Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Ἑλένη Σκλαβούνος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ ο : Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Β. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ ο : α. Είναι ( ) i z 6 i z 6 z 6 z, οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος C με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ. β. Από την εξίσωση w ( i) w ( i ) προκύπτει σύμφωνα με τη θεωρία ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α(,-) και Β(,-). Το μέσο του ΑΒ είναι το Μ(,-) και επειδή η ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ΑΒ -, η μεσοκάθετος (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε. Είναι επομένως : (ε): y- (-)(-) y -4 y - 4. γ. Η ελάχιστη τιμή του w είναι η απόσταση του Ο(,) από την (ε), δηλ. 4 d O, ε ( ) ( ). Σελίδα από 7

2 δ. Αφού γίνει το σχήμα και σχεδιάσουμε τον κύκλο με την ευθεία, διαπιστώνουμε ότι η ελάχιστη τιμή του z-w Ο Α 5 Κ Μ Β -5 ε είναι η απόσταση του Ο(,) από την (ε) μείον την ακτίνα του κύκλου ( C ) δηλ. ΚΜΟΜ-ΟΚ ( ). Σχόλιο Η εύρεση της ελάχιστης τιμής αλγεβρικά, δηλαδή με τη σχέση z w z w z w, χωρίς την απαραίτητη επαλήθευση ότι η ακραία τιμή μπορεί να ληφθεί, είναι ελλιπής. Σελίδα από 7

3 ΘΕΜΑ ο : α. Έχουμε ln f ( ) ln Έτσι, από κανόνα του D l Hospital, παίρνουμε Επειδή λοιπόν ( ln ) ( ) f ( ) f ( ) f (), συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής στο o. β. Για κάθε > η f είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων με f ( ) ln. Επομένως : ( ) > ln > > και ( ) f και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα f < ln< < < χ ( ) f f ( ) Δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ), οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o, το f( )-. Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ] είναι f([, ] )[-,], ενώ επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ) και f ( ) είναι f( (, ) )( -, ). Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησής μας είναι f ([, )) [ -, ). Σελίδα από 7

4 γ. Η εξίσωση για > γίνεται : a a ln ln a f ( ) a, α. Με τη βοήθεια του προηγουμένου ερωτήματος έχουμε : Αν α< - η εξίσωση είναι αδύνατη Αν α - η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την Αν - <α< η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες(θετικές) Αν α η εξίσωση έχει μοναδική θετική ρίζα την χ. Αν α > η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα που είναι και θετική. δ. Για χ> έχουμε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,), οπότε από Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε : f ( ) f ( ) f ( ξ ) f ( ) f ( ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε ισχύει: για κάθε χ>. Μία άλλη λύση στο θέμα δ Θα δείξουμε ότι ( ) ( ) ( ) Έστω g() f ( ) -f ( ) f ( ), δηλ. f ( ) <χ<ξ<χ f (χ)<f (ξ)<f (χ) f() - f() < f () f -f f > για κάθε >. για κάθε >, δηλαδή g()ln()-()ln()ln g()ln-ln(), > Θα δείξω ότι η g παίρνει θετικές τιμές για κάθε >. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με g ( ) ln ln( ), > και η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με g ( )... > αύξουσα στο (, ). ( ) ( ) > για κάθε χ>.άρα η f για κάθε >, άρα η g είναι γνησίως Σελίδα 4 από 7

5 g Επειδή ( ) ( ) και g είναι g [(, )](-,) δηλαδή η g ()< για κάθε >, άρα η g γνησίως φθίνουσα στο (, ). Θα βρω το σύνολο τιμών της g. Είναι ( ), ln g ( ln ) και ln... g((, ))(,), άρα g()>. Άρα ισχύει η ζητούμενη. g, άρα το ( ), δηλαδή το ΘΕΜΑ 4ο : α. Αν θέσουμε () η συνάρτηση γίνεται f t dt a f()α α-45,. Άρα () ( 45) f t dt a at at dt a 4 t t a a 45 t a... a 4 Επομένως είναι f() 6-45, Επειδή πολλά παιδιά ξεκίνησαν μ αυτόν τον τρόπο,ας δούμε άλλη μια μακροσκελή μεν αλλά λύση για το θέμα 4 α. Ουσιαστικά πρόκειται για άλλον τρόπο προσέγγισης του ότι το ολοκλήρωμα αποτελεί πραγματικό αριθμό Για έχουμε: f() ( ) f ( t) dt - 45 ( ) f() 45 ( ) f ( t) dt f ( ) 45 f ( t) dt Παραγωγίζω στην () και τα μέλη και έχω: f ' () f ( t) dt ( ) f ( ) 45 (σύμφωνα με τη () γράφεται: f ' () ( ) f ' ()( ) f()( ) 45( ) () f ' ()( ) - f() ( )' 45( ) Σελίδα 5 από 7

6 f '( )( f ( ) ' ) f ( )( ( ) 45( ) άρα ( ) ) 45( ) ( ) f ( ) ( )' 45 ( ) d τότε f ( ) 45 c f() -45 c( ) για κάθε (). f ( ) 45 () f() 45 c( ) c και λόγω της () έχω c. f ( t) dt Ολοκληρώνω και τα μέλη της () και έχω: f ( ) d -45 d c ( ) d 4 c -9 c 4 c -9 c(4 6) c -9 c 46 c Αντικαθιστώ στην αρχική: f()( ) 45 f() 6 45,οπότε αποδείχθηκε, για. για η δοθείσα γράφεται f()-45,το ίδιο και η προηγούμενη, άρα η παραπάνω ισχύει για κάθε. R β. Στο ( ) ( ) g g θέτουμε y- και αφού ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και παίρνουμε: g g g y g g ( ) για κάθε χ. y y γ. i) Το όριο L ( ) ( ) ( ) g g g μορφή, οπότε με τον κανόνα του D l Hospital βρίσκουμε : L ( ( ) ( ) ( )) ( ) έχει μεταβλητή το (και όχι το χ) και έχει τη g g g g ( ) g ( ) Σελίδα 6 από 7

7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g g g g g g ( ( ) ( )) ( ) g g g, Επομένως η δοσμένη σχέση γίνεται : ( ) ( ) ( ) g f 45 g 6, για κάθε χ. 4 Άρα g ( ) 5 k, χ. Επειδή g ( ) 4 5 ( ) 5, χ και ( ) g k, είναι g c, χ. Επειδή g() c, βρίσκουμε g() 5,. Σχόλιο( για το γ. i ) Δεν μπορούμε να πάρουμε και δεύτερη φορά τον κανόνα του d L Hospital, διότι δεν γνωρίζουμε τη συνέχεια της g, κάτι που είναι απαραίτητο για να βρούμε το τελικό όριο. g 5 > για κάθε χ, η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και -. ii) Αφού ( ) 4 ΚΑΛΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Τις λύσεις των Θεμάτων επιμελήθηκαν οι μαθηματικοί: Μπεληγιάννης Αθανάσιος Δερβεντζή Κατερίνα Στεργίου Μπάμπης Παπαλουκάς Ιωάννης Σελίδα 7 από 7

Σχετικά έγγραφα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ