται ότι s. m = mkv v d = kv s v = k d ( v ln = k s v v v v = v e ks / Πρόβληµα.9 Σωµατίδιο µάζας m ϐρίσκεται σε ύψος H πάνω από οριζόντιο έδαφος και αφήνεται να πέσει υπό την επίδραση του ϐάρους του µέσα σε µέσο που προκαλεί αντίσταση µέτρου mkv, όπου k ϑετική σταθερά και v η ταχύτητα του. Το σωµατίδιο χτυπά στο έδαφος και αναπηδά κατακόρυφα προς τα πάνω µε ταχύτητα λ ϕορές την ταχύτητα που είχε ακριβώς πριν έλθει σε επαφή µε το έδαφος. Αν h είναι το µέγιστο ύψος που ϕτάνει το σωµατίδιο να δείξετε ότι ισχύει h = k ln [ + λ ( e kh]

10 Θεωρούµε ότι ο άξονας των z είναι ϑετικός προς τα κάτω. Καθώς το σωµατίδιο πέφτει η εξίσωση κίνησης δίνεται από τον δεύτερο νόµο του Newton m = F ολ = mg mkv = g dz dz = g v = g dz dz = g V g k ( kg v ( kg v ( kg v ( kg v k = g g v kv /g H dz dω = gh (.. ω όπου V είναι η ταχύτητα όταν το σωµατίδιο κτυπά το έδαφος. Επιπλέον η αντικατάσταση ω = kv /g µας έδωσε το τελευταίο ολοκλήρωµα. Η εξίσωση (.. γράφεται ως εξής kv /g d(ω = kh ω ( (k/gv ln = Hk k g V = e kh V = g k ( e kh Το σωµατίδιο αναπηδά από το έδαφος µε αρχική ταχύτητα g λv = λ k ( e kh Οι δυνάµεις του εξασκούνται όταν το σωµατίδιο κινείται προς το πάνω, είναι F = (mg + mkv ẑ όταν v είναι το µέτρο της ταχύτητας του, και εποµένως η εξίσωση κίνησης του ϑα είναι g k m = mg mkv v = g dz ( + kg v + (k/gv = gdz kλ V /g dω + ω = g όπου ω = kv /g = gdω/k και h είναι το ύψος που το σώµα ϑα αναπηδήσει. Το παραπάνω ολοκλήρωµα µπορεί να γραφτεί ως εξής d(ω + kλ V /g + ω = kh h dz

11 ( ln + λ k g V = kh h = [ k ln + k g ( g λ e kh ] k h = k ln [ + λ ( e kh] Πρόβληµα. Ενα σώµα µάζας m ϐρίσκεται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο. Η γωνία θ που σχηµατίζει το επίπεδο µε την οριζόντια κατεύθυνση είναι αρχικά µηδενική και αυξάνεται αργά µέχρι τη στιγµή που το σώµα αρχίζει να κινείται. Τότε η γωνία διατηρείται σταθερή. Αν οι συντελεστές στατικής και κινητικής τριβής µεταξύ του σώµατος και του επιπέδου είναι μ s και μ k αντίστοιχα, (μ s > μ k, να ϐρεθούν ως συναρτήσεις του χρόνου : (α η ταχύτητα, v(t, της µάζας m, και (ϐ η ϑέσης της, s(t, υποθέτοντας ότι το σώµα ξεκινάει µε ταχύτητα v( = και ϑέση s( = s o. T N mgsinθ mgcosθ mgcosθ θ mg Σχήµα (α Την στιγµή πριν αρχίζει να κινείται το σώµα ϑα έχουµε ισορροπία δυνάµεων όπως ϕαίνεται στο σχήµα ( mg cos θ = N, mg sin θ = μ s N = μ s mg cos θ όπου N είναι η κάθετη δύναµη που ασκεί το κεκλιµένο επίπεδο στο σώµα και μ s ο συντελεστής στατικής τριβής. Αφού διαιρέσουµε τις δύο παραπάνω εξισώσεις ϑα έχουµε μ s = tan θ Οταν το σώµα κινείται, η εξίσωση κίνησης δίνεται από το δεύτερο νόµο του Newton όπου ϑα λάβουµε υπόψιν την κινητική τριβή T = μ k N και τη δύναµη της ϐαρύτητας m = mg sin θ μ kn = g sin θ μ kg cos θ = g cos θ(tan θ μ k = g cos θ(μ s μ k = g(μ s μ k ( + tan θ = g(μ s μ k / ( + μ s /

12 v = t g(μ s μ k ( + μ / s v = g(μ s μ k t ( + μ / s (ϐ Η ϑέση του σώµατος, s ϑα είναι όπου s είναι η αρχική ϑέση του σώµατος. ds = v = g(μ s μ k ( + μ s t s = s / + g(μ s μ k ( + μ t / s