ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ
|
|
- Ζαρά Φλέσσας
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, και έστω ότι το P(X=x)=p Χ καθορίζει ένα τυχαίο πείραμα. Ένα ερώτημα που τίθεται συχνά είναι το εξής: Τί θα συμβεί μακροπρόθεσμα εάν επαναλάβουμε το πείραμα πολλές φορές; (Υπάρχει κάποια ποσότητα που μπορεί να θεωρηθεί σταθερή;) Για να εξηγήσουμε καλύτερα το πρόβλημα ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Έστω ότι στρίβουμε ένα μεροληπτικό νόμισμα που έχει τις εξής πιθανότητες: P(K) = 3/5, P(Γ) = /5 Έστω οτι παίζουμε το εξής παιγνίδι: Κερδίζουμε δύο δραχμές αν το αποτέλεσμα είναι Γ και χάνουμε μια δραχμή αν είναι Κ. Τί περιμένουμε να συμβεί μακροπρόθεσμα; (Μας συμφέρει αυτό το παιχνίδι;) Λύση: Αν παίξουμε το παιχνίδι αυτό αρκετές φορές περιμένουμε 3/5 από τις φορές αυτές, κατά προσέγγιση, να χάσουμε μια δραχμή και /5, κατά προσέγγιση, να κερδίσουμε δύο δραχμές. Έστω ότι παίζουμε το παιχνίδι n φορές. Το κατά προσέγγιση, κέρδος (ζημιά) θα είναι: (-1)n(3/5)+n(/5) = n(1/5) Και επομένως, το μέσο κέρδος (ζημιά) θα είναι, κατά προσέγγιση (n/n)(1/5) = 1/5 είναι μια σταθερή ποσότητα (ανεξάρτητη του n). Μπορούμε να παρουσιάσουμε καλύτερα το πρόβλημα αν χρησιμοποιήσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής. Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή Χ ως εξής: 7
2 1 (αν το αποτέλεσμα είναι X = (αν το αποτέλεσμα είναι Τότε το αναμενόμενο κέρδος (ζημιά) θα είναι: (-1) P(X = -1) + P(X = ) = 1/5 Γενικά, μπορούμε να δώσουμε τον εξής ορισμό: Ορισμός: Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με κατανομή πιθανότητας P Χ. Η σταθερή ποσότητα xp(x = x) x αν υπάρχει, λέγεται μέση τιμή (mean value) ή αναμενόμενη τιμή (expected value) της τυχαίας μεταβλητής Χ ή μαθηματική ελπίδα (mathematical expectαtion) της Χ και συμβολίζεται με Ε(X) ή με μ Χ ή με μ. Προφανώς η Ε(Χ) υπάρχει αν η σειρά xp(x = x) συγκλίνει. Η τιμή της E(X) δεν είναι υποχρεωτικά μια απο τις τιμές που παίρνει η Χ. Παράδειγμα: Ο τροχός της ρουλέτας, σε ορισμένες χώρες, έχει 38 θέσεις με τους αριθμούς 0, 00, 1,,..., 36. Αν ο παίκτης στοιχηματίζει μια δραχμή σε οποιονδήποτε από τους αριθμούς 1 έως 36 και κερδίσει (δηλαδή ο τροχός σταματήσει στον αριθμό αυτό) παίρνει πίσω 36 δραχμές. Αλλιώς χάνει την δραχμή. Έστω Χ το καθαρό κέρδος του παίκτη σε μια στροφή. Οι τιμές του Χ είναι +35 και -1 και οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P(X=35) = 1/38 και P(X = -1) = 37/38 Επομένως Ε(X) = (35)(1/38) - (1)(37/38) = - 1/19 Δηλαδή ο παίκτης του καζίνου περιμένει να χάσει 1/19 της κάθε δραχμής που παίζει. Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι το παιχνίδι θα ήταν δίκαιο αν δεν υπήρχαν οι δύο αριθμοί 0 και 00. Τότε η κατανομή πιθανότητας της Χ θα ήταν P(X=35) = 1/36 και P(X = -1) = 35/36 και τότε 73 x K) Γ).
3 E(X) = (35)(1/36) - (1)(35/36) = 0 Παράδειγμα: Η αντιδικία του Pascal με τον Chevalie de Méé για πίστη στην ύπαρξη Θεού στηρίζεται στην έννοια της μέσης τιμής. Το επιχείρημα του Pascal ήταν ότι και αν ακόμα η πιθανότητα p ύπαρξης του Θεού, ήταν πολύ μικρή, το αναμενόμενο κέρδος από το να πιστεύει κανείς στην ύπαρξη του Θεού, στην αιώνια ευτυχία, είναι τόσο μεγάλο που δικαιολογεί την πίστη αυτή. Και αυτό γιατί, κατά τον Pascal, η ποσότητα p (αιώνια ευτυχία)+(1-p) (μηδενικότητα) είναι εξαιρετικά μεγάλη, ανεξάρτητα από το πόσο μικρό είναι το p. Γενικά, αν P(x) είναι η κατανομή πιθανότητας της (διακριτής) τυχαίας μεταβλητής Χ και u(x) είναι μια συνάρτηση του Χ, τότε η μέση τιμή της u(x) είναι E(u(X)) = u(x) P(x) x εφ όσον βέβαια η σειρά συγκλίνει. (Δηλαδή η E(u(x)) μπορεί να θεωρηθεί σαν το κέντρο βάρους της u(x) με βάρη τα P(x)). Θα πρέπει να τονισθεί εδώ ότι η παραπάνω σχέση δεν είναι ορισμός αλλά αποτελεί θεώρημα, η απόδειξη του οποίου θα δοθεί σε άλλη ενότητα. Παράδειγμα: Ένα περίπτερο παίρνει κάθε βδομάδα 4 αντίτυπα από ένα νέο περιοδικό που κυκλοφόρησε τελευταία. Έστω Χ η ζήτηση για το περιοδικό με κατανομή πιθανότητας 1/15 x = 1 /15 x =.6 F(x) = 3/15 x = /15 x = 4 Ο αριθμός των αντιτύπων που μένουν απούλητα στο τέλος της εβδομάδας είναι: u(x) = max (4-X, 0) Επομένως, ο αναμενόμενος αριθμός απούλητων αντιτύπων στην εβδομάδα είναι 6 E(u(X)) = Σ u(x) P(x) = max (4-x, 0) P(x)= x= 1 74
4 = 3(1/15) + (/15) + 1(3/15) + 0(4/15) + 0(3/15) + 0(/15) = /3 Σημείωση: Η μέση τιμή μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση μιας γενικότερης περιοχής των πιθανοτήτων που μελετά μετασχηματισμούς τυχαίων μεταβλητών. Παράδειγμα χρήσης της έννοιας της μέσης τιμής στο basketball: Όπως είναι γνωστό, στο παιχνίδι του Basketball εάν ένας παίκτης επιχειρήσει σουτ τριών πόντων και στην προσπάθεια του γίνει από αντίπαλο φάουλ, τότε, αν η προσπάθεια αποτύχει, ο παίκτης δικαιούται να σουτάρει τρεις ελεύθερες βολές. Αν η προσπάθεια πετύχει, δικαιούται να σουτάρει μια ακόμα ελεύθερη βολή. Στοιχεία από το NBA, που συγκεντρώθηκαν το 1990 για τους δώδεκα καλύτερους παίκτες του πρωταθλήματος αυτού, έδειξαν ότι αυτοί είχαν 36.4% επιτυχία στα σουτ 3 πόντων και 79.9% επιτυχία στις ελεύθερες βολές. (Τyle Hokama: Fos & Teys: A study in Shooting. Pomona College, Sping 1990). Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα είναι πώς θα πρέπει να αντιμετωπίσει μια ομάδα που προηγείται με -3 πόντους και αμύνεται από άποψη τακτικής επιθετικό της αντίπαλης ομάδας που ετοιμάζεται να κάνει σουτ 3 πόντων. Θα πρέπει να τον αφήσει να το επιχειρήσει ή είναι προτιμότερο να κάνει φάουλ, επιτρέποντας 3 ελεύθερες βολές στον επιθετικό; Σύμφωνα με τον πολλαπλασιαστικό κανόνα (ισχύει στην περίπτωση αυτή (;)), η πιθανότητα επιτυχίας και στις 3 ελεύθερες βολές είναι (0.799) 3 = Η τιμή αυτή είναι σημαντικά υψηλότερη από την τιμή που αναφέρεται στην πιθανότητα επιτυχίας σε σουτ 3 πόντων. Η μέση τιμή επιτυχίας σε βολές 3 πόντων βρίσκεται από το δεδομένο ότι, σε κάθε σουτ 3 πόντων, υπάρχουν δύο δυνατά ενδεχόμενα (3 πόντοι ή κανείς) πολλαπλασιασμένα με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Έτσι, αν Χ είναι ο αριθμός των επιτυχών τρίποντων, τότε μ = Ε( Χ) = (3)(0.364 ) + (0)(0.636 ) = Από το άλλο μέρος, κάθε 1 75
5 ελεύθερη βολή έχει δύο δυνατά αποτελέσματα, 1 πόντο ή κανένα με αντίστοιχες πιθανότητες και =0.01. Επομένως, αν Υ είναι ο αριθμός των επιτυχιών στις ελεύθερες βολές, τότε μ = Ε( Υ) = (1)(0.799) + (0)(0.01) = Επομένως, η μέση τιμή επιτυχιών σε ελεύθερες βολές 3 σουτ είναι 3(0.799) =.397 Βλέπουμε, δηλαδή, ότι με το να κάνει κανείς φάουλ στον επιθετικό που επιχειρεί σουτ 3 πόντων, αυξάνει τις πιθανότητες του επιτιθέμενου να επιτύχει καλύτερο αποτέλεσμα στο παιχνίδι, αφού του δίνει μέσο αριθμό επιτυχίων σε 3 βολές.397. Εξάλλου, δημιουργεί την πιθανότητα επιτυχίας 4 πόντων (αν ο παίκτης πετύχει το τρίποντο και στην συνέχεια πετύχει και τον πόντο από φάουλ). Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι, στατιστικά, οι αμυντικοί θα πρέπει να αποφεύγουν τα φάουλ στην περίπτωση σουτ 3 πόντων. Ιδιότητες της Μέσης Τιμής Θεώρημα: Εάν c 1 και c είναι σταθερές και u 1 (X), u (X) είναι συναρτήσεις της τυχαίας μεταβλητής Χ τότε Ε[c 1 u 1 (X) + c u (X)] = c 1 E[u 1 (X)] + c E[u (X)]. Απόδειξη: E[c 1 u 1 (X) + c u (X)] = [c 1 u 1 (x) + c u (x)] P(x) =c 1 E[u 1 (X)] + c E[u (X)]. Πόρισμα: Ε(c)=c και Ε[cu(X)] = ce[u(x)]. Αποδειξη: Προφανής. Είναι προφανές, από το παραπάνω θεώρημα, ότι η μέση τιμή είναι ένας γραμμικός τελεστής. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ είναι συνεχής, η μέση τιμή ορίζεται αντίστοιχα αν αντικαταστήσουμε το σύμβολο της άθροισης με το σύμβολο της ολοκλήρωσης. x 76
6 Ορισμός: Έστω Χ μια (απόλυτα) συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x). Ορίζουμε σαν μέση τιμή της Χ το ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) Ε(X) = xf(x)dx Η Ε(Χ) υπάρχει αν x f(x)dx < +. Οι ιδιότητες της μέσης τιμής που ισχύουν για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, ισχύουν και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Αποδεικνύονται δε με τον ίδιο τρόπο αν κανείς αντικαταστήσει την άθροιση με ολοκλήρωση και τη συνάρτηση πιθανότητας με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Παράδειγμα: Έστω οτι ο χρόνος ζωής Χ (σε ώρες) ενός ορισμένου τύπου ηλεκτρονικών λυχνιών ακολουθεί μια συνεχή κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας t/1000 e, εάν t 0 F(t) = , εάν t < 0 Να αποδειχθεί ότι η f(t) είναι πραγματικά μια συνάρτηση πυκνότητας και να βρεθεί ο μέσος χρόνος ζωής των λυχνίων αυτών. Απάντηση: f(t) 0. Επίσης, t/1000 e t/1000 f(t)dt = dt = e 0 = E(X) = + tf(t)dt = te t/1000 t/1000 t/1000 = te 0 + e dt = Επομένως ο μέσος χρόνος ζωής των λυχνιών είναι 1000 ώρες. ΔΙΑΜΕΣΟΣ, ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ, ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΣΗΜΕΙΑ dt = 77
7 Εκτός από την μέση τιμή, δύο άλλα χαρακτηριστικά θέσης μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή. Ορισμός: Έστω Χ μια τυχαία μεταβλητή. Μια τιμή m της Χ λέγεται διάμεσος (median) της Χ αν έχει την ιδιότητα P(X m) 1/ και P(X m) 1/ Δηλαδή, η διάμεσος χωρίζει την κατανομή σε δύο ίσα μέρη. Ο καλύτερος τρόπος υπολογισμού της διαμέσου είναι με την χρήση της συνάρτησης κατανομής F Χ (α). Για διακριτές τυχαίες μεταβλητές η μικρότερη τιμή α i που δίνει F Χ 1/ είναι πάντοτε η διάμεσος. Από τον ορισμό, F Χi (α i ) 1/ συνεπάγεται ότι P(X α ) 1/ και το γεγονός ότι α i είναι η μικρότερη τιμή με την ιδιότητα αυτή συνεπάγεται ότι F Χi (α i-1 )<1/. Επομένως P(X α i ) = 1-P(X α i-1 ) = 1-F X (α i-1 ) 1/ Παράδειγμα: Η διάμεσος της κατανομής του αθροίσματος δύο ζαριών είναι η τιμή 7 γιατί P(X 7) = P(X 7) = (1/36) 1/. Κάθε τυχαία μεταβλητή έχει μία ή περισσότερες διαμέσους. Στην περίπτωση των συνεχών τυχαίων μεταβλητών, η διάμεσος m είναι η λύση της εξίσωσης m f () t dt = 1 Ορισμός: Επικρατούσα τιμή (mode) μιάς τυχαίας μεταβλητής Χ λέγεται το σημείο εκείνο d που έχει την ιδιότητα: 1) P(X=d) P(X=x) x αν Χ είναι διακριτή. ) f(d) f(x) x αν Χ είναι συνεχής. Κάθε τυχαία μεταβλητή έχει μία ή περισσότερες επικρατούσες τιμές. Ορισμός: Έστω Χ μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής F(x). Κάθε σημείο x που έχει την ιδιότητα F(x p -0) p F(x) 78
8 λέγεται p-ποσοστιαίο σημείο (p-pecentile) της Χ ή της κατανομής της Χ. Η σχέση αυτή είναι ισοδύναμη με την P(X x p ) = F(x p ) = p αν η Χ είναι συνεχής και με τις P(X x p ) p και P(X x p ) 1-p αν η Χ είναι διακριτή. Προφανώς αν p=0.5 το x p είναι η διάμεσος. Το σημείο x 0.5 λέγεται και πρώτο ή κάτω τεταρτημόριο, ενώ το x 0.75 λέγεται και τρίτο ή άνω τεταρτημόριο. Η διαφορά x x 0.5 λέγεται ενδοτεταρτημοριακό εύρος (intequatile ange) και χρησιμοποίειται σαν δείκτης συγκέντρωσης της κατανομής της Χ. ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Η μέση τιμή μιας κατανομής δίνει ορισμένες πληροφορίες για την κατανομή. Οι πληροφορίες αυτές δεν είναι πάντα αρκετές. Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Y με κατανομές όπως αυτές που δίνονται στους παρακάτω πίνακες Χ : /8 /8 3/8 /8 Υ : /8 /8 3/8 1/8 παρατηρούμε ότι έχουν την ίδια μέση τιμή (.75). Οι τιμές της Χ όμως είναι κοντά στην μέση τιμή ενώ αντίθετα οι τιμές της Y απέχουν αρκετά από αυτήν. Για τον λόγο αυτό χρειαζόμαστε και κάποιο άλλο μέτρο που να δίνει την απόσταση των τιμών της Χ από τη μέση της τιμή. Ως τέτοιο μέτρο ορίζουμε την διασπορά της Χ. Ορισμός: Έστω Χ μία τυχαία μεταβλητή με μ=ε(χ). Η ποσότητα 79
9 [( Χ μ) ] = ( x μ) P( Χ = x) ( x μ) f ( x) dx Ε + 80 αν Χ διακριτη αν Χ συνεχης αν υπάρχει λέγεται διασπορά (ή διακύμανση) (vaiance) της τυχαίας μεταβλητής Χ και συμβολίζεται με VaX ή V(Χ) ή Δ(Χ). Στα επόμενα θα χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς αυτούς εναλλακτικά. Ορισμός: Η θετική τετραγωνική ρίζα της διασποράς ονομάζεται τυπική απόκλιση (standad deviation) της Χ και συμβολίζεται με σ Χ η απλώς σ. Δηλαδή σ = Δ ( Χ) Παράδειγμα: Για τις τυχαίες μεταβλητές Χ και Y που ορίσαμε παραπάνω βρίσκουμε εύκολα ότι Δ(Χ) = , Δ(Y) = 4.69 και επομένως σ Χ = και σ Υ = Τα πλεονεκτήματα της τυπικής απόκλισης έναντι της διασποράς είναι ότι εκφράζεται στις ίδιες μονάδες μέτρησης με την τυχαία μεταβλητή. Ιδιότητες της Διασποράς (Yποθέτουμε ότι θεωρούμε τυχαίες μεταβλητές των οποίων η διασπορά υπάρχει). Πρόταση: Δ (Χ) = E(X ) - {E(X)}. Απόδειξη: Δ(Χ) = E(X -Xμ+μ ) = E(X )-μ +μ = E(X )-μ. Η παραπάνω πρόταση διευκολύνει τον υπολογισμό της διασποράς. Πρόταση: Αν α και β είναι πραγματικές σταθερές, τότε Δ(αΧ+β) = α Δ(Χ) Απόδειξη: Εύκολη. Πόρισμα: Αν α και β είναι πραγματικές σταθερές, τότε
10 Δ(αΧ) = α Δ(Χ) και Δ(Χ+β) = Δ(Χ) Ορισμός: Έστω Χ μία τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ και διασπορά σ. Η τυχαία μεταβλητή Χ μ Ζ = σ λέγεται τυποποιημένη (standadized) μορφή της Χ. Η ονομασία της οφείλεται στην ακόλουθη ιδιότητα Πρόταση: E(Z) = 0, Δ(Z) = 1. Απόδειξη: Εύκολη. Σημείωση: Αν λύσουμε ως προς Χ, βρίσκουμε ότι Χ=μ+σΖ. Επομένως η τυποποιημένη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής καθορίζει πόσες τυπικές αποκλίσεις απέχει η τιμή αυτή της Χ από την μέση τιμή της. Οι τυποποιημένες τιμές χρησιμοποιούνται, συνήθως, για τη σύγκριση τιμών τυχαίων μεταβλητών με διαφορετικές κατανομές. Θεώρημα: (Ανισότητα του Makov) Έστω Χ μία τυχαία μεταβλητή που παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές. Τότε P(X α) Απόδειξη: (διακριτή περίπτωση) Ρ ( Χ) = X iρ( x i )= = i x Ρ Ε( Χ) α ( x ) + x Ρ( x ) x Ρ( x ) α Ρ( x ) i i i i i i xi< αi xi> αi x> αi xi > α Επομένως Ε( Χ) P(X α) α Η ανισότητα του Makov δίνει ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα με την οποία μία τυχαία μεταβλητή υπερβαίνει κάποια ποσότητα. Είναι δυνατό να κατασκευάσουμε και ένα άνω φράγμα i 81
11 για την πιθανότητα με την οποία μία τυχαία μεταβλητή αποκλίνει από τη μέση τιμή της. Θεώρημα: (Chebyshev). Έστω Χ μία τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ και διασπορά σ. Για κάθε κ>0 1 Ρ( Χ μ κσ) κ Απόδειξη: (Για Χ διακριτή) Έχουμε ότι (X-μ) 0 και επομένως, εφαρμόζοντας την ανισότητα του Makov για α=κ σ παίρνουμε Ε ( ) ) {( Χ μ) } 1 Ρ Χ μ κ σ = κ σ κ αλλά ( Χ μ ) κ σ επομένως Ρ X-μ κσ 1 ( Χ μ ) κσ ) κ Η σημασία της ανισότητας του Chebyshev έγκειται στο γεγονός ότι δίνει ένα φράγμα για την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής της οποίας η κατανομή είναι άγνωστη. (Την πιθανότητα με την οποία η απόσταση της Χ από την μέση της τιμή ξεπερνά κ φορές την τυπική απόκλιση). Το φράγμα αυτό δεν είναι πάντα το καλύτερο που μπορεί να πετύχει κανείς. Πολλές φορές μάλιστα είναι πολύ συντηρητικό. Εάν φυσικά, ξέρουμε περισσότερα πράγματα για την κατανομή της Χ, πέρα από το μ και σ, τότε το φράγμα αυτό είναι δυνατό να βελτιωθεί. Παρατήρηση: Πολλές φορές η ανισότητα του Chebyshev αναφέρεται με την εξής μορφή σ Ρ ( Χ μ κ ) κ Η μορφή αυτή είναι ισοδύναμη με την προηγούμενη και προκύπτει από εκείνη αν αντικαταστήσουμε το κσ με κ. Πόρισμα: Ισχύει 8
12 Απόδειξη: Προφανής. Ρ 1 ( Χ μ < κσ ) 1 κ Παρατήρηση: Από το προηγούμενο πόρισμα βλέπουμε ότι για κ= και για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή τουλάχιστον τα 3/4 των τιμών της βρίσκονται στο διάστημα [μ-σ, μ+σ]. Για κ=3 βρίσκουμε ότι η αντίστοιχη πιθανότητα για το διάστημα με άκρα (μ ± 3σ) είναι 8/9. Θα έχουμε την ευκαιρία αργότερα να δούμε πως βελτιώνεται το φράγμα αυτό όταν η κατανομή της Χ είναι γνωστή. Παράδειγμα: Έστω ότι ο αριθμός των αντικειμένων που παράγει μία βιομηχανία στο διάστημα μιάς βδομάδας είναι τυχαία μεταβλητή με μ=500 και σ =100. Τί μπορούμε να πούμε για την πιθανότητα του ενδεχομένου ότι σε μία συγκεκριμένη βδομάδα η παραγωγή να κυμανθεί ανάμεσα σε 430 και 570 αντικείμενα; Απάντηση: P(430<X<570) = P( X-500 < 70) = Σημείωση: Όλα τα μέτρα θέσης και απόκλισης που μελετώνται στο κεφάλαιο αυτό αναφέρονται στην μελέτη πληθυσμών. Η εκτίμηση των μεγεθών αυτών γίνεται μέσω αντιστοίχων δειγματικών μέτρων. Τα δειγματικά αυτά μέτρα, όσον αφορά τις περιγραφικές τους ιδιότητες, μελετώνται κυρίως σε εγχειρίδια Περιγραφικής Στατιστικής (βλέπε π.χ. Ι. Πανάρετος & Ε. Ξεκαλάκη, Εισαγωγή στην Στατιστική Σκέψη, τόμος Ι (Περιγραφική Στατιστική)). Η Στατιστική Συμπερασματολογία που συνδέει τα δειγματικά μέτρα με τα αντίστοιχα μέτρα του πληθυσμού εξετάζονται στο δεύτερο μέρος του βιβλίου. =
13 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ Ροπές Η μέση τιμή και η διασπορά είναι δύο παραδείγματα μιας γενικότερης έννοιας των πιθανοτήτων, της έννοιας των ροπών. Ορισμός: Έστω Χ μία τυχαία μεταβλητή και έναs θετικός αριθμός. Η ποσότητα E(X ) (εφ όσον υπάρχει), λέγεται ροπή (moment) τάξης περί το μηδέν της τυχαίας μεταβλητής Χ ή απλή ροπή τάξης της Χ και συμβολίζεται με μ. Προφανώς ( ) x Ρ Χ = x αν Χ διακριτ η Ε( Χ ) = x + ( ) x f x dx αν Χ συνεχ ης. Η απλή ροπή τάξης υπάρχει αν x P( Χ = x) < ή αν + x f ( x) dx <, αντίστοιχα. Παρατήρηση: μ 1 = E(X) = μ και μ = E(X ). Ορισμός: Έστω Χ μία τυχαία μεταβλητή και ένας θετικός αριθμός. Η ποσότητα X D n X (εφ' όσον υπάρχει) λέγεται ροπή τάξης περί την μέση τιμή ή κεντρική ροπή (cental moment) τάξης και συμβολίζεται με μ. Σημείωση: Ο συμβολισμός X D n n + X δηλώνει ότι η ακολουθία των μεταβλητών Χ 1, Χ, συγκλίνει κατά νόμο ή κατά κατανομή (in distibution) στην μεταβλητή Χ. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία των συναρτήσεων κατανομών P(X n x) συγκλίνει στην συνάρτηση κατανομής P(X x), δηλαδή, lim P(X n n x) = P(X x) για όλα τα σημεία x στα οποία η P(X x) είναι συνεχής. 84
14 Έχουμε ότι μ = Ε [( Χ μ) ] = x + ( x μ) Ρ( Χ = x) ( x μ) f ( x) dx αν αν Χ Χ είναι διακριτή είναι συνεχής με την προϋπόθεση ότι Σ (x-μ) P(X=x) < και + Παρατήρηση: μ 1 =0, μ =Δ(X). (x μ) f(x)dx <, αντίστοιχα Οι ροπές περί την μέση τιμή έχουν ιδιαίτερη σημασία γιατί δίνουν κάποια ιδέα για το πως μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται γύρω από την μέση τιμή της. Έχουμε ήδη δει την σημασία της διασποράς ως προς το σημείο αυτό. Η ροπή 3ης τάξης περί την μέση τιμή (πιο συγκεκριμένα η ποσότητα μ 3 /σ 3 ) χρησιμοποιείται σαν μέτρο λοξότητας ή ασυμμετρίας (skewness) της κατανομής. Αν η κατανομή είναι συμμετρική περί την μέση τιμή τότε μ 3 =0. Είναι επομένως η μικρότερη κεντρική ροπή που δίνει ένδειξη για διαφορές στην μορφή της κατανομής από τη μια πλευρά της κατανομής (αναφορικά με τη μέση τιμή) στην άλλη. Επίσης η ροπή 4ης τάξης περί την μέση τιμή (πιο συγκεκριμένα η ποσότητα μ 4 /σ 4 ) λέγεται και συντελεστής ή μέτρο κύρτωσης (kutosis) γιατί μετρά πόσο αιχμηρή είναι η κατανομή. Μπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι οι ροπές τάξης περί την μέση τιμή και οι ροπές τάξης περί το μηδέν συνδέονται με τις εξής σχέσεις: μ = μ - μ 1 μ 3 = μ 3-3μ μ 1 + μ 1 μ 4 = μ 4-4μ 3μ 1 + 6μ μ 1-3 μ 14 και γενικά 1 μ = μ μ 1μ 1 + μ μ ( 1) μ 1 85
3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΣτην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.
ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί
Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)
Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Στατιστική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr
Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim
Διαβάστε περισσότερα159141,9 64 x n 1 n
Πιθανότητες Στατιστική: Λύσεις θεμάτων. Φεβρουάριος 9. Σειρά Α Ζήτημα ο : Μία ομάδα φοιτητών μετρά 64 φορές μία απόσταση s που δεν γνωρίζουν. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων εμφανίζονται στον διπλανό πίνακα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότερα1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =
Κανονική κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής κατανομή, σε αντίθεση με την διωνυμική που είναι διακριτή κατανομή. Τα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραX i = Y = X 1 + X X N.
Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΜέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)=
Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3x 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= i-2 22, xi=1,2,3,4. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Πιθανότητες. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Πιθανότητες Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Τυχαίες Μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (random variable) είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας ο οποίος αναθέτει έναν αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα)
ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας
Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα (numerical descriptive measures) είναι αριθμοί που συμβάλουν
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότεραΗ διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την
Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν
Διαβάστε περισσότεραρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)
Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 3 Νοεµβρίου 29 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας ϑεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή X ορισµένη στον Ω µε πεδίο τιµών το διάστηµα [α, ϐ], όπου α < ϐ πραγµατικοί αριθµοί. Η οµοιόµορφη
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός και Ιδιότητες
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία
Κεφάλαιο 1 Πιθανότητες 1.1 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 1.1.1 Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Ποιό πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιό πείραμα τύχης; 2. Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς
Διαβάστε περισσότεραX:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.
Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε
Διαβάστε περισσότεραNotes. Notes. Notes. Notes
Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα
Διαβάστε περισσότεραΔισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).
Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΕλλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων
Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. f X (t) dt για κάθε x. F Y (y) = P (Y y) = P X y b ) a.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207- Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων Αν η συνεχής τμ X έχει συνάρτηση κατανομής F X και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X, να βρείτε τις αντίστοιχες συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα14/11/2016. Στατιστική Ι. 7 η Διάλεξη (Βασικές συνεχείς κατανομές)
Στατιστική Ι 7 η Διάλεξη (Βασικές συνεχείς κατανομές) 1 2 Κανονική (Gaussian) κατανομή Η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1. Πολλές τ.μ. περιγράφονται ικανοποιητικά από
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων
Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραΗ Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.
Η Κανονική Κατανομή 1. Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2, και συμβολίζουμε Χ ~ N (μ, σ 2 ) αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραMEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραI2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα
I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική
Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν
Διαβάστε περισσότεραΠοιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η
Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΗ Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.
Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά
Διαβάστε περισσότεραΤο Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών
Διαβάστε περισσότερα