ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης και μοντέλα συσχέτισης» Αθανασοπούλου Ανδριάνα Α.Μ:303 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Φίλιππος Αλεβίζος

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή..σελ 3 Κεφάλαιο 1 ο Γραμμική Παλινδρόμηση 1.1 Μοντέλα παλινδρόμησης...σελ Πρώτο μοντέλο παλινδρόμησης......σελ Περίπτωση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής...σελ Περίπτωση δύο ανεξαρτήτων μεταβλητών...σελ Δεύτερο μοντέλο παλινδρόμησης...σελ Εκτίμηση των διακυμάνσεων...σελ Διάστημα εμπιστοσύνης για το Β.σελ Υπολογιστικές μέθοδοι..σελ 24 Κεφάλαιο 2 ο Κανονικά μοντέλα συσχέτισης 2.1 Διάκριση μεταξύ μοντέλων παλινδρόμησης και μοντέλων συσχέτισης σελ Δισδιάστατη κανονική κατανομή..σελ Δεσμευμένες κατανομές.σελ Βασικά χαρακτηριστικά των δεσμευμένων κατανομών σελ Δεσμευμένες κατανομές της Χ σελ Εκτιμητές των μ, μ, ρ, σ, σ...σελ Πολυμεταβλητή κανονική κατανομή.σελ Εύρεση δεσμευμένων πολυμεταβλητών κατανομών..σελ 35 1

3 2.6.1 Εκτίμηση των β, β..σελ Συμπεράσματα για τις δεσμευμένες κατανομές...σελ 42 Κεφάλαιο 3 ο Συσχέτιση 3.1 Απλός συντελεστής συσχέτισης...σελ Πολλαπλός συντελεστής συσχέτισης...σελ Μερικός συντελεστής συσχέτισης....σελ 48 Κεφάλαιο 4 ο Έλεγχοι υποθέσεων για τους συντελεστές συσχέτισης 4.1 Έλεγχοι υποθέσεων στο διμεταβλητό κανονικό μοντέλο συσχέτισης..σελ Έλεγχος υπόθεσης για το ρ.σελ Διάστημα εμπιστοσύνης για το ρ...σελ Σύγκριση δυο συντελεστών συσχέτισης.σελ Έλεγχοι υποθέσεων στο πολυμεταβλητό κανονικό μοντέλο συσχέτισης..σελ Έλεγχος υπόθεσης για τον πολλαπλό συντελεστή συσχέτισης σελ Έλεγχος υποθέσεων στους μερικούς συντελεστές συσχέτισης....σελ Διαστήματα εμπιστοσύνης για τους μερικούς συντελεστές σελ Συντελεστής συσχέτισης του Spearman.σελ 58 Βιβλιογραφία...σελ 61 Παράρτημα..σελ 62 2

4 Εισαγωγή Τα μοντέλα παλινδρόμησης χρησιμοποιούνται ευρέως σήμερα στη διοίκηση των επιχειρήσεων, στην οικονομία, στη μηχανική, στην υγεία, τη βιολογία και τις κοινωνικές επιστήμες. Στη στατιστική, η ανάλυση παλινδρόμησης είναι μία στατιστική διαδικασία για την εκτίμηση των σχέσεων μεταξύ διαφόρων μεταβλητών. Περιέχει πολλές τεχνικές για τη μοντελοποίηση και την ανάλυση των μεταβλητών αυτών, ενώ επικεντρώνεται συνήθως στη σχέση μεταξύ μιας εξαρτημένης και μιας ή περισσοτέρων ανεξαρτήτων μεταβλητών. Η παρούσα εργασία επιδιώκει να παρουσιάσει το θεωρητικό πλαίσιο της ανάλυσης παλινδρόμησης, ξεκινώντας από το απλό μοντέλο και επεκτείνοντας την ανάλυση στο πολλαπλό, για να καταλήξει και να επικεντρωθεί στα μοντέλα συσχέτισης και συγκεκριμένα στους συντελεστές συσχέτισης και στους ελέγχους υποθέσεων αυτών. Η διπλωματική εργασία βασίστηκε στα παρακάτω βιβλία: Richard A. Johnson, Dean W. Wichern, Applied Multivariate Statistical analysis (3rd edition) Taro Yamane, Mathematics For Economists: An Elementary Survey, Englewood Cliffs Prentice Hall INC (2nd edition) Michael Kutner, Christopher Nachtsheim, John Neter, Applied Linear Regression Models (3rd edition) 3

5 1.1 Μοντέλα Παλινδρόμησης Κεφάλαιο 1 ο Γραμμική Παλινδρόμηση Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα παρουσιάσουμε τα μοντέλα συσχέτισης τα οποία χρησιμοποιούνται σε ένα ευρύ φάσμα των επιστημών στις μέρες μας. Εισαγωγικά θα αναλύσουμε και θα θεμελιώσουμε τα βασικά μοντέλα παλινδρόμησης έτσι ώστε να είναι σαφές το πλαίσιο μέσα στο οποίο θα κινηθούμε αργότερα. Για τον σκοπό αυτό ας θεωρήσουμε το παρακάτω μοντέλο: Υ = Α + ΒΧ + ε Το μοντέλο αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Α+ΒΧ είναι η ευθεία γραμμή. Υ είναι η εξαρτημένη μεταβλητή και ε είναι η απόκλιση του Υ από την ευθεία. Χρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο μπορούμε να διακρίνουμε τις παρακάτω δυο περιπτώσεις. Εικόνα 1 Μοντέλο 1 ο : Το Υ είναι μια τυχαία μεταβλητή, το Χ είναι μία συγκεκριμένη σταθερά, το ε είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί N(0, σ ), όπου το σ είναι άγνωστο και Α και Β είναι παράμετροι. Η διαφορά μεταξύ Υ και Χ είναι ότι το Υ έχει συνάρτηση πυκνότητας ενώ το Χ όχι. Το 4

6 στατιστικό πρόβλημα είναι το να διαλέξουμε ένα δείγμα με τιμές ώστε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους Α και Β. Μοντέλο 2 ο : Το ε είναι μία τυχαία μεταβλητή τέτοια ώστε E(ε) = 0, Var(ε) = σ, όπου το σ είναι άγνωστο. Εδώ δεν θεωρούμε ότι το ε ακολουθεί την κανονική κατανομή. 1.2 Μοντέλο Περίπτωση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής (i) Ο πληθυσμός Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε τη σχέση μεταξύ του ύψους των πατεράδων (Χ) και των υιών (Υ). Για κάθε δοθέν ύψος Χ, δίνεται και ένας υποπληθυσμός τιμών Υ. Ο συνολικός πληθυσμός αποτελείται από μία οικογένεια κ υποπληθυσμών. Ας είναι μ το μέσον του i υποπληθυσμού και ας κάνουμε την παρακάτω (γραμμική) υπόθεση (1) μ = Α + ΒΧ. Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος είναι μία γραμμική συνάρτηση των Χ. Ας είναι επίσης Υ να είναι η j ανεξάρτητη τιμή του i υποπληθυσμού. Τότε (2) ε = Y μ, i = 1,2,, k είναι η απόκλιση του Y από το μ. Από τις σχέσεις (1) και (2) βρίσκουμε ότι (3) Y = Α + ΒX + ε Η υπόθεση γι αυτό το μοντέλο είναι ότι το ε ακολουθεί κανονική κατανομή με E(ε) = 0, Var(ε) = σ. Αξίζει να σημειωθεί ότι εδώ δεν έχουμε προσδιορίσει την κατανομή του Y, έχουμε μόνο υποθέσει ότι είναι τυχαία μεταβλητή. Σε αυτό το σημείο θα προσδιορίσουμε την κατανομή του Y με τη βοήθεια των Ιακωβιανών μετασχηματισμών, και χρησιμοποιώντας τις υποθέσεις που έχουμε κάνει για το ε. Αρχικά ας σημειώσουμε ότι EY = A + ΒΧ + Εε = Α + ΒX = μ Έπειτα βρίσκουμε ότι Var(ε) = E[ε Ε(ε)] = Ε(ε) = Ε[Υ μ ] = Var(Y ) Έτσι Var(ε) = VarY = σ. Αυτό συνεπάγεται ότι οι διακυμάνσεις για όλους τους υποπληθυσμούς είναι ίσες. Είναι όπως συνήθως αποκαλείται η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας. 5

7 Από την στιγμή που το ε ακολουθεί N(0, σ ), η συνάρτηση πυκνότητας είναι g(ε) = e. Χρησιμοποιώντας τον Ιακωβιανό μετασχηματισμό στη (2), έχουμε (4) f(y)dy = gε(y) J dy = e () 1 dy = e () dy, όπου J είναι J = () = () = 1. Έτσι από τη σχέση (4) βλέπουμε ότι η Υ κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή μ και διακύμανση σ. (ii) Εκτίμηση των παραμέτρων Α και Β Ας πάρουμε τώρα ένα δείγμα μεγέθους n. Αυτό το δείγμα μπορεί να εκφραστεί με δύο τρόπους. Ο ένας είναι ένα δείγμα n τιμών του ε (ε, ε,, ε ). Ο δεύτερος είναι να το εκφράσουμε σαν ένα δείγμα (Χ, Υ ),(Χ, Υ ),, (Χ, Y ). Στην πράξη τα Χ και Υ είναι παρατηρηθείσες τιμές. Ωστόσο επειδή είναι δύο ισοδύναμες γραφές σε θεωρητικές συζητήσεις θα χρησιμοποιούνται αμφότερες. Αφού το ε κατανέμεται κανονικά, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας για να εκτιμήσουμε τα Α,Β και σ. Γι αυτό το λόγο χρειαζόμαστε τη συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγματος. Αυτή είναι: L = g(ε) = (2πσ ) exp 1 2σ ε = (2πσ ) exp 1 2σ (Y A BX ) Όπως μπορούμε να δούμε η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ισοδύναμη με L = g(ε) = f(y) Οι αναγκαίες συνθήκες για να μεγιστοποιήσουμε το L ως προς Α, Β, και σ είναι L A = 0, L B = 0, L σ = 0 Για να απλοποιήσουμε την παραγώγιση, πρώτα βρίσκουμε το logl και μετά παραγωγίζουμε. Αυτό είναι επιτρεπτό καθώς η λογαριθμική συνάρτηση είναι μονότονη και έτσι δεν επηρεάζει τις συνθήκες ώστε να βρούμε το μέγιστο. Τα αποτελέσματα της παραγώγισης είναι: (5) nσ = (Y A BX ) (6) (Y A BX ) = 0 (7) X (Y A BX ) = 0 6

8 Επιλύοντας αυτές τις εξισώσεις, βρίσκουμε: Α = Υ ΒΧ Β = (Υ Υ)(Χ Χ) (Χ Χ) σ = 1 n (Y A BX ) όπου Χ και Υ είναι οι δειγματικοί μέσοι, δηλαδή Χ = X, Y = Y Οι εξισώσεις (6) και (7) καλούνται κανονικές εξισώσεις. Ας είναι τώρα Α = α, Β = b τότε η εξίσωση για την (1) γίνεται: (8) Υ = a + bx Ας σημειώσουμε εδώ ότι το Υ είναι μια εκτίμηση του μ και είναι μία μέση τιμή. Μια τιμή Υ του δείγματος μπορεί να παρασταθεί ως Υ = Υ + e όπου το e δείχνει την απόκλιση του Υ από τη δειγματική εξίσωση παλινδρόμησης Υ. Οι κανονικές εξισώσεις έχουν συνήθως την παρακάτω μορφή: Υ = na + b X (9) XY = a X + b X Έχουμε δει ότι a = Y bx. Κάνοντας αντικατάσταση στην (8) έχουμε: (10) Υ = Y + b(x X) ή Υ Y = b(x X). Αν τώρα y = Y Y και x = X X τότε, (11) y = bx Όπως είδαμε η εξίσωση (11) προκύπτει από την εξίσωση (8) μετατοπίζοντας το (Υ, Χ) και ορίζοντας τα y και x να είναι οι αποκλίσεις από τη μέση τιμή. 7

9 1.2.2 Περίπτωση δύο ανεξαρτήτων μεταβλητών Ας θεωρήσουμε ότι (1) μ = Α + Β Χ + Β Χ όπου η μεταβλητή Χ είναι το ύψος της μητέρας. Τότε οι αποκλίσεις ε είναι: (2) ε = Υ μ και (3) Υ = Α + Β Χ + Β Χ + ε Η κατανομή του Υ βρίσκεται με ακριβώς τον ίδιο τρόπο με πριν. Είναι Ν(μ, σ ). Ας σημειώσουμε ότι η Ιακωβιανή είναι J = 1 για τον μετασχηματισμό (2). Για να βρούμε εκτιμητές για τα Α, Β, Β, και σ παίρνουμε ένα δείγμα μεγέθους n και εφαρμόζουμε τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας. Ας είναι το δείγμα (Υ, Χ, Χ ), (Υ, Χ, Χ ),, (Υ, X, X ) ή ε, ε,, ε. Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι: (4) L = g(ε) = f(y) = (2πσ ) exp [ (Υ Α Β Χ Β Χ ) ] Για να απλοποιήσουμε την παραγώγιση, παίρνουμε το λογάριθμο της L. Τότε: (4 ) logl = log2π logσ (Υ Α Β Χ Β Χ ) Παραγωγίζουμε ως προς Α, Β, Β, και σ. Έπειτα θέτουμε τις μερικές παραγώγους ίσες με το μηδέν και βρίσκουμε: (5) nσ = (Y Α Β Χ Β Χ ) (6) (Y Α Β Χ Β Χ ) = 0 (7) X (Y Α Β Χ Β Χ ) = 0 (8) X (Y Α Β Χ Β Χ ) = 0 Οι εξισώσεις (6),(7), και (8) οι οποίες είναι οι κανονικές εξισώσεις γίνονται: (9) Y = na + b X + b X X Y = a X + b X + b X X X Y = a X + b X X + b X 8

10 Οι παράμετροι α, b, και b βρίσκονται λύνοντας τις παραπάνω εξισώσεις ταυτόχρονα. Επίσης η (9) γράφεται ως εξής: Παρ όλα αυτά, (Y Y) = na + b ( X X ) + b ( X X ) (Y Y) = 0, ( X X ) = 0, και ( X X ) = 0 Έτσι, na = 0, αυτό σημαίνει ότι α=0. Αυτό σημαίνει ότι η γραμμική παλινδρόμηση περνάει από (Υ, Χ,Χ ). Οι άλλες δύο κανονικές εξισώσεις γίνονται: (10) ( X X )(Y Y) = b (X X ) + b (X X )(X X ) Εάν θέσουμε ( X X )(Y Y) = b ( X X )(X X ) + b ( X X ) X X = x, X X = x να είναι οι αποκλίσεις από τους δειγματικούς μέσους, οι κανονικές εξισώσεις γίνονται (11) x y = b x + b x x x y = b x x + b x Από τις κανονικές εξισώσεις βρίσκουμε τα b και b. Το α προκύπτει από την εξίσωση (9). Αυτό είναι: a = Y b X b X Όπως είδαμε, το α δεν έχει καμία επίδραση στην εκτίμηση των b και b. Σε όρους του μοντέλου της μιας ανεξάρτητης μεταβλητής, το α είναι το σημείο τομής με τον κάθετο άξονα και το b είναι η κλίση της ευθείας. Η κλίση b δεν επηρεάζεται από τη μετατόπιση του α. Έτσι για να απλοποιήσουμε τους συμβολισμούς μας θα θεωρήσουμε ότι Υ = Χ = Χ = 0 και α=0. Τότε το μοντέλο γίνεται (12) μ = B X + B X, Y = B X + B X + ε Και οι κανονικές εξισώσεις γίνονται (13) b X + b X X = X Y b X X + b X = X Y 9

11 Οι εκτιμηθείσες εξισώσεις είναι: (14) Y = b X + b X (15) Y = b X + b X + e όπου e είναι η απόκλιση e = Y Y. Για κ μεταβλητές, το μοντέλο είναι (16) μ = B X + B X B X, Y = B X + B X + + B X + ε Και οι κανονικές εξισώσεις είναι: (17) Χρησιμοποιώντας συμβολισμό πινάκων έχουμε ότι: X X X X X X b = b X Y X Y Εάν μπορεί να βρεθεί ο αντίστροφος του πρώτου πίνακα, η λύση για τα b θα είναι: b = b Ας το φέρουμε τώρα στη μορφή: X X X X X X b c c X Y = b c c X Y X Y X Y Βρίσκοντας τα c (πολλαπλασιαστές του Gauss), τα b μπορούν πολύ εύκολα να υπολογιστούν, για παράδειγμα: 10

12 b = c X Y c X Y + + c X Y Τότε οι εκτιμηθείσες εξισώσεις είναι: (18) Y = b X + b X + + b X (19) Y = b X + b X + + b X + e 1.3 Μοντέλο 2 Ας θεωρήσουμε το παρακάτω πληθυσμιακό μοντέλο (1) μ = B X + B X (2) Y = B X + B X + ε Όπου Υ και ε είναι τυχαίες μεταβλητές, X και X είναι σταθερές. Θεωρούμε ότι E(ε) = 0, Var(ε) = σ, αλλά η κατανομή του ε είναι απροσδιόριστη. Έτσι δε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας για να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους B, B. Θα χρησιμοποιήσουμε λοιπόν τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων εκτιμάμε τα Β και Β έτσι ώστε το: (Υ b X b X ) = e να είναι ελάχιστο. Χρησιμοποιώντας τις εκτιμήτριες b και b οι εκτιμήσεις των (1) και (2) είναι: (3) Υ = b X + b X (4) Y = b X + b X + e όπου e είναι οι αποκλίσεις των τιμών του δείγματος Υ από τα Υ. Τα αποτελέσματα αυτού του μοντέλου σε πιο γενικούς όρους είναι γνωστά σαν το θεώρημα του Markoff και έχουν μελετηθεί από τους David και Neyman (1938). Ας διατυπώσουμε πρώτα το θεώρημα. Για να κάνουμε τα πράγματα πιο απλά θεωρούμε ένα δείγμα μεγέθους n=3. Μας έχουν δοθεί: a) Τρεις δειγματικές παρατηρήσεις Y, Y και Υ. b) Η αναμενόμενη τιμή του κάθε Y είναι γραμμική συνάρτηση των παραμέτρων B (j=1,2) που είναι άγνωστες και των σταθερών ανεξαρτήτων μεταβλητών X. Δηλαδή: (5) E(Y ) = B X + B X c) Η διασπορά του Y ικανοποιεί τη σχέση Var(Y ) = σ =, i = 1,2,3 11

13 Όπου το σ μπορεί να είναι άγνωστο αλλά τα βάρη Ρ να είναι γνωστά. Τότε ο καλύτερος αμερόληπτος γραμμικός εκτιμητής του μ είναι: (6) Y = b X + b X Όπου τα b και b προκύπτουν από την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων S = (Y b X b X ) P = min Αυτό μας δίνει τις κανονικές εξισώσεις: b X P + b X X P = X Y P b X X P + b X P = X Y P Αρχικά πολλά αποτελέσματα προκύπτουν, για παράδειγμα ότι το Β = b εκτιμώμενο με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, είναι μία γραμμική συνάρτηση των Y, και ότι αυτή η εκτίμηση είναι η καλύτερη γραμμική αμερόληπτη εκτίμηση. Για ευκολία θέτουμε Ρ = 1. i. τα b i είναι γραμμική συνάρτηση των Y i. Έχουμε δει ότι: b = c X Y + c X Y b = c X Y + c X Y όπου τα c είναι οι πολλαπλασιαστές Gauss. Το άθροισμα το παίρνουμε πάνω στις παρατηρήσεις του δείγματος, n=3. Τότε για παράδειγμα το b γίνεται: b = c X Y + c X Y = Y (c X + c X ) + Y (c X + c X ) + Y (c X + c X ) Έτσι το b είναι μία γραμμική συνάρτηση των Υ. Παρόμοια και το b μπορεί να δειχθεί ότι είναι μία γραμμική συνάρτηση των Υ. ii. τα b i είναι μία αμερόληπτη εκτίμηση των Β i Ξέρουμε ότι 12

14 X X X X X c c c X c = αυτό γίνεται: (7) c X + c X X c X + c X X c X X + c X c X X + c X = Έτσι για παράδειγμα, c X + c X X = 1 Ας σημειώσουμε εδώ ότι ο πίνακας c είναι συμμετρικός δηλαδή c = c Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της σχέσης (7), και αντικαθιστώντας τη (2) στο b έχουμε: b = c X Y + c X Y = c X (B X + B X + ε) + c X (B X + B X + ε) = B [c X + c X X ] + B [c X X + c X ] + c X ε + c X ε = Β + c X ε + c X ε Η αναμενόμενη τιμή του b είναι: E(b ) = B + c X E(ε) + c X E(ε) E(b ) = B Αυτό σημαίνει ότι το b είναι μία αμερόληπτη εκτιμήτρια του Β. Το ίδιο επιχείρημα ισχύει και για το b. iii. b i είναι ο καλύτερος εκτιμητής του B i Όταν το b έχει τη μικρότερη διακύμανση από όλους τους γραμμικούς εκτιμητές του B, ορίζεται ως ο καλύτερος γραμμικός εκτιμητής. Για να δείξουμε ότι το b έχει τη μικρότερη διακύμανση, κατασκευάζουμε έναν τυχαίο γραμμικό εκτιμητή του B, και υπολογίζουμε τη διακύμανσή του. Μετά συγκρίνουμε τις δύο διακυμάνσεις, και αν μπορούμε να δείξουμε ότι το Var(b ) είναι μικρότερο, συμπεραίνουμε ότι το b έχει τη μικρότερη διακύμανση και έτσι είναι ο καλύτερος γραμμικός εκτιμητής. Για το δείγμα μεγέθους n=3 το γραμμικό μοντέλο θα έχει τη μορφή: 13

15 Y (8) Y = Y X X X X X B ε + ε B X ε Τα Β εκτιμώνται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Τότε το αποτέλεσμα είναι: Y (9) Y = Y X X X X X b e + e b X e Όπου τα b είναι οι εκτιμητές των Β. Η εξίσωση (8) μπορεί να γραφεί σε μορφή πινάκων ως: (10) Y = XB + ε Με αυτές τις προϋποθέσεις, μπορούμε τώρα να κατασκευάσουμε τις ακόλουθες αυθαίρετες γραμμικές εξισώσεις του Υ οι οποίες θα είναι οι εκτιμήτριες των Β και Β. (11) a Y + a Y + a Y = b a Y + a Y + a Y = b όπου τα α είναι σταθερές. Σε μορφή πινάκων γίνεται: (12) ΑY = b Για να είναι αυτές οι γραμμικές συναρτήσεις του Y αμερόληπτες εκτιμήτριες του διανύσματος Β, πρέπει από την εξίσωση (12), (13) E(AY) = B Αντικαθιστώντας την εξίσωση (10) στη (13), παίρνουμε για το αριστερό μέλος, E(AY) = E[A(XB + ε)] = E(AXB + Aε) = E(AXB) + AE(ε) = E(AXB) = AXB Έτσι για να ισχύει η (13), χρειαζόμαστε: (14) AX = I Αυτό είναι: a X + a X + a X a X + a X + a X = 1 0 a X + a X + a X a X + a X + a X 0 1 Αυτό δείχνει ότι οι γραμμικές συναρτήσεις του Y στην (12) θα είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες των Β και Β όταν ισχύει η συνθήκη (14). Οι εκτιμήτριες b και b των Β και Β αντίστοιχα οι οποίες προκύπτουν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων δείχνονται παρακάτω: 14

16 b X = b X X X X X X Y X Y ή σε μορφή πινάκων, (15) b = (X X) X Y Το πρόβλημά μας τώρα είναι να συγκρίνουμε τη διακύμανση του διανύσματος b το οποίο εκτιμάται από την (15), με τη διακύμανση του διανύσματος b το οποίο εκτιμάται από τη (12). Ας βρούμε πρώτα τη διακύμανση για το διάνυσμα b που προκύπτει με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και δίνεται από την (15). Αφού έχουμε αμερόληπτους εκτιμητές ισχύει ότι E(b) = B. Έτσι η διακύμανση του b ορίζεται ως: (16) E[(b B)(b B) ] = E b B (b b B B b B ) = E(b B ) E(b B )( b B ) = Var(b ) Cov(b, b ) E( b B )(b B ) E(b B ) Cov(b, b ) Var(b ) Αυτός καλείται πίνακας διακύμανσης των εκτιμητών b και b και συμβολίζεται με V. Ενδιαφερόμαστε κυρίως για τα Var(b ), Var(b ). Ας σημειώσουμε ακόμα από τη (15) ότι: b = (X X) X Y = (X X) X (XB + ε) = (X X) X XB + (X X) X ε = B + (X X) X ε Αυτό οδηγεί στο: (17) b B = (X X) X ε Αντικαθιστώντας τη (17) στον πίνακα διακύμανσης (16), βρίσκουμε ότι Ε[(Χ Χ) Χ ε((χ Χ) Χ ε) ] = Ε[(Χ Χ) Χ εε Χ(Χ Χ) ] = (Χ Χ) Χ Χ(Χ Χ) Ε(εε ) = (Χ Χ) σ Αφού υποθέσαμε ότι Var(ε) = σ (ομοσκεδαστικότητα). Έτσι καταλήγουμε στο (18) V = (Χ Χ) σ Ας βρούμε τώρα τον πίνακα διακύμανσης για τον αυθαίρετο γραμμικό εκτιμητή του διανύσματος Β που δίνεται από τη (12). Η εξίσωση (12) ήταν b = AY. Για να διαφοροποιήσουμε αυτόν τον αυθαίρετο γραμμικό εκτιμητή και τον εκτιμητή που προκύπτει από τη (15), δεχόμαστε ότι το Α είναι διάφορο του (Χ Χ) Χ. Θέτουμε (19) Α = (Χ Χ) Χ + D 15

17 Όπου ο D είναι ένας πίνακας από βαθμωτά μεγέθη. Τότε για να έχουμε τέτοιο Α ώστε ο γραμμικός εκτιμητής AΥ να είναι αμερόληπτος εκτιμητής του Β, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη (14), αυτό σημαίνει ότι: AX = [(Χ Χ) X + D]X = I Η σχέση αυτή γίνεται: (Χ Χ) X X + DX = I DX = 0 Έτσι αν μπορούμε να βρούμε έναν πίνακα D τέτοιο ώστε DX = 0, τότε το AY είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του διανύσματος Β, όπου ο Α δίνεται από τη σχέση (19). Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα αυτό, ας βρούμε τη διακύμανση της γραμμικής συνάρτησης AY = b. Πρώτα ας σημειώσουμε ότι: b = AY = ((Χ Χ) X + D)Y = [(Χ Χ) X + D](XB + ε) = (Χ Χ) Χ ΧΒ + DXB + (Χ Χ) X ε + Dε = B + [(Χ Χ) X + D]ε Έτσι, η απόκλιση του b από το Β γίνεται b B = [(Χ Χ) X + D]ε Από αυτό το αποτέλεσμα βρίσκουμε ότι η διακύμανση του διανύσματος b είναι: (20) Ε[(b B)(b B) ] = E[{[(Χ Χ) X + D]ε}{[(Χ Χ) Χ + D]ε} ] = E[((Χ Χ) X + D)εε (X(Χ Χ) + D )] = σ [(Χ Χ) Χ Χ(Χ Χ) + DX(Χ Χ) + (Χ Χ) X D + DD ] = σ [(Χ Χ) + DD ] (θέτοντας DX = 0) Έτσι ο πίνακας διακύμανσης για το διάνυσμα b που βρίσκεται από τη (12) γίνεται: (21) V = σ [(Χ Χ) + DD ] = σ c + d c + d d c + d d c + d όπου DD = d d d d d d d d d d d = d d d d d d d (X X) = c c c c Από τη (18) γνωρίζουμε ότι ο πίνακας διακύμανσης για τα b ο οποίος εκτιμάται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι: 16

18 (22) V = σ (X X) = c σ c σ c σ c σ και c σ, c σ είναι οι διακυμάνσεις για τα b και b. Τότε οι διακυμάνσεις για τα b και b που προκύπτουν από την (11) θα είναι: Όταν d > 0, d Var(b ) = σ (c + d ) c σ Var(b ) = σ (c + d ) c σ > 0 οι διακυμάνσεις των αυθαίρετων γραμμικών εκτιμητών b και b είναι μεγαλύτερες από τις διακυμάνσεις των εκτιμητών b και b που βρίσκονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Όταν d = 0, d = 0 οι αυθαίρετοι γραμμικοί εκτιμητές b και b θα έχουν ίσες διακυμάνσεις με αυτές που βρίσκουμε για τους εκτιμητές b και b από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Έτσι το συμπέρασμα είναι ότι οι γραμμικοί εκτιμητές του διανύσματος Β που προκύπτουν από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι οι καλύτεροι εκτιμητές, αυτό σημαίνει ότι έχουν την ελάχιστη διακύμανση, όταν συγκρίνονται με εκτιμητές που προκύπτουν από αυθαίρετες γραμμικές συναρτήσεις του Υ, όπως δίνονται στη (12). Μοντέλο 2-Συνέχεια: i) Περίπτωση Ρ 1 Το δεύτερο θέμα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ, είναι ότι ο καλύτερος αμερόληπτος εκτιμητής του μ, (1) μ = B X + B X είναι ο Y : (2) Y = b X + b X όπου τα b και b τα βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων. Αυτό σημαίνει: (3) (Y b X b X ) P = e P = min Ας συμπεριλάβουμε τώρα τα βάρη Ρ στην ανάλυσή μας. Οι κανονικές εξισώσεις γίνονται: (4) b X P + b X X P = X Y P b X X P + b X P = X Y P 17

19 Με συμβολισμό πινάκων έχουμε: (5) X PXb = X PY όπου P = P P P εάν X PX 0, τότε το διάνυσμα b είναι: (6) b = (X PX) X PY Θέλουμε να δείξουμε ότι όταν τα b της εξίσωσης (2) εκτιμώνται όπως στην (6), ο εκτιμητής Y θα έχει την ελάχιστη διακύμανση και θα είναι επίσης αμερόληπτος. Η μη αυστηρή απόδειξη που παρουσιάζεται κατασκευάζεται ως εξής: κατασκευάζουμε πρώτα τη γραμμική συνάρτηση (7) Y = λ Y + λ Y + λ Y Η γραφή της σε μορφή πινάκων είναι η ακόλουθη: Y λ λ λ Y (7 ) Y = λ λ λ Y Y λ λ λ Y Η γραμμική συνάρτηση του Y είναι ένας αμερόληπτος και ελάχιστης διασποράς εκτιμητής του E(Y ) = μ. Στη συνέχεια βρίσκονται τα λ τα οποία ικανοποιούν αυτές τις δύο συνθήκες. Έπειτα δείχνουμε ότι όταν χρησιμοποιούμε αυτά τα λ, η γραμμική συνάρτηση Y ταυτίζεται με την (2). Έτσι η (2) θα είναι ένας αμερόληπτος και ελάχιστης διακύμανσης εκτιμητής του E(Y ) = μ. Βήμα 1 ο Από τις εξισώσεις (7) και (7 ), επιλέγουμε μία μόνο και παραβλέπουμε τον υποδείκτη i για να απλοποιήσουμε το συμβολισμό. Τότε η (7) γίνεται: (7 ) Y = λ Y + λ Y + λ Y Και με συμβολισμό πινάκων έχουμε: Y (7 ) Y = [λ λ λ ] Y = λ Y Y Οι απαραίτητες συνθήκες ώστε η (7 ) να είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια βρίσκονται θέτοντας 18

20 EY = λ E(Y ) = λ (B X + B X ) = B X + B X και προκύπτουν οι συνθήκες: (8) X = λ X = λ Χ + λ Χ + λ Χ X = λ X = λ Χ + λ Χ + λ Χ και σε μορφή πινάκων: (8 ) X = X λ X X λ X X X X = Χ λ λ Εάν μπορούμε να βρούμε τα λ τα οποία ικανοποιούν την (8), η εξίσωση (7 ) θα είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της (1). Βήμα 2 ο Ας βρούμε τώρα τις συνθήκες για το Y της εξίσωσης (7 ) ώστε να έχει την ελάχιστη διακύμανση. Η διακύμανση της (7 ) είναι: (9) VarY = Var( λ Y ) = σ = min Από υπόθεση έχουμε ότι Var(Y ) = και τα P είναι γνωστές θετικές σταθερές αλλά το σ μπορεί να είναι άγνωστο. Έτσι το πρόβλημα είναι να βρούμε τα λ τα οποία ελαχιστοποιούν το VarY και την ίδια στιγμή ικανοποιούν την (8) που είναι οι απαραίτητες συνθήκες για αμεροληψία. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange, κατασκευάζουμε τη συνάρτηση V ως εξής: V = λ P 2a λ X 2a λ X όπου α και α είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrange. Ας σημειώσουμε εδώ ότι το σ παραλείπεται καθώς είναι σταθερά και δεν έχει καμία επίδραση. Παραγωγίζοντας τη V ως προς τα λ και θέτοντας ίσον με το μηδέν προκύπτουν: 19

21 V λ = 0: λ = a X P + a X P V λ = 0: λ = a X P + a X P V λ = 0: λ = a X P + a X P Σε μορφή πινάκων έχουμε: λ P λ = λ P P X X X X X a a X ή (10) λ = PXa Για να λύσουμε για τους πέντε αγνώστους λ, λ, λ, α, α συνδυάζουμε και λύνουμε τις εξισώσεις (10) και (8) ταυτόχρονα. Αυτό γίνεται στο βήμα 3. Βήμα 3 ο (11) X X = X PXa Μπορούμε να λύσουμε την (11) για να βρούμε τους πολλαπλασιαστές Lagrange. Έτσι γίνεται: (12) a = (X PX) X X Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (12) και (10) μπορούμε τώρα να βρούμε τα λ το οποίο είναι και το ζητούμενο. (13) λ = PXa = PX(X PX) X X Έτσι βρίσκουμε τα λ και βλέπουμε ότι είναι εκπεφρασμένα σαν συνάρτηση των Χ και Ρ. Με αυτά τα λ ικανοποιούνται οι συνθήκες ώστε η (7 ) να είναι αμερόληπτος και ελάχιστης διακύμανσης εκτιμητής του E(Y). Το επόμενο βήμα είναι να αντικαταστήσουμε την (13) στην (7 ) και να δείξουμε ότι αυτή τότε θα ισούται με τη (2). Βήμα 4 ο Αντικαθιστώντας την (13) στην (7 ) βρίσκουμε ότι 20

22 (14) Y = λ Y = [X X ](X PX) X PY Αντικαθιστώντας την (6) στην (14), βρίσκουμε ότι Y = λ Y = [X X ]b = b X + b X Δείξαμε ότι η εξίσωση (2), στην οποία οι συντελεστές b βρίσκονται με τη μέθοδο των σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων και η εξίσωση (7 ) η οποία είναι η γραμμική, αμερόληπτη και ελάχιστης διακύμανσης εκτιμήτρια της E(Y ), ταυτίζονται. Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση (2) είναι μία αμερόληπτη και ελάχιστης διακύμανσης εκτιμήτρια του E(Y ). Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να διατυπωθεί με έναν εναλλακτικό τρόπο ως εξής: ας θεωρήσουμε ότι (15) B X + B X είναι μία γραμμική συνάρτηση των Β. Τότε ο καλύτερος γραμμικός αμερόληπτος εκτιμητής της (15) είναι: (16) b X + b X όπου τα b και b είναι οι καλύτεροι γραμμικοί αμερόληπτοι εκτιμητές των Β και Β που προκύπτουν από: (17) b = (X PX) X PY ii) Περίπτωση P = 1 Όταν P = 1, ο πίνακας Ρ γίνεται: P = P P 1 = P 1 = I 1 Τα αποτελέσματα για την περίπτωση P = 1 προκύπτουν αντικαθιστώντας τα Ρ και τα P με το ένα στην προηγούμενη ενότητα i). Τα αποτελέσματα για τις δύο περιπτώσεις (P = 1 και Ρ 1 ) είναι τα ίδια με τη διαφορά ότι η εξίσωση (17) γίνεται: (18) b = (X X) X Y 21

23 1.4 Εκτίμηση των διακυμάνσεων (i) Εκτίμηση της διακύμανσης του Y c Η εξίσωση που δίνει την εκτίμηση για τη διακύμανση είναι: (1) σ = (Y A BX ) = (Y Y ) για την περίπτωση όπου έχουμε μία μεταβλητή. Για τις δύο μεταβλητές, η εξίσωση θα είναι : (2) σ = (Y A B X B X ) = (Y Y ) Οι εξισώσεις (1) και (2) εκφράζονται με συμβολισμό πινάκων ως εξής: 22 (Y Y ) (Y Y ) n Όπου τα Y και Y υποδηλώνουν διανύσματα. Για παράδειγμα, εάν το μέγεθος του δείγματος είναι n=3 έχουμε: Y Y [(Y Y )(Y Y )(Y Y )] Y Y = (Y Y ) Y Y Έτσι, οι (1) και (2) μπορούν να εκφραστούν με συμβολισμό πινάκων ως εξής: (3) σ = (Y Y ) (Y Y ) Έτσι προκύπτει ότι η (3) είναι ένας μεροληπτικός εκτιμητής για την πληθυσμιακή διακύμανση. Ένας αμερόληπτος εκτιμητής είναι: (4) σ = (Y Y ) (Y Y ) όπου n-p είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας. Υποθέτουμε ότι η παράμετρος η οποία αντιστοιχεί στο Α = α στο μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης είναι μηδέν. Έτσι p είναι ο αριθμός των εκτιμητών b του διανύσματος b στην Y = Xb Στο δικό μας παράδειγμα, p=2. Από εδώ και πέρα θα χρησιμοποιούμε μόνο τον αμερόληπτο εκτιμητή που δίνεται στην (4). Ο αριθμητής της (4) μπορεί να εκφραστεί ως: αλλά (Y Xb) (Y Xb) = (Y b X )(Y Xb) = Y Y b X Y Y Xb + b X Xb

24 b X Xb = b X X(X X) X Y = b X Y Τότε ο αριθμητής θα είναι: (Y Xb) (Y Xb) = Y Y Y Xb Αντικαθιστώντας αυτό στην (4), η εκτιμώμενη διακύμανση γίνεται: σ = 1 n p (Y Y Y Xb) Αυτός είναι ο αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης του Y για το δεύτερο μοντέλο που βασίστηκε στο θεώρημα του Markoff. (ii) Εκτιμητής της διακύμανσης του b i Έχουμε δει ότι ο πίνακας διακύμανσης των b ήταν: V = σ (X X) = c σ c σ c σ c σ και Var(b ) = c σ, Var(b ) = c σ όπου c είναι οι πολλαπλασιαστές του Gauss. Έτσι, ένας εκτιμητής του Var(b ) βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον εκτιμητή σ. Δηλαδή: σ = c σ 1.5 Διάστημα εμπιστοσύνης για το Β i Διατυπώνουμε τώρα χωρίς απόδειξη ότι το b κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή E(b ) = Β και διακύμανση Var( b ) = c σ. Έτσι η κατανομή της τυποποιημένης μεταβλητής 23 b B σc είναι κανονική με μέση τιμή μηδέν και διακύμανση ένα. Παρ όλα αυτά, το σ που είναι πληθυσμιακή παράμετρος είναι άγνωστη και γι αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν εκτιμητή. Έχουμε βρει τον εκτιμητή σ με n-p βαθμούς ελευθερίας. Έτσι διατυπώνουμε χωρίς απόδειξη ότι η ποσότητα b B σc

25 ακολουθεί την κατανομή t με n-p βαθμούς ελευθερίας (στο δικό μας παράδειγμα n-2). Εάν η μηδενική υπόθεση είναι B = 0, έχουμε ότι: Το διάστημα εμπιστοσύνης για το B είναι: b t = σc b tc σ B b + tc σ όπου α είναι το επίπεδο σημαντικότητας. Έχουμε τότε ένα 1-α διάστημα εμπιστοσύνης. 1.6 Υπολογιστικές μέθοδοι Στις προηγούμενες ενότητες, διάφορα αποτελέσματα εκφράστηκαν σε μορφή πινάκων. Σε αυτή την ενότητα θα εκφράσουμε τα αποτελέσματα σε μορφή οριζουσών για να δείξουμε την υπολογιστική διαδικασία. Η βασική μας έννοια τώρα είναι να βρούμε εκφράσεις για τα b, την ευθεία παλινδρόμησης καθώς την εκτιμηθείσα διακύμανση. (a) Υπολογιστική φόρμουλα για τα b Τα b προκύπτουν από τις κανονικές εξισώσεις (1) b X + b X X = X Y b X X + b X = X Y Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer βρίσκουμε τα b ώς εξής: X Y b = X Y X X X X b = X X X X X X X X X X X X Y X Y X X X δεδομένου ότι η ορίζουσα του παρονομαστή την οποία τη συμβολίζουμε με Δ είναι διάφορη του μηδενός. Χρησιμοποιώντας λοιπόν αυτές τις υπολογιστικές μεθόδους για τα b, η εκτιμηθείσα γραμμή παλινδρόμησης γίνεται: 24

26 (2) Y = b X + b X = X X Y X X X X Y + X X X X X Y X Y Το κομμάτι που βρίσκεται μέσα στις αγκύλες μπορεί να γραφεί σε μορφή οριζουσών ως εξής: X Y X X Y X X X X Y X + X X X = X Y X 0 X X X X X X Y + X X Y X X X X Y X X X Y = X X 0 X X = X Y X X X Δ X Y X X X Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στη (2), βρίσκουμε ότι: (3) Y = Το αποτέλεσμα αυτό είναι για την περίπτωση που έχουμε δύο b. Αλλά μπορεί εύκολα να γενικευτεί για μία ευθεία παλινδρόμησης για οποιοδήποτε αριθμό b και αν έχουμε. (b) Η διακύμανση σ Η εκτίμηση της διακύμανσης σ δίνεται ως: Το Y Y είναι: Το Y X είναι: σ = 1 n p {(Y Xb) (Y Xb)} = 1 n 2 (Y Y Y Xb) Y Y Y = [Y Y Y ] Y = Y Y Τότε το Y Xb είναι: 25 X Y X = [Y Y Y ] X X X X X = X Y X Y

27 Y Xb = X Y X Y b b = b X Y + b X Y Έτσι το σ γίνεται: σ = 1 n 2 Y b X Y b X Y Αφού τα b έχουν υπολογιστεί από την (1), μπορούμε εύκολα να πάρουμε και το σ. 26

28 Κεφάλαιο 2 ο Κανονικά μοντέλα συσχέτισης 2.1 Διάκριση μεταξύ μοντέλων παλινδρόμησης και μοντέλων συσχέτισης Στα βασικά μοντέλα παλινδρόμησης υποθέτουμε ότι οι ερμηνευτικές μεταβλητές Χ1..., Χp είναι καθορισμένες σταθερές, και το κύριο ενδιαφέρον βρίσκεται στα συμπεράσματα για την εξαρτημένη μεταβλητή Υ βάσει των ερμηνευτικών μεταβλητών. Επίσης για την περίπτωση μίας μόνο ερμηνευτικής μεταβλητής, η ανάλυση παλινδρόμησης για ένα κανονικό μοντέλο παλινδρόμησης, ισχύει ακόμα και όταν το Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή, με την προϋπόθεση ότι η μεταβλητή Υ ακολουθεί ορισμένες προϋποθέσεις και ότι η περιθώρια κατανομή της Χ δεν περιλαμβάνει τις παραμέτρους Α, Β και σ του μοντέλου παλινδρόμησης. Επομένως στην περίπτωση όπου το Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή, μόνο οι δεσμευμένες κατανομές της Υ πρέπει να διευκρινιστούν και να περιοριστεί η περιθώρια κατανομή της Χ. Ωστόσο, δεν χρειάζεται να καθορίζουμε απόλυτα την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των Χ και Υ. Τα μοντέλα συσχέτισης, όπως και τα μοντέλα παλινδρόμησης με τυχαίες μεταβλητές πρόβλεψης, αποτελούνται από μεταβλητές οι οποίες είναι όλες τυχαίες. Τα μοντέλα συσχέτισης διαφέρουν από τα μοντέλα παλινδρόμησης με τυχαίες μεταβλητές πρόβλεψης στο γεγονός ότι προσδιορίζουν πλήρως την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των μεταβλητών, και όχι μόνο τις δεσμευμένες κατανομές της Υ. Επιπλέον, οι μεταβλητές σε ένα μοντέλο συσχέτισης παίζουν ένα συμμετρικό ρόλο, χωρίς καμία μεταβλητή αυτόματα να ορίζεται σαν μεταβλητή απόκρισης. Τα μοντέλα συσχέτισης χρησιμοποιούνται για να μελετηθεί η φύση των σχέσεων μεταξύ των μεταβλητών. Επίσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με μία οποιαδήποτε μεταβλητή δοσμένων των άλλων. Το μοντέλο συσχέτισης που χρησιμοποιείται κυρίως είναι το κανονικό μοντέλο συσχέτισης. 27

29 2.2 Δισδιάστατη κανονική κατανομή Το κανονικό μοντέλο συσχέτισης για την περίπτωση δύο μεταβλητών βασίζεται στην δισδιάστατη κανονική κατανομή. Ας θεωρήσουμε τις μεταβλητές Χ1 και Χ2 ( δε χρησιμοποιούμε το χαρακτηρισμό Χ και Υ διότι και οι δύο μεταβλητές έχουν συμμετρικό ρόλο στην ανάλυση συσχέτισης). Λέμε ότι οι Χ1 και Χ2 είναι από κοινού κανονικά κατανεμημένες εάν η συνάρτηση πυκνότητάς τους είναι αυτή της κανονικής δισδιάστατης κατανομής. Συνάρτηση πυκνότητας Ας θεωρήσουμε δύο μεταβλητές X και X οι οποίες δεν είναι γενικά ανεξάρτητες η μία από την άλλη, και μπορούμε να δούμε την από κοινού κατανομή τους σαν μία επέκταση της μονοδιάστατης κανονικής κατανομής. Αυτή λοιπόν η δισδιάστατη κανονική κατανομή έχει την εξής συνάρτηση πυκνότητας: (1) f(x, x ) = Όπου: E(X )=μ, E(X )=μ, exp Var(X ) = σ, Var(X ) = σ, ( ) ( Το ρ είναι ο συντελεστής συσχέτισης και ορίζεται ως εξής: Και η συνδιασπορά ορίζεται ως: ) 2ρ ρ = ρ( X, X ) = Cov( X,X ) σ σ Cov( X,X ) = Ε[(Χ μ )(Χ μ )] Θα συζητήσουμε αργότερα το συντελεστή συσχέτισης. + ( ) 28

30 Εικόνα 2 (δισδιάστατη κανονική κατανομή) 2.3 Δεσμευμένες κατανομές Μία βασική χρήση του δισδιάστατου μοντέλου συσχέτισης, είναι για να βγάλουμε συμπεράσματα για τη μία μεταβλητή δοθείσης της άλλης. Γι αυτόν το λόγο λοιπόν θα χρησιμοποιήσουμε τις δεσμευμένες κατανομές τις οποίες και παρουσιάζουμε παρακάτω. Η δεσμευμένη κατανομή της Χ δοσμένης της Χ ορίζεται ως εξής: (2) f(x x ) = (, ) ( ) όπου το f (x ) καλείται περιθώρια κατανομή. Σε όρους της δισδιάστατης κανονικής κατανομής η f (x ) είναι: (3) f (x ) = f(x,x ) dx = exp ( Γνωρίζουμε την f(x,x ). Έτσι μπορούμε να βρούμε την f(x x ). Συνεπώς προκύπτει ότι: (4) f(x x ) = exp ) ( ) x μ (x μ ) Αυτό δείχνει ότι η f(x x ) είναι μία κανονική συνάρτηση πυκνότητας με: 29

31 (5) Μέση τιμή: Ε(Χ Χ ) = μ + (Χ μ ) (6) Διακύμανση: σ (1 ρ ) = σ. Εικόνα 3 (δεσμευμένη κανονική κατανομή) Βασικά χαρακτηριστικά των δεσμευμένων κατανομών Οι δεσμευμένες κατανομές της Χ διαθέτουν κάποια συγκεκριμένα βασικά χαρακτηριστικά. Ένα από αυτά είναι η κανονικότητα. Πιο συγκεκριμένα, ισχύει ότι η δεσμευμένη κατανομή της Χ1 για οποιαδήποτε δεδομένη τιμή της Χ2 είναι κανονική. Ας υποθέσουμε ότι κάνουμε μία κάθετη τομή στη δισδιάστατη κανονική κατανομή σε μια δεδομένη τιμή της Χ2, έστω Χh2. Δηλαδή την κόβουμε παράλληλα στον άξονα Χ1. Η εγκάρσια τομή που θα προκύψει θα έχει το σχήμα μιας κανονικής κατανομής. Συνεπώς, κάθε φορά που κόβουμε μια δισδιάστατη κανονική κατανομή παράλληλα προς τον άξονα Χ1, έχουμε μία δεσμευμένη κανονική κατανομή. Επιπλέον, ένα άλλο βασικό στοιχείο που παρατηρούμε είναι ότι οι μέσες τιμές των δεσμευμένων κατανομών της Χ1 σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή και ως εκ τούτου είναι μια γραμμική συνάρτηση της Χ2. 30

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή

Κεφάλαιο 2: Θεωρία Απόφασης του Bayes 2.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο : Θεωρία Απόφασης του Bayes. Εισαγωγή Η θεωρία απόφασης του Bayes αποτελεί μια από τις σημαντικότερες στατιστικές προσεγγίσεις για το πρόβλημα της ταξινόμησης προτύπων. Βασίζεται στη σύγκριση

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3. Αιτίες που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα Η ετεροσκεδαστικότητα οφείλεται σε διάφορες αιτίες. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα