ΚΥΜΑΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

Transcript

1 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΚΥΜΑΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

2 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Μήκος κύματος Ταχύτητα διάδοσης Συχνότητα Εξίσωση αρμονικού κύματος Φάση αρμονικού κύματος Ταχύτητα ταλάντωσης, Επιτάχυνση Κινητική Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης t x y A. 2 ( ) T t x 2 ( ) T t T χ λ υ=, υ=λ.f, υ= t Τ 2. 2 ( ), α=-ω. x K m., U= m.. y, K U m.. A max max y Διαφορά φάσης 2π 2π, ή Δφ= ( 2 1) και τελικά Δφ= λ λ Σημεία με συμφωνία φάσης., κ=1,2,3... Δφ=2κπ Σημεία με αντίθεση φάσης Αρχική φάση στα κύματα (2 1), κ=0,1,2,3... Δφ=(2κ+1)π 2 t x t x y A [2 ( ) ], ή y=aημ2π( ) T T 2 1

3 ΚΥΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΦΑΣΗ - ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ 1. Αρμονικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση y= 0,1ημ(ωt 2πx/λ ). Τη χρονική στιγμή t 1=0,3 s το υλικό σημείο Ο, που βρίσκεται στην αρχή του άξονα Ο, έχει μάζα m=0,1 g, φτάνει για δεύτερη φορά μετά τη χρονική στιγμή t=0 σε ακραία θέση της ταλάντωσής του. Το υλικό αυτό σημείο έχει διανύσει κατά την διάρκεια της ταλάντωσής του από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t 1,μήκος x που είναι ίσο με το μήκος που έχει διανύσει το κύμα την ίδια χρονική διάρκεια. Α. Να υπολογίσετε την περίοδο και την ταχύτητα διάδοσης υ του κύματος καθώς και το μήκος κύματος Β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του υλικού σημείου Ο. Γ. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Κ που βρίσκεται στη θέση χ κ=+0,8 m. Δ. Να βρείτε τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων του υλικού σημείου Κ τη χρονική στιγμή t 2=2 s. Ε. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ τη στιγμή που η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας ισούται με y 1=+0,05 m. Δίνεται π 2 =10 (0.4 s, 0.4 m, 1 m/s, J, 3 ) 2. Πηγή εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στη θέση χ= 0 του άξονα χ Οχ και τη χρονική στιγμή t= 0 αρχίζει να παράγει κύματα που διαδίδονται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Το πλάτος τους είναι Α = 0,06 m και η συχνότητά τους f = 10 Ηz. Τη χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δύο σωματιδίων Μ και Ν του ελαστικού μέσου είναι: φ Μ=7π/3 rad και φ Ν=17π/6 rad αντίστοιχα. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων Μ και Ν είναι d= 10 cm. α) Να εξετάσετε ποιο από τα δύο σημεία Μ και Ν βρίσκεται σε μικρότερη απόσταση από την πηγή του κύματος και αν το κύμα διαδίδεται από το σημείο Ν στο Μ ή αντίθετα. β) Να βρεθεί η απομάκρυνση του Μ από τη θέση ισορροπίας, όταν το σωματίδιο Ν αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνσή του. γ) Να βρεθεί το μήκος του κύματος και η ταχύτητα διάδοσής του. δ) 1) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος και 2) την εξίσωση της ταχύτητας του σημείου Α που απέχει χ = 1m από την πηγή. (N, 0m, 40 cm, 4 m/s, 0.06ημ2π(10t-2.5x), -1,2πσυν20πt ) 3. Το άκρο Ο γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου αρχίζει, τη στιγμή t = 0, να εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y =10ημ20πt (t σε s, y σε cm), οπότε διαδίδεται κατά μήκος του ημιάξονα Οχ, κύμα με ταχύτητα υ = 1 m/s. α. Πόσο είναι το μήκος κύματος; β. Πότε αρχίζει να ταλαντώνεται ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση χ Μ=2m; γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ και να υπολογίσετε τη τιμή της τη χρονική στιγμή t = 5,625 s. Ποια είναι η τιμή της φάσης του σημείου Μ την παραπάνω χρονική στιγμή; δ. Πόσο απέχει από το σημείο Μ, ένα σημείο Ν το οποίο την ίδια χρονική στιγμή (t = 5,625s) έχει φάση φ Ν =72π+2π/3 ; Κατά ποια φορά διαδίδεται το κύμα; ε. Ποια η διαφορά φάσης του σημείου Μ με τα σημεία χ Κ=1m, χ Λ=1,05 m ; Να βρείτε το πλησιέστερο σημείο με το σημείο Μ, προς το μέρος της πηγής, που είναι σε αντίθεση φάσης με το σημείο Μ. στ. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση των σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους τη χρονική στιγμή t=1 ses. ζ. Να παραστήσετε γραφικά τη μεταβολή της φάσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο. ( 0,1 m, 2 s, 10 ημ2π(10t-20) (t σε s, y σε cm), 1/120 m) 2

4 4. Το άκρο Ο ομογενούς χορδής αρχίζει, τη χρονική στιγμή t o = 0, να εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση ταχύτητας ταλάντωσης υ= 4συν40πt, οπότε κατά μήκος του ημιάξονα Οχ διαδίδεται κύμα με ταχύτητα υ = 5 m/s. α) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση μεταξύ ενός όρους και της πλησιέστερης σε αυτό κοιλάδας. β) Πότε αρχίζει να ταλαντώνεται ένα σημείο Μ της χορδής, το οποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση (ΟΜ) = χ = 10 m. γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο και να υπολογίσετε την τιμή της τη χρονική στιγμή t 1 = 3,125 s. Ποια είναι η τιμή της φάσης του σημείου M κατά τη χρονική στιγμή t 1; δ) Πόσο απέχει από το σημείο Μ ένα άλλο σημείο Ν της χορδής, το οποίο τη χρονική στιγμή t 1 έχει φάση φ Ν = 42π +3π/4 ; Ποια είναι η φορά διάδοσης του κύματος; ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου M σε συνάρτηση με το χρόνο. (0,1ημ2π(20t-40), 45π, 9/32 m ) 5. Πηγή αρμονικών κυμάτων (Ο) βρίσκεται στην αρχή του άξονα χ χ (χ = 0) και για t = 0, y = 0. Το αρμονικό κύμα που παράγει διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα χ χ Αν το πλάτος του κύματος είναι Α=0,1 m και η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με την απόσταση χ από την πηγή τη χρονική στιγμή t = 2 s, είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, να βρεθούν: α) η περίοδος, η συχνότητα και το μήκος κύματος, β) η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, γ) να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο και του κύματος. δ) Ένα σημείο Μ απέχει απόσταση χ=+1,4 m από την πηγή Ο. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t=4 sec: 1. την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του 2. την ταχύτητά του ε) Να παραστήσετε γραφικά τη φάση ταλάντωσης του σημείου Κ(χ Μ=+1 m) και του σημείου Β(χ Β= 0,4m) σε συνάρτηση με το χρόνο,σε κοινό σύστημα αξόνων,κατά τη διάρκεια μιας περιόδου Τ. (0,4 s, 2,5 Hz, 0.4 m,1 m/s, 0,1ημ5πt, 0,1ημ2π(2,5t-2,5x), 0, -0.5π m/s ) 6. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου, το οποίο ταυτίζεται με άξονα χ χ προς την αρνητική κατεύθυνση. Το σημείο Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα ταλαντώνεται με εξίσωση y = 0,1 ημωt. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του μέσου, σε συνάρτηση με τη θέση τους χ, τη χρονική στιγμή t 1= 2 s. α) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης των διαφόρων υλικών σημείων του μέσου και την ταχύτητα διάδοσης τον κύματος. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος και να υπολογίσετε την απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας του ενός σημείου Σ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση χ Σ =-1 m, την χρονική στιγμή t 2 =1,5 s. γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης των σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους χ τις χρονικές στιγμές t 1=1 s και t 2 = 4 s. (0.4 s, 1 m/s, 0,1ημ2π(2,5t+2,5x), 0.1 m ) 3

5 7. Τη χρονική στιγμή t= 0 η αρχή Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου μεγάλου μήκους, που εκτείνεται κατά μήκος άξονα χ Οχ, τίθεται σε ταλάντωση, σε διεύθυνση κάθετη στον άξονα χ Οχ, με εξίσωση y = 0,1 ημωt (S.I) Το παραγόμενο κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά και προς τα αριστερά στο γραμμικό ελαστικό μέσο. Μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων της πηγής του κύματος από τη θέση ισορροπίας της μεσολαβεί χρονικό διάστημα ίσο με Δt=0,05 s. Δύο υλικά σημεία του μέσου Μ και Ν που βρίσκονται στις θέσεις χ Μ = 3 m και χ Ν=15 m αρχίζουν να ταλαντώνονται με χρονική διαφορά ίση με 0, 4 s. α) Να γράψετε την εξίσωση διάδοσης του κύματος στον θετικό ημιάξονα και στον αρνητικό ημιάξονα β) Να υπολογίσετε την απόσταση στην οποία έχει διαδοθεί το κύμα τη χρονική στιγμή t 1 = 0,35 s και να σχεδιάσετε τη φάση των διαφόρων υλικών σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη χ της θέσης τους πάνω στον άξονα χ Οχ. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = t 1 δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης των σημείων O, Μ και Ν σε συνάρτηση με το χρόνο, σε κοινό διάγραμμα και να προσδιορίσετε τη φάση της πηγής Ο τις χρονικές στιγμές t M και t N που τα σημεία Μ και Ν αρχίζουν να ταλαντώνονται. (0.1 ημ2π(10t ±x/3), 2.10,5=21 m ) 8. Δύο ομογενείς, τεντωμένες χορδές που αποτελούνται από διαφορετικά υλικά είναι ενωμένες στην αρχή τους, η οποία ταυτίζεται με την αρχή Ο του οριζόντιου άξονα χoχ. Η χορδή (1) εκτείνεται σε άπειρη απόσταση στο θετικό ημιάξονα Οχ, ενώ η χορδή (2) εκτείνεται σε άπειρη απόσταση στον αρνητικό ημιάξονα Οχ. Από τη χρονική στιγμή t = 0 και μετά, το κοινό σημείο Ο των δύο χορδών εξαναγκάζεται σε αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = 0,2ημ10πt (S.I) οπότε στη χορδή (1) διαδίδεται αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ 1, ενώ στη χορδή (2) διαδίδεται αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ 2 = 4 m/s. Μεταξύ των υλικών σημείων Κ(χ> 0) και Λ, για τις θέσεις των οποίων ισχύει χ K = - χ Λ, αφού έχουν ξεκινήσει και τα δύο σημεία να ταλαντώνονται, έχουν δημιουργηθεί 4 κύματα στη χορδή (1) και 6 κύματα στη χορδή (2). α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος στη χορδή (1). β) Να γράψετε τις εξισώσεις των αρμονικών κυμάτων που διαδίδονται στις δύο χορδές γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο των δύο κυμάτων σε κοινό σύστημα βαθμολογημένων αξόνων τη χρονική στιγμή t 1= 0,5 s. δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ τη χρονική στιγμή που ξεκινά να ταλαντώνεται το υλικό σημείο Ζ(χ Ζ = - 4,5 m). ( 6 m/s, 0.2 ημ2π(5t-5x/6), 0.2 ημ2π(5t+1.25x), -π 2 m/s) 9. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο που βρίσκεται στη διεύθυνση του άξονα χ'οχ διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα και τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός υλικού σημείου Κ (χ 1 = +1 m) μάζας m = 0,02 kg σε συνάρτηση με το χρόνο. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1 = 5 s. δ) Να βρείτε τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ τη χρονική στιγμή t 2 = 4,25 s. ε) Να προσδιορίσετε τη θέση του πλησιέστερου x M προς τη πηγή Ο του κύματος σημείου Μ του θετικού άξονα Οχ, το οποίο κατά τη χρονική στιγμή t=3,5 s έχει απομάκρυνση y=0.2 m Θεωρήστε για τις πράξεις: π 2 = 10. (0.2 ημ2π(0,5t-x), 2,10-3 J, 0,5 m ) 4

6 10. Γραμμικό ελαστικό μέσο ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Οχ. Τη χρονική στιγμή t = 0 το αριστερό άκρο Ο του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση χ=0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με ταχύτητα +υ max σε διεύθυνση κάθετη στον ημιάξονα Ox. Στο σχ. Ι φαίνεται η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης ενός σημείου Μ του μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο και στο σχ. ΙΙ η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης συναρτήσει της συντεταγμένης χ των διαφόρων υλικών σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή t 1= 1,4 s. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. γ) Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης ταλάντωσης των σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη της θέσης τους πάνω στον άξονα τη χρονική στιγμή t 1= 1,4 s δ) Να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη χ Μ του σημείου Μ και να παραστήσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με το χρόνο ε) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σημείου Μ κάποια χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του είναι αρνητική και η ταχύτητά του έχει μέτρο υ=0,4π 3 m/s. Στις πράξεις σας θεωρήστε π 2 =10. (4 m/s, 0.16ημ2π(2,5t-5x/8), 2,4 m, 20 m/s 2 ) 11. Η πηγή (Ο) αρμονικού κύματος αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 Ο να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Το αρμονικό κύμα που δημιουργείται διαδίδεται σε γραμμικό ομογενές ελαστικό μέσο, κατά τη θετική φορά του άξονα Οχ. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1=0.5 s. α) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. β) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης των διαφόρων σημείων του μέσου που ταλαντώνονται εξαιτίας του κύματος, σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη χ της θέσης τους, τη χρονική στιγμή t 1 =0,5 s. γ) Να απεικονίσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 2 = 0,55 s και να σημειώσετε τη θέση των σημείων Κ, Λ, Μ, Ν, Ρ και Σ. Επίσης να σημειώσετε τη φορά κίνησης αυτών των σημείων τη χρονική στιγμή t 1. δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης, συναρτήσει του χρόνου, του σημείου Σ που βρίσκεται στη θέση με συντεταγμένη χ= 5 m, από τη χρονική στιγμή t =0 έως τη χρονική στιγμή t 2 = 0,9 s ε) 1) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης με την οποία ταλαντώνονται δύο υλικά σημεία Γ και Δ που βρίσκονται στις θέσεις χ Γ =4m και x Δ =4,25 m.ποια από τα παραπάνω σημεία Κ, Λ, Μ, Ρ και Σ του στιγμιότυπου είναι σε αντίθεση φάσης με το σημείο Ν του ελαστικού ; 2) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του υλικού σημείου Γ κάποια χρονική στιγμή που το υλικό σημείο Δ έχει φάση φ Δ=2κπ+3π/2 rad. (0,1ημ2π(5t-x/2), 5π-πχ, π/4, -0,05 2 m) 5

7 12. Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται σε ελαστική χορδή, που εκτείνεται κατά μήκος του αρνητικού ημιάξονα Οχ, προς την αρνητική κατεύθυνση. Η πηγή του κύματος Ο βρίσκεται στην αρχή του άξονα που ταυτίζεται με το δεξιό άκρο της χορδής και ταλαντώνεται με εξίσωση y = Α ημωt κάθετα στη χορδή. Στο πρώτο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = t 1. Στο δεύτερο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα απομάκρυνσηςχρόνου ενός σημείου Κ της χορδής. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β) Να προσδιορίσετε την χρονική στιγμή t 1 και τη συντεταγμένη χ Κ του σημείου Κ γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης των σημείων της χορδής σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη τους χ τη χρονική στιγμή t 1 και τη γραφική παράσταση της φάσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 2 = 1,5 s. ε) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης της ταλάντωσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο (20 cm/s, 0.02 ημ2π(2t+10x), 1 s, -0.1 m ) 13. Αρμονικό κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο στη διεύθυνση τον άξονα χ'οχ και προς τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα υ = 1,2 m/s. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα και τη χρονική στιγμή t= 0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. Δυο σημεία Κ και Λ του υλικού μέσου που απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δχ = 0,1 m έχουν την ίδια χρονική στιγμή φάση φ Κ = 3π rad και φ Λ = 8π / 3 rad αντίστοιχα. α) Να διερευνήσετε ποιο από τα δύο σημεία Κ και Λ βρίσκεται πιο κοντά στην πηγή. β) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος και τη γωνιακή συχνότητα του κύματος, καθώς και με ποια χρονική διαφορά ξεκινούν να ταλαντώνονται τα σημεία Κ και Λ. γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με τη θέση χ των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t 1 = 4 s. δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Ζ (χ 1 = + 6 m) σε συνάρτηση με το χρόνο. ε). Να υπολογίσετε πόσα υλικά σημεία έχουν την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα με την πηγή τη χρονική στιγμή t 2=2 sec ; Να σχεδιάσετε και τη φορά κίνησης των σημείων αυτών. στ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης των σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση χ τη χρονική στιγμή που η φάση της πηγής είναι: α) 4π rad και β) 4π+π/2 rad. (Κ, 0,6m, 4π r/s, 1/12 s) 6

8 14. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο τη χρονική στιγμή t 1 = 0,4 s. Η διεύθυνση διάδοσης του κύματος ταυτίζεται με τη διεύθυνση τον άξονα χ'οχ και η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο αυτού. Τη χρονική στιγμή t = 0 η πηγή του κύματος ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. : α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β) Να διερευνήσετε προς τα που θα κινηθεί το σημείο Κ (χ = 0,75 m) αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t 1. γ) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ του σημείου Κ και του πιο μακρινού σημείου Ζ (από την πηγή Ο)του ελαστικού μέσου που έχει τεθεί σε ταλάντωση τη χρονική στιγμή t 2=0,6 s. δ) Να βρείτε πόσα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου ανάμεσα στα σημεία Κ και Ζ βρίσκονται σε θέση μέγιστης απομάκρυνσης τη χρονική στιγμή t 2. ε) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Κ σε συνάρτηση με το χρόνο (0,4ημ2π(10t-2x), 9π rad, 9 ) ΣΥΜΒΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Εξίσωση (συμβολής) ταλάντωσης r1 r2 t r1 r2 υλικού σημείου μετά την συμβολή y 2 A. ( ). 2 ( ) T 2 Πλάτος ταλάντωσης υλικού σημείου μετά την συμβολή r r Σημεία ενισχυτικής συμβολής r1 r 2 N. με Ν=0,1,2,3... Διαφορά φάσης σημείων με ενίσχυση- Διαφορά χρόνου Α. Διαφορά φάσης : 2π(r1 r 2) 2π.Νλ Δφ, άρα Δφ=2π.Ν, Ν=0,1,2,.. λ λ Β. Με διαφορά χρόνου : t=ν.τ Σημεία αποσβεστικής συμβολής Διαφορά φάσης σημείων με απόσβεση- Διαφορά χρόνου r1 r2 (2N 1). με Ν=0,1,2, π(r r ) 2π.(2Ν 1)λ / 2 Α. Διαφορά φάσης : λ λ άρα Δφ=(2Ν+1)π., Ν=0,1,2,.. Β. Με διαφορά χρόνου : T t (2N+1) Δφ, Πλάτος ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου ( t1 t2) 2 T 7

9 ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ 15. Στην επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2, μηδενικής αρχικής φάσης, οι οποίες ταλαντώνονται κατακόρυφα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση d= 6 m. Το πλάτος των κυμάτων που δημιουργούν οι δύο πηγές ισούται με Α = 1 cm, ενώ η ταχύτητα διάδοσής τους ισούται με υ = 2 m/s. Κάποιο σημείο Ζ του υγρού το οποίο απέχει από την πηγή Π 1 απόσταση χ 1 = 3 m και από την πηγή Π 2 απόσταση χ 2 = 5 m, αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 που η πηγή Π 1 έχει εκτελέσει τρεις πλήρεις ταλαντώσεις. α) Να εξετάσετε αν τα δύο κύματα συμβάλουν ενισχυτικά στο σημείο Ζ. β) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Z γ) Να βρείτε σε ποιο σημείο Δ η υπερβολή που διέρχεται από το σημείο Ζ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα Π 1Π 2 δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος Π 1Π 2 μεταξύ του σημείου Δ και της πηγής Π 1 στα οποία εμφανίζεται απόσβεση. ( m, y= ημ(4πt 8π), 2 m, 4) 16. Δύο πηγές παραγωγής κυμάτων εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση ημιτονοειδούς μορφής με το ίδιο πλάτος Α = 2 cm και την ίδια συχνότητα f = 2 Ηz, χωρίς αρχική φάση. Τα κύματα που παράγονται διαδίδονται σε ελαστικό μέσο. Σε ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου το κύμα από τη μια πηγή (Π 1) φτάνει μετά από χρόνο t 1= 0,5 sec από την έναρξη των ταλαντώσεών της και το κύμα από την άλλη πηγή (Π 2) φτάνει μετά από χρόνο t 2=2/3 sec από την έναρξη των ταλαντώσεών της. α) Να υπολογιστεί το πλάτος των ταλαντώσεων του σημείου Μ, καθώς και η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσής του. β) Να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Ποια η επιτάχυνση του υλικού σημείου Μ τη χρονική στιγμή t 3=1 s; (2 cm, 8π cm/s, 2ημ2π(2t-7/6)] 17. Δύο σύγχρονες πηγές εγκάρσιων αρμονικών επιφανειακών κυμάτων, Π 1 και Π 2 βρίσκονται στα σημεία Γ και Δ που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d και αρχίζουν να ταλαντώνονται κατακόρυφα τη χρονική στιγμή t = 0 με εξίσωση ταλάντωσης της μορφής y=αημωt. Ένα σημείο Λ ανήκει στο τμήμα ΓΔ και βρίσκεται σε απόσταση χ 1= 1,5 m από το μέσο Μ του τμήματος ΓΔ προς την πλευρά της πηγής Π 2 και ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. Μεταξύ των σημείων Μ και Λ δεν υπάρχουν άλλα σημεία που να ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Ένα άλλο σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού εκτελεί μετά τη συμβολή των κυμάτων ταλάντωση με εξίσωση : y= 0,2 ημ(4πt 7π/3) (S.I.). Το σημείο Κ αρχίζει την ταλάντωσή του τη χρονική στιγμή t α= 0,5 s. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού. β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r 1 = (ΓΚ) και r 2= (ΚΔ) του σημείου Κ από τη θέση των πηγών Π 1 και Π 2. γ) Να υπολογίσετε το πλάτος Α της ταλάντωσης των πηγών δ) Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΚ και ΚΔ είναι κάθετα μεταξύ τους να προσδιορίσετε τις θέσεις των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ που παραμένουν διαρκώς ακίνητα. ε) Να βρεθεί η απομάκρυνση του σημείου Κ τη χρονική στιγμή t 2=0.625 s. στ) Να βρείτε την ελάχιστη συχνότητα ώστε στο σημείο Κ να έχουμε απόσβεση (6 m/s, 4 m, 3m, 0.2 m, (-2, -1, 0,1 ), 0.2m, 3 Hz) 8

10 18. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2 που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 15 m έχουν μηδενική αρχική φάση και τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζουν να δημιουργούν στην επιφάνεια ενός ελαστικού μέσου εγκάρσια κύματα πλάτους Α = 0,04 m και συχνότητας f=10 Ηz. Τα κύματα διαδίδονται στο μέσο με ταχύτητα υ =2 m/s. Σε σημείο Κ της επιφάνειας του ελαστικού μέσου φτάνουν από τις δύο πηγές κύματα που έχουν μεταξύ τους σταθερή διαφορά φάσης ίση με Δφ = 30π rad. α) Να υπολογίσετε το πλάτος και τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ από τη στιγμή που τα δύο κύματα έχουν συμβάλλει στο σημείο αυτό. β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις χ 1 και χ 2 του σημείου Κ από τις δύο πηγές Π 1 και Π 2 αντίστοιχα,αν δίνεται ότι σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 90, όπως φαίνεται στο σχήμα. γ) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο Κ και ποια χρονική στιγμή ξεκινά η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό. δ) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του τις χρονικές στιγμές t 1 = 5 s και t 2= 6,25 s ε) Να βρείτε την ελάχιστη συχνότητα ώστε το σημείο Κ να παραμένει διαρκώς ακίνητο. (0,08 m, 1.6π m/s, 12 m, 9 m, 4.5 s, 6 s, 0 m, m) 19. Στα σημεία Κ και Λ της επιφάνειας του νερού μιας πισίνας βρίσκονται δύο πηγές αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π 2. Οι πηγές απέχουν απόσταση d= 0,6 m και αρχίζουν να ταλαντώνονται την t = 0 με εξίσωση y=0.1ημ(10πt). Τα κύματα που παράγονται διαδίδονται με ταχύτητα υ =1 m/s. Α) 1. Ποιο είναι το μήκος κύματος των κυμάτων; 2. Να βρείτε μετά τη συμβολή των κυμάτων πόσα και ποια σημεία μεταξύ των Π 1 και Π 2 ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης. Β) Ένα σημείο Μ της Π 1Π 2 απέχει από το Π 2 απόσταση 0,10 m. 1. Να βρείτε την απομάκρυνση του σημείου αυτού τις χρονικές στιγμές: α) t 1=13/60 s και β) t 2=47/60 s 2. Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης του Μ με το χρόνο. 3. Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Μ με το χρόνο, Γ) Να δείξετε ότι όλα τα σημεία της χ χ που διέρχεται από τα Κ, Λ και βρίσκονται εκτός των Κ, Λ έχουν το ίδιο πλάτος, το οποίο και να υπολογίσετε. Δ) Μετακινούμε την πηγή Π 1 πάνω στην ΚΛ ώστε να πλησιάζει προς την πηγή Π 2. Να βρείτε την ελάχιστη μετατόπιση της Π 1, για την οποία στο σημείο Μ θα έχουμε αναιρετική συμβολή. (0,2 m, 5, m, 0.1 m, 10πt-π, 10πt-3π, ενίσχυση, 0,1m) 20. Δύο σύγχρονες πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού κύματα με ταχύτητα υ=2 m/s, πλάτος Α=0,04 m και περίοδο Τ. Οι πηγές εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Ένα κομμάτι φελλού, μάζας m= kg βρίσκεται σε κάποιο σημείο της επιφάνειας του υγρού. Στο σχήμα φαίνονται oι φάσεις του φελλού σε συνάρτηση με το χρόνο, όταν αυτός ταλαντώνεται εξαιτίας του κάθε κύματος ξεχωριστά. α) Να βρεθεί το μήκος κύματος και η περίοδος των κυμάτων. β) Να αποδειχθεί ότι ο φελλός βρίσκεται επάνω σε υπερβολή ενίσχυσης. γ) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του φελλού σε συνάρτηση με το χρόνο, λόγω συμβολής των δύο κυμάτων. δ) Να υπολογιστεί η δύναμη επαναφοράς που δέχεται ο φελλός τη χρονική στιγμή t=4,25 s. Δίνεται π 2 =10. (-0,08 ημ2π(t-2,5), N) 9

11 21. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π 1, Π 2 που βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ της επιφάνειας ελαστικού μέσου αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0 με εξίσωση της μορφής y = Αημωt. Οι δύο πηγές απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=2,9m και τα κύματα που δημιουργούν διαδίδονται στην επιφάνεια του ελαστικού μέσου με ταχύτητα 2 m/s. Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας για ένα υλικό σημείο Ζ του ελαστικού μέσου που απέχει απόσταση r 1 από την πηγή Π 1 και απόσταση r 2 από την πηγή Π 2 με r 2 >r 1 α) Να βρείτε τις αποστάσεις r 1 και r 2 και να προσδιορίσετε σε ποια υπερβολή ενισχυτικής συμβολής ανήκει το σημείο Ζ. β) Η υπερβολή ενισχυτικής συμβολής που διέρχεται από το σημείο Ζ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ σε σημείο Δ. Να υπολογίσετε πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΔΚ παραμένουν ακίνητα μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων. γ) Μεταβάλλουμε ταυτόχρονα τη συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών έτσι ώστε να παραμένουν σύγχρονες. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της συχνότητας των δύο πηγών ώστε το σημείο Ζ να παραμένει σημείο ενισχυτικής συμβολής. ( 1.8 m, 3m, 3, 4, 5/3 Hz ) 22. *Σε δύο σημεία Ο 1 και Ο 2 στην επιφάνεια υγρού, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση Ο 1Ο 2=20 cm, υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές παραγωγής κυμάτων. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=20 cm/s. Ένα κομμάτι φελλού βρίσκεται σε ένα σημείο Α της επιφάνειας του υγρού, απέχει από τις πηγές αποστάσεις (AΟ 1)= r 1 και (ΑΟ 2)=r 2 με r 1> r 2, και η απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας λόγω συμβολής των κυμάτων περιγράφεται σε συνάρτηση με το χρόνο από την εξίσωση ψ=4 ημ2π (5t-10) (cm, sec). Το σημείο Α ανήκει στην 5 η, (πέμπτη) υπερβολή ενισχυτικής συμβολής, δεξιά της μεσοκαθέτου,με πρώτη αυτήν της μεσοκαθέτου. Να βρείτε : Α) την περίοδο, το μήκος κύματος και το πλάτος ταλάντωσης των δύο πηγών. Β) τις αποστάσεις r 1, r 2 του φελλού από τις πηγές και την απόσταση του σημείου Κ από την πηγή Ο 1 το οποίο είναι το σημείο που τέμνει η υπερβολή που περνά από το σημείο Α τη ευθεία Ο 1Ο 2. Γ) τον αριθμό των σημείων που βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Ο 1Ο 2 των δύο πηγών και ταλαντώνονται με πλάτος ίσο με αυτό του φελλού στη θέση Α και να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες υπερβολές ενισχυτικής συμβολής που σχηματίζονται μεταξύ των πηγών Ο 1 και Ο 2. Δ) την εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού στη θέση Α σε συνάρτηση με το χρόνο. Ε) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της φάσης ταλάντωσης του σημείου Α σε σχέση με το χρόνο (0,2 s, 4 cm, 2 cm, 48 cm, 32 cm, 18 cm, 9, 10 ) 10

12 23. Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π 1 και Π 2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ = 5 m/s. Μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Σ της επιφάνειας πλησιέστερα στην πηγή Π 2. Η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο περιγράφεται από τη γραφική παράσταση του σχήματος. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0 και εκτελούν ταλαντώσεις της μορφής y= Α. ημωt Γ1. Να βρείτε τις αποστάσεις r 1 και r 2 του σημείου Σ από τις πηγές Π 1 και Π 2, αντίστοιχα. Γ2. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο, για t 0. Γ3. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού κάποια χρονική στιγμή t 1, κατά την οποία η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι 3 y m Γ4. Έστω Κ 1 η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού μετά τη συμβολή. Αλλάζουμε τη συχνότητα των ταλαντώσεων των πηγών Π 1 και Π 2 έτσι ώστε η συχνότητά τους να είναι ίση με τα 10/ 9 της αρχικής τους συχνότητας. Αν μετά τη νέα συμβολή η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού είναι Κ 2, να βρεθεί ο λόγος Κ 1 / Κ 2. (πανελ.2014) ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που σχηματίζουν το t x t x στάσιμο y1 A. 2 ( ), y2 A. 2 ( ) T T Εξίσωση στάσιμου κύματος t y 2 A T Πλάτος ταλάντωσης A 2 2 Κοιλίες, Α =2Α Δεσμοί, ακίνητα σημεία Α =0 Συνθήκη σχηματισμού στάσιμου κύματος σε χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο. με Ν=0, 1, 2, (2 1) με Ν=0, 1, 2, d (2k 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 11

13 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 24. Κατά μήκος ελαστικής χορδής μήκους L=27 m, της οποίας το ένα άκρο είναι στερεωμένο, σχηματίζεται στάσιμο κύμα. Η ταχύτητα ταλάντωσης των υλικών σημείων της χορδής περιγράφεται από την εξίσωση : 0, t (S.I) 6 α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων που σχηματίζουν το στάσιμο κύμα καθώς και την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β) Να βρείτε την εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου Μ που απέχει από την αρχή απόσταση d M=19 m. γ) Να βρείτε το πλήθος των δεσμών και των κοιλιών του στασίμου κύματος που δημιουργούνται στη χορδή και να κάνετε το στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t 1=3/20 sec. δ) Σε πόση απόσταση από το σημείο Μ βρίσκονται τα δύο πλησιέστερα σημεία με το ίδιο πλάτος; ε) Σε πόση απόσταση από το Μ βρίσκεται η πλησιέστερη κοιλία και σε πόση ο πλησιέστερος δεσμός; στ) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση του πλησιέστερου δεσμού από το σημείο Κ με χ Κ= 8 m. ζ) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου της χορδής που απέχει απόσταση λ/6 από την πλησιέστερη κοιλία. (0.08συνπχ/6.ημ10πt, m, 5, 4 m, 2 m, 1m, 2m, m) 25. Δύο κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής η οποία έχει τη διεύθυνση του άξονα των χ. Από τη συμβολή των δύο κυμάτων προκύπτει στάσιμο κύμα. Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη στιγμή κατά την οποία όλα τα σημεία της χορδής βρίσκονται στις θέσεις της μέγιστης απομάκρυνσής τους. Η συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλουν για να δώσουν το στάσιμο είναι f=40 Hz. Θεωρούμε ότι τη στιγμή t=0 για χ=0 είναι y=0. α) Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Κ της χορδής του οποίου η τετμημένη είναι χ Κ=50 cm. γ) Να βρεθεί η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σημείου Κ της χορδής τη στιγμή κατά την οποία η ταχύτητα του ισούται με το μισό της μέγιστης τιμής της. δ) Πόσο είναι το πηλίκο της δυναμικής προς την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης του σημείου Κ αυτή τη στιγμή ; ε) Έστω Λ το σημείο της χορδής το οποίο είναι το πλησιέστερο σημείο προς τα αριστερά του Κ και ταλαντώνεται με πλάτος ίσο με το πλάτος καθενός από τα δύο κύματα που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα. Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων Λ και Κ τη χρονική στιγμή κατά την οποία τα δύο σημεία κινούνται με τη μέγιστη ταχύτητα τους; (10συνπχ/40.ημ80πt, 5 2 cm, ±2.5 6 cm, 3, x Λ=80/3 cm, ΚΛ=70/3 cm) 26. Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t=1/720 s.δίνεται η συχνότητα του στάσιμου κύματος f=60 Hz. Υποθέτουμε ότι η αρχή μέτρησης των αποστάσεων (χ=0) το σημείο Ο, είναι μια κοιλία και ότι η αρχή των χρόνων (t=0) είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία η φάση του κύματος του σημείου Ο είναι μηδέν. Α. Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος Β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σημείου Β της χορδής. Γ. Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου Β της χορδής όταν η απομάκρυνσή του είναι y B= m. Δ. Να βρεθεί η θέση του πλησιέστερου από τα δεξιά στον πρώτο δεσμό, σημείου που έχει ενέργεια ίση με τα 75% της ενέργειας ταλάντωσης μιας κοιλίας. Να θεωρηθεί ότι όλα τα σημεία της χορδής έχουν την ίδια μάζα. (2συνπχ/30.ημ120πt (x,y cm, t s ), y B=-1.ημ(120πt), ±60π 3 cm/s, 25 cm) 12

14 27. Τα άκρα Α και Β μιας οριζόντιας χορδής είναι ακλόνητα στερεωμένα. Στο μέσο Μ της χορδής προκαλούμε διαταραχή της μορφής : y=0.05 ημ20πt ( S.I) Τα παραγόμενα κύματα έχουν ταχύτητα διάδοσης υ = 4 m/s και μετά την ανάκλασή τους στα άκρα Α και Β συμβάλλουν δημιουργώντας ένα στάσιμο κύμα με 6 δεσμούς (μαζί με τα Α και Β). Σαν αρχή μέτρησης των αποστάσεων (χ = 0) να θεωρήσετε μια κοιλία του στάσιμου κύματος στο μέσο Μ, η οποία την αρχή μέτρησης των χρόνων ( t= 0) διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της με ταχύτητα υ> 0. Α. Να υπολογίσετε το μήκος L της χορδής. Β. Να γράψετε τις εξισώσεις: 1. του στάσιμου κύματος, 2. της ταχύτητας, σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημείο Σ της χορδής στη θέση χ Σ =+ 0,2 m. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Σ, όταν η απομάκρυνσή του είναι 0,06 m; Γ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή t=1/40 sec. Δ. Αντικαθιστούμε τη χορδή με άλλη ίδιου μήκους αλλά από διαφορετικό υλικό. Προκαλούμε στο μέσο της διαταραχή της μορφής: y= 0,05ημ18πt (S.I) Τα παραγόμενα κύματα φτάνουν στα άκρα Α και Β σε χρονικό διάστημα Δt = 0,25 s. Να υπολογίσετε τον αριθμό των δεσμών του νέου στάσιμου κύματος που θα δημιουργηθούν στη χορδή. ( 1 m, 0.1 συν5πχ.ημ20πt, -2πσυν20πt, 1.6 π m/s, 10 ) 28. Ένα σκοινί ΚΛ διατηρείται οριζόντιο και καλά τεντωμένο. Το ένα άκρο του Κ παραμένει διαρκώς ακίνητο. 'Ένας μηχανισμός αναγκάζει το άλλο άκρο του Λ να εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις με εξισώσεις απομάκρυνσης : y1 2 ( t ) και y2 2 3 ( t ) (χ, ψ σε cm, t σε sec). Μετά από λίγο εμφανίζεται στη χορδή στάσιμο κύμα. Διαπιστώνουμε ότι δύο σημεία που πάλλονται ως κοιλίες απέχουν μεταξύ τους 1,2 m, ενώ ανάμεσά τους παρεμβάλλονται δύο δεσμοί. α. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή; β. Ποια είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός σημείου Ρ του σχοινιού, που βρίσκεται μεταξύ της πρώτης κοιλίας και του πρώτου δεσμού και απέχει απόσταση 0,l m από το σημείο του σκοινιού που παραμένει διαρκώς ακίνητο; (Το άκρο Λ να θεωρηθεί κοιλία) γ. Ποια σημεία ταλαντώνονται έχοντας ενέργεια ίση με το 50% της μέγιστης ενέργειας μιας κοιλίας και βρίσκονται μεταξύ του 1 ου δεσμού και της 2 ης κοιλίας ; δ. Ποιο το μέτρο της ταχύτητας ενός σημείου στη θέση χ=0,6 m, όταν η απομάκρυνσή του είναι y= 15 cm ; Δίνεται :π 2 =10 (0,1 m/s, 0,04ημ(π/6t), 0,45 m, 7π/6 cm/s ) 29. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται με αντίθετες κατευθύνσεις σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα x Οx. Τα κύματα συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα με εξίσωση: y=2aσυν(5πχ).ημ(8πt) (S.I). Το υλικό σημείο Γ, χ Γ= 7/15 m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A Γ=0,5 m. α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα. β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του υλικού σημείου Γ, τη στιγμή που το Ο (χ=0)βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση. γ) Υλικό σημείο Δ του θετικού ημιάξονα έχει εξίσωση ταχύτητας υ Δ=- 4 2 π.σιν(8πt) (S.I). Αν το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ της 5 ης κοιλίας και του 6 ου δεσμού του θετικού ημιάξονα, να προσδιορίσετε τη συντεταγμένη της θέσης του Δ. δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των σημείων του τμήματος ΟΔ της χορδής, τα οποία κάθε χρονική στιγμή έχουν ίση απομάκρυνση και ίση ταχύτητα με το Δ. ε) Να βρείτε τη διαφορά φάσης των σημείων Γ και ενός σημείου Κ με χ Κ=2/3 m. στ) Να κάνετε το διάγραμμα της ταχύτητας συναρτήσει της θέσης χ των σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t=0,5 s μεταξύ των θέσεων 0 χ 7λ/4. 13

15 30. Στάσιμο κύμα δημιουργείται σε χορδή μήκους L που τα δύο της άκρα είναι στερεωμένα ακλόνητα, λόγω της συμβολής δύο κυμάτων μήκους κύματος λ, περιόδου Τ και πλάτους Α. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t 1=1/60 s που η κινητική ενέργεια της χορδής είναι τριπλάσια με τη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσής της, K=3U. Η ταχύτητα διάδοσης των απλών κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα είναι υ=5 m/s. α) Να βρείτε την εξίσωση του στάσιμου κύματος, αν σαν αρχή μέτρησης των αποστάσεων χ=0 είναι η δεύτερη κοιλία από το σημείο Ο. β) Να υπολογιστεί η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου της χορδής που βρίσκεται στη θέση χ=+1/6 m τη χρονική στιγμή Τ/6. γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου τη χρονική στιγμή t 2=3/20 s. δ) Να παραστήσετε γραφικά τη φάση της ταλάντωσης των σημείων της χορδής σε συνάρτηση με τη θέση τους χ τη χρονική στιγμή t 1. ε) Αν αυξήσουμε τη συχνότητα κατά 80%, να βρείτε τον αριθμό των δεσμών που σχηματίζονται στη χορδή. 31. Το αριστερό άκρο Ο μιας χορδής ( το οποίο θεωρείται ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων ) ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Έτσι κατά μήκος της χορδής διαδίδεται με ταχύτητα υ = 10 m/s εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Το κύμα αυτό ανακλάται στο άλλο άκρο της χορδής Α που είναι ακλόνητα στερεωμένο, δημιουργώντας ένα δεύτερο αρμονικό κύμα ίσου πλάτους που διαδίδεται κατά την αντίθετη φορά. Τα δύο κύματα συμβάλλουν και κατά μήκος της χορδής ΟΑ εμφανίζεται στάσιμο κύμα. Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σημείου Σ της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο. Να βρεθούν; α) Το μήκος κύματος των κυμάτων από τα οποία δημιουργείται το στάσιμο. β) Η απόσταση χ Σ του σημείου Σ από το σημείο Ο και το μήκος d της χορδής. γ) Η εξίσωση του στάσιμου κύματος αν ως αρχή μέτρησης του χρόνου θεωρηθεί κάποια στιγμή κατά την οποία το άκρο Ο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο με θετική ταχύτητα. δ) Η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Ρ που βρίσκεται στο μέσο της απόστασης ανάμεσα στο Σ και την επόμενη απ το Σ κοιλία. (2 m, 2.5 m, 4,5 m, 0,2συν(πχ).ημ(10πt), - π 2 συν10πt ) 14

16 32. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα χ χ, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα από τη συμβολή δυο αρμονικών κυμάτων ίδιου πλάτους, ίδιας συχνότητας και ίδιου μήκους κύματος, που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων είναι υ=2 m/sec. Στο σημείο χ=0 βρίσκεται μια κοιλία, η οποία τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενη προς τη θετική κατεύθυνση. Η κοιλία αυτή φτάνει στη μέγιστη απομάκρυνσή της για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή t=1sec. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου που βρίσκεται στη θέση χ=λ/6 είναι ίσο με το μισό του μήκους κύματος λ. Α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος Β. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Μ που βρίσκεται στη θέση χ Μ= 4m τη χρονική στιγμή t=4 sec. Γ. Να βρείτε το πλήθος των δεσμών που σχηματίζονται μεταξύ των θέσεων χ 1=-12 m και χ 2=8 m. Δ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t=3 sec, θεωρώντας ότι το στάσιμο κύμα εκτείνεται μεταξύ των θέσεων χ=-14 m και χ=14 m. Ποια η διαφορά φάσης της ταλάντωσης των σημείων που βρίσκονται στις θέσεις χ 1=λ/3 και χ 2= - λ/6 την παραπάνω χρονική στιγμή ; Ε. Να βρεθεί η απομάκρυνση του σημείου χ=0 όταν η απομάκρυνση του σημείου χ=8/3 m είναι y=2 m ΣΤ. Ένα σημείο Κ που βρίσκεται στη θέση χ κ έχει μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης υ max = 2 2.πm/s.Να βρεθεί η θέση χ κ αυτού του σημείου, αν αυτό βρίσκεται μεταξύ της πρώτης κοιλίας (χ=0) και του πρώτου δεσμού, στο θετικό μέρος του άξονα χοχ. ( 8συνπχ/4.ημπt/2 (S.I), 0m, -4πm/s, -4m, 1 m) 15

17 16

18 ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER 33. Ένας παρατηρητής κατευθύνεται προς ακίνητο αυτοκίνητο με σταθερή ταχύτητα υ Α=20 m/s. Πίσω από τον παρατηρητή και στην ευθεία αυτοκινήτου - παρατηρητή υπάρχει ακίνητη επιφάνεια στην οποία ο ήχος μπορεί να ανακλαστεί. 1) Ο οδηγός του αυτοκινήτου κορνάρει εκπέμποντας ηχητικά κύματα συχνότητας f s=1020 Hz. Να βρεθούν : α) Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής και που προέρχεται απευθείας από την κόρνα του αυτοκινήτου. β) Η συχνότητα του ανακλώμενου ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. 2) Ο παρατηρητής προσπερνά το αυτοκίνητο και καθώς απομακρύνεται από αυτό κινούμενος πάντα με την ίδια ταχύτητα, ο οδηγός του αυτοκινήτου ξανακορνάρει για χρονικό διάστημα Δt=3,2 s. Να βρεθούν: α) Πόση είναι τώρα η συχνότητα του απευθείας αλλά και του ανακλώμενου ήχου που ακούει ο παρατηρητής; β) Πόσο μετατοπίστηκε ο παρατηρητής στο χρονικό διάστημα που άκουγε την κόρνα του αυτοκινήτου; Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, υ ηχ=340 m/s. (1080 Hz, 960 Hz, 68 m) 34. Το σώμα Σ 1 του σχήματος έχει μάζα m 1=1 kg, φέρει ενσωματωμένο ανιχνευτή ήχου και αρχικά ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m. Εκτρέπουμε το σώμα κατά A=0.2m προς την αρνητική κατεύθυνση και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Στη διεύθυνση ταλάντωσης και στο σημείο Γ υπάρχει ακίνητη πηγή ήχου που εκπέμπει κύματα συχνότητας f s=510 Hz. Όταν το Σ 1 βρίσκεται σε απομάκρυνση x=0.1 3 m κατευθυνόμενο προς την ηχητική πηγή, συγκρούεται πλαστικά με σώμα Σ 2, μάζας m 2=3 kg, το οποίο κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα υ 2=3 m/s. Να βρεθούν: α) η μέγιστη τιμή της συχνότητας που θα καταγράψει ο ανιχνευτής πριν την κρούση. β) η συχνότητα που καταγράφει ο ανιχνευτής ελάχιστα πριν την κρούση. γ) η σχέση που δίνει τη συχνότητα που ανιχνεύει ο ανιχνευτής σε συνάρτηση με το χρόνο πριν την κρούση, θεωρώντας t=0 την στιγμή που το Σ 1 είναι στη θέση ισορροπίας του και κινείται προς τα θετικά. δ) η συχνότητα που καταγράφει ο ανιχνευτής αμέσως μετά την κρούση. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα, υ ηχ=340 m/s. (513 Ηz, 1 m/s, 511,5 Hz, 510+3συν10t, 507 Hz ) 17

19 35. Παρατηρητής Α κινείται με σταθερή ταχύτητα υ Α μεταξύ δύο ακίνητων ηχητικών πηγών S 1 και S 2, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η πηγή S 2 αρχικά δεν εκπέμπει ήχο, ενώ η πηγή S 1 εκπέμπει ήχο με συχνότητα f 1 = 100 Hz. Να βρείτε: Υπολογίστε την ταχύτητα υ Α με την οποία πρέπει να κινείται ο παρατηρητής, ώστε να ακούει ήχο με συχνότητα f Α = 100,5 Hz. Κάποια στιγμή ενεργοποιείται και η δεύτερη ηχητική πηγή S 2, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f 2 = 100 Hz. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα Δt 1 μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει ο κινούμενος παρατηρητής. Η συχνότητα της ηχητικής πηγής S 2 μεταβάλλεται σε f 2 = 100,5 Hz, ενώ ο παρατηρητής Α σταματάει να κινείται. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα Δt 2 μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει ο ακίνητος παρατηρητής. Να υπολογίσετε το πλήθος των ταλαντώσεων τις οποίες εκτελεί το τύμπανο του αυτιού του παρατηρητή Α μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει. Θεωρούμε ότι οι εντάσεις των ήχων των δύο πηγών είναι ίσες και δεν μεταβάλλονται με την απόσταση. Δίνεται: ταχύτητα διάδοσης ήχου στον αέρα υ ηχ = 340 m/s. Επαναληπτικές 2011 (1,7 m/s, 99.5 Hz, 1s, 2s, 100,25 Hz, 200,5) 36. Σιδηροδρομικός υπάλληλος στέκεται στη μέση πολύ στενής γέφυρας μήκους,1000 m, όταν διαπιστώνει ότι σε απόσταση 1500 m από αυτόν ένα τρένο τον πλησιάζει. Ο υπάλληλος είναι σε θέση να εκτιμήσει με ακρίβεια τη συχνότητα του ήχου της σφυρίχτρας του τρένου, την οποία υπολογίζει σε 340Hz ενώ γνωρίζει ότι η πραγματική συχνότητα της σφυρίχτρας είναι 320Hz. Για να βγει έγκαιρα από τη γέφυρα, αρχίζει να τρέχει προς την άλλη άκρη της με τέτοια ταχύτητα, ώστε να ακούει ήχο συχνότητας 335 Hz. Α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του τρένου. Β. Να βρείτε την ταχύτητα του υπαλλήλου. Γ. Θα προλάβει ο υπάλληλος να βγει έγκαιρα από τη γέφυρα ή θα τον «πατήσει» το τρένο ; Δίνεται ότι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στα αέρα έχει μέτρο υ = 340 m/s. (20 m/s, 5 m/s, 0) 37. Ακίνητος παρατηρητής Α βρίσκεται σε απόσταση (ΑΣ)=500 3 m από ευθύγραμμη σιδηροδρομική γραμμή. Μια αμαξοστοιχία πλησιάζει στο σημείο Σ με ταχύτητα υ s =20 m/s. Όταν η αμαξοστοιχία βρίσκεται σε απόσταση s=500 m από το σημείο Σ, η σειρήνα της εκπέμπει ήχο συχνότητας f s= 960 Ηz επί χρονικό διάστημα Δt s =1 s α. Με ποια συχνότητα αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής A τον ήχο που εξέπεμψε η σειρήνα της αμαξοστοιχίας, όταν αυτή βρισκόταν σε απόσταση s από το σημείο Σ ; β. Επί πόσο χρόνο ακούει τον ήχο της σειρήνας ο παρατηρητής; Με ποια προϋπόθεση είναι εφικτός ο υπολογισμός του χρόνου αυτού; γ. Σε ποια θέση θα έπρεπε να βρίσκεται η αμαξοστοιχία τη στιγμή που η σειρήνα της εκπέμπει τον ήχο, ώστε ο παρατηρητής Α να αντιλαμβάνεται την πραγματική συχνότητα της σειρήνας; Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα είναι: υ =330 m/s. (990 Hz, 0.97 s ) 18

20 38. Μικρό σώμα (1) μάζας m 1= 4 kg το οποίο δρα και ως πηγή ηχητικών κυμάτων συχνότητας f s= 330 Ηz, κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 30 m/s και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με μικρό σώμα (2) μάζας m 2 (m 2<m 1 ) που είναι ακίνητο. Στη συνέχεια το σώμα (2) κινείται στο οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα (3), μάζας m 3 στο οποίο έχει προσαρμοστεί ανιχνευτής ηχητικών κυμάτων αμελητέας μάζας. Μετά την κρούση του σώματος (1) και του σώματος (2) ο ανιχνευτής μετρά συχνότητα ηχητικών κυμάτων f 1 = 340 Ηz, ενώ μετά την κρούση των σωμάτων (2) και (3) ο ανιχνευτής μετρά την ίδια συχνότητα ηχητικών κυμάτων με τη συχνότητα των κυμάτων που εκπέμπει η πηγή. Να υπολογίσετε: α) τη μεταβολή της ορμής του σώματος (1) εξαιτίας της κρούσης του με το σώμα (2), β) τη μάζα m 2, γ) το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος (m 3+m 2) δ) το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος (1) που μετατράπηκε σε θερμότητα εξαιτίας της κρούσης των σωμάτων (2) και (3). Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον ακίνητο αέρα: υ ηχ=340 m/s. (-80 kg.m/s, 2 kg, 80 kg.m/s, 66, 67% ) 39. *Το οριζόντιο ελατήριο του σχήματος έχει σταθερά Κ=400Ν/m και στο ένα άκρο του βρίσκεται στερεωμένο ένα σώμα Σ 1 μάζας m 1=1 kg το οποίο φέρει ενσωματωμένο ένα δέκτη ηχητικών κυμάτων. Το σώμα Σ 2 έχει μάζα m 2=3 kg και φέρει ενσωματωμένη ηχητική πηγή συχνότητας f= 684Ηz. Τα δύο σώματα μπορούν να κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τοποθετούμε το σώμα Σ 2 δίπλα στο σώμα Σ 1, συμπιέζουμε το ελατήριο κατά χ 1 = 0,2 m από το φυσικό του μήκος και ελευθερώνουμε τα σώματα τη χρονική στιγμή t =0. Να βρείτε: α. τη στιγμή t 1 και τη θέση που το σώμα Σ 2 θα αποσπαστεί από το σώμα Σ 1 β. την ταχύτητα που έχει το σώμα Σ 2 τη στιγμή της απόσπασης από το σώμα Σ 1. γ. τη θέση που βρίσκεται ο δέκτης τη χρονική στιγμή t=5π/40 s και τη συχνότητα που ανιχνεύει την ίδια στιγμή δ. τη μέγιστη και την ελάχιστη συχνότητα που ανιχνεύει ο δέκτης καθώς ταλαντώνεται. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα υ=340 m/s. (π/20 s, θ.φ.μ, 2 m/s, 0.1 m, 680 Hz, 676 Hz, 684 Hz ) 40. Ένα σώμα Σ 1, μάζας m 1=1kg, που φέρει ενσωματωμένη σειρήνα συχνότητας f s=528 Hz, κινείται στον οριζόντιο άξονα x χ και προς τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα υ 1. Μπροστά από το Σ 1 κινείται προς την ίδια κατεύθυνση ένα δεύτερο σώμα Σ 2, μάζας m 2=2 kg, με ταχύτητα υ 2= 5m/s. Ένας ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα x x και δεξιότερα από τα δύο σώματα. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ 1 απέχει x=120 m από τον παρατηρητή, ο οποίος αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας να έχει συχνότητα f A= 561Hz. Μετά από χρονικό διάστημα Δt το Σ 1 φτάνει στο Σ 2 και συγκρούεται με αυτό πλαστικά. Το συσσωμάτωμα αφού κινηθεί για χρονικό διάστημα Δt προσπερνά τον παρατηρητή τη χρονική στιγμή t=2 Δt. Να βρεθούν: α) η ταχύτητα του σώματος Σ 1 πριν την κρούση του με το Σ 2. β) η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α μετά την πλαστική κρούση. γ) η χρονική στιγμή που το συσσωμάτωμα προσπερνά τον παρατηρητή. δ) και να σχεδιαστεί σε αριθμημένους άξονες το μήκος κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε σχέση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 0<t<12 s. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340 m/s. (20 m/s, 544 Hz, 8 s, 320/528 m, 330/528 m, 350/528 m ) 19