Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ"

Transcript

1 10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 1 / 44

2 Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού με βάση ένα (σχετικά μικρό) τυχαίο υποσύνολό του (δείγμα) - Γίνεται μελέτη των δειγματικών δεδομένων και επαγωγή τους στον (γεννήτορα) πληθυσμό (στατιστική επαγωγή), με μια ορισμένη πιθανότητα εμπιστοσύνης στην επιτυχία αυτής της επαγωγικής διαδικασίας. Αντιθέτως, η θεωρία Πιθανοτήτων είναι εγγενώς απαγωγική, δηλαδή ουσιαστικά γνώση για τον πληθυσμό (όλον) μεταφέρεται (απάγεται) στο τυχαίο δείγμα (μέρος). Παράδειγμα: - πιθανοθεωρία: ξέρω ότι ο χρόνος ζωής λαμπτήρων ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ, και υπολογίζω την πιθανότητα συγκεκριμένων χρόνων ζωής σε κάποιους λαμπτήρες. - στατιστική επαγωγή: ξέρω ότι οι λαμπτήρες έχουν εκθετικά κατανεμημένο χρόνο ζωής, χωρίς να ξέρω την παράμετρο λ, και συμπεραίνω την λ από τους πραγματικούς χρόνους ζωής σε ένα τυχαίο δείγμα λαμπτήρων. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 2 / 44

3 Βασικές μέθοδοι στατιστικής συμπερασματολογίας Σημειακές εκτιμήσεις: Στόχος είναι η κατασκευή μιας εκτίμησης για μία τιμή (δηλαδή ένα σημείο και όχι ένα διάστημα της άγνωστης παραμέτρου), μαζί με τον υπολογισμό του σφάλματος. Παράδειγμα: η εκτίμηση της παραμέτρου λ για τον (εκθετικά κατανεμημένο) χρόνο ζωής λαμπτήρων Διαστήματα εμπιστοσύνης: Αντί για μια τιμή, αναζητούμε ένα φάσμα τιμών (διάστημα). Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν το δείγμα είναι μικρό ή/και όταν το σφάλμα εκτίμησης είναι σχετικά μεγάλο. Παράδειγμα: οι φυσιολογικές τιμές ιατρικών εξετάσεων, το αποδεκτό εύρος τιμών κατά τη μέτρηση αστικών ρύπων Ελεγχοι στατιστικών υποθέσεων: ελέγχεται αν μια πρόταση αναφορικά με κάποιο χαρακτηριστικό ενός πληθυσμού είναι σωστή Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 3 / 44

4 Σημειακές Εκτιμήσεις Σε αυτή τη διάλεξη θα ασχοληθούμε με σημειακές εκτιμήσεις. Η σημειακή εκτίμηση γίνεται μέσω εύρεσης και αξιολόγησης εκτιμητριών συναρτήσεων. Μέθοδοι εύρεσης εκτιμητριών συναρτήσεων: - Μέθοδος ροπών - Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων - Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Βασικά κριτήρια αξιολόγησης εκτιμητριών συναρτήσεων: - αμεροληψία - αποτελεσματικότητα - συνέπεια Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 4 / 44

5 Τυχαίο Δείγμα - αντιστοιχία με Θεωρία Πιθανοτήτων Πληθυσμός: ένα σύνολο ανθρώπων, συσκευών κλπ ( στοιχεία ) των οποίων μελετώνται ορισμένα χαρακτηριστικά π.χ. το μηνιαίο εισόδημα των ανθρώπων, η διάρκεια ζωής των λαμπτήρων Σημαντική αντιστοιχία με Θεωρία Πιθανοτήτων: - πληθυσμός συνάρτηση κατανομής F - χαρακτηριστικό τυχαία μεταβλητή X δηλαδή, θεωρούμε ότι η θεωρητική συμπεριφορά του πληθυσμού ακολουθεί κάποια συνάρτηση κατανομής F, και ότι οι συγκεκριμένες τιμές του χαρακτηριστικού σε ένα τυχαίο δείγμα περιγράφονται από μια τυχαία μεταβλητή X που έχει την κατανομή F. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 5 / 44

6 Πιθανοθεωρητική Επαγωγή και Στατιστική Απαγωγή Αν ξέραμε την F (π.χ. την παράμετρο λ για την εκθετική κατανομή του χρόνου ζωής των λαμπτήρων) θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε πλήρως την πιθανοθεωρητική συμπεριφορά ενός τυχαίου δείγματος π.χ. του χρόνου ζωής X ενός λαμπτήρα. Στην πράξη όμως, δεν ξέρουμε ακριβώς την F (δηλαδή, ξέρουμε ότι είναι εκθετική αλλά αγνοούμε την παράμετρο της λ) και έχουμε μόνο ορισμένες πραγματικές μετρήσεις (δηλαδή τιμές της μεταβλητής X), π.χ. παρατηρούμε τους χρόνους ζωής X 1, X 2,..., X ν από ν λαμπτήρες. Σκοπός μας είναι να εκτιμήσουμε την άγνωστη παράμετρο λ. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 6 / 44

7 Τυχαίο δείγμα Ορισμός: Αν ένας πληθυσμός έχει συνάρτηση κατανομής F, καλούμε τυχαίο δείγμα του ένα σύνολο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X 1, X 2,..., X ν που όλες ακολουθούν την συνάρτηση κατανομής F. Γράφουμε: X 1, X 2,..., X ν F και καλούμε τον αριθμό ν μέγεθος του δείγματος. Παρατήρηση: Μετά τη δειγματοληψία, οι τ.μ. X 1, X 2,..., X ν παίρνουν συγκεκριμένες τιμές (πραγματικές μετρήσεις) x 1, x 2,..., x ν. Οι στατιστικές μέθοδοι βασίζονται σε αυτές ακριβώς τις μετρήσεις x i. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 7 / 44

8 Παραμετρική Στατιστική Δύο βασικοί κλάδοι της στατιστικής: Μη παραμετρική: η συνάρτηση κατανομής F είναι εντελώς άγνωστη. Παραμετρική: ξέρουμε ότι η άγνωστη συνάρτηση κατανομής F ανήκει σε μία οικογένεια κατανομών (π.χ. είναι εκθετική με παράμετρο λ) αλλά αγνοούμε την παράμετρο λ (την οποία ακριβώς προσπαθούμε να εκτιμήσουμε). Παρατήρηση: Θα ασχοληθούμε μόνο με μεθόδους παραμετρικής στατιστικής. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 8 / 44

9 Εκτιμήτριες Συναρτήσεις Εστω τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X ν από μία συνάρτηση κατανομής F (x; θ) όπου η παράμετρος θ είναι άγνωστη, και την οποία προσπαθούμε να εκτιμήσουμε με βάση το δείγμα. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε στατιστικές συναρτήσεις (συναρτήσεις ορισμένες στο δείγμα) που καλούνται εκτιμήτριες. Ορισμός: Εστω τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X ν από τη συνάρτηση κτανομής F = F (x; θ), όπου θ άγνωστη παράμετρος της F. Οποιαδήποτε συνάρτηση T (X): T = T (X 1, X 2,..., X ν ) ορισμένη στο δείγμα χωρίς να εξαρτάται από την άγνωστη παράμετρο θ καλείται εκτιμήτρια συνάρτηση της παραμέτρου. Παρατήρηση: Ακριβώς επειδή η T σκοπεύει στην εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου θ, δεν μπορεί να εξαρτάται από την θ (ή τυχόν άλλες άγνωστες παραμέτρους). Πολλές φορές η T (X) συμβολίζεται με ˆθ και οι αριθμητικές τιμές που παίρνει καλούνται εκτιμήσεις. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 9 / 44

10 Παράδειγμα Εκτιμητριών Συναρτήσεων Παράδειγμα: Εστω μηχανή που παράγει εξαρτήματα και υποθέτουμε ότι κάθε παραγόμενο εξάρτημα είναι λειτουργικό με πιθανότητα p και ελαττωματικό με πιθανότητα 1 p (που χαρακτηρίζει την ποιότητα της μηχανής), στοχαστικά ανεξάρτητα για τα διάφορα εξαρτήματα. Θέλουμε να εκτιμήσουμε την άγνωστη παράμετρο p = θ επιτυχούς δημιουργίας εξαρτημάτων παρατηρώντας ένα τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X ν από ν εξαρτήματα. Προφανώς οι X i ακολουθούν την κατανομή Bernoulli: { X 1, X 2,..., X ν b(θ), 0 < θ < 1 1, το i-οστό εξάρτημα είναι λειτουργικό (πιθανότητα θ) όπου X i = 0, το i-οστό εξάρτημα είναι ελαττωματικό (πιθανότητα 1 θ) Μία προφανής εκτιμήτρια συνάρτηση είναι ο μέσος όρος των λειτουργικών προιόντων στο δείγμα: T 1 = X = X 1+X 2 + +X ν ν Άλλες εκτιμήτριες είναι οι T 2 = X ν, T 3 = X 1 X 3 X 4, T 4 = X 3 X 5 X 7, ή ακόμα και η T 5 = 1 (η οποία είναι ουσιαστικά 3 ανεξάρτητη του δείγματος). Ωστόσο οι στατιστικές συναρτήσεις T = 2θ, T = θ X 3 + X θ δεν είναι εκτιμήτριες γιατί εξαρτώνται από την άγνωστη παράμετρο θ. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 10 / 44

11 Παράδειγμα Εκτιμήτριας Συνάρτησης Παράδειγμα: Εστω ότι οι βαθμολογίες σε μια γραπτή εξέταση ακολουθούν την κανονική κατανομή N(µ, σ 2 ), με μέση τιμή µ (παράμετρος θ 1 ) και διασπορά σ 2 (παράμετρος θ 2 ) που μας είναι άγνωστες και προσπαθούμε να τις συμπεράνουμε δειγματοληπτώντας τυχαία ένα μικρό σύνολο από ν γραπτά των οποίων η βαθμολογία βρίσκεται να είναι X 1, X 2,..., X ν. Εκτιμήτριες για τις άγνωστες παραμέτρους θ 1 και θ 2 είναι οι: T 6 = X = X1+X2+ +Xν ν για την θ 1 = µ και T 7 = S 2 = 1 ν (X i ν 1 X) 2 για την θ 2 = σ 2 i=1 (δηλαδή ο δειγματικός μέσος όρος και η δειγματική διασπορά). Προφανώς η στατιστική συνάρτηση ν T = (X i θ 1 ) i=1 δεν είναι εκτιμήτρια, γιατί εξαρτάται από το άγνωστο θ 1. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 11 / 44

12 Αμεροληψία Εκτιμητριών Οπως είδαμε, για μια άγνωστη παράμετρο μπορούν να κατασκευαστούν πολλές εκτιμήτριες συναρτήσεις. Αναζητώντας μια κατά το δυνατόν καλή εκτιμήτρια, ένα πρώτο κριτήριο είναι η αμεροληψία. Ορισμός: Μια εκτιμήτρια T καλείται αμερόληπτη για την άγνωστη παράμετρο θ, άν E(T ) = θ για όλες τις δυνατές τιμές της θ. Παρατήρηση: Η T, αφού ορίζεται με βάση τις τ.μ. X i, είναι και αυτή τυχαία μεταβλητή. Η ιδιότητα της αμεροληψίας απαιτεί από μία καλή εκτιμήτρια να στοχεύει την άγνωστη παράμετρο θ, με την έννοια ότι οι τιμές που παίρνει (γύρω από την θ) έχουν μέση τιμή θ. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 12 / 44

13 Αμεροληψία Εκτιμητριών - Παραδείγματα (Ι) Στο παράδειγμα με τα ελαττωματικά προϊόντα έχουμε: ( ) E(T 1 ) = E( X) X1 + + X ν = E = 1 ν E(X i ) = ν ν = 1 ν ν θ = θ E(T 2 ) = E(X ν ) = θ i=1 E(T 3 ) = E(X 1 X 3 X 4 ) = E(X 1 ) E(X 3 ) E(X 4 ) = = θ θ θ = θ E(T 4 ) = E(X 3 X 5 X 7 ) = E(X 3 )E(X 5 )E(X 7 ) = θ θ θ = θ 3 E(T 5 ) = 1 3 Άρα αμερόληπτες είναι μόνο οι T 1 και T 2. (Ωστόσο, η T 4 είναι αμερόληπτη για την παράμετρο θ 3 ). Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 13 / 44

14 Αμεροληψία Εκτιμητριών - Παραδείγματα (ΙΙ) Στο παράδειγμα με τις βαθμολογίες είναι: ( ) E(T 6 ) = E( X) X1 + + X ν = E = 1 ν ν = 1 ν ν µ = µ = θ 1 [ ] E(T 7 ) = E(S 2 1 ν ) = E (X i ν 1 X) 2 = i=1 = 1 ν E(X i ν 1 X) 2 = σ 2 = θ 2 i=1 ν E(X i ) = Άρα η T 6 είναι αμερόληπτη για την θ 1 (όχι όμως για την θ 2 ) και η T 7 είναι αμερόληπτη για την θ 2 (όχι όμως για την θ 1 ). i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 14 / 44

15 Παράδειγμα Αν δύο τ.μ. X 1 και X 2 έχουν ίδια διασπορά σ 2 και S 2 1, S 2 2 είναι οι αμερόληπτες για την σ 2 δειγματικές διασπορές των X 1 και X 2 από δείγματα μεγέθους n 1 και n 2 αντιστοίχως, να δειχθεί ότι η εκτιμήτρια S 2 p = (n1 1)S2 1 +(n2 1)S2 2 n 1+n 2 2 είναι επίσης αμερόληπτη για την σ 2. Απόδειξη. Είναι E[S 2 p] = E [ (n1 1)S 2 1 +(n2 1)S2 2 n 1+n 2 2 ] = = (n1 1)E(S2 1 )+(n2 1)E(S2 2 ) n 1+n 2 2 = (n1 1)σ2 +(n 2 1)σ 2 n 1+n 2 2 = = (n1+n2 2)σ2 n 1+n 2 2 = σ 2 άρα η Sp 2 είναι αμερόληπτη για την σ 2. Παρατήρηση: Η S 2 p καλείται σταθμισμένη δειγματική διασπορά. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 15 / 44

16 Παράδειγμα Αν X 1, X 2,..., X ν είναι δείγμα από ομοιόμορφη κατανομή U(0, θ) να βρεθεί αμερόληπτη εκτιμήτρια του θ 2. Λύση Είναι γνωστό ότι η πληθυσμιακή διασπορά της U(0, θ) είναι Var(X) = θ2 12 και επίσης (θεωρούμε γνωστό) ότι η δειγματική διασπορά S 2 = 1 ν ν 1 i=1 (X i X) 2 είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια για την πληθυσμιακή διασπορά, δηλαδή E(S 2 ) = θ2 12. Άρα E(12S2 ) = θ 2 και επομένως αν T = 12S 2 τότε E(T ) = θ 2 και άρα η εκτιμήτρια T = 12 ν 1 2 i=1 (Xi X) ν 1 είναι αμερόληπτη για την θ 2. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 16 / 44

17 Αποτελεσματικότητα ή Αξιοπιστία Εκτιμητριών Συναρτήσεων Είδαμε λοιπόν ότι για μια άγνωστη παράμετρο μπορεί να υπάρχουν πολλές αμερόληπτες εκτιμήτριες. Μεταξύ τους, είναι διαισθητικά σωστό να επιλέξουμε ως καλύτερη εκείνη με τη μικρότερη διασπορά, άρα με υψηλότερη συγκέντρωση, γύρω από τη μέση τιμή που (λόγω της αμεροληψίας) είναι η άγνωστη παράμετρος. Ορισμός: Μεταξύ δύο αμερόληπτων εκτιμητριών T 1 και T 2 για μία άγνωστη παράμετρο θ (οπότε E(T 1 ) = E(T 2 ) = θ) η T 1 θα θεωρείται καλύτερη (αποτελεσματικότερη) από την T 2, ως προς το κριτήριο της ελάχιστης διασποράς, άν για κάθε θ: Var(T 1 ) Var(T 2 ) Παράδειγμα: Στο παράδειγμα με τα ελαττωματικά προϊόντα έχουμε: ( ) Var(T 1 )=Var( X)=Var X1 + + X ν = 1 ν ν ν 2 Var(X i ) = = 1 ν ν θ(1 θ) = θ(1 θ) 2 ν i=1 ενώ Var(T 2 )=Var(X ν )=θ(1 θ), άρα καλύτερη είναι η T 1. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 17 / 44

18 Παράδειγμα Εστω X 1, X 2,..., X n και Y 1, Y 2,..., Y m (ανεξάρτητα μεταξύ τους) τυχαία δείγματα μεγέθους n = 100 και m = 10, από μια κατανομή με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2. Να βρεθεί ποια από τις ακόλουθες εκτιμήτριες είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε για την εκτίμηση της παραμέτρου µ: T 1 = X, T 2 = Ȳ, T 3 = X+Ȳ 2 Λύση: Είναι εύκολο να δείξουμε ότι οι T 1 και T 2 είναι αμερόληπτες για την µ. ( ) Επίσης: E(T 3) = E X+ Ȳ E( X)+E(Ȳ ) = = µ+µ = µ άρα και η T 3 είναι αμερόληπτη. Επίσης: Var(T 1) = Var( X) ( ) = Var X1 + X X n = 1 nσ 2 = σ2 = n n 2 n 0.01σ2 Παρομοίως, Var(T ( 2) = ) Var(Ȳ ) = 0.1σ2 και Var(T 3) = Var X+ ( Ȳ = Var( X) + Var( Ȳ ) ) = 0.01σ2 +0.1σ 2 = σ οπότε Var(T 1) < Var(T 3) < Var(T 2) και επομένως αποτελεσματικότερη είναι η T 1 (που βασίζεται σε μεγαλύτερο δείγμα). Παρατήρηση: Η T 3 βασίζεται σε ακόμα μεγαλύτερο δείγμα (μεγέθους n + m) από την T 1, αλλά ουσιαστικά λαμβάνει εξίσου υπόψη την καλή εκτιμήτρια T 1 και την λιγότερο καλή T 2! Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 18 / 44

19 Εγκυρότητα και Αξιοπιστία Μια εκτιμήτρια δεν αρκεί να έχει μικρή διασπορά για να θεωρείται καλή, πρέπει επιπλέον να είναι αμερόληπτη, δηλαδή οι τιμές που παίρνει να είναι γύρω από την άγνωστη παράμετρο και να έχουν μέση τιμή την παράμετρο θ. Π.χ. στο παράδειγμα με τα ελαττωματικά προϊόντα, η σταθερή εκτιμήτρια (T 5 = 1 3 ) έχει τη μικρότερη δυνατή διασπορά (0). Ωστόσο, δεν είναι αμερόληπτη γιατί στοχεύει πάντα το 1 3 και όχι το άγνωστο θ. Δηλαδή, η αμεροληψία εγγυάται την εγκυρότητα της εκτιμήτριας, υπό την έννοια της αποφυγής θεμελιωδών (συστηματικών) λαθών λόγω της μη στόχευσης της παραμέτρου. Από την άλλη μεριά, οι αποκλίσεις της εκτιμώμενης τιμής από την πραγματική, μπορεί να οφείλονται σε τυχαίες επιδράσεις (μικρή ακρίβεια στην εκτίμηση) λόγω μεγάλης διασποράς των τιμών της εκτιμήτριας συνάρτησης σε σειρά επαναλήψεων της μέτρησης. Τα τυχαία σφάλματα σε πολλαπλές επαναλήψεις περιγράφονται από την ιδιότητα της αξιοπιστίας. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 19 / 44

20 Εγκυρότητα και Αξιοπιστία Εκτιμητριών Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 20 / 44

21 Κριτήριο μέσου τετραγωνικού σφάλματος Ποσότητα που επιτυγχάνει τον ταυτόχρονο υπολογισμό τόσο της εγκυρότητας όσο και της αξιοπιστίας. Ορισμός: Καλούμε λάθος της εκτιμήτριας, για συγκεκριμένο δείγμα x, την ποσότητα: e(x) = ˆθ(x) θ (προφανώς η ποσότητα αυτή εξαρτάται όχι μόνο από την εκτιμήτρια αλλά και το συγκεκριμένο δείγμα). Ορισμός: Καλούμε μέσο τετραγωνικό σφάλμα (mean square error) τη μέση τιμή του τετραγώνου των λαθών μιας εκτιμήτριας ˆθ: MSE(ˆθ) = E[(ˆθ(x) θ) 2 ] Ορισμός: Για συγκεκριμένο δείγμα x, καλούμε δειγματοληπτική απόκλιση της ˆθ, την ποσότητα: d(x) = ˆθ(x) E(ˆθ(x)) = ˆθ(x) E(ˆθ) Ορισμός: Καλούμε διασπορά της εκτιμήτριας ˆθ, τη μέση τιμή των τετραγώνων των δειγματοληπτικών αποκλίσεων: Var(ˆθ) = E[(ˆθ E(ˆθ)) 2 ] Για αμερόληπτες εκτιμήτριες είναι E(ˆθ) = θ, άρα Var(ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] Ορισμός: Καλούμε μεροληψία (bias) της εκτιμήτριας ˆθ την ποσότητα B(ˆθ) = E(ˆθ) θ Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 21 / 44

22 Παρατηρήσεις Είναι: MSE(ˆθ) =Var(ˆθ) + [B(ˆθ)] 2 δηλαδή το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας εκτιμήτριας είναι ίσο με τη διασπορά της συν το τετράγωνο της μεροληψίας της. Ορισμός: Μεταξύ δυο εκτιμητριών ˆθ 1 και ˆθ 2 για μια άγνωστη παράμετρο θ, η ˆθ 1 θεωρείται καλύτερη της ˆθ 2 ως προς το κριτήριο του ελάχιστου τετραγωνικού σφάλματος, αν MSE(ˆθ 1 ) < MSE(ˆθ 2 ) Παρατήρηση: Αν οι ˆθ 1 και ˆθ 2 είναι αμερόληπτες, τότε B(ˆθ 1 ) = B(ˆθ 2 ) = 0 και το κριτήριο ουσιαστικά συνίσταται στην επιλογή της εκτιμήτριας με μικρότερη διασπορά (δηλαδή της πιο αποτελεσματικής). Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 22 / 44

23 Δύο βασικές εκτιμήτριες: δειγματικός μέσος και δειγματική διασπορά Δειγματικός μέσος: X = X ν = 1 ν X i ν i=1 (πρόκειται επομένως για τον αριθμητικό μέσο των τ.μ. του δείγματος) Δειγματική διασπορά: S 2 = S 2 ν = 1 ν 1 ν (X i X) 2 Θεώρημα: Εστω X 1, X 2,..., X ν τυχαίο δείγμα από την κατανομή F με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2. Είναι: E( X) = µ, Var( X) = σ2 ν, E(S2 ) = σ 2. Επίσης, αν µ 4 = E[(X i µ) 4 ] < ( τότε ) Var(S 2 ) = 1 ν µ 4 ν 3 ν 1 σ4 i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 23 / 44

24 Απόδειξη Είναι: E( X) = E ( 1 ν ν i=1 X ) i = 1 ν ν i=1 E(X i) = 1 ν νµ = µ Επειδή οι X i είναι ανεξάρτητες, η διασπορά έχει γραμμικότητα και: ) = 1 Var( X) =Var ( 1 ν ν i=1 X i Για την S 2 είναι: S 2 = 1 ν i=1 (X i X) 2 = 1 ν ν 2 i=1 Var(X i) = 1 ν νσ 2 = σ2 2 ν ν ν 1 ν 1 i=1 (X2 i 2X X i + X 2 ) = = 1 ν ν 1 i=1 X2 i 2 ν ν 1 i=1 X X i + 1 ν X ν 1 i=1 2 = = 1 ν ν 1 i=1 X2 i 2 X ν ν 1 i=1 X i + 1 ν 1 ν X 2 = = 1 ν ν 1 i=1 X2 i 2 Xν X ν ν 1 ν X 2 = ( = 1 ν ν 1 i=1 X2 i ν X 2) ( E(S 2 ) = 1 ν ν 1 i=1 E(X2 i ) νe( X 2 ) ) = ( = 1 ν ν 1 i=1 (µ2 + σ 2 ) ν(var( X) + E 2 ( X)) ) = ( ) = 1 ν 1 ν(µ 2 + σ 2 ) νσ2 ν νµ 2 = 1 ν 1 (ν 1)σ2 = σ 2 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 24 / 44

25 Στοχαστική σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών Ορισμός: Λέμε ότι η ακολουθία τ.μ. T ν (ν= 1, 2,... ) συγκλίνει στοχαστικά (ή αλλιώς συγκλίνει κατά πιθανότητα) στο θ ανν lim Pr{ T ν θ ɛ} = 0 ν p για οποιοδήποτε (οσοδήποτε μικρό) ɛ > 0. Γράφουμε T ν θ καθώς ν Με άλλα λόγια, καθώς το ν μεγαλώνει, η T ν πλησιάζει οσοδήποτε θέλουμε την τιμή θ με πολύ μεγάλη πιθανότητα που τείνει στο 1. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 25 / 44

26 Συνέπεια εκτιμητριών συναρτήσεων Ορισμός: Εστω τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X ν από την κατανομή F (x; θ) όπου θ είναι άγνωστη παράμετρος και T ν ακολουθία εκτιμητριών συναρτήσεων: T ν = T ν (X 1, X 2,..., X ν ), ν = 1, 2,... Η T ν καλείται συνεπής για την παράμετρο θ αν p θ καθώς ν T ν Με άλλα λόγια, αν χρησιμοποιούμε συνεπή εκτιμήτρια, τότε ɛ > 0 (οσοδήποτε μικρό) είναι lim ν Pr{ T ν θ ɛ} = 0 και επομένως αν πάρουμε ένα καταλλήλως μεγάλο δείγμα πλησιάζουμε πάρα πολύ την πραγματική τιμή της θ. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 26 / 44

27 Σχέση συνέπειας με αποτελεσματικότητα και αμεροληψία Θεώρημα: Αν T ν αμερόληπτες εκτιμήτριες και Var(T ν ) 0 καθώς ν, τότε η T ν είναι συνεπής. Απόδειξη: Αφού η T ν είναι αμερόληπτη, είναι E(T ν ) = θ, και επομένως (από την ανισότητα Chebyshev): Pr{ T ν θ ɛ} Var(Tν) ɛ 2 ɛ > 0 Άρα, για ɛ > 0 σταθερό, είναι 0 Pr{ T ν θ ɛ} Var(Tν) ɛ 0 καθώς ν 2 p Άρα T ν θ. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 27 / 44

28 Ασυμπτωτική αμεροληψία Πρόκειται για ασθενέστερη συνθήκη σε σχέση με την αμεροληψία, αφού αντί για E(T ν ) = θ αρκεί E(T ν ) θ καθώς ν Θεώρημα: Αν T ν ασυμπτωτικά αμερόληπτη εκτιμήτρια και Var(T ν ) 0 (καθώς ν ), τότε η T ν είναι συνεπής. Απόδειξη: Εστω E(T ν ) = δ ν θ. Τότε Pr{ T ν θ ɛ} E[(Tν θ)2 ] ɛ 2 (1) Αλλά, E[(T ν θ) 2 ] = E[((T ν δ ν ) + (δ ν θ)) 2 ] = = Var(T ν ) + E[(δ ν θ) 2 ] + 2E[(T ν δ ν )(δ ν θ)] = = Var(T ν ) + (δ ν θ) 2 + 2(δ ν θ)e[(t ν δ ν )] = = Var(T ν ) + (δ ν θ) 2 0 αφού Var(T ν ) 0 και δ ν θ. Άρα E[(T ν θ) 2 ] 0 καθώς ν και η συνέπεια προκύπτει από την (1). Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 28 / 44

29 Ασυμπτωτική αμεροληψία Παρατήρηση 1: Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια δεν είναι πάντα συνεπής (πρέπει επιπλέον να έχει διασπορά που τείνει στο μηδέν καθώς το μέγεθος του δείγματος αυξάνει). Αντιθέτως, μια συνεπής εκτιμήτρια είναι οπωσδήποτε ασυμπτωτικά αμερόληπτη. Παρατήρηση 2: Η συνέπεια (όπως και η ασυμπτωτική αμεροληψία) είναι ασυμπτωτικές ιδιότητες, δηλαδή αφορούν σε πολύ μεγάλα, μεταβαλλόμενα μεγέθη δειγμάτων. Αντιθέτως, η αμεροληψία και η αποτελεσματικότητα αναφέρονται σε δείγματα σχετικά μικρού, σταθερού μεγέθους. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 29 / 44

30 Δειγματικός μέσος και δειγματική διασπορά Θεώρημα: Εστω X 1, X 2,..., X ν τυχαίο δείγμα από κατανομή F με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2 <. Η ακολουθία των δειγματικών μέσων X = X ν = 1 ν ν i=1 X i είναι συνεπής για την μέση τιμή µ της κατανομής, ενώ η ακολουθία των δειγματικών διασπορών S 2 = Sν 2 = 1 ν ν 1 i=1 (X i X) 2 είναι συνεπής για το σ 2. Απόδειξη: Δείξαμε πριν ότι E( X) = µ και Var( X) = σ2 ν 0 καθώς ν και επομένως η X είναι συνεπής για τη µ (επίσης είναι αμερόληπτη). ( Επίσης, δείξαμε ) ότι E(S 2 ) = σ 2 και Var(S 2 ) = 1 ν µ 4 ν 3 ν 1 σ 4 0 καθώς ν, και άρα η S 2 είναι συνεπής (και αμερόληπτη) για την σ 2. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 30 / 44

31 Δειγματικός μέσος και δειγματική διασπορά Παρατήρηση: Επομένως, μπορούμε πάντα να βρίσκουμε συνεπείς (και αμερόληπτες) εκτιμήτριες για την πληθυσμιακή μέση τιμή και την πληθυσμιακή διασπορά για ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ κατανομή, υπό την έννοια ότι τέτοιες εκτιμήτριες είναι, για οποιαδήποτε κατανομή, ο δειγματικός μέσος όρος X (για τη µ) και η δειγματική διασπορά S 2 (για τη σ 2 ). Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 31 / 44

32 Το θεώρημα Slutsky Θεώρημα: Εστω T ν και W ν ακολουθίες τ.μ. για τις οποίες T ν p θ1 και W ν p θ2 καθώς ν. Είναι (για ν ): (i) g(t ν ) p g(θ 1 ) εφόσον η g είναι συνεχής στο θ 1 (ii) T ν ± W ν p θ1 ± θ 2 (iii) T ν W ν p θ1 θ 2 (iv) Tν W ν p θ 1 θ 2, εφόσον θ 2 0 Το θεώρημα αυτό είναι πολύ χρήσιμο κατά την κατασκευή συνεπών εκτιμητριών (βασιζόμενοι σε εκτιμήτριες των οποίων η συνέπεια είναι γνωστή). Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 32 / 44

33 Παράδειγμα Ο αριθμός των s που φτάνουν σε έναν server σε μια ορισμένη περίοδο της ημέρας (π.χ. από τις 9π.μ. έως τις 10π.μ.) ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ. Αν X 1, X 2,..., X ν είναι οι αριθμοί των s που φτάνουν στον server σε τυχαίο δείγμα ν ημερών, να βρεθεί συνεπής εκτιμήτρια α) για την μέση τιμή του αριθμού των s β) για την πιθανότητα να μην έρθει κανένα από τις 9π.μ. έως τις 10π.μ. μιας ημέρας. Λύση: α) Οπως είδαμε, μια συνεπής εκτιμήτρια για την μέση τιμή µ = λ είναι ο δειγματικός μέσος όρος X ν = X = 1 ν ν i=1 X i β) Είναι Pr{X 1 = 0} = e λ λ0 0! = e λ Αφού X p ν λ ορίζω την Wν = e X ν η οποία είναι συνεπής για την ποσότητα e λ αφού g(t ν ) p g(θ 1 ) και εδώ W ν = g( X ν ) = e X ν p g(θ1 ) = e λ. (η προϋπόθεση της συνέχειας της e λ στο λ > 0 ισχύει). Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 33 / 44

34 Μέθοδοι εύρεσης εκτιμητριών Μέθοδος των ροπών Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων Πρόκειται για γενικές μεθοδολογίες (επιπλέον των ad hoc μεθόδων και των θεωρητικών αναλύσεων) που επιτρέπουν την υιοθέτηση κάποιας αρχής βελτιστοποίησης κατά την κατασκευή εκτιμητριών με επιθυμητές ιδιότητες. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 34 / 44

35 Μέθοδος των ροπών Είναι η παλαιότερη μέθοδος Βασική ιδέα: εξίσωση μερικών (έστω K) από τις πρώτες ροπές της πληθυσμιακής κατανομής περί το μηδέν με τις αντίστοιχες ροπές του τυχαίου δείγματος. Παίρνουμε τόσες εξισώσεις (ροπές) όσος είναι ο αριθμός των αγνώστων παραμέτρων που θέλουμε να εκτιμήσουμε Λύνουμε το K K σύστημα και βρίσκουμε εκτιμήσεις των παραμέτρων Θυμίζουμε ότι, οι πληθυσμιακές ροπές τάξης r είναι m r = E(X r ) ενώ η δειγματική ροπή τάξης r είναι ν r = 1 n n i=1 Xr i Παρατηρήσεις: Οι προκύπτουσες εκτιμήτριες είναι συχνά μεροληπτικές Επίσης, είναι δύσκολο να διατυπωθεί συμπέρασμα σχετικά με την αποτελεσματικότητα Ωστόσο η μέθοδος είναι πολύ απλή και κάτω από ορισμένες συνθήκες οι εκτιμήτριες που παράγει είναι συνεπείς. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 35 / 44

36 Παράδειγμα Εστω X 1, X 2,..., X ν τυχαίο δείγμα από ομοιόμορφο πληθυσμό (κατανομή U(a, b)) με παραμέτρους a = 0 και b = θ (άγνωστο) α) Να βρεθεί εκτιμήτρια της παραμέτρου b με τη μέθοδο των ροπών και β) να ελεγχθεί η συνέπειά της. Λύση: α) Η πρώτη πληθυσμιακή ροπή περί την αρχή είναι: m 1 = E(X 1 ) = a+b 2 = θ 2 Η πρώτη δειγματική ροπή περί το μηδέν είναι: ν 1 = 1 n n i=1 X i = X Άρα από το (1 1) σύστημα m 1 = ν 1 παίρνουμε θ 2 = X και η εκτιμήτρια είναι ˆθ = 2 X. β) Είναι E(ˆθ) = E(2 X) = E( 2 n (X 1 +X 2 + +X n ) = 2 n ne(x i) = 2 θ 2 = θ και Var(ˆθ) = Var(2 X) = 4Var( X 1+X 2 + +X n n ) = 4 n θ2 n 2 12 = θ2 3n 0 καθώς n και επομένως η ˆθ = 2 X είναι συνεπής. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 36 / 44

37 Παράδειγμα Να βρεθούν με τη μέθοδο των ροπών εκτιμήτριες συναρτήσεις της μέσης τιμής και της διασποράς σ 2 ενός κανονικού πληθυσμού με κατανομή N(µ, σ 2 ) Λύση: Εχουμε 2 άγνωστες παραμέτρους, άρα παίρνουμε 2 ροπές (εξισώσεις). Οι πληθυσμιακές ροπές 1ης και 2ης τάξης είναι: m 1 = E(X) = µ και m 2 = E(X 2 ) = Var(X) + E 2 (X) = σ 2 + µ 2 Οι αντίστοιχες δειγματικές ροπές είναι: ν 1 = 1 n n i=1 X i = X, και ν 2 = 1 n n i=1 X2 i Άρα, το{ 2 2 σύστημα { είναι: m 1 = ν 1 µ = X (1) m 2 = ν 2 σ 2 + µ 2 = 1 n n i=1 X2 i (2) Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 37 / 44

38 Παράδειγμα (συνέχεια) Άρα, η εκτιμήτρια της µ είναι η ˆθ 1 = X και είναι συνεπής. Η εκτιμήτρια ˆθ 2 της σ 2 είναι: (2) σ 2 n i=1 = X2 i n µ 2 n i=1 = X2 i n X ( 2 = 1 n n i=1 X2 i n X 2) = = 1 n n i=1 (X i X) 2 την οποία και παίρνουμε ως εκτιμήτρια της διασποράς σ 2. Είναι E( ˆθ 2 ) = n 1 1 n n 1 n i=1 (X i X) 2 = n 1 1 n n n 1 i=1 (X i X) 2 = (1 1 n )S2 όπου S 2 η δειγματική διασπορά. Άρα E( ˆθ 2 ) S 2 και η ˆθ 2 δεν είναι αμερόληπτη (αλλά είναι ασυμπτωτικά αμερόληπτη). Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 38 / 44

39 Παράδειγμα Δίνεται πληθυσμός με pdf : f(x, θ) = (θ + 1)x θ, x [0, 1]. Να βρεθεί εκτιμήτρια της παραμέτρου θ με την μέθοδο των ροπών. Λύση: Η πρώτη πληθυσμιακή ροπή είναι: 1 m 1 = E(X) = x(θ + 1)x θ dx = (θ + 1) xθ+2 θ+2 Η πρώτη δειγματική ροπή είναι: ν 1 = 1 n n i=1 X i = X Από την εξίσωση m 1 = ν 1 παίρνουμε θ+1 θ+2 = X θ = 2 X 1 1 X και η εκτιμήτρια είναι ˆθ = 2 X 1 1 X = θ+1 θ+2 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 39 / 44

40 Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Είναι μια από τις πλέον σημαντικές μεθόδους. Βασική ιδέα: εύρεση εκτιμητριών τέτοιων ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα εμφάνισης των τιμών του συγκεκριμένου τυχαίου δείγματος. Εστω τυχαίο δείγμα από κατανομή f(x; θ). Η (πληθυσμιακή) κατανομή πιθανότητας του δείγματος είναι προφανώς (θεωρούμε το θ σταθερό): f(x 1, x 2,..., x n; θ) = f(x 1; θ)f(x 2; θ) f(x n; θ) Αν τώρα θεωρήσουμε σταθερές τις (πραγματοποιημένες) τιμές του δείγματος και την θ ως μεταβλητή, θα έχουμε τη συνάρτηση πιθανοφάνειας (likelihood) του δείγματος: L(x 1, x 2,..., x n; θ) = L(θ) = f(x 1; θ)f(x 2; θ) f(x n; θ) (ουσιαστικά πρόκειται για την ίδια ποσότητα, απλώς αλλάζουν οι σταθερές και η μεταβλητή.) Συνήθως, για κάθε άγνωστη παράμετρο θ, υπάρχει μια μοναδική τιμή του θ που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση πιθανοφάνειας L(θ). Η τιμή αυτή ονομάζεται εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας (MLE) της θ και συμβολίζεται ˆθ. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 40 / 44

41 Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Παρατήρηση: Η αρχή της μέγιστης πιθανοφάνειας διαισθητικά βασίζεται στο ότι το παρατηρηθέν δείγμα είναι ένα γεγονός E = {x 1, x 2,..., x n } και η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι η πιθανότητα εμφάνισής του. Αφού όμως το γεγονός συνέβη πρέπει να έχει μεγάλη πιθανότητα, και η μεγιστοποίηση της L(θ) = L(x 1, x 2,..., x n ; θ) σημαίνει επιλογή εκείνης της τιμής του θ που μεγιστοποιεί την πιθανότητα εμφάνισης του E = {x 1, x 2,..., x n }. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 41 / 44

42 Περιγραφή της MLE μεθόδου Ουσιαστικά χρησιμοποιούμε κλασσικές μεθόδους εύρεσης μέγιστων τιμών παραγωγίσιμων συναρτήσεων: 1. Κατασκευάζουμε τη συνάρτηση πιθανοφάνειας των δεδομένων του δείγματος με βάση την κατανομή που ακολουθούν: L(θ) = L(x 1, x 2,..., x n ; θ) = n i=1 f(x i; θ) 2. Παίρνουμε το λογάριθμο της L(θ) (για διευκόλυνση των πράξεων) και παραγωγίζουμε ως προς την άγνωστη θ, βρίσκουμε δηλαδή την d ln L(θ) dθ 3.Βρίσκουμε την τιμή της θ (υποψήφια εκτιμήτρια ˆθ) ώστε d ln L(θ) dθ = 0 ˆθ = Δείχνουμε ότι η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική ώστε η λύση να αντιστοιχεί σε ολικό μέγιστο: d 2 ln L(θ) d 2 θ < 0 θ=ˆθ Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 42 / 44

43 Παράδειγμα Δίνεται τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X n από εκθετική κατανομή άγνωστης μέσης τιμής θ. Να βρεθεί εκτιμήτρια της θ με την MLE μέθοδο. Λύση: Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι: L(θ) = n i=1 f(x i; θ) = n i=1 1 x θ e i θ = ( ) 1 n n i=1 x i θ e θ ln L(θ) = ln ( ) 1 n n i=1 x i n + ln e θ i=1 = = n ln θ x i d ln L(θ) θ n i=1 x i n Άρα dθ = 0 θ = = X και η υποψήφια εκτιμήτρια είναι η ˆθ = X Επίσης d2 ln L(θ) < 0 nθ < 2n X που ισχύει για d 2 θ θ = ˆθ = X και επομένως η MLE είναι πράγματι η ˆθ = X. θ Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 43 / 44

44 Μέθοδος ελάχιστων τετραγώνων Η μέθοδος αποσκοπεί στην εύρεση εκτιμητριών που βελτιστοποιούν όσο το δυνατόν περισσότερες επιθυμητές ιδιότητες. Κριτήριο επιλογής: Η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των αποκλίσεων ( σφαλμάτων ) μεταξύ των δειγματοληπτικών τιμών και των προς εκτίμηση (θεωρητικών, από την κατανομή) τιμών της τυχαίας μεταβλητής. Παράδειγμα: Αν προσπαθούμε να εκτιμήσουμε την μέση τιμή µ ενός πληθυσμού, επιλέγουμε ως εκτιμήτρια την τιμή ˆµ του µ που για το συγκεκριμένο δείγμα ελαχιστοποιεί την συνάρτηση Q: Q = n i=1 (X i µ) 2 Η ελαχιστοποίηση της Q γίνεται με παραγώγιση (όπως και στην MLE ). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα προκύπτει εύκολα (άσκηση!) ότι η Q ελαχιστοποιείται για ˆµ = X. Παρατήρηση: Η μέθοδος οδηγεί σε εκτιμήτριες που ελαχιστοποιούν την διακύμανση (μεταξύ όλων των αμερόληπτων εκτιμητριών). Αρκετά γενικά, οι εκτιμήτριες αυτές είναι συνεπείς. Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα Πιθανότητες 44 / 44

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics)

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Τυχαίο δείγμα και στατιστική συνάρτηση Χ={x 1, x,, x n } τυχαίο δείγμα μεγέθους n προερχόμενο από μια (παραμετρική) κατανομή με σ.π.π. f(x;θ).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Εκτιμητική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιμήτριες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Εκτιμήτριες. μέθοδος ροπών και μέγιστης πιθανοφάνειας

Εκτιμήτριες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Εκτιμήτριες. μέθοδος ροπών και μέγιστης πιθανοφάνειας Εκτιμήτριες Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Εκτιμήτριες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α μέθοδος ροπών και μέγιστης πιθανοφάνειας κριτήρια αμεροληψίας και συνέπειας 9 άλυτες ασκήσεις 6 9 7.

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, που ϑα δούµε παρακάτω, υπολογίζονται από τα στατιστικά δεδοµένα που έχουµε συλλέξει

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής

Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής Κεφάλαιο 3 Εισαγωγικές έννοιες στατιστικής Η στατιστική είναι εφαρμοσμένος κλάδος της πιθανοθεωρίας ο οποίος ασχολείται με πραγματικά προβλήματα, επιδιώκοντας την εξαγωγή συμπερασμάτων βασισμένων σε παρατηρήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 11. β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο λ 0.

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 11. β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο λ 0. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Άσκηση Έστω X, X,..., X d τυχαίες μεταβλητές με ~ Posso ( ), Να εξάγετε α) τη συνάστηση πιθανοφάνειας στις 3 μορφές τις και β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TE Αρχές Ψηφιακών Συστημάτων Επικοινωνίας και Προσομοίωση Εαρινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Random Sampling)

2. ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Random Sampling) . ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Radom Samplig) Η στοιχειωδέστερη μορφή δειγματοληψίας κατά πιθανότητα είναι η απλή τυχαία δειγματοληψία. Το σχήμα αυτό χρησιμοποιείται ευρύτατα, κυρίως λόγω της απλότητάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ ) Έστω Χ,, Χ και Υ,,Υ ανεξάρτητα τµ από πληθυσµούς µε µέση τιµή θ και γνωστές διασπορές σ και σ είξτε ότι για c [0,] η U = c X +(-c) Y είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ)

Κεφάλαιο 3 ο Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ) Κεφάλαιο ο Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ Σύνοψη Στο ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η Στρωμματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ που είναι και το είδος της δειγματοληψίας με την πιο συχνή χρήση κύρια σε εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα