ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων ενδεχομένων είναι ευκολότερος στην περίπτωση ποσοτικών δεδομένων, των οποίων τα στοιχεία εκφράζονται ως αριθμοί. Επειδή, όμως, σε πολλές πρακτικές εφαρμογές οι δειγματικοί χώροι είναι ποιοτικοί, είναι επιθυμητό να οριστεί μία συνάρτηση δια της οποίας να αντιστοιχείται ένας πραγματικός αριθμός σε κάθε στοιχείο του ποιοτικού δειγματικού χώρου. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται τυχαία μεταβλητή. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εισαγάγει την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και της κατανομής πιθανότητάς της. Έννοιες Κλειδιά

2

3 21.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εφαρμογή των κανόνων υπολογισμού πιθανοτήτων ενδεχόμενων ή συνδυασμού ενδεχομένων, οι οποίοι παρουσιάστηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι ευκολότερη στην περίπτωση ποσοτικών δεδομένων. Επειδή, όμως, σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, τα δεδομένα είναι ποιοτικά, θα ήταν χρήσιμο να οριστεί μία συνάρτηση που να αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό σε κάθε στοιχείο ενός ποιοτικού δειγματικού χώρου. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται τυχαία μεταβλητή. Σκοπός του πέμπτου κεφαλαίου είναι να εισαγάγει την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και της κατανομής πιθανότητάς της. Στην πρώτη ενότητα ορίζεται η έννοια της τυχαίας μεταβλητής, γίνεται διάκριση μεταξύ διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών και στη συνέχεια ορίζεται, αφενός, η συνάρτηση πιθανότητας με το διάγραμμά της για τις διακριτές μεταβλητές και, αφετέρου, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με το διάγραμμά της για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Στη δεύτερη ενότητα ορίζεται η αθροιστική συνάρτηση κατανομής για διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Στην τρίτη, στην τέταρτη, στην πέμπτη και στην έκτη ενότητα παρουσιάζονται αντίστοιχα τα μέτρα κεντρικής τάσης, τα μέτρα διασποράς και οι ροπές τόσο για διακριτές όσο και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Τέλος, στην έβδομη ενότητα γίνεται μια σύντομη αναφορά στις διμεταβλητές κατανομές πιθανότητας..2 ΤΥΧΑIΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ Ο τρόπος με τον οποίο εκφράζονται τα στοιχειώδη ενδεχόμενα ενός τυχαίου πειράματος εξαρτάται από τη φύση των απλών αυτών ενδεχομένων. Με βάση, λοιπόν, τη φύση και κατά συνέπεια τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους, οι δειγματικοί χώροι που συνδέονται με τα συγκεκριμένα τυχαία πειράματα κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες: α. Ποσοτικοί ή αριθμητικοί β. Ποιοτικοί ή περιγραφικοί Παράδειγμα ποσοτικού δειγματικού χώρου είναι ο χώρος που συνδέεται με το τυχαίο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού και έχει τα στοιχειώδη ενδεχόμενα 1, 2, 3, 4,, 6.

4 22 Παράδειγμα ποιοτικού δειγματικού χώρου είναι ο χώρος που συνδέεται με το τυχαίο πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος και έχει τα στοιχειώδη ενδεχόμενα «Πρόσωπο» (Π) και «Γράμματα» (Γ). Είναι προφανές ότι ο υπολογισμός των πιθανοτήτων ενδεχομένων ή συνδυασμού ενδεχομένων είναι ευκολότερος στην περίπτωση των ποσοτικών δειγματικών χώρων όπου χρησιμοποιούνται αριθμοί. Είναι επιθυμητό, λοιπόν, για την ενιαία αντιμετώπιση των δειγματικών χώρων, να οριστεί ένας κανόνας, δηλαδή μία συνάρτηση, που να αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό σε κάθε στοιχείο του δειγματικού χώρου S. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται τυχαία μεταβλητή (random variable) και ορίζεται ως εξής: Έστω ο δειγματικός χώρος S. Ορίζουμε ως τυχαία μεταβλητή μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού τον S και τιμές στην ευθεία των πραγματικών αριθμών R : X : S R τέτοια ώστε το σύνολο κάθε διάστημα I R. X 1 ( I) να είναι ένα ενδεχόμενο για Σημειώνεται ότι οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται συνήθως με τα κεφαλαία γράμματα X, Y, Z, W και οι τιμές τους με τα αντίστοιχα μικρά γράμματα x, y, z, w. Θα πρέπει να υπογραμμιστεί ότι σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόμενο, s, του δειγματικού χώρου S s S αντιστοιχεί ακριβώς μία τιμή της τυχαίας μεταβλητής, η τιμή x X ( s) τιμή αυτή μπορεί να αντιστοιχεί σε περισσότερα από ένα στοιχειώδη ενδεχόμενα του S. Τέλος, για κάθε τιμή x της X θα πρέπει να καθορίζεται η πιθανότητα P( X x), η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί τα βασικά αξιώματα του Kolmogorov. Οι τυχαίες μεταβλητές διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες:. Η α. Διακριτές β. Συνεχείς Καθεμιά από τις κατηγορίες αυτές εξετάζεται αναλυτικά στη συνέχεια..2.1 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Έστω η τυχαία μεταβλητή X : S R. Αν το πεδίο τιμών X S της X, δηλαδή το σύνολο των τιμών της, είναι πεπερασμένο ή απείρως αριθμήσιμο, τότε η μεταβλητή αυτή

5 23 καλείται διακριτή τυχαία μεταβλητή (discrete random variable). Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι στην περίπτωση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X μπορούμε να αριθμήσουμε τις δυνατές τιμές της και, αν μεν το X S είναι πεπερασμένο, η αρίθμηση περατώνεται, ενώ, X S είναι απείρως αριθμήσιμο, η αρίθμηση συνεχίζεται επ άπειρο. αν το Έστω X μια διακριτή τυχαία μεταβλητή και X S το πεδίο τιμών της. Μία συνάρτηση: p P ( x) P( x) P( X x) με πεδίο ορισμού τις τιμές της X και πεδίο τιμών τις x X πιθανότητες των τιμών αυτών, η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες: P ( x) 0, x X S R X xx ( S ) P X ( x) 1 καλείται (probability function) της τυχαίας μεταβλητής X. Το σύνολο των ζευγών x, P ( x), x X ( S) καλείται κατανομή πιθανότητας X (probability distribution) της διακριτής τυχαίας μεταβλητής X. Η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης πιθανότητας ονομάζεται διάγραμμα πιθανότητας (probability plot) της τυχαίας μεταβλητής X. Το παράδειγμα που ακολουθεί θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών που παρουσιάστηκαν παραπάνω. Παράδειγμα.1 X X

6 24 Λύση X x 0, x 1, x 2, x Πίνακας.1 S X s1 0 s2 1 s3 1 s4 1 s 2 s6 2 s7 2 s8 si X S

7 2 Σχήμα.1 X X p P ( x) P( x) P( X x) x X x X S X P X x 1 p0 PX (0) P(0) P( X 0) 8

8 p1 PX (1) P(1) P( X 1) p2 PX (2) P(2) P( X 2) p3 PX (3) P(3) P( X 3) 8 4 i1 P( X x ) P( X x ) P( X x ) P( X x ) P( X x ) i X

9 27 0,1/ 8, 1,3/ 8, 2,3/ 8, 3,1/ 8 X Πίνακας.2 Δυνατές τιμές της τυχαίας μεταβλητής X x i Πιθανότητες εμφάνισής τους P( X x ) i Σχήμα.2

10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Η τυχαία μεταβλητή X, με τιμές x, ονομάζεται συνεχής τυχαία μεταβλητή (continuous random variable) αν: i. το πεδίο τιμών της X S είναι οι πραγματικοί αριθμοί ii. υπάρχει συνεχής συνάρτηση διάστημα x f x τέτοια ώστε f x 0 για όλες τις τιμές x στο iii. για δύο οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a ισχύει: P( ) ( ) (.1) Η συνάρτηση f x ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function) της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X ή, απλώς, πυκνότητα πιθανότητας. Από τον ορισμό προκύπτει ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f x ικανοποιεί τις συνθήκες i. f x 0, x X S όπου x ii. f ( x) dx 1

11 29 Σχήμα.3 Διάγραμμα Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας Η συνάρτηση f x ορίζει μία συνεχή καμπύλη η οποία βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω από τον άξονα των τετμημένων (Σχήμα.3). Η καμπύλη αυτή είναι το διάγραμμα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (probability plot) της τυχαίας μεταβλητής X. Όπως φαίνεται στο Σχήμα.3, η πιθανότητα P( ) απεικονίζεται γραφικά ως το εμβαδόν της επιφάνειας που περιέχεται μεταξύ της καμπύλης που ορίζει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας από τις κατακόρυφες στα f x και του άξονα των x, περιορίζεται δε a. Να σημειωθεί ότι λόγω της σχέσης (.1) ισχύει ότι P( X ) ( ) 0. Κατά συνέπεια, ισχύει επίσης ότι P( ) = P( ) = P( ) = P( ). Επομένως, με το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν του Σχήματος.3 απεικονίζεται οποιαδήποτε εκ των πιθανοτήτων: P( ), P( ), P( ), P( ). Το παράδειγμα που ακολουθεί θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών που παρουσιάστηκαν παραπάνω.

12 260 Παράδειγμα.2 X 3 4 x x [0,1] f ( x) 0 x [0,1]. X Λύση P P

13 261 3 Σχήμα.4 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της f x 4x Στο Σχήμα.4 απεικονίζονται γραφικά η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του Παραδείγματος.2 και οι δύο πιθανότητες που υπολογίστηκαν. f x.3 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Έστω X τυχαία μεταβλητή (διακριτή ή συνεχής). Η συνάρτηση FX : R R που ορίζεται F F( ) P X, R και η οποία εκφράζει την πιθανότητα ως X να λάβει η τυχαία μεταβλητή X οποιαδήποτε τιμή μικρότερη ή ίση του, καλείται αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (cumulative probability distribution function) ή, απλώς, συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X. H συνάρτηση F που ορίζεται με τον τρόπο αυτόν έχει τις παρακάτω πολύ σημαντικές ιδιότητες:, είναι δηλαδή μη φθίνουσα συνάρτηση. i. Αν F F

14 262 ii. lim F( ) 1 και lim F( ) 0. Με άλλα λόγια, η μέγιστη τιμή της είναι η μονάδα a a και η ελάχιστη το μηδέν. iii. H συνάρτηση F είναι συνεχής τουλάχιστον από δεξιά R..3.1 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Έστω η διακριτή τυχαία μεταβλητή X με τιμές xi, i 0, 1, 2, Τότε, F( ) P X P x, R (.2) x a i i όπου η άθροιση εκτείνεται σε όλα τα xi, i 0, 1, 2, τα οποία είναι μικρότερα ή ίσα του. Σημειώνεται ότι η συνάρτηση κατανομής F μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X είναι σταθερή κατά διαστήματα και αυξάνει μόνο με άλματα στα σημεία x. Με άλλα λόγια, είναι μια βαθμωτή (ή βαθμιδωτή) συνάρτηση (step function) με ύψος άλματος σε κάθε x, ίσο με την πιθανότητα να πάρει η τυχαία μεταβλητή X την τιμή x. Δηλαδή i i i F( x ) F( x ) P( X x ) (.3) i i1 i Αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα να λάβει η διακριτή τυχαία μεταβλητή X τιμή μεταξύ δύο οποιωνδήποτε πραγματικών αριθμών και, με i. P X F F, δίνεται από τις σχέσεις:

15 263 ii. P X F 1 F iii. P X F F 1 iv. P X F 1 F 1 Το παράδειγμα που ακολουθεί αναδεικνύει τη διαδικασία που πρέπει να ακολουθήσουμε προκειμένου να σχηματίσουμε την αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Παράδειγμα.3 X Λύση X x a 1 i 8 i x a i i x a i i x a i i x a i i

16 / F( a) 4 / / Σχήμα. F( x) xi P xi

17 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Στην περίπτωση που η τυχαία μεταβλητή X είναι συνεχής, έχουμε x P( X x) f ( t) dt. Άρα, x F( x) f ( t) dt. (.4) Προφανώς η μορφή της καμπύλης της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής εξαρτάται από τη μορφή της καμπύλης της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Για κάθε συνεχή τυχαία μεταβλητή X ισχύει ότι F x f x. df( x) F( x) f ( x) dx σχεδόν παντού. (.) Σημειώνεται ότι οι σχέσεις (.3) και (.4) είναι αντίστοιχες των σχέσεων (.1) και (.2) για την περίπτωση συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δεν εκφράζει την πιθανότητα εμφάνισης κάποιου ενδεχομένου, δηλαδή μιας συγκεκριμένης τιμής x της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X. Μόνο όταν η συνάρτηση ολοκληρώνεται μεταξύ δύο σημείων, εκφράζει πιθανότητα ενδεχομένου (Παράδειγμα.2). Σημειώνεται, πάντως, ότι για πολύ μικρό x 0 έχουμε

18 266 P x X x x f ( x) x. Η ποσότητα f ( x) x ονομάζεται στοιχείο πιθανότητας (propability element) ή διαφορικό πιθανότητας ή στοιχειώδης πιθανότητα. Αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα να λάβει η συνεχής τυχαία μεταβλητή X τιμή μεταξύ δύο οποιωνδήποτε πραγματικών αριθμών και, με, δίνεται από τις σχέσεις F F P X P X P X P X (.6) δεδομένου ότι P( X a) P( X ) 0, a R Στην περίπτωση που γνωρίζουμε την την τιμή της παραγώγου της f F x, μπορούμε από τη σχέση (.) να βρούμε x σε ένα σημείο x της X, υπολογίζοντας την τιμή df( x) dx F x, εφόσον βέβαια αυτή υπάρχει στο σημείο αυτό. Η διαδικασία αυτή αναδεικνύεται μέσω της εναλλακτικής θεώρησης του Παραδείγματος.2, έτσι όπως διατυπώνεται στο Παράδειγμα.4. της Παράδειγμα.4 X

19 x x [0,1] f ( x) 0 x [0,1] X P 0 X 1 3 P 1 3 X 1 2 Λύση X x R x Fx x F( x) f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt 0 x x x 4 4t dt t c x 0 0 x x Fx

20 268 0 x 0 4 F( x) x 0 x 1 1 x 1 X 3 Σχήμα.6 f x 4x P X F F

21 269 και P X F F ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής δίνει πληροφορίες για την πιθανότητα εμφάνισης των δυνατών τιμών της. Σε πολλές περιπτώσεις, όμως, απαιτείται μια συνοπτική περιγραφή της πιθανοθεωρητικής συμπεριφοράς της τυχαίας μεταβλητής. Στην περίπτωση αυτή απαιτείται η θεώρηση ορισμένων χαρακτηριστικών μέτρων της κατανομής πιθανότητας, τα οποία να την περιγράφουν με ικανοποιητικό τρόπο. Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν τα κυριότερα μέτρα κεντρικής τάσης (measures of central tendency)..4.1 Μέση τιμή Το βασικότερο μέτρο κεντρικής τάσης της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μέση τιμή της. Η μέση τιμή (mean value), η οποία καλείται επίσης και αναμενόμενη τιμή (expected value) ή μαθηματική ελπίδα (mathematical expectation), ορίζεται ως εξής: α. Μέση τιμή διακριτής τυχαίας μεταβλητής Έστω X διακριτή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας τιμή της δίνεται από τον τύπο P X x i. Η μέση

22 270 E X x P( x ) (.7) i1 i i με την προϋπόθεση ότι η σειρά συγκλίνει απολύτως. Αν η X παίρνει πεπερασμένο πλήθος τιμών, τότε έχουμε E X n xi P( xi ). i1 (.8) Αξίζει να τονιστεί ότι η τιμή της E X δεν είναι υποχρεωτικά κάποια από τις τιμές που παίρνει η τυχαία μεταβλητή X. Με το παράδειγμα που ακολουθεί παρουσιάζουμε τη διαδικασία υπολογισμού της αναμενόμενης τιμής της διακριτής τυχαίας μεταβλητής X. Παράδειγμα. Λύση 4 EX x PX x PX PX PX PX i1 i i

23 271 E( X ) 1, β. Μέση τιμή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Έστω X συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μέση τιμή της δίνεται από τον τύπο f x. Η ( ) E X xf x dx (.9) με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει απολύτως. Αν η πιθανοθεωρητική συμπεριφορά της τυχαίας μεταβλητής X είναι τέτοια ώστε η αντίστοιχη f ( x ) να παίρνει μη μηδενικές τιμές μόνο στο διάστημα,, τότε μπορούμε να γράψουμε xf ( x) dx. E X (.10) Με το παράδειγμα που ακολουθεί παρουσιάζουμε τη διαδικασία υπολογισμού της αναμενόμενης τιμής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X.

24 272 Παράδειγμα.6 X 3 4 x x [0,1] f ( x) 0 x [0,1] X Λύση 1 3 E X xf ( x) dx x4x dx 0 1 4x (4 / ) 0 4 /. 0 Στη συνέχεια θα αναφέρουμε ένα θεώρημα το οποίο είναι ιδιαίτερα χρήσιμο, δεδομένου ότι δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της μέσης τιμής μιας πραγματικής συνάρτησης, έστω g( X ), της τυχαίας μεταβλητής X, χωρίς να γνωρίζουμε την κατανομή πιθανότητας της g( X ).

25 273 Θεώρημα.1 X g. X g X E g X g x P X x i i i1 X g X E g X g x f x dx X Θεώρημα.2 X g X X a,

26 274 ae g X E ag X Με βάση το Θεώρημα.2 είναι πλέον εύκολο να κατανοηθούν τα συμπεράσματα που περιέχονται στο Πόρισμα.1 που ακολουθεί. Πόρισμα.1 X a, E ax ae X a E E ax ae X a 0. E X E X Θεώρημα.3 X, g1 X g2 X X a1, a2

27 27 E a g X a g X a E g X a E g X g X, i 1, 2,, n X a, i 1, 2,, n i i n n E ai gi ( X ) ai E gi X i1 i1.4.2 Διάμεσος Διάμεσος (median) μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι εκείνη η τιμή που χωρίζει την κατανομή σε δύο ίσα μέρη. Η διάμεσος μιας τυχαίας μεταβλητής X με συνάρτηση κατανομής F x, x R είναι η τιμή M για την οποία ισχύει M 1 2 και P X M 1 2 P X (.18) Για την περίπτωση διακριτών τυχαίων μεταβλητών, η διάμεσος είναι η μικρότερη τιμή που δίνει F x 1 2. Να σημειώσουμε ότι, αν η F x είναι συνεχής, η διάμεσος της κατανομής είναι κάθε λύση M της εξίσωσης F( M ) 1 2 (.19)

28 276 Αν επιπλέον η F x είναι γνησίως αύξουσα, τότε η εξίσωση (.19) έχει μοναδική λύση. Τα παραδείγματα που ακολουθούν αποσαφηνίζουν τα όσα ήδη αναφέρθηκαν. Παράδειγμα.7 Λύση 1 F( x) x 1 M 1 2 Παράδειγμα.8 X 3 4 x, x [0,1] f ( x) 0, x [0,1]. X Λύση M

29 277 M f ( x ) dx 1 2, M [0,1] M 3 4 M 4 4x dx 1 2 x 1 2 M 1 2 M M 4 1 2,.4.3 Ποσοστιαία σημεία Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η διάμεσος μιας κατανομής είναι το 0ό εκατοστιαίο σημείο της. Γενικά p-ποσοστιαίο σημείο (quantile) μιας τυχαίας μεταβλητής X με συνάρτηση κατανομής F x, x R είναι η τιμή x p για την οποία ισχύει: P X xp p και p P X x p Να σημειώσουμε ότι, αν η είναι κάθε λύση, x, της εξίσωσης p F x είναι συνεχής, το p-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής

30 278 p p. F x Αν επιπλέον η Προφανώς: F x είναι γνησίως αύξουσα, τότε η εξίσωση (.19) έχει μοναδική λύση. Αν p 0., το x p είναι η διάμεσος M Αν p 0.2, το x p είναι το 1 ο τεταρτημόριο Αν p 0.7, το x p είναι το 3 ο τεταρτημόριο Q 1 Q Επικρατούσα τιμή Επικρατούσα τιμή (mode) μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι εκείνη η τιμή που έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης από κάθε άλλη τιμή. Η επικρατούσα τιμή ορίζεται ως εξής: α. Επικρατούσα τιμή διακριτής τυχαίας μεταβλητής Έστω X διακριτή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας τιμή είναι εκείνη η τιμή T 0 για την οποία ισχύει P x. Η επικρατούσα P( X T ) P( X x), x. 0

31 279 Παράδειγμα.9 Λύση x 1 x T0 1 T0 2. β. Επικρατούσα τιμή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Έστω X συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Η επικρατούσα τιμή είναι εκείνη η τιμή T 0 για την οποία ισχύει f x. f ( T ) f ( x), x. 0 Σημειώνεται ότι, αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει παράγωγο δεύτερης τάξης, τότε ένα σημείο T 0 με f ( T0 ) 0 και f ( T0 ) 0 είναι επικρατούσα τιμή της κατανομής. Παράδειγμα.10 X F( x) 0, x 0 2 x 1 e, 0 x, 0.

32 280 X. Λύση X df( x) 2 f ( x) 2 xe x, 0 x dx f ( x) 2 2 x 2 2 ( ) f ( x) x e f x x x e 2 x 2 2 x 2 f ( x) x e 0 1 2x 0 x e f , 0.

33 281 x 1 2 [0, ) T ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Η μέση τιμή και τα άλλα μέτρα κεντρικής τάσης μιας τυχαίας μεταβλητής X, τα οποία παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα, εκφράζουν μια αντιπροσωπευτική τιμή της X, αλλά δεν είναι αρκετά για να μας επιτρέψουν να περιγράψουμε ικανοποιητικά την κατανομή πιθανότητάς της και να συγκρίνουμε διαφορετικές κατανομές. Για το σκοπό αυτόν, χρειαζόμαστε κάποια άλλα μέτρα που να μας δίνουν τη διασπορά των τιμών της μεταβλητής γύρω από την αντιπροσωπευτική τιμή της. Τα μέτρα αυτά ονομάζονται μέτρα διασποράς και τα κυριότερα από αυτά παρουσιάζονται στη συνέχεια...1 Διακύμανση και τυπική απόκλιση Το βασικότερο μέτρο διασποράς μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η διακύμανσή της, η οποία ορίζεται ως εξής: Έστω X τυχαία μεταβλητή (διακριτή ή συνεχής) με μέση τιμή E X. Η διακύμανση (variance) της X συμβολίζεται με V X ή 2 και δίνεται από τον τύπο 2 ( ) 2 2 V X E X E X E X (.20) Πολλές φορές για διευκόλυνση, αντί του τύπου (.17), χρησιμοποιούμε τον ισοδύναμο τύπο του

34 282 2 V X E X E X E X (.21) Όπως φαίνεται από τον παραπάνω ορισμό, η διακύμανση δεν εκφράζεται στις μονάδες της X αλλά στα τετράγωνα των μονάδων της. Για να ξεπεράσουμε το πρόβλημα αυτό, χρησιμοποιούμε συνήθως, αντί της διακύμανσης, τη θετική τετραγωνική της ρίζα V ( X ) η οποία καλείται μέση απόκλιση τετραγώνου ή τυπική απόκλιση (mean square deviation or standard deviation) της X. Για τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής αποδεικνύεται ότι ισχύουν ορισμένες ιδιότητες, οι σπουδαιότερες από τις οποίες παρουσιάζονται στη συνέχεια: 1. V a 0, όπου a σταθερά (.22) όπου σταθερά (.23) 2. V X V X, 2 3. V ax a V X, όπου a σταθερά (.24), όπου a, σταθερές (.2) 2 4. V ax a V X Με το παράδειγμα που ακολουθεί παρουσιάζουμε τη διαδικασία υπολογισμού της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης για την περίπτωση διακριτής τυχαίας μεταβλητής X.

35 283 Παράδειγμα.11 Λύση V X E X E X ( ) ( ) [ ( )]. 3 E( X ) E X i i i0 EX x PX x PX PX PX PX E X ( ) V ( X ) και 3 3 V ( X ). 4 2

36 284 Με το παράδειγμα που ακολουθεί παρουσιάζουμε τη διαδικασία υπολογισμού της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης για την περίπτωση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X. Παράδειγμα.12 X 3 4 x x [0,1] f ( x) 0 x [0,1] X Λύση V ( X ) E X E X E X 4 E X 2

37 28 b E X x f ( x) dx x 4x dx a 1 6 4x c (2 / 3) 0 2 / V ( X ) Ενδοτεταρτημοριακό εύρος και τεταρτημοριακή απόκλιση Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος (interquartile range) ορίζεται ως Q3 Q1 και η Q3 Q1 τεταρτημοριακή απόκλιση (quartile deviation) ως Q 2 Το Q (1 ο τεταρτημόριο ή 2ό εκατοστιαίο σημείο) και το 1 Q (3 ο τεταρτημόριο ή 3 7ό εκατοστιαίο σημείο) υπολογίζονται με βάση τη γενική μεθοδολογία που δόθηκε σε προηγούμενη ενότητα για το p-ποσοστιαίο σημείο.

38 286.6 ΡΟΠEΣ Οι περισσότερες κατανομές πιθανότητας περιγράφονται πλήρως όταν γνωρίζουμε τη μέση τιμή και τη διακύμανσή τους. Υπάρχουν, όμως, και ορισμένες περιπτώσεις όπου κατανομές πιθανότητας με την ίδια μέση τιμή και διακύμανση έχουν τελείως διαφορετική μορφή. Δύο τέτοιες κατανομές πιθανότητας απεικονίζονται στο Σχήμα.7. Η ροπή (moment) k τάξης k 1, 2, 3,... γύρω από την αρχή μιας τυχαίας k μεταβλητής X ορίζεται ως E X και συμβολίζεται με k. Αν η k υπάρχει, τότε k E X k k x P( X x), X x k x f ( x) dx, X (.26) Προφανώς, η ροπή πρώτης τάξης γύρω από την αρχή, δηλαδή 1 E X xp( X x), X x x f ( x) dx, X (.27) εκφράζει τη μέση τιμή της κατανομής πιθανότητας της X.

39 287 Σχήμα.7 Κατανομές πιθανότητας με την ίδια μέση τιμή και την ίδια διακύμανση Η ροπή k τάξης k 1, 2, 3,... γύρω από τον μέσο (ή κεντρική ροπή k τάξης) μιας τυχαίας μεταβλητής X ορίζεται ως η E( X ) k υπάρχει, τότε και συμβολίζεται με k. Αν η k k x P( X x), X k x k E X k x f ( x) dx, X (.28)

40 288 Προφανώς, η ροπή δεύτερης τάξης γύρω από τον μέσο, δηλαδή 2 x P( X x), X 2 x 2 E X 2 x f ( x) dx, X (.29) εκφράζει τη διακύμανση της κατανομής πιθανότητας της X. Οι κεντρικές ροπές έχουν ιδιαίτερη σημασία γιατί δίνουν μία ένδειξη για το πώς μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται γύρω από τη μέση τιμή της. Η τρίτη κεντρική ροπή μάς δίνει πληροφορίες για το βαθμό ασυμμετρίας της κατανομής. Αν η κατανομή είναι συμμετρική, τότε 3 0. Τέλος, η τέταρτη κεντρική ροπή μάς δίνει πληροφορίες για το βαθμό κύρτωσης (αιχμηρότητας) της κατανομής..7 ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ ΚΑΤΑΝΟΜEΣ ΠΙΘΑΝOΤΗΤΑΣ Στις ενότητες που προηγήθηκαν, ασχοληθήκαμε με τη μελέτη ενός φαινομένου όπως αυτό εκφράζεται μέσω συγκεκριμένης τυχαίας μεταβλητής. Στην πράξη, όμως, συμβαίνει συχνά να ενδιαφερόμαστε για τη μελέτη φαινομένων τα οποία περιγράφονται από παραπάνω από μία συνιστώσες, εκφράζονται δηλαδή με περισσότερες από μία τυχαίες μεταβλητές, οι οποίες είναι πιθανό να αλληλοεξαρτώνται. Στις περιπτώσεις αυτές, σκοπός μας είναι η από κοινού μελέτη των τυχαίων αυτών μεταβλητών. Όπως και στην περίπτωση της μελέτης μιας τυχαίας μεταβλητής, μπορούμε να περιγράψουμε τη μεταβλητότητα πολλών τυχαίων μεταβλητών με τη χρήση πολυμεταβλητών κατανομών πιθανότητας και αντίστοιχων μέτρων κεντρικής τάσης, διασποράς κ.ο.κ. Η απλούστερη περίπτωση, η οποία και θα παρουσιαστεί στην ενότητα αυτή, είναι η περίπτωση ζεύγους τυχαίων μεταβλητών X, Y όπου και οι δύο τυχαίες μεταβλητές είτε είναι διακριτές είτε συνεχείς.

41 Διμεταβλητές κατανομές πιθανότητας Έστω X, Y ζεύγος τυχαίων μεταβλητών. Για τις τυχαίες αυτές μεταβλητές θα ορίσουμε στη συνέχεια ορισμένες συναρτήσεις, οι οποίες περιγράφουν την από κοινού συμπεριφορά του ζεύγους των τυχαίων αυτών μεταβλητών. Ως από κοινού συνάρτηση πιθανότητας (joint probability function) (αν X, Y διακριτές τυχαίες μεταβλητές) ή από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (joint probability density function) (αν X, Y συνεχείς τυχαίες μεταβλητές) ορίζεται η συνάρτηση, (, ) X Y R ως εξής: P x y ή f x y με πεδίο ορισμού το R R X, Y, και πεδίο τιμών το Αν X, Y διακριτέςτυχαίες μεταβλητές, τότε η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας αυτών ορίζεται ως PX, Y x, y P X x, Y y και θα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες: i. P x y P X x Y y, (, ), 0, X Y, x X S R y Y S R ii., xx ( S ) yy ( S ) P X Y ( x, y) 1 Αν X, Y συνεχείςτυχαίες μεταβλητές, τότε η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτών ορίζεται ως

42 290 f X, Y x0 y0 P x X x x, y Y y y x, y lim xy και θα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες: i. f x y x X S, y Y S X Y,, 0 ii. f, ( x, y) dxdy 1. X Y Η συνάρτηση F, : R R R, X Y που ορίζεται ως F a b P X a Y b X Y,,,, a, b R και η οποία εκφράζει την πιθανότητα να λάβει η τυχαία μεταβλητή X οποιαδήποτε τιμή μικρότερη ή ίση του a και η τυχαία μεταβλητή Y οποιαδήποτε τιμή μικρότερη ή ίση του b, καλείται από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (joint cumulative probability distribution function) και ορίζεται ως εξής PX, Y x, y X Y xa yb FX, Y a, b P X a, Y b a b f X, Y x, ydxdy X Y Αν X και Y τυχαίες μεταβλητές των οποίων η από κοινού κατανομή είναι καλά ορισμένη, τότε η κατανομή πιθανότητας της X (αντίστοιχα της Y ) ονομάζεται περιθώρια κατανομή πιθανότητας (marginal probability distribution) της X (αντίστοιχα της Y ) και υπολογίζεται ως εξής:

43 291 Αν X, Y διακριτές (discrete) τυχαίες μεταβλητές, η περιθώρια κατανομή της X συμβολίζεται με PX x, ορίζεται ως PX x PX, Y x, y y και θα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες: i. 0 P x x X PX x x ii. 1 Ομοίως, ορίζεται η περιθώρια κατανομή της Y, P y P x y Y x X Y,,. Αν X, Y συνεχείς(continuous)τυχαίες μεταβλητές, η περιθώρια κατανομή της X συμβολίζεται με f X x, υπολογίζεται ως f X x f X, Y x, y dy και θα πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες: i. 0 f x x X

44 292 ii. f ( x) dx 1 X Ομοίως, ορίζεται η περιθώρια κατανομή της Y, fy y f X, Y x, y dx. Με βάση την περιθώρια κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι δυνατό να υπολογιστεί και η αντίστοιχη περιθώρια αθροιστική συνάρτηση κατανομής (marginal cumulative distribution function) ως ακολούθως: PX x PX, Y x, y X Y xa xa y FX a P X a a a f X x dx f X, Y x, y dxdy X Y Με βάση, λοιπόν, τα παραπάνω προκύπτει ότι, όταν γνωρίζουμε την από κοινού κατανομή πιθανοτήτων δύο τυχαίων μεταβλητών X και Y, μπορούμε να προσδιορίσουμε την περιθώρια κατανομή για καθεμιά από τις X και Y. Το αντίστροφο δεν ισχύει (εκτός από κάποιες ειδικές περιπτώσεις). Σημειώνουμε επίσης ότι οι περιθώριες κατανομές, οι οποίες υπολογίζονται από την από κοινού κατανομή πιθανοτήτων, είναι ίδιες με τις κατανομές που προκύπτουν όταν κάθε τυχαία μεταβλητή εξετάζεται χωριστά. Οι δεσμευμένες κατανομές πιθανότητας (conditional probability distribution) περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται η μία, έστω η X, από τις τυχαίες μεταβλητές για δεδομένη τιμή της άλλης τυχαίας μεταβλητής, έστω Y. Πιο συγκεκριμένα:

45 293 Για X Y διακριτέςτυχαίες μεταβλητές Y x, y P X x, Y y PX, Y PX Y X x Y y P Y y P y Για X Y συνεχείςτυχαίες μεταβλητές f X Y x y f X, Y f Y, y x y Με ανάλογο τρόπο προκύπτει η δεσμευμένη κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Y, δεδομένης της X..7.2 Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών Δύο τυχαίες μεταβλητές X και Y θα λέγονται ανεξάρτητες (independent) αν για κάθε ζεύγος συνόλων A και B πραγματικών αριθμών ισχύει:, P X A Y B P X A P Y B Ο παραπάνω ορισμός ανεξαρτησίας αποδεικνύεται (στηριζόμενοι στα τρία αξιώματα των πιθανοτήτων) ότι είναι ισοδύναμος με τις εξής σχέσεις:

46 294 Για X, Y διακριτές τυχαίες μεταβλητές PX, Y x, y PX x PY y, x, y Για X, Y συνεχείς τυχαίες μεταβλητές,, f x y f x f y x y X, Y X Y,.7.3 Περιγραφικά μέτρα της από κοινού κατανομής δύο τυχαίων μεταβλητών Όπως και στην περίπτωση μια τυχαίας μεταβλητής, έτσι και η από κοινού κατανομή δύο τυχαίων μεταβλητών είναι δυνατό να συνοψιστεί με ορισμένα βασικά περιγραφικά μέτρα. Στην περίπτωση του διμεταβλητού προβλήματος εισάγεται ένα νέο μέτρο το οποίο χρειάζεται για τη μελέτη της συμμεταβλητότητας του ζεύγους των τυχαίων μεταβλητών (X, Y). Το μέτρο αυτό ονομάζεται συνδιακύμανση (covariance) αυτών και ορίζεται ως εξής:, Cov X Y E X E X Y E Y E X Y E X E Y Η συνδιακύμανση έχει τις παρακάτω ιδιότητες: i. Αν X, Y ανεξάρτητες, Cov X Y, 0 ii. Cov X Z, Y Cov X, Y CovZ, Y iii. Cov a bx, c dy b d Cov X, Y

47 29 Παρατηρούμε οτι Cov( X, X ) V ( X ) Όπως προκύπτει από τα όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, η συνδιακύμανση δύο τυχαίων μεταβλητών εκφράζει ποσοτικά την ένταση της συμμεταβολής των τυχαίων μεταβλητών και έχει μονάδες μέτρησης το γινόμενο των μονάδων μέτρησης των δύο τυχαίων μεταβλητών. Αυτό σημαίνει, για παράδειγμα, ότι, αν μεταβληθούν οι μονάδες μέτρησης των τυχαίων μεταβλητών, θα μεταβληθεί και η τιμή της συνδιακύμανσής τους. Δημιουργείται, λοιπόν, η ανάγκη ορισμού ενός μέτρου συμμεταβολής, το οποίο δεν θα επηρεάζεται από τις μονάδες μέτρησης των τυχαίων μεταβλητών. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται στη συνέχεια. Έστω δύο τυχαίες μεταβλητές X, Y που κατανέμονται με μέσες τιμές, και τυπικές αποκλίσεις, αντίστοιχα. Θεωρούμε επίσης τις τυχαίες μεταβλητές Z X X X και Y ZY X Y X Y Y, δηλαδή τις τυποποιημένες μορφές των αρχικών τυχαίων μεταβλητών. Ορίζουμε ως συντελεστή συσχέτισης (coefficient of correlation) των X, Y X, Y και συμβολίζουμε με Δηλαδή τη συνδιακύμανση των τυποποιημένων μορφών τους. X Y X, X Y Cov X Y Y X, Y CovZ X, Z Y Cov, X Y X Y Να σημειωθεί ότι αν είτε X 0 είτε Y 0 μεταβλητές X, Y για τις οποίες X Y ορίζουμε ότι X Y, 0. Οι τυχαίες, 0 ονομάζονται ασυσχέτιστες (uncorrelated). O συντελεστής συσχέτισης των τυχαίων μεταβλητών X, Y εκφράζει την ένταση της γραμμικής εξάρτησης των X, Y, έχει δε τις παρακάτω ιδιότητες:

48 296 i. a bx, c dy ii. X Y X, Y bd X, Y bd, 1 Όταν X Y, 1, έχουμε πλήρη γραμμική εξάρτηση. Τιμές του συντελεστή κοντά στο 1 αποτελούν ένδειξη για θετική γραμμική συσχέτιση μεταξύ των X και Y (δηλαδή, όσο αυξάνουν οι τιμές της μιας τυχαίας μεταβλητής, αυξάνουν και οι τιμές της άλλης), ενώ τιμές του συντελεστή κοντά στο 1 αποτελούν ένδειξη για αρνητική γραμμική συσχέτιση μεταξύ των X και Y (δηλαδή, όσο αυξάνουν οι τιμές της μιας τυχαίας μεταβλητής, μειώνονται οι τιμές της άλλης). iii. Έστω δύο τυχαίες μεταβλητές X, Y για τις οποίες ισχύει ότι Y a bx. Τότε X, Y 1, a 0 1, a 0 iv. Έστω δύο τυχαίες μεταβλητές X, Y για τις οποίες ισχύει ότι X Y υπάρχουν, a b R με b 0 τέτοια ώστε Y a bx. Ολοκληρώνοντας την παρουσίαση του συντελεστή συσχέτισης X, Y ότι:, 1. Τότε, να τονίσουμε Ο συντελεστής συσχέτισης θα πρέπει να χρησιμοποιείται ως ένδειξη γραμμικής μόνο εξάρτησης και όχι ως ένδειξη οποιασδήποτε μορφής εξάρτησης. Αν δύο τυχαίες μεταβλητές X, Y είναι ανεξάρτητες, τότε θα είναι οπωσδήποτε και ασυσχέτιστες. Το αντίστροφο, όμως, δεν ισχύει. Δηλαδή, δύο τυχαίες μεταβλητές X, Y μπορεί να είναι ασυσχέτιστες χωρίς απαραίτητα να είναι και ανεξάρτητες.

49 Συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών Τα μέτρα που ήδη ορίστηκαν είναι ιδιαίτερα χρήσιμα για τη συστηματική μελέτη της συμπεριφοράς (μέσω βασικών περιγραφικών μέτρων) των συναρτήσεων τυχαίων μεταβλητών. Ορισμένα όμως βασικά θεωρήματα, που βοηθούν στον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής και της διακύμανσης συναρτήσεων των τυχαίων μεταβλητών δίνονται στη συνέχεια. Θεώρημα.4 g X, Y X Y E g X, Y x y g x, y P x, y, X Y X, Y g x, y f X, Y x, y dxdy, X Y Θεώρημα. X,, 1 X n n n E X i E X i1 i1 i

50 298 Θεώρημα.6 X,, 1 X ανεξάρτητες n n n E X i E X i1 i1 i Θεώρημα.7 X,, 1 X n V X V X Cov X X i1 i1 i, j1 n n n i i 2 i, j i j Πόρισμα.2 X,, 1 X n ανεξάρτητες n n V X i V X i1 i1 i

51 299 ΣΥΝΟΨΗ Με βάση τη φύση και, κατά συνέπεια, τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους, οι δειγματικοί χώροι που συνδέονται με συγκεκριμένα τυχαία πειράματα κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες, σε ποιοτικούς και ποσοτικούς. Η εφαρμογή των κανόνων του λογισμού των πιθανοτήτων, οι οποίοι παρουσιάστηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο, είναι ευκολότερη στην περίπτωση ποσοτικών δειγματικών χώρων. Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, όμως, τα δεδομένα είναι ποιοτικά και για το λόγο αυτόν θα ήταν χρήσιμο να οριστεί μία συνάρτηση που να αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό σε κάθε στοιχείο ενός ποιοτικού δειγματικού χώρου. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται τυχαία μεταβλητή και αποτέλεσε αντικείμενο της μελέτης του κεφαλαίου αυτού. Στην πρώτη ενότητα ορίστηκε η έννοια της τυχαίας μεταβλητής, έγινε διάκριση μεταξύ διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών και στη συνέχεια ορίστηκε, αφενός, η συνάρτηση πιθανότητας με το διάγραμμά της για τις διακριτές μεταβλητές και, αφετέρου, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με το διάγραμμά της για τις συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Στη δεύτερη ενότητα ορίστηκε η αθροιστική συνάρτηση κατανομής για διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Στην τρίτη, στην τέταρτη και στην πέμπτη ενότητα παρουσιάστηκαν αντίστοιχα τα μέτρα κεντρικής τάσης, τα μέτρα διασποράς και οι ροπές τόσο για διακριτές όσο και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Τέλος, στην έκτη ενότητα έγινε μια σύντομη αναφορά στις διμεταβλητές κατανομές πιθανότητας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.1 Στρίβουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα τέσσερις φορές και συμβολίζουμε με X την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το συνολικό αριθμό εμφανίσεων της ένδειξης «Κεφάλι» στις τέσσερις αυτές ρίψεις. i. Να καταγραφούν, υπό μορφή πίνακα, τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του πειράματος αυτού και η τιμή της μεταβλητής X που αντιστοιχεί σε καθένα από αυτά. ii. Να κατασκευαστούν ο πίνακας της κατανομής πιθανότητας της μεταβλητής X και το αντίστοιχο διάγραμμα πιθανότητας.

52 300 iii. Να υπολογιστούν η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της μεταβλητής X. iv. Να κατασκευαστούν ο πίνακας της αθροιστικής κατανομής της μεταβλητής X και το αντίστοιχο διάγραμμα. Άσκηση.2 Έστω X μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 3 x ke, x f ( x) 0, i. Να υπολογιστεί η τιμή του k. ii. Να υπολογιστεί η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να λαμβάνει τιμές στο διάστημα [0., 1]. iii. Να υπολογιστεί η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της X. Άσκηση.3 Έστω X μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 1 ( x 1), x f ( x) 8 0, Να υπολογιστούν η μέση τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής X.

53 301 Άσκηση.4 Έστω X διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές 0, 1, 2 με πιθανότητες ,, αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διακύμανσή της. Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση x 2 P( x) x. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση 2 αυτή είναι συνάρτηση πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Άσκηση.6 Έστω X μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας x e, x f ( x) 0, g X e 3 X / 4 Να υπολογιστεί η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Άσκηση.7 Να εξετασθεί ποιοι από τους παρακάτω πίνακες αποτελούν πίνακες κατανομής πιθανότητας της διακριτής τυχαίας μεταβλητής X.

54 302 (α) x P( x ) (β) x P( x ) (γ) x P( x ) (δ) x P( x ) Άσκηση.8 Ένας ασφαλιστής σε κανονικές συνθήκες επισκέπτεται οκτώ υποψήφιους πελάτες την ημέρα. Έστω X η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των ασφαλιστηρίων συμβολαίων που συνάπτει σε μία μέρα και έστω ότι η συνάρτηση πιθανότητας της X είναι: 8! x 8x P( x) 0.1 (0.9) ; x 0, 1,,8 8 x! x!

55 303 (α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα P( x ) για κάθε τιμή της μεταβλητής X και να απεικονιστεί γραφικά η κατανομή πιθανότητας. (β) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ένας ασφαλιστής να συνάψει τουλάχιστον ένα ασφαλιστήριο συμβόλαιο σε μία τυχαία επιλεγμένη μέρα. (γ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ένας ασφαλιστής να συνάψει το πολύ ένα ασφαλιστήριο συμβόλαιο σε μία τυχαία επιλεγμένη μέρα. (δ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα ένας ασφαλιστής να συνάψει ακριβώς ένα ασφαλιστήριο συμβόλαιο κατά τη διάρκεια μίας τυχαία επιλεγμένης μέρας. (ε) Να υπολογισθεί η αναμενόμενη τιμή του αριθμού των ασφαλιστηρίων συμβολαίων που συνάπτονται από τον ασφαλιστή σε μια μέρα. (στ)να εκτιμηθεί η διακύμανση και η τυπική απόκλιση του αριθμού των ασφαλιστηρίων συμβολαίων που συνάπτονται από τον ασφαλιστή σε μια μέρα. Άσκηση.9 Με βάση ιστορικά στοιχεία, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X που εκφράζει τον αριθμό των πελατών που φτάνουν σε ένα κατάστημα μέσα σε ένα χρονικό διάστημα λεπτών είναι η: x P( x ) (α) Να απεικονιστεί γραφικά η κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X. (β) Να υπολογισθεί η αθροιστική κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X. (γ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα τουλάχιστον τρεις πελάτες να φτάσουν στο κατάστημα μέσα σε χρονικό διάστημα λεπτών.

56 304 Άσκηση.10 Με βάση ιστορικά στοιχεία, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X που εκφράζει τον αριθμό των υπεράριθμων κρατήσεων μίας αεροπορικής εταιρείας είναι η: x P( x ) (α) Να απεικονιστεί γραφικά η κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X. (β) Να υπολογισθεί η αθροιστική κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X. (γ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα να γίνει κράτηση τουλάχιστον τεσσάρων υπεράριθμων θέσεων. (δ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα να μη γίνει κράτηση υπεράριθμων θέσεων. (ε) Να υπολογισθεί η αναμενόμενη τιμή του αριθμού των υπεράριθμων κρατήσεων. (στ)να υπολογισθεί η διακύμανση και η τυπική απόκλιση του αριθμού των υπεράριθμων κρατήσεων. Άσκηση.11 Έστω ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι: x f x όπου 0 x 2 2 Να υπολογιστούν οι ακόλουθες πιθανότητες: (α) Η X να πάρει τιμές μεγαλύτερες από 1.

57 30 (β) Η X να πάρει τιμές μικρότερες από (γ) Η X να πάρει τιμές στο διάστημα, 1 2 (δ) Η X να πάρει την τιμή 1 (ε) Η X να πάρει τιμές μεγαλύτερες από 3 Άσκηση.12 Έστω ότι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X είναι: 2 x F x όπου 0 x 2 4 Να χρησιμοποιηθούν οι ιδιότητες της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής για να απαντηθούν τα ερωτήματα της άσκησης.11. Τι παρατηρείτε; Αιτιολογείστε τα ευρήματά σας. Άσκηση.13 Έστω ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι: 1 f x όπου 2 x 6 8

58 306 Να υπολογιστούν οι ακόλουθες πιθανότητες: (α) Η X να πάρει τιμές μικρότερες από 0. (β) Η X να πάρει τιμές μεγαλύτερες από 3 2. (γ) Η X να πάρει τιμές μεγαλύτερες από 4. Άσκηση.14 Έστω ότι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X είναι: F x x 2 8 όπου 2 x 6 Να χρησιμοποιηθούν οι ιδιότητες της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής για να απαντηθούν τα ερωτήματα της άσκησης.12. Τι παρατηρείτε; Αιτιολογείστε τα ευρήματά σας. Άσκηση.1 Έστω ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι: 1 f x όπου 0 x 2 2

59 307 Να υπολογιστούν οι ακόλουθες πιθανότητες: (α) Η X να πάρει τιμές μεγαλύτερες από 3 2 (β) Η X να πάρει τιμές μικρότερες από 1 2 (γ) Η X να πάρει τιμές στο διάστημα 1 3, 2 2

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Διμεταβλητές κατανομές πιθανοτήτων

Διμεταβλητές κατανομές πιθανοτήτων Διμεταβλητές κατανομές πιθανοτήτων Για να περιγράψουμε την σχέση ανάμεσα σε δύο τυχαίες μεταβλητές χρειαζόμαστε την κοινή κατανομή πιθανοτήτων τους. Η κοινή συνάρτηση πιθανότητ ικανοποιε ί τις συνθ ήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, και έστω ότι το P(X=x)=p Χ καθορίζει ένα τυχαίο πείραμα. Ένα ερώτημα που τίθεται συχνά είναι το εξής: Τί θα συμβεί μακροπρόθεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Τυχαίες μεταβλητές Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο b. Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών

Μάθηµα 3 ο b. Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών Μάθηµα 3 ο b Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών Έχουµε δύο, ή περισσότερες, τυχαίες µεταβλητές έστω Χ και Υ. Η σκπ των ζευγών ( x, y ) λέγεται από κοινού κατανοµή του ζεύγους ή του διανύσµατος ( X,Y

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,

Διαβάστε περισσότερα

Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.

Στην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν. ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ ΚΑΤΑΝΟΜEΣ Σε πολλά προβλήματα, ενδιαφερόμαστε για περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι πιθανό να αλληλοεξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά μαθηματικά εργαλεία

Βασικά μαθηματικά εργαλεία Παράρτημα Αʹ Βασικά μαθηματικά εργαλεία Σύνοψη Παρατίθενται μια επανάληψη σε βασικές γνώσεις που αφορούν βασικά μαθηματικά εργαλεία, για την αντιμετώπιση προβλημάτων που παρουσιάζονται στο σύγγραμμα, και

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο Κατανομές Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς - - Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Έστω οι διαφορετικές διατάξεις ενός αγοριού (B) και ενός κοριτσιού (G) σε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017 Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα