ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0."

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Ψ ) Παράδειγμα:, Η συνάρτηση (),, έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την Δηλαδή η κατακόρυφη ασύμπτωτη μπορεί να τέμνει τη γραφική παράσταση της ένα σημείο το πολύ σε

2 Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης να έχει και άλλο κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της μπορεί στο, ( )» ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Α ) Θεωρούμε τη συνάρτηση οποία τέμνει την C () και στο σημείο και την εφαπτομένη της στο (, 8) (,) όπως βλέπουμε και στο σχήμα την y η

3 Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: με «Αν η συνάρτηση ( ) για κάθε : αντιστρέφεται και η, τότε ( ), ( )» ( ) είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα () ) A ) Πράγματι: Για κάθε ( ) ισχύει ( )() ( )() ( )() ( ) () ( ) (), ( ) ( )()

4 Άσκηση 4 Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Μπορεί δύο συναρτήσεις, g πεδίου ορισμού τους και η συνάρτηση να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο g να είναι παραγωγίσιμη στο» του ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα () ) A ) Οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι παραγωγίσιμες στο, ( ), και, g( ), Όμως η συνάρτηση g έχει τύπο ( g)( ), είναι παραγωγίσιμη στο 4

5 Άσκηση 5 Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση, είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle» και γνησίως αύξουσα τότε η ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Α ) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα και, άρα δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle οπότε η 5

6 Άσκηση 6 Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:, «Δεν μπορεί ταυτόχρονα στο ίδιο διάστημα θεώρημα του Bolzano» να ισχύουν το θεώρημα του Rolle και το ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Α ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Αν ισχύει το θεώρημα του Bolzano έχουμε, και αν ισχύει το θεώρημα του Rolle έχουμε οπότε η () γίνεται άτοπο 6

7 Άσκηση 7 Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:, «Αν η συνάρτηση :,, είναι παραγωγίσιμη στο με ( ) ( ) τότε και η συνάρτηση g o ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, στο διάστημα» ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Α ) Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, οπότε και η σύνθεση παραγωγίσιμη Επίσης ισχύει και επειδή,, o o g o, o είναι συνεχής και Άρα η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα 7

8 Άσκηση 8 Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν ισχύει, g και g για κάθε θα έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο» τότε πάντα οι γραφικές παραστάσεις των ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Ψ ) Οι συναρτήσεις e, g e e,g e, προφανώς δεν έχουν κοινό σημείο αλλά 8

9 Άσκηση 9 Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω στο» με τότε ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Α ) Έχουμε ότι η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω οπότε η επειδή είναι γνησίως αύξουσα και 9

10 Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη έχει τρία σημεία συνευθειακά τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα πιθανό σημείο καμπής» ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Α ) Έστω A,, B, και, Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στα διαστήματα,,, σημεία,,, έτσι ώστε οι εφαπτόμενες της στα σημεία (, ), (, ) είναι παράλληλες στην ευθεία (ε) Άρα έχουμε Εφαρμόζουμε το Θ Rolle στο διάστημα τουλάχιστον ένα,,έτσι ώστε τα τρία συνευθειακά σημεία, οπότε υπάρχουν τουλάχιστον, δύο C,, άρα υπάρχει

11 Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν συνεχής συνάρτηση στο διάστημα για την οποία ισχύουν ότι d,, και δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα ετερόσημες τιμές», τότε η παίρνει δύο τουλάχιστον ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Δικαιολογήστε την απάντησή σας στο ερώτημα () ) Α, ) Αν ήταν ή για κάθε τότε θα είχαμε d ή d αντίστοιχα που είναι άτοπο αφού d

12 Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν συνεχής συνάρτηση στο διάστημα τότε κατά ανάγκη θα είναι, για την οποία ισχύει ότι d, για κάθε ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής ) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα ()» ) ψ ) Παράδειγμα: (),, d αλλά δεν είναι, για κάθε

13 ΘΕΜΑ Β Άσκηση Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :, με (), B Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα το πολύ,, τέτοιο ώστε για κάθε B Nα βρείτε το, αν 4 4 και B Αν, (), (), αποδείξτε ότι ( ) B Έστω ότι υπάρχουν,, τέτοια ώστε ( ) Αν h() (), τότε ισχύει το Θ Rolle στο,,, τέτοιο ώστε: και h ( ) ( ) ( ) ή Άτοπο, αφού,, Άρα υπάρχει ένα το πολύ,, τέτοιο ώστε ( ) ( ), οπότε θα υπάρχει () () () B Έχουμε Αν g() (), τότε g () για κάθε, που σημαίνει ότι η συνάρτηση g γνησίως αύξουσα στο Οπότε: 4 4 g 4 g g: ύ 4 είναι () B Έχουμε: () () () () Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την στο, έχουμε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε () () () (), οπότε η () γίνεται: () ()

14 Άσκηση () Θεωρούμε τη συνάρτηση και ένα σημείο της Β Αποδείξτε ότι από το Μ διέρχονται δύο εφαπτόμενες της C Β Βρείτε τις εξισώσεις των δύο εφαπτομένων του (Β ) ερωτήματος Β Αν Ν το σημείο επαφής της μιας από τις δύο εφαπτόμενες, να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από αυτή και την C (,) τότε έχει εξίσωση : y - ( ) ( ) - : y ( ) Β Αν, ( ) είναι το σημείο επαφής της εφαπτομένης που διέρχεται από το σημείο Μ, με ( ) και ( ), οπότε Αφού διέρχεται από το σημείο Μ οι συντεταγμένες θα επαληθεύουν την (ε) και θα έχουμε: ( ) ή Για, έχουμε το (,) και για έχουμε το Β Οι εξισώσεις των εφαπτομένων του Β ερωτήματος είναι: : y () () y y και 7 (, ) : y ( ) ( ) y y Β Από το παραπάνω σχήμα έχουμε: 5 για κάθε 4 4, 4

15 5 () yd y () d d d Άρα ,4 τμ

16 Άσκηση Θεωρούμε τη συνάρτηση (), () (), ορισμένη στο, Β Να αποδείξετε ότι υπάρχει Β Να αποδείξετε ότι υπάρχει, Β Να αποδείξετε ότι υπάρχει Β 4 Αν η ( ), τέτοιο ώστε με συνεχή την πρώτη παράγωγο και ισχύουν: ( ) τέτοιο ώστε ( ) τέτοιο ώστε ( ) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε Β Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για τη συνάρτηση,, στο () (), ώστε ( ) (Μπορούμε να εφαρμόσουμε και το ΘRolle στην g() () θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, στο Β Όμοια, εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για τη συνάρτηση στο, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον () (),, ώστε ( ) ) Β Αφού η συνάρτηση έχει συνεχή την πρώτη παράγωγο στο, τότε η συνεχής και στο,, με ( ) ( ) και εφαρμόζοντας το Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε ( ), θα είναι στο,, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον,, Β 4Αφού η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( ) ( ) ( ),, τότε εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την τέτοιο ώστε, γιατί 6

17 Άσκηση 4 Έστω η συνάρτηση () Β Να βρείτε σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης C, η εφαπτομένη είναι παράλληλη στη διχοτόμο του ου και 4 ου τεταρτημορίου Β Να βρεθεί σημείο Μ της, που να απέχει ελάχιστη απόσταση από το και η ελάχιστη απόσταση Β Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την και την εφαπτομένη του (Β ) ερωτήματος C (,), τη γραφική παράσταση της Β Έστω, ( ) το ζητούμενο σημείο Τότε ( ) γιατί η εφαπτομένη του ου και 4 ου τεταρτημορίου έχει εξίσωση : y Είναι (), οπότε ( ) Άρα, (), Β Έστω, y) (, () το σημείο που απέχει ελάχιστη απόσταση από το y Είναι Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση, g() ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα g () 7 9, Έχουμε g () γιατί (ομόσημο του ) 7 9, αφού 49 7 Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: g - + g min H συνάρτηση g συνάρτηση g Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο έχει ελάχιστο στο h, και γνησίως αύξουσα στο, δηλαδή έχουμε g g είναι γνησίως αύξουσα, επίσης έχουμε g g h g g h g() Άρα έχουμε ελάχιστο για y () και η ελάχιστη απόσταση dmin, Άρα η, οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το, 7

18 Β Η εξίσωση της εφαπτομένης της C, στο σημείο y () () y y του Β ερωτήματος είναι: Από το παραπάνω σχήμα έχουμε: y () 4 4 για κάθε, Άρα () y d (y ())d 4 4 d , τμ 8

19 Άσκηση 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο αύξουσα και ισχύει () () () Β Αποδείξτε ότι () Β Αν επιπλέον η είναι συνεχής στο η εφαπτομένη στο Α διέρχεται από την αρχή των αξόνων, η είναι γνησίως,, αποδείξτε ότι υπάρχει σημείο, ( ) που Β Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής, οπότε εφαρμόζοντας το Θ ΜΤ θα υπάρχει ένα τουλάχιστον () () () () Είναι, τέτοιο ώστε :, () ( ) () () () () () () () () () () () Β Η εξίσωση της εφαπτομένης στο, ( ) είναι :y ( ) ( ) αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων, για y η γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( ) () Αρκεί, λοιπόν να αποδείξουμε ότι υπάρχει, Θεωρούμε τη συνάρτηση g() () () g() () και ώστε να ισχύει η (), η οποία είναι συνεχής στο, g() () () () () () () Δηλαδή g()g(), οπότε εφαρμόζοντας το Θ Bolzano θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε g( ) ( ) ( ) που είναι η () και 9

20 Άσκηση 6 Β :Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των καμπυλών: ίδιο σύστημα αξόνων C : y C : y στο και Β :Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες C : y (Γνωρίζουμε ότι: ) C : y, Β: H C : y y y είναι μία παραβολή με άξονα συμμετρίας τον, 4 p έχει εστία το σημείο,, 8, διευθετούσα την ευθεία p : και κορυφή 8 την αρχή των αξόνων, y Η C : y y είναι μία έλλειψη με, οπότε σημεία,,,,, τα σημεία,,,,,, με κέντρο συμμετρίας το,,,,,,,, κορυφές τα και εστίες

21 Β:Βρίσκουμε τα σημεία τομής των καμπυλών: y, y, y, y ή Άρα τα σημεία τομής των Το κομμάτι της C, C είναι τα, και C που είναι πάνω από τον άξονα κομμάτι που είναι κάτω από τον άξονα είναι η, y είναι η συνάρτηση y και το Αντίστοιχα για την C που είναι κάτω από τον άξονα που είναι πάνω από τον άξονα είναι η y είναι η y και το κομμάτι Έχουμε d d d d (θέτουμε t d t οπότε για t t και για t t t ), οπότε έχουμε 4 / / / t tdt t tdt t tdt /4 /4 /4 / / t tdt dt t t 8 /4 /4 / /4 Αν Ω το ζητούμενο εμβαδόν, τότε λόγω συμμετρίας των C,C ως προς τον άξονα έχουμε τμ 8 4

22 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Γ Αν η είναι συνεχής στο,, τέτοιο ώστε ( ) Γ Αν η έχει σύνολο τιμών το, και () και ισχύει () () τέτοιο ώστε ( ) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον και δεν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης που η εφαπτομένη να γίνεται παράλληλη στην ευθεία ( ) : y 8, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε ( ) C Γ Αφού η συνάρτηση, είναι παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής στο Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) ( ) η οποία είναι συνεχής στο,, και παραγωγίσιμη στο, με g( ) ( ) Επίσης g() () και g() () () () Οπότε g() g() Από το Θ Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε g( ) ( ) ( ) Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση k( ) ( ) Η συνάρτηση k (), η οποία είναι συνεχής στο είναι συνεχής και στο,,, όπου η ρίζα του Γ ερωτήματος Είναι k() () από την υπόθεση και k( ) ( ), αφού, Οπότε k() k( ) Ισχύει, λοιπόν το Θ Bolzano που σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε k( ) ( ) ( ) Γ Αφού η έχει σύνολο τιμών το,, θα ισχύει ( ) Επίσης, αφού δεν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης παράλληλη στην ευθεία ( ) : y 8, θα ισχύει ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) ( ), () για κάθε, C που η εφαπτομένη να γίνεται για κάθε, η οποία είναι συνεχής στο,

23 Είναι h() (), από την () και h() (), επίσης από την () Τότε h() h() Ισχύει το Θ Bolzano για την h, οπότε θα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, στο τέτοιο ώστε h( ) ( ) ( ) Επειδή h( ) ( ), τότε h( ) ή h( ) οπότε η συνάρτηση h θα είναι γνησίως, μονότονη Άρα το θα είναι μοναδικό

24 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση, όχι πολυωνυμική, δύο φορές παραγωγίσιμη στο με για κάθε, () έχει μία τουλάχιστον ρίζα () () ( ), Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ),, Γ Να αποδείξετε ότι η ρίζα της εξίσωσης () είναι μοναδική Γ Αν g( ) ( ) τότε να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο με τετμημένη το, διέρχεται από την αρχή των αξόνων (,) Γ Είναι:, ύ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ),, Αφού η, τότε η συνάρτηση h θα είναι συνεχής, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( ) ( ) στο και παραγωγίσιμη στο, με h( ) () () () Επίσης h() () και h() () Επομένως h() h() Ισχύει, λοιπόν το ΘRolle που σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε: ( ) ( ) h( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα η εξίσωση ( ) ( ), έχει μία τουλάχιστον ρίζα, Γ Έστω ότι η εξίσωση ( ) ( ) έχει ρίζες,, με είναι συνεχής στο,,, αφού η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Αν t( ) ( ) ( ), τότε η συνάρτηση t παραγωγίσιμη στο, t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ακόμα t( ) t( ) και Επομένως, από το ΘRolle υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε t( ) ( ) ( ), που είναι άτοπο, αφού ( ) για κάθε, Άρα η εξίσωση t() () () () () δεν έχει ρίζες στο η ρίζα, του Γ ερωτήματος είναι μοναδική,, με,, οπότε Γ Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g( ) ( ) στο σημείο με τετμημένη το y g( ) g( ) y ( ) ( ) έχει εξίσωση: y ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) () 4

25 Πρέπει το (,) να την επαληθεύει, οπότε για y η () μας δίνει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) που ισχύει σύμφωνα με το Γ ερώτημα 5

26 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση :, με είναι παραγωγίσιμη στο με ' Γ: Να αποδείξετε ότι ισχύει ' ( ) y y για κάθε για κάθε R e Γ: Να βρείτε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι Γ: Αν g, R, yr η οποία, να αποδείξετε ότι οι C, Cg τέμνονται ακριβώς σε ένα σημείο Γ4: Να υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται, μεταξύ των γραφικών παραστάσεων C, Cg και της ευθείας Α Γ: Για y η σχέση ( + y) = ()(y) μας δίνει: () () () () () ή() και επειδή () ( ) () lim lim lim, () Έστω R, τότε: h ( ) ( ) ( h ) ( ) ( h) ( ) ( ) ( ) lim lim lim h h h h ( h) ( h) lim lim h h h h Oπότε () = () για κάθε R τότε έχουμε Γ: Αφού () = () 6 ( ) ce, c R () Επειδή (), η () για γίνεται () ce c Άρα ( ) e, R e Γ: Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) ( ) g( ) e e e e Προφανής ρίζα είναι η αφού h() e Επίσης h ( ) e e e, που σημαίνει ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα, e οπότε η ρίζα είναι μοναδική Αφού () g() το ζητούμενο σημείο είναι το Α(,) 6

27 Γ4: Από το παραπάνω σχήμα έχουμε: ( ) g( ) d e e d e d e d e e e e e e τμ 7

28 Άσκηση 4 ln Δίνεται η συνάρτηση ( ), Γ Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την Γ Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της, για τις διάφορες τιμές του λir Γ Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της, της εφαπτομένης της στο ακρότατο της και της ευθείας e Γ 4 Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(Ω), του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της, της ευθείας y και των ευθειών, για Στη e συνέχεια να υπολογιστεί το Ποιου χωρίου το εμβαδόν παριστάνει το όριο αυτό; lim E( ) e Γ Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων ln (ln ) ln ln ( ) και η οποία έχει προφανή λύση την () ( ln ) ( ln ) ( ln ) ln ln e e e ( ln ) ln ln ln ln lim lim lim ln ln ( ln ) lim lim lim ( ) lim lim lim ( ) 8

29 Ασύμπτωτες : ln lim ( ) lim ( ), οπότε η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη ln ( ) ln Επίσης lim lim lim, αφού ln ln lim lim lim lim, ln ln lim ( ) ( ) lim lim Επίσης ύ Άρα η ευθεία ln lim lim lim lim y ln είναι πλάγια ασύμπτωτη ln lim lim Τα πρόσημα των, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα από τον οποίο προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Το σύνολο τιμών της είναι το: D,,,, (,] 9

30 Γ Για, έχουμε (,] (καμία λύση) Για, οπότε η εξίσωση D, έχουμε (,] λύση την Για D, έχουμε εξίσωση, οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη είναι έχει μοναδική, (,], (,], οπότε η έχει δύο ακριβώς λύσεις Γ Η εξίσωση της εφαπτομένης της y y C στο ακρότατο της, είναι : Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : ( ) ln ( ) ( ) d ( )d ( )d e e e ln d ( ) d (ln ) ln d e e e e

31 ln ln ln e e e e e e e e e e ln Γ 4 ( ) e e ( ) ( ) d d ln ln ln (, ) (,) : ln e e e d d ύ ά ύ = ln ln e ln ln ln e ln (ln ) e d ln lim E( ) lim Το παραπάνω όριο παριστάνει το εμβαδόν του ανοιχτού χωρίου που περικλείεται από την C και την ασύμπτωτή της στο +, και των κατακόρυφων ευθειών και e (βλέπε διπλανό σχήμα)

32 Άσκηση 5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : και η συνάρτηση g ώστε να ισχύουν: g t dt 8,, και g έτσι με 4 Γ Να αποδείξετε ότι η g έχει παράγουσα στο Γ Αν η συνάρτησηg είναι παράγουσα της g στο, να βρείτε το αριθμό α Γ Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης Γ 4 Αν h e, να κάνετε τη γραφική παράσταση της εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη C, τη C h και της h, τις ευθείες και να υπολογίσετε το και Γ Αφού η συνεχούς συνάρτησης είναι συνεχής στο τότε και η g είναι συνεχής στο ως πράξεις της, επομένως η g θα έχει οπωσδήποτε παράγουσα στο Γ Αφού η G είναι παράγουσα της g στο, θα ισχύει: g t dt 8 G(t) 8 G( ) G( ) 8 Για G έχουμε: ( ) G( ) Γ Έχουμε g tdt 8 G t G G Παραγωγίζουμε, οπότε G () = (8 ) g() = () 4() = () 4() + 4 = (() ) = () = (), Θεωρώ τη συνάρτηση φ () = () στο R και τότε η () γράφεται φ() =, για κάθε χ є R Aν > τότε η φ() = Η φ είναι συνεχής και φ() για κάθε χ>, άρα η φ διατηρεί πρόσημο στο (,+ ), και επειδή, Έτσι έχουμε Aν < τότε η φ() =

33 Η φ είναι συνεχής και φ() για κάθε <, άρα η φ διατηρεί πρόσημο στο (-,), και επειδή 5, Έτσι έχουμε Έτσι έχουμε, και επειδή η, lim lim Άρα,, είναι συνεχής στο Γ 4 Έστω και επειδή ισχύει Έστω e e, τότε από εφαρμογή του βιβλίου θα έχουμε θα έχουμε e e ln ln e e e e e Επομένως έχουμε h για κάθε, Tο εμβαδόν του χωρίου Ω είναι: Ε(Ω)= [h() ()]d = [h() ()]d + [h() ()]d = (e )d + ((e )d = [e ] + [e ] = e e + +e e = e- e - + τετρ Μονάδες

34 Άσκηση 6 4 Δίνεται η συνάρτηση ( ), Γ :Να εξετάσετε αν ισχύουν τα Θεωρήματα Bolzano, Rolle και Μέσης Τιμής για την, Γ :Να βρείτε την απόσταση των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της, στα σημεία που έχουν τετμημένες τα διάφορα του μηδενός σημεία, στα οποία ισχύει το Θ Rolle Γ :Να αποδείξετε, ότι το μέγιστο της, το σημείο καμπής της και το ελάχιστο της είναι σημεία συνευθειακά Γ 4:Να αποδείξετε ότι η παραπάνω ευθεία του ερωτήματος Γ, είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης g ( ) στο Γ Η συνάρτηση για κάθε ( ) 4 6 είναι συνεχής σε όλο το ως πολυωνυμική και παραγωγίσιμη με Είναι ( ) 5 () , οπότε ( ) () που σημαίνει ότι δεν ισχύει το ΘBolzano Είναι όμως ( ) (), οπότε το Θ Rolle ισχύει, άρα και το ΘΜΤ Γ Εφαρμόζοντας το Θ Rolle υπάρχει, τέτοιο ώστε: ( ) 4 6 ή ή Τα ζητούμενα σημεία που έχουν τετμημένες διάφορα του μηδενός είναι: 7, (), και,, 6 Επειδή είναι παράλληλες προς τον ( ) ), η απόσταση τους είναι ( Γ Είναι ( ) 4 6 ή ή Η μονοτονία και τα ακρότατα της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Η συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο το σημείο 7,, 6 4

35 Είναι ( ) και ( ) 4 Η κυρτότητα, τα σημεία καμπής της πίνακα: και το ελάχιστο της φαίνονται στον παρακάτω - + min κοίλη σκ κυρτή Η συνάρτηση Η συνάρτηση έχει σημείο καμπής το σημείο,,,, έχει ελάχιστο το σημείο Παρατηρούμε ότι τα σημεία Κ, Λ, Μ έχουν την ίδια τετμημένη Άρα βρίσκονται στην ευθεία Γ 4 Έχουμε: lim g ( ) lim lim ( ) Ανάλογα: Άρα η ευθεία lim g ( ) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C g 5

36 Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση : για κάθε η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με () () και ικανοποιεί τη σχέση: Γ Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ()d ό, () Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε ( ) Γ Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) Γ 4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει ολικό μέγιστο Γ 5 Να αποδείξετε ότι ισχύει () ( ) ά ()d ln () d ln () ln ( ) ln ( ) () Γ ln( ) ln( ) ( ) ( ) Γ Αφού η συνάρτηση, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι συνεχής στο και από το ερώτημα Γ έχουμε ( ) ( ) Ισχύει, λοιπόν το,, παραγωγίσιμη στο Θ Rolle, που σημαίνει, ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ( ) Επειδή (), για κάθε τότε η συνάρτηση το, τέτοιο ώστε ( ) είναι μοναδικό Γ Από το Γ έχουμε ότι,, οπότε : : ί ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα ( ) ( ) Γ 4 Από το ερώτημα Γ έχουμε ότι η συνεχής συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, οπότε έχει μοναδική ρίζα το, Αυτό σημαίνει ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο αριστερά και δεξιά της ρίζας Επειδή ( ), τότε ( ) για κάθε,, οπότε η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο, για κάθε είναι Επειδή ( ), τότε ( ),, οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, Από όλα τα παραπάνω έχουμε ότι ( ), αριστερά της ρίζας η είναι γνησίως αύξουσα και δεξιά η είναι γνησίως φθίνουσα Άρα η έχει ολικό μέγιστο, το (,( )) Γ 5 Από το Γ 4 έχουμε ότι η συνάρτηση έχει ολικό μέγιστο, το (,( )) Άρα, από τον ορισμό του μεγίστου, ισχύει : () ( ) ά 6

37 Άσκηση 8 Δίνεται η συνάρτηση () με () και Γ : Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται Γ : Να γίνει η μελέτη της και στη συνέχεια η γραφική της παράσταση Γ : Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των και και () Γ Είναι () 6 () Άρα () και και (), για κάθε αφού (ομόσημο του ) Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής, ως πολυωνυμική, και () για κάθε, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε θα είναι και - που σημαίνει ότι η αντιστρέφεται Γ Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το Από το Γ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το και είναι συνεχής ως πολυωνυμική, οπότε δεν έχει ακρότατα Το σύνολο τιμών της θα είναι ( ) lim (), lim (), lim () lim και αφού lim () lim () 6 6 Η συνάρτηση είναι κοίλη στο, και κυρτή στο καμπής στο, ( ), 7 7, Παρουσιάζει σημείο 7

38 Γ Για να βρούμε τα κοινά σημεία των () () Έστω () μία λύση της () Τότε C και C θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Θα αποδείξουμε ότι ( ) : Έστω ( ) ( ),άτοπο : Έστω ( ) ( ), άτοπο ( ) ή Άρα: Tα κοινά σημεία που έχουν οι και είναι τα,, C Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των C και () () είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y το ζητούμενο χωρίο θα είναι το πλάσιο εμβαδό που περικλείεται από την όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα 4 () y d d d 4 C και την y 4 ( ) τμ 4 6, 8

39 Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση 4,4 η οποία είναι παραγωγίσιμη στο για κάθε ( 4) 4, (4) 4 () 4,4 και ισχύουν: Γ :Να αποδείξετε ότι η ευθεία y τέμνει τη γραφική παράσταση της σε ένα ακριβώς σημείο 4, 4 που η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της Γ :Να αποδείξετε ότι υπάρχει στο σημείο, ( ) είναι κάθετη στην ευθεία y με Γ : Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, 4, 4 τέτοια ώστε 4 ( ) ( ) Γ Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό 4,4 Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 4,4 τέτοιο ώστε ( ) θα είναι και συνεχής Είναι ( 4) (4) και 4 ( 4) (4) 4, οπότε από το Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών θα 4,4 υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε ( ) για κάθε 4,4 και επειδή η Επίσης, έχουμε ότι () τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο 4,4 Επομένως το 4, 4 ώστε ( ) είναι μοναδικό Γ Για να είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της κάθετη στην ευθεία : y είναι συνεχής στο 4,4, στο σημείο, ( ), αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) αφού είναι συνεχής στο 4,4 4, 4 4, 4, οπότε Η συνάρτηση και παραγωγίσιμη στο ισχύει το ΘΜΤ που σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (4) ( 4) ( 4) 8 4,4 τέτοιο ώστε και Γ Θεωρώντας το 4, 4 του Γ ερωτήματος, εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στα 4,,4 Υπάρχει 4, τέτοιο ώστε: Υπάρχει,4 τέτοιο ώστε: ( ) ( 4) ( 4) 6 ( 4) 4 4 (4) ( ) Οπότε: ( ) ( )

40 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση 4 Γ Να αποδείξετε ότι και lim lim Γ Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της Γ Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την, όταν το τείνει στο 4 Γ 4 Να αποδείξετε ότι Γ 5 Να υπολογίστε το ολοκλήρωμα 4 d Γ 4 4 lim lim 4 lim lim lim lim lim 4 lim lim 4 lim 4 lim ( ) 4 ( ) ( 4 ) ( ) 4 4 Γ 4 4 lim lim lim lim 4 lim lim 4 4 lim lim 4 4 lim lim lim 4 4 4

41 4 4 lim lim lim lim lim 4 4 Άρα η πλάγια ασύμπτωτη είναι η ευθεία y , γιατί: Γ Είναι ά 4 4 Αφού η είναι συνεχής και () για κάθε είναι και - Επομένως αντιστρέφεται και η ( ) lim (), lim (),, τότε είναι γνησίως φθίνουσα οπότε θα ορίζεται στο () y 4 y 4 y 4 y 4 Άρα y 4y 4 (), ( ) 4 Γ 4 y 4y y 4y Γ 5 Προφανώς και με 4 Διαιρούμε τη σχέση 4 έτσι έχουμε

42 Οπότε έχουμε d d d ln 4 ln ln ln 5 ln ln 5 4

43 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση Δ Να αποδείξετε ότι η Δ Μελετήστε την ( ) e, R, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ως προς την κυρτότητα και βρείτε την εφαπτομένη της στο Δ Να αποδείξετε ότι ισχύει ( ) e e, ά R Δ 4 Γνωρίζοντας ότι για κάθε R ισχύει e να αποδείξετε ότι Δ 5 Αν F μία παράγουσα της στο R, τότε: i Να αποδείξετε ότι ισχύει F( ) F(), ά ii Να υπολογίσετε το όριο F( ) lim ( ), iii Να αποδείξετε ότι υπάρχει iv Αφού αποδείξετε ότι η F τέτοιο ώστε F() F() ( ), είναι κυρτή στο ) F( ) F( ) F( ), ά ) ) F( ) d F( ) d F( ) d F(), () 4 ( ) d, στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: Δ Η συνάρτηση ( ) e, R είναι παραγωγίσιμη στο R με ( ) e Η μονοτονία και τα ακρότατα της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: H συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, Παρουσιάζει ελάχιστο στο (, () ) Δ Έχουμε ( ) 4 ( ), για κάθε R e e e είναι κυρτή σε όλο το R Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο, () y () ()( ) ye e( ) y e e Άρα η συνάρτηση είναι: 4

44 Δ Αφού η συνάρτηση, () στο σημείο είναι κυρτή σε όλο το R θα είναι «πάνω» από την εφαπτομένη της Άρα θα ισχύει ( ) y ( ) e e, ά R Δ 4 Γνωρίζοντας ότι e, για κάθε R ( το = ισχύει για =) και θέτοντας όπου το έχουμε: e με το = να ισχύει για = e h e και επειδή η συνάρτηση, διάστημα, τότε θα έχουμε h e d e d e d d 4 e d d e d e d δεν είναι παντού μηδέν στο Δ 5 Αφού η F είναι μία παράγουσα της στο R θα ισχύει F() ( ) e, ά R i H συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο R, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ, στο με Τότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, έτσι ώστε F( ) F() F( ) F() ( ) () F F F( ) F( ) e e F( ) F(), () Όμως (), e e e e F( ) F() F() F( ) ii Από το i) ερώτημα έχουμε F( ) F(), ά Όμως lim ( F() ), άρα lim F( ) F( ) F( ) ( F( )) F( ) F( ) lim lim lim lim ( ) e ( e ) e F( ) e F( ) lim lim e e γιατί: F( ) F( ) e lim lim lim lim e ( e ) e e iii Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ για την, F, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, F() F() ώστε F( ) F() F() F( ) F() F() ( ) () ( iii) F F F F d d e e d e e Αλλά () () ( ) ( ) ( ) 4e e e Οπότε από την () Άρα,, : ύ ( ) e ( ) e ( ) () 44

45 iv Επίσης F( ) ( ) e, οπότε η F, είναι κυρτή στο ) Στη σχέση F( ) F( ) F( ) το = ισχύει για =, θα αποδείξουμε ότι : Αν F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) () Για τη συνάρτηση F ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα,,,, αφού είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο Οπότε υπάρχει F( ) F( ),, ώστε F( ) Επειδή η F είναι κυρτή, τότε η F είναι γνησίως αύξουσα Άρα η () γίνεται: F( ) F( ), το οποίο ισχύει dy ) Θέτοντας y d Για ό yκαι για ό y Οπότε F( ) d F(y) dy F( )d ) Από το () ερώτημα έχουμε F( ) F( ) F( ), ά και το «=» ισχύει μόνο για Οπότε () F( ) d ( F( ) F( )) d F( ) d F( ) d F( ) d ( ) F() d F( ) d F( ) F( ) d F( ) d F() 45

46 Άσκηση Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: () = ( π ) για κάθε R και π ()d = ()d = π Δ Να αποδείξετε ότι () = και () = Δ Έστω η συνάρτηση g: R R με τύπο Να αποδείξετε ότι η g είναι σταθερή g() = () + ( π ) Δ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ()d Δ4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο = π Δ5 Να υπολογίσετε τα όρια () lim και (e ) lim + π Δ Έχουμε διαδοχικά: π ()d = () ()d π Δεδομένου ότι ()d π π = [ ()] ()d π = π (π ) (π ) d π = π (π ) (π u) (u)du π π = π (π ) π (u)du + u(u)du π = (u)du Από την άλλη, ( π π ) () = ()d π Καθώς (u)du π π π (αντικατάσταση u = π ) = u(u)du =, οδηγούμαστε στη σχέση = π (π ) π + ( π ) = () = ( π ) d π = (u)du =, η παραπάνω σχέση γίνεται: (αντικατάσταση u = π ) ( π ) () = 46

47 και λόγω της () () = () Ακόμα, για = η () = ( π ) γίνεται () = ( π ) = () Δ Η συνάρτηση g είναι σταθερή γιατί είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση με παράγωγο g () = για κάθε R Πραγματικά, καθώς ( π ) = () και ( π ) = (π (π )) = (), g () = () () ( π ) (π ) = () () () () = Μάλιστα η τιμή της συνάρτησης g είναι, g() = g() g() = () + ( π ) g() = (4) Δ Εφόσον g() = () + ( π ) για κάθε R, ολοκληρώνοντας προκύπτει: π π g()d = ()d + ( π ) d Αλλά από την (4) έχουμε g() =, και με την αντικατάσταση u = π στο ο ολοκλήρωμα, παίρνουμε: Συνεπώς, π π d = ()d + (u)du π π = ()d π π π ()d = π 4 Δ4 Από τον ορισμό της συνάρτησης g και λόγω της (4) έχουμε ότι () + ( π ) = Από όπου προκύπτει ότι για κάθε R ισχύει: () () (5) Όμως στο Δ είδαμε ότι ( π ) = (σχέση ), που σε συνδυασμό με την προηγούμενη σχέση μας δίνει () ( π ) για κάθε R, δηλαδή η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο = π Δ5 Στο Δ αποδείξαμε ότι () = και () = Σε συνδυασμό με τον ορισμό της παραγώγου λαμβάνουμε, () () () () = lim = lim 47

48 Λόγω της (5) παίρνουμε ότι (e ) για κάθε R Οπότε για (e ) (e ) Εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει το όριο lim + (e ) 48

49 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση : η οποία είναι άρτια, συνεχής στο και γνησίως μονότονη, στο με () 4, (4) και lim ( ) Δ Να βρείτε τη μονοτονία της σε όλο το R και το σύνολο τιμών της, τέτοιο ώστε να ισχύει ( ) ( ) Δ Να αποδείξετε ότι υπάρχει Δ Να βρείτε το όριο: lim 4 ( ) Δ 4 Να μελετήσετε την Δ 5 Να αποδείξετε ότι ορίζεται η μονοτονία στο 4, 4 4, 4 ως προς τη μονοτονία στο στο και να τη μελετήσετε ως προς τη Δ 6 Αν η είναι τριώνυμο δευτέρου βαθμού να βρείτε τον τύπο της καθώς και τον τύπο της Δ 7 Να μελετήσετε την h( ) ( )( ) ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής Δ 8 Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη C και τον άξονα Δ Έχουμε 4 και () (4) και επειδή η είναι γνησίως μονότονη στο, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, Για οποιαδήποτε,, με, έχουμε :, : ά ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, Τότε το ( A ) lim ( ), (),4, αφού u : ά ό lim ( ) lim ( u) lim (u) και () 4 u u u Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, ( A ) lim ( ), (),4, Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι: ( A) ( A ) ( A ), 4 Τότε το 49

50 Δ ος τρόπος Με άτοπο, Έστω ότι δεν υπάρχει θα ισχύει ( ) ( ), (α) για κάθε τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα, Θεωρώ την g( ) ( ) ( ) Για την g ισχύουν:, Η g συνεχής στο g ( ) της () ως πράξεις συνεχών Της ( ) (σύνθεση συνεχών), (γινόμενο σταθεράς επί συνεχή συνάρτηση) και της (σταθερή) για κάθε, λόγω (α) Άρα η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Έστω g ( ), για κάθε Έχουμε: g() () () () () g() () () () () g() () () () () g() (4) () (4) () Με πρόσθεση κατά μέλη των τελευταίων ανισώσεων της κάθε σειράς προκύπτει (4) () άτοπο Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι g ( ) Επομένως υπάρχει,, τέτοιο ώστε ( ) ( ) ος τρόπος Θεωρώ την g( ) ( ) ( ) Για την g ισχύουν: Η g συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών Για g () (), g () (), g () (), g (4) (), 4 Προσθέτουμε τις ισότητες 4 Οπότε g g g g Αν g g g g Τότε ή ή ή Αν οι αριθμοί g, g, g, g είναι ομόσημοι, τότε g g g g ή g g g g άτοπο, άρα δύο είναι ετερόσημοι, επομένως στο διάστημα τους εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Bolzano, οπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε ( ) ( ) 5

51 Δ Αφού η συνάρτηση 4 είναι συνεχής στο R θα είναι συνεχής και στο 4, οπότε θα ισχύει: ί lim ( ) (4) Όμως αν 4 ( ) (4) Δηλαδή έχουμε: lim ( ) και 4 ( ) για 4 Τότε lim 4 ( ) Δ 4 Έχουμε: 4 ( 4) ( ) ( ) () ( ) ( ) 4 ( ) ( ), που σημαίνει ότι η συνάρτηση Όμοια αποδεικνύεται ότι αν 4 ( ) ( ), οπότε η συνάρτηση, 4 είναι γν αύξουσα στο 4, είναι γν φθίνουσα στο Δ 5 Είναι, οπότε D D / ( ) D R / ( ) R D A R Προφανώς ( ) R, ά R Άρα D ύ R Έχουμε: 4 ( 4) ( ) ( ) () ί,4 ( ) ( ) 4 ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο 4, Όμοια αποδεικνύεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, 4 Δ 6 Αφού η είναι τριώνυμο ου βαθμού θα έχει τη μορφή: ( 4) Ισχύουν: () 4 4 (4) ( ) Άρα ο τύπος της είναι 4 ( ) 4 Οπότε: 4 ( ) ( ) Δ 7 5

52 4 h( ) ( )( ) 64 h( ) h( ) ή 4 6 Η μονοτονία και τα ακρότατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα μεταβολών: Η συνάρτηση h 4, Παρουσιάζει: είναι γν αύξουσα στα, 4, 4 και 4, και γν φθίνουσα στα και τοπικό ελάχιστο στο με τιμή h() τοπικό μέγιστο στο 4 με τιμή h( 4) 4 και τοπικό μέγιστο στο 4 με τιμή h(4) 4 h ( ) h ( ) Η κυρτότητα και τα σημεία καμπής φαίνονται στον παρακάτω πίνακα μεταβολών: h ( ) h () σκ σκ Η συνάρτηση h είναι κυρτή στο Παρουσιάζει: 4 4, και κοίλη στα 4, και 4, 4 Σημείο καμπής στο 4 με τιμή 4 h( ) 9 5

53 Σημείο καμπής στο 5 4 με τιμή 4 h( ) 9 Δ 8 Είναι ( ) 4 4 ή4και 4 ( ) , οπότε ( ) d 4d 4 64 ( 64) 6 6 5

54 Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση : η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, γνησίως αύξουσα και κυρτή, για την οποία επί πλέον ισχύουν: () (), lim ( ) Η C έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία Δ Να υπολογίσετε τα όρια L lim ( ) και L Δ Να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε Δ Να αποδείξετε ότι Δ 4 Να αποδείξετε ότι η της y ( ) d () () () 4 ( ) lim ( ) αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών Δ 5 Να λύσετε την ανίσωση ( ) (4 ) Δ 6 Να μελετήσετε τη συνάρτηση h( ) ( ) ως προς την κυρτότητα Δ 7 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της στο και στο Δ 8 Αν επιπλέον ισχύει ( ) για κάθε, να μελετήσετε την h ως προς τη μονοτονία C h Δ Αφού η συνάρτηση και έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία y θα ισχύει: ( ) lim () lim ( ) () L` lim lim ( ) () Για έχουμε: Οπότε: 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L 4 ( ) () ( ) lim lim ( ) ( ) () 54

55 Δ Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο y () ()( ) y y Επειδή η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε θα ισχύει: R * C, () είναι: () για κάθε (δηλαδή εκτός από το σημείο επαφής) Οπότε: ( ) y ( ) ( ),για κάθε y R * για κάθε R και () y, Δ Επειδή η συνάρτηση είναι γν αύξουσα στο " " ύ ύ, θα ισχύει: () ( ) ( ) d () d ( ) d () Όμοια () ( ) () ( ) d () 9 (9) ( ) () ( ) d () 9 Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες έχουμε: ( ) d ( ) d ( ) d () () () ( ) d () () () 9 Δ 4 Είναι D A R και επειδή η είναι συνεχής και γν αύξουσα στο R τιμών της θα είναι το ( A) lim ( ), lim ( ), τότε το σύνολο Αφού η συνάρτηση είναι γν αύξουσα στο R θα είναι και - οπότε αντιστρέφεται Η έχει πεδίο ορισμού το, που είναι σύνολο τιμών της και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της το R Δ 5 Για να ορίζεται η ( ) (4 ) πρέπει D &4 D &4, οπότε: : ύ ( ) (4 ) ( ) (4 ) 4 4 ( )( ) ή Τελικά η λύση της ανίσωσης είναι:, Δ 6 Έχουμε h( ) ( ) Η h είναι φορές παραγωγίσιμη στο R ως διαφορά συναρτήσεων που είναι φορές παραγωγίσιμες, οπότε: h( ) ( ) και h( ) ( ) Επομένως η h έχει την ίδια κυρτότητα με την, δηλαδή η συνάρτηση h είναι κυρτή στο R Δ 7 Έστω y η ασύμπτωτη της της h στο Τότε: () h( ) ( ) ( ) lim lim lim και 55

56 h () lim ( ) lim ( ) lim ( ) y Άρα η είναι πλάγια ασύμπτωτη της στο Όμοια αν y η ασύμπτωτη της της h στο Τότε: h( ) ( ) lim lim lim ( ) lim και lim h( ) lim ( ) lim ( ) Άρα η C h y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C h στο Δ 8 Είναι h( ) ( ) για κάθε R και επειδή ( ) για κάθε, τότε θα έχουμε ( ) h( ) για κάθε R Επομένως η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο R 56

57 Άσκηση 5 Δίνεται η συνάρτηση α e ( ) e ( ) για την οποία ισχύει: για κάθε β Δ Να βρείτε τον τύπο της Δ Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και Δ Να βρείτε τις ασύμπτωτες και το σύνολο τιμών της Δ 4 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη τον άξονα yy και την ευθεία Δ 5 Να βρείτε το όριο: lim ( ) Δ 6 Να αποδείξετε ότι η C αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της Δ 7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: e e κάθε τον άξονα, ( ) ( ), έχει μοναδική λύση για Δ e ( ) e ( ) e ( ) e e ( ) e ( ) e ( ) e e ( ) e e ( ) e c, () Για η () γίνεται () c c c e Άρα ο τύπος της είναι ( ) για κάθε e e ( e ) ( e ) e e Δ ( ), για κάθε ( e ) ( e ) Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο επομένως δεν παρουσιάζει ακρότατα e e Δ lim ( ) lim lim e e ασύμπτωτη τηςc στο e lim ( ) lim e τηςc στο Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο θα είναι ( A) lim ( ), lim ( ), άρα η ευθεία y είναι οριζόντια άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη,το σύνολο τιμών της 57

58 Δ 4 Είναι ( ) για κάθε επομένως το ζητούμενο εμβαδό θα είναι e e E ( ) d d d d e e e e d d I, ό I d d e e e ( e ) Για τον υπολογισμό του θέτω u e du e d και για u και για u e οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται: e I du uu ( ) A B Έχουμε A( u ) Bu ( A B) u A u( u ) u u A B B A A e e e e Άρα I du du ln u ln( u ) (ln e ) ln( e ) ln ln u u e Άρα ln ln e e τμ I Δ 5 L lim ( ) lim ( ) lim lim l u lim lim u l lim u u u Άρα L Δ 6 Αποδείξαμε ότι η αντιστρέφεται Το πεδίο ορισμού της Το σύνολο τιμών της Για τον τύπο της I είναι γνησίως φθίνουσα στο επομένως και άρα είναι το σύνολο τιμών της είναι το πεδίο ορισμού της θέτουμε y () Άρα D, Άρα και διαδοχικά έχουμε: ( B) D y e y y ye y e e ( y ) y e e y y y y y ln e ln ln ( y) ln ( ) ln y y y Άρα ο τύπος της είναι ( ) ln με (,) D 58

59 e Δ 7 ( ) e e ( ) ( ) (ln ) e ln e αφού (ln ) ln e Επομένως η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση ( ) (ln ) ln μοναδική λύση για κάθε 59

60 Άσκηση 6 ( ) ln e Δίνεται η συνάρτηση Δ Να αποδείξετε ότι για κάθε Δ Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) έχει μοναδική ρίζα την οποία να βρείτε Δ 4 Να βρείτε το σύνολο τιμών της Δ 5 Να λύσετε την ανίσωση ln Δ 6 Να αποδείξετε ότι οι C και 4 e ln5 e C έχουν κοινό σημείο το (,) στο οποίο δέχονται κοινή εφαπτόμενη της οποίας να βρείτε την εξίσωση Δ 7 Αφού αποδείξετε ότι d ( θέτοντας t ), να υπολογίσετε το εμβαδό του 4 χωρίου που περικλείεται από τη,τον άξονα, τον άξονα και την ευθεία C yy Δ, που ισχύει για κάθε Δ Η συνάρτηση ( ) ln e, έχει πεδίο ορισμού το D A Έχουμε ( ) e Αν και e e ( ) γνησίως αύξουσα Αν και e e e Αθροίζοντας τις δύο ανισώσεις έχουμε: e ( ) γνησίως αύξουσα Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R Δ Προφανής ρίζα η αφού () ln e η οποία είναι και μοναδική επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, επομένως και - Δ 4 Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο σύνολο τιμών είναι ( ) lim ( ), lim ( ) D A, τότε το 6

61 ln lim ( ) lim ln e lim e e ln lim e lim, γιατί: e u lim e lim e u u u και ln ln lim lim lim lim lim e e e e lim lim e e e lim ( ) lim ln lim ln lim Άρα ( ) lim ( ), lim ( ), 4 Δ 5 4 ln e ln5 e ln e : ln e ( ) () Δ 6 Επειδή () (), τότε το (,) C (,) C Η εξίσωση της εφαπτομένης στη στο (,) είναι: y () ()( ) y y () C Οι γραφικές παραστάσεις των, είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο του ου και ου τεταρτημορίου δηλαδή, ως προς την y Λόγω συμμετρίας, επειδή η y είναι εφαπτομένη της στο Ο(,), θα είναι και εφαπτομένη της C στο Ο(,) Άρα οι C C στο κοινό τους σημείο (,) έχουν κοινή εφαπτομένη την y Δ 7 Αν t d dt t Για, έ t και για, έ t Οπότε: d dt dt t t t t t C 4 t dt t t t 6

62 4 4 dt t 4 4 Για : ( ) () ( ), οπότε το ζητούμενο εμβαδό είναι: ( ) ( ) ln ln d d e d d e d d ln d e ln( ) d e ln d ln d ln d e e e ln d ln ln τμ 4 e e e 4 6

63 Άσκηση 7 Δίνονται συνάρτηση :, παράγουσα της με και συνάρτηση g,, Δ Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες στο διάστημα,, g Δ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι άρτια και η Δ Να μελετήσετε τη συνάρτηση σημεία καμπής g είναι περιττή στο, ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα και να βρείτε το πεδίο ορισμού Δ 4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της Δ 5 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, Δ 6 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη ευθείες : y και : y 5 Δ 7 Να αποδείξετε ότι το σημείο, βρίσκεται πάνω στη 4 4 Δ 8 Αν η κλίση της C C C, τη C και τις είναι παραγωγίσιμη στα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της, να βρείτε την στο σημείο A Δ Το κοινό πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το, Η συνάρτηση είναι παράγουσα της στο,, άρα Επίσης άρα g g g c, Για έχουμε g g,οπότε η για γίνεται g c ή c άρα g στο διάστημα, Δ Για κάθε,, Επίσης g g άρα άρτια 6

64 Έχουμε g g g g g g g g g είναι περιττή Αν μια συνάρτηση συνάρτηση είναι περιττή, τότε η είναι άρτια, τότε η χρησιμοποιηθούν πρέπει να αποδειχθούν για κάθε,, Δ Έχουμε άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο άρα η είναι άρτια Επίσης αποδεικνύεται ότι αν μια είναι περιττή Οι προτάσεις αυτές για να, Επίσης 9 για κάθε,, άρα η είναι κοίλη Η μονοτονία και η κυρτότητα της φαίνεται συνοπτικά στον διπλανό πίνακα μεταβολών, όπου παρατηρούμε ότι η έχει ελάχιστο στο το g, μέγιστο στο g και δεν έχει σημεία καμπής Δ 4 Η συνάρτηση το είναι γνησίως αύξουσα, άρα και -, άρα αντιστρέφεται Έχουμε άρα το σύνολο τιμών είναι το σύνολο, το οποίο είναι και πεδίο ορισμού της Δ 5 Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y του ου και του ου τεταρτημορίου είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο, 64

65 Δ 6 AOB AO O OB E I III II IV E E E E Λόγω συμμετρίας τα χωρία (I) και (II) είναι ισεμβαδικά, άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι E E E E AOB AO OB AOB E d d d d d d 7 u du u u Θέτουμε οπότε για u du d u, u * E AO Άρα και E O 8 7 E EAOB E O E OB Δ 7 Το σημείο, C το οποίο ισχύει

66 5 Δ 8 Η κλίση της στο σημείο, 5 είναι ο αριθμός Έχουμε o ή 5 4 C 5 5 Για έχουμε

67 Άσκηση 8 ώστε να ισχύουν g g g g h g h και η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : έτσι Δίνεται η συνάρτηση e lim h h Δ Να αποδείξετε ότι για κάθε g Δ Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Δ Να βρείτε το σύνολο τιμών της Δ 4Να βρείτε σημείο B της ελάχιστη απόσταση από τη ευθεία ΑΒ Δ 5 Αν και g a g, : C h C h g g C για με h ώστε το σημείο A, και να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της και να απέχει την d να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα C h είναι κάθετη στην g h g g h g g h g h Δ lim lim h h h h g h g g h g lim, h h h g h g h g g g lim lim g, h h g h g h g g g lim lim g, h h, g g g g H με βάση τις γίνεται lim lim lim lim e ( e ) ( ) Δ e () lim lim lim e ( e ) e y (οριζόντια ασύμπτωτη) e 4 Δ Έχουμε στο με lim και 67

68 lim lim e 4, Άρα το σύνολο τιμών είναι Δ 4 Το σημείο B, της C h απέχει απόσταση από το A, AB d, e 4 d t Θα μελετήσουμε πρώτα τη συνάρτηση t e 4 της Η εξίσωση Έχουμε t έχει προφανής λύσης την ως προς το πρόσημό t e 5 7 Το πρόσημο της t φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Το πρόσημό της d φαίνεται στον πίνακα: Οπότε το σημείο είναι, h ή, ή, Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C h στο σημείο είναι 4 h και ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι 68

69 Δ 5 Από τη σχέση g g g έχουμε H H δηλαδή η H συνάρτηση H : έχει μέγιστο στο Το είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και παραγωγίσιμη στο άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat, H άρα H, * Όμως ισχύει: H g g g H g g g Για H g g g g g g, Η σχέση Αν g g d από τη g g Αν γίνεται και επειδή g g d άτοπο d g και επειδή d άτοπο Άρα g Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση, o W g παραγωγίσιμη στο και συνεχής στο, o W g, W g, Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα, : W Έχουμε όμως W g g Για W g g g g g g, W g στο διάστημα, (γινόμενο παραγωγίσιμων), οπότε Ημερομηνία τροποποίησης: 9/7/8 69

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].

Διαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ]. ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 9 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0,

Διαβάστε περισσότερα

f '(x 0) lim lim x x x x

f '(x 0) lim lim x x x x Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [., ] Αν G είναι μια παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 7-8 ΘΕΜΑ Α (α) Δίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα [ ].Αν η G είναι μια παράγουσα της στο [ ], τότε να αποδείξετε ότι : d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί

Διαβάστε περισσότερα

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x.

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x. Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Σελίδα 1 από 8. f στο, τότε

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Σελίδα 1 από 8. f στο, τότε ΘΕΜΑ Α Σελίδα από 8 (α) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() F() C, C είναι παράγουσες της στο και κάθε άλλη παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 11 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Εξετάσεις 11 Ιουνίου Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Εξετάσεις Ιουνίου 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 777 59 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 99

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πες το με μία γραφική παράσταση

Πες το με μία γραφική παράσταση Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α Α Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα