Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές"

Transcript

1 Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση 213

2 1. Υπενθύμιση εννοιών πιθανοτήτων και στατιστικής Πιθανότητα Βασικό σύνολο, Ω: Σύνολο που τα στοιχεία του δ αντιστοιχούν στις δυνατές εκβάσεις ενός πειράματος ή μιας διεργασίας. Είναι γνωστό και ως δειγματικός χώρος ή βέβαιο γεγονός. σ-άλγεβρα ή σ-πεδίο, Σ: Σύνολο υποσυνόλων δ του Ω με τις εξής ιδιότητες: (α) Ω Σ, Ø Σ (β) αν δ Σ τότε Ω δ Σ (γ) η ένωση (αριθμήσιμα) πολλών στοιχείων του Σ είναι στοιχείο του Σ. Πιθανότητα, P(δ): Απεικόνιση του Σ στο διάστημα [, 1] που πληροί τα εξής αξιώματα: (Ι, μη αρνητικότητα) P(δ). (ΙΙ, κανονικοποίηση) P(Ω) = 1. (ΙΙΙ, προσθετικότητα) Αν δ 1 δ 2 = Ø, P(δ 1 + δ 2 ) = P(δ 1 ) + P(δ 2 ) Πιθανοτικός χώρος: Η τριάδα (Ω, Σ, P). Σημείωση: Αν το Σ είναι απειροσύνολο, τότε ο ορισμός της πιθανότητας χρειάζεται και ένα τέταρτο αξίωμα, αυτό της συνέχειας στο μηδέν: Αν A 1 A 2 A είναι μια φθίνουσα ακολουθία γεγονότων με A 1 A 2 A = Ø, τότε lim P(A ) =. Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 1

3 Τυχαία μεταβλητή, Συνάρτηση κατανομής, Πυκνότητα πιθανότητας, Περίοδος επαναφοράς Τυχαία μεταβλητή, x(ω): Απεικόνιση του δειγματικού χώρου στο R. Συνάρτηση κατανομής: F(x) := P{x x} Πιθανότητα υπέρβασης: F(x) = P{x > x} = 1 F(x) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f(x) := df(x) dx Δ Περίοδος επαναφοράς μέγιστων τιμών T = P{x > x} = Δ Δ = F (x) 1 F(x) Δ Περίοδος επαναφοράς ελάχιστων τιμών T = P{x x} = Δ F(x) = Δ 1 F (x) όπου Δ χρονική μονάδα, συνήθως 1 έτος. Σημειώσεις: (1) Σύμφωνα με τη σύμβαση που ακολουθούμε εδώ, οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με υπογραμμισμένα γράμματα, ενώ οι τιμές τους δεν έχουν υπογράμμιση. (2) Στην περίπτωση που εξετάζουμε πολλές τυχαίες μεταβλητές π.χ. x, y κτλ. οι συναρτήσεις κατανομής, πιθανότητας υπέρβασης και πυκνότητας πιθανότητας που αναφέρονται σε αυτές φέρουν αντίστοιχους δείκτες π.χ. F x (x), F y (y) κτλ. Για απλοποίηση μπορεί να παραλείπουμε την υπογράμμιση του δείκτη, δηλ. F x (x), F y (y) κτλ. Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 2

4 Ποσοστό, p (%) Χαρακτηριστικές παράμετροι τυχαίας μεταβλητής με διακριτές τιμές Μισθός (x i ) Άτομα (ν i ) Ποσοστό (p i ) p i x i p i (x i μ ) 2 p i (x i μ ) % % % % % Σ 12 1.% Το παράδειγμα του μισθολογίου μιας μικρομεσαίας επιχείρησης Μέση τιμή (μ ) Διασπορά (σ 2 ) Τρίτη κεντρική ροπή (μ (3) ) 5% Μέση τιμή (μ ): 1 71 Πιθανότερη τιμή (x p ): 15 Διάμεση τιμή (x.5 ): 3 Τυπική απόκλιση (σ ) Συντελεστής διασποράς (C V = σ /μ ) 1.82 Συντελεστής ασυμμετρίας (C S = μ (3) /σ 3 ) % 3% 2% 1% % Μηνιαίος μισθός, x ( ) Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 3

5 Ροπές συνεχούς μεταβλητής Έστω η συνεχής τυχαία μεταβλητή x με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) και συνάρτηση κατανομής F(x). Ορίζονται τα ακόλουθα μεγέθη: Ροπή περί την αρχή τάξης r (r = 1, 2, ): Ειδική περίπτωση Μέση τιμή (r = 1): Κεντρική ροπή τάξης r (r = 1, 2, ): Ειδικές περιπτώσεις: m r E[x r ] := x r f(x) dx m E[x] μ r E[(x m) r ] := (x m) r f(x) dx Διασπορά (r = 2): σ 2 := μ 2 E[(x m) 2 ] Var[x] σ 2 = m 2 m 2 Τρίτη κεντρική ροπή (r = 3): μ 3 E[(x m) 3 ] μ 3 = m 3 3 m 2 m + 2 m 3 Τέταρτη κεντρική ροπή (r = 4): μ 4 E[(x m) 4 ] μ 4 = m 4 4 m 3 m + 6 m 2 m 2 3 m 4 Αδιάστατοι συντελεστές Συντελεστής μεταβλητότητας: C v := σ / m Συντελεστής ασυμμετρίας: C s := μ 3 / σ 3 Συντελεστής κύρτωσης: C k := μ 4 / σ 4 Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 4

6 Ροπές και σχήμα κατανομής Επίδραση της μέσης τιμής () (1) μ 4 2 σ 1 1 C s 1 1 C k f (x) (1) () (α) f (x) (1) () (β) Επίδραση της τυπικής απόκλισης () (1) μ 4 4 σ 1 2 C s 1 1 C k Επίδραση του συντελεστή ασυμμετρίας () (1) (2) μ σ C s C k x f (x) (1) (2) () (γ) x x f (x) (1) (δ) (2) () x Επίδραση του συντελεστή κύρτωσης () (1) (2) μ σ C s C k Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 5

7 Εκτιμήσεις ροπών Εκτίμηση ροπής περί την αρχή από δείγμα (αμερόληπτη): m^ r = 1 Ειδική περίπτωση Δειγματική μέση τιμή: x := m^ = 1 Εκτίμηση κεντρικής ροπής από δείγμα (μεροληπτική): Από τη σχέση κεντρικής ροπής προς ροπή περί την αρχή ή, ισοδύναμα από τη γενική σχέση μ^r = 1 i = 1 i = 1 x r i xi i = 1 (xi x ) r Ειδική περίπτωση Δειγματική μέση τιμή: s 2 := μ^2 = 1 Αμερόληπτη δειγματική διασπορά: s *2 = 1 s2 x 2 i = 1 i x 2 Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 6

8 Πιθανοφάνεια Έστω η τυχαία μεταβλητή x με συνάρτηση πιθανότητας f(x) και συνάρτηση κατανομής F(x). Οι συναρτήσεις f(x) και F(x) εξαρτώνται από m παραμέτρους θ 1, θ 2,, θ m γι αυτό και μπορεί να συμβολίζονται f(x θ 1,, θ m ) και F(x θ 1,, θ m ), αντίστοιχα. Έστω ακόμη δείγμα τιμών της μεταβλητής x, που συμβολίζεται ως (x 1,, x ). Η συνάρτηση πιθανοφάνειας ορίζεται από τη σχέση Π(θ 1,, θ m x 1,, x ) = i = 1 f(x i θ 1,, θ m ) Η λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας ορίζεται από τη σχέση L(θ 1,, θ m x 1,, x ) = l f(x i θ 1,, θ m ) i = 1 Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 7

9 Πιθανοτικά σταθμισμένες ροπές και L ροπές Ορισμοί Πιθανοτικά σταθμισμένη ροπή (probability-weighted momet) τάξης r (r =, 1, 2, ): β r E[x (F(x)) r ] := x (F(x)) r 1 f(x) dx = x(u) u r du L ροπή τάξης r (r =, 1, ): λ r E[x P * r 1 (F(x))] := 1 x(u) P * r 1 (u) du όπου P * (u) το μετατοπισμένο πολυώνυμο Legedre βαθμού r, ήτοι r P* (u) := r p * r k = r,k uk με συντελεστές p * r,k := ( 1)r k r k r + k k = ( 1)r k (r + k)! (k!) 2 (r k)! r 1 * Σχέση L ροπών και πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών: λ r = p β r k = r,k Σημείωση: Οι πιθανοτικά σταθμισμένες ροπές έχουν εισαχθεί από τους Greewood et al. (1979) και οι L ροπές από τον Hoskig (199). Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 8

10 Ειδικές περιπτώσεις L ροπών Πρακτικό νόημα Ειδικές περιπτώσεις: r = 1: λ 1 = β λ 1 = E[x] = m r = 2: λ 2 = 2 β 1 β λ 2 = 1 2 E[x (1 2) x (2 2) ] r = 3: λ 3 = 6 β 2 6 β 1 + β λ 3 = 1 3 E[x (1 3) 2x (2 3) + x (3 3) ] r = 4: λ 4 = 2 β 3 3 β β 1 β λ 4 = 1 4 E[x (1 4) 3x (2 4) + 3x (3 4) x (4 4) ] όπου x (i ) συμβολίζει την τυχαία μεταβλητή με την i-oστή μεγαλύτερη τιμή ανάμεσα από. Αδιάστατοι συντελεστές L συντελεστής μεταβλητότητας: τ 2 = λ 2 / λ 1 L συντελεστής ασυμμετρίας: τ 3 = λ 3 / λ 2 L συντελεστής κύρτωσης: τ 4 = λ 4 / λ 2 Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 9

11 Εκτιμήσεις των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών Μεροληπτικές εκτιμήσεις Γενικός τύπος: β^r = 1 j = 1 r Αμερόληπτες εκτιμήσεις Γενικός τύπος: β^* r = 1 j = 1 1 j.35 j r x 1 (j) r r x (j) όπου το μέγεθος του δείγματος και x (j) (j = 1,, ) η j-οστή μεγαλύτερη τιμή στο δείγμα. Ειδικές περιπτώσεις: Μεροληπτικές εκτιμήσεις β^1 = 1 j = 1 Αμερόληπτες εκτιμήσεις β^ = β^* = x = 1 x(j) j = 1 1 j.35 x β^* (j) 1 = 1 r j 1 x (j) j = 1 β^2 = 1 j = j.35 x β^* (j) 2 = 1 r j 1 j = 1 j 1 2 x (j) β^3 = 1 j = j.35 x β^* (j) 3 = 1 r j 1 j = 1 j 1 2 j 2 3 x (j) Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 1

12 Μέθοδοι εκτίμησης παραμέτρων κατανομής 1. Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας: max L(x 1,, x ; θ 1,, θ m ) = l f(x i, θ 1,, θ m ) i = 1 Ισοδύναμα 1 f(x i = 1 i, θ 1,, θ m ) f(x i, θ 1,, θ m ) θ r = 2. Μέθοδος ροπών: m r (θ 1,, θ m ) = m^ r(x 1,, x ) Ισοδύναμα μ r (θ 1,, θ m ) = μ^ r(x 1,, x ) 3. Μέθοδος L ροπών: λ r (θ 1,, θ m ) = λ^* r(x 1,, x ) Εναλλακτικά λ r (θ 1,, θ m ) = λ^ r(x 1,, x ) Όλες οι μέθοδοι καταλήγουν σε m εξισώσεις (r = 1,, m) με αγνώστους τις m παραμέτρους θ 1,, θ m. Ειδικά η αρχική μορφή της μεθόδου μέγιστης πιθανοφάνειας μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά χωρίς καν να γραφούν οι εξισώσεις. Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 11

13 Από κοινού ιδιότητες δύο τυχαίων μεταβλητών Από κοινού συνάρτηση κατανομής του ζεύγους μεταβλητών (x, y): F xy (x, y) := P{x x, y y} Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των μεταβλητών: f xy (x, y) := 2 F xy (x, y) x y Περιθώριες συναρτήσεις κατανομής των x και y: F x (x) := P{x x}, F y (y) := P{y y} Από κοινού ροπή τάξης p + q των x και y: m pq E[x p y q ] = x p y q f xy (x, y) dx dy Περιθώριες πρώτες ροπές (μέσες τιμές) των x και y: m x m 1, m y m 1 Από κοινού κεντρική ροπή τάξης p + q των X και Y: μ pq E[(x m x ) p (y m y ) q ] := (x m x ) p (y m y ) q f xy (x, y) dx dy Συνδιασπορά των x και y: σ xy := μ 11 Cov[x, y] E[(x m x )(y m y )] = E[xy] E[x] E[y] Συντελεστής συσχέτισης: ρ xy := Ανεξάρτητες μεταβλητές: F xy (x, y) = F x (x) F y (y) Cov[x y] Var[X] Var[Y] = σ xy σ x σ y ( 1 ρ xy 1) Ασυσχέτιστες μεταβλητές: σ xy =, E[x y] = E[x] E[y], ρ xy = Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 12

14 2. Στοχαστικές ανελίξεις Στοχαστική ανέλιξη: οικογένεια μεταβλητών x t [ή x(t)] όπου t είναι παράμετρος που παίρνει τιμές από ένα κατάλληλο σύνολο T (δεικτοσύνολο), το οποίο συνήθως παριστάνει χρόνο. Ανέλιξη σε διακριτό χρόνο: όταν το δεικτοσύνολο αντιστοιχεί σε διακριτές μονάδες χρόνου, T = {, 1, 2, }. Ανέλιξη σε συνεχή χρόνο: όταν το δεικτοσύνολο αντιστοιχεί σε συνεχή χρόνο, π.χ. T = [, ). Χρονοσειρά ή δειγματοσυνάρτηση: μια υλοποίηση της στοχαστικής ανέλιξης, δηλαδή ένα σύνολο παρατηρήσεων x(t) της x(t), για μεταβαλλόμενο χρόνο t. Συνάρτηση κατανομής πρώτης τάξης της ανέλιξης: F(x; t) := P{x(t) x} Συνάρτηση κατανομής δεύτερης τάξης: F(x 1, x 2 ; t 1, t 2 ) := P{x(t 1 ) x 1, x(t 2 ) x 2 } Συνάρτηση κατανομής τάξης: F(x 1,, x ; t 1,, t ) := P{x(t 1 ) x 1,, x(t ) x } Μέση τιμή της ανέλιξης: μ(t) := E[x(t)] Αυτοσυνδιασπορά της ανέλιξης C(t; τ) := Cov[x(t), x(t + τ)] = E[(x(t) μ(t)) (x(t + τ) μ(t + τ))] Διασπορά της ανέλιξης: C(t; ) = Var[x(t)] = Cov[x(t), x(t)] Συντελεστής αυτοσυσχέτισης: ρ(t; τ) := Cov[x(t) x(t + τ)] Var[x(t)] Var[x(t + τ)] = C(t; τ) C(t; ) C(t + τ; ) Ετεροσυνδιασπορά δύο ανελίξεων x(t) και y(t): C xy (t; τ) := Cov[x(t), y(t + τ)] Συντελεστής ετεροσυσχέτισης δύο ανελίξεων x(t) και y(t): r xy (t; τ) := Cov[x(t) y(t + τ)] Var[x(t)] Var[y(t + τ)] Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 13

15 Στάσιμες και εργοδικές στοχαστικές ανελίξεις Στασιμότητα Γενικά οι στατιστικές παράμετροι μιας στοχαστικής ανέλιξης, π.χ. η μέση τιμή και η διασπορά της, μπορεί να μεταβάλλονται στο χρόνο. Ωστόσο, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι στάσιμες ανελίξεις στις οποίες δεν υπάρχει μεταβολή των στατιστικών χαρακτηριστικών με την πάροδο του χρόνου. Μια στοχαστική ανέλιξη λέγεται στάσιμη με την αυστηρή έννοια, ή απλώς στάσιμη, όταν η συνάρτηση κατανομής της δεν επηρεάζεται από το χρόνο, δηλαδή αν, για τυχούσα χρονική μετατόπιση η συνάρτηση κατανομής οποιασδήποτε τάξης της x(t + ) ταυτίζεται με τη συνάρτηση κατανομής της ίδιας τάξης της x(t). Μια στοχαστική ανέλιξη λέγεται στάσιμη με την ευρεία (ή ελαστική) έννοια αν η μέση τιμή της είναι σταθερή και η αυτοσυνδιασπορά της εξαρτάται μόνο από τη διαφορά του χρόνου, δηλαδή αν E[x(t)] = μ = σταθερά, Ε[(x(t) μ) (x(t + τ) μ)] = C( τ) Eργοδικότητα Μια στάσιμη στοχαστική ανέλιξη είναι εργοδική αν κάθε παράμετρος της κατανομής μπορεί να προσδιοριστεί από μια απλή δειγματοσυνάρτηση της ανέλιξης. Δεδομένου ότι οι παράμετροι υπολογίζονται ως χρονικές μέσες τιμές, ο παραπάνω ορισμός εκφράζεται και με τον εξής τρόπο: Μια ανέλιξη είναι εργοδική αν οι χρονικοί μέσοι είναι ίσοι με τους θεωρητικούς μέσους. Για παράδειγμα, μια ανέλιξη είναι εργοδική ως προς τη μέση τιμή αν E x( t) lim xt (για διακριτό χρόνο), x( t) lim N 1 N N t T 1 E x( t)d t T T (για συνεχή χρόνο) Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 14

16 3. Γραφική επεξήγηση των ουσιωδών στατιστικών χαρακτηριστικών (α) Περιθώρια χαρακτηριστικά Οι δύο χρονοσειρές προέρχονται από στάσιμες ανελίξεις (σε δύο θέσεις) Χρονοσειρά στη θέση 1 Χρονοσειρά στη θέση Επεξήγηση των περιθώριων στατιστικών χαρακτηριστικών στη θέση 1 Η ύπαρξη αρκετών πολύ ψηλών τιμών, πάνω από το επίπεδο της μέσης τιμής συν την τυπική απόκλιση, και η απουσία πολύ χαμηλών τιμών, κάτω από το επίπεδο της μέσης τιμής πλην την τυπική απόκλιση, είναι ενδεικτική της θετικής ασυμμετρίας Μέγιστη τιμή Μέση τιμή συν τυπική απόκλιση Μέση τιμή Ελάχιστη τιμή Μέση τιμή πλην τυπική απόκλιση Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 15

17 (β) Συντελεστές αυτοσυσχέτισης Χρονοσειρά στη θέση 1 Χρονοσειρά στη θέση 1, με μετακίνηση 1 χρονικού βήματος προς τα δεξιά Το γεγονός ότι, αν η χρονοσειρά μετακινηθεί 1 χρονικό βήμα προς τα δεξιά, το γράφημά της παραμένει κοντά στο αρχικό, είναι ενδεικτικό μιας σημαντικής τιμής του συντελεστή αυτοσυσχέτισης για υστέρηση 1 Τιμή στο χρόνο t + 1 Αυτό φαίνεται καλύτερα αν απεικονιστούν οι τιμές της μετακινημένης χρονοσειράς συναρτήσει αυτών της αρχικής Τιμή στο χρόνο t Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 16

18 Τιμή της χρονοσειράς στη θέση 2 (γ) Συντελεστές ετεροσυσχέτισης Τυποποιημένη χρονοσειρά στη θέση 1 Τυποποιημένη χρονοσειρά στη θέση Το γεγονός ότι τα γραφήματα των δύο χρονοσειρών είναι κοντινά (εφόσον τυποποιηθούν με αφαίρεση της μέσης τιμής και μετά με διαίρεση με την τυπική απόκλιση) είναι ενδεικτικό ενός σημαντικού συντελεστή ετεροσυσχέτισης για μηδενική υστέρηση Αυτό φαίνεται καλύτερα αν απεικονιστούν οι τιμές της μίας χρονοσειράς συναρτήσει αυτών της άλλης Τιμή της χρονοσειράς στη θέση 1 Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 17

19 Εφαρμογή 1. Από τα ιστορικά δείγματα βροχής στην Αλίαρτο και απορροής στη θέση Διώρυγα Καρδίτσας του Βοιωτικού Κηφισού (95 χρόνια) σε μηνιαία κλίμακα να σχηματιστούν (α) η ετήσια χρονοσειρά, (β) η συνολική μηνιαία χρονοσειρά και (γ) οι επιμέρους μηναιίες χρονοσειρές για κάθε μήνα. 2. Να εκτιμηθούν τα περιθώρια στατιστικά χαρακτηριστικά για τις τρεις χρονοσειρές καθεμιάς από τις δύο μεταβλητές. 3. Να κατασκευαστούν τα αυτοσυσχετογράμματα για τις τρεις χρονοσειρές καθεμιάς από τις δύο μεταβλητές. 4. Να κατασκευαστούν ετεροσυσχετογράμματα για τις χρονοσειρές (α) και (β) ανάμεσα στις δύο μεταβλητές. 5. Να γραφεί μια έκθεση σχετικά με τη στοχαστική συμπεριφορά των δύο μεταβλητών, όπως προκύπτει από τους παραπάνω υπολογισμούς και τα γραφήματα (ποιοτικές παρατηρήσεις). Δ. Κουτσογιάννης, Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές 18

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων 2.1 Αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 2 Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων 2.1 Αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων Κεφάλαιο Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων. Αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων Η σύγχρονη προσέγγιση της θεωρίας πιθανοτήτων (ή πιθανοθεωρίας) βασίζεται στη θεωρία συνόλων και είναι πολύ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης Διάρθρωση ρ της παρουσίασης Εισαγωγή Στατιστική επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοθεωρητικές και στατιστικές μέθοδοι στην τεχνική υδρολογία

Πιθανοθεωρητικές και στατιστικές μέθοδοι στην τεχνική υδρολογία Πιθανοθεωρητικές και στατιστικές μέθοδοι στην τεχνική υδρολογία Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Ηρώων Πολυτεχνείου 5, 57 Ζωγράφου

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΕΠΙΜΕΡΙΣΜΟ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΕΩΝ ΣΕ ΩΡΙΑΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος.

Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. Εναλλακτικά η τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα αριθμητικό γεγονός.

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

X(t) = sin(2πf t) (1)

X(t) = sin(2πf t) (1) Στοχαστικές Διαδικασίες πίνακας περιεχομένων Κινητικότης.................................... Στασιμότης..................................... 6 Λανθάνουσες ισχείς............................... 1 Γκαουσιανή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς.

Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς. Ε.Μ.Π Τομέας Υδατικών Πόρων Υδραυλικών & Θαλασσίων Έργων Μάθημα: Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων 9 ο Εξάμηνο Πολ. Μηχανικών Ε. Μπαλτάς Θέμα 1 Σε θέση ποταμού, όπου πρόκειται να κατασκευαστεί ταμιευτήρας,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής

Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής Η στατιστική είναι εφαρμοσμένος κλάδος της πιθανοθεωρίας ο οποίος ασχολείται με πραγματικά προβλήματα, επιδιώκοντας την εξαγωγή συμπερασμάτων βασισμένων σε παρατηρήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας βασίζεται στην επέκταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Ανδρέας Λαγγούσης. Αθήνα, Ιούλιος 2003 Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής

ΘΕΜΑ: Ανδρέας Λαγγούσης. Αθήνα, Ιούλιος 2003 Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΥΚΛΟΣΤΑΣΙΜΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΥΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΜΝΗΜΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή. Κοκολάκης Γεώργιος

Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή. Κοκολάκης Γεώργιος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5

Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5 5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Π.χ. πρωτεύουσες, Εκ περιτροπής από δευτερεύουσες σε τριτεύουσες

Π.χ. πρωτεύουσες, Εκ περιτροπής από δευτερεύουσες σε τριτεύουσες Συστήματα άρδευσης Συνεχούς ροής Εκ περιτροπής Με ελεύθερη ζήτηση Μείξη (π.χ. χ περιορισμένη ζήτηση, ελεύθερη ζήτηση αλλά ορισμένες ημέρες της εβδομάδας) ) Συνεχούς ροής (χρησιμοποιήθηκε στα συλλογικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη

17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων. Κεφάλαιο 1. Κοκολάκης Γεώργιος

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων. Κεφάλαιο 1. Κοκολάκης Γεώργιος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων Κεφάλαιο Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

(p 1) (p m) (m 1) (p 1)

(p 1) (p m) (m 1) (p 1) ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σκοπός της παραγοντικής ανάλυσης είναι να περιγράψει την συνδιασπορά μεταξύ των μεταβλητών με την βοήθεια τυχαίων άγνωστων ποσοτήτων που ονομάζονται παράγοντες. Το μοντέλο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 205 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση συχνότητας ενός υδρολογικού μεγέθους: Είναι η εύρεση της σχέσεως μεταξύ του υδρολογικού φαινομένου και της πιθανότητας εμφανίσεως του μεγέθους αυτού. Μεταβλητή:

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

MAJ. MONTELOPOIHSH II

MAJ. MONTELOPOIHSH II MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017 Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης & Συνδιασποράς 5.7: Μετάδοση Στοχαστικής

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Στατικές (Στάσιμες) Διαδικασίες Στατική (Stationary) ορίζεται η διαδικασία της οποίας οι στατιστικές ιδιότητες δεν μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ 10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου)

Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Στοχαστικές Διαδικασίες (έμφαση στις σ.δ. διακριτού χρόνου) Εισαγωγικές Έννοιες για το μάθημα Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Τυχαίες Μεταβλητές: Ορισμοί Θεωρούμε το πείραμα της ρίψης ενός νομίσματος. Το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα