Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M)

Transcript

1 . ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M). Ορισμοί φορτίσεων μίας δοκού Οι φορτίσεις που μπορεί να εμφανισθούν σ'ένα σώμα είναι ο εφελκυσμός (ή η θλίψη με κίνδυνο λογισμού), η διάτμηση, η κάμψη και η στρέψη. Οι σημασίες των φορτίσεων εξηγούνται στο σχήμα.. Ιδιότητες των φορτίσεων Ιδιότητες των φορτίσεων είναι: - Αν υπάρχει εφελκυσμός, άρα δεν υπάρχει ούτε θλίψη ούτε λυγισμός. - Ο λυγισμός προκαλείται από αξονικές (όχι εγκάρσιες) θλιπτικές δυνάμεις που κάνουν το σώμα να χάσει το ευθύγραμμο σχήμα του. - Η κάμψη προκαλέι εφελκυσμό στο μισό δοκάρι, ενώ στο άλλο μισό προκαλεί θλίψη. - Το σχήμα (στ) δείχνει μια κάμψη στην οποία το σώμα «κάνει κοιλιά» προς τα κάτω. Κάποιες άλλες δυνάμεις, κάθετες προς το επίπεδο του χαρτιού, θα προκαλούσαν μία άλλη κάμψη, στην οποία το σώμα θα «έκανε κοιλιά» προς τα μέσα (προς το βάθος του χαρτιού) ή προς τα έξω. Μπορούν λοιπόν να υπάρχουν δύο κάμψεις, μία στο επίπεδο χ- y και μία στο επίπεδο χ-z - Η στρέψη προκαλείται από δύο ίσες και αντίθετες ροπές, που τείνουν να μετατρέψουν τις κατά μήκος ευθείες του σώματος σε έλικες. (Ερώτηση κατανόησης: Σε τι διαφέρει η στρέψη από την κάμψη;)

2 - Η καμπτική ροπή που αναπτύσσεται σ'ένα δοκάρι αλλάζει από θέση σε θέση του δοκαριού. Στην ερώτηση «πόση είναι η καμπτική ροπή σ' αυτό το δοκάρι» πρέπει να απαντήσουμε λέγοντας δύο πράγματα: α) πού βρίσκεται η μέγιστη καμπτική ροπή, και β) πόση είναι σε μέγεθος η μέγιστη καμπτική ροπή. - ια να βρούμε τη θέση και το μέγεθος της μέγιστης καμπτικής ροπής, βασιζόμαστε στη θεωρία της Μηχανικής. Κάποιες συνηθισμένες περιπτώσεις κάμψης συνοψίζονται στον πίνακα... (Ερωτήσεις κατανόησης: α) ιατί στην περίπτωση του πίνακα... (αμφιέρειστη δοκός) η μέγιστη καμπτική ροπή βρίσκεται στο σημείο εφαρμογής της, ενώ στην περίπτωση (πρόβολος) βρίσκεται μακριά απ' αυτό το σημείο εφαρμογής; β) Ένας άνθρωπος περπατάει πάνω σ'ένα σανίδι. Αν σπάσει το σανίδι, σε ποίο σημείο θα σπάσει; ιατί σ'εκείνο το σημείο και όχι σε άλλο; γ) Τραβάμε με δύναμη ένα κλαδί δέντρου για να το σπάσουμε. Σε ποιό σημείο θα σπάσει το κλαδί;)

3 .3 Ορισμοί φορτίσεων μίας σύνδεσης Νέα θέση του () Νέα θέση του () Αν τείνουν να ολισθήσουν τότε η σύνδεση έχει διά- τμηση Αν μετά τη θραύση της σύνδεσης τα σώματα () και () τείνουν να απομακρυνθούν το ένα από το άλλο, τότε η σύνδεση έχει εφελκυσμό Αν μετά τη θραύση της σύνδεσης το ένα σώμα τείνει να περιστραφεί σε σχέση με το άλλο και να ανατραπεί, τότε η σύνδεση έχει κάμψη Αν τείνουν να ολισθήσουν περιστροφικά το ένα σε σχέση με το άλλο, τότε η σύνδεση έχει στρέψη.4 Υπολογισμός δυνάμεων στήριξης και καμπτικής ροπής Πρέπει να εφαρμοσθεί η θεωρία της Μηχανικής Ι, όπως εξηγείται στις επόμενες σελίδες.

4 .4. Υπολογισμός δυνάμεων στήριξης:.4.α Παράδειγμα: Αμφιέρειστη δοκός Βήμα. Αναγνωρίζουμε τις στηρίξεις του σώματος. Στο παράδειγμα του σχήματος οι στηρίξεις είναι η άρθρωση στο Α και η κύλιση στο =000N Βήμα. Ξανασχεδιάζουμε το σώμα, αφαιρώντας τις στηρίξεις και τοποθετώντας στη θέση τους τις (ακόμη άγνωστες) δυνάμεις που ασκεί η κάθε στήριξη στο σώμα. Δίνουμε ονόματα σ' αυτές τις άγνωστες δυνάμεις στήριξης. Το σχήμα που παίρνουμε με τον τρόπο αυτό είναι το λεγόμενο Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος (ΔΕΣ). x y Βήμα 3α. Διαλέγουμε ένα σημείο γύρω από το οποίο θα υπολογίσουμε τις ροπές. (Επιτρέπεται να διαλέξουμε όποιο σημείο θέλουμε, αλλά βολεύει να διαλέξουμε ένα σημείο από το οποίο περνούν δύο άγνωστες δυνάμεις). Έστω ότι το σημείο που διαλέξαμε ονομάζεται Α. Βήμα 3β. Σχηματίζουμε την εξίσωση μηδενισμού των ροπών γύρω από το σημείο Α που διαλέξαμε στο βήμα 3α: Εξίσωση ΣΜ Α =0 (Στο παράδειγμά μας *300mm y * 000mm = 0 () ) Λύνουμε την εξίσωση και βρίσκουμε μία άγνωστη δύναμη. (Στο παράδειγμά μας: () => y * 000mm = *300mm => 300mm => y = * =... = 300 N ) 000mm Βήμα 4. Σχηματίζουμε επίσης τις εξισώσεις μηδενισμού των δυνάμεων: Σ x =0 Σ y =0 Λύνουμε τις εξισώσεις και βρίσκουμε τις άλλες δύο άγνωστες δυνάμεις. Σ x =0 => x = 0 Σ y =0 => y + y = 0 => => y = y = 000 Ν 300 Ν = 700 Ν

5 .4.β Παράδειγμα: Μονοπροέχουσα δοκός =750N Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στήριξης στη δοκό του σχήματος 0,m m Λύση: Σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος: x y Διαλέγουμε ως κέντρο των ροπών το Α, σχηματίζουμε την εξίσωση μηδενισμού των ροπών και την λύνουμε: ΣΜ Α =0 => *,m Βy * 0,m = 0 => *,m = Βy * 0,m =>, m => Βy = * =... = 4500 N 0, m Σχηματίζουμε επίσης τις εξισώσεις μηδενισμού των δυνάμεων και τις λύνουμε: Σ x =0 => x = 0 Σ y =0 => y + y = 0 => y = Βy = 750 Ν 4500 Ν = 3750 Ν Η προέκυψε αρνητική επειδή στην πραγματικότητα η στήριξη στο Α πιέζει τη δοκό αυτού του παραδείγματος προς τα κάτω και όχι προς τα πάνω (βλ. διπλανό σχήμα). x y

6 .4.γ Παράδειγμα: Πρόβολος =000N Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στήριξης στη δοκό του σχήματος 400 Λύση: Η δοκός του σχήματος έχει μία μόνο στήριξη, την πάκτωση στο Α. Επειδή η πάκτωση εμποδίζει την περιστροφή του σώματος, ορίζουμε ότι ασκεί στο σώμα μία ροπή Μ και σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελευθέρου σώματος όπως στο διπλανό σχήμα (α). x Μ (α) (Στην πραγματικότητα η περιστροφή του σώματος εμποδίζεται από δύο δυνάμεις μεγέθους ' που απέχουν μεταξύ τους απόσταση δ, όπως δείχνει το σχήμα (β). Ισχύει Μ = ' δ Έχει καθιερωθεί όμως να παριστάνονται οι πακτώσεις πάντοτε όπως στο παραπάνω σχ. (α)) x ' δ ' (β) Διαλέγουμε ως κέντρο των ροπών το Α, και η εξίσωση μηδενισμού των ροπών παίρνει τη μορφή: ΣΜ Α =0 => Μ *0,4m = 0 Η ροπή Μ της πάκτωσης πρέπει: να μην απουσιάζει από την εξίσωση να μην είναι πολλαπλασιασμένη με καμμία απόσταση (ιατί; Βλ. σχ. (β) παραπάνω, και την ιδιότητα Μ = ' δ ) Η εξίσωση μηδενισμού των ροπών λύνεται εύκολα ως προς Μ: Μ *0,4m = 0 => Μ = *0,4m = 000 Ν * 0,4m = 800 Nm Οι εξισώσεις μηδενισμού των δυνάμεων λύνονται επίσης εύκολα ως προς x και : Σ x =0 => x = 0 Σ y =0 => y = 0 => y = = 000 N

7 .4. Υπολογισμός καμπτικής ροπής Στη δοκό του σχήματος, να βρεθεί η καμπτική ροπή και τα άλλα φορτία διατομής (Ν, Q) στo σημείo (λίγο αριστερά του σημείου εφαρμογής της ), Α Δ θ ' Ε Β Λύση: Υπολογίζουμε τα φορτία των στηρίξεων (βλ. σχ. β): x = cosθ = 44 Ν * cos45 = 000 N () y = sinθ = 44 N * sin45 = 000 Ν Σx = 0 => x = x = 000 N Σ x = 0 => N = x = 000N Σ y = 0 => Q = y = 700N (3α) (3β) (α) ΣΜΑ = 0 => y α => y = y = 300 N (β) x x θ Β α+β Α Σy = 0 => y = y y = 700 N (γ) Σχ. β Επιλέγουμε τη θέση της ίνας αναφοράς από κάτω. y ια να βρούμε τα φορτία διατομής Ν, Q, M στο σημείο, φανταζόμαστε τη δοκό κομμένη στο και ξανασχεδιάζουμε μόνο ένα από τα δύο τμήματά της (έστω το αριστερό τμήμα Α). Τοποθετούμε στο σχήμα όλες τις αποστάσεις και τα φορτία που δέχεται το Α. Παρατηρούμε ότι στο σχήμα υπάρχουν τρία άγνωστα φορτία, τα Ν, Q, Μ, που μπορούν να υπολογισθούν από τις εξισώσεις ισορροπίας. x Σχ. α Αμφιέρειστη δοκός (Δίδονται: =44 N θ=45º α=0,3m β=0,7m) Α α/ β/ α M β Ν ΣΜ = 0 => => y * 0,3m M = 0 => => M = y * 0,3m = = 700N * 0,3m = 0Nm (3γ) Σχ. γ 0,3m Q Υπάρχει ένα μικρό πλεονέκτημα στον υπολογισμό αν ως κέντρο των ροπών διαλέξουμε το σημείο της τομής (εδώ το ): δεν εμφανίζονται στην εξίσωση των ροπών οι άλλοι άγνωστοι (Ν, Q). Άλλος τρόπος υπολογισμού της καμπτικής ροπής είναι να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα που παρατίθεται στις επόμενες σελίδες.