Ανάλυση Καταγραφών Δυνάμεων Κοπής Πετρωμάτων με χρήση Κυματιδίων

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Δ.Π.Μ.Σ. «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ» Συμμετέχουσες Σχολές: Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανάλυση Καταγραφών Δυνάμεων Κοπής Πετρωμάτων με χρήση Κυματιδίων ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Επιβλέπων Καθηγητής: ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΜΙΧΑΛΑΚΟΠΟΥΛΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2013

2

3 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Δ.Π.Μ.Σ. «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ» Συμμετέχουσες Σχολές: Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανάλυση Καταγραφών Δυνάμεων Κοπής Πετρωμάτων με χρήση Κυματιδίων ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Επιβλέπων Καθηγητής: ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΜΙΧΑΛΑΚΟΠΟΥΛΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριμελή επιτροπή στις Μιχαλακόπουλος Θεόδωρος, Επίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π., Παναγιώτου Γεώργιος, Καθηγητής Ε.Μ.Π., Μπενάρδος Ανδρέας, Λέκτορας Ε.Μ.Π.,..... ΑΘΗΝΑ, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2013

4 Copyright Παπαγιαννόπουλος Παναγιώτης, 2013 Με επιφύλαξη κάθε δικαιώματος. All rights reserved.

5 Πρόλογος Η παρούσα Διπλωματική Εργασία πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο του Διατμηματικού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών «Σχεδιασμός και Κατασκευή Υπογείων Έργων» του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Θεόδωρο Μιχαλακόπουλο, Επίκουρο Καθηγητή της Σχολής Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών του ΕΜΠ, για τις συμβουλές και τις υποδείξεις του, καθώς και για την καθοριστική καθοδήγηση και επίβλεψη που μου παρείχε. Τέλος, ευχαριστώ την οικογένειά μου, οι οποίοι με τη συμπαράσταση και την ανεκτικότητά τους κατέστησαν δυνατή την περάτωση της εργασίας αυτής. i

6 Περίληψη H παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως αντικείμενο την επεξεργασία καταγραφών της Δύναμης Κοπής πετρωμάτων, που προέκυψαν από την εργαστηριακή κοπή δοκιμίων διαφόρων πετρωμάτων με κοπτικό συρόμενου τύπου, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ανάλυσης με κυματίδια. Ένας επιπλέον στόχος είναι να διερευνηθεί το εάν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των χαρακτηριστικών της Δύναμης Κοπής των πετρωμάτων και των μηχανικών τους χαρακτηριστικών (αντοχή σε μονοαξονική θλίψη, εφελκυστική αντοχή, ψαθυρότητα, ειδική ενέργεια εκσκαφής). Αρχικά περιγράφονται οι θεωρίες κοπής πετρωμάτων με κοπτικά συρόμενου τύπου, συγκεκριμένα οι θεωρίες του Merchant, του Evans και του Nishimatsu. Εν συνεχεία δίνεται το θεωρητικό και μαθηματικό υπόβαθρο της μεθόδου επεξεργασίας σημάτων με κυματίδια. Τέλος πραγματοποιείται η επεξεργασία των δεδομένων, η οποία περιλαμβάνει σε πρώτη φάση την ανάλυση 225 περιπτώσεων σημάτων της Δύναμης Κοπής με τη μέθοδο του διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου, χρησιμοποιώντας το λογισμικό MATLAB, και σε δεύτερη φάση τη διερεύνηση της συσχέτισης των παραμέτρων που προέκυψαν από την ανάλυση με κυματίδια με τις μηχανικές ιδιότητες των πετρωμάτων. Τα αποτελέσματα των αναλύσεων δείχνουν ότι με τη μέθοδο του μετασχηματισμού κυματιδίων επιτυγχάνεται μια πολύ αποτελεσματική εκτίμηση των κυρίων συχνοτήτων που επικρατούν στο εκάστοτε σήμα της δύναμης κοπής. Επιπλέον, από τη συσχέτιση των παραμέτρων που λήφθηκαν από την ανάλυση με κυματίδια με τις μηχανικές ιδιότητες των πετρωμάτων προέκυψαν πολύ καλά αποτελέσματα δίνοντας σε αρκετές περιπτώσεις τιμές του συντελεστή R 2 μεγαλύτερες από 70%. Κατά συνέπεια, η μέθοδος ανάλυσης σημάτων της δύναμης κοπής με τη χρήση κυματιδίων παρουσιάζει ενδιαφέρον για περαιτέρω διερεύνηση σε ότι αφορά στην εφαρμογή της για την πρόβλεψη των χαρακτηριστικών της κοπής πετρωμάτων. ii

7 Abstract The objective of this thesis is the analysis of rock cutting force recordings using the wavelet transform method. The force recordings have been obtained from laboratory cutting tests of various rock types by using a drag tool. Additionally, it is aiming to investigate whether there exists a correlation between the rock cutting force characteristics and significant mechanical properties (unconfined compressive strength, Brazilian tensile strength, brittleness indices and specific energy S.E.) of the rock. Initially, the rock cutting theories, i.e. the theories of Merchant, Evans, and Nishimatsu, describing drag tool rock cutting are presented. Thereafter, the theoretical and mathematical background of the wavelet signal analysis method is given. Finally, the analysis of the data is carried out in two steps. The first step is the analysis of 225 cutting force signals with the discrete wavelet transform method, using MATLAB software. In the second step, the correlation between the parameters obtained from the wavelet analysis and the rock mechanical properties is investigated. The analyses results show that the wavelet transform method achieves a significant estimation of frequencies dominating in each cutting force signal. Moreover, very good results are obtained from the correlation between the wavelet analysis parameters and the rock mechanical properties, giving in several cases values of the coefficient R 2 above 70%. Consequently, the wavelet analysis of the rock cutting force signals showed to be very promising for further research in the direction of estimating rock cutting performance. iii

8 Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Ανάλυση Σημάτων με τη Χρήση Κυματιδίων Ορισμός του Προβλήματος Σκοπός της Διπλωματικής Οργάνωση της Διπλωματικής Περιορισμοί της Διπλωματικής...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΟΠΗΣ ΜΕ ΚΟΠΤΙΚΑ ΣΥΡΟΜΕΝΟΥ ΤΥΠΟΥ 2.1 Εισαγωγή Κοπτικά Εργαλεία Κοπτικά εργαλεία συρόμενου τύπου Συμπεριφορά του πετρώματος στην κοπή Θεωρίες κοπής Θεωρία κοπής Merchant Θεωρία κοπής Evans Θεωρία Evans για κοπτικά εργαλεία ασύμμετρης προσβολής Θεωρία Evans για αμβλείες σφήνες Θεωρία Evans για κοπτικά σημειακής προσβολής Θεωρία κοπής Nishimatsu...25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙΔΙΩΝ - WAVELETS 3.1 Εισαγωγή Ο Μετασχηματισμός Κυματιδίου Wavelet Transform (WT) Συνεχής Μετασχηματισμός Κυματιδίου Το Κυματίδιο Απαιτήσεις για τα Κυματίδια Το Ενεργειακό Φάσμα του Κυματιδίου Ορισμός του Μετασχηματισμού Κυματιδίου Αναγνώριση συναφών δομών Διακριτός Μετασχηματισμός Κυματιδίου...45 iv

9 3.4.1 Δυαδική Διαβάθμιση και Ορθοκανονικός Μετασχηματισμός Κυματιδίου Η Συνάρτηση Κλιμάκωσης (scaling function) και η Πολυεπίπεδη (multiresolution) Ανάλυση Προσεγγίσεις (Approximations) και Λεπτομέρειες (Details) για Διακριτά Σήματα με Πεπερασμένο Μήκος Ο πολυεπίπεδος αλγόριθμος Εντροπία κυματιδίου Σύντομη σχηματική επεξήγηση του Διακριτού Μετασχηματισμού Κυματιδίου Αποσύνθεση πολλαπλών επιπέδων Φίλτρα ανακατασκευής Ανακατασκευή των προσεγγίσεων και των λεπτομερειών...56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΓΡΑΦΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ ΚΟΠΗΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΚΥΜΑΤΙΔΙΩΝ 4.1 Εισαγωγή Προέλευση Δεδομένων Περιγραφή των εργαστηριακών δοκιμών κοπής Επεξεργασία Δεδομένων των Καταγραφών της Δύναμης Κοπής πριν την Ανάλυση Προέκταση (extension) και περικοπή (truncation) των σημάτων Επιλογή κυματιδίου και αριθμού επιπέδων ανάλυσης του Διακριτού Μετασχηματισμού κυματιδίου Αποτελέσματα της Ανάλυσης των Σημάτων της Δύναμης Κοπής με Διακριτό Μετασχηματισμό Κυματιδίου Κατανομή της Ενέργειας των Σημάτων στα διάφορα Επίπεδα Μετασχηματισμού Κυματιδίων Συσχέτιση Μηχανικών Ιδιοτήτων Πετρωμάτων Παραμέτρων που προέκυψαν από την Ανάλυση με Κυματίδια των Σημάτων της Δύναμης Κοπής Boxplots Παραμέτρων της Δύναμης Κοπής που προέκυψαν από την Ανάλυση με Κυματίδια Διαγράμματα συσχέτισης Μηχανικών Ιδιοτήτων - Παραμέτρων της Δύναμης Κοπής που προέκυψαν από την Ανάλυση με Κυματίδια...89 v

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Βιβλιογραφία Παράρτημα Παράρτημα Παράρτημα Παράρτημα vi

11 Λίστα Πινάκων Πίνακας 2.1. Καταλληλότητα κοπτικών εργαλείων βάσει της αντοχής του πετρώματος σε μονοαξονική θλίψη....9 Πίνακας 4.1. Πλήθος αξιοποιήσιμων δοκιμών κοπής Πίνακας 4.2. Επίπεδα Ανάλυσης Διακριτού Μετασχηματισμού Κυματιδίου και ζώνες Συχνοτήτων που αντιστοιχούν σε κάθε επίπεδο Πίνακας 4.3. Τιμή RMS και Ενέργεια που αντιστοιχεί σε κάθε ζώνη συχνοτήτων για την περίπτωση του σήματος Fz_T4-1-cut Πίνακας 4.4. Τιμή RMS και Ενέργεια που αντιστοιχεί σε κάθε ζώνη συχνοτήτων για την περίπτωση του σήματος Fz_LL11-CUT Πίνακας 4.5. Τιμή RMS και Ενέργεια που αντιστοιχεί σε κάθε ζώνη συχνοτήτων για την περίπτωση του σήματος Fz_Ik_A_03-cut Πίνακας 4.6. Τιμές μηχανικών ιδιοτήτων, ειδικής ενέργειας και δεικτών ψαθυρότητας...83 Πίνακας 4.7. Τελικός Πίνακας τιμών μηχανικών ιδιοτήτων, ειδικής ενέργειας και κανονικοποιημένων δεικτών ψαθυρότητας...84 Πίνακας 4.8. Τιμές των παραμέτρων που προέκυψαν από την ανάλυση με κυματίδια των σημάτων της δύναμης κοπής για κάθε Τύπο Πετρώματος...86 Πίνακας 4.9. Πίνακας συσχέτισης παραμέτρων που προέκυψαν από την Ανάλυση με Κυματίδια των Σημάτων της Δύναμης Κοπής - Μηχανικών Ιδιοτήτων Πετρωμάτων Λίστα Σχημάτων Σχήμα 2.1. Δυνάμεις που προκαλούν θραύση του πετρώματος για κοπτικά α) συρόμενου τύπου, β) τύπου δίσκου...7 Σχήμα 2.2. Κοπτικά συρόμενου τύπου: a), b), c) κοπτικά τύπου σφήνας d) κοπτικό σημειακής προσβολής...8 Σχήμα 2.3. Κοπτικά τύπου δίσκου: a) κοπτικό δίσκου, b) κοπτικό οδοντωτού δίσκου, c) κοπτικό περιστρεφόμενου τύμπανου με κομβία...8 Σχήμα 2.4. Συμβολισμός σε κοπτικά συρόμενου τύπου...9 Σχήμα 2.5. Συμπεριφορά του πετρώματος στην κοπή κατά Deketh et al, vii

12 Σχήμα 2.6. Διακύμανση της δύναμης κοπής συναρτήσει του χρόνου για a) πολύ πλαστικό b) πλαστικό c) ψαθυρό δ) πολύ ψαθυρό πέτρωμα...12 Σχήμα 2.7. Φωτομικρογραφία της γεωμετρίας του σχηματιζόμενου θραύσματος όπου είναι εμφανές το επίπεδο της αστοχίας σε διάτμηση...14 Σχήμα 2.8. Σχηματική αναπαράσταση της γεωμετρίας του σχηματιζόμενου θραύσματος και των δυνάμεων που αναπτύσσονται κατά την κοπή σύμφωνα με τη θεωρία του Merchant...14 Σχήμα 2.9. Παρατηρήσεις σχηματισμού θραυσμάτων σε δοκίμια άνθρακα από τον Evans. Tο κοπτικό διεισδύει παράλληλα ως προς την ελεύθερη επιφάνεια του δοκιμίου...18 Σχήμα Σχηματική αναπαράσταση των δυνάμεων που αναπτύσσονται κατά την κοπή σύμφωνα με τη θεωρία του Evans...19 Σχήμα Μοντέλο κοπής για κοπτικά εργαλεία ασύμμετρης προσβολής του πετρώματος (chisel picks)...21 Σχήμα Εφελκυστική αστοχία δοκιμίου πετρώματος με τη χρήση αμβλείας σφήνας...22 Σχήμα (i) Κοπή πετρώματος με κοπτικό σημειακής προσβολής.(ii) ανάπτυξη ακτινικών θλιπτικών και εφαπτομενικών εφελκυστικών τάσεων στη διεπιφάνεια κοπτικού πετρώματος.(iii) Δημιουργία εφελκυστικής ρωγμής αστοχίας...24 Σχήμα Μηχανισμός κοπής του πετρώματος κατά τον Nishimatsu...25 Σχήμα Σχηματική αναπαράσταση των δυνάμεων που αναπτύσσονται κατά την κοπή σύμφωνα με τη θεωρία του Nishimatsu...26 Σχήμα Κατανομή των τάσεων κατά μήκος του επιπέδου αστοχίας για διάφορες τιμές του εκθέτη n...27 Σχήμα Τιμή των δυνάμεων P και Q συναρτήσει της γωνίας εσωτερικής τριβής...28 Σχήμα Επίδραση της γωνίας εμπρόσθιας ελευθερίας του κοπτικού στο συντελεστή κατανομής των τάσεων n...29 Σχήμα 3.1. α) Κάποια κυματίδια β) Αλλαγή τοποθεσίας γ) Αλλαγή κλίμακας...32 Σχήμα 3.2. Το κυματίδιο, το σήμα και ο μετασχηματισμός...33 Σχήμα 3.3. Διάφορα κυματίδια α) κυματίδιο Gaussian β) Mexican hat γ) Haar δ) Morlet (πραγματικό μέρος)...34 Σχήμα 3.4. Κυματίδιο Mexican hat, έννοια των α,b...35 Σχήμα 3.5. α) Διαστολή-συστολή κυματιδίου, α1=α2/2, α3=α2*2 β) Μεταφορά viii

13 κυματιδίου στο χρόνο...38 Σχήμα 3.6. α) Τρία κυματίδια Mexican hat με α=0.5,1.0,2.0 και b=0 β) Ενεργειακό φάσμα των τριών κυματιδίων...39 Σχήμα 3.7. α) Κυματίδιο με συγκεκριμένα a, b συγκρίνεται με αυθαίρετο σήμα. Τα (+) και (-) υποδηλώνουν το πρόσημο του ολοκληρώματος (3.6) β) Κυματίδιο κινείται κατά μήκος σήματος...40 Σχήμα 3.8. α) Το κυματίδιο είναι συμφασικό με την κυματομορφή και ο WT δίνει μεγάλη θετική τιμή β) Το κυματίδιο είναι τώρα εκτός φάσης και ο WT δίνει μεγάλη αρνητική τιμή γ) Το κυματίδιο είναι πάλι εκτός φάσης, αλλά δίνει μηδενική συσχέτιση δ) Το συνεσταλμένο κυματίδιο δεν ταιριάζει με την κυματομορφή (τιμή κοντά στο μηδέν) ε) Το διαστελλόμενο κυματίδιο δεν ταιριάζει με την κυματομορφή (τιμή κοντά στο μηδέν)...41 Σχήμα 3.9. α) Ημιτονοειδές σήμα β) Αναπαράσταση CWT σήματος...42 Σχήμα α) Σήμα που αποτελείται από σύνθεση δύο ημιτονοειδών σημάτων β) Αναπαράσταση CWT...42 Σχήμα Σήμα με αντίστοιχο CWT (κυματίδιο Mexican hat)...43 Σχήμα 3.12 Σχήμα της διαδικασίας της ανάλυσης...52 Σχήμα Απεικόνιση της διαδικασίας φιλτραρίσματος (ανάλυση) του σήματος S...54 Σχήμα Σχηματικό διάγραμμα ανάλυσης ενός σήματος (με υποδειγματοληψία)...54 Σχήμα Δέντρο αποσύνθεσης του σήματος με κυματίδια...55 Σχήμα Πληροφορίες εξαγόμενες από το διακριτό μετασχηματισμό wavelet τριών επιπέδων...55 Σχήμα Διάγραμμα συστήματος τετραγωνικών κατοπτρικών φίλτρων...56 Σχήμα 3.18 Ανακατασκευή αρχικού σήματος...56 Σχήμα Λήψη της προσέγγισης (A1) του σήματος από τους συντελεστές προσέγγισης ca Σχήμα 3.20 Λήψη των λεπτομερειών (D1) του σήματος από τους συντελεστές λεπτομέρειας cd Σχήμα Ανακατασκευή σήματος από τα επιμέρους στοιχεία του...58 Σχήμα 4.1. Διάταξη κοπής πετρωμάτων Εργαστηρίου Εξόρυξης Πετρωμάτων Ε.Μ.Π...61 Σχήμα 4.2. Εργαστηριακή δοκιμή κοπής...62 ix

14 Σχήμα 4.3. Ολοκληρωμένο διάγραμμα δύναμης χρόνου κατά τη δοκιμή κοπής...65 Σχήμα 4.4. Καθαρή δύναμη κοπής...66 Σχήμα 4.5. Προέκταση σήματος...67 Σχήμα 4.6. Περικοπή σήματος Σχήμα 4.7. Ανάλυση του σήματος Fz_K-Y1-1-1 (Λευκότεφρος Ασβεστόλιθος - asv1) με DWT 7 επιπέδων...70 Σχήμα 4.8. Ανάλυση του σήματος Fz_LL13-CUT1 (Σιδηρονικελιούχος Λατερίτης - lat) με DWT 7 επιπέδων...72 Σχήμα 4.9. Ανάλυση του σήματος Fz_demenegas-4y-1 (Ερυθρότεφρος ασβεστόλιθος του ανώτερου Τριαδικού asv2) με DWT 7 επιπέδων...74 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_LA14-CUT2 (Ασβεστόλιθος Άνω Κρητιδικού asv3) με DWT 7 επιπέδων...74 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_X15-CUT1 (Ασβεστόλιθος asv3) με DWT 7 επιπέδων...75 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_Ta_04b_cut3 (Νηρητικός Ασβεστόλιθος Παλαιόκαινου asv5) με DWT 7 επιπέδων...75 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_K-Y2-1-3 (Ψαμμίτης με ενστρώσεις ασβεστιτικού υλικού psam) με DWT 7 επιπέδων...76 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_Ik_A_03-cut3 (Σχιστώδης Ορθογνεύσιος s- orth) με DWT 7 επιπέδων...76 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_T4-1-cut3 (Λευκότεφρος Ασβεστόλιθος - asv1) με DWT 7 επιπέδων...78 Σχήμα Κατανομή της τιμής RMS και της Ενέργειας στα 7 επίπεδα διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου για το σήμα Fz_T4-1-cut Σχήμα 4.17 Ανάλυση του σήματος Fz_LL11-CUT2 (Σιδηρονικελιούχος Λατερίτης - lat) με DWT 7 επιπέδων Σχήμα Κατανομή της τιμής RMS και της Ενέργειας στα 7 επίπεδα διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου για το σήμα Fz_LL11-CUT Σχήμα Σήμα Δύναμης Κοπής Fz_Ik_A_03-cut3(Σχιστώδης Ορθογνεύσιος s- orth)...81 Σχήμα Κατανομή της τιμής RMS και της Ενέργειας στα 7 επίπεδα διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου για το σήμα Fz_Ik_A_03-cut Σχήμα Κανονικοποιημένοι Δείκτες Ψαθυρότητας x

15 Σχήμα Boxplots της κατανομής της Μέσης Απόλυτης Απόκλισης των Λεπτομερειών του επιπέδου D1 της ανάλυσης με κυματίδια σε κάθε τύπο πετρώματος σε συνάρτηση με την αντοχή σε μονοαξονική θλίψη Σχήμα Boxplots της κατανομής της Μέσης Απόλυτης Απόκλισης των Λεπτομερειών του επιπέδου D3 της ανάλυσης με κυματίδια σε κάθε τύπο πετρώματος σε συνάρτηση με την αντοχή σε εφελκυσμό Σχήμα Boxplots της κατανομής της παραμέτρου L 2 NORM των Λεπτομερειών του επιπέδου D3 της ανάλυσης με κυματίδια σε κάθε τύπο πετρώματος σε συνάρτηση με τον κανονικοποιημένο δείκτη ψαθυρότητας BIp xi

16 xii

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

18 1.1. Ανάλυση Σημάτων με τη Χρήση Κυματιδίων Τις τελευταίες δεκαετίες, η ανάλυση με τα κυματίδια έχει αποδειχθεί μια εξαιρετικά αποτελεσματική τεχνική επεξεργασίας σήματος για μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων. Η μέθοδος των κυματιδίων έχει εφαρμοστεί στο παρελθόν στην ανάλυση σημάτων που προέκυψαν κατά την κοπή μετάλλων, όπως προκύπτει από την εργασία των Khraisheh et al. (1995). Επίσης, πιο συγκεκριμένα, ο Διακριτός Μετασχηματισμός Κυματιδίου έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία στην ανάλυση καταγραφών Δύναμης Κοπής μετάλλων, που είχε ως αποτέλεσμα τον προσδιορισμό των συνθηκών κοπής (Berger et al., 1998). Συνεπώς, η ανάλυση με κυματίδια μπορεί να αποτελέσει ένα εργαλείο με μεγάλες προοπτικές στη χρήση των εφαρμογών επεξεργασίας σημάτων Δύναμης Κοπής των Πετρωμάτων Ορισμός του Προβλήματος Η κοπή του πετρώματος κατά την εξόρυξή του με μηχανικά μέσα αποτελεί κάθε άλλο παρά εύκολο ζήτημα για ένα μηχανικό. Υπάρχουν πολλοί παράγοντες που επηρεάζουν την κοπή όπως το είδος του πετρώματος, η κατάσταση και οι μηχανικές του ιδιότητες, η παρουσία ασυνεχειών, το είδος και η ποιότητα του εξοπλισμου κοπής κ.α. Το πρόβλημα κατανόησης των παραπάνω και η σωστή επιλογή κοπτικού μεταφράζονται σε οικονομικές και χρονικές απώλειες κατά την υλοποίηση ενός έργου, σε περίπτωση εσφαλμένης εκτίμησης. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα κατά το παρελθόν, όπου παρατηρήθηκαν αστοχίες, είτε λόγω ανεπαρκούς έρευνας στην περιοχή εκσκαφής, είτε επειδή αγνοήθηκαν μηχανικές παράμετροι μεγάλης σημασίας, είτε και λόγω κακής χρήσης του μηχανήματος εξόρυξης. Γι αυτό το λόγο, δημιουργείται η ανάγκη για αποσαφήνιση της συμπεριφοράς του πετρώματος που πρόκειται να εκσκαφθεί. Ο βασικός τρόπος για να γίνει αυτό είναι η συστηματική μελέτη των μηχανικών του χαρακτηριστικών, έτσι ώστε να γίνει καλύτερα αντιληπτή η συμπεριφορά τους και να βελτιωθούν οι υπάρχουσες μέθοδοι κοπής, ξεχωριστά για συγκεκριμένο τύπο πετρώματος. 2

19 1.3. Σκοπός της Διπλωματικής Ο σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η επεξεργασία δεδομένων από την κοπή πετρωμάτων με μηχανικά μέσα με τη μέθοδο της ανάλυσης με κυματίδια. Πιο συγκεκριμένα, σκοπός είναι αφενός η επεξεργασία με κυματίδια των καταγραφών της Δύναμης Κοπής πετρωμάτων, που προέκυψαν από την κοπή δοκιμίων διαφόρων πετρωμάτων σε εργαστηριακή διάταξη κοπής με κοπτικό συρόμενου τύπου και αφετέρου να διερευνηθεί το εάν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των χαρακτηριστικών της Δύναμης Κοπής των πετρωμάτων και των μηχανικών τους χαρακτηριστικών (Αντοχή σε μονοαξονική θλίψη, εφελκυστική αντοχή, ψαθυρότητα, ειδική ενέργεια εκσκαφής) Οργάνωση της Διπλωματικής Το παρόν Κεφάλαιο 1 αποτελεί μια γενική εισαγωγή στο αντικείμενο και τους στόχους της εργασίας. Στο Κεφάλαιο 2 περιγράφονται οι θεωρίες κοπής πετρωμάτων με κοπτικά συρόμενου τύπου, συγκεκριμένα οι θεωρίες του Merchant, του Evans και του Nishimatsu. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται το θεωρητικό και μαθηματικό υπόβαθρο της μεθόδου επεξεργασίας με κυματίδια, ξεκινώντας από τον συνεχή μετασχηματισμό κυματιδίων και συνεχίζοντας με τον διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίων, ο οποίος αφορά στην εφαρμογή της ανάλυσης κυματιδίων σε διακριτά σήματα, και που αποτελεί το βασικό εργαλείο ανάλυσης στην παρούσα διπλωματική εργασία. Το Κεφάλαιο 4 αφορά στην επεξεργασία των δεδομένων και συγκεκριμένα των καταγραφών της δύναμης κοπής των πετρωμάτων και είναι χωρισμένη σε δύο φάσεις: Η πρώτη αφορά στην ανάλυση των σημάτων της δύναμης κοπής με τη μέθοδο των κυματιδίων με τη χρήση κατάλληλου λογισμικού. Στη δεύτερη φάση διερευνάται η συσχέτιση των παραμέτρων που προέκυψαν από την ανάλυση με κυματίδια με τις μηχανικές ιδιότητες των πετρωμάτων. Τέλος στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την παρούσα διπλωματική εργασία. 3

20 1.5. Περιορισμοί της Διπλωματικής Η παρούσα διπλωματική εργασία αναφέρεται σε 225 δοκιμές κοπής που πραγματοποιήθηκαν και που αντιστοιχούν σε 12 διαφορετικούς τύπους πετρωμάτων. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν πιθανώς να παρουσιάζουν διαφοροποιήσεις ακόμη και για παρεμφερή πετρώματα. Επιπρόσθετα, οι μηχανικές ιδιότητες που χρησιμοποιούνται για τη συσχέτιση με τις παραμέτρους που προέκυψαν από την ανάλυση με κυματίδια είναι η αντοχή σε μονοαξονική θλίψη, η αντοχή σε εφελκυσμό, οι δείκτες ψαθυρότητας και η ειδική ενέργεια εκσκαφής. Τα υπόλοιπα μηχανικά χαρακτηριστικά των πετρωμάτων δεν μελετήθηκαν. 4

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΘΕΩΡΙΕΣ ΚΟΠΗΣ ΜΕ ΚΟΠΤΙΚΑ ΣΥΡΟΜΕΝΟΥ ΤΥΠΟΥ 5

22 2.1. Εισαγωγή Κατά τη διαδικασία κοπής του πετρώματος με μηχανικά μέσα λαμβάνουν χώρα διεργασίες, κατά τη διάρκεια της φόρτισης του πετρώματος από το κοπτικό, οι οποίες τελικά οδηγούν στην αστοχία του. Ωστόσο, τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της κοπής του πετρώματος σε σύγκριση με την κλασική μελέτη της αστοχίας του πετρώματος οδήγησε σε ξεχωριστή μελέτη της μηχανικής της κοπής των πετρωμάτων. Οι ιδιαιτερότητες που παρουσιάζει η κοπή των πετρωμάτων με μηχανικά μέσα είναι οι ακόλουθες: Η επιβολή στο πέτρωμα τρισδιάστατου, ανομοιόμορφου εντατικού πεδίου λόγω της πολύπλοκης γεωμετρίας των μηχανικών μέσων επιβολής του φορτιού (κοπτικά εργαλεία). Συνεχείς μεταβολές του φορτίου συναρτήσει του χρόνου αλλά και της θέσης του κοπτικού την κάθε χρονική στιγμή. Εμφάνιση δυναμικών φαινομένων εξαιτίας της μεταβλητής επαφής μεταξύ του πετρώματος και του κοπτικού εργαλείου. Από τη μελέτη της κοπής των πετρωμάτων προέκυψαν οι θεωρίες κοπής που σκοπό έχουν την ερμηνεία του μηχανισμού της κοπής των πετρωμάτων και την πρόβλεψη των δυνάμεων και κατά συνέπεια των ενεργειακών απαιτήσεων των μηχανικών μέσων για την εξόρυξη των πετρωμάτων. Ερευνητές με παρατηρήσεις της αστοχίας των πετρωμάτων κατά την κοπή, θεωρήσεις για την μορφή του εντατικού πεδίου και χρήση κριτηρίων αντοχής των πετρωμάτων ανέπτυξαν θεωρίες κοπής για διάφορους τύπους πετρωμάτων και κοπτικών εργαλείων από τα οποία προσβάλλονται. Το κεφάλαιο αυτό έχει σαν στόχο να παρουσιάσει τις σχετικές θεωρίες κοπής. 6

23 2.2. Κοπτικά εργαλεία Τα κοπτικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται για την μηχανική εξόρυξη των πετρωμάτων μπορούν να διακριθούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: Τα κοπτικά εργαλεία συρόμενου τύπου (drag tools). Τα κοπτικά εργαλεία τύπου δίσκου (disk cutters). Η διαφορά τους, πέραν της γεωμετρίας τους, βρίσκεται στoν τρόπο προσβολής του πετρώματος και συνεπώς στον μηχανισμό αποσύνθεσης του. Στα κοπτικά εργαλεία συρόμενου τύπου η κύρια δύναμη που προκαλεί την θραύση του πετρώματος είναι η δύναμη κοπής, η οποία είναι παράλληλη στην επιφάνεια του. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.1, η κάθετη δύναμη στην επιφάνεια του πετρώματος (δύναμη ώθησης) διατηρεί το κοπτικό στο επιθυμητό βάθος κοπής. Αντίθετα στα κοπτικά εργαλεία τύπου δίσκου η κύρια δύναμη που προκαλεί την θραύση του πετρώματος είναι η δύναμη ώθησης. Σχήμα 2.1. Δυνάμεις που προκαλούν θραύση του πετρώματος για κοπτικά α) συρόμενου τύπου, β) τύπου δίσκου. (Αναγνώστου 2006) Στο Σχήμα 2.2 τα κοπτικά συρόμενου τύπου διακρίνονται στις ακόλουθες επιμέρους κατηγορίες οι οποίες προκύπτουν λόγω της μορφής του τμήματος του κοπτικού που διεισδύει και θραύει το πέτρωμα: Κοπτικά τύπου σφήνας (wedge picks) και Κοπτικά σημειακής προσβολής (point attack picks). 7

24 Σχήμα 2.2. Κοπτικά συρόμενου τύπου: a), b), c) κοπτικά τύπου σφήνας d) κοπτικό σημειακής προσβολής. (Αναγνώστου 2006) Στο Σχήμα 2.3 τα κοπτικά τύπου δίσκου διακρίνονται περαιτέρω σε: κοπτικά δίσκού (disc cutters) κοπτικά οδοντωτού δίσκου (disc rollers ή roller cutters) και κοπτικά περιστρεφόμενου τύμπανου με κομβία (button cutters). Σχήμα 2.3. Κοπτικά τύπου δίσκου: a) κοπτικό δίσκου, b) κοπτικό οδοντωτού δίσκου, c) κοπτικό περιστρεφόμενου τύμπανου με κομβία. (Αναγνώστου 2006) 8

25 Μια γενική κατηγοριοποίηση της εφαρμογής του κάθε τύπου κοπτικού εργαλείου γίνεται βάσει της αντοχής σε μονοαξονική θλίψη του πετρώματος το οποίο μπορούν με αποτελεσματικότητα να προσβάλλουν. Στον Πίνακα 2.1 φαίνεται το πεδίο χρήσης των διαφόρων κοπτικών εργαλείων. Η αποτελεσματικότητα ενός κοπτικού σχετίζεται τόσο με την απόδοσή του (ενέργεια για την εξόρυξη μονάδας όγκου πετρώματος) όσο και με τη διατήρηση των χαρακτηριστικών του (γεωμετρία, μάζα) κατά τη διάρκεια της χρήσης του. Πίνακας 2.1. Καταλληλότητα κοπτικών εργαλείων βάσει της αντοχής του πετρώματος σε μονοαξονική θλίψη. (Αναγνώστου 2006) Κοπτικό εργαλείο Αντοχή σε μονοαξονική θλίψη (MPa) Τύπου σφήνας < 20 Σημειακής προσβολής < 124 Τύπου δίσκου Τύπου δίσκου με κομβία > 240 Γενικά τα κοπτικά συρόμενου τύπου είναι αποδοτικότερα έναντι των κοπτικών τύπου δίσκου. Αυτό οφείλεται στον αποδοτικότερο μηχανισμό με τον οποίο προκαλούν αστοχία στο πέτρωμα. Σε υψηλές όμως αντοχές του πετρώματος φθείρονται ευκολότερα, χάνουν τα αρχικά τους χαρακτηριστικά που τα καθιστούν αποδοτικά και επομένως γίνονται μη αποτελεσματικά Κοπτικά εργαλεία συρόμενου τύπου. Παρόλα τα παραπάνω, τα κοπτικά συρόμενου τύπου είναι τα μόνα που ουσιαστικά κόβουν το πέτρωμα και για τα οποία αναπτύχθηκαν οι θεωρίες κοπής που θα αναφερθούν στη συνέχεια. Για το λόγο αυτό το συγκεκριμένο κεφάλαιο ασχολείται κυρίως με αυτά. Κατά την κοπή των πετρωμάτων με κοπτικά συρόμενου τύπου αναπτύσσονται κάποιες δυνάμεις και δημιουργούνται συγκεκριμένες γωνίες που φαίνονται στο Σχήμα 2.4 και εξηγούνται αναλυτικά παρακάτω: Σχήμα 2.4. Δυνάμεις και γωνίες σε κοπτικά συρόμενου τύπου. 9

26 Δύναμη κοπής F C (kn): Είναι η δύναμη την οποία ασκεί το κοπτικό παράλληλα προς τη διεύθυνση κοπής και είναι η μοναδική δύναμη η οποία παράγει έργο. Ορθή δύναμη F N (kn): Δύναμη την οποία ασκεί το κοπτικό κάθετα προς τη διεύθυνση της κοπής και αντιστοιχεί στην ώθηση που διατηρεί το κοπτικό στο επιθυμητό βάθος κοπής. Πλάγια δύναμη F S (kn): Δύναμη η οποία ασκείται στο πέτρωμα από τα πλευρικά τοιχώματα του κοπτικού και έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που σχηματίζουν οι δύο προηγούμενες δυνάμεις. Γωνία εμπρόσθιας ελευθερίας α (rad): Γωνία που σχηματίζεται από την κάθετο στη διεύθυνση της κοπής και την εμπρόσθια επιφάνεια του κοπτικού. Επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό το μέγεθος των δυνάμεων κατά την κοπή. Γωνία οπίσθιας ελευθερίας β (rad): Γωνία που σχηματίζεται από την οριζόντιο και την κάτω επιφάνεια του κοπτικού. Σκοπός της είναι να μην τρίβεται η κάτω επιφάνεια του κοπτικού με το πέτρωμα. Γωνία υπερεκσκαφής ω (rad): Γωνία που σχηματίζεται από την πλευρική επιφάνεια του κοπτικού και την επιφάνεια υπερεκσκαφής του πετρώματος. Κατά τη χρήση κοπτικών άκρων συρόμενου τύπου ο κυρίαρχος μηχανισμός θραύσης του πετρώματος θεωρείται πως είναι η ανάπτυξη εφελκυστικών τάσεων για ψαθυρά πετρώματα και η ανάπτυξη διατμητικών τάσεων για πετρώματα με πιο πλαστική συμπεριφορά. Στην πράξη και οι δύο μηχανισμοί λειτουργούν ταυτόχρονα σε μια σύνθετη διεργασία Συμπεριφορά του πετρώματος στην κοπή Όπως αναφέρθηκε παραπάνω κατά την κοπή των πετρωμάτων εμφανίζονται κυρίως δύο είδη αστοχίας: α) η πλαστική διαρροή, και β) η ψαθυρή αστοχία. Ωστόσο πολλές φορές δεν υπάρχουν σαφή όρια ανάμεσα στις δύο παραπάνω καταστάσεις και είναι δυνατό να παρατηρείται κάποιος συνδυασμός τους που καθιστά δύσκολη τη διάκρισή τους. Στο Σχήμα 2.5 φαίνονται τα δύο είδη αστοχίας. 10

27 Σχήμα 2.5. Συμπεριφορά του πετρώματος στην κοπή κατα Deketh et al, 1998 (Αναγνώστου 2006) Κατά την πλαστική διαρροή η μάζα που αστοχεί (απόκομμα) απομακρύνεται με ομοιογένεια, συνδεδεμένη με την μάζα που αμέσως πριν και μετά αστοχεί και σε συνεχή επαφή με το κοπτικό. Αντίθετα κατά την ψαθυρή αστοχία η μάζα θραύεται ασυνεχώς και θραύσματα υλικού (chips) απομακρύνονται γρήγορα, ακόμα και βίαια από το κοπτικό. Πλαστική διαρροή εμφανίζεται κατά την κοπή πλαστικών, μετάλλων και ορισμένων πετρωμάτων και ειδικά των μη συνεκτικών κοκκωδών μαζών των οποίων η αστοχία εξηγείται από την θεωρία της διατμητικής θραύσης (Coulomb). Τα υλικά αυτά αστοχούν σε διάτμηση βάσει εμπειρικών κριτηρίων (Mohr-Coulomb) και μπορούν γενικά να χαρακτηριστούν ως πλαστικά. Τα περισσότερα πετρώματα εμφανίζουν κατά την κοπή τους ψαθυρή αστοχία. Η αστοχία γενικά των πετρωμάτων εξηγείται από τη θεωρία της ψαθυρής θραύσης του Griffith λόγω υπέρβασης της αντοχής τους σε εφελκυσμό. Η αντοχή τους υπολογίζεται από εμπειρικά κριτήρια (Hoek-Brown, Johnston, Mohr-Coulomb) και μπορούν γενικά να χαρακτηριστούν ως ψαθυρά. Η συμπεριφορά ενός πετρώματος στην κοπή θα μπορούσε να προβλεφθεί γνωρίζοντας πόσο ψαθυρό ή πλαστικό είναι. Όπως φαίνεται ακολούθως στο Σχήμα 2.6 όσο περισσότερο ψαθυρό είναι ένα πέτρωμα τόσο μεγαλύτερες διακυμάνσεις παρατηρούνται στο μέγεθος της δύναμης κοπής συναρτήσει του χρόνου. Οι διακυμάνσεις αυτές γίνονται αντιληπτές ως δονήσεις του μηχανικού μέσου εξόρυξης. 11

28 Σχήμα 2.6. Διακύμανση της δύναμης κοπής συναρτήσει του χρόνου για a) πολύ πλαστικό b) πλαστικό c) ψαθυρό d) πολύ ψαθυρό πέτρωμα, (Παναγιώτου, 2003) 2.4. Θεωρίες κοπής Τρεις θεωρίες κοπής, αυτές των Merchant (1948), Evans (1962) και Nishimatsu (1972), χρησιμοποιούνται για την ερμηνεία του μηχανισμού της κοπής των πετρωμάτων με κοπτικά εργαλεία συρόμενου τύπου (drag picks) και συσχετίζουν την απόδοση των κοπτικών με την αντοχή του προς εξόρυξη πετρώματος. Για τα μοντέλα κοπής που συζητούνται σε αυτό το κεφάλαιο, γίνονται οι ακόλουθες παραδοχές: Το πλάτος του κοπτικού εργαλείου είναι πολύ μεγαλύτερο από το βάθος κοπής (Β >> d), άρα οι θεωρίες κοπής είναι δισδιάστατες. Ισχύουν συνθήκες επίπεδης τάσης (plain stress). 12

29 Θεωρία κοπής Merchant. Η ημιεμπειρική θεωρία του Merchant αναπτύχθηκε με σκοπό να δοθεί μια αναλυτική προσέγγιση και περιγραφή των βασικών σχέσεων των δυνάμεων καθώς και της γεωμετρίας του σχηματιζόμενου αποκόμματος κατά τη διαδικασία κοπής μετάλλων στη μηχανουργική μορφοποίησή τους (Merchant, 1944). Αν και η συγκεκριμένη θεωρία είχε αρχικά προταθεί για την κοπή μετάλλων, που έχουν πλαστική συμπεριφορά και θεωρεί ως δεδομένη την πλαστική διαρροή ως μηχανισμό αστοχίας, κάποιοι συγγραφείς συνέκριναν τα αποτελέσματα των πειραμάτων τους με τη θεωρία και παρατήρησαν ότι συμφωνούν και για πετρώματα, δηλαδή για ψαθυρά υλικά, και πιο συγκεκριμένα για κάποια είδη γαιάνθρακα και κρητιδικού ασβεστόλιθου, τα οποία εντούτοις εμφανίζουν σε κάποιο βαθμό πλαστική συμπεριφορά. Στη θεωρία του Merchant χρησιμοποιείται κοπτικό εργαλείο μορφής σφήνας. Το κοπτικό έχει επίπεδη επιφάνεια με ενιαία ευθεία κοπτική ακμή, και είναι τοποθετημένο έτσι ώστε η κοπτική ακμή να είναι κάθετη προς τη διεύθυνση της σχετικής κίνησης του εργαλείου καθώς αυτό κόβει το τεμάχιο του πετρώματος. Δημιουργείται συνεπώς μια νέα επίπεδη επιφάνεια πετρώματος παράλληλη ως προς την αρχική επίπεδη επιφάνεια του δοκιμίου - τεμαχίου. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα των δυνάμεων θεωρείται ότι είναι δύο διαστάσεων. Αυτό το είδος κοπής χαρακτηρίζεται με τον όρο "ορθογωνική κοπή". Το βάθος κοπής είναι πολύ μικρό σε σύγκριση με το πλάτος του κοπτικού εργαλείου και συνεπώς μπορεί να θεωρηθεί ότι ισχύουν συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης. Σύμφωνα με τον Μerchant κατά την κοπή σχηματίζεται ένα συνεχές απόκομμα, δηλαδή ένας ενιαίος όγκος σε ισορροπία υπό τη δράση των δυνάμεων της κοπής και της αντίδρασης. Αυτό το συνεχές απόκομμα σχηματίζεται λόγω της αστοχίας σε διάτμηση που θεωρείται ότι λαμβάνει χώρα και η οποία περιορίζεται κυρίως σε ένα μόνο επίπεδο το οποίο εκτείνεται από το άκρο του κοπτικού ως την επιφάνεια του δοκιμίου. Το κοπτικό μεταβιβάζει το σύνολο της δύναμης μέσω της διεπιφάνειας κοπτικού αποκόμματος. Συνεπώς δεν υπάρχει συγκέντρωση τάσεων στην αιχμή του κοπτικού που θα μπορούσε να οδηγήσει σε εκδήλωση ζώνης σύνθλιψης. Η παραπάνω διαδικασία απεικονίζεται στο Σχήμα 2.7 όπου φαίνεται 13

30 φωτομικρογραφία του αποκόμματος που σχηματίζεται κατά τη διαδικασία κοπής μετάλλου με κοπτικό εργαλείο τύπου σφήνας. Σχήμα 2.7. Φωτομικρογραφία της γεωμετρίας του σχηματιζόμενου αποκόμματος όπου είναι εμφανές το επίπεδο της αστοχίας σε διάτμηση. Στο Σχήμα 2.8 παρουσιάζεται το μοντέλο κοπής του πετρώματος σύμφωνα με τη θεωρία του Merchant. Σχήμα 2.8. Σχηματική αναπαράσταση της γεωμετρίας του σχηματιζόμενου αποκόμματος και των δυνάμεων που αναπτύσσονται κατά την κοπή σύμφωνα με τη θεωρία του Merchant (Vlasblom, 2007). 14

31 Επικρατεί ισορροπία των δυνάμεων άρα σύμφωνα με το παραπάνω Σχήμα 2.8 ισχύει: sin F sin (2.1) d sin F cos d (2.2) Τη στιγμή της αστοχίας: όπου σ = ορθή τάση τ = διατμητική τάση F = συνισταμένη δύναμη τ 0 = συνοχή του πετρώματος tan (2.3) 0 α = γωνία πρόσθιας ελευθερίας θ = γωνία του επιπέδου αστοχίας (διάτμησης) φ = γωνία της συνολικής δύναμης F με την κάθετο στη διεπιφάνεια κοπτικού θραύσματος. γ = γωνία εσωτερικής τριβής του πετρώματος. Συνεπώς: sin tan 0 F sin d sin d tan cos 0 F ή d cos 0 F sin cos sin sin cos cos F cos (2.4) (2.5) Θεωρείται ότι η γωνία θ μπορεί να προσδιοριστεί ελαχιστοποιώντας τη δύναμη F έτσι df ώστε να ισχύει: 0 d Οπότε αυτό έχει σαν αποτέλεσμα: df d cos d 0 cos cos d 0 cos sin 2 cos sin sin 2 2 sin cos 2 cos 2 (2.6) 15

32 16 Ισχύει 0 d df για: cos (2.7) Η συνισταμένη δύναμη F ανά μονάδα πλάτους δίνεται από τη σχέση: cos cos sin 0 d F (2.8) Επιπλέον ισχύει: 2 1 sin 2 1 cos sin 4 cos 2 1 cos 4 sin sin (2.9) και: 2 1 sin 2 1 cos sin 4 sin 2 1 cos 4 cos cos (2.10) Άρα: sin 1 cos sin 2 1 cos cos d d F (2.11) Οπότε η οριζόντια δύναμη κοπής Fc δίνεται από τη σχέση: sin 1 cos cos 2 0 d F P c (2.12) Και η Ορθή Δύναμη Fn: sin 1 sin cos 2 0 d F Q n (2.13) Ο λόγος μεταξύ των δύο αυτών δυνάμεων είναι: cot Q P (2.14)

33 Επειδή η γωνία φ είναι επίσης άγνωστη, ο Merchant έλυσε αυτό το πρόβλημα υπολογίζοντας τη φ με δοκιμές. Η σχέση (2.7) καθορίζει το αν η αστοχία είναι σε διάτμηση ή σε εφελκυσμό. Με αντικατάσταση της σχέσης (2.7) στη σχέση (2.1) προκύπτει: F d 1 sin sin 1 2 (2.15) Ισχύει 2d 0 cos F 0 οπότε εφελκυστική αστοχία μπορεί να συμβεί μόνο 1 sin όταν: sin sin 0, ή cos cos cos cos Οπότε a 0 4 Συνεπώς εφελκυστική αστοχία (σ < 0) συμβαίνει όταν (2.16) 17

34 Θεωρία κοπής Evans. Η πρώτη θεωρία κοπής η οποία αναπτύχθηκε αποκλειστικά για πετρώματα είναι η θεωρία κοπής του Evans. Ο Evans (1962) πρότεινε ένα μοντέλο κοπής βασιζόμενος σε παρατηρήσεις κοπής άνθρακα με κοπτικά εργαλεία τύπου σφήνας. Ο ρυθμός διείσδυσης του κοπτικού ήταν πολύ αργός και καθ όλη τη διάρκεια της κοπής λαμβάνονταν φωτογραφίες ανά σταθερά χρονικά διαστήματα. Σύμφωνα με τις παρατηρήσεις, αν και είναι εμφανής η σύνθλιψη του πετρώματος στην επαφή του με την επιφάνεια της σφήνας, ωστόσο το πιo ενδιαφέρον χαρακτηριστικό κατά την κοπή είναι μια επιμήκης ρωγμή που εκτείνεται από το άκρο της σφήνας και προχωράει ως την ελεύθερη επιφάνεια του πετρώματος (Hood and Roxborough, 1992). Η κατεύθυνση της θραύσης ήταν ακόμη πιο εμφανής όταν η διεύθυνση της σφήνας ήταν παράλληλη ως προς την ελεύθερη επιφάνεια του δοκιμίου, και σε κάποια απόσταση από αυτήν, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.9. Αυτό θεωρήθηκε ότι αποτελεί μια πιο αντιπροσωπευτική κατάσταση των πραγματικών συνθηκών της κοπής. Η κύρια, και συχνά η μόνη ρωγμή της αστοχίας εμφανίζεται ως ένα καμπύλο τόξο κύκλου που ξεκινά από το άκρο του κοπτικού εργαλείου και καταλήγει στην ελεύθερη επιφάνεια του δοκιμίου του άνθρακα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το σχηματισμό ενός μεγάλου αποκόμματος. O Evans υποστήριξε ότι αυτής της μορφής η αστοχία οφείλεται ουσιαστικά σε εφελκυσμό. Κατά τον Roxborough οι τιμές των δυνάμεων που προβλέπει το μοντέλο του Evans προσεγγίζουν πολύ καλά τις πραγματικές όταν η αστοχία του πετρώματος οφείλεται σε εφελκυσμό. Επίσης η θεωρία του Evans έχει αποδειχθεί πιο κατάλληλη για πετρώματα όπως ασβεστόλιθοι ή ψαμμίτες παρά για τον άνθρακα για τον οποίο αναπτύχθηκε. Σχήμα 2.9. Παρατηρήσεις σχηματισμού θραυσμάτων σε δοκίμια άνθρακα από τον Evans.Tο κοπτικό διεισδύει παράλληλα ως προς την ελεύθερη επιφάνεια του δοκιμίου. 18

35 Στο Σχήμα 2.10 παρουσιάζεται το μοντέλο κοπής του πετρώματος σύμφωνα με τη θεωρία του Evans. Σχήμα Σχηματική αναπαράσταση των δυνάμεων που αναπτύσσονται κατά την κοπή σύμφωνα με τη θεωρία του Evans (Vlasblom, 2007). Βασικά στοιχεία είναι τα εξής: Μια δύναμη R δρα υπό γωνία φ σε σχέση με την κάθετη στην επιφάνεια της σφήνας (τμήμα AC), όπου φ = γωνία τριβής μεταξύ κοπτικού πετρώματος. Η συνισταμένη εφελκυστική δύναμη T έχει διεύθυνση τη μεσοκάθετο της χορδής CD. Μια τρίτη δύναμη S απαιτείται για να διατηρείται ισορροπία δυνάμεων. Η διείσδυση της σφήνας είναι μικρή σε σχέση με το βάθος κοπής d. H σφήνα που διεισδύει τείνει να διασπάσει το πέτρωμα και να το περιστρέψει γύρω από το σημείο D. Συνεπώς θεωρείται ότι η δύναμη S δρα μέσω αυτού του σημείου. Κατά μήκος της ρωγμής θεωρείται ότι ισχύουν συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης και οι δυνάμεις λαμβάνονται ανά μονάδα πλάτους της σφήνας. Η δύναμη λόγω της αντοχής σε εφελκυσμό του πετρώματος δίνεται από τη σχέση: T r a a cosd 2 rsin (2.17) 19

36 Όπου rdω είναι τμήμα του τόξου CD που σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα συμμετρίας του τόξου. Έστω d το βάθος κοπής και με την παραδοχή ότι η διείσδυση της σφήνας δεν λαμβάνεται υπόψη σε σχέση με το d. Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη R ασκείται κοντά στο σημείο C. Λαμβάνοντας ροπές γύρω από το σημείο D ισχύει: Λόγω γεωμετρίας ισχύει: Επομένως: d R cos sin a r sin (2.18) d r sin (2.19) 2sin t d R (2.20) 2sin acos Η οριζόντια συνιστώσα της R είναι Rsin(θ+φ) και λόγω της συμμετρίας των δυνάμεων που ασκούνται στη σφήνα, η συνολική δύναμη κοπής δίνεται από τη σχέση: d tsin(θ φ) Fc 2Rsin(θ φ) (2.21) sin acos Η ορθή δύναμη (κάθετη στη δύναμη κοπής) ανά πλευρά της σφήνας δίνεται από τη σχέση: d tcos(θ φ) Fn Rcos(θ φ) (2.22) sin acos Η παραδοχή που γίνεται είναι ότι η γωνία α ορίζεται έτσι ώστε η Fc να είναι η df ελάχιστη, δηλαδή: c 0. Συνεπώς: da sin asin 0 cos2 0 cosa cos (2.23) Που έχει σαν αποτέλεσμα: ή 1 a sin a cos sin cos sin sin (2.24) Άρα η συνολική δύναμη κοπής δίνεται από τη σχέση: 20

37 F c 2d tsin(θ φ) 1sin(θ φ) (2.25) και η ορθή δύναμη για την εκάστοτε πλευρά της σφήνας είναι: F n d tcos(θ φ) Rcos(θ φ) (2.26) 1 sin(θ φ) Ωστόσο η συνολική ορθή δύναμη είναι μηδέν λόγω συμμετρίας. Εάν η τριβή μεταξύ κοπτικού πετρώματος είναι μηδέν (φ = 0) τότε η δύναμη κοπής είναι: 2d tsin Fc 1 sin θ θ (2.27) και F n = 0. Πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι δυνάμεις είναι ανά μονάδα πλάτους του κοπτικού εργαλείου Θεωρία Evans για κοπτικά εργαλεία ασύμμετρης προσβολής. Όλοι οι παραπάνω υπολογισμοί και η θεωρία αφορούν κοπτικά εργαλεία συμμετρικής σφήνας οι οποίες δεν παρατηρούνται συχνά στην πράξη. Οπότε το παραπάνω μοντέλο προσαρμόστηκε από τον Evans και για κοπτικά εργαλεία που προσβάλλουν ασύμμετρα το πέτρωμα όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα Μοντέλο κοπής για κοπτικά εργαλεία ασύμμετρης προσβολής του πετρώματος (chisel picks). (Bilgin, 1977). Στην περίπτωση αυτή η δύναμη κοπής προκύπτει από την ακόλουθη σχέση: 21

38 F c 1 2d tsin a sin a 2 2 (2.28) Όπου α = γωνία κοπτικού όπως καθορίζεται στο Σχήμα Θεωρία Evans για αμβλείες σφήνες. Στην πράξη, οι αιχμηρές σφήνες αναπόφευκτα αμβλύνονται σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό από τη χρήση, ακόμη και όταν αποτελούνται από πολύ ανθεκτικά υλικά, όπως το καρβίδιο του βολφραμίου ή ακόμη και κατά την κοπή ελάχιστα φθοροποιών πετρωμάτων. Η αμβλεία επιφάνεια του κοπτικού ασκεί θλιπτική τάση στο πέτρωμα, το οποίο αντιστέκεται στη διείσδυση, αυξάνοντας έτσι την δύναμη που απαιτείται ώστε να εκδηλωθεί εφελκυστική αστοχία. Κάποιες αρχικές θεωρητικές εξηγήσεις αναφορικά με την επίδραση της άμβλυνσης στις δυνάμεις που απαιτούνται από τα κοπτικά εργαλεία συρόμενου τύπου για να κόψουν το πέτρωμα δόθηκαν από τους Dalziel και Davies. Ο Evans (1965) χρησιμοποίησε τη θεωρία των παραπάνω και προσάρμοσε το δικό του μοντέλο ώστε να λαμβάνει υπόψη τις αμβλείες σφήνες. Έτσι προέκυψε το μοντέλο κοπής που παρουσιάζεται στο Σχήμα Σχήμα Εφελκυστική αστοχία δοκιμίου πετρώματος με τη χρήση αμβλείας σφήνας. 22

39 Γίνεται η θεώρηση μιας αμβλείας σφήνας με γωνία 2θ, και πλάτος άμβλυνσης 2b, με το επίπεδο άμβλυνσης κάθετο στον άξονα της σφήνας, όπως δείχνει το Σχήμα Η θλιπτική δύναμη που απαιτείται ώστε να αναπτυχθεί η εφελκυστική ρωγμή της αστοχίας είναι ανάλογη με (2b) m, όπου m είναι μια παράμετρος η τιμή της οποίας θα δοθεί παρακάτω. Η δύναμη κοπής P δίνεται από τη σχέση: Όπου: P 2td sin 2 2sin cos m m1 q b sin asin 1 t d cos (2.29) q = θλιπτική τάση που απαιτείται ώστε να αναπτυχθεί η εφελκυστική ρωγμή της αστοχίας. t = εφελκυστική τάση. φ = γωνία τριβής κοπτικού πετρώματος. Η τιμή της γωνίας α προκύπτει από τη σχέση: m 2a m q b 2 cos cos 1 1 cos2a t d (2.30) Η εξίσωση της δύναμης κοπής προσεγγίζει πολύ καλά τα πειραματικά αποτελέσματα των Dalziel και Davis για t q = 6,25 και m = 0,67. Ωστόσο, σε θεωρητικό επίπεδο θα έπρεπε να ισχύουν m = 0,5 και t q = Θεωρία Evans για κοπτικά σημειακής προσβολής. Ο Evans (1984) πρότεινε ένα μοντέλο κοπής με κοπτικά εργαλεία σημειακής προσβολής. Ως κοπτικά σημειακής προσβολής ορίζονται τα κοπτικά εργαλεία το σώμα των οποίων, που έχει συνήθως κυκλική διατομή, καταλήγει σε κώνο. Κατά τη διαδικασία της κοπής το κοπτικό εργαλείο ωθείται στο πέτρωμα και η ακολουθία της θραύσης πραγματοποιείται στην κωνική κεφαλή όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα

40 Σχήμα (i) Κοπή πετρώματος με κοπτικό σημειακής προσβολής.(ii) ανάπτυξη ακτινικών θλιπτικών και εφαπτομενικών εφελκυστικών τάσεων στη διεπιφάνεια κοπτικού πετρώματος.(iii) Δημιουργία εφελκυστικής ρωγμής αστοχίας. Στο πέτρωμα γύρω από το κοπτικό αναπτύσσονται ακτινικές θλιπτικές τάσεις οι οποίες συνοδεύονται από εφαπτομενικές εφελκυστικές τάσεις (Σχήμα 2.13ii). Οι τελευταίες προκαλούν το άνοιγμα ρωγμών στη διεπιφάνεια μεταξύ του κοπτικού και του πετρώματος (Σχήμα 2.13iii) όταν η ασκούμενη τάση είναι μεγαλύτερη από την εφελκυστική αντοχή του πετρώματος. Κρίνοντας από την κατεύθυνση της θραύσης, μια κύρια ρωγμή διαδίδεται στο πέτρωμα από τα δύο μέρη του κοπτικού με γωνία φ ως την άνω ελεύθερη επιφάνεια (Σχήμα 2.13ii). Η γωνία φ υπολογίζεται θεωρώντας ότι για το μισό τμήμα του σχηματιζόμενου θραύσματος ισχύει ισορροπία τριών δυνάμεων. Η γωνία φ κατά την οποία πραγματοποιείται η θραύση θεωρείται ότι έχει τέτοια τιμή ώστε να ελαχιστοποιείται η ακτινική μετατόπιση που προκαλείται από τη δράση της ακτινικής θλιπτικής τάσης q. Συνεπώς από υπολογισμούς προέκυψε ότι φ = 60 ο η οποία συμπίπτει και με τα πραγματικά δεδομένα. Τέλος ο Evans πρότεινε ότι στην περίπτωση αυτή η δύναμη κοπής που ασκείται από το κωνικό κοπτικό προκύπτει από την ακόλουθη σχέση: 16 Fc Pc 2 cos t u td 2 (2.31) Όπου: θ = ήμισυ γωνίας κοπτικού t = εφελκυστική αντοχή πετρώματος u = θλιπτική αντοχή πετρώματος d = βάθος κοπής 24

41 Θεωρία κοπής Nishimatsu. Ο Nishimatsu (1971) πρότεινε ένα μηχανισμό κοπής πετρωμάτων σύμφωνα με τον οποίο κατά τη διάρκεια της κοπής παρατηρούνται ευρείες διακυμάνσεις της δύναμης κοπής σε συνδυασμό με μια κυκλική διαδικασία ασυνεχούς σχηματισμού θραυσμάτων χωρίς την εμφάνιση πλαστικής παραμόρφωσης. Αυτός ο μηχανισμός των διακριτών σταδίων φόρτισης και αστοχίας του πετρώματος παρουσιάζεται στο Σχήμα Σχήμα Μηχανισμός κοπής του πετρώματος κατά Nishimatsu. (Νishimatsu, 1971) Καθώς το κοπτικό εργαλείο ωθείται στο πέτρωμα δημιουργείται αρχικά μια ζώνη σύνθλιψης πλησίον της αιχμής του κοπτικού. Με την περαιτέρω διείσδυση αυτή η ζώνη επανασυμπιέζεται και συσσωματώνεται στο κοπτικό. Συνεπώς σχηματίζεται μια «ζώνη πρωτογενούς σύνθλιψης» (Ζώνη α στο Σχήμα 2.14). Όσο βαθύτερη η διείσδυση της αιχμής του κοπτικού τόσο αυξάνεται η δύναμη κοπής μέχρι τη στιγμή δημιουργίας μιας μακροσκοπικής εφελκυστικής ρωγμής η οποία προκαλεί το σχηματισμό αδρομερούς θραύσματος (coarse chip). Η μακροσκοπική ρωγμή ξεκινά από το σημείο Α του Σχήματος Μετά το σχηματισμό του αδρομερούς θραύσματος, καθώς το κοπτικό προωθείται συμβαίνει δευτερογενής σύνθλιψη η οποία οδηγεί στη δημιουργία λεπτομερών θραυσμάτων (fine chip) στη Ζώνη β του Σχήματος 2.14 που ονομάζεται «ζώνη δευτερογενούς σύνθλιψης». Στο επόμενο βήμα της διαδικασίας κοπής το κοπτικό προχωρά στην «ζώνη υπερεκσκαφής», δηλαδή τη Ζώνη c του Σχήματος 2.14 όπου πρακτικά συναντάει μηδενική αντίσταση. Στη συνέχεια το κοπτικό προχωρά επαναλαμβάνοντας αυτή την κυκλική διαδικασία που αναφέρθηκε στο επόμενο τμήμα του πετρώματος όπως δείχνει το Σχήμα

42 Σε αυτή την κυκλική διαδικασία κοπής του πετρώματος, η δύναμη κοπής αυξάνεται με το βάθος διείσδυσης του κοπτικού έως μια μέγιστη τιμή τη στιγμή δημιουργίας της μακροσκοπικής εφελκυστικής ρωγμής, και αμέσως έπειτα μειώνεται απότομα. Στο Σχήμα 2.15 δίνεται το μοντέλο κοπής του πετρώματος και οι δυνάμεις που αναπτύσσονται. Σχήμα Σχηματική αναπαράσταση των δυνάμεων που αναπτύσσονται κατά την κοπή σύμφωνα με τη θεωρία του Nishimatsu (Vlasblom, 2007). Ο Nishimatsu θεωρεί ότι η συνισταμένη τάση P η οποία ασκείται επί μοναδιαίου πλάτους της γραμμής αστοχίας ΑΒ είναι σταθερή σε μέγεθος και διεύθυνση και δίνεται από τη σχέση: n d p p (2.32) 0 sin Όπου: p 0 = σταθερά που προκύπτει από τη ισορροπία των δυνάμεων λ = Απόσταση τυχαίου σημείου που βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ από το Α. n = συντελεστής κατανομής των τάσεων, δηλαδή μια σταθερά που σχετίζεται με τις αναπτυσσόμενες τάσεις κατά τη διαδικασία κοπής του πετρώματος. Έχουν γίνει οι ακόλουθες παραδοχές: Το πέτρωμα έχει ψαθυρή συμπεριφορά κατά την κοπή, χωρίς εμφάνιση πλαστικής παραμόρφωσης όπως έχει προαναφερθεί. Ισχύουν συνθήκες επίπεδης τάσης. Η αστοχία ακολουθεί ένα γραμμικό κριτήριο αστοχίας Mohr. H ταχύτητα κοπής δεν παίζει κανένα ρόλο στη διαδικασία. 26

43 Tο Σχήμα 2.16 δείχνει την κατανομή των τάσεων, δηλαδή το λόγο p/p 0, κατά μήκος του επιπέδου αστοχίας (ΑΒ) για διάφορες τιμές του εκθέτη n. Σχήμα Κατανομή των τάσεων κατά μήκος του επιπέδου αστοχίας για διάφορες τιμές του εκθέτη n (Vlasblom, 2007). Το ολοκλήρωμα της συνισταμένης τάσης P θα πρέπει να βρίσκεται σε ισορροπία με την συνισταμένη δύναμη F. Συνεπώς ισχύει: F p 0 d sin 0 d sin n d (2.33) Ή F ή p 0 p0 d n 1 sin d n 1 sin n1 n1 Από τις σχέσεις (2.35) και (2.32) με αντικατάσταση προκύπτει: p d sin F n F (2.34) (2.35) 1 (2.36) Η μέγιστη κάθετη τάση (σ) και διατμητική τάση (τ) σημειώνονται όταν λ = 0 και είναι: d n (2.37) sin 1 F sin( ) d n 1 F cos( ) (2.38) sin 27

44 Συνεπώς προκύπτουν οι εξής γενικές εξισώσεις για τις δυνάμεις: 2 2d 0 cos F (2.39) n 1 1sin 2 2d 0 cos cos( ) P Fc (2.40) n 1 1sin 2 2d 0 cos sin( ) Q Fn (2.41) n 1 1sin Στο διάγραμμα του Σχήματος 2.17 φαίνεται το πώς κατανέμονται οι τιμές των δυνάμεων P και Q συναρτήσει της μεταβολής της γωνίας εσωτερικής τριβής του πετρώματος. Σχήμα Τιμή των δυνάμεων P και Q συναρτήσει της γωνίας εσωτερικής τριβής (Vlasblom, 2007). Σε ένα συγκεκριμένο τύπο πετρώματος, η τιμή του n εξαρτάται από την τιμή της γωνίας εμπρόσθιας ελευθερίας του κοπτικού. Για πολύ μικρές γωνίες η εφελκυστική αστοχία μπορεί να δώσει τη θέση της σε εμφάνιση διατμητικής αστοχίας το οποίο παρατηρήθηκε και από άλλους ερευνητές. Από πειραματικά αποτελέσματα όπως δείχνει και το Σχήμα 2.18 (Nishimatsu, 1971) προκύπτει ότι: n a (2.42) όπου α = γωνία εμπρόσθιας ελευθερίας κοπτικού. 28

45 Σχήμα Επίδραση της γωνίας εμπρόσθιας ελευθερίας του κοπτικού στο συντελεστή κατανομής των τάσεων n (Nishimatsu, 1971). 29

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙΔΙΩΝ - WAVELETS 30

47 3.1. Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός κυματιδίου, σύντομα γράφεται ως WT από τον αγγλικό του όρο wavelet transform. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμος στην ανάλυση σημάτων που χαρακτηρίζονται ως απεριοδικά, ασυνεχή, μεταβατικά, με απότομες αλλαγές και θόρυβο. Η ικανότητά του να εξετάζει το σήμα ταυτόχρονα στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας -σε αντίθεση με το μετασχηματισμό Fourier- είχαν ως αποτέλεσμα τη δημιουργία πολλών εξελιγμένων μεθόδων βασισμένων στα κυματίδια. Σήμερα ο WT έχει εφαρμογές σε πάρα πολλούς τομείς και βοηθάει στην ανάλυση πλείστων φυσικών φαινομένων με μεγάλη επιτυχία. Έτσι κάποια παραδείγματα αποτελούν η ανάλυση κλιματικών φαινομένων, οικονομικών μεγεθών, καρδιολογικών σημάτων, μηχανικών διατάξεων, η αποθορυβοποίηση σεισμικών και αστρονομικών σημάτων, η συμπίεση βίντεο και πολλά άλλα Ο μετασχηματισμός Κυματιδίου Wavelet Transform (WT) Η ανάλυση WT χρησιμοποιεί μικρές κυματοειδείς συναρτήσεις γνωστές ως κυματίδια. Το Σχήμα 3.1.α δείχνει μερικά παραδείγματα κάποιων κοινών κυματιδίων που χρησιμοποιούνται στην πράξη. Τα κυματίδια μετασχηματίζουν το υπό ανάλυση σήμα με τέτοιο τρόπο ώστε να παρουσιάζει την πληροφορία με μια πιο χρήσιμη μορφή. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι γνωστός ως μετασχηματισμός κυματιδίου (WT). Μιλώντας με μαθηματικούς όρους, ο WT αποτελεί ουσιαστικά τη συνέλιξη του κυματιδίου με το σήμα. Ένα κυματίδιο μπορεί να μεταλλαχθεί με δύο τρόπους. Πρώτον μπορεί να μετατοπιστεί σε διάφορες θέσεις του σήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.1.b, και δεύτερον μπορεί να απλωθεί ή να συμπιεστεί αλλάζοντας την κλίμακά του, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.1.c. 31

48 Σχήμα 3.1. α) Κάποια κυματίδια β) Αλλαγή θέσης γ) Αλλαγή κλίμακας. (Addison, 2002) Το Σχήμα 3.2 αποτελεί μια σχηματική αναπαράσταση του WT, ο οποίος βασικά υπολογίζει την τοπική ομοιότητα του κυματιδίου με το σήμα. Αν το κυματίδιο ταιριάζει αρκετά με το σχήμα του σήματος σε συγκεκριμένη κλίμακα και θέση, όπως συμβαίνει στην πρώτη απεικόνιση του Σχήματος 3.2, τότε λαμβάνεται μια μεγάλη τιμή μετασχηματισμού. Αντίθετα, αν το κυματίδιο και το σήμα δε συσχετίζονται ικανοποιητικά, τότε λαμβάνεται μια χαμηλή τιμή μετασχηματισμού. Κατόπιν, η τιμή του μετασχηματισμού τοποθετείται σε ένα δισδιάστατο πεδίο μετασχηματισμού, όπως φαίνεται στη δεύτερη απεικόνιση του Σχήματος 3.2 (μαύρη κουκκίδα). Ο μετασχηματισμός υπολογίζεται σε διάφορες θέσεις του σήματος και για διάφορες κλίμακες του κυματιδίου, συμπληρώνοντας έτσι το πεδίο μετασχηματισμού. Αυτό μπορεί να γίνει είτε συνεχώς, οπότε έχουμε συνεχή μετασχηματισμό κυματιδίου (continuous wavelet transform - CWT), είτε με διακριτά βήματα, οπότε έχουμε διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου (discrete wavelet transform - DWT). Σχεδιάζοντας τον WT καθίσταται δυνατή η συσχέτιση του κυματιδίου και του 32

49 σήματος, σε διάφορες κλίμακες και σημεία. Παρακάτω ο WT παρουσιάζεται και από μαθηματική σκοπιά. Σχήμα 3.2. Το κυματίδιο, το σήμα και ο μετασχηματισμός. Τονίζεται ότι αν και το αντικείμενο των κυματιδίων παρουσιάζεται εκτενώς, δίνεται έμφαση στα σημεία που ορίζονται από τις ανάγκες της συγκεκριμένης εργασίας. Για μια ολοκληρωμένη παρουσίαση των κυματιδίων ο αναγνώστης παραπέμπεται στη βιβλιογραφία και ειδικά στο βιβλίο του Paul Addison (2002). 33

50 3.3. Συνεχής Mετασχηματισμός Kυματιδίου Το Kυματίδιο Ο μετασχηματισμός κυματιδίου είναι μια μέθοδος μετατροπής μιας συνάρτησης (ή ενός σήματος) σε μια άλλη μορφή, η οποία είτε καθιστά κάποια συγκεκριμένα χαρακτηριστικά του αρχικού σήματος πιο ευδιάκριτα προς μελέτη, είτε επιτρέπει να περιγραφεί το αρχικό πακέτο δεδομένων πιο περιεκτικά. Για να εκτελεστεί ένας WT χρειάζεται ένα κυματίδιο, το οποίο ουσιαστικά αποτελεί μία συνάρτηση ψ(t) που ικανοποιεί συγκεκριμένα μαθηματικά κριτήρια. Όπως φαίνεται το κυματίδιο εξαρτάται από το χρόνο, όπως και τα σήματα των καταγραφών των δυνάμεων κοπής πετρωμάτων αυτής της εργασίας. Παρόλα αυτά πολλές εφαρμογές των κυματιδίων έχουν ως ανεξάρτητη μεταβλητή το χώρο παρά το χρόνο. Το Σχήμα 3.3 δείχνει κάποια συχνά χρησιμοποιούμενα κυματίδια. Έχουν τη μορφή μικρών κυμάτων τοποθετημένων στον άξονα του χρόνου. Στην πράξη υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός κυματιδίων που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση των δεδομένων. Η καλύτερη επιλογή για μια συγκεκριμένη εφαρμογή εξαρτάται από τη φύση του σήματος και τους στόχους της ανάλυσης. Σχήμα 3.3. Διάφορα κυματίδια α) κυματίδιο Gaussian β) Mexican hat γ) Haar δ) Morlet (πραγματικό μέρος) Το κεφάλαιο θα επικεντρωθεί σε ένα συγκεκριμένο κυματίδιο, το Mexican hat, το οποίο διευκρινίζει πολύ καθαρά αρκετές από τις ιδιότητες του CWT. Το Mexican hat απεικονίζεται στο Σχήμα 3.4 και ορίζεται από την παρακάτω συνάρτηση: 2 2 t / 2 t 1 t e (3.1) 34

51 Το κυματίδιο της παραπάνω εξίσωσης (3.1) είναι γνωστό ως μητρικό κυματίδιο (mother wavelet). Αυτή είναι η βασική μορφή του κυματιδίου από την οποία προέρχονται διάφορες παραλλαγές του που χρησιμοποιούνται στον WT. Το κυματίδιο μεταβάλλεται όπως προαναφέρθηκε με δύο τρόπους: i) διεύρυνση «τέντωμα» ή σμίκρυνση - συμπίεση (dilation) του κυματιδίου με την αλλαγή μιας παραμέτρου α και ii) μετατόπιση (translation) του κυματιδίου με την αλλαγή μιας παραμέτρου b. Παραδείγματα θα δειχθούν σε επόμενα μέρη. Σχήμα 3.4. Κυματίδιο Mexican hat και οι παράμετροι α και b Απαιτήσεις για τα Κυματίδια Μια συνάρτηση για να θεωρείται κυματίδιο πρέπει να ικανοποιεί συγκεκριμένα μαθηματικά κριτήρια. Αυτά είναι: 1. Ένα κυματίδιο πρέπει να έχει πεπερασμένη ενέργεια: 2 E ( t) dt (3.2) Όπου Ε είναι η ενέργεια της συνάρτησης και το σύμβολο ψ(t) αντιπροσωπεύει το μέγεθος της ψ(t). 2. Αν ( f ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ψ(t), δηλαδή: i (2f ) t ( f ) ( t) e dt (3.3) 35

52 τότε πρέπει να ισχύει η παρακάτω σχέση: ( f f C g 0 2 ) df (3.4) Αυτό σημαίνει ότι το κυματίδιο έχει μηδενική τιμή για συχνότητα μηδενική ( (0) =0), ή πιο απλά ότι το κυματίδιο έχει μέση τιμή μηδέν. Η εξίσωση (3.4) είναι γνωστή ως συμβιβαστική συνθήκη δυνατότητας παραδοχής (admissibility condition) και η Cg ως συμβιβαστική σταθερά. Η τιμή του Cg εξαρτάται από την επιλογή του κυματιδίου και είναι ίση με π για το κυματίδιο Mexican hat. 3. Ένα επιπλέον κριτήριο πρέπει να ισχύει για τα μιγαδικά κυματίδια. Ο μετασχηματισμός Fourier πρέπει να είναι πραγματικός και να μην έχει αρνητικές συχνότητες Το Ενεργειακό Φάσμα του Κυματιδίου Τα κυματίδια ικανοποιώντας την συνθήκη (3.4) είναι στην πραγματικότητα ζωνοπερατά φίλτρα. Αυτό σημαίνει ότι αυτά αφήνουν να περάσει μόνο το τμήμα του σήματος που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο φάσμα συχνοτήτων και το οποίο χαρακτηρίζεται ανάλογα από το ενεργειακό φάσμα του κυματιδίου. Μια γραφική παράσταση του τετραγώνου του μέτρου του μετασχηματισμού Fourier με την συχνότητα για το κυματίδιο δίνει το ενεργειακό του φάσμα. Για παράδειγμα, το ενεργειακό φάσμα Fourier για το Mexican hat κυματίδιο δίνεται από: E F ( f ) f (3.5) ( f ) 32 f e Πρέπει να σημειωθεί ότι το κυματίδιο Mexican hat είναι μια πραγματική συνάρτηση και το φάσμα Fourier του είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Η κορυφή του ενεργειακού φάσματος αντιστοιχεί σε μια δεσπόζουσα συχνότητα την f p = ± 2 / 2. Η δεύτερη τιμή που χρησιμοποιείται για να προσδιορισθεί το κέντρο του ενεργειακού φάσματος fc είναι: 36

53 f c f ( f ) 2 ( f ) df df (3.6) όπου fc είναι η τυπική απόκλιση του ενεργειακού φάσματος στον κατακόρυφο άξονα. Για το κυματίδιο Mexican hat, το fc είναι ίσο με 5 / 2 / 2 ή 0.251Hz. Από τις εξισώσεις (3.2) και (3.1) φαίνεται ότι η συνολική ενέργεια του Mexican hat wavelet είναι πεπερασμένη και ίση με: (3.7) Η ενέργεια μιας συνάρτησης δίνεται επίσης από την περιοχή (εμβαδόν) κάτω από την συνάρτηση E F (f) του ενεργειακού της φάσματος. Για το κυματίδιο Mexican hat είναι: (3.8) Οπότε ισχύει: (3.9) Αυτό είναι το αποτέλεσμα που ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση από το θεώρημα Parseval. Συχνά, η συνάρτηση του κυματιδίου κανονικοποιείται οπότε τελικά λαμβάνεται μοναδιαία ενέργεια. Για να γίνει αυτό για το Mexican hat κυματίδιο από την εξίσωση (3.7) παρατηρείται ότι πρέπει να πολλαπλασιαστεί η συνάρτηση ψ(t) με Δηλαδή η (3.1) γίνεται: 1/ 2 (. 3 /4) (3.10) Ορισμός του Μετασχηματισμού Κυματιδίου Έστω ότι έχει γίνει η επιλογή του κυματιδίου και έπεται η ανάλυση. Πρώτα όμως απαιτείται το κυματίδιο να είναι πιο εύκαμπτο (flexible) από το αρχικά ορισμένο μητρικό. Συνεπώς για το λόγο αυτό δύο βασικές μετατροπές είναι δυνατό να μετασχηματίσουν το κυματίδιο σε πιο επιθυμητές μορφές: η διαστολή - συστολή του 37

54 (dilation) μεταβάλλοντας την παράμετρο α και η μετάθεσή του (translation) κατά μήκος του οριζόντιου άξονα, του χρόνου στη συγκεκριμένη περίπτωση, μεταβάλλοντας την παράμετρο b. Το Σχήμα 3.5 δείχνει το κυματίδιο Mexican hat για διάφορες τιμές των δύο παραμέτρων. Σχήμα 3.5. α) Διαστολή-συστολή κυματιδίου, α1=α2/2, α3=α2*2 β) Μετάθεση κυματιδίου στο χρόνο. Έτσι, τοποθετώντας τα α,b στην αρχική εξίσωση (3.1) οι παραλλαγές του μητρικού κυματιδίου ορίζονται από τη σχέση: 2 t b t b 2 1/ 2[( tb) / a] 1 e a a (3.11) Το μητρικό κυματίδιο της σχέσης (3.1) απλά είχε α=1 και b=0. Στην σχέση (3.6) είναι δυνατό να αλλαχθούν οι τιμές των δύο παραμέτρων αυθαίρετα. 38

55 Η σχέση του CWT ορίζεται ως εξής: t b T ( a, b) w( a) x( t) * dt (3.12) a όπου το w(a) είναι μια συνάρτηση στάθμισης, που συνήθως τίθεται ίση με 1 / a για λόγους διατήρησης της ενέργειας (εξασφαλίζει ότι όλα τα κυματίδια σε κάθε κλίμακα έχουν την ίδια ενέργεια.). Από τη σχέση (3.12) φαίνεται και πάλι ότι ο WT αποτελεί μία πράξη συνέλιξης του σήματος με το κυματίδιο. Πολλές φορές η κανονικοποιημένη συνάρτηση κυματιδίου, για κλίμακα α και θέση b, γράφεται πιο συμπυκνωμένα με την εξής μορφή: (3.13) Ένα τελευταίο σημαντικό στοιχείο που θα τονιστεί σε αυτή την παράγραφο φαίνεται στο Σχήμα 3.6 και είναι η επίδραση του α στο κυματίδιο Mexican hat. Όσο το κυματίδιο διαστέλλεται στο χρόνο το φάσμα του περιορίζεται, μια λογική συνέπεια αφού επιμήκυνση των χρονικών περιόδων έχει ως αποτέλεσμα την μείωση των αντίστοιχων συχνοτήτων. Έτσι το α είναι αντιστρόφως ανάλογο με όλες τις χαρακτηριστικές συχνότητες του κυματιδίου, δηλαδή τη δεσπόζουσα συχνότητα fp, το κέντρο του ενεργειακού φάσματος fc κ.τ.λ. Σχήμα 3.6. α) Τρία κυματίδια Mexican hat με α=0.5,1.0,2.0 και b=0 β) Ενεργειακό φάσμα των τριών κυματιδίων. 39

56 Αναγνώριση συναφών δομών Στο σχήμα 3.7.α γίνεται προσπάθεια να εξηγηθεί οπτικά ο υπολογισμός του ολοκληρώματος (3.12). Ένα κυματίδιο δεδομένης κλίμακας α και με το κέντρο του στην θέση b στον άξονα του χρόνου υπερτίθεται σε ένα αυθαίρετο σήμα. Τα τμήματα του χρόνου όπου το κυματίδιο και το σήμα έχουν και τα δύο θετικές τιμές συνεισφέρουν με θετική τιμή στο ολοκλήρωμα της σχέσης (3.12), όπως η περιοχή Α στο σχήμα. Ομοίως, τα τμήματα του χρόνου όπου το κυματίδιο και το σήμα έχουν και τα δύο αρνητικές τιμές συνεισφέρουν με θετική τιμή στο ολοκλήρωμα της σχέσης (3.12) (περιοχή Β). Τα τμήματα του χρόνου όπου το κυματίδιο και το σήμα έχουν αντίθετες τιμές μεταξύ τους συνεισφέρουν με αρνητική τιμή στο ολοκλήρωμα της σχέσης (3.12) (περιοχές C, D και Ε). Στο σχήμα 3.7.β για συγκεκριμένη κλίμακα, συγκεκριμένο α δηλαδή, το κυματίδιο τίθεται σε τέσσερις διαφορετικές θέσεις b, κατά μήκος του σήματος. Μέσω αυτής της διαδικασίας ο WT εντοπίζει τις συναφείς με το σήμα δομές του σε διάφορες κλίμακες. Σχήμα 3.7. α) Κυματίδιο με συγκεκριμένα a, b συγκρίνεται με αυθαίρετο σήμα. Τα (+) και (-) υποδηλώνουν το πρόσημο του ολοκληρώματος (3.6) β) Κυματίδιο κινείται κατά μήκος σήματος. Δηλαδή το κυματίδιο μιας δεδομένης κλίμακας α μετακινείται (αυξάνοντας το b) κατά μήκος του σήματος και υπολογίζεται η εξίσωση (3.12). Η διαδικασία αυτή 40

57 επαναλαμβάνεται για ένα μεγάλο εύρος τιμών της κλίμακας α του κυματιδίου. Έτσι εντοπίζονται όλες οι συνιστώσες του σήματος από τη μεγαλύτερη ως τη μικρότερη. Ένα απλό παράδειγμα αποτελεί και το Σχήμα 3.8. Μια κοινή ημιτονοειδής κυματομορφή συγκρίνεται με το κυματίδιο Mexican hat για διάφορα α,b. Η τιμή της συνέλιξης του μετασχηματισμού (εξίσωση (3.12)) εξαρτάται άμεσα από τις δύο παραμέτρους. Σχήμα 3.8. a) Το κυματίδιο είναι συμφασικό με την κυματομορφή και ο WT δίνει μεγάλη θετική τιμή, b) Το κυματίδιο είναι τώρα εκτός φάσης και ο WT δίνει μεγάλη αρνητική τιμή, c) Το κυματίδιο είναι πάλι εκτός φάσης, αλλά δίνει μηδενική συσχέτιση, d) Το συνεσταλμένο κυματίδιο δεν ταιριάζει με την κυματομορφή (τιμή κοντά στο μηδέν), e) Το διεσταλμένο κυματίδιο δεν ταιριάζει με την κυματομορφή (τιμή κοντά στο μηδέν). Βέβαια ο CWT δεν υπολογίζεται για τυχαίες κλίμακες και μεμονωμένες θέσεις, αλλά για ένα συνεχή αριθμό α,b. Στο Σχήμα 3.9 φαίνεται ένα σήμα με περίοδο p και η αναπαράσταση του CWT με κυματίδιο Mexican hat (αναπαράσταση με contour plot). Στον κατακόρυφο άξονα υπάρχουν τα α, στον οριζόντιο τα b, ενώ τα χρώματα του γραφήματος απεικονίζουν την τιμή του ολοκληρώματος T(α,b). Το λευκό χρώμα αντιστοιχεί σε μέγιστες τιμές του ολοκληρώματος του μετασχηματισμού, το μαύρο σε 41

58 ελάχιστες (αρνητικές) τιμές και το γκρί σε μηδενική τιμή. Όπως φαίνεται για πολύ μικρά και μεγάλα α η τιμή του T(α,b) είναι μηδέν. Στις μεσαίες τιμές του α, και συγκεκριμένα γύρω από την α = 0.25p για το Mexican hat, το T(α,b) παρουσιάζει μέγιστα (άσπρο) και ελάχιστα (μαύρο). Δηλαδή για περίπου α = 0.25p το κυματίδιο παρουσιάζει μέγιστη συσχέτιση με το σήμα και συνεπώς το σήμα περιέχει τη συχνότητα που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη κλίμακα. Η συγκεκριμένη σχέση που έχουν οι κλίμακες a με το ποσοστό (%) των περιόδων του σήματος ισχύει μόνο για το κυματίδιο Mexican hat, καθώς σε άλλα κυματίδια η σχέση είναι διαφορετική. Σχήμα 3.9. α) Ημιτονοειδές σήμα β) Αναπαράσταση CWT σήματος. Για καλύτερη κατανόηση ακολουθούν δύο ακόμα σχήματα. Το σήμα που φαίνεται στο Σχήμα 3.10 αποτελείται από τη σύνθεση δύο ημιτονοειδών σημάτων με περιόδους p1 και p2=p1/5 αντίστοιχα. Σχήμα α) Σήμα που αποτελείται από σύνθεση δύο ημιτονοειδών σημάτων β) Αναπαράσταση CWT. 42

59 Η αναπαράσταση του CWT δείχνει πολύ καλά και τις δύο περιοδικές κυματομορφές, για τιμές τις κλίμακας α στο 25% των περιόδων των δύο σημάτων. Εδώ φαίνεται η ικανότητα του μετασχηματισμού κυματιδίου να αποσυνθέτει το αρχικό σήμα στις επιμέρους συνιστώσες. Στο Σχήμα 3.11 το σήμα έχει συνάρτηση x(t) = sin x 2. Η αύξηση της συχνότητας του σήματος φαίνεται καθαρά με τον μετασχηματισμό κυματιδίου στο 3.11β. Σχήμα Σήμα με αντίστοιχο CWT (κυματίδιο Mexican hat). Στην συνέχεια αυτής της ενότητας θα παρουσιαστεί σχηματικά η ανάλυση κυματιδίου. Κατά την εφαρμογή του μετασχηματισμού κυματιδίου επιλέγεται ένα συγκεκριμένο κυματίδιο που είναι κατάλληλο για την εφαρμογή που μας ενδιαφέρει και στη συνέχεια ακολουθούνται πέντε βήματα (Misiti et al - Wavelet Toolbox, 1996): 1. Συγκρίνεται το κυματίδιο με ένα τμήμα του υπό ανάλυση σήματος, ίδιου μεγέθους με το κυματίδιο, ξεκινώντας από την αρχή του σήματος. 2. Υπολογίζεται ένας αριθμός c που αντιπροσωπεύει την ομοιότητα του κυματιδίου με αυτό το κομμάτι του σήματος, δηλαδή όσο πιο μεγάλο είναι το c, τόσο περισσότερο μοιάζουν τα δύο σήματα. Ο αριθμός c είναι ίσος με το Τ(a, b) της σχέσης (3.12). 43

60 3. Το κυματίδιο μετατοπίζεται προς τα δεξιά και επαναλαμβάνονται τα βήματα 1 και 2 μέχρι να καλυφθεί ολόκληρο το σήμα. 4. Η κλίμακα του κυματιδίου αυξάνεται ή ελαττώνεται (δηλαδή το κυματίδιο τεντώνεται ή συμπιέζεται αντίστοιχα) και επαναλαμβάνονται τα βήματα 1 έως Επαναλαμβάνονται τα βήματα 1 έως 4 για όλες τις κλίμακες. Με τον τρόπο αυτό υπολογίζεται ένα σύνολο τιμών C από διαφορετικά τμήματα του σήματος σε διαφορετικές κλίμακες. 44

61 3.4. Διακριτός μετασχηματισμός κυματιδίου Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφερθεί η πρακτική εφαρμογή του WT. Ο υπολογισμός των συντελεστών (coefficients) γίνεται πάντοτε από ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή, συνεπώς παρόλο που τα α και b μέχρι τώρα ήταν συνεχή, στην πράξη παίρνουν διακριτές τιμές, διαφορετικά ο ακριβής υπολογισμός του μετασχηματισμού θα διαρκούσε άπειρο χρόνο. Με βάση αυτή τη λογική, επιλέγεται να δίνονται στην παράμετρο a διακριτές τιμές της μορφής: a a m 0, a0 1 Δηλαδή ξεκινώντας από μηδενική μεγέθυνση, στη συνέχεια, σε κάθε υπολογιστικό βήμα η ανάλυση διπλασιάζεται. Αντίστοιχα, η έννοια του διπλασιασμού της ανάλυσης έχει νόημα μονάχα εάν τα wavelets βρίσκονται σε μικρότερη απόσταση το ένα από το άλλο. Για αυτό το λόγο το b αποκτά διακριτές τιμές της μορφής: b na b b m, Συνεπώς η διακριτή μορφή του κυματιδίου έχει τον τύπο: (3.14) όπου οι ακέραιοι αριθμοί m και n είναι δείκτες που ελέγχουν την κλίμακα και τη μετατόπιση αντίστοιχα, το α 0 είναι μια καθορισμένη παράμετρος κλίμακας με τιμή μεγαλύτερη από 1 και το b 0 είναι μια καθορισμένη παράμετρος θέσης η οποία πρέπει να είναι μεγαλύτερη από μηδέν. Οι παράμετροι m και n περιέχουν θετικούς και αρνητικούς ακεραίους. Από την εξίσωση φαίνεται ότι το μέγεθος των βημάτων μετατόπισης m b b o a o είναι ανάλογο με την κλιμάκωση κυματιδίου, m a o. Ο μετασχηματισμός κυματιδίου για ένα συνεχές σήμα x(t) χρησιμοποιώντας διακριτά κυματίδια της μορφής της σχέσης (3.14) είναι: (3.15) όπου Τ m,n είναι οι τιμές του διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου για έναν πίνακα τιμών των δεικτών m και n. Για τον διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου, οι τιμές Τ m,n είναι γνωστές ως συντελεστές κυματιδίου ή συντελεστές λεπτομερειών. 45

62 Συνεπώς, σύμφωνα με τα παραπάνω δεν υφίσταται συνεχής μετασχηματισμός κυματιδίου, αλλά μια σειρά κυματιδίου, η απεικόνιση δηλαδή μιας συνάρτησης ως ένα άθροισμα συναρτήσεων κυματιδίου. Συνεπώς για την πλήρη περιγραφή μιας συνάρτησης απαιτείται η γνώση μόνο των συντελεστών κυματιδίου που προκύπτουν από την σχέση (3.15). Επιπλέον, στην συγκεκριμένη περίπτωση όπου δίνονται περιορισμένες σε πλήθος τιμές στις παραμέτρους a και b, προκύπτει μια κατ' ουσία προσέγγιση του CWT (Λάμπρου, 2008). Θα ήταν δυνατόν, αυξάνοντας τις τιμές των a και b, να επιτευχθεί μια άριστη προσέγγιση μιας συνάρτησης, όμως ο υπολογισμός της θα κρατούσε ίσως και ώρες. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιείται στην πράξη ένας διαφορετικός αλγόριθμος υπολογισμού του WT, γνωστός ως Διακριτός μετασχηματισμός κυματιδίου DWT (Discrete Wavelet Transformation) Δυαδική Διαβάθμιση και Ορθοκανονικός Μετασχηματισμός Κυματιδίου Οι πιο κοινές επιλογές για τις διακριτές παραμέτρους κυματιδίου α 0 και b 0 είναι 2 και 1 αντίστοιχα. Αυτή η λογαριθμική διαβάθμιση σε δυνάμεις του 2 της κλίμακας και της θέσης είναι γνωστή σαν δυαδική διαβάθμιση. Η δυαδική διαβάθμιση είναι η πιο απλή και επαρκής διακριτοποίηση για πρακτικούς σκοπούς, η οποία από μόνη της οδηγεί στην κατασκευή μιας ορθοκανονικής βάσης κυματιδίου. Αντικαθιστώντας όπου α 0 = 0 και b 0 = 1 στην εξίσωση (4.13) τότε προκύπτει: (3.16) Σημειώνεται ότι ο ίδιος συμβολισμός υπάρχει στη γενική περίπτωση του διακριτού κυματιδίου από την εξίσωση (3.14). Από εδώ και πέρα θα χρησιμοποιείται ο συμβολισμός Ψ m, n (t) για τη δυαδική διαβάθμιση με α 0 = 2 και b 0 = 1. Τα «διακριτά δυαδικά» κυματίδια επιλέγονται έτσι ώστε να είναι ορθοκανονικοποιημένα. Αυτά τα κυματίδια είναι ορθογωνοποιημένα μεταξύ τους και κανονικοποιημένα ώστε να έχουν μοναδιαία ενέργεια. Αυτό εκφράζεται ως εξής: (3.17) 46

63 Χρησιμοποιώντας τη δυαδική μορφή του κυματιδίου της εξίσωσης (3.16), ο διακριτός μετασχηματισμός κυματιδίου (DWT) γράφεται για το αρχικό σήμα χ(t): (3.18) Επιλέγοντας μια ορθοκανονικοποιημένη βάση κυματιδίου, Ψm,n(t), είναι δυνατό να ανακατασκευαστεί το αρχικό σήμα με τους συντελεστές κυματιδίου, Τm,n, χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου: (3.19α) με άθροιση πάνω σε όλους τους ακέραιους αριθμούς m,n. Η εξίσωση (3.19α) συχνά γράφεται σαν εσωτερικό γινόμενο: (3.19β) όπου ο συνδυασμός της ανάλυσης και της ανακατασκευής είναι ξεκάθαρα, πηγαίνοντας από το χ(t) στο T m, n διαμέσου του εσωτερικού γινομένου x m, n, και επιστρέφοντας πίσω στο χ(t) με άπειρη άθροιση (3.19α). Επιπρόσθετα η ενέργεια του σήματος εκφράζεται ως εξής: (3.20) Κάποιες σημαντικές παρατηρήσεις είναι οι εξής: Όπως ορίστηκε στην εξίσωση (3.18), ο oλοκληρωτικός (integral) μετασχηματισμός παραμένει συνεχής αλλά προσδιορίζεται μόνο πάνω σε ένα διακριτό πίνακα τιμών της κλίμακας α και της θέσης b. Στη συνέχεια οι συντελεστές DWT αθροίζονται (εξίσωση 3.19β) για να προκύψει ακριβώς το αρχικό σήμα. Ο μετασχηματισμός κυματιδίου και ο αντίστροφος μετασχηματισμός μπορούν να υπολογιστούν διακριτά, γρήγορα και χωρίς να χαθεί πληροφορία σήματος. 47

64 3.4.2 Η Συνάρτηση Κλιμάκωσης (scaling function) και η Πολυεπίπεδη (multiresolution) Ανάλυση Τα κανονικοποιημένα διακριτά και δυαδικά κυματίδια σχετίζονται με συναρτήσεις κλιμάκωσης και με τις εξισώσεις πλάτυνσης. Η συνάρτηση κλιμάκωσης σχετίζεται με την εξομάλυνση του σήματος και έχει την ίδια μορφή όπως το κυματίδιο, δίνεται από: (3.21) Η συνάρτηση κλιμάκωσης έχει την ιδιότητα: (3.22) όπου Φ 0, 0 (t) = φ(t), αναφέρεται σαν «πατρικό» (father) κυματίδιο (αφού το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης κυματιδίου είναι μηδέν). Η συνάρτηση κυματιδίου είναι ορθογώνια για να μετασχηματίσει τον εαυτό της, αλλά όχι για να «πλατύνει» τον εαυτό της. Η συνάρτηση κλιμάκωσης μπορεί να συνελιχθεί με το σήμα και να παράγει τους συντελεστές προσέγγισης, όπως παρακάτω: (3.23) Από τις τελευταίες εξισώσεις, προκύπτει ότι οι συντελεστές προσέγγισης είναι απλά οι μέσες τιμές του συνεχούς σήματος πολλαπλασιασμένες με ένα παράγοντα 2 m/2. Οι συντελεστές προσέγγισης σε μια συγκεκριμένη κλίμακα m είναι πιο γνωστοί σαν διακριτή προσέγγιση του σήματος σε αυτή την κλίμακα. Η συνεχής προσέγγιση του σήματος στην κλίμακα m μπορεί να δημιουργηθεί αθροίζοντας μια σειρά από συναρτήσεις κλιμάκωσης σε αυτή την κλίμακα, οι οποίες πολλαπλασιάζονται από τους συντελεστές προσέγγισης όπως φαίνεται παρακάτω: (3.24) όπου x m (t) είναι μια ομαλοποιημένη, εξαρτώμενη από τη συνάρτηση κλιμάκωσης, εκδοχή του σήματος x(t) στην κλίμακα με δείκτη m. Αυτή η συνεχής προσέγγιση προσεγγίζει σε μικρές κλίμακες το x(t), για παράδειγμα όταν m -. Tο σήμα x(t) μπορεί να αναπαρασταθεί αναπτύσσοντας ένα συνδυασμό σειρών χρησιμοποιώντας τους συντελεστές προσέγγισης και τους συντελεστές λεπτομέρειας: 48

65 (3.25) Από αυτή την εξίσωση παρατηρείται ότι το αρχικό συνεχές σήμα εκφράζεται σαν ένας συνδυασμός μίας προσέγγισης του εαυτού του, σε μία αυθαίρετη κλίμακα m 0, προσθέτοντας μια σειρά «λεπτομερειών» του σήματος από κλίμακες m 0 έως στο αρνητικό άπειρο. Το σήμα των λεπτομερειών στην κλίμακα m, ορίζεται ως: (3.26) οπότε η εξίσωση (3.25) γράφεται: (3.27) Από αυτή την εξίσωση προκύπτει η σχέση: (3.28) η οποία δείχνει ότι εάν στο σήμα λεπτομερειών σε μια αυθαίρετη κλίμακα με δείκτη m προστεθεί το σήμα της προσέγγισης σε αυτή την κλίμακα, τότε λαμβάνεται το σήμα της προσέγγισης σε μια μεγαλύτερη ανάλυση (σε μικρότερη κλίμακα, με δείκτη m-1). Αυτή η διαδικασία ονομάζεται πολυεπίπεδη αναπαράσταση Προσεγγίσεις (Approximations) και Λεπτομέρειες (Details) για Διακριτά Σήματα με Πεπερασμένο Μήκος Για να επιτευχθεί μια πολυεπίπεδη ανάλυση κυματιδίου, πρέπει το διακριτό σήμα εισόδου στον πολυεπίπεδο αλγόριθμο να αποτελείται από τους συντελεστές προσέγγισης του σήματος με δείκτη m = 0, οπότε ορίζεται ως εξής: (3.29) η οποία επιτρέπει να παράγονται οι ακολουθίες των συντελεστών προσέγγισης και λεπτομέρειας S m,n και Τ m,n αντίστοιχα, σε κλίμακα μεγαλύτερη από αυτήν με δείκτη m = 0. Σε αυτή την ενότητα θα θεωρηθεί ότι το S 0,n είναι δεδομένο. 49

66 Πρακτικά, το διακριτό σήμα εισόδου S 0,n είναι πεπερασμένου μήκους Ν, το οποίο ουσιαστικά ισούται με μια δύναμη του 2, δηλαδή ισχύει: Ν = 2 Μ. Έτσι το εύρος των κλιμάκων που το σήμα μπορεί να αναλυθεί είναι 0<m<M. Αντικαθιστώντας m=0 και m=m στην εξίσωση (3.25) και γνωρίζοντας ότι το εύρος του δείκτη n (ο οποίος μειώνεται κατά το ήμισυ σε κάθε κλίμακα) είναι πεπερασμένο, παρατηρείται ότι το σήμα προσέγγισης της εισόδου με δείκτη κλίμακας m=0 μπορεί να γραφτεί σαν ένα άθροισμα του ομαλού σήματος στην κλίμακα Μ και ενός συνδυασμού των σημάτων λεπτομέρειας, δηλαδή όπως παρακάτω: (3.30) Αυτή είναι η μορφή που χρησιμοποιείται για να περιγραφεί το διακριτό σήμα με πεπερασμένο μήκος σε διακριτή ανάπτυξη κυματιδίου. (Για περιοδικό σήμα αρκεί η επεξεργασία μιας μόνης περιόδου του σήματος). Ξαναγράφεται η (3.30) σαν: (3.31) όπου η μέση τιμή του σήματος προσέγγισης στην κλίμακα Μ είναι: (3.32) To σήμα λεπτομέρειας που αντιστοιχεί στο δείκτη κλίμακας m για ένα σήμα με πεπερασμένο μήκος είναι: (3.33) Προηγουμένως στην εξίσωση (3.28) δείχθηκε ότι το σήμα προσέγγισης σε μια συγκεκριμένη κλίμακα ήταν ένας συνδυασμός του σήματος προσέγγισης και λεπτομέρειας της επόμενης χαμηλής κλίμακας. Εάν ξαναγραφεί αυτή η εξίσωση: (3.34) και, ξεκινώντας από την κλίμακα m-1=0, για το σήμα εισόδου, τότε το σήμα προσέγγισης για κλίμακα με δείκτη m=1 δίνεται από τη σχέση: (3.35) Στην επόμενη κλίμακα με δείκτη m=2 το σήμα προσέγγισης είναι: 50

67 (3.36) Και στην επόμενη κλίμακα είναι: (3.37) και συνεχίζεται ομοίως. Όπως παρατηρείται από την εξίσωση (3.34) η διαφορά μεταξύ x m-1 (t) και x m (t) είναι η συνιστώσα της λεπτομέρειας d m (t) Ο πολυεπίπεδος αλγόριθμος Έχοντας δεδομένο ένα διακριτό σήμα εισόδου S 0,n μπορούν να υπολογιστούν τα S m,n και T m,n. Αρχικά υπολογίζονται τα S 1,n και T 1,n από το S 0,n : (3.38α) (3.38β) Με τον ίδιο τρόπο, υπολογίζονται τα S 2,n και T 2,n από τους συντελεστές προσέγγισης S 1,n : (3.39α) (3.39β) Μετά μπορούν να υπολογιστούν τα S 3,n και T 3,n από τους συντελεστές προσέγγισης S 2,n έως στην κλίμακα Μ όπου μόνο ένας συντελεστή λεπτομέρειας και προσέγγισης υπολογίζεται: S Μ,0 και T Μ,0. Στην κλίμακα Μ παρουσιάζεται μια πλήρης ανάλυση του διακριτού σήματος εισόδου με πεπερασμένο μήκος. Στον πίνακα βρίσκεται μια σειρά συντελεστών: ένας συντελεστής προσέγγισης με τιμή S m,0 και οι συντελεστές λεπτομέρειας, Τ m,n, που αντιστοιχούν σε διακριτά κυματίδια με κλίμακα α=2 m και θέση b=2 m n. Το μήκος της σειράς αυτής είναι Ν=2 Μ. Αυτό δίνει το φάσμα του m και του n για τους συντελεστές λεπτομέρειας: 1<m<M και 0<n<2 M-m -1. Στην χαμηλότερη κλίμακα κυματιδίου με δείκτη m=1 υπολογίζονται 2Μ/2 1 =Ν/2 συντελεστές. Στην επόμενη κλίμακα με m=2 υπολογίζονται 2 Μ /2 2 =Ν/4 συντελεστές. Ο συνολικός 51

68 αριθμός των συντελεστών λεπτομέρειας για διακριτού χρόνου σειρές μήκους Ν=2 M M m1 είναι: M-1 m M ή 2 1 N Επιπρόσθετα με τους συντελεστές κυματιδίου μένει και ο μοναδικός συντελεστής προσέγγισης S M,0. Έτσι ένα διακριτό σήμα εισόδου με μήκος Ν μπορεί να διασπαστεί σε ακριβώς Ν συνιστώσες (διότι Ν-1+1=Ν συνολικά) χωρίς να χαθεί πληροφορία χρησιμοποιώντας διακριτά ορθοκανονικά κυματίδια (Addison, 2002). Η ανάλυση των συντελεστών λεπτομέρειας και προσέγγισης μπορεί να περιγραφεί στο παρακάτω Σχήμα 3.12: Σχήμα 3.12 Σχήμα της διαδικασίας της ανάλυσης Το διάνυσμα του μετασχηματισμού κυματιδίου μετά από την πλήρη ανάλυση έχει τη μορφή: W (M) =(S M,T M,T M-1,,T m,,t 2,T 1 ) όπου Τ m παριστάνει το υποδιάνυσμα που περιέχει τους συντελεστές Τ m,n στην κλίμακα με δείκτη m (με 0<n<2 M-m -1). Η διαδικασία μετασχηματισμού είναι δυνατό να διακοπεί πριν την πλήρη ανάλυση. Εάν αυτό συμβεί σε ένα αυθαίρετο επίπεδο m 0, το διάνυσμα μετασχηματισμού έχει τη μορφή: W (m0) = (S m0,t m0,t m0-1,,t 2,T 1 ), όπου το m 0 μπορεί να έχει εύρος 1 m0 M-1. Σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα μετασχηματισμού δεν περιέχει μία μόνη συνιστώσα προσέγγισης αλλά την αλληλουχία συνιστωσών προσέγγισης S m0,n. Το διάνυσμα μετασχηματισμού περιέχει πάντα Ν=2Μ συνιστώσες. Για παράδειγμα, για m=2 είναι W (2) = (S 2,T 2,T 1 ). Σημειώνεται ότι είναι επίσης δυνατό να εκφραστεί το σήμα προσέγγισης της εισόδου σαν διάνυσμα μετασχηματισμού με δείκτη κλίμακας μηδέν, W (0). 52

69 3.4.5 Εντροπία Κυματιδίου Μετά την πλήρη ανάλυση, η ενέργεια που περιέχουν οι συντελεστές σε κάθε κλίμακα επίπεδο ανάλυσης δίνεται από την σχέση: (3.40) Η ολική ενέργεια του διακριτού σήματος εισόδου είναι: (3.41) που είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των συντελεστών λεπτομέρειας σε όλες τις κλίμακες συν το τετράγωνο (του εναπομείναντος) συντελεστή προσέγγισης, S M,0, δηλαδή: (3.42) Στην πραγματικότητα, η ενέργεια την οποία περικλείει το διάνυσμα του μετασχηματισμού σε όλα τα επίπεδα της πολυεπίπεδης ανάλυσης παραμένει σταθερή. Η διατήρηση της ενέργειας μπορεί να γραφτεί πιο γενικά: (3.43) Όπου W (m) i είναι η ανεξάρτητη συνιστώσα του διανύσματος μετασχηματισμού W (m). Όταν m=0, αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί στην άθροιση των ενεργειακών συνιστωσών του σήματος εισόδου (3.41) και όταν m=m αντιστοιχεί στην άθροιση των ενεργειών με συντελεστές από πλήρη ανάλυση (3.42) Σύντομη σχηματική επεξήγηση του Διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου Στις προηγούμενες ενότητες, στο διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου, έγινε αναφορά στους συντελεστές προσέγγισης (Α) και λεπτομέρειας (D). Ουσιαστικά οι συντελεστές προσέγγισης αποτελούν τα στοιχεία του σήματος τα οποία έχουν χαμηλή συχνότητα ή υψηλή κλίμακα. Ενώ οι συντελεστές λεπτομέρειας αποτελούν τα 53

70 στοιχεία του σήματος τα οποία έχουν υψηλή συχνότητα ή χαμηλή κλίμακα. Η διαδικασία φιλτραρίσματος (με ένα υψιπερατό και με ένα βαθυπερατό φίλτρο) μπορεί να απεικονιστεί στο βασικό επίπεδο όπως παρακάτω στο Σχήμα 3.13 (Misiti et al, 1996). Σχήμα Απεικόνιση της διαδικασίας φιλτραρίσματος (ανάλυση) του σήματος S. Ουσιαστικά όπως παρατηρείται και στο σχήμα 3.13, το αρχικό σήμα αποσυντίθεται σε δύο καινούργια (μετά το φιλτράρισμα). Εάν το αρχικό σήμα έχει 1000 στοιχεία τότε κάθε ένα από τα καινούργια σήματα που παράγονται θα έχει 1000 στοιχεία, άρα συνολικά 2000 στοιχεία. Γι αυτό εισάγεται μια διαδικασία υποδειγματοληψίας ώστε να διατηρείται σταθερός ο αριθμός των στοιχείων στην αρχή και στο τέλος. Έτσι δημιουργούνται δύο σειρές στοιχείων ca και cd όπως φαίνεται και στο Σχήμα Σχήμα Σχηματικό διάγραμμα ανάλυσης ενός σήματος (με υποδειγματοληψία). 54

71 Αποσύνθεση πολλαπλών επιπέδων Η διαδικασία αποσύνθεσης του σήματος μπορεί να επαναληφθεί, με διαδοχικές προσεγγίσεις που αποσυντίθενται στη σειρά, έτσι ώστε από ένα σήμα να προκύψουν πολλά μικρότερης ανάλυσης μέρη. Αυτό ονομάζεται δέντρο αποσύνθεσης του σήματος με κυματίδια (wavelet decomposition tree) και φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα Δέντρο αποσύνθεσης του σήματος με κυματίδια. Εξετάζοντας το δέντρο μπορούν να εξαχθούν πολύτιμες πληροφορίες όπως αυτές που αντλούνται από το Σχήμα 3.16, που παρουσιάζει το δέντρο της πολυεπίπεδης ανάλυσης ενός σήματος. Στο συγκεκριμένο σήμα συνυπάρχουν χαρακτηριστικά χαμηλών συχνοτήτων αλλά και υψηλών συχνοτήτων. Από το δέντρο προκύπτει ότι όσο υψηλότερο είναι το επίπεδο της ανάλυσης, τόσο περισσότερο εξομαλύνεται η μορφή του σήματος της προσέγγισης, αφού το υψηλό συχνοτικό περιεχόμενο, το οποίο θα μπορούσε να είναι θόρυβος, και που υπήρχε στο αρχικό σήμα, τώρα εμπεριέχεται στα διάφορα επίπεδα των λεπτομερειών. Σχήμα Πληροφορίες εξαγόμενες από το διακριτό μετασχηματισμό wavelet τριών επιπέδων. 55

72 3.4.7 Φίλτρα ανακατασκευής Τα υψιπερατά και τα βαθυπερατά φίλτρα ανάλυσης (H και L αντίστοιχα) μαζί με τα σχετιζόμενα φίλτρα ανακατασκευής (H και L ) αποτελούν ένα σύστημα το οποίο ονομάζεται τετραγωνικά κατοπτρικά φίλτρα (quadrature mirror filters) (Ζαγούλας, 2005). Σχήμα Διάγραμμα συστήματος τετραγωνικών κατοπτρικών φίλτρων Ανακατασκευή των προσεγγίσεων και των λεπτομερειών Έχει ήδη αναφερθεί ότι το αρχικό σήμα μπορεί να ανακατασκευαστεί από τους συντελεστές προσέγγισης και λεπτομέρειας, όπως δείχνει το Σχήμα Σχήμα 3.18 Ανακατασκευή αρχικού σήματος Επίσης όμως μπορούν να ανακατασκευαστούν οι προσεγγίσεις και οι λεπτομέρειες από τους συντελεστές προσέγγισης και λεπτομέρειας ca και cd αντίστοιχα. Συγκεκριμένα τα στοιχεία του ca περνάνε από την ίδια διαδικασία που χρησιμοποιείται για την ανακατασκευή του αρχικού σήματος και τελικά προκύπτει το κομμάτι προσέγγισης (Α1) του αρχικού σήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα Όμως αντί να συνδυαστεί με το cd1, στη θέση του χρησιμοποιείται ένα διάνυσμα το οποίο αποτελείται μόνο από μηδενικά. 56

73 Σχήμα Λήψη της προσέγγισης (A1) του σήματος από τους συντελεστές προσέγγισης ca1. Με την παραπάνω διαδικασία λαμβάνεται το ανακατασκευασμένο τμήμα προσέγγισης (A1) του σήματος, το οποίο έχει το ίδιο μήκος με το αρχικό σήμα (S). Ομοίως πραγματοποιείται παρόμοια διαδικασία για να ληφθεί το κομμάτι λεπτομέρειας (D1) του αρχικού σήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα 3.20 Λήψη των λεπτομερειών (D1) του σήματος από τους συντελεστές λεπτομέρειας cd1. Οπότε τα ανακατασκευασμένα τμήματα Α1 (προσέγγιση) και D1 (λεπτομέρεια) αποτελούν πραγματικά συστατικά του αρχικού σήματος. Άρα το αρχικό σήμα θα δίνεται από την σχέση (για το πρώτο επίπεδο ανάλυσης): Α1+ D1= S Συνεπώς είναι εμφανές ότι οι συντελεστές ca1 και cd1 δεν μπορούν να συνδυαστούν κατευθείαν και να δώσουν το αρχικό σήμα, διότι λήφθηκαν μετά από τη διαδικασία υποδειγματοληψίας οπότε έχουν το μισό μήκος του αρχικού σήματος. Είναι σημαντικό να ανακατασκευαστούν τα A1 (προσέγγισης) και D1 (λεπτομέρειας) πριν συνδυαστούν. Προεκτείνοντας αυτή την τεχνική για την πολυεπίπεδη ανάλυση παρατηρείται ότι ισχύει για όλα τα «συστατικά» του αρχικού σήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα

74 Σχήμα Ανακατασκευή σήματος από τα επιμέρους στοιχεία του. 58

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΓΡΑΦΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ ΚΟΠΗΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΚΥΜΑΤΙΔΙΩΝ 59

76 4.1. Εισαγωγή Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να συσχετιστούν τα χαρακτηριστικά της δύναμης κοπής των πετρωμάτων με κύρια μηχανικά τους χαρακτηριστικά, συγκεκριμένα με την αντοχή σε μονοαξονική θλίψη, την εφελκυστική αντοχή, την ψαθυρότητα και την ειδική ενέργεια εκσκαφής. Προς το σκοπό αυτό, στο συγκεκριμένο κεφάλαιο πρώτα θα πραγματοποιηθεί ανάλυση όλων των σημάτων της δύναμης κοπής με το διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου ώστε να προκύψουν απαραίτητες πληροφορίες και δεδομένα. Στη συνέχεια αυτά θα μελετηθούν ώστε να εξαχθούν συμπεράσματα σχετικά με τη συμπεριφορά των διαφόρων τύπων πετρωμάτων κατά την κοπή τους με μηχανικά μέσα. Για την υλοποίηση των παραπάνω χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Matlab Προέλευση Δεδομένων Τα δεδομένα των καταγραφών της δύναμης κοπής των δοκιμίων των πετρωμάτων προέρχονται από τις ακόλουθες διπλωματικές εργασίες, οι οποίες έχουν εκπονηθεί στο Εργαστήριο Εξόρυξης Πετρωμάτων του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνίου: Αναγνώστου (2006) «Προσδιορισμός του δείκτη ειδικής ενέργειας εκσκαφής ιζηματογενών πετρωμάτων». Δεμέναγας (2006) «Εργαστηριακός προσδιορισμός της ειδικής ενέργειας εκσκαφής ασβεστολίθου της Αττικής». Κουλλαπής και Χρυσοστόμου (2007) «Εκτίμηση της δύναμης κοπής ασβεστολίθου από της μηχανικές ιδιότητές του». Κραββαρίτης (2009) «Εργαστηριακός προσδιορισμός της ειδικής ενέργειας κοπής ασβεστολίθου στο λατομείο Κεραμιδέζας της ΧΑΛΥΨ Α.Ε.». Πατσίδης (2009) «Εργαστηριακός προσδιορισμός της ειδικής ενέργειας κοπής λατερίτη και ασβεστολίθου από το μεταλλείο Αγ. Ιωάννη της Λάρκο Α.Ε.». Λάζαρος (2011) «Εργαστηριακή διερεύνηση της εξόρυξης ασβεστολίθου περιοχής Πρεβέζης με μηχανικά μέσα». Βασιλόπουλος (2011) «Εργαστηριακή διερεύνηση της εξόρυξης ασβεστολίθου περιοχής Τρίπολης με μηχανικά μέσα». 60

77 Κουτρομάνος (2012) «Εργαστηριακή διερεύνηση της εξόρυξης ασβεστολίθου περιοχής Καρδίτσας με μηχανικά μέσα». Πατσίδης (2012) «Εργαστηριακή διερεύνηση της εξόρυξης ορθογνεύσιου Ικαρίας με μηχανικά μέσα» Περιγραφή των εργαστηριακών δοκιμών κοπής Οι καταγραφές της δύναμης κοπής προέκυψαν από εργαστηριακές δοκιμές κοπής ενός πλήθους δοκιμίων πετρωμάτων, οι οποίες πραγματοποιήθηκαν στην διάταξη του Εργαστηρίου Εξόρυξης Πετρωμάτων του Ε.Μ.Π. Η διάταξη αυτή φαίνεται στο Σχήμα 4.1. Σχήμα 4.1. Διάταξη κοπής πετρωμάτων Εργαστηρίου Εξόρυξης Πετρωμάτων Ε.Μ.Π. Η παραπάνω διάταξη αποτελείται από: οριζόντια μηχανική ταχυπλάνη που φέρει κοπτικό εργαλείο συρόμενου τύπου δυναμόμετρο μονάδα ελέγχου δυναμόμετρου με ενισχυτή σήματος κάρτα εισαγωγής δεδομένων στον υπολογιστή υπολογιστής και λογισμικό καταγραφής και επεξεργασίας δεδομένων 61

78 Οι κοπές πραγματοποιήθηκαν σε κυλινδρικά δοκίμια πετρωμάτων διαμέτρου 54,7 mm (NX). Το μήκος διέφερε από δοκίμιο σε δοκίμιο. Το ελάχιστο μήκος δοκιμίου ήταν 98mm και το μέγιστο 160mm. Γενικά το μέσο μήκος των δοκιμίων ήταν περίπου 132 mm. Το κοπτικό εργαλείο που χρησιμοποιήθηκε έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Τύπος: συρόμενου τύπου Σύνθεση: καρβίδιο βολφραμίου με ονομαστικό μέγεθος κόκκου 3-3.5μm και 9-10% περιεκτικότητα σε κοβάλτιο Πλάτος αιχμής (W): 12.7 mm Γωνία εμπρόσθιας ελευθερίας (α): 5 0 Γωνία οπίσθιας ελευθερίας (β): -5 0 Η διεύθυνση κοπής ήταν κατά το διαμήκη άξονα του κυλινδρικού δοκιμίου όπως φαίνεται στο πάνω μέρος του Σχήματος 4.2. Το βάθος κοπής ήταν 5 mm από τη γενέτειρα. H ταχύτητα κοπής ήταν περίπου 150 mm/sec. Το κάτω μέρος του Σχήματος 4.2 δείχνει ότι σε κάθε δοκίμιο πραγματοποιήθηκαν έως και 4 δοκιμές κοπής, στρέφοντας το κατά Σχήμα 4.2. Εργαστηριακή δοκιμή κοπής. (Αναγνώστου, 2006) Η κύρια κίνηση κοπής της οριζόντιας μηχανικής ταχυπλάνης είναι ευθύγραμμη παλινδρομική. Συνεπώς, ο πλήρης κύκλος σε κάθε δοκιμή κοπής περιλαμβάνει: κύρια ωφέλιμη ευθύγραμμη κίνηση του κοπτικού εργαλείου για την κοπή. κίνηση του εργαλείου προς τα πίσω (επιστροφή, μη ωφέλιμη κίνηση). 62

79 Τα βήματα που ακολουθήθηκαν σε κάθε δοκιμή είναι τα εξής: 1. Εκκίνηση πλάνης: Με το συμπλέκτη να βρίσκεται σε θέση αποσύμπλεξης τίθεται σε λειτουργία ο ηλεκτροκινητήρας της πλάνης. Στη φάση αυτή η κεφαλή και το κοπτικό δεν παλινδρομούν. 2. Έναρξη παλινδρόμησης κεφαλής: Για την έναρξη του πειράματος γίνεται έναρξη καταγραφής σήματος από το λογισμικό καταγραφής σήματος και αμέσως μετά τοποθετείται ο συμπλέκτης σε θέση σύμπλεξης. Στη φάση αυτή η κεφαλή και το κοπτικό παλινδρομούν και εκτελείται η κοπή. 3. Τερματισμός παλινδρόμησης κεφαλής: Όταν το κοπτικό φθάσει στο πέρας της διαδρομής της κεφαλής τοποθετείται ο συμπλέκτης σε θέση αποσύμπλεξης και τερματίζεται από το πρόγραμμα η καταγραφή του σήματος. Τερματίζεται η λειτουργία της πλάνης. 4. Καταγραφή αποτελεσμάτων: Στον υπολογιστή και μέσω ειδικού λογισμικού γίνεται η καταγραφή και επεξεργασία του σήματος (δεδομένων) από το δυναμόμετρο. Με το δυναμόμετρο επιτυγχάνεται η μέτρηση των δυνάμεων Fx (πλάγια δύναμη), Fy (ορθή δύναμη) και Fz (δύναμη κοπής). Η μέγιστη τιμή της δύναμης κοπής Fz που μπορεί να μετρηθεί είναι 10000N. Οι κοπές των παραπάνω πραγματοποιήθηκαν στα ακόλουθα πετρώματα (Πανάγου, 2013): Λευκότεφρος Ασβεστόλιθος ζαχαρώδους υφής του Τριαδικού από τον ορεινό όγκο Λέμφι της Ελευσίνας (ΤΙΤΑΝ) (asv1). Ψαμμίτης με ενστρώσεις ασβεστιτικού υλικού από τους παχυστρωματώδεις ψαμμίτες της ζώνης του φλύσχη της Πίνδου (psam). Συμπαγής ψαμμούχος στρωματώδης ιλιόλιθος σε επαφή με ψαμμούχο ασβεστόλιθο με ασβεστιτικές ενστρώσεις, από την ενότητα του πινδικού φλύσχη (ilio). Ερυθρότεφρος ασβεστόλιθος του ανώτερου Τριαδικού από τον ορεινό όγκο Λέμφι της Ελευσίνας (ΤΙΤΑΝ) (asv2). Ασβεστόλιθος Άνω Κρητιδικού Μεταλλείο Αγ. Ιωάννη ΛΑΡΚΟ Α.Ε.(asv3). Σιδηρονικελιούχος Λατερίτης Μεταλλείο Αγ. Ιωάννη ΛΑΡΚΟ Α.Ε.(lat). Ασβεστόλιθος Λατομείο Μάνδρας ΧΑΛΥΨ (asv4). 63

80 Νηρητικός Ασβεστόλιθος Παλαιόκαινου Λατομείο Καγιάννη Τρίπολη (asv5). Ασβεστόλιθος Ιουρασικού Λατομεία Πρεβέζης (asv6). Ασβεστόλιθος Κρυσταλλικός Λατομείο Βούλας Τρίκαλα (asv7). Σχιστώδης Ορθογνεύσιος Δυτικής Ικαρίας (s orth). Οφθαλμώδης Ορθογνεύσιος Δυτικής Ικαρίας (o orth) Επεξεργασία Δεδομένων των Καταγραφών της Δύναμης Κοπής πριν την Ανάλυση Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το πλήθος των δοκιμών κοπής που πραγματοποιήθηκαν σε καθέναν από τους 12 διαφορετικούς τύπους πετρωμάτων. Συνολικά προέκυψαν 225 αξιοποιήσιμες δοκιμές κοπής. Πίνακας 4.1. Πλήθος αξιοποιήσιμων δοκιμών κοπής Τύπος Πετρώματος Πλήθος Δοκιμών asv1 103 psam 11 ilio 21 asv2 8 asv3 14 lat 13 asv4 13 asv5 8 asv6 12 asv7 14 s-orth 3 o-orth 5 ΣΥΝΟΛΟ 225 Η διάρκεια καταγραφής στις παραπάνω δοκιμές ήταν από 3 s έως 5 s. Η συχνότητα δειγματοληψίας (sampling frequency - f s ) ήταν 1000 Hz δηλαδή καταγράφονται 1000 μετρήσεις της τιμής της δύναμης κοπής (Fz) ανά sec. Το Σχήμα 4.3 δείχνει ένα παράδειγμα του ολοκληρωμένου διαγράμματος δύναμης (Fz) χρόνου (t), στο οποίο διακρίνονται οι διάφορες φάσεις που παρατηρούνται κατά τη διάρκεια μιας δοκιμής κοπής. 64

81 Δοκιμή Κ-Υ1-1-1 (asv1) Fz[N] Fz (N) ,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 Time (s) Σχήμα 4.3. Ολοκληρωμένο διάγραμμα δύναμης χρόνου κατά τη δοκιμή κοπής Transient (visual) Contact (EvAR) Cut start (visual) Cut end (visual) Στα 0s 1,2s περίπου, δηλαδή μέχρι την κόκκινη γραμμή στο διάγραμμα, υπάρχει μόνο ο θόρυβος (noise), λόγω της λειτουργίας του ηλεκτροκινητήρα. Στη φάση αυτή η κεφαλή και το κοπτικό δεν παλινδρομούν άρα δεν υπάρχει κοπή. Στα 1,2s 2,429s, δηλαδή μέχρι την κίτρινη γραμμή στο διάγραμμα, επικρατούν τα μεταβατικά - δυναμικά φαινόμενα (transient), που οφείλονται στο θόρυβο λόγω της επιτάχυνσης του συστήματος κοπτικού δυναμόμετρου όταν ξεκινάει η κίνηση. Και σε αυτή τη φάση δεν υπάρχει κοπή. Στα 2,429s 2,457s, δηλαδή μέχρι την γαλάζια γραμμή στο διάγραμμα, είναι η φάση της επαφής του κοπτικού με το δοκίμιο. Στη φάση αυτή σημειώνεται μια απότομη δυναμική μεταβολή στο διάγραμμα, που οφείλεται στην επαφή του κοπτικού με το δοκίμιο. Τα 2,457s 2,822s, δηλαδή μέχρι την μπλε γραμμή στο διάγραμμα, είναι η φάση που το κοπτικό κόβει το πέτρωμα. Η φάση αυτή αντιστοιχεί στην καθαρή δύναμη κοπής και συνεπώς είναι η μοναδική που εξετάζεται. Tα 2,822s 5s, αντιστοιχούν στην φάση μετά την κοπή και μέχρι ολοκλήρωση της δοκιμής. 65

82 Συνεπώς, προέκυψαν 225 διαγράμματα, αντίστοιχα με του παραπάνω Σχήματος 4.3, με τιμές της δύναμης κοπής για κάθε δοκιμή από τις συνολικά 225. Από αυτές απομονώθηκαν οι τιμές της καθαρής δύναμης κοπής (περίπου 500 τιμές / δοκιμή), οι οποίες είναι αυτές που αναλύθηκαν. Το Σχήμα 4.4 δείχνει την καθαρή δύναμη κοπής που αντιστοιχεί στη δοκιμή που περιγράφηκε παραπάνω. Πρέπει να σημειωθεί ότι, για όλες τις δοκιμές, από το τμήμα του σήματος της δύναμης κοπής αφαιρέθηκαν όλες οι καταγραφές που αφορούσαν σε μεταβατικά φαινόμενα, όπως τιμές που εμφανίζουν απότομη δυναμική μεταβολή στο διάγραμμα δύναμης (Fz) χρόνου (t). Μια τέτοια περίπτωση φαίνεται στην αρχή του διαγράμματος του Σχήματος 4.4. Η συγκεκριμένη απότομη δυναμική μεταβολή στην αρχή του διαγράμματος, δηλαδή περίπου στα 2,43s, οφείλεται στην επαφή του κοπτικού με το δοκίμιο και δεν αποτελεί τμήμα της καθαρής δύναμης κοπής. Δοκιμή K-Y1-1-1 (asv1) Fz (N) Time (sec) Σχήμα 4.4. Καθαρή δύναμη κοπής Προέκταση (extension) και περικοπή (truncation) των σημάτων. Το πλήθος των μετρήσεων της τιμής της δύναμης κοπής (Fz) ποικίλει από δοκιμή σε δοκιμή. Αυτό οφείλεται στο διαφορετικό μήκος των δοκιμίων δεδομένου ότι η ταχύτητα κοπής είναι πρακτικά σταθερή. Άρα με δεδομένο το σταθερό ρυθμό δειγματοληψίας (1000 Hz) προκύπτει διαφορετικό πλήθος μετρήσεων για κάθε κοπή, ανάλογο της διάρκειας της κοπής. Ο μικρότερος αριθμός μετρήσεων των καταγραφών της δύναμης κοπής που παρατηρήθηκε σε κάποια δοκιμή, δηλαδή το ελάχιστο μήκος που παρατηρήθηκε σε κάποιο σήμα, ήταν 203 τιμές. Αντίστοιχα, ο μεγαλύτερος αριθμός ήταν 1932 τιμές. Ωστόσο όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, το μήκος των σημάτων της δύναμης κοπής στην πλειοψηφία των δοκιμών ήταν περίπου 500 τιμές / δοκιμή. 66

83 Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι η ανάλυση σημάτων με το συνεχή μετασχηματισμό κυματιδίου (dwt) μπορεί να πραγματοποιηθεί για σήματα που έχουν μήκος ίσο με κάποια δύναμη του 2. Αυτό συμβαίνει διότι όταν το μήκος του προς ανάλυση σήματος δεν είναι ίσο με δύναμη του 2, τότε κατά τον dwt προκύπτουν «αλλοιώσεις στα όρια (αρχή και τέλος)» του σήματος (border distortions), δηλαδή η ανάλυση δίνει ανακριβή αποτελέσματα. Για να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα αυτό απαιτείται η προέκταση του σήματος. Οι πιο γνωστές μέθοδοι προέκτασης σήματος που χρησιμοποιούνται γενικά είναι οι zero-padding, smooth padding, periodic extension και boundary value replication (symmetrization) (Misiti et al, 1996). Συνεπώς για τους παραπάνω λόγους επιλέχθηκε όλα τα σήματα - δοκιμές να έχουν το ίδιο μήκος το οποίο είναι 512 τιμές, δηλαδή 2 9. Αυτό επιτεύχθηκε με την ακόλουθη μεθοδολογία για κάθε μία από τις δύο περιπτώσεις που συναντώνται: Όταν σε μια δοκιμή το μήκος του σήματος (ls αρχικό ) είναι: ls αρχικό < 512 τότε το σήμα προεκτείνεται, με τη μέθοδο periodic extension, ώστε αυτό να έχει τελικά ls τελικό = 512. Η μέθοδος αυτή θεωρεί ότι το σήμα επαναλαμβάνεται περιοδικά. Παράδειγμα δίνεται στο Σχήμα 4.5 όπου σήμα με μήκος ls αρχικό = 400 προεκτείνεται ώστε να έχει τελικά ls τελικό = 512. Σχήμα 4.5. Προέκταση σήματος. Όταν σε μια δοκιμή το μήκος του σήματος (ls αρχικό ) είναι: ls αρχικό > 512 τότε γίνεται «περικοπή» (truncation) του σήματος, αφαιρώντας τιμές και από τις δύο πλευρές (αρχή και τέλος του σήματος), ώστε αυτό να έχει τελικά ls τελικό = 512. Παράδειγμα δίνεται στο Σχήμα 4.6 όπου από ένα σήμα με ls αρχικό =

84 αφαιρέθηκαν τιμές και από τις δύο πλευρές, ώστε αυτό να έχει τελικά ls τελικό = 512. Σχήμα 4.6. Περικοπή σήματος. Η εφαρμογή της παραπάνω μεθοδολογίας έχει ως αποτέλεσμα τα σήματα να έχουν το επιθυμητό για την ανάλυση μήκος χωρίς αυτά να αλλοιωθούν Επιλογή Κυματιδίου και αριθμού επιπέδων ανάλυσης του διακριτού μετασχηματισμού Κυματιδίου Όπως έχει αναφερθεί στο προηγούμενο κεφάλαιο η καλύτερη επιλογή κυματιδίου για μια συγκεκριμένη εφαρμογή εξαρτάται από τη φύση του σήματος και από τους στόχους της ανάλυσης. Ανεξάρτητα από τις μαθηματικές ιδιότητες των κυματιδίων, μια βασική απαίτηση είναι αυτό να μοιάζει με τα μορφολογικά χαρακτηριστικά που εντοπίζονται στο σήμα. Έτσι επιτυγχάνεται βέλτιστος εντοπισμός των χαρακτηριστικών - δομών ενδιαφέροντος του σήματος στο πεδίο των κυματιδίων (Quiroga et al., 2001). Μετά από διαδοχικές αναλύσεις με διάφορα κυματίδια επιλέχθηκε τελικά να χρησιμοποιηθεί το κυματίδιο coif5 (οικογένεια κυματιδίων Coiflets) καθώς φαίνεται πως ταιριάζει ικανοποιητικά στα σήματα των δοκιμών. Επίσης τα κυματίδια 68

85 της συγκεκριμένης «οικογένειας» έχουν μια σημαντική ιδιότητα που τα καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμα. Συγκεκριμένα, η ανάλυσή τους γίνεται σε ορθογώνια βάση. Αυτό σημαίνει ότι η πληροφορία που παρέχεται σε μια κλίμακα είναι ανεξάρτητη από όλες τις υπόλοιπες, με αποτέλεσμα να μπορεί να αναλυθεί ξεχωριστά η σημασία κάθε εύρους συχνοτήτων. Λεπτομερή παρουσίαση του κυματιδίου coif5 βρίσκεται στη βιβλιογραφία (Daubechies, 1992). Όπως ήδη αναφέρθηκε, το μήκος του σήματος κάθε δοκιμής που αναλύεται είναι 512 τιμές (=2 9 ). Οπότε μπορούν να πραγματοποιηθούν έως 9 επίπεδα ανάλυσης διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου. Ωστόσο τα επίπεδα που χρησιμοποιήθηκαν για την ανάλυση των σημάτων ήταν τα 7 πρώτα. Αυτό επιλέχθηκε διότι σε επίπεδα ανώτερα του εβδόμου η συχνότητα είναι πολύ μικρή και δεν έχει πρακτική αξία το σήμα να αναλυθεί περαιτέρω σε τόσο χαμηλές ζώνες συχνοτήτων. Σύμφωνα με το θεώρημα του Shannon, για να επιτευχθεί η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού σήματος, θα πρέπει η συχνότητα δειγματοληψίας να είναι τουλάχιστον ίση με το διπλάσιο της μέγιστης συχνότητας που υπάρχει στο σήμα. Η συχνότητα αυτή ονομάζεται συχνότητα Νyquist (Λάμπρου, 2008). f s f, f 2 f n n max Συνεπώς εφόσον στα σήματα της Δύναμης Κοπής η συχνότητα δειγματοληψίας είναι f s = 1000 Hz, η μέγιστη συχνότητα που υπάρχει σε κάθε σήμα είναι f max = 500 Hz. Σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει ο ακόλουθος Πίνακας 4.2 όπου φαίνονται οι ζώνες συχνοτήτων που παρατηρούνται στις συνιστώσες του σήματος (προσέγγιση και λεπτομέρειες) σε καθένα από τα 7 επίπεδα ανάλυσης. Πίνακας 4.2. Επίπεδα Ανάλυσης Διακριτού Μετασχηματισμού Κυματιδίου και ζώνες Συχνοτήτων που αντιστοιχούν σε κάθε Επίπεδο Επίπεδο ανάλυσης Ζώνη Συχνοτήτων Κεντρική Συχνότητα 0 (a7) 0 4 Hz 2 Hz 1 (d7) 4 Hz 8 Hz 6 Hz 2 (d6) 8 Hz 16 Hz 12 Hz 3 (d5) 16 Hz 32 Hz 24 Hz 4 (d4) 32 Hz 64 Hz 48 Hz 5 (d3) 64 Hz 128 Hz 96 Hz 6 (d2) 128 Hz 256 Hz 192 Hz 7 (d1) 256 Hz 500 Hz 378 Hz 69

86 4.5. Αποτελέσματα της Ανάλυσης των Σημάτων της Δύναμης Κοπής με Διακριτό Μετασχηματισμό Κυματιδίου Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν αναλυτικά ορισμένες περιπτώσεις σημάτων της Δύναμης Κοπής που αναλύθηκαν με το διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε όλες τις περιπτώσεις ισχύουν τα εξής: Στο Σχήμα της κάθε περίπτωσης παρουσιάζεται το σήμα (s), η προσέγγιση του επιπέδου 7 (A7) και οι λεπτομέρειες D7 έως και D1. Ο οριζόντιος άξονας αντιπροσωπεύει το χρόνο (μονάδες σε ms). Ο κατακόρυφος άξονας αντιπροσωπεύει τη Δύναμη Κοπής (μονάδες σε N). Οι μονάδες των κατακόρυφων αξόνων της προσέγγισης και των λεπτομερειών είναι οι ίδιες με του σήματος. Το σήμα (s) του Σχήματος 4.7, με ονομασία Fz_K-Y1-1-1, αντιστοιχεί σε κοπή δοκιμίου Λευκότεφρου Ασβεστολίθου (asv 1). Στο πάνω μέρος του σχήματος δίνεται το σήμα της δύναμης κοπής (s) που εξετάζεται. 0 4 Hz 4 8 Hz 8 16 Hz Hz Hz Hz Hz Hz Σχήμα 4.7. Ανάλυση του σήματος Fz_K-Y1-1-1 (Λευκότεφρος Ασβεστόλιθος - asv1) με DWT 7 επιπέδων. 70

87 Όπως φαίνεται, στο σήμα συνυπάρχουν από τη μια τα ομαλά χαρακτηριστικά με αργές χαμηλής συχνότητας μεταβολές και από την άλλη τα τοπικά ακανόνιστα χαρακτηριστικά με γρήγορες - υψίσυχνες μεταβολές. Παρατηρείται ότι η διακύμανση των τιμών της δύναμης κοπής είναι χαμηλής συχνότητας με μεγάλο όμως εύρος τιμών. Επίσης οι κύκλοι φόρτισης είναι διακριτοί σε ικανοποιητικό βαθμό. Οπότε το πέτρωμα της συγκεκριμένης δοκιμής με μια πρώτη ματιά φαίνεται ότι παρουσιάζει ψαθυρή συμπεριφορά. Κάτω από το σήμα παρουσιάζονται διαδοχικά η προσέγγιση (Α7) και οι λεπτομέρειες D7 έως και D1 που έχουν προκύψει από την ανάλυση διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου εβδόμου επιπέδου του σήματος. Όπως φαίνεται, η προσέγγιση Α7 δεν εμπεριέχει κάποια από τα χαρακτηριστικά του σήματος, καθώς οι ουσιαστικές πληροφορίες έχουν χαθεί. Συνεπώς οι βασικές πληροφορίες για το σήμα δίνονται στα διάφορα επίπεδα των λεπτομερειών του μετασχηματισμού. Η λεπτομέρεια D1 εμπεριέχει τις πληροφορίες του σήματος που βρίσκονται εντός της ζώνης συχνοτήτων 256 Hz 500 Hz, δηλαδή τα πιο υψηλής συχνότητας χαρακτηριστικά. Οι τιμές στο επίπεδο αυτό είναι πολύ χαμηλές και όπως παρατηρείται δεν παρέχονται πολλές πληροφορίες. Παρόμοια συμπεράσματα προκύπτουν και από την εξέταση των λεπτομερειών D2, D3 και D4 που αντιπροσωπεύουν τα χαρακτηριστικά του σήματος στις ζώνες συχνοτήτων 128 Hz Hz, 64 Hz 128 Hz και 32 Hz - 64 Hz αντίστοιχα. Ωστόσο η λεπτομέρεια D4 καταφέρνει να ανιχνεύσει ορισμένες τοπικές κορυφές που υπάρχουν στο σήμα όπως για παράδειγμα αυτή περίπου στα 65ms η οποία επανεμφανίζεται και στα 430 ms. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.7, η λεπτομέρεια D5 περιέχει τα γενικά χαρακτηριστικά του σήματος (s), αφού εντοπίζει πολύ καλά τις ομαλές - χαμηλότερης συχνότητας αυξομειώσεις που παρατηρούνται σε αυτό, και συνεπώς ανιχνεύει τη μορφή του σήματος. Συνεπώς φαίνεται ότι η λεπτομέρεια D5 δίνει τις περισσότερες πληροφορίες. Επίσης όπως παρατηρείται, η τάξη μεγέθους των τιμών της δύναμης (μονάδες σε Ν) σε αυτό το επίπεδο είναι μεγαλύτερη συγκριτικά με τα υπόλοιπα επίπεδα. Άρα προκύπτει το συμπέρασμα ότι τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του σήματος εμπεριέχονται εντός της ζώνης συχνοτήτων 16 Hz 32 Hz. Η λεπτομέρεια D6 αντιπροσωπεύει τα χαρακτηριστικά του σήματος στις ζώνες συχνοτήτων 8 Hz - 16 Hz. Εδώ ανιχνεύεται με χονδροειδή τρόπο η μορφή του σήματος και με λιγότερη βέβαια ακρίβεια σε σχέση με το επίπεδο D5. Σε αυτό το επίπεδο, όπως και στο προηγούμενο οι τιμές της δύναμης είναι υψηλές. 71

88 Τέλος η λεπτομέρεια D7 εμπεριέχει τις πληροφορίες του σήματος που βρίσκονται εντός της ζώνης συχνοτήτων 4 Hz 8 Hz, δηλαδή τα πιο χαμηλής συχνότητας χαρακτηριστικά. Οι τιμές στο επίπεδο αυτό είναι πολύ χαμηλές και όπως παρατηρείται δεν παρέχονται ουσιαστικές πληροφορίες. Έτσι, όπως προκύπτει από τα παραπάνω, η συνεισφορά της λεπτομέρειας D5, στο να εντοπιστούν τα πιο ουσιώδη χαρακτηριστικά του σήματος, είναι η μεγαλύτερη, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά. Παρακάτω θα εξεταστεί άλλη μια περίπτωση σήματος της Δύναμης Κοπής που αναλύθηκε με το διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου. Το σήμα (s) του Σχήματος 4.8, με ονομασία Fz_LL13-CUT1, αντιστοιχεί σε κοπή δοκιμίου Σιδηρονικελιούχου Λατερίτη (lat). 0 4 Hz 4 8 Hz 8 16 Hz Hz Hz Hz Hz Hz Σχήμα 4.8. Ανάλυση του σήματος Fz_LL13-CUT1 (Σιδηρονικελιούχος Λατερίτης - lat) με DWT 7 επιπέδων. Το συγκεκριμένο σήμα έχει εντελώς διαφορετική μορφή από αυτό που εξετάστηκε προηγουμένως. Παρατηρούνται έντονες διακυμάνσεις των τιμών της δύναμης κοπής έχοντας μικρό όμως εύρος τιμών συγκριτικά με το προηγούμενο παράδειγμα. Άρα εδώ όπως φαίνεται επικρατούν τα τοπικά ακανόνιστα χαρακτηριστικά με γρήγορες - 72

89 υψίσυχνες μεταβολές. Οι κύκλοι φόρτισης στην περίπτωση αυτή δεν είναι ευδιάκριτοι, όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Οπότε το πέτρωμα της συγκεκριμένης δοκιμής με μια πρώτη ματιά φαίνεται ότι παρουσιάζει λιγότερο ψαθυρή, προς πλαστική συμπεριφορά. Όπως φαίνεται, η προσέγγιση Α7 δεν εμπεριέχει κάποια από τα χαρακτηριστικά του σήματος, καθώς οι πιο ουσιαστικές πληροφορίες έχουν χαθεί. Συνεπώς οι βασικές πληροφορίες για το σήμα δίνονται στα διάφορα επίπεδα των λεπτομερειών του μετασχηματισμού. Η λεπτομέρεια D1 εμπεριέχει τις πληροφορίες του σήματος που βρίσκονται εντός της ζώνης συχνοτήτων 256 Hz 500 Hz, δηλαδή τα πιο υψηλής συχνότητας χαρακτηριστικά. Οι τιμές στο επίπεδο αυτό είναι πολύ χαμηλές και όπως παρατηρείται δεν παρέχονται πολλές πληροφορίες. Παρόμοια συμπεράσματα προκύπτουν και από την εξέταση της λεπτομέρειας D2 που αντιπροσωπεύει τα χαρακτηριστικά του σήματος στη ζώνη συχνοτήτων 128 Hz Hz. Όπως διακρίνεται στο Σχήμα 4.8, η λεπτομέρεια D3 καταφέρνει να εντοπίσει τα χαρακτηριστικά του σήματος (s), αφού ανιχνεύει πολύ καλά τις ακανόνιστες - υψηλότερης συχνότητας αυξομειώσεις που επικρατούν στο σήμα, και συνεπώς τη μορφή του σήματος. Στο επίπεδο αυτό διακρίνονται καθαρά οι τοπικές κορυφές που υπάρχουν στο σήμα. Συνεπώς φαίνεται ότι η λεπτομέρεια D3 δίνει τις περισσότερες πληροφορίες. Επίσης όπως παρατηρείται, οι τιμές στο επίπεδο αυτό είναι υψηλότερες σε σχέση με ορισμένα από τα υπόλοιπα επίπεδα. Άρα προκύπτει το συμπέρασμα ότι τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του σήματος εμπεριέχονται εντός της ζώνης συχνοτήτων 64 Hz 128 Hz. Τέλος από την εξέταση των λεπτομερειών D4, D5, D6 και D7, που αντιπροσωπεύουν τα χαρακτηριστικά του σήματος σε χαμηλότερες ζώνες συχνοτήτων, δεν παρέχονται ουσιαστικές πληροφορίες. Έτσι, όπως προκύπτει από τα παραπάνω, η συνεισφορά της λεπτομέρειας D3, στο να εντοπιστούν τα πιο ουσιώδη χαρακτηριστικά του σήματος, είναι η μεγαλύτερη, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά. Στη συνέχεια στα Σχήματα παρουσιάζονται οι αναλύσεις σημάτων με το διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου 7 επιπέδων μόνο για ορισμένες από τις υπόλοιπες περιπτώσεις δοκιμών κοπής που εξετάστηκαν. Η κάθε περίπτωση αντιστοιχεί και σε διαφορετικό τύπο πετρώματος. Το σύνολο των αναλύσεων με το διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου για τις 225 δοκιμές κοπής δίνονται σχηματικά στο Παράρτημα 1 της εργασίας. 73

90 Σχήμα 4.9. Ανάλυση του σήματος Fz_demenegas-4y-1 (Ερυθρότεφρος ασβεστόλιθος του ανώτερου Τριαδικού asv2) με DWT 7 επιπέδων. Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_LA14-CUT2 (Ασβεστόλιθος Άνω Κρητιδικού asv3) με DWT 7 επιπέδων. 74

91 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_X15-CUT1 (Ασβεστόλιθος asv4) με DWT 7 επιπέδων. Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_Ta_04b_cut3 (Νηρητικός Ασβεστόλιθος Παλαιόκαινου asv5) με DWT 7 επιπέδων. 75

92 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_K-Y2-1-3 (Ψαμμίτης με ενστρώσεις ασβεστιτικού υλικού psam) με DWT 7 επιπέδων. Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_Ik_A_03-cut3 (Σχιστώδης Ορθογνεύσιος s-orth) με DWT 7 επιπέδων. 76

93 Κατανομή της Ενέργειας των Σημάτων στα διάφορα Επίπεδα Μετασχηματισμού Κυματιδίων Αφού ολοκληρώθηκε η ανάλυση των σημάτων της Δύναμης κοπής με το διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου, το επόμενο βήμα είναι να παρουσιαστεί το πώς κατανέμεται η Ενέργεια των σημάτων στα διάφορα επίπεδα του μετασχηματισμού. Συνεπώς θα προκύψουν πληροφορίες για το ποιες είναι οι κύριες συχνότητες που εμφανίζονται σε κάθε σήμα. Για το σκοπό αυτό, για το κάθε σήμα αρχικά θα υπολογιστεί η τιμή RMS που αντιστοιχεί σε κάθε επίπεδο δηλαδή σε καθεμία ζώνη συχνοτήτων. Η τιμή RMS (root mean square) αντιπροσωπεύει αριθμητικά την τετραγωνική ρίζα του μέσου των τετραγώνων των τιμών ενός σήματος. Χρησιμοποιείται ως στατιστική παράμετρος του μεγέθους μιας μεταβαλλόμενης ποσότητας. Για ένα σύνολο n τιμών μιας διακριτής κατανομής x i,,x n η τιμή RMS δίνεται από την ακόλουθη σχέση (Weisstein, 1999): 2 x1 x1... xn RMS n Συνεπώς η τιμή RMS, με μονάδες σε N, για κάθε ένα από τα 7 επίπεδα του μετασχηματισμού δίνεται από τη σχέση: 1 2 RMS ( levell) sum( Values L ) όπου 512 Values L = Οι τιμές των λεπτομερειών σε καθένα από τα 7 επίπεδα μετασχηματισμού. Ισχύει n = 512 = Πλήθος των τιμών σε κάθε σήμα. Μέσω της τιμής RMS υπολογίζεται η Ενέργεια που αντιστοιχεί στο κάθε επίπεδο ανάλυσης η οποία δίνεται από τη σχέση (Parameswariah, 2003): Energy Πρέπει να τονιστεί ότι η Ενέργεια στην περίπτωση της επεξεργασίας σημάτων, δεν είναι η ίδια με τη συμβατική έννοια της ενέργειας στη φυσική. Όπως προκύπτει, οι μονάδες της Ενέργειας δίνονται σε Ν 2, οι οποίες βέβαια δεν συμπίπτουν με τις μονάδες της ενέργειας με την έννοια των φυσικών επιστημών. Στο Σχήμα 4.15 δίνεται η περίπτωση ανάλυσης με DWT του σήματος Fz_T4-1-cut3 που προέκυψε από κοπή δοκιμίου Λευκότεφρου Ασβεστολίθου - asv1. Αμέσως παρακάτω στο Σχήμα 4.16 παρουσιάζεται με μορφή ιστογραμμάτων η κατανομή της τιμής RMS και της Ενέργειας στα 7 επίπεδα των λεπτομερειών του DWT του σήματος RMS 2 ( levell) ( levell)

94 Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_T4-1-cut3 (Λευκότεφρος Ασβεστόλιθος - asv1) με DWT 7 επιπέδων. Σχήμα Κατανομή της τιμής RMS και της Ενέργειας στα 7 επίπεδα διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου για το σήμα Fz_T4-1-cut3. Είναι φανερό ότι για το συγκεκριμένο σήμα η Ενέργεια είναι κυρίως συγκεντρωμένη στο επίπεδο D5 αφού όπως φαίνεται η τιμή της στο συγκεκριμένο επίπεδο είναι κατά πολύ υψηλότερη σε σχέση με τα υπόλοιπα επίπεδα της ανάλυσης. Στον Πίνακα 4.3 δίνονται οι Συχνότητες που αντιστοιχούν στο κάθε Επίπεδο Ανάλυσης καθώς και η τιμή RMS και η Ενέργεια που αντιστοιχεί σε κάθε Ζώνη Συχνοτήτων για την περίπτωση του σήματος Fz_T4-1-cut3. 78

95 Πίνακας 4.3. Τιμή RMS και Ενέργεια που αντιστοιχεί σε κάθε ζώνη συχνοτήτων για την Επίπεδο Ανάλυσης περίπτωση του σήματος Fz_T4-1-cut3. Ζώνη Συχνοτήτων Κεντρική Συχνότητα Τιμή RMS (N) Energy (Ν 2 ) 1 (d7) 4 Hz 8 Hz 6 Hz 149, (d6) 8 Hz 16 Hz 12 Hz 122, (d5) 16 Hz 32 Hz 24 Hz 428, (d4) 32 Hz 64 Hz 48 Hz 245, (d3) 64 Hz 128 Hz 96 Hz 245, (d2) 128 Hz 256 Hz 192 Hz 183, (d1) 256 Hz 500 Hz 378 Hz 65, Προκύπτει ότι η τιμή της Ενέργειας στη ζώνη συχνοτήτων 16 Hz 32 Hz είναι κατά πολύ υψηλότερη σε σχέση με τις υπόλοιπες ζώνες συχνοτήτων. Συνεπώς οι κύριες συχνότητες που επικρατούν στο συγκεκριμένο σήμα είναι μεταξύ 16 Hz 32 Hz. Στο Σχήμα 4.17 δίνεται η περίπτωση ανάλυσης με DWT του σήματος Fz_LL11-CUT2 που προέκυψε από κοπή δοκιμίου Σιδηρονικελιούχου Λατερίτη - lat. Σχήμα Ανάλυση του σήματος Fz_LL11-CUT2 (Σιδηρονικελιούχος Λατερίτης - lat) με DWT 7 επιπέδων. 79

96 Αμέσως παρακάτω στο Σχήμα 4.18 παρουσιάζεται με μορφή ιστογραμμάτων η κατανομή της τιμής RMS και της Ενέργειας στα 7 επίπεδα των λεπτομερειών του DWT του σήματος. Τα ιστογράμματα δείχνουν ότι οι Ενέργειες των Επιπέδων D4 και D3 είναι υψηλότερες σε σχέση με τα υπόλοιπα επίπεδα της ανάλυσης. Επίσης από τον Πίνακα 4.4 προκύπτει ότι στο Σήμα Fz_LL11-CUT2 η μεγαλύτερη Ενέργεια αντιστοιχεί στις Ζώνες Συχνοτήτων 32 Hz 64 Hz και 64 Hz 128 Hz. Σχήμα Κατανομή της τιμής RMS και της Ενέργειας στα 7 επίπεδα διακριτού μετασχηματισμού κυματιδίου για το σήμα Fz_LL11-CUT2. Πίνακας 4.4. Τιμή RMS και Ενέργεια που αντιστοιχεί σε κάθε ζώνη συχνοτήτων για την Επίπεδο Ανάλυσης περίπτωση του σήματος Fz_LL11-CUT2. Ζώνη Συχνοτήτων Κεντρική Συχνότητα Τιμή RMS (Ν) Energy (Ν 2 ) 1 (d7) 4 Hz 8 Hz 6 Hz 149, (d6) 8 Hz 16 Hz 12 Hz 270, (d5) 16 Hz 32 Hz 24 Hz 301, (d4) 32 Hz 64 Hz 48 Hz 488, (d3) 64 Hz 128 Hz 96 Hz 405, (d2) 128 Hz 256 Hz 192 Hz 265, (d1) 256 Hz 500 Hz 378 Hz 134, Συνεπώς οι κύριες συχνότητες που επικρατούν στο συγκεκριμένο σήμα είναι αυτές που αντιστοιχούν στα επίπεδα D4 και D3 δηλαδή 32 Hz 64 Hz και 64 Hz 128 Hz αντίστοιχα. 80