Συστήματα συντεταγμένων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συστήματα συντεταγμένων"

Transcript

1 Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από βασικά τρισδιάστατα αντικείμενα, χρησιμοποιούμε μια ποικιλία μεθόδων. Οποιαδήποτε μέθοδο όμως και αν χρησιμοποιήσουμε, τα τρισδιάστατα αντικείμενα δημιουργούνται σε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων και στη συνέχεια σχεδιάζονται σε ένα δισδιάστατο σύστημα. Η διαχείριση, η εμφάνιση και η δημιουργία ενός αντικειμένου απαιτεί τη χρήση τρισδιάστατης γεωμετρίας και μετασχηματισμούς συντεταγμένων. Συστήματα συντεταγμένων Όλα τα σημεία στον τρισδιάστατο χώρο αναπαριστάνονται σε ένα τρισδιάστατο σύστημα, που μπορεί να θεωρηθεί ως επέκταση του δισδιάστατου συστήματος. Στο δισδιάστατο χώρο ολόκληρο το αντικείμενο περιλαμβάνεται στο επίπεδο. Στο χώρο των τριών διαστάσεων εισάγουμε έναν επιπλέον ορθογώνιο άξονα, δημιουργώντας έτσι ακόμη δύο βασικά επίπεδα και, όπως φαίνεται και στην εικόνα.. Εικόνα. Αναπαράσταση των τριών βασικών ορθογώνιων επιπέδων Ο προσανατολισμός των αξόνων, στο τρισδιάστατο σύστημα, μπορεί να είναι είτε δεξιόστροφος είτε αριστερόστροφος. Το δεξιόστροφο σύστημα δημιουργείται τοποθετώντας το δεξί χέρι με τον αντίχειρα προς την κατεύθυνση του άξονα και τα Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

2 δάχτυλα στραμμένα από το θετικό άξονα προς τον θετικό άξονα (δες την εικόνα.) Εικόνα. εξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Το αριστερόστροφο σύστημα προσδιορίζει την θέση του άξονα, όπως φαίνεται στην εικόνα.. Αν το αριστερό χέρι είναι τοποθετημένο με τα δάχτυλα στραμμένα από το θετικό άξονα προς το θετικό άξονα, ο αντίχειρας θα δείχνει στο θετικό άξονα. Εικόνα. Aριστερόστροφο σύστημα συντεταγμένων Συνήθως τα προβλήματα λύνονται με το δεξιόστροφο σύστημα συνταγμένων και αυτός είναι και ο λόγος που σήμερα έχει επικρατήσει, όταν λέμε παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων, να εννοούμε το δεξιόστροφο. Παρόλα αυτά όμως ορισμένα συστήματα γραφικών κάνουν χρήση του αριστερόστροφου συστήματος, με ένα νοητό επίπεδο και Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

3 το θετικό άξονα στην οθόνη. Κάτι τέτοιο όμως έχει ως αποτέλεσμα να μην είναι εμφανείς στο παρατηρητή οι θετικές τιμές του. Εκτός του καρτεσιανού συστήματος μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα συστήματα συντεταγμένων, όπως το σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, προκειμένου να ορίσουμε ένα τρισδιάστατο αντικείμενο. Στην συνέχεια τα τρισδιάστατα αντικείμενα θα περιγραφούν με βάση το καρτεσιανό σύστημα αναφοράς. Αναπαράσταση της τρισδιάστατης γεωμετρίας Το βασικό γεωμετρικό στοιχείο στον τρισδιάστατο χώρο είναι το σημείο, όπως και στο επίπεδο (δύο διαστάσεις), με τη διαφορά ότι στον χώρο απαιτούνται τρεις διαστάσεις. Η εικόνα. δείχνει ένα τετράεδρο στον τρισδιάστατο χώρο. Y Γ(, γ, ) Α(,, ) (,, δ ) Β( β,, ) X Εικόνα. Αναπαράσταση ενός τετραέδρου Η έννοια των ομογενών συντεταγμένων εφαρμόζεται και στην περιγραφή αντικειμένου στον χώρο, όπως και στη δισδιάστατη γεωμετρία. Το τετράεδρο μπορεί με τον τρόπο αυτό να παρασταθεί με έναν πίνακα ως εξής: Ρ β γ δ (.) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

4 Βασικοί τρισδιάστατοι μετασχηματισμοί Οι μετασχηματισμοί στον τρισδιάστατο χώρο εκτελούνται με τις ίδιες μεθόδους που χρησιμοποιούνται και στο δισδιάστατο χώρο με την προσθήκη της συντεταγμένης. Στις ομογενείς συντεταγμένες οι μετασχηματισμοί αναπαριστώνται με έναν πίνακα της μορφής: A D G J B E H K C F I L S (.) Ο πίνακας αυτός μπορεί να χωριστεί ως εξής: (.) Ο Χ υποπίνακας στο πάνω αριστερό τμήμα επιτρέπει την αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση), την αντανάκλαση, τη στρέβλωση και την περιστροφή, ενώ ο κάτω αριστερά Χ υποπίνακας παρέχει τη μετατόπιση. Αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση) Ο μετασχηματισμός αλλαγής κλίμακας επιτυγχάνεται τοποθετώντας τιμές στη βασική διαγώνιο του Χ πίνακα μετασχηματισμού. Με τον τρόπο αυτόν επιτυγχάνεται η τοπική αλλά και η γενική αλλαγή κλίμακας. Ένα σημείο Ρ(,,, ) αλλάζει κλίμακα στο Ρ*(*, *, *, ) με τον ακόλουθο μετασχηματισμό: A E * (.) I [ * * * ] [ ] Αυτό συνήθως καλείται αλλαγή κλίμακας ως προς την αρχή των αξόνων και αποτελεί επέκταση της δισδιάστατης αλλαγής κλίμακας που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Αν οι παράγοντες κλιμάκωσης Α, Ε, I είναι διαφορετικοί, η εικόνα του αντικειμένου παραμορφώνεται. Στην περίπτωση όπου οι παράγοντες κλιμάκωσης είναι ίδιοι, συμβαίνει μια αλλαγή στο μέγεθος αλλά διατηρούνται οι αρχικές αναλογίες (.). Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

5 [ * * * ] [ ] * s (.) [ s] Παρατηρήστε ότι, όταν χρησιμοποιούμε την γενική αλλαγή κλίμακας, η τέταρτη στήλη του μετασχηματισμένου πίνακα σημείου μπορεί να μην είναι ίση με. Όπως εξηγήθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο, αυτός ο πίνακας πρέπει να κανονικοποιηθεί, ώστε οι αντίστοιχες τιμές των,, να γίνουν οι καρτεσιανές συντεταγμένες. Για να αποκτήσουμε αυτές τις καρτεσιανές συντεταγμένες η εξίσωση. αλλάζει ως εξής: [ s ] s s s Για τιμές του s που είναι μεγαλύτερες από την μονάδα το μέγεθος του αντικειμένου μειώνεται. Προκειμένου να το μεγαλώσουμε, χρησιμοποιούμε στον πίνακα αλλαγής κλίμακας έναν παράγοντα του /s. Οι τελικές συντεταγμένες τότε θα είναι: [ s s s ] (.) Παράδειγμα. Θεωρούμε κύβο με πλευρά, εικόνα.. Οι ομογενείς συντεταγμένες του κύβου παριστάνονται σε μορφή πίνακα ως εξής: Pκ ύ βος Εφαρμόστε τον πίνακα μετασχηματισμού αλλαγής κλίμακας (κλιμάκωσης), για να μετατρέψετε τον παραπάνω κύβο σε μοναδιαίο. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

6 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ Λύση Ο πίνακας μετασχηματισμού αλλαγής κλίμακας S που χρειάζεται για το μετασχηματισμό του κύβου σε μοναδιαίο είναι: S ή S Αν ο πίνακας S εφαρμοστεί στον πίνακα (αρχικός) P κύβος, δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα δηλαδή τον πίνακα P* μοναδιαίος κύβος. P* μοναδιαίος κύβος P κύβος * S P* μοναδιαίος κύβος *

7 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 7 Εικόνα. Αλλαγή κλίμακας του κύβου ή σε κανονική μορφή: [P*] μοναδιαίος κύβος Μετατόπιση Ο ακόλουθος πίνακας μετασχηματισμού μετατοπίζει ένα σημείο (,, ) σ ένα νέο σημείο (*, *, *) μέσω των (J, K, L):

8 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 8 (,, ) (,, ) [ * * * ] [ ] * J K L (.7) Οι τιμές των J, K, L παρουσιάζουν την μετατόπιση ενός σημείου στις,, κατευθύνσεις. Η εικόνα. δείχνει το αποτέλεσμα της μετατόπισης του μοναδιαίου κύβου, με μια κορυφή του να συμπίπτει με την αρχή των αξόνων (,, ), στην νέα του θέση στο χώρο που έχει καθοριστεί από τον δεδομένο πίνακα μετασχηματισμού Τ (,, ). Κάθε κορυφή μετατοπίζεται το ίδιο, έτσι ώστε οι μετασχηματισμένες συντεταγμένες του κύβου σε μορφή πίνακα να είναι: Ρ* κύβος Ρ * Τ (,, ) ή Ρ* κύβος (.8) Εικόνα. Μετατόπιση μοναδιαίου κύβου T ), (, χ Υ χ Υ

9 Περιστροφή Οι περιστροφές στις τρεις διαστάσεις είναι σημαντικές για την κατανόηση του σχήματος ενός αντικειμένου. Είναι πιο πολύπλοκες από αυτές στις δύο διαστάσεις, γιατί στις τρεις διαστάσεις πρέπει να καθορίσουμε έναν άξονα περιστροφής αντί για ένα σημείο περιστροφής. Οι περιστροφές γύρω από τυχαίους άξονες μπορούν να αναλυθούν σε απλές περιστροφές γύρω από τους τρεις βασικούς άξονες συντεταγμένων και προσδιορίζονται από τις ακόλουθες διαδικασίες, παρόμοιες με αυτές που χρησιμοποιούνται στη δισδιάστατη περιστροφή. Η εικόνα.7 δείχνει τις τρεις βασικές θετικές περιστροφές γύρω από τους άξονες συντεταγμένων, και. Το σύστημα συντεταγμένων είναι δεξιόστροφο και οι περιστροφές θεωρούνται θετικές,. Εικόνα.7 Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων,, H περιστροφή ( θ) από τις παρακάτω σχέσεις: R ενός σημείου P(,, ) κατά γωνία θ ως προς τον άξονα δίδεται Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 9

10 Περιστροφή ως προς τον άξονα * cosθ - sinθ * sinθ + cosθ (.9) * ή από τον πίνακα περιστροφής R ( θ) R ( θ) cosθ sinθ sinθ cosθ (.) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

11 H περιστροφή ( θ) R ενός σημείου P(,, ) κατά γωνία θ και ως προς τον άξονα δίδεται από τις παρακάτω σχέσεις : * cos θ + sin θ * (.) * - sin θ + cos θ P*(*, *, *) P(,, ) ή από τον πίνακα περιστροφής R ( θ) Εικόνα.8 Περιστροφή ως προς τον άξονα ( θ) R cosθ sinθ sinθ cosθ (.) Τέλος, η περιστροφή ( θ) είναι: R γύρω από τον άξονα που προέκυψε από την εικόνα.9, Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

12 P(,, ) P*(*, *, *) Εικόνα.9 Περιστροφή ως προς τον άξονα * * cos θ - sin θ (.) * sin θ + cos θ ή ( θ) cosθ sinθ sinθ cosθ R (.) Είναι αξιοσημείωτο ότι το πρόσημο των ημιτόνων εμφανίζεται αντίθετο στον πίνακα θ θ R θ, και αυτό είναι αποτέλεσμα του R ( ) από αυτό των πινάκων R ( ) και ( ) δεξιόστροφου κανόνα. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

13 Παράδειγμα. Ας θεωρήσουμε ένα λοξοτομημένο κύβο, όπως φαίνεται στην εικόνα.. Τα σημεία Ρ μέχρι P ορίζουν τη γεωμετρία αυτού του κύβου και μπορούν να γραφούν με την μορφή πίνακα ως εξής: 8. Ρ 8. Περιστρέψτε τον κύβο, ώστε το κάτω επίπεδο, που ορίζεται από τα σημεία Ρ, Ρ, Ρ και Ρ, να είναι παράλληλo με το επίπεδο. Εικόνα. Γεωμετρία του λοξοτομημένου κύβου Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

14 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ Λύση Για να κάνω το επίπεδο Ρ Ρ Ρ Ρ παράλληλο στο επίπεδο, η περιστροφή μπορεί να εκφραστεί στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων γύρω από τον άξονα κατά 9 μοίρες. Ο κατάλληλος πίνακας δίνεται: ( ) θ θ θ θ θ cos sin sin cos R Για θ9 ο πίνακας γίνεται: ( ) 9 R Ο πίνακας των μετασχηματιζόμενων σημείων είναι: Ρ* Ρ * ( ) 9 R ή Ρ*

15 Η εικόνα. δείχνει το αντικείμενο έπειτα από 9 μοίρες περιστροφή ώστε να είναι παράλληλo με το επίπεδο Εικόνα. Ο λοξοτομημένος κύβος μετά από περιστροφή 9 ο ως προς τον άξονα Πρέπει να δίνουμε προσοχή όταν εφαρμόζουμε διαδοχικά πίνακες περιστροφής. Η σειρά με την οποία εκτελούνται οι περιστροφές έχει επίδραση στο αποτέλεσμα. Στην εικόνα. η τελική θέση της σφήνας ύστερα από την πρώτη ακολουθία είναι διαφορετική από την τελική θέση ύστερα από την δεύτερη ακολουθία. Αυτό συμβαίνει γιατί οι πολλαπλασιασμοί πινάκων είναι γενικώς μη ανατρέψιμοι. Η εικόνα. συνοψίζει τους πίνακες περιστροφής ως προς τους τρείς άξονες συντεταγμένων. Στην εικόνα. α γίνεται περιστροφή 9ο γύρω από τον άξονα ακολουθούμενη από περιστροφή 9ο γύρω από τον άξονα ενώ στην εικόνα. β γίνεται περιστροφή 9ο γύρω από τον άξονα ακολουθούμενη από περιστροφή 9ο γύρω από τον άξονα Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

16 Εικόνα. Η σειρά των περιστροφών επηρεάζει την τελική θέση ενός αντικειμένου Y Y Y Z X Z X Z X Εικόνα. α Πίνακες περιστροφής γύρω από τους άξονες συντεταγμένων Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

17 Y Y Y X Z X Z X Z Εικόνα. β Πίνακες περιστροφής γύρω από τους άξονες συντεταγμένων Περιστροφή ως πρός τυχαίο άξονα Περιστροφές γύρω από τυχαίους άξονες στο χώρο συμβαίνουν συχνά. Η εικόνα. παρουσιάζει την λαβή ενός ρομπότ που περιστρέφεται γύρω από τον τυχαίο άξονα ΑΒ (βραχίονα του ρομπότ) και έχει κλίση ως προς τους βασικούς άξονες του συστήματος δίχως να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 7

18 λαβή αρχή αξόνων Εικόνα. Περιστροφή της λαβής ενός ρομπότ γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ Αυτή η περιστροφή, της λαβής ενός ρομπότ γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ, επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας μια σειρά μετατοπίσεων και απλών περιστροφών που συντελούν ώστε ο τυχαίος άξονας ΑΒ να συμπέσει αφενός με έναν από τους αρχικούς άξονες, στην συνέχεια να πραγματοποιηθεί η επιθυμητή περιστροφή ως προς τον αρχικό άξονα και τέλος να επιστρέψει ο τυχαίος άξονας ΑΒ στην αρχική του θέση. Η ακολουθία των βημάτων δίνεται ως εξής: Εστω ΑΒ ο τυχαίος άξονας, μήκους l, όπου Α(,, ) και B(,, ) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 8

19 Α(,, ) l B(,, ).Μετατοπίζω τον αυθαίρετο άξονα ΑΒ κατά (-, -, - ) έτσι ώστε το Α να συμπέσει με την αρχή των αξόνων (,, ). (a, b, c) (,, ).Εκτελώ τις περιστροφές γύρω από τους άξονες και, για να ευθυγραμμιστεί ο αυθαίρετος άξονας με το θετικό άξονα. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 9

20 (a, b, c) (,, ) l a l φ l. Περιστρέφω ως προς τον άξονα με την επιθυμητή γωνία θ. l θ Εφαρμόζω αντίστροφες περιστροφές γύρω από τους άξονες και. Με τον τρόπο αυτό ο αυθαίρετος άξονας επιστρέφει στην αρχική του θέση. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

21 (a, b, c) l l (,, ) φ l a Εφαρμόζω την αντίστροφη μετατόπιση, για να τοποθετήσω τον αυθαίρετο άξονα στην αρχική θέση στο χώρο. l B(,, ) Α(,, ) Όλοι αυτοί οι μετασχηματισμοί αποτελούν αλληλουχία σε έναν απλό πίνακα που εκφράζεται από: Μ Τ (,, )* R ( α) * R ( ϕ) * R ( θ) * R ( ϕ) * R ( α) * T(,, ) (.) Ο κάθε πίνακας μετασχηματισμού σ αυτήν την έκφραση είναι δυνατόν να βρεθεί μέσω γεωμετρικών υπολογισμών. Η μετατόπιση Τ(-, -, - ) δίνεται από: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

22 Τ(-, -, - ) (.). Για να δημιουργήσω τον πίνακα περιστροφής γύρω από τον άξονα, είναι απαραίτητο να υπολογίσω τη γωνία περιστροφής α. Η εικόνα. δείχνει ότι η γωνία α μπορεί να βρεθεί με την προβολή του τυχαίου άξονα στο επίπεδο. προβολή σημείου (a, b, c) Εικόνα. Η γωνία περιστροφής α μπορεί να βρεθεί με προβολή του τυχαίου άξονα πάνω στο επίπεσο Από αυτήν την προβολή: περιστροφή σημείου (a, b, c) sin α b b + c b d (.7) cos α b c + c c d Ακολουθώντας τη θετική κατεύθυνση περιστροφής γύρω από τον άξονα χ, ο πίνακας μετασχηματισμού μπορεί να γραφεί: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

23 R ( α) cosα sinα sinα cosα c d b d b d c d (.8) Η γωνία περιστροφής φ γύρω από τον άξονα φαίνεται στην εικόνα.. (a, b, c) l προβολή σημείου (a,, d) d φ l περιστροφή σημείου (,, l) (α,, d) Εικόνα. Γωνία περιστροφής φ sin φ l α (.9) cos φ l d Σημειώνουμε ότι η περιστροφή γύρω από τον άξονα είναι αρνητική και l α +b +c (εικόνα.) είναι. Ενώ η τιμή του d, στο σημείο περιστροφής (α,, d) του επιπέδου, d + b c λόγω των παρακάτω σχέσεων Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

24 α + b + c l α + d l (.) ή α + b + c α + d από τις οποίες προκύπτει d + b c (.) Η περιστροφή σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού γύρω από τον άξονα δίνεται από τον πίνακα: R ( ϕ) cosϕ sinϕ sinθ cosφ d l α l α l d l (.) Η περιστροφή γύρω από τον τυχαίο άξονα τώρα τοποθετείται κατά μήκος του άξονα και τελικά επιτυγχάνεται με: R ( θ) cos θ sin θ sin θ cos θ (.) Στη σνέχεια εφαρμόζουμε τους αντίστροφους πίνακες μετασχηματισμού, για να λύσουμε το πρόβλημα. Παράδειγμα. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

25 Βρείτε τις καινούριες συντεταγμένες του μοναδιαίου κύβου (εικόνα.7) που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, που ορίζεται από τα σημεία τέλους Α(,, ) και Β(,, ). Η γωνία περιστροφής πρέπει να είναι 9 μοίρες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Λύση Εικόνα.7 Γεωμετρία του μοναδιαίου κύβου Για την επίλυση του προβλήματος θα ακολουθήσουμε τα βήματα που αναφέραμε προηγουμένως: Μετατοπίζω το σημείο Α στην αρχή A (,, ): T ( ) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

26 B (,, ) A (,, ) Περιστρέφω τον άξονα Α Β γύρω από τον άξονα κατά γωνία α μέχρι να πέσει στο επίπεδο. Από τα προηγούμενα έχουμε: sin α + cos α (,, ) B (,, ) προβολή του Β d l α Α Β (,, ) και l + + Άρα Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

27 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 7 φ Α (,, ) ( ) α R.Περιστρέφω τον άξονα Α Β γύρω από τον άξονα με γωνία φ μέχρι να συμπέσει με τον άξονα. Από το παρακάτω σχήμα προκύπτουν οι σχέσεις sin φ cos φ και Β (,, )

28 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 8 ( ) ϕ R Περιστρέφω τον κύβο κατά 9 μοίρες γύρω από τον άξονα. ( ) 9 R Τελικά ο πίνακας περιστροφής M ΑΒ ως προς τον τυχαίο άξονα ΑΒ δίδεται από την παρακάτω σχέση: M AB * * ( ),, T ( ) α R ( ) ϕ R

29 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 9 * * * ( ) 9 R ( ) ϕ R ( ) α R ( ),, T Ο πολλαπλασιασμός του Μ ΑΒ με τον πίνακα σημείων του αρχικού κύβου μας δίνει τις μετασχηματισμένες συντεταγμένες που είναι: Ρ* P *Μ ΑΒ * P *

30 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ P* Άλλοι τρισδιάστατοι μετασχηματισμοί Ανάκλαση Οι ανακλάσεις, στον τρισδιάστατο χώρο (,, ), R f, R f, R f και R f(,, ), ως προς τα επίπεδα ανάκλασης,, και την αρχή των αξόνων (,, ) αντίστοιχα, προσδιορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις. R f R f R f ( ) R,, f Πίνακες ανάκλασης

31 Παράδειγμα. ίνεται ένα σημείο Ρ(,, -). Καθρεφτίστε (ανάκλαση) το ως προς το επίπεδο που ορίζεται από τις κορυφές Α(,, ), Β(,, ) και Γ(,, ). Υποτίθεται ότι το σύστημα είναι δεξιόστροφο. Λύση Θα χρησιμοποιηθούν οι παρακάτω μετασχηματισμοί:. Περιστροφή, ως προς τον άξονα κατά γωνία θ, έτσι ώστε το επίπεδο ABΓ να συμπέσει με το επίπεδο (εικόνα.). Β Ρ(,, -) Α θ Γ (,, ) Εικόνα. Περιστροφή επιπέδου ΑΒΓ κατά γωνία θ, ως προς τον άξονα. όπου sin θ cosθ. Αντανάκλαση ως προς το επίπεδο.. Περιστροφή του ABΓ πίσω στην αρχική θέση. Ο πίνακας μετασχηματισμού δίνεται ως εξής: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

32 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ M θ θ θ θ θ θ θ θ cos sin sin cos * * cos sin sin cos R (θ) R f R (-θ) * * Η εικόνα αντανάκλασης του σημείου Ρ είναι: Ρ* P*M ή Ρ* [ - ] * [ ] ή Ρ* [ ] Στρέβλωση Oι τρισδιάστατοι μετασχηματισμοί στρέβλωσης προκαλούν παραμορφώσεις στα αντικείμενα μεταβάλλοντας τις τιμές μιας ή δύο συντεταγμένων κατά ποσοστό ανάλογο προς την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι η στρέβλωση ως προς τα επίπεδα, και, ελέγχεται από τον τρίτο άξονα, και αντίστοιχα. Το αποτέλεσμα της στρέβλωσης προκύπτει από τους όρους, που δεν ανήκουν στην κύρια διαγώνιο και συγκεκριμένα από τον υποπίνακα, του γενικού πίνακα μετασχηματισμού.

33 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ S S S S S S (.) Παρακάτω δίδονται αναλυτικά οι πίνακες στρέβλωσης ως προς τα επίπεδα, &. Η στρέβλωση ως προς το επίπεδο δίδεται από τον πίνακα S S S h όπου, S και S είναι οι παράγοντες στρέβλωσης, ελέγχονται από τον άξονα (παραμένει αμετάβλητη η συντεταγμένη ), κατά μήκος των αξόνων και αντίστοιχα Η στρέβλωση ως προς το επίπεδο δίδεται από τον πίνακα S S S h όπου, S και S είναι οι παράγοντες στρέβλωσης, ελέγχονται από τον άξονα (παραμένει αμετάβλητη η συντεταγμένη ), κατά μήκος των αξόνων και αντίστοιχα. Η στρέβλωση ως προς το επίπεδο δίδεται από τον πίνακα S S S h όπου, S και S είναι οι παράγοντες στρέβλωσης, ελέγχονται από τον άξονα (παραμένει αμετάβλητη η συντεταγμένη ), κατά μήκος των αξόνων και αντίστοιχα

34 Μετασχηματισμός συστήματος συντεταγμένων. Μέχρι τώρα όλοι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εκτελούνται μέσα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Παρόλα αυτά σε πολλές εφαρμογές υπάρχει ανάγκη να περάσουμε από ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα άλλο. Η εικόνα. δείχνει τη χρήση πολλαπλών συστημάτων εξομοιώνοντας τις κινήσεις ενός ρομπότ. βραχίονες αρχή των αξόνων, παγκοσμίου συσήματος συντεταγμένων Γ λαβή εικόνα. Το ρομπότ μετακινείται στο επίπεδο του παγκοσμίου συστήματος συντεταγμένων. Οι βραχίονες και η λαβή όμως εκτελούν κυκλική κίνηση σε σχέση με τα συστήματα συντεταγμένων που είναι ορισμένα στα Α, Β και Γ. Οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων μπορούν να εφαρμοστούν, αν καθορίσουμε πως για το ίδιο αντικείμενο ένα σύστημα συντεταγμένων σχετίζεται με ένα άλλο σύστημα. Αυτό επιτυγχάνεται με μια σειρά μετασχηματισμών, μετατοπίσεων, περιστροφών, αλλαγών κλίμακας (κλιμάκωσης) κ.λ.π που επιβάλλουν τα δύο συστήματα συντεταγμένων. Το ακόλουθο παράδειγμα παρουσιάζει αυτή τη διαδικασία. Παράδειγμα. Η αρχή των αξόνων Γ(,, ) του συστήματος συντεταγμένων (,, ) του βραχίονα ΒΓ ενός ρομπότ (εικόνα.) είναι τοποθετημένη στο (,, ) ως προς το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (,, ) και υφίσταται μια περιστροφή ο μοιρών γύρω από τον άξονα. Μετά την περιστροφή, η άκρη της λαβής έχει συντεταγμένες (,, ) ως προς το δικό της σύστημα συντεταγμένων (,, ). Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

35 Ο βραχίονας ΒΓ πρέπει προηγουμένως να περιστραφεί γύρω από τον άξονα κατά ο σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού. Βρείτε τις τελικές συντεταγμένες της άκρης της λαβής ως προς το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (,, ). Λύση Η λύση επιτυγχάνεται εκτελώντας πρώτα την ο περιστροφή του βραχίονα γύρω από τον άξονα. Εν συνεχεία το σύστημα συντεταγμένων του βραχίονα μετά από μια περιστροφή ο γύρω από τον άξονα του παγκοσμίου συστήματος και μια μετατόπιση της αρχής των αξόνών του κατά (,, ) δίδει τις μετασχηματισμένες συντεταγμένες του σημείου (,, ) που αναπαριστά την άκρη της λαβής. o cos o sin [ ] [ ]* o o cos sin o o sin cos * * [7.. ] sin cos o o Περίληψη Αυτό το κεφάλαιο περιγράφει τους τρισδιάστατους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς ως σημαντικά εργαλεία δημιουργίας και επεξεργασίας μοντέλων. Αυτοί οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί μπορούν να συνδυαστούν με σκοπό να παράγουν το επιθυμητό αποτέλεσμα με έναν απλό μετασχηματισμό που μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα. Τους τρισδιάστατους αυτούς μετασχηματισμούς είναι δυσκολότερο να τους φανταστεί κανείς απ ότι τους δισδιάστατους, αλλά είναι σημαντικοί και χρήσιμοι σε διάφορες εφαρμογές. Για παράδειγμα, πολλά αντικείμενα μπορεί να περιγραφούν ως συνδυασμοί απλών όγκων, όπως κύβοι, κύλινδροι κ.λ.π. Οι απαραίτητοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί μπορούν να εφαρμοστούν και σε μονάδες όγκου για να παράγουν το τελικό επιθυμητό σχήμα και μέγεθος. Αυτή η προσέγγιση μειώνει τον αριθμό των βασικών σχημάτων που ένα γεωμετρικό σύστημα μοντέλων πρέπει να παρέχει. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή

Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα

Μαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

Τα ρομπότ στην βιομηχανία

Τα ρομπότ στην βιομηχανία Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Δρ. Φασουλάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών. Τα ρομπότ στην βιομηχανία

Εισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών. Τα ρομπότ στην βιομηχανία Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Τα ρομπότ στην

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές

Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Κεφάλαιο 3 - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί και Προβολές Σύνοψη Το παρόν κεφάλαιο είναι θεμελιώδες για τα συστήματα γραφικών. Αποτελεί τη βάση για την υλοποίηση πολλών πιο πολύπλοκων διαδικασιών όπως ο φωτισμός,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ II Μάθημα 3 ο και 4 ο. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ II Μάθημα 3 ο και 4 ο. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ II Μάθημα 3 ο και 4 ο Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Εμβαδά Υπολογισμός του εμβαδού μιας επιφάνειας γίνεται πάντα στο οριζόντιο επίπεδο με τις παρακάτω μεθόδους: Από τις επίπεδες καρτεσιανές συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M)

Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M) . ΥΠΟΛΟΙΣΜΟΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (N, Q, M). Ορισμοί φορτίσεων μίας δοκού Οι φορτίσεις που μπορεί να εμφανισθούν σ'ένα σώμα είναι ο εφελκυσμός (ή η θλίψη με κίνδυνο λογισμού), η διάτμηση, η κάμψη και η στρέψη.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ -ΈΛΛΕΙΨΗΣ Μια εικόνα μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια προβολή ψηφιδοπλέγματος, μια εικόνα καθορίζεται πλήρως από το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακές Ασκήσεις

Φροντιστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ Φροντιστηριακς Ασκήσεις Άσκηση ίνεται να τρίγωνο με τις ακόλουες συντεταγμνες κορυφών: Α(, ), Β(, ) και Γ(, ). Περιστρψτε το κατά 9 μοίρες γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις.

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις. ΔΙΚΤΥΑ SCHMIDT Στερεογραφική προβολή Η στερεογραφική προβολή είναι μια μέθοδος που προσφέρει το πλεονέκτημα της ταχύτατης λύσης προβλημάτων που λύνονται πολύπλοκα με άλλες μεθόδους. Με την στερεογραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

Σημειώσεις για το μάθημα Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM) ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος . Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση 1 A) Δυο τραίνα ταξιδεύουν στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα 1 m s. Το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz

Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Ο ειδικός μετασχηματισμός του Lorentz Με αφετηρία τις δυο απαιτήσεις της Ειδικής Θεωρίας Σχετικότητας του Einstein θα βρούμε τον ειδικό μετασχηματισμό του Lorentz Πρώτη απαίτηση: Όλοι οι αδρανειακοί παρατηρητές

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ

Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ. Γενικές αρχές. Η αντιληπτική μας ικανότητα του Φυσικού Χώρου, μας οδηγεί στον προσδιορισμό των σημείων του, μέσω τριών ανεξαρτήτων παραμέτρων. Είναι, λοιπόν, αποδεκτή η απεικόνισή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Simplici: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω Salviati: Θα το κατανοήσεις όταν σου δείξω που βρίσκεται το σφάλμα σου ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://www.teiath.gr/stef/tio/medisp/gr_downloads.htm E-mail: gloudos@teiath.gr Ροπή Η τάση για περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Ένα οπτικό φράγμα με δυο σχισμές που απέχουν μεταξύ τους απόσταση =0.0 mm είναι τοποθετημένο σε απόσταση =1,0 m από μια οθόνη. Το οπτικό φράγμα με τις δυο σχισμές φωτίζεται

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών

Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Η χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών με DGS, ως μέθοδος επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικών τόπων και κατασκευών Ειρήνη Περυσινάκη peririni@hotmail.com Δρ. Πανεπιστημίου UCL Επιμορφώτρια Β Επιπέδου Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Fundamentals of Lasers

Fundamentals of Lasers Fundamentals of Lasers Συνθήκη κατωφλίου: Ας υποθέσουμε ένα μέσο με καταστάσεις i> και k>, με ενέργειες Ε i, Ε k. Ένα Η/Μ κύμα που διαδίδεται σε αυτό το μέσο θα μεταβάλλει την έντασή του σύμφωνα με τη

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ. 2. Στερεοστατική. 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων Δύναμη 2. Στερεοστατική 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1.1 Δύναμη Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούν διάφορα αποτελέσματα. Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή

Γραφικά με Η/Υ / Εισαγωγή Γραφικά με Η/Υ Εισαγωγή Πληροφορίες μαθήματος (1/4) Υπεύθυνος μαθήματος: Μανιτσάρης Αθανάσιος, Καθηγητής ιδάσκοντες: Μανιτσάρης Αθανάσιος: email: manits@uom.gr Μαυρίδης Ιωάννης: email: mavridis@uom.gr

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ 4_15580 Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1 = μc και Q = 8 μc, συγκρατούνται ακλόνητα πάνω σε οριζόντιο μονωτικό δάπεδο, στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, σε απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Απλές εντολές γραφικών

Ενότητα 1: Απλές εντολές γραφικών Ενότητα 1: Απλές εντολές γραφικών ΣΤΚ: Στυλό Κάτω ΣΒΓ: Σβήσε Γραφικά (Σβήνει όλα τα σχέδια και φέρνει τη χελώνα στην αρχή με το κεφάλι προς τα πάνω) Εντολές Κίνησης: Εντολές Παραδείγματα σύνταξης Εντολή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα