1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ"

Transcript

1 . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού της f. Αν f ( x ) > f ( x ) για κάθε x που ανήκει στο διάστημα ( x ε, x +ε), τότε στο x η συνάρτηση έχει αυστηρά τοπικό μέγιστο. Αν f ( x ) > f ( x ) για όλα τα x στο πεδίο ορισμού της f, τότε στο x μέγιστο. Το τοπικό και το ολικό ελάχιστο ορίζονται με ανάλογο τρόπο. η συνάρτηση έχει ένα αυστηρά ολικό Τα μέγιστα και τα ελάχιστα των συναρτήσεων ονομάζονται ακραία σημεία. Η ικανή (όχι όμως και αναγκαία) συνθήκη για την ύπαρξη μεγίστων και ελαχίστων δίνεται από το Θεώρημα του Weerstrass σύμφωνα με το οποίο συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή πεδία ορισμού έχουν ακραίες τιμές. Στα οικονομικά συνήθως εργαζόμαστε με συναρτήσεις των οποίων οι παράγωγες υπάρχουν και είναι συνεχείς. Για τέτοιες συναρτήσεις αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ακραίας τιμής στο x είναι f ( x), δηλαδή, η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι μηδέν στο σημείο αυτό. Η συνθήκη αυτή ονομάζεται συνθήκη πρώτης τάξης. Η συνθήκη αυτή όμως δεν είναι και ικανή. Στο Σχήμα, στο σημείο Α η συνάρτηση y f ( x) έχει μέγιστο και στο σημείο Β έχει ελάχιστο. Στα αριστερά του σημείου Α η παράγωγος είναι θετική ενώ στα δεξιά του αρνητική. Στα αριστερά του σημείου Β η παράγωγος είναι αρνητική ενώ στα δεξιά του θετική. Η παράγωγος, όμως, της συνάρτησης είναι θετική τόσο στα δεξιά όσο και στα αριστερά του σημείου C. Το σημείο C δεν είναι ακραίο σημείο της συνάρτησης αλλά είναι ένα σημείο καμπής. Η ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ακραίας τιμής δίνεται από την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο x. Αν f ( x ) <, τότε η συνάρτηση έχει μέγιστο. Αν f ( x ) >, τότε συνάρτηση έχει ελάχιστο. Η συνθήκη αυτή ονομάζεται συνθήκη δεύτερης τάξης. Όταν η συνθήκη δεύτερης τάξης ικανοποιείται, η συνθήκη πρώτης τάξης είναι αναγαία και ικανή για την ύπαρξη ακραίου σημείου. Όταν f ( x ) μπορεί να έχουμε μέγιστο, ελάχιστο ή σημείο καμπής. Για να δώσουμε απάντηση στην περίπτωση αυτή είτε

2 μελετάμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου δεξιά και αριστερά από το x είτε καταφεύγουμε στον έλεγχο της νιοστής παραγώγου σύμφωνα με το οποίο αν f ( x) και η πρώτη μη-μηδενική παράγωγος την οποία συναντούμε είναι η νιοστή (), τότε: α) Στο σημείο αυτό υπάρχει μέγιστο όταν είναι άρτιος και f ( x ) <, β) Στο σημείο αυτό υπάρχει ελάχιστο όταν είναι άρτιος και f ( x ) >, γ) Το σημείο αυτό είναι σημείο καμπής όταν είναι περιττός αριθμός. Αφού για f ( x ) είναι δυνατόν να υπάρχει ακραία τιμή (μέγιστο, ελάχιστο) η συνθήκη δεύτερης τάξης είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία. Οι συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης μπορούν να εκφραστούν με την μορφή διαφορικών. Το διαφορικό της y f ( x) είναι dy f ( x) dx. Όταν dx, dy αν και μόνο αν f ( x). Συνεπώς, η συνθήκη " dy για αυθαίρετες μη-μηδενικές μεταβολές της ανεξάρτητης μεταβλητής" είναι ισοδύναμη με την συνθήκη πρώτης τάξης, όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Το διαφορικό δεύτερης τάξης είναι d y f ( x) dx, όπου dx ( dx) ( dx). Εφόσον οι μεταβολές της ανεξάρτητης είναι μη-μηδενικές, d y <> ( ) εάν και μόνο εάν f ( x) <> ( ). Συνεπώς, η συνθήκη " d y <> ( ) για αυθαίρετες μη-μηδενικές μεταβολές της ανεξάρτητης" είναι ικανή συνθήκη για μέγιστο (ελάχιστο). Όμως, δεν είναι και αναγκαία αφού ακραία τιμή είναι δυνατόν να υπάρχει και όταν dy f ( x ). Όταν η συνθήκη δεύτερης τάξης ικανοποιείται η συνθήκη πρώτης τάξης είναι αναγαία και ικανή. Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Εστω η συνάρτηση y f ( x), όπου x είναι ένα x διάνυσμα. Εστω επίσης ότι οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της y υπάρχουν και είναι συνεχείς. Η αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ακραίας τιμής στο x (συνθήκη πρώτης τάξης) είναι f ( x ),,,...,, όπου f f x. Η αναγκαία συνθήκη μπορεί να εκφραστεί με την βοήθεια του ολικού διαφορικού της y. Συγκεκριμένα, το ολικό διαφορικό είναι dy f dx. Συνεπώς, η συνθήκη " dy για αυθαίρετες μη-μηδενικές μεταβολές των Αν αντί για το > (<) έχουμε ( ) το μέγιστο (ελάχιστο) είναι ασθενές.

3 3 ανεξάρτητων μεταβλητών" είναι ισοδύναμη με την συνθήκη πρώτης τάξης,,,...,. Για τον προσδιορισμό της ικανής συνθήκης είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της τετραγωνικής μορφής. Εστω μια συνάρτηση δυο μεταβλητών y f ( x, x ). Το διαφορικό δεύτερης τάξης της συνάρτησης αυτής είναι d z f dx + f dx dx + f dx f j, όπου είναι οι δεύτερες μερικοί παράγωγοι. f Ορίζοντας u, υ dx, a f dx, b f, h f, q d z, οδηγούμαστε στην τετραγωνική μορφή q au + huυ + bυ. Η τετραγωνική μορφή είναι α) Θετικά Ορισμένη (Ημι-ορισμένη) όταν q > ( ) β) Αρνητικά Ορισμένη (Ημι-ορισμένη) όταν q < ( ) για αυθαίρετες τιμές των μεταβλητών μεταβάλλεται με τις τιμές των q u και υ (όχι όμως όλες μηδενικές). Αν το πρόσημο u και υ η τετραγωνική μορφή δεν είναι ορισμένη. Η έννοια της τετραγωνικής μορφής μπορεί να επεκταθεί σε συνάρτηση μεταβλητών f j j u ( u, u,..., u ) και Η είναι ο πίνακας Hessa, H [ f j ], u u j uhu T, όπου Τ υποδηλώνει την αναστροφή του διανύσματος, j,,,...,. Το πρόσημο μια τετραγωνικής μορφής (και του πίνακα Η) μπορεί να προσδιοριστεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι μέσω των οριζουσών των κυριών ελασσόνων πινάκων του H. Συγκεκριμένα, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά ορισμένη όταν και μόνο όταν (ικανή και αναγκαία συνθήκη) οι ορίζουσες των κυρίων ελασσόνων εναλλάσσουν πρόσημα με την πρώτη αρνητική, δηλαδή, f f f f f3 H f <, H f f >, H3 f f f3 <,... f f f Αν κάποιες από τις ορίζουσες είναι μηδέν τότε η τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά ημιορισμένη. Η τετραγωνική μορφή είναι θετικά ορισμένη όταν και μόνο όταν οι ορίζουσες των κυρίων ελασσόνων είναι όλες θετικές. Σε θετικά ημι-ορισμένες τετραγωνικές μορφές κάποιες ορίζουσες είναι μηδέν. Αν τα πρόσημα των οριζουσών δεν ακολουθούν τους κανόνες αυτούς η τετραγωνική μορφή (και ο πίνακας Η) δεν είναι ορισμένη. Ο δεύτερος τρόπος προσδιορισμού του πρόσημου μιας τετραγωνικής μορφής είναι μέσω των

4 4 χαρακτηριστικών ριζών του πίνακα Η. Οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης f θ f... f f f θ... f A.) 7 H θi... f f f θ όπου Ι είναι ένας x μοναδιαίος πίνακας και θ είναι ένας αριθμός. Αν ο Η είναι συμμετρικός πίνακας, οι χαρακτηριστικές ρίζες θα είναι πραγματικοί αριθμοί (θετικοί, αρνητικοί ή μηδέν). Ο πίνακας Η (και η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή) είναι αρνητικά (θετικά) ορισμένος όταν και μόνο όταν όλες οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι αυστηρά αρνητικές (θετικές). Η συν-ύπαρξη μηδενικών χαρακτηριστικών ριζών με αρνητικές (θετικές) σημαίνει ότι ο Η (και η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή) είναι αρνητικά (θετικά) ημι-ορισμένος. Συν-ύπαρξη αρνητικών και θετικών χαρακτηριστικών ριζών σημαίνει ότι η τετραγωνική μορφή (και ο Η) δεν είναι ορισμένη. Ικανή συνθήκη για την ύπαρξη μέγιστου (ελαχίστου) σε συνάρτηση με πολλές μεταβλητές: ο πίνακας Η είναι αρνητικά (θετικά) ορισμένος, όταν υπολογίζεται στο σημείο x για το οποίο f ( x ). τότε η συνθήκη πρώτης τάξης είναι αναγκαία και ικανή. Όταν η ικανή συνθήκη (συνθήκη δεύτερης τάξης) ικανοποιείται Κοίλες και Κυρτές Συναρτήσεις σε Σχέση με τα Ακραία Σημεία. Μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών είναι κοίλη (κυρτή) όταν και μόνο όταν (ικανή και αναγκαία συνθήκη) η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά (θετικά) ημιορισμένη. Η συνάρτηση είναι αυστηρά κοίλη (κυρτή) αν -ικανή συνθήκη- η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά (θετικά) ορισμένη. Το ότι η αρνητικά (θετικά) ορισμένη τετραγωνική μορφή δεν είναι αναγκαία συνθήκη είναι δυνατόν να αποδειχθεί με το να 4 εξετάσουμε την y x στο διάστημα (, ). Συνάρτηση αυτή είναι αυστηρά κυρτή. Όμως, στο σημείο του πεδίου ορισμού d y x dx. Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη (κυρτή) σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της και f ( x ) για κάποιο x το οποίο ανήκει στο διάστημα αυτό, τότε στο x υπάρχει ασθενές μέγιστο (ελάχιστο). Αν μια συνάρτηση είναι αυστηρά κοίλη (κυρτή)σε ένα διάστημα του

5 5 πεδίου ορισμού της και f ( x ) για κάποιο x το οποίο ανήκει στο διάστημα αυτό, τότε στο x υπάρχει ισχυρό μέγιστο (ελάχιστο) Το Θεώρημα της Περιβάλλουσας Η οικονομική επιστήμη είναι σε μεγάλο βαθμό επιστήμη των επιλογών. Οι επιχειρήσεις και οι καταναλωτές θέτουν ορισμένους στόχους και, συνήθως, έχουν στην διάθεση τους εναλλακτικούς τρόπους για να τους εκπληρώσουν. Ενας (ή περισσότεροι) από τους εναλλακτικούς αυτούς τρόπους είναι με βάση κάποιο κριτήριο περισσότερο επιθυμητοί από τους άλλους. Τα πλέον συνηθισμένα κριτήρια επιλογής στα οικονομικά είναι η Μεγιστοποίηση και η Ελαχιστοποίηση. Για παράδειγμα, οι επιχειρήσεις προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν το κέρδος τους ή να ελαχιστοποιήσουν το κόστος για την παραγωγή ενός δεδομένου επίπεδου προϊόντος και οι καταναλωτές προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν την χρησιμότητα τους με δεδομένο το διαθέσιμο εισόδημα. Τα προβλήματα της μεγιστοποίησης και της ελαχιστοποίησης αναφέρονται στην βιβλιογραφία ως προβλήματα αριστοποίησης (δηλαδή προβλήματα αναζήτησης του άριστου). Το πρώτο βήμα στην διατύπωση ενός προβλήματος αριστοποίησης είναι η περιγραφή της συνάρτησης στόχου (ή αντικειμενικού σκοπού). Η εξαρτημένη μεταβλητή στην συνάρτηση αυτή είναι το αντικείμενο της μεγιστοποίησης ή της ελαχιστοποίησης (π.χ κέρδος, κόστος). Το σύνολο των ανεξάρτητων μεταβλητών στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού αποτελείται από τις παράμετρες και τις μεταβλητές επιλογής (ή μεταβλητές απόφασης). Οι παράμετρες προσδιορίζονται εξωγενώς. Οι τιμές των μεταβλητών επιλογής καθορίζονται ενδογενώς στην προσπάθεια για αριστοποίηση. Η ουσία της αριστοποίησης είναι η εύρεση ( με δεδομένες τις τιμές των παραμέτρων) των τιμών των μεταβλητών επιλογής που δίνουν το επιθυμητό ακραίο σημείο στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού. Ένα τυπικό πρόβλημα μεγιστοποίησης ορίζεται ως ) Max y f ( x, α) x όπου α είναι ένα mx διάνυσμα παραμέτρων και x ένα x διάνυσμα μεταβλητών επιλογής και η f είναι αυστηρά κοίλη στο x. Η λύση του προβλήματος θα οδηγήσει σε συναρτήσεις της μορφής x x ( α),,,..., οι οποίες ονομάζονται εξισώσεις απόφασης και δίνουν

6 6 τις τιμές των μεταβλητών απόφασης για κάθε διάνυσμα τιμών των παραμέτρων. Η αντικατάσταση των εξισώσεων απόφασης στην σχέση () οδηγεί στην συνάρτηση αξίας ) y ( α) f ( x ( α), α ) η οποία δίνει τις μέγιστες τιμές της y για κάθε διάνυσμα τιμών των παραμέτρων. Στα οικονομικά συχνά ενδιαφερόμαστε για το πως μεταβάλλεται η άριστη τιμή της y όταν μεταβληθεί κάποια από τις παραμέτρους. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη τηςσχέσης () ως προς α, όπου,,..., m, έχουμε 3) y ( α ) f ( x ( α), α) f ( x ( α), α) + α a a. Επειδή x ( α ) είναι το διάνυσμα των επιλογών που μεγιστοποιεί την y, f 4) f ( x ( α), α) ( x ( α), α) για κάθε. Συνεπώς, y ( α ) f ( x ( α), α). α a Η σχέση (4) είναι το θεώρημα της περιβάλλουσας σύμφωνα με το οποίο η ολική παράγωγος της συνάρτησης αξίας ως προς μια παράμετρο είναι ίση με την μερική παράγωγο της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού ως προς την παράμετρο αυτή όταν η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού υπολογίζεται στις άριστες τιμές των μεταβλητών επιλογής. Η μεταβολή μιας παραμέτρου έχει δύο αποτελέσματα στην συνάρτηση αξίας. Το άμεσο που συνδέεται με την επίδραση της μεταβολής της παραμέτρου στην f με σταθερό το διάνυσμα x (ο δεύτερος όρος στο δεξιό μέρος της (3)) και το έμμεσο το οποίο λειτουργεί μέσω της επίδρασης της μεταβολής της παραμέτρου στις άριστες επιλογές (ο πρώτος όρος στο δεξιό μέρος της (3)). Όταν το διάνυσμα x επιλέγεται με άριστο τρόπο, οι απειροελάχιστες μεταβολές του δεν έχουν επίδραση στην f (λόγω των συνθηκών πρώτης τάξης). Ετσι, το έμμεσο αποτέλεσμα είναι μηδέν και μένει μόνο η επίδραση του άμεσου αποτελέσματος. Το θεώρημα τις περιβάλλουσας έχει πολύ σημαντικές εφαρμογές στην ανάλυση της συμπεριφοράς των επιχειρήσεων και των καταναλωτών. Οι εμπειρικές αναλύσεις προσφοράς προϊόντων και ζήτησης εισροών υιοθετούν, συνήθως, την Δυϊκή Προσέγγιση που βασίζεται στην εξειδίκευση μιας ευέλικτης συνάρτησης αξίας και στην εξαγωγή από την συνάρτηση αυτή εξισώσεων απόφασηςμέσω του Θεωρήματος της Περιβάλλουσας. Η πραγματική συνάρτηση αξίας δεν είναι γενικά γνωστή. Ευέλικτες συναρτήσεις είναι αυτές που εξασφαλίζουν προσέγγιση δεύτερης τάξης στην άγνωστη αυτή συνάρτηση.

7 7 Για παράδειγμα, έστω ότι ένα προϊόν, q, παράγεται από μια πλήρως ανταγωνιστική επιχείρηση με την εισροή, z. Η συνάρτηση παραγωγής q q() z είναι αυστηρά κοίλη, η τιμή του τιμή προϊόντος είναι p και η τιμή της εισροής είναι w. Το κέρδος της επιχείρησης είναι π pq() z wzκαι η επιχείρηση επιλέγει τα επίπεδα της παραγωγής και της εισροής που μεγιστοποιούν το κέρδος. Οι παράμετρες του προβλήματος είναι οι τιμές (p και w) και η συνάρτηση αξίας (συνάρτηση κέρδους) είναι π π ( p, w). Από θεώρημα της περιβάλλουσας η συνάρτηση προσφοράς είναι q π p και η συνάρτηση ζήτησης z π. Επειδή η συνάρτηση κέρδους δεν είναι γνωστή την προσεγγίζουμε μια ευέλικτη w όπως είναι η Γενικοποιημένη Leoteff, π / / βp+ βw+ β ( p w ). Για την συγκεκριμένη συνάρτηση κέρδους, η συνάρτηση προσφοράς είναι q / + 5. ( w/ p) β β / και η συνάρτηση ζήτησης είναι z β 5. β ( p/ w). Συγκριτική Στατική Ανάλυση Ένα άλλο ενδιαφέρον ερώτημα στα οικονομικά είναι πως οι άριστες επιλογές αλλάζουν με τις μεταβολές των παραμέτρων. Η ανάλυση αυτού του είδους ονομάζεται συγκριτική στατική. Από τις συνθήκες πρώτης τάξης f ( x ( α ), α ),,,...,. Παραγωγίζοντας τις συνθήκες πρώτης τάξης ως προς το α παίρνουμε το σύστημα των εξισώσεων α f f f f... α x f f... f f α α f f... f f x α α x Με δεδομένο ότι έχουμε υποθέσει ότι η συνάρτηση f είναι αυστηρά κοίλη (άρα υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα H [ f j ] ) η λύση του συστήματος είναι

8 8 α f f... f f f... f α f f... f α fα fα..., fα όπου το (-) σημαίνει αντιστροφή του πίνακα. Συγκριτική στατική ανάλυση είναι δυνατόν να γίνει μέσω μιας συνάρτησης αξίας. Στο παράδειγμα που εξετάσαμε παραπάνω, q p z w π q π z π,, και p w p w p w p π. Με δεδομένο ότι μια συνάρτηση κέρδους πρέπει να είναι κυρτή στις τιμές w μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η προσφορά αυξάνει με την τιμή του προϊόντος ενώ η ζήτηση για την εισροή μειώνεται με την τιμή της εισροής. Επίσης, αν υπάρχουν οι πρώτες και οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της συνάρτησης του κέρδους και είναι συνεχείς, τότε από το Θεώρημα του Youg 3 προκύπτει ότι q w z. p Παραδείγματα. Να προσδιοριστούν τα ακραία σημεία της συνάρτησης y f ( X, X, X ) X + X X + 4 X + X X + X Λύση Συνθήκες πρώτης τάξης: f 4X + X + X, f X + 8X, f X + X. 3 3 Η λύση του συστήματος είναι X X X. Συνθήκες δεύτερης τάξης: H 8 και οι ορίζουσες των κυρίων ελασσόνων είναι 4, 3 και Για μια συνάρτηση f ( x, y) ισχύει ότι f f, όταν οι σταυροειδείς μερικές παράγωγοι είναι συνεχείς. xy yx

9 9 Συμπεραίνουμε ότι στο σημείο X (,, ) η συνάρτηση έχει ελάχιστο y.. Να προσδιοριστούν οι ακραίες τιμές της συνάρτησης y X + 3X X + X X 3 X Λύση Συνθήκες πρώτης τάξης: f 3X + 3X3, f ( X ), f3 3X 6X3. Υπάρχουν δυο λύσεις, η X (,, ) και η X (/, 4, / ). Συνθήκες δεύτερης τάξης: 3 Με βάση την πρώτη λύση H. Οι συνθήκες δεύτερης τάξης δεν 3 6 ικανοποιούνται αφού ο Η δεν είναι αρνητικά (η θετικά) ορισμένος. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την φύση της πρώτης λύσης χρησιμοποιούμε τον έλεγχο των χαρακτηριστικών ριζών. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι θ 3 θ 3 6 θ ( θ + )( θ + 6θ 9). Οι χαρακτηριστικές ρίζες εξίσωσης αυτής είναι θ, θ , θ Με δύο αρνητικές και μία θετική 3 χαρακτηριστική ρίζα το πρόσημο της τετραγωνικής μορφής που συνδέεται με την Η είναι απροσδιόριστο και η λύση X (,, ) δεν αντιστοιχεί σε μέγιστο ή ελάχιστο αλλά σε σημείο καμπής. Για την δεύτερη λύση οι ορίζουσες είναι -3, 6 και -8 που σημαίνει ότι το X (/, 4, / ) αντιστοιχεί σε μέγιστο. Ασκήσεις. Να προσδιοριστούν οι ακραίες τιμές των συναρτήσεων a) y X + 3X 3X X + 4X X + 6X 3 3 b) z 9 ( X + X + X ) 3 c) z X X + X X + X X + X + 3X X Y W W d) z e + e + e e + ( X + Y).

10 . Εστω ότι η αυστηρά κοίλη συνάρτηση παραγωγής ενός προϊόντος είναι Q F ( X, X), όπου Q είναι η ποσότητα παραγωγής και X, X οι ποσότητες των εισροών. Εστω επίσης ότι το προϊόν παράγεται σε πλήρως ανταγωνιστικές συνθήκες και ότι η ανά μονάδα τιμή του είναι p, ενώ οι ανά μονάδα τιμές των εισροών είναι w και w. Να γίνει συγκριτική στατική ανάλυση ως προς της τιμές του προϊόντος και των εισροών (οι άριστες επιλογές είναι η προσφορά του προϊόντος και η ζήτηση για εισροές).. Μέγιστα και Ελάχιστα με Περιορισμούς Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του κόστους για την παραγωγή ενός δεδομένου επίπεδου προϊόντος και το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας με δεδομένο το διαθέσιμο εισόδημα είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα αριστοποίησης όπου οι περιορισμοί έχουν την μορφή ισοτήτων. Εστω ότι έχουμε να λύσουμε το παρακάτω γενικό πρόβλημα με μεταβλητές και m περιορισμούς ) Max f ( x) x g ( x) b,,,..., m όπου m< και οι δεύτερες μερικές παράγωγες των συνεχείς. f, g,..., g m υπάρχουν και είναι Οι συνθήκες πρώτης και δευτέρας τάξεως εξάγονται από την συνάρτηση Lagrage στην οποία κάθε περιορισμός συνδέεται με ένα πολλαπλασιαστή λ. Συγκεκριμένα, σχηματίζουμε την ) Lx (, λ) f( x) + λ ( b g( x) ) m όπου λ ( λ, λ,... λm ) και θέτουμε της μερικές παράγωγες της L ως προς τα x και λ ίσες με το μηδέν 3) L f m g λ L,,,..., και 4) b g,,,..., m. λ Οι (3) και η (4) είναι οι συνθήκες πρώτης τάξεως (αναγκαίες) για μεγιστοποίηση και ελαχιστοποίηση. Η λύση του συστήματος των m+ εξισώσεων θα είναι οι άριστες τιμές x και λ. Οι συνθήκες δεύτερης τάξεως (ικανές) για μεγιστοποίηση είναι

11 5) q h h L( x, λ j j j ) < για κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα [ h, h,..., h ] το οποίο ικανοποιεί την σχέση 6) g ( x ) hj,,,..., m. j j 4 Για να ελέγξουμε το πρόσημο της τετραγωνικής μορφής (5) με τον περιορισμό (6) ορίζουμε τον (+m)x(+m) περιφραγμένο πίνακα Hessa BH P T, όπου είναι πίνακας mxm με όλα τα στοιχεία ίσα με το μηδέν, P Q g g g... P... g g g... m m m Lx και Q (, λ),, j,,..,. j Αν το ( x, λ ) ικανοποιεί τις (3) και (4) και ο πίνακας ΒΗ υπολογίζεται στο ( x, λ ), τότε: α) Η τετραγωνική μορφή θα είναι αρνητικά ορισμένη και η f θα λαμβάνει την μέγιστη τιμή της όταν οι ορίζουσες από τις κύριες ελάσσονες BH m +, BHm+,..., BH BH, όπου m+, κ.λ.π δηλώνουν βαθμό, εναλλάσσουν m+ πρόσημα αρχίζοντας από ( ). β) Η τετραγωνική μορφή θα είναι θετικά ορισμένη και η f θα λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της όταν οι ορίζουσες από τις κύριες ελάσσονες BH m +, BHm+,..., BH BH έχουν όλες το ίδιο πρόσημο ( ) m. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός των περιορισμών (άρτιος ή περιττός) παίζει ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στην διερεύνηση των συνθηκών δεύτερης τάξης. Οι άριστες τιμές των πολλαπλασιαστών του Lagrage είναι οι οριακές αξιολογήσεις (σκιώδεις τιμές) των περιορισμών με τους οποίους συνδέονται. Δηλαδή, δίνουν την μεταβολή στην μέγιστη τιμή της συνάρτηση αξίας η οποία θα προκύψει από μια απειροελάχιστη μεταβολή στο δεξιό μέρος του περιορισμού. Η εξίσωση αξίας στο πρόβλημα που εξετάζουμε είναι 4 h x x.

12 7) L ( b) L ( x( b), λ ( b)) + λ ( b)( b όπου b b, b,..., b ). ( m g ( x( b))) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της (7) ως προς το b παίρνουμε 8) L b ( f m g λ ) + λ λ, λόγω των (3) και (4). Προφανώς η (8) είναι ένα b αποτέλεσμα του Θεωρήματος της Περιβάλλουσας. Παραδείγματα. Να προσδιοριστούν τα ακραία σημεία της z XY, με περιορισμό X + Y 6. Λύση Σχηματίζουμε την συνάρτηση Lagrage, L XY + λ( 6 X Y). Συνθήκες πρώτης τάξης: LX λ + Y, LY λ + X, Lλ X + Y. Η λύση του συστήματος είναι Y 3, X 3, λ 3. Συνθήκες δεύτερης τάξης: Ο περιφραγμένος πίνακας είναι HB (πρόσημο ( ) ) συνεπώς στο Y 3, X 3 υπάρχει μέγιστο.. Με δεδομένο ότι και m έχουμε μόνο μια κύρια ελάσσονα να ελέγξουμε, αυτή με βαθμό m+3, η οποία στην συγκεκριμένη περίπτωση ταυτίζεται με την HB. Η ορίζουσα της τελευταίας είναι ίση με m+. Να προσδιοριστούν τα ακραία σημεία της συνάρτησης x3 4 3 z x + x + με περιορισμό x + x + x 4. Λύση Από τις συνθήκες πρώτης τάξης έχουμε τρείς λύσεις ( 3 x, x, x, λ) (,,,), x, x, x, λ) (,,, ) και x, x, x, λ) (.8,,.4,.4). ( 3 Ο περιφραγμένος πίνακας είναι ( 3

13 3 4 x 4 HB. x λ Με δεδομένο ότι m, 3 θα ελέγξουμε τα πρόσημα των τελευταίων κυρίων ελασσόνων, αρχίζοντας από αυτή που είναι βαθμού 3. Για το πρώτο σημείο η ορίζουσα της κύριας ελάσσονος βαθμού 3 είναι -3 και η ορίζουσα της κύριας ελάσσονος βαθμού 4 είναι -64. Και στις δυο το πρόσημο είναι αρνητικό m ( ), συνεπώς, στο σημείο αυτό υπάρχει ελάχιστο. Για το δεύτερο σημείο ισχύουν ακριβώς τα ίδια (υπάρχει ελάχιστο). Για το τρίτο σημείο η ορίζουσα της ελάσσονος βαθμού 3 είναι.8 και του βαθμού 4 είναι 3. Στο σημείο αυτό σημείο αυτό οι συνθήκες δεύτερης τάξης δεν ικανοποιούνται. Επειδή οι συνθήκες δεύτερης τάξης είναι ικανές και όχι αναγκαίες στο σημείο αυτό είναι δυνατόν να έχουμε είτε μέγιστο, είτε ελάχιστο είτε κανένα από τα δυο. Ενας τρόπος να διαλευκάνουμε το ζήτημα αυτό είναι μέσω της χαρακτηριστικής εξίσωσης του περιφραγμένου πίνακα η οποία ορίζεται ως 4 x θ 4 λ θ x θ. Για την πρώτη και την δεύτερη λύση, οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι και οι δύο θετικές ( θ, 8/ 9) και στις δυο περιπτώσεις, το οποίο σημαίνει ελάχιστο. Για την τρίτη λύση (θ,.8), το πρόσημο του πίνακα δεν μπορεί να προσδιοριστεί και στο σημείο αυτό δεν υπάρχει ακρότατο της συνάρτησης. Ασκήσεις. Να προσδιοριστούν τα ακραία σημεία των συναρτήσεων a) z X + X + X3 με περιορισμούς X + X + 3X και 5X + X + X β) z X + X με περιορισμό X + 4X.

14 4. Να γίνει συγκριτική στατική ανάλυση ως προς τις τιμές των αγαθών και το διαθέσιμο εισόδημα για τον καταναλωτή που μεγιστοποιεί U U ( X, X )με περιορισμό px + px M. U είναι η χρησιμότητα, Χ οι ποσότητες των αγαθών, p οι τιμές και Μ το διαθέσιμο εισόδημα.

15 5

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας - Πρόβλημα Καταναλωτή: Επιλογή καταναλωτικού συνδυασμού x=(x, x ) υπό ένα σύνολο φυσικών, θεσμικών και οικονομικών περιορισμών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών: () Επιτρέπει τη διατύπωση μιας θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Δεσμευτικοί περιορισμοί Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0 Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } 1 n 1 st. :

Διαβάστε περισσότερα

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0 Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } st. : g ( x,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΟΓΔΟΟ-ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Ποια η ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις

Παράγωγος συνάρτησης. Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου. ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Παράγωγος συνάρτησης Έννοια παραγώγου Υπολογισμός Χρήση παραγώγου ελαστικότητα Οριακές συναρτήσεις Έννοια Στην οικονομική επιστήμη μας ενδιαφέρει πολλές φορές να προσδιορίσουμε την καλύτερη επιλογή, π.χ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος

1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Περίγραμμα διάλεξης 5 Βιβλίο Chiang και Wainwright (κεφ 74,75,76) 1 Μερική παραγώγιση και μερική παράγωγος Έστω η συνάρτηση (x) όπου x R ή εναλλακτικά γράφουμε ( 1 2 ) Το διάνυσμα x περιέχει τις ανεξάρτητες

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE.Ολικά και τοπικά ακρότατα.εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3. Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Ισοτικός περιορισμός 5.Περιορισμένη στασιμότητα 6.Πολλαπλασιαστής Lagrange 7.Συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop

(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop (2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του alop (alop, teve 979, Moopolstc Competto wth Outsde Goods) - Υποθέτουμε μια πόλη που παριστάνεται από την περιφέρεια ενός κύκλου με περίμετρο L=. p

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Αλγεβρικές συναρτήσεις... 3 1.1 Η έννοια της συνάρτησης... 3 1.2 Ασαφείς και σαφείς συναρτήσεις... 3 1.3 Γραφικές απεικονίσεις των

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.

1. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,1), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα. . ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.. ίνονται τα διανύσµατα (x,0), (0,y), (z,0). Είναι γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ARSALL ΚΑΙ ICKS. Η καµπύλη Egel Η καµπύλη Egel παράγεται από την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση του Κέρδους

Μεγιστοποίηση του Κέρδους Μεγιστοποίηση του Κέρδους - Έστω η συνάρτηση παραγωγής: q = f ( x,..., x ). - Η τιμή του παραγόμενου προϊόντος είναι και οι τιμές των εισροών είναι w= ( w,..., w ). - Υπόθεση: Η επιχείρηση είναι αποδέκτης

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n (1) x g (2)

min f(x) x R n (1) x g (2) KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ισότητες. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα

g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 Μέρος Α. (.6 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() f () της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

To 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας

To 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας o 2 ο Θεμελιώδες Θεώρημα Ευημερίας - Το 1 ο Θεώρημα Ευημερίας (FW) εξασφαλίζει ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareto αλλά δεν εξασφαλίζει μια ίση διανομή των οικονομικών οφελών μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Ακαδηµαϊκό έτος 2016-17 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ (διαβάζουμε κεφ. 4 από Μ. Χλέτσο και σημειώσεις στο eclass) 1 ιάλεξη2 Ανταγωνισμός, οικονομική

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας

Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας Άριστες κατά Pareto Κατανομές και το Πρώτο Θεώρημα Ευημερίας - Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές 1,. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5- Σημειώσεις

Διάλεξη 5- Σημειώσεις Διάλεξη 5- Σημειώσεις 1 Κοίλες (concave) και κυρτές (convex) συναρτήσεις Σημείωση: Μόνο για συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα (κυρτό) διάστημα R και παραγωγίσιμες τουλάχιστον δύο φορές στο εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς

Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΙ ΓΡΗΓΟΡΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 26/2/2010 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η επιστήμη της επιλογής υπό περιορισμούς 26/2/2010 2 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η μελέτη των επιλογών τις οποίες κάνουν οι μικρο-μονάδες μιας οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΙΑ 1. Στην περίπτωση των εξωτερικών επιβαρύνσεων στην παραγωγή, η επιβολή ενός φόρου ανά µονάδα προϊόντος ίσου µε το µέγεθος της οριακής εξωτερικής επιβάρυνσης µπορεί να οδηγήσει:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης

Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης - Στο εξής, συμβολίζουμε την ποσότητα του καταναλωτικού αγαθού με q. - Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: q=f(k,l),

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0,

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0, Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. (3. μονάδες) Η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο διάστημα 0, και έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. α). Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας β). Να γίνουν τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes. C = p x x 1 + p y y 1. pxx + pyy = 160

Notes. Notes. Notes. Notes. C = p x x 1 + p y y 1. pxx + pyy = 160 Ελαχιστοποίηση κόστους Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου 2012 1 / 36 Κόστος Το πρόβλημα εύρεσης ενός άριστου καλαθιού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange

f f 2 0 B f f 0 1 B 10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες Πολλαπλασιαστές του Lagrange Μέγιστα και ελάχιστα 39 f f B f f yx y x xy Οι ιδιοτιμές του πίνακα Β είναι λ =-, λ =- και οι δυο αρνητικές, άρα το κρίσιμο σημείο (,) είναι σημείο τοπικού μεγίστου. Εφαρμογή 6: Στο παράδειγμα 3 ο αντίστοιχος

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Ελαχιστοποίηση του Κόστους Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Αγορές - Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 6 Δεκεμβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Αγορές - 6 Δεκεμβρίου 2012 1 / 26 Ως τώρα, υποθέσαμε ότι οι αγορές είναι ανταγωνιστικές. Μία συνέπεια των

Διαβάστε περισσότερα

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές

9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές 9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x

Διαβάστε περισσότερα

ή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0

ή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0 KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως εξής: Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης u που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική

Διαβάστε περισσότερα

(2) Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος

(2) Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος () Χωροθετικά Υποδείγματα Διαφοροποιημένου Προϊόντος - Στα χωροθετικά υποδείγματα διαφοροποιημένου προϊόντος, οι καταναλωτές είναι ετερογενείς (δηλαδή έχουν διαφορετικές προτιμήσεις μεταξύ τους ή βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΕΟ 13 ΚΟΣΤΗ TC = FC + VC ή TC = AC* SOS TC ATC = Το μέσο κόστος ισούται με το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.Παραδείγματα αναλυτικά.παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα ζήτησης 4.Ελαστικότητα προσφοράς 5. Έσοδο 6.Κέρδος μονοπωλίου. Παραδείγματα αναλυτικά Παράδειγμα. Σε μια οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα